6. Kurs und Effektivverzinsung in:

Konrad Wimmer, Eugen Caprano

Finanzmathematik, page 122 - 140

Grundlagen und Anwendungsmöglichkeiten in der Investitions- und Bankwirtschaft

7. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4560-2, ISBN online: 978-3-8006-4561-9, https://doi.org/10.15358/9783800645619_122

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 113 6. Kurs und Effektivverzinsung 6.1 Zusammenhang zwischen Kurs und Effektivverzinsung Grundsätzlich muss bei Anleihen – zwischen dem Nominalbetrag (= Nennwert = Rückzahlungsbetrag bei Fälligkeit) und dem Kurswert (Marktwert) unterschieden werden. Dies gilt, wie noch zu zeigen ist, in analoger Weise auch bei Kreditverträgen. Man beachte, dass sich die Nominalzinszahlungen und Tilgungsquoten immer auf den Nominalwert beziehen. Zur Verdeutlichung sei eine Kuponanleihe betrachtet. Angenommen, ein Anleger besitzt eine Kuponanleihe über nominal 100 000 €, das bei einer am Kapitalmarkt erzielbaren Rendite von 6 % mit einem Coupon von nominal 6 % ausgestattet ist. Es handelt sich dabei also um ein festverzinsliches Wertpapier, bei dem jährlich die in den Anleihebedingungen definierten konstanten Nominalzinsen gezahlt werden. Die Frage nach dem Marktwert/ Kurswert ist leicht zu beantworten. Da die Rendite des Wertpapiers mit der Kapitalmarktverzinsung für die identische Laufzeit übereinstimmt, wird der aktuelle Kurs 100 % betragen (etwaige Abweichungen z. B. infolge von Bonitätseinschätzungen des Emittenten durch den Markt können hier unbeachtet bleiben). Nun werden die Beispielsdaten wie folgt modifiziert. Der Anleger erwirbt eine Kuponanleihe mit einer Restlaufzeit von 4 Jahren: Nominalbetrag 100 000; Nominalzinssatz 6 %; Erwerbskurs 100 %. Unmittelbar nach Ablauf des zweiten Jahres möchte der Kunde das Wertpapier verkaufen. Zu diesem Zeitpunkt soll • die GKM-Rendite 6 % betragen (Szenario 1) • die GKM-Rendite 8 % betragen (Szenario 2) • die GKM-Rendite 4 % betragen (Szenario 3). Vereinfachend sollen die genannten Renditen für alle Laufzeiten gelten („flache Zinsstrukturkurve“; diese Vereinfachung wird in Teil 2 aufgehoben). Der Verkaufspreis wird in einem marktwirtschaftlichen System durch Angebot und Nachfrage resultieren (Marktpreis). Der rechnerische Marktwert ist gleichzusetzen mit dem Gegenwartswert der noch ausstehenden Zahlungen aus dem Wertpapier. Hierzu sind diese abzuzinsen. Jeder Kunde, der festverzinsliche Papiere vorzeitig einlösen möchte, muss somit akzeptieren, dass der Einlösebetrag dem aktuellen Kurswert entspricht und nur ausnahmsweise mit dem Nominalwert übereinstimmt. Der Kurswert aber hängt ab von der auf die Restlaufzeit bezogenen Kapitalmarktverzinsung und der Kupon-Ausstattung, die der Erwerber übernimmt. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 114 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 115 6. Kurs und Effektivverzinsung114 Rechnerisch ist der Kurswert so festzulegen, dass der Erwerber unter Beachtung des Kaufpreises und der vorgegebenen Nominalverzinsung gerade die aktuelle Marktrendite erzielt. Liegt der Kaufpreis (Kurswert) zu hoch, wird sich kein (rational handelnder) Erwerber finden, liegt er zu niedrig, werden sehr schnell die einsetzenden Arbitrageeffekte den Kurswert in die richtige Höhe treiben. Wie die Berechnungen zeigen, • steigt der Marktwert mit sinkendem Zinsniveau; hier erhält der Anleger mehr als den Nennwert (6 000 · 0,9615385 + 106 000 · 0,9245562 = 103 772) • sinkt der Marktwert mit steigendem Zinsniveau; hier erhält der Anleger weniger als den Nennwert zurück (6 000 · 0,9259259 + 106 000 · 0,8573338 = 96 433) • entspricht der Marktwert bei Übereinstimmung von Marktrendite und Nominalverzinsung dem Nominalbetrag (6 000 · 0,9433962 + 0,8899964 · 106 000 = 100 000) Allgemein gilt damit für die Ermittlung des Kurswertes C0 in % des Nennwertes Knom (ieff für Marktrendite) n eff t t t nom e ( i ) C K − = ⋅ + = ∑ 1 0 1 (56) Der Kurswert ergibt sich also, indem man den Barwert der künftigen Zuflüsse (Zähler) in Relation zum Nominalbetrag (Nenner) setzt. Die vorgenannten Überlegungen lassen sich unmittelbar auch auf Kreditverträge übertragen. Ausgangsdaten: Nominalbetrag 100 000 €; Nominalzinssatz 6 %; endfällige Tilgung; Disagio 6 %; Laufzeit 4 Jahre; jährliche, nachschüssige Zahlungsweise. In der Ausgangssituation wird wiederum eine Geld- und Kapitalmarktrendite in Höhe von 6 % unterstellt. Berechnet man den Marktwert (Barwert, Gegenwartswert) der einzelnen Kundenzahlungen und bildet man die Summe, so ergibt sich ein Marktwert des Geschäfts zum Abschlusszeitpunkt in Höhe von 100 000 € (Vorgehensweise siehe oben). Würde die Bank das Kundengeschäft am Abschlusstag am GKM verkaufen, so könnte sie einen Betrag in Höhe von 100 000 € erzielen. Da sie gleichzeitig nur 94 000 € für die Darlehensgewährung aufzubringen hat, beträgt ihr Gewinn 6 000 € („Margenbarwert“). Angenommen, der Kreditnehmer möchte nach Ablauf von zwei Jahren den Kreditvertrag vorzeitig auflösen. Als fairer Ablösewert (zugleich Vorfälligkeitsentschädigung der Bank) ist der rechnerische Wert der der Bank eigentlich zustehenden Zahlungen anzusehen: diese Werte sind aus Sicht der Bank wie auch aus Sicht des Kreditnehmers als fair anzusehen. Wie im Wertpapierfall oben • steigt der Ablösewert