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4.7 Begründung des Bernoulli-Prinzips in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 98 - 102

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_98

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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4.7 Begründung des Bernoulli-Prinzips 87 positionen hat. Sieht man wieder von risikofreudigen Varianten ab, so ist α nichtnegativ. Die CRRA-Klasse ist dann durch u(x) = x1−α 1 − α , für α ̸= 1 ln x, für α = 1 definiert. Da man x · r(x) als relative (oder proportionale) Risikoaversion bezeichnet, bedeutet der Parameter α für die CRRA-Klasse die konstante relative Risikoaversion. CRRA-Nu enfunktionen (und nur diese) haben den Vorteil, dass beim Vergleich von Endvermögen v · X, v · Y etc., die sich multiplikativ aus einem Anfangsvermögen v und der Bru orendite X, Y etc. ergeben, das Anfangsvermögen v irrelevant ist. Das heißt, man kann sich auf den Vergleich der Bru orenditen X, Y etc. beschränken, was Investitionsund sonstige Anlageentscheidungen beträchtlich vereinfachen kann. Infolgedessen befassen sich auch zahlreiche Arbeiten mit Portfolio-Problemen, bei denen das Endvermögen per CRRA-Nu enfunktion bewertetwird. Exemplarisch sei auf Bamberg et al. (2006) sowie die dort zitierte Literatur verwiesen. Lässt man für die absolute Risikoaversion r(x) einen etwas allgemeineren Verlauf als bei a) und b) zu, nämlich r(x) = 1 β + γ · x , so wird hierdurch die zweiparametrige HARA (= hyperbolic absolute risk aversion)-Klasse definiert. Für den Sonderfall γ = 0 erhält man die CARA-Klasse und für den Sonderfall β = 0 die CRRA-Klasse. Da der Kehrwert von r(x) oft als Risikotoleranz bezeichnet wird, kann die HARA-Klasse auch durch eine linear verlaufende Risikotoleranz charakterisiert werden. Sind sowohl β als auch γ von null verschieden, so ist der oben hervorgehobene Vorteil der Irrelevanz des Anfangsvermögens allerdings nicht mehr gegeben. 4.7 Begründung des Bernoulli-Prinzips Fasst man das Bernoulli-Prinzip deskriptiv, das heißt als eine Hypothese über das tatsächliche Verhalten von Entscheidungsträgern in Risikosituationen auf, so kann man unter einer Begründung eigentlich nur eine empirische Bestätigung dieser Hypothese verstehen. Diese Hypothese beinhaltet eine All- Aussage: Jeder Entscheidungsträger besi t eine Nu enfunktion u, so dass er in allen Risikosituationen seine Aktionen anhand des zugehörigen Nu enerwartungswertes beurteilt. Deshalb ist eine empirische Bestätigung im Sinne einer Verifikation (wie bei jeder All-Aussage) bekanntlich unmöglich. Vermutlich wird man bei hinreichend umfangreichen Untersuchungen eher zu einer Falsifikation gelangen. Eine Theorie, die so perfekt ist, dass sie das tatsächliche Verhalten in Risikosituationen mit Sicherheit zu prognostizieren gestat- 88 4. Entscheidungen bei Risiko tet, wäre zwar ideal, scheint aber nicht zu existieren. Für die Anwendungen ist jedoch bereits eine Theorie wertvoll, die das tatsächliche Verhalten „relativ häufig“ richtig prognostiziert. Eine empirische Überprüfung der Frage, ob das Bernoulli-Prinzip wertvoll ist, bedingt zunächst (analog zur Ökonometrie) eine geeignete Stochastifizierung der Theorie, etwa dergestalt, dass die Präferenz zwischen Aktionen nur mit gewissen Wahrscheinlichkeiten aus dem Größenvergleich der Nu enerwartungswerte zu folgen braucht;¹⁶ sie bedingt weiterhin eine Präzisierung von „relativ häufig“ und läuft auf einen statistischen Hypothesentest hinaus. Wir wollen diesen Gedanken hier nicht weiter vertiefen, sondern uns dem normativen Aspekt des Bernoulli-Prinzips zuwenden. Die Devise „Entscheide in Risikosituationen rational!“ ist zwar schnell ausgegeben, aber nur schwer zu fassen; allgemein anwendbar wird sie erst nach einer Präzisierung. Dagegen ist die Devise „Entscheide in Risikosituationen gemäß dem Bernoulli-Prinzip!