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4.6 Risikoprämien und Arrow-Pratt-Maß für die Risikoaversion in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 95 - 98

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_95

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

Bibliographic information
84 4. Entscheidungen bei Risiko x 1 1 u(x) Abb. 4.5: Nu enfunktion vom Friedman-Savage-Typ Zu d): Da viele Entscheidungsträger gleichzeitig ein Glücksspieler-Verhalten und ein Versicherungsnehmerverhalten zeigen, das heißt in gewissen Situationen risikofreudig und in anderen Situationen risikoscheu sind, scheint vielfach eine Nu enfunktion adäquat zu sein, die sowohl konkave Stücke (für negative Ergebnisse, das heißt Verluste) als auch konvexe Stücke enthält. Da weiterhin eine Nu enfunktion zur Vermeidung von Paradoxien nach Menger (1934) beschränkt sein sollte, liegt eine Nu enfunktion nahe, die von Friedman/Savage (1948) vorgeschlagen und empirisch getestet wurde (vgl. Abbildung 4.5). Der (für negative x) stark abfallende konkave Ast der Nu enfunktion erklärt die Abschlüsse von Versicherungsverträgen, der (in positiver x-Richtung) daran anschließende konvexe Teil die Teilnahme an Lo erien und ähnlichen Glücksspielen; das Abflachen imBereich großer x-Werte erklärt beispielsweise, warum eine Lo erie (etwa gegenüber den üblichen staatlichen Lo erien) nicht durch die Einführung eines riesigen, aber entsprechend unwahrscheinlichenGewinns beliebig a raktiv gemacht werden kann. 4.6 Risikoprämien und Arrow-Pratt-Maß für die Risikoaversion Nach gängiger Meinung ist die Mehrzahl der wirtschaftlich relevanten Entscheidungsträger eher risikoavers als risikofreudig. Modelle der Portfolio- Selektion und der Kapitalmark heorie¹³ se en beispielsweise generell einen risikoaversen Entscheidungsträger voraus. Bei Risikoaversion ist – wie im vorangehenden Abschni begründet wurde – das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert. Der vom Erwartungswert vorzunehmende Abschlag, der gerade die Indifferenz herbeiführt, wird als Risikoprämie π bezeichnet. Sie ist demnach durch X ∼ E(X) − π ¹³ Vgl. z. B. Markowi (2008); Sharpe (1970); Rudolph (1979); Göppl (1980); Wilhelm (1983); Loistl (1994); Spremann (2007); Albrecht/Maurer (2008); Franke/Hax (2009); Perridon et al. (2012); Steiner et al. (2012). 4.6 Risikoprämien und Arrow-Pratt-Maß für die Risikoaversion 85 definiert und steht mit dem Sicherheitsäquivalent s offensichtlich in der Beziehung: π = E(X) − s . Gelegentlich wird das Anfangsvermögenmit berücksichtigt. Dann sind sowohl s als auch π Funktionen des Anfangsvermögens v des Entscheidungsträgers und der Zufallszahlung X. Will man dies zum Ausdruck bringen, so muss man die Risikoprämie mit π(v, X) symbolisieren und durch die Bedingung definieren: v + X ∼ E(v + X) − π(v, X) . Bislang sind wir nur in der Lage, risikoaverse, risikoneutrale und risikofreudige Entscheidungsträger zu unterscheiden. Diese Kategorisierung ist für viele Zwecke zu grob. Deshalb entwickelten Arrow und Pra aus dem Bernoulli- Nu en u(x) folgende Maßzahl r(x) = −u ′′(x) u′(x) , die sie lokale (absolute) Risikoaversion an der Stelle x ∈ R nannten.¹⁴ Wie Pra (1964) darlegt, eignen sich weder die erste Ableitung u′(x) noch die zweite Ableitung u′′(x) separat, und auch nicht die Krümmung der Kurve u(x) als Risikoaversionsmaße. So werden bei der Bernoulli-Nu enfunktion u(x) = 1 − e−αx (mit α > 0) der Anstieg und die Krümmung mit wachsendem x zunehmend kleiner, das Risikoverhalten bleibt aber gleich. Insbesondere ist die Risikoprämie für eine gegebene ZufallszahlungX stets konstant, das heißt unabhängig vomAnfangsvermögen v, wie man folgendermaßen direkt verifiziert: Aus v + X ∼ E(v + X) − π(v, X) folgt nach dem Bernoulli-Prinzip E[u(v + X)] = u[E(v + X) − π(v, X)] . Für unser spezielles u(x) ergibt sich demnach E[1 − e−α(v+X)] = 1 − e−α[E(v+X)−π(v,X)] , das heißt π(v, X) = ln[E(e−αX)] + αE(X) α . Das Arrow-Pra -Maß spiegelt diese „konstante Risikoeinstellung“ adäquat wider: Es ist nämlich selbst konstant und mit α identisch: r(x) = −−α 2e−αx αe−αx = α . ¹⁴ Dabei ist natürlich die zweimalige Differenzierbarkeit von u vorausgese t. Für die Interpretation als Risikoaversionsmaß muss ferner vorausgese t werden, dass Normalverhalten vorliegt, das heißt dass u(x) streng monoton wachsend ist (u′(x) > 0). Wegen einer ausführlichen Diskussion von r(x) sei auf Pra (1964) oder Arrow (1970, S. 90–120) verwiesen. 