mit sinkendem Zinsniveau; hier muss der Kreditnehmer mehr als die nominale Restschuld zahlen (103 772 €) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 114 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 115 6.2 Kursberechnung 115 • sinkt der Ablösewert mit steigendem Zinsniveau; hier muss der Kreditnehmer weniger als die nominale Restschuld zahlen; die Bank müsste konsequenterweise eine Gutschrift erteilen (96 433 €). • entspricht der Ablösewert bei konstanten Zinsniveau der nominalen Restschuld (100 000 €). Dies ist die Grundidee der Vorfälligkeitsentschädigungsberechnung gemäß § 490 Abs. 2 BGB (vgl. Rösler/Wimmer/Lang). Aufgabe 1: Ein Schuldner hat folgende Zahlungen zu leisten: 10 000,– € nach 2 Jahren, 25 000,– € nach 5 Jahren und 20 000,– € nach 8 Jahren. (a) Mit welchem Betrag könnte die Gesamtschuld zum Anfang des 1. Jahres abgelöst werden, wenn die Marktrendite 4 % beträgt? (b) Eine Bank wäre bereit, die Forderungen bei einem Zinsfuß von 5,5 % zu übernehmen. Mit welchem Betrag würde dies geschehen? Der Barwert der Forderungen ist: K0 = 10 000 · v2 + 25 000 · v5 + 20 000 · v8 Lösung: (a) 44 407,– €; (b) 41 145,– €. 6.2 Kursberechnung Kurs von Kuponanleihen bei jährlicher Zinszahlung Die formale Anweisung in Form der Barwertformel (56) reichen eigentlich aus, alle weiteren finanzmathematischen Fragestellungen zu lösen. Indessen ist diese Darstellung recht allgemein gehalten. Sie soll deshalb im Folgenden für spezielle Anwendungsfälle präziser gefasst werden. Bei Kuponanleihen mit den oben erwähnten Charakteristika, setzt sich der Barwert der (ausstehenden) Zahlungen aus dem Barwert der konstanten Zinszahlungen und dem Barwert der endfälligen Rückzahlung des Anleihebetrages (Nennwert, Nominalbetrag) zusammen. Damit gilt für den Marktwert (Kurswert in €), wenn Znom die nominale Zinszahlung und Knom den Nominalbetrag (Nennwert) des Wertpapiers angibt: eff eff –n nom n nomK Z · a (i ) K (1 i )= + +0 Entsprechend gilt für den Kurswert C0 in % des Nennwertes eff eff n nC i(nom) a (i ) ( i ) −= ⋅ + +0 1 Aufgabe 2: Eine neue Bundesanleihe wird zum Jahresende mit nachstehender Ausstattung zur Zeichnung aufgelegt: Volumen: 2 Milliarden €, Laufzeit: 10 Jahre, Nominalverzinsung: 2 % (Zinsen jährlich nachschüssig fällig). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 116 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 117 6. Kurs und Effektivverzinsung116 Welcher Emmissionskurs ist zu wählen, damit eine Rendite von 2,1 % erzielt wird? Lösung: nC % a ( , %) ( , ) −= ⋅ + 100 2 2 1 1 021 = 0,178715365 + 0,812348867 = 0,9910642 = 99,106% Kurs von Kuponanleihen bei unterjährlicher Zinszahlung Bei unterjährlicher Zinszahlung ist die oben verwendete Formel zu modifizieren. Unterstellt man Identität von Zinszahlung und Zinsanrechnung, so ist der Annuitätenfaktor auf Basis des zeitanteiligen Effektivzinsatzes zu ermitteln. Die nachfolgende Aufgabe verdeutliche dies. Aufgabe 3: Eine Anleihe ist mit 4 % Nominalzins (Kuponzins) zu verzinsen und nach 25 Jahren zum Nennwert zurückzuzahlen. (a) Zu welchem Begebungskurs kann die Anleihe ausgezahlt werden, wenn eine Rendite von 6 % erreicht werden soll? (b) Welcher Begebungskurs errechnet sich, wenn die Zinsen halbjährlich mit 2 % bezahlt werden? Lösung: Zu (a) Der Begebungskurs ist: nC % a ( %) ( , ) , , % −= ⋅ + = =250 4 6 1 06 0 7443 74 43 Zu (b) Die Zinszahlungen zu 2 % halbjährlich sind als künftige Zahlungen der Bewertung mit der (Markt-)Rendite von 6 % zu unterstellen. Lösung mithilfe des Annuitätenfaktors auf Basis des zeitanteiligen Effektivzinssatzes = + =½ –C % · a ( , – ) % · , , %250 502 1 06 1 100 1 06 75 19 bzw. C0=75,19% Es wird damit auch unterjährig exponentiell diskontiert. Kurs einer Zinsschuld mit Aufgeld Aufgabe 4: Für eine Schuld werden jährlich die Zinsen zu i(nom) % bezahlt. Am Ende des n-ten Jahres wird die Schuld mit einem Aufgeld von α zurückgezahlt. Die jährlichen Zinsen, bezogen auf 100,– €, sind i(nom), die Rückzahlung beträgt aber jetzt (1 α+00 ) €. In Abänderung der Kursformel für die einfache Zinsschuld ergibt sich bei der Rückzahlung mit Aufgeld eff eff n nC i(nom) a (i ) ( )* ( i )α −= ⋅ + + +0 1 1 (57) Für i(nom) = 0,05, ieff=0,06, n = 10, α = 10 % ergibt sich: C , , ( , ) ( , ) , , %−= ⋅ + ⋅ = =100 0 05 7 36009 1 1 1 06 0 9822 98 22 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 116 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 117 6.2 Kursberechnung 117 Kurs einer ewigen Rente Eine ewige Rente liegt vor, wenn die Rentenzahlung ohne zeitliche Beschränkung erfolgt (beispielsweise bei Pfandbriefen). Der Barwert einer ewigen Rente ist eff r K i =0 Für den Kurs C0 einer ewigen Rente gilt somit: nom K C K = 00 (58) Diese Formel kann zur groben Abschätzung eines Kurses auch für andere Anleiheformen verwendet werden. (Sie wird umso ungünstiger sein, je stärker die Tilgungszeit einer Anleihe von der zeitlich nicht beschränkten Form abweicht, d. h. je kürzer die Laufzeit einer Anleihe-(Schuld-)form ist.) Kurs einer Annuitätenanleihe Eine Annuitätenanleihe soll in n Jahren mit gleichen Annuitäten getilgt werden. Es gilt nom n nomA K / a (i )= . Für den Barwert der Annuitäten Ak gilt: n eff effk k n k K A ( i ) A · a (i )− = = + =∑0 1 1 Der Anleihenkurs ergibt sich mit nom K C K = 00 Aufgabe 5: Eine Annuitätenanleihe von 1 000 000,– € ist mit 5 % zu verzinsen und in 30 Jahren zu tilgen. In welcher Höhe kann die Anleihe ausgezahlt werden, wenn eine Rendite von 5,5 % erreicht werden soll? = =kA / a ( %) ,301000 000 5 65 051 44 = =K , · a ( , %) ,0 3065 051 44 5 5 945 441 36 Die Anleihe wird mit 945 441,36 € ausgezahlt. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 118 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 119 6. Kurs und Effektivverzinsung118 Aufgabe 6: Die Lage am Kapitalmarkt erfordert derzeit eine Effektivverzinsung von 8,5  %. Der Emittent einer Anleihe von nominell 100 Millionen € möchte jedoch an dem Nominalzinssatz von 8 % festhalten. Die Anleihe wird vom Ende des ersten Jahres an in 15 gleich hohen Annuitäten zu pari getilgt. (a) Welcher Ausgabebetrag errechnet sich? (b) Welcher Ausgabebetrag ergäbe sich, wenn die Rückzahlung der Anleihe inklusive aller Zinsen in einer Summe nach 15 Jahren erfolgen würde (Zerobond)? Lösung: Zu (a) K a a0 15 15(100 / (8 %)) · (8,5 %) 97,018 (Mio €)= = . Zu (b) Rückzahlungsbetrag in n = 15: 158 · (8 %) 100 317,217nK s= + = = = –K , · , ,150 317 22 1 085 93 306 Aufgabe 7: Eine 8 %-ige Anleihe im Nennwert von 2 Millionen soll, vom Ende des ersten Jahres an, in 10 Jahren durch gleichbleibende Annuitäten getilgt werden. (a) Welche jährliche Belastung errechnet sich für den Fall, dass in die Annuität zusätzlich ein Aufgeld von 5 % der Tilgungsrate miteinbezogen werden soll? (b) Zu welchem Emissionsbetrag wird eine Bank die Anleihe übernehmen, wenn sie mit einer Rendite von 10 % kalkuliert? Lösung: Zu (a) Für das fiktive Anfangskapital K′0 gilt: ′ = + = =   K K ( / ) · , ,    –0 0 1 5 100 2000000 1 05 2100000 Aus dem fiktiven Zinssatz i = 8 % / 1,05 = 7,62 % gemäß Formel (47) erhält man für die Annuität mit eingeschlossenem Aufgeld A′ aus ′ =A : a %)  ( ,  102100000 7 62 = , 307 618 92. Zu (b) =K , · a ( %)0 10307 618 92 10 = 1 889 186,– Kurs einer Annuitätenanleihe mit Restzahlung Oben war vorausgesetzt, dass die Annuität A für eine ganze Zahl von Jahren fällig sein soll, d. h. mit der letzten Annuität die Schuld gerade getilgt sein wird. Ist dagegen die Annuität A vorgegeben, wird sich aus na K : A= 0 im Allgemeinen kein ganzzahliges n ergeben, sondern ein n N t= + , das zwischen N und N 1+ liegt. (N also die ganze Zahl!) Damit ergibt sich die Lösung aus drei Schritten: 1) Man bestimmt bei vorgegebener Annuität und Knom iterativ oder aus Tabellenwerken die krumme Laufzeit, die abgerundet wird. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 118 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 119 6.2 Kursberechnung 119 2) Die Restzahlung R zum letzten Zahlungszeitpunkt ist zu berechnen. 3) Man errechnet mit K0 den Barwert des Cashflows. Aufgabe 8: Eine Annuitätenschuld von 1 000 000,– € ist mit 5 % zu verzinsen und mit 3  % zuzüglich der gesparten Zinsen zu tilgen. Eine sich ergebende Restzahlung ist 1 Jahr nach der letzten vollen Annuität fällig. Wie muss der Begebungskurs gewählt werden, damit eine Verzinsung mit 6 % erreicht wird? Die nominale Annuität ist als Prozentannuität gegeben. Die Tilgungszeit ergibt sich deshalb aus n 1q A : T= . Für A sind 8 %, für T1 sind 3 % anzusetzen. Lösung: 1. Schritt: 1,05n = 8 : 3 = 2,66666; man erhält n = 20,10 aus ln 2,66666 / ln 1,05. Geht man von nK A · a=0 aus, dann ist an = K0 : A = 100 : (5 + 3) = 12,5. Aus der Tabelle der Barwertfaktoren ergibt sich ebenfalls n ca. 20. 2. Schritt: 8 · a20 (5 %) + R · 1,05–21 = 100 ⇔ R = 0,8423 3. Schritt: K0 = 8 · a20 (6 %) + 0,8423 · 1,06–21 = 92,0071 Kurs einer Ratenschuld Im Rahmen der Tilgungsrechnung war die Aufstellung des Tilgungsplans für die Ratentilgung eine besonders einfache Angelegenheit. Die Kursberechnung für eine Ratenschuld ist eine bei weitem aufwendigere Aufgabe. Ist eine Schuld Knom bei gleichen Raten in n Jahren zu tilgen, dann sind jährlich zu zahlen (a) die gleichbleibenden Tilgungsraten nomK : n und (b) die Nominalzinsen i(nom) für die jeweilige Restschuld Die folgende Übersicht soll den Tilgungsablauf klarstellen. Jahr Schuld zu Anfang Zinsen am Ende bei Knom bei Knom = 100 (100 · i = p) 1 ·nom nom n K K n = · · ( )nom n K i nom n · · n p p n n n = 2 1 ·nomnom nom K n K K n n − − = ( ) 1 · ·nom nom n K i n − 1 · ( 1) · n p p n n n − = − 3 22 · ·nomnom nom K n K K n n − − = 2 · · ( )nom n K i nom n − 2 · ( 2) · n p p n n n − = − … n – 1 2( 2) · ·nomnom nom K K n K n n − − = 2 · · ( )nomK i nomn 2 · 2 · p p n n = n 1( 1) · ·nomnom nom K K n K n n − − = 1 · · ( )nomK i nomn 1 · 1· p p n n = Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 120 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 121 6. Kurs und Effektivverzinsung120 Die Tilgungsbeträge sind n Jahre lang, jeweils zum Ende des Jahres zu zahlen. Sie können als nachschüssige Rente von je nom(K : n) aufgefasst werden. Der Barwert (bezogen auf den Beginn des 1. Tilgungsjahrs) ist nom n K B · a n0 = Die Zinsbeträge bilden eine arithmetisch fallende Folge mit dem ersten Glied i(nom) n i(nom) n ⋅ = . Der Betrag, um den die folgenden Glieder jeweils kleiner werden, ist i(nom) d ( ) n = − . Der Barwert sämtlicher Zinsbeträge kann mit der Formel (32) für die arithmetisch fortschreitende Rente angegeben werden. n n n d R r · a · (a – n · v ) i = +0 In dieser Formel sind einzusetzen: für i(nom) r n i(nom) n = ⋅ = und i(nom) d ( ) n = − . Damit ergibt sich für den Barwert aller Zinsbeträge: n n n (i(nom) B(Zins) i(nom) · a – (a – n · v ) n · i = Der Barwert aller „künftigen“ Zahlungen, nämlich der Zinsen und der Tilgungsbeträge, gibt den Begebungskurs der Ratenschuld C0. nn n n a i(nom) C B Z i(nom) · a · (a n · v ) n n · i = + = + − −0 0 0 (59) Die Größe i(nom) ist der Zinssatz, mit dem die Zinsen am Ende der einzelnen Jahre berechnet werden. Die übrigen Größen i und an basieren auf dem effektiven Zinssatz, mit dem die Abzinsung der Tilgungs- und Zinsbeträge auf den Termin „0“ durchzuführen ist. Aufgabe 9: Eine Ratenanleihe von 1  000  000 ist mit i(nom) 5  % zu verzinsen und in 5 Jahren zu tilgen. Wie hoch ist der Kurswert bzw. Begebungskurs, wenn die Marktrendite i 6% beträgt. , % C % · , · ( , · , ) , , % · % −= + − − = =50 5 367093 5 5 5 367093 5 367093 5 1 06 0 9735 97 375 5 5 6 Die Formel (59) für C0 lässt sich umwandeln in n n n n i(nom) C a n · i(nom) · a · (a n · v ) n i = + − − 0 1 ( )nn n ni(nom)a · i · n · a a n · vn i = + − + 1 ; ( )nn n ni(nom)a · n · [i · a v ] an i = + + − 1 ; Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 120 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 121 6.2 Kursberechnung 121 man setzt ein: n n n q a · q i − = 11 und vn nq = 1 ( )n n i(nom) a · n · [ ] a n i = + − 1 1 oder n n a i(nom) a C · n i n = + − 0 1 (60) Aufgabe 10: Eine Schuld von nominal 50 000,– € ist mit 4,5 % zu verzinsen und in 10 Jahren mit gleichen Raten zu tilgen. Welchen Betrag zahlt der Gläubiger an den Schuldner aus, wenn er durch Kürzung des Nominalbetrags eine Verzinsung mit 6 % anstrebt? Der Begebungskurs berechnet sich zu , , , C · = + − 0 7 36009 4 5 7 36009 1 10 6 10 = 0,934=93,4% Der Schuldner erhält von seinem Gläubiger statt nominal 50  000,– € nur 46 700,– €. Für die Tilgung hat er jährlich 5 000,– € zu erbringen. Die Zinsen vom jeweiligen Schuldrest sind mit 4,5 % zu berechnen. Kurs einer Ratenschuld mit Aufgeld Werden die Tilgungsbeträge Knom/n mit einem Aufgeld von α % zurückgezahlt, so sind an Stelle dieser Tilgungsbeträge die Werte nom nom nom K K K · · n n n α α + = + 1 100 100 zu setzen. Bezogen auf nomK 1= 00 ergibt dies: nK · · an α = + 0 100 1 100 In der Formel für den Kurs der Ratenschuld tritt zu an, das vom Tilgungsanteil herrührt, der Faktor α + 1 100 hinzu, sodass die Formel für den Begebungskurs einer Ratenschuld mit Aufgeld lautet: n n i(nom) C · a · · (n a ) n i α = + + − 0 1 1 100 (61) Aufgabe 11: Eine Schuld ist mit 4,5 % zu verzinsen und in 10 Jahren durch gleiche Raten zu tilgen. Die Tilgungsraten werden um ein Aufgeld von 10 % erhöht. Wie hoch ist der Begebungskurs, wenn mit einer effektiven Verzinsung von 6 % gerechnet wird? n n , % C · · a ( a ) , % n % = + + − = 0 1 10 4 5 1 10 100 76 100 6 Durch die Zahlung eines Aufgelds von 10 % ergibt sich ein Begebungskurs über pari. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 122 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 123 6. Kurs und Effektivverzinsung122 Kurs einer Annuitätenanleihe bei aufgeschobener Tilgung Eine Anleihe sei mit i % zu verzinsen und, nach einer tilgungsfreien Zeit von k Jahren, in weiteren n Jahren durch gleich große Annuitäten zu tilgen. Damit ergibt sich der Barwert K0 aus dem Barwert der Zinsen Z (1. Term) und dem Barwert der Annuitäten (2. Term) mit eff eff eff –k k nK Z · a (i ) A · a (i ) (1+i )= +0 Aufgabe 12: Eine Anleihe über 100 000,– € ist mit 6 % zu verzinsen und nach einer tilgungsfreien Zeit von 10 Jahren durch gleiche Annuitäten in 20 Jahren zu tilgen. Wie hoch ist der Begebungskurs, wenn eine reale Verzinsung mit 6,5 % verlangt wird? 20100000 6 8718 46A / a (    %) ,= = 10 0 10 206000 6 5 8718 46 6 5 1 065 94309 –K · a ( , %) , · a ( , %)   ,   = + = 6.3 Berechnung der Effektivverzinsung (Rendite) 6.3.1 Jährliche Zahlungen Die Berechnung der Effektivverzinsung (Rendite) bildet – rechnerisch gesehen – das Gegenstück zur Kursrechnung, denn die Fragestellung der Kursrechnung lautet: Wie muss der Kurs einer Anleihe gewählt werden, damit sich eine bestimmte effektive Verzinsung ergibt? Die Fragestellung der Rendite lautet: Welche effektive Verzinsung ergibt sich, wenn eine Anleihe zu einem bestimmten Kurs ausgegeben wird? Bei der Effektivzinsberechnung, bei der Kurswert einer Anleihe oder der Auszahlungsbetrag eines Darlehens (C0 bzw. K0) gegeben ist, steckt also der gesuchte effektive Zinssatz als Unbekannte in den Größen an, vn. Es ergeben sich somit Gleichungen n ten Grades für die Unbekannte. Da es sich regelmäßig um größere Werte von n handelt, ist eine algebraische Lösung nicht möglich. Somit ergibt sich die Notwendigkeit, mithilfe von Näherungsverfahren eine Lösung zu finden, beispielsweise unter Verwendung von Kurstabellen oder der Tabellenkalkulation (z. B. Excel: Zielwertsuche, Solver). Die Beurteilung von Kreditangeboten, aber auch von festverzinslichen Wertpapieren, erfolgt in der Praxis regelmäßig anhand der Effektivverzinsung. Der Begriff der Rendite ist dabei als Synonym zu verstehen. Bei der Renditeberechnung handelt es sich letztlich um nichts anderes als um die Bestimmung des Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 122 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 123 6.3 Berechnung der Effektivverzinsung (Rendite) 123 (zunächst unbekannten) Zinssatzes ieff, bei dem die aus der Kurswertermittlung bekannte Gleichung – jetzt bei Kenntnis des Kurswertes – erfüllt ist: n eff t t t nom e · ( i ) C K − = + = ∑ 1 0 1 Einfacher ist es, die Betrachtung zu reduzieren auf die Erfüllung der Gleichheitsbeziehung von Auszahlungsbetrag/Anschaffungsauszahlung K0 und Barwert der künftigen Einzahlungen et aus dem Kreditvertrag/Wertpapier: T eff t t t K e / ( i ) = = +∑0 1 1 . Diese Überlegung sei an einigen einfachen Aufgaben demonstriert. Aufgabe 13: Eine Annuitätenanleihe ist mit 5 % zu verzinsen und in 10 Jahren zu tilgen. Welche effektive Verzinsung ergibt sich, wenn die Anleihe zu einem Kurs C 95 K= =0 0 ausgegeben wird? Die Annuität ist 10 1 100 100 0 129505 12 9505 5 · · , , a ( %) = = Diese, jeweils am Ende eines Jahres fälligen Zahlungen sind mit dem effektiven Zinsfuß auf den Termin „0“ abzuzinsen. 95 = 12,9505 · a10 (ieff). a10 (ieff) ist damit 7,3356; aus der Tabelle kann ein Wert von ca. 6% abgeschätzt werden. Exakt interpoliert (oder Einsatz eines tabellenkalkulationsprogramms) erhält man ieff = 6,07033 %. Aufgabe 14: Eine Bundesanleihe ist mit einer Verzinsung von nominell 7,5 % und einem Emmissionskurs von 97 (C K )=0 0 ausgestattet. Die Rückzahlung erfolgt in 10 gleichen Annuitäten, beginnend am Ende des ersten Jahres. (a) Welche Rendite liegt dieser Anleihe zugrunde? (b) Wie groß wäre die Rendite, wenn die Anleihe nach 10 Jahren zum Nennbetrag getilgt werden würde? Zu (a) A , a ( , %) = = 10 100 14 568594 7 5 K0 =A · a10 (ieff) = 97 → ieff = 8,173 % Zu (b) K0 = 7,5 · a10 (ieff) + 100 · (1 + ieff)–10 = 97 für ieff = 7,946 % 6.3.2 Unterjährliche Zahlungen Die bisherigen Überlegungen sind in der kaufmännischen Praxis kaum von Interesse, da i. d. R. unterjährliche Zahlungen vorliegen. Insbesondere in der Bankpraxis werden mehrere Verfahren verwendet, die sich hinsichtlich der Behandlung unterjährlicher Zahlungen unterscheiden. Auf sie ist im Folgenden einzugehen. Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 124 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 125 6. Kurs und Effektivverzinsung124 Verfahren mit unterjährlich exponentieller Verzinsung (ICMA-Verfahren) Die ICMA-Methode (ICMA = International Capital Market Association; ursprünglich AIBD-Methode mit AIBD für Association of International Bond Dealers), geht von exponentieller Verzinsung auch im unterjährigen Bereich aus, da alle Raten/Zahlungen unmittelbar auf den Betrachtungszeitpunkt t0 abgezinst werden. Zinsen werden gleichsam täglich kapitalisiert. Demgegenüber rechnen sonstige Verfahren der Bankpraxis unterjährlich mit einfachen (linearen) Zinsen. Der Unterschied sei an dieser Stelle wiederholt: linear Auf- bzw. Abzinsen bedeutet, mit einfachen Zinsen entsprechend der kaufmännischen Zinsformel zu rechnen; z. B. Aufzinsen für ein halbes Jahr: (1 + i · 0,5) mit i als Zinssatz. Bei exponentiellem Auf- bzw. Abzinsen wird dagegen der Zeitfaktor im Exponenten des Ausdrucks (1 + i) berücksichtigt; z. B. für ein halbes Jahr gilt (1 + i)0,5. Im Exponenten stehen jetzt allerdings nicht mehr ganzzahlige Periode, sondern Periodenbruchteile (hier: Jahresbruchteile). Für die Barwertberechnung gilt: T eff t / zt t t K e ( i )− = = +∑0 1 1 (62) mit t als Abzinsungszeitraum; t gibt den in Tagen ausgedrückten zeitlichen Abstand der Zahlung et vom Kalkulationszeitpunkt t0 an. t/zt bezeichnet den Jahresbruchteil; zt gibt die pro Kalenderjahr gerechneten Zinstage an: zt = 360 bei kaufmännischer 360-Tage-Methode oder zt = 365 bei taggenauer Tageberechnung; t/zt gibt damit den Jahresbruchteil an. Aufgabe 15: Annuitätendarlehen (Restschuld null am Ende der zweijährigen Laufzeit); Nominalbetrag 1 000; Nominalzinssatz i = 0,08; halbjährliche Ratenzahlung (damit m = 2 und n = 2); nachschüssige Zahlungsweise. Berechnen Sie die Annuität, die der Kunde zu leisten hat und geben Sie den Effektivzinssatz nach ICMA an. Lösung: Die Annuitätenberechnung erfolgt anhand der aus der Tilgungs- und Rentenberechnung bekannten Methode. , · , A · , , = = − 4 4 0 04 1 04 1 000 275 49 1 04 1 Die Berechnung der Effektivverzinsung erfolgt anhand der angeführten Formel. Aufgrund der zwischen der nominellen unterjährlichen Zinsberechnung und der Effektivzinsberechnung bestehenden Zusammenhänge kann der Effektivzinssatz hier auch unmittelbar berechnet werden mit: 1,042 – 1 = 0,0816; Effektivzinssatz 8,16 %. Von wesentlicher Bedeutung ist es, diesen Zinssatz in der Praxis plausibel zu machen. Hierzu ist zwischen dem Zahlungsplan (Zins- und Tilgungsplan) und dem sogenannten Vergleichskonto zu unterscheiden (vgl. bereits Abschnitt 1.6). Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 124 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 125 6.3 Berechnung der Effektivverzinsung (Rendite) 125 Annuitätenrechnung auf Basis von Nominal- und Effektivkapital Bei der Annuitätenberechnung stellt sich bei Agio-/Disagio-Varianten die Frage, ob die Annuität auf Basis des Nominal- oder auf Basis des Effektivkapitals zu berechnen ist. Nunmehr wird das zuletzt angeführte Beispiel so abgeändert, dass ein Disagio von 8 % erhoben wird. Der Effektivzinssatz beläuft sich jetzt auf 15,845 % bei einer Annuität in Höhe von 275,49 €. Die Annuität muss auf Basis des Nominalkapitals ermittelt werden mit (i = Nominalzinssatz p. a. = 8 %; m = 2; n = 2) m · n m · n i i · , · ,m mA K · , ,i m + = = = − + − 4 0 4 1 0 04 1 04 1000 275 49 1 04 1 1 1 Kennt man den Effektivzinssatz, so kann die Annuität alternativ anhand des Effektivkapitals bestimmt werden; der periodenbezogene Effektivzinssatz (hier für halbjährliche Zahlungen) ist entsprechend der „Wurzel der Zeit“umzurechnen [hier (1 + ieff)0,5 – 1 = 7,631%]: eff eff m · n/ m / m eff eff m · n/ m [( i ) ] · [( i ) ] , · , A K · · , [( i ) ] , + − + = = = + − − 1 1 4 1 4 1 1 1 0 07631 1 07631 920 275 49 1 1 1 07631 1 Die nachfolgenden Tabellen weisen diesen Zusammenhang nochmals nach: Annuität nachschüssig nominale Rechnung effektive Rechnung i 8,00 % ieff 15,845 % 1 + i / m 1,04 (1 + ieff) ^ (1 / m) 1,07631 K 1000,00 € K 920,00 € m 2 m 2 n 2 n 2 m · n 4 m · n 4 A 275,49 € A 275,49 € Annuitätenfaktor 0,27549005 Annuitätenfaktor 0,299445 Effektivzinssatz (ICMA) 15,845 % Vergleichskonto Periode Auszahlung effektive Zinsen Rate Tilgung Restkapital 0 920,00 € € – € 920,00 € 1 70,21 € 275,49 € 205,28 € 714,72 € 2 54,54 € 275,49 € 220,95 € 493,77 € 3 37,68 € 275,49 € 237,81 € 255,96 € 4 19,53 € 275,49 € 255,96 € 0,00 € Summe 162,41 € 826,47 € 664,04 € Hinweis: Im Vergleichskonto sind die effektiven Zinsen nach der ICMA-Formel, also exponentiell, zu berechnen. Z. B.: Periode 1 70,21 = 920 (1,158451/2 – 1) Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 126 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 127 6. Kurs und Effektivverzinsung126 Effektivzinsberechnung nach PAngV Die Preisangabenverordnung (PAngV) schützt den Verbraucher in der „Marktsondierungsphase“, also bei der Prüfung von Konditionen unterschiedlicher potenzieller Kreditgeber. Nach §  6  Abs.1  PAngV haben Kreditinstitute den Preis des Kredits als Gesamtbelastung pro Jahr in Form eines Prozentsatzes des Kredits anzugeben. Letzterer ist als effektiver Jahreszins zu bezeichnen. Unter einem Letztverbraucher sind pri vate, also nicht selbständig beruflich oder gewerblich oder dienstlich tä tige Personen zu verstehen (§ 9 Abs.1 PAngV). Kreditinstitute müssen ein Preisverzeichnis mit den wesentlichen Leistungen aufstellen und im Geschäftslokal sowie im Schaufenster anbringen (§ 5 PAngV). Das Kreditgewerbe muss dabei auf ein Musterpreisverzeichnis zurückgreifen. Hierzu ist nach § 6a Abs.1 PAngV die Angabe des Effektivzinssatzes bei der Werbung bzw. nach § 1 Abs.  1 PAngV beim Angebot gesetzlich vorgeschrieben. Bei der Werbung ist nach § 6a Abs.1 S.1 PAngV neben dem Sollzinssatz und dem effektiven Jahreszins der Nettodarlehensbetrag im Sinne von Artikel 247 § 3 Abs. 2 EGBGB. In die Effektivzinsberechnung sind nach § 6 Abs.  3 PAngV die Gesamtkosten des Kredits für den Kreditnehmer einschließlich etwaiger Vermittlungskosten einzubeziehen (Ausnahmen bestehen nur für diejenigen Kosten, die in § 6 Abs. 3 Nr. 1 bis 5 PAngV explizit genannt sind). Die PAngV verwendet ebenfalls die ICMA-Methode, setzt jedoch alle Monate gleich lang an (1 Monat = 1/12 eines Jahres). Die Berechnungsformel findet sich in der Anlage zu § 6 PAngV. Ein Spezialproblem stellt die Behandlung so genannter krummer Laufzeitabschnitte dar. Sie liegen vor, wenn sich zeitliche Abstände zwischen zwei Zahlungen nicht auf einen Monat oder Vielfache von Monaten zurückführen lassen. Die PAngV verwendet hier die Standardmonatsmethode. Bei krummen Laufzeitabschnitten werden demnach die Tage kaufmännisch nach der 30-/360-Tagemethode gezählt und auf die Basis von 365 Kalendertagen bezogen. Überdies sind alle Monate gleich lang (rechnerisch 1/12 eines Jahrs, das entspricht 365/12=30,41667 Tagen). Dies führt leider zu Auslegungsfragen, z. B. ob eine Kreditlaufzeit vom 28.1. – 28.2. als 1/12 eines Jahres (= ein voller Monat = 30,41667 Tagen) oder als 32,41667 Tage (29.01. + 30.01. = 2 Tage im Januar + 30,41667 Tagen im Februar) zu interpretieren ist. Vgl. hierzu weiterführend Wimmer/Stöckl-Pukall. Aufgabe 16: Für den folgenden Kredit-Cashflow ist der effektive Jahreszins nach PAngV zu bestimmen: 01.11.13 28.12.13 01.07.14 01.01.15 – 1000 + 350 + 350 + 350 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 126 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 127 6.3 Berechnung der Effektivverzinsung (Rendite) 127 Entsprechend der Tagezählprämisse ergibt sich: eff eff eff, , ,( i ) ( i ) ( i ) = + + + + +0 157306 0 666667 1 166667 350 350 350 1000 1 1 1 Diese Gleichung ist nach ieff aufzulösen (Interpolationsmethode – vgl. hierzu Kapitel 8 zur Internen- Zinsfuß-Methode – oder über die Zielwertsuche bzw. die Solver-Funktion eines Tabellenkalkulationsprogramms): Effektiver Jahreszins: 7,705936% gerundet 7,71% Datum Zahlungsreihe Exponent = Jahresbruchteil Abzinsfaktor Barwerte 01.11.2013 1 000,00   1,0000000000 –1 000,00 28.12.2013 350,00 0,157306 0,9883903883 345,94 01.07.2014 350,00 0,666667 0,9517149848 333,10 01.01.2015 350,00 1,166667 0,9170374839 320,96 0,00 Mit 0,157305936 =  1/12 + (27/365) Verfahren der Bankpraxis mit unterjährlich linearer Verzinsung In der Bankpraxis spielten traditionell neben der ICMA-Methode auch Verfahren mit unterjährlich linearer Verzinsung eine erhebliche Rolle. Mittlerweile sind die in der Praxis urprünglich verbreiteten Methoden nach Mossmüller, Braess-Fangmeyer und US-Leasing (US-Methode) kaum mehr anzufinden. Wir verzichten deshalb an dieser Stelle auf die ausführliche formale Darstellung (vgl. hierzu Kruschwitz 1995) und beschränken uns auf die Beschreibung der Kontoführungsmodelle. Grundsätzlich ist bei einigen Effektivzinsberechnungsmethoden, z. B. bei Braess-Fangmeyer, zunächst zu klären, ob der krumme Laufzeitabschnitt (im folgenden Beispiel 38 sind das zwei Monate) auf den Beginn oder das Ende der Gesamtlaufzeit gelegt wird. Der Grund dafür liegt in der Festlegung der erstmaligen Zinskapitalisierung im Vergleichskonto, das im Kapitel 1.7 bereits angesprochen wurde. Das Vergleichskonto enthält die tatsächlichen Zahlungsvorgänge im Gegensatz zum Zins- und Tilgungsplan, wo nominelle Größen enthalten sind; so geht in das Vergleichskonto der tatsächliche Auszahlungsbetrag eines Darlehens ein, während im Zins- und Tilgungsplan der Nominalbetrag erscheint. Das Vergleichskonto enthält die für die Effektivzinsberechnung relevanten Daten. Geht das Vergleichskonto auf null auf, d. h., ergibt sich ein Restkapital von null, so wird mit dem korrekten Effektivzinssatz abgestaffelt. Inhaltlich entspricht dies der Lösung der Gleichung zur iterativen Bestimmung des Effektivzinssatzes. Das Vergleichkonto ist entsprechend den Prämissen der einzelnen Verfahren aufzubauen. Da die formale Darstellung der Praxisvarianten recht aufwendig ist (vgl. hierzu ausführlich Kruschwitz/Decker; Wimmer, 1996; Wimmer/ Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 128 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 129 6. Kurs und Effektivverzinsung128 Stöckl-Pukall, 1998), erfolgt hier eine Beschränkung auf die Erläuterung des Vergleichskontos unter Angabe der formelmäßigen Beschreibung für das obige Beispiel. Dies setzt den Leser in die Lage, anhand von Tabellenkalkulationsprogrammen das Vergleichskonto zu definieren. Die einzige Unbekannte stellt dann der Effektivzinssatz dar, der ohnehin iterativ zu bestimmen ist (Tipp: die Solver-Funktion in Excel löst dieses Problem sehr schnell). Die Braess-Fangmeyer-Methode legt den sog. gebrochenen Laufzeitabschnitt auf den Beginn der Gesamtlaufzeit. Die erste Zinskapitalisierung erfolgt damit zum Ende des gebrochenen Laufzeitabschnitts. Die weiteren Zinskapitalisierungszeitpunkte sind ebenfalls festgelegt durch diesen Zeitpunkt: Jeweils ein Jahr nach Ende des gebrochenen Laufzeitabschnitts werden die Zinsen dem Kapital zugeschlagen. Im Vergleichskonto mindern die Kundeneinzahlungen sofort und in voller Höhe das zu verzinsende Kapital. Beispiel 1: Zahlungsreihe aus Sicht der Bank: 01.11.13 01.01.14 01.07.14 01.01.15 – 1 000 + 350 + 350 + 350 Für diese Zahlungsreihe erhält man nach Braess-Fangmeyer eine Effektivverzinsung von 7,64 %. Formal gilt: − − − − − = + + + + + + + + eff eff eff eff eff eff i · ( i · , ) ( i  ) i · ( i ) i · 1 1 1 1 1 6 6 1000 350 1 350 1 0 5 1 1 36 36 6 350 1 1 36 Im Vergleichskonto entspricht dies der Zinskapitalisierung am Ende des gebrochenen Laufzeitabschnitts. Die Gleichung macht die Vermengung von exponentieller und linearer Zinsrechnung deutlich. Die US-Methode (US-Leasing-Methode, amerikanische Methode) unterstellt hingegen Zinskapitalisierung zu allen Zahlungszeitpunkten im Vergleichskonto. Deshalb stellt sich die Frage des krummen Laufzeitabschnitts erst gar nicht. Aufgelaufene Zinsen werden damit auch unterjährig kapitalisiert und mitverzinst. Unterjährig wird dabei generell linear abgezinst. Im Vergleichskonto kann deshalb immer mit einfachen Zinsen zwischen den Zahlungszeitpunkten gerechnet werden; auf die formale Darstellung kann deshalb verzichtet werden. Im Beispiel beträgt der Effektivzinssatz 7,50 % (vgl. die folgende Tabelle). Die Moosmüller-Methode stellt eine Mischung aus Braess-Fangmeyer und ISMA-Methode dar. Der gebrochene Laufzeitabschnitt liegt am Beginn der Laufzeit (vgl. Braess-Fangmeyer); dort werden einfache Zinsen gerechnet, wobei der zeitanteilige Effektivzinssatz zugrunde gelegt wird. Ansonsten werden exponentielle Zinsen auf Basis des zeitanteiligen Effektivzinssatzes gerechnet. Damit gilt: Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 128 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 129 6.3 Berechnung der Effektivverzinsung (Rendite) 129 eff eff eff eff effi · ( i ) i · ( i ) i · − − − − − = + + + + + + + 1 1 1 1 26 6 61000 350 1 350 1 1 350 1 1 18 18 18 Man beachte, dass bei der Moosmüller-Methode ieff auf gleichlange Zeitintervalle bezogen wird; hier: 180 Tage. Das bedeutet, ieff bezieht sich hier auf Halbjahre. Man erhält den effektiven Halbjahressatz mit 3, 7504 % und damit einen Effektivzinssatz p.a. von 7,6415 % (wegen 1,0375042 – 1). Hinweis zum Vergleichskonto: Per 01.01.14 sind einfache Zinsen zu rechnen mit 0 037 504 60 180 1000, · ( / ) · ; per 1.7.02 gilt: ( , )^( / ) · , ,−1 037504 180 180 662 5 662 5. Im Folgenden finden sich die Vergleichskonten (jeweils effektive Zinsen, effektive Tilgung und effektives Restkapital) der einzelnen Verfahren. Die Moosmüller-Methode wurde bereits erläutert. Man beachte, dass bei der Methoden nach Braess-Fangmayer zwischen der Zinsbemessungsgrundlage und dem (effektiven) Restkapital zu unterscheiden ist: jede Rate reduziert sofort die Zinsbemessungsgrundlage, während sich das Restkapital nur um den (effektiven) Tilgungsanteil der Rate vermindert. Erst zu den Zinskapitalisierungszeitpunkten besteht Übereinstimmung. Zinssatz 7,64058 % Braess-Fangmayer Monat Zinstage Zinsbemessungsgrundlage Zinsen Rate Tilgung Restkapital 01.11.13 1 000,00 € – € – € – € 1 000,00 € 01.01.14 60 650,00 € 12,73 € 350,00 € 337,27 € 662,73 € Saldo 01.01.02 Zinskap. 662,73 € 662,73 € 01.07.14 180 312,73 € 25,32 € 350,00 € 324,68 € 338,05 € 01.01.15 180 37,27 € 11,95 € 350,00 € 338,05 € 0,00 € Zinskap. 0,00 € 37,27 € Summe 50,00 € 1 050,00 € 1 000,00 € Zinssatz 7,50085 % US-Methode Monat Zinstage Zinsen Rate Tilgung Restkapital 01.11.13 – € – € – € 1 000,00 € 01.01.14 60 12,50 € 350,00 € 337,50 € 662,50 € 01.07.14 180 24,85 € 350,00 € 325,15 € 337,35 € 01.01.15 180 12,65 € 350,00 € 337,35 € 0,00 € Summe 50,00 € 1 050,00 € 1 000,00 € Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 130 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 131 6. Kurs und Effektivverzinsung130 Zinssatz 7,64150 % Moosmüller Zahlung Zinstage Zinsen Zahlung Tilgung Restkapital 01.11.13 – € – € – € 1 000,00 € 01.01.14 60 12,50 € 350,00 € 337,50 € 662,50 € linear 01.07.14 180 24,85 € 350,00 € 325,15 € 337,35 € exponentiell 01.01.15 180 12,65 € 350,00 € 337,35 € 0,00 € exponentiell Summe 50,00 € 1 050,00 € 1 000,00 € Vollständigkeitshalber sei auch das Vergleichskonto Wert nach PAngV (hier = ICMA) angegeben: Effektiver Jahreszins: 7,666383% 7,67% gerundet Datum Zahlungsreihe Exponent = Jahresbruchteil Abzinsfaktor Barwerte 01.11.13 1 000,00 €   1,0000000000 –1 000,00 € 01.01.14 350,00 € 0,166667 0,9877642704 345,72 € 01.07.14 350,00 € 0,666667 0,9519480551 333,18 € 01.01.15 350,00 € 1,166667 0,9174305316 321,10 € 0,00 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 130 Vahlens Kurzlehrbücher – Wimmer – Finanzmathematik Herstellung: Frau Lacher Status: Imprimatur Stand: 05.09.13 Seite: 131 Teil II Anwendungsmöglichkeiten in der  Investitions- und Bankwirtschaft 7. Investitionen 7.1 Zielsetzungen bei Investitionsentscheidungen Eine Investitionsmaßnahme – kurz Investition – kann man definieren als Zahlungsstrom, der mit einer Auszahlung beginnt und der in der Zukunft zu Einzahlungen an das UN führt. Beispiel: Kauf einer Fertigungsanlage. Entsprechend liegt eine Finanzierungsmaßnahme – kurz Finanzierung – vor, wenn der Zahlungsstrom mit einer Einzahlung beginnt und dieser Einzahlung in der Zukunft Auszahlungen folgen. Auch typische Bankgeschäfte stellen demnach Investitionen (Kreditgeschäft, Aktivgeschäft) bzw. Finanzierungen (Einlagengeschäft, Passivgeschäft) dar. Im Folgenden werden zumeist Investitionen betrachtet, da die Ausführungen in entsprechender Weise für Finanzierungen gelten. Investitionsentscheidungen betreffen zwei Problemstellungen. Es sollen erstens Entscheidungen über die absolute Vorteilhaftigkeit eines Investitionsobjekts („ja/nein“-Entscheidungen) und zweitens über die relative Vorteilhaftigkeit eines Investitionsobjekts getroffen werden. Im zweiten Fall ist somit die Rangfolge unter mehreren alternativen Investitionsobjekten zu bestimmen. Grundsätzlich wird bei Investitionsentscheidungen das Prinzip der langfristigen Gewinnmaximierung verfolgt. Methodisch werden hierzu zwei Arten von Verfahren eingesetzt: 1. Statische Einperiodenmodelle: Hierzu rechnen die pay-off-Methode, die Kostenvergleichsrechnung, die Gewinnvergleichsrechnung und die Rentabilitätsvergleichsrechnung. In der Gewinnvergleichsrechnung beispielsweise wird auf die Differenz von durchschnittlichen Erlösen zu den durchschnittlichen Kosten einer für die Investition „typischen“ Periode abgestellt. Die Differenz soll maximiert werden bzw. bei der Auswahl unter mehreren Investitionsobjekten wird dasjenige bevorzugt, das den höchsten Durchschnittsgewinn verspricht. Diese Verfahren dienen allenfalls einer groben Einschätzung der Vorteilhaftigkeit von Investitionsobjekten, weshalb darauf an dieser Stelle nicht weiter eingegangen wird. 2. Dynamische Mehrperiodenmodelle: die Einschätzung von Investitionsobjekt basiert auf den dem Investitionsobjekt zurechenbaren Cashflows (Einzahlungsüberschüssen) unter Beachtung von Zinseffekten. Das Ziel der langfristigen Gewinnmaximierung wird konkretisiert durch die Ziele Vermögensmaximierung, Einkommensmaximierung und der Wohlstandsmaximierung:

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References

Zusammenfassung

Bester Durchblick in der Finanzmathematik.

Finanzmathematik kompakt

Dieses Lehrbuch führt in die zentralen Themen der klassischen wie der modernen Finanzmathematik ein. Diese Kenntnisse gehören zum unerlässlichen Grundbestand betriebswirtschaftlichen Wissens. Über 150 Rechenbeispiele mit Lösungen helfen dem Leser, den Stoff nachzuvollziehen und das Erlernte zu überprüfen.

Die Schwerpunkte

– Zins- und Zinseszinsrechnung

– Rentenrechnung

– Tilgungs- und Kursrechnung

– Effektivverzinsung

– Klassische Investitionsrechnung

– Marktzinsorientierte Kapitalwertmethode

– Portfoliomanagement und CAPM

Der Autor

Prof. Dr. Konrad Wimmer, Kempten/Neu-Ulm.

Konkrete Hilfe

für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Akademien, Bankkaufleute und Finanzdienstleister.