“ sehr präzise; sie mag allerdings auf den ersten Blick etwas willkürlich erscheinen. Um besser beurteilen zu können, ob diese zweite Devise tatsächlich so willkürlich ist, wie sie vielleicht erscheinen mag, wurden verschiedene Systeme einfacherer Forderungen aufgestellt, die besser beurteilt und leichter als rational akzeptiert werden können und die das Bernoulli-Prinzip zur Folge haben. Ein solches System von Rationalitätspostulaten oder „Nu enaxiomen“ wurde nach Vorarbeiten von Ramsey (1931) und de Fine i (1934) erstmals von v. Neumann/Morgenstern (1944) angegeben (die Beweise wurden in der zweiten Auflage 1947 nachgeliefert). Weitere Axiomensysteme stammen unter anderem von Marschak (1950); Friedman/Savage (1952); Samuelson (1952); Herstein/Milnor (1953); Savage (1972); Luce/Raiffa (1957); Fishburn (1964, 1967); Markowi (2008). Alle Axiomensysteme sind relativ ähnlich. Eine vergleichendeUntersuchungwurde von Schneeweiß (1963) durchgeführt. Die hier gewählte Darstellung lehnt sich an Schneeweiß (1967) an. Wie stets in diesem Kapitel wollen wir der Einfachheit halber vorausse en, dass die Handlungskonsequenzen x, y, v, . . . monetäre Größen sind. Wir hatten in einer Risikosituation jeder Aktion a ihre zugehörige Zufallsvariable X zugeordnet: Aktion a → Zufallsvariable X . Eine Entscheidung zwischen Aktionen entspricht somit einer Entscheidung zwischen den zugeordneten Zufallsvariablen. Es wird gemäß der Forderung nach vollständiger Zielformulierung (vgl. Abschni 2.3) unterstellt, dass X die für die Beurteilung von a relevante Information enthält.¹⁷ Zwei Aktionen a1 und a2 sind also insbesondere äquivalent, wenn ihnen dieselbe Zufallsvariable zugeordnet ist; sollte diese Grundvorausse ung nicht erfüllt sein, so müsste einer weiteren Analyse des Entscheidungsproblems zuerst die Ermi lung der weiteren relevanten Faktoren vorangestellt werden. ¹⁶ Vgl. hierzu etwa Dolbear (1963). ¹⁷ Diese Prämisse wird gelegentlich als Reduktionsaxiom gesondert hervorgehoben. 4.7 Begründung des Bernoulli-Prinzips 89 Infolge der Identifizierung der Aktion a durch das zugehörige X entspricht einer Präferenzrelation (bzw. einem Präferenzfunktional) auf der Menge der Aktionen eine Präferenzrelation (bzw. ein Präferenzfunktional) auf der Menge der zugeordneten Zufallsvariablen, wobei wir jeweils dasselbe Symbol ≽ (bzw. Φ) verwenden. Unser Ziel besteht nun darin, bei gegebenen Präferenzen zwischen den Zufallsvariablen (bzw. den Aktionen) das PräferenzfunktionalΦ, das heißt für jedes X eine geeignete Beurteilungsgröße in Form einer reellen Zahl Φ(X) zu finden, so dass diese Präferenzen durch die natürliche Anordnung der Φ-Werte wiedergegeben werden: X1 ≽ X2 ⇐⇒ Φ(X1) ≧ Φ(X2) ; insbesondere wollen wir erreichen, dass eine (bis auf positiv lineare Transformationen eindeutige) Funktion u existiert, so dass Φ(X) mit dem Erwartungswert von u(X) übereinstimmt oder eine streng monoton wachsende Funktion von Eu(X) ist. Denn gerade Le teres ist die Aussage des Bernoulli-Prinzips. Dieses Ziel ist natürlich nicht ohne besondere Vorausse ungen an die Präferenzrelation ≽ zu erreichen. Deshalb stellen wir nun die folgenden drei Forderungen, aus denen (zumindest für endlich diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen¹⁸) das Bernoulli-Prinzip gefolgert werden kann: 1) Es gelte das ordinale Prinzip: Die Präferenzrelation ≽ ist transitiv und vollständig, das heißt: a) Für je drei Zufallsvariablen X, Y, V gilt: X ≽ Y und Y ≽ V ⇒ X ≽ V . b) Für je zwei Zufallsvariablen X und Y gilt: X ≽ Y oder Y ≽ X . Je zwei Zufallsvariablen sollen also vergleichbar sein.¹⁹ Bezeichnen wir die dichotome Zufallsvariable, die mit der Wahrscheinlichkeit p den Wert y und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1 − p den Wert v annimmt, mit ypv, so lautet die nächste Forderung: 2) Es gelte das Stetigkeitsaxiom: Stehen die drei Ergebnisse x, y und v in der Beziehung y ≺ x ≺ v , so existiert ein p ∈ (0; 1), so dass das feste Ergebnis x der Zweipunktverteilung ypv gleichwertig wird: x ∼ ypv . ¹⁸ Für den allgemeinsten Fall wären noch einige technische Zusa vorausse ungen vonnöten; vgl. z. B. Rauhut et al. (1979, S. 52–54). ¹⁹ Eine Relation, für die das ordinale Prinzip gilt, wird oft als vollständige Präordnung, als schwache einfache Ordnung oder als Quasiordnung bezeichnet. 90 4. Entscheidungen bei Risiko Entsprechend zu ypv bezeichne nunYpV eine Zufallsvariable, diemit derWahrscheinlichkeit p mit dem (selbst zufallsabhängigen) Ergebnis Y und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1 − p mit dem (zufallsabhängigen) Ergebnis V übereinstimmt. Damit lautet die le te Forderung: 3) Es gilt das Substitutionsaxiom: Ist V eine beliebige Zufallsvariable und p eine beliebige Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1, so ist X ≽ Y dann und nur dann, wenn XpV ≽ YpV . Einige erläuternde Bemerkungen zu diesen drei Forderungen erscheinen angebracht: Zu 1):Das ordinale Prinzip muss offenbar notwendigerweise gefordert werden, wenn eine reelle Beurteilungsgröße Φ(X) gefunden werden soll; die Plausibilität dieser Forderung wurde bereits in Abschni 2.4 erörtert. Zu 2): Das Stetigkeitsaxiom verlangt, dass der Entscheidungsträger zwischen dem sicheren Ergebnis x und einer geeigneten Lo erie, die nur y und v als mögliche Ergebnisse hat, indifferent ist. Dies ist plausibel, denn wegen y ≺ x ≺ v ist die Lo erie dann dem sicheren Ergebnis x vorzuziehen, wenn die Wahrscheinlichkeit für v groß gemacht wird; entsprechend ist das sichere Ergebnis x der Lo erie vorzuziehen, wenn die Wahrscheinlichkeit für v klein (und damit die für y groß) gemacht wird. Deshalb kann man von der Existenz einer Wahrscheinlichkeit p ∈ (0; 1) ausgehen, für die Indifferenz eintri . Das Stetigkeitsaxiom dürfte in der Realität meist erfüllt sein; dennoch sind auch hier extreme Situationen konstruierbar (Marschak, 1950), für die es verle t sein kann. Das Stetigkeitsaxiom ist die Grundlage für die in Abschni 4.4 besprochene empirische Ermi lung des Bernoulli-Nu ens. Auch das Stetigkeitsaxiom ist eine notwendige Vorausse ung für das Bernoulli-Prinzip, denn bei Gültigkeit des Bernoulli-Prinzips folgt aus der Indifferenz von x und ypv die Gleichung u(x) = pu(y) + (1 − p)u(v) . Hieraus ist aber die Existenz von p ∈ (0; 1) direkt zu ersehen. Auflösen nach p ergibt nämlich p = u(v) − u(x) u(v) − u(y) , also wegen u(y) < u(x) < u(v) eine Zahl zwischen 0 und 1. 4.8 Klassische Entscheidungsprinzipien 91 Zu 3): Auch das oft als Unabhängigkeitsaxiom bezeichnete Substitutionsaxiom ist offenbar eine notwendige Bedingung für das Bernoulli-Prinzip, denn die Äquivalenz X ≽ Y ⇐⇒ XpV ≽ YpV besagt für die Nu enerwartungswerte: Eu(X) ≧ Eu(Y) ⇐⇒ pEu(X) + (1 − p)Eu(V) ≧ pEu(Y) + (1 − p)Eu(V) , was wegen der vorausgese ten Positivität von p richtig ist. Die Bezeichnung „Substitutionsaxiom“ rührt daher, dassman bei seiner Gültigkeit von einer zusammengese ten Zufallsvariablen YpV zu einer gleichwertigen (bzw. präferierten) Zufallsvariablen XpV dadurch gelangt, dass man Y durch das gleichwertige (bzw. präferierte) X substituiert. Dieses Axiom ist einleuchtend, wenn man sich die Bedeutung von XpV bzw. YpV vor Augen hält. Die sich bei XpV schließlich ergebende Realisation kann man sich folgendermaßen entstanden denken: Zunächst wird in einer ersten Stufe mittels eines Zufallsmechanismus entweder X oder V ausgewählt; wird X ausgewählt (was mit der Wahrscheinlichkeit p passiert), so ergibt die Realisation von X das endgültige Ergebnis, wird V ausgewählt, so ergibt die Realisation von V das endgültige Ergebnis. Deshalb sollte man erwarten, dass sich bei einem Vergleich von XpV mit YpV dieselbe Präferenz wie beim Vergleich von X mit Y zeigt. Dennoch wurde das Substitutionsaxiom, das im von-neumannmorgensternschen Axiomensystem noch nicht in dieser Form enthalten, sondern durch andere Axiome erse t war, besonders heftig diskutiert und kritisiert. 4.8 Klassische Entscheidungsprinzipien Da Ökonomen schon immer, also auch vor der Publikation des Bernoulli- Prinzips, mit Risikosituationen konfrontiert wurden, haben sich in der Wirtschaftspraxis teils aus intuitiven, teils aus traditionellen Gründen, eine Reihe von anderen Vorgehensweisen zur Lösung des Risikoproblems eingebürgert. So wird eine Aktion a bzw. deren Zufallsvariable X vielfach nur nach dem Erwartungswert E(X) beurteilt, also das Präferenzfunktional Φ(X) = E(X) benu t. Da der Erwartungswert einer Zufallsvariablen üblicherweise mit µ abgekürzt wird, E(X) = µ ,

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

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In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.