86 4. Entscheidungen bei Risiko Dass sich r(x) als Risikoaversionsmaß eignet, zeigt weiterhin das von Pra (1964) bewiesene Resultat: Sa 4.1: Sind ri(x) und πi(v, X) die Risikoaversion und die Risikoprämie des Entscheidungsträgers i (i = 1, 2), so gilt r1(x) ≧ r2(x) für alle x ∈ R genau dann, wenn π1(v, X) ≧ π2(v, X) für alle v ∈ R und jede beliebige Zufallszahlung X gilt. Mit anderen Worten: Der im Sinne des Arrow-Pra -Maßes r(x) risikoaversere Entscheidungsträger verlangt eine höhere Risikoprämie und ist bereit, für eine Versicherung die jeweils höhere Versicherungsprämie zu zahlen.¹⁵ Formal sind die Risikoprämien π und die Risikoaversion r(x) auch für einen risikofreudigen Entscheidungsträger definiert; sie werden dann allerdings negativ. Damit erhalten wir folgende Tabelle: Verlauf des Bernoulli- Nu ens Relation zwischen E(X) und s Einstellung zum Risiko Risikoprämie Arrow- Pra - Maß linear s = E(X) risikoneutral π = 0 r(x) = 0 streng konkav s < E(X) risikoavers π > 0 r(x) > 0 streng konvex s > E(X) risikofreudig π < 0 r(x) < 0 Zwei Klassen von Bernoulli-Funktionen lassen sich analytisch besonders gut behandeln und führen bei entscheidungstheoretischen Fragestellungen oft zu leicht berechenbaren expliziten Lösungen: a) Die CARA (= constant absolute risk aversion)-Klasse besi t, wie der Name besagt, jeweils ein konstantes Arrow-Pra -Maß. Sie wurde bereits oben betrachtet. Beziehen wir den Grenzfall verschwindender Risikoaversion mit ein (und klammern wir die selten verwendeten risikofreudigen Varianten aus), so ist die CARA-Klasse durch u(x) = { −e−αx, für α > 0 x, für α = 0 definiert. CARA-Nu enfunktionen (und nur diese) haben den Vorteil, dass das (additive) Anfangsvermögen v beim Vergleich verschiedener Endvermögen v + X, v + Y etc. irrelevant ist. Das heißt, man kann sich auf den Vergleich der Zuwächse X, Y etc. beschränken, was eine externe Beratung wesentlich vereinfacht. b) Die CRRA (= constant relative risk aversion)-Klasse ist durch die Bedingung charakterisiert, dass die absolute Risikoaversion hyperbolisch gemäß αx abnimmt. Dabei sind nur positive Argumente x zugelassen; dies schränkt die Anwendbarkeit kaum ein, da x meist die Bedeutung von Endvermögens- ¹⁵ Die maximal akzeptable Versicherungsprämie beträgt π(v, X) − E(X). 4.7 Begründung des Bernoulli-Prinzips 87 positionen hat. Sieht man wieder von risikofreudigen Varianten ab, so ist α nichtnegativ. Die CRRA-Klasse ist dann durch u(x) = x1−α 1 − α , für α ̸= 1 ln x, für α = 1 definiert. Da man x · r(x) als relative (oder proportionale) Risikoaversion bezeichnet, bedeutet der Parameter α für die CRRA-Klasse die konstante relative Risikoaversion. CRRA-Nu enfunktionen (und nur diese) haben den Vorteil, dass beim Vergleich von Endvermögen v · X, v · Y etc., die sich multiplikativ aus einem Anfangsvermögen v und der Bru orendite X, Y etc. ergeben, das Anfangsvermögen v irrelevant ist. Das heißt, man kann sich auf den Vergleich der Bru orenditen X, Y etc. beschränken, was Investitionsund sonstige Anlageentscheidungen beträchtlich vereinfachen kann. Infolgedessen befassen sich auch zahlreiche Arbeiten mit Portfolio-Problemen, bei denen das Endvermögen per CRRA-Nu enfunktion bewertetwird. Exemplarisch sei auf Bamberg et al. (2006) sowie die dort zitierte Literatur verwiesen. Lässt man für die absolute Risikoaversion r(x) einen etwas allgemeineren Verlauf als bei a) und b) zu, nämlich r(x) = 1 β + γ · x , so wird hierdurch die zweiparametrige HARA (= hyperbolic absolute risk aversion)-Klasse definiert. Für den Sonderfall γ = 0 erhält man die CARA-Klasse und für den Sonderfall β = 0 die CRRA-Klasse. Da der Kehrwert von r(x) oft als Risikotoleranz bezeichnet wird, kann die HARA-Klasse auch durch eine linear verlaufende Risikotoleranz charakterisiert werden. Sind sowohl β als auch γ von null verschieden, so ist der oben hervorgehobene Vorteil der Irrelevanz des Anfangsvermögens allerdings nicht mehr gegeben. 4.7 Begründung des Bernoulli-Prinzips Fasst man das Bernoulli-Prinzip deskriptiv, das heißt als eine Hypothese über das tatsächliche Verhalten von Entscheidungsträgern in Risikosituationen auf, so kann man unter einer Begründung eigentlich nur eine empirische Bestätigung dieser Hypothese verstehen. Diese Hypothese beinhaltet eine All- Aussage: Jeder Entscheidungsträger besi t eine Nu enfunktion u, so dass er in allen Risikosituationen seine Aktionen anhand des zugehörigen Nu enerwartungswertes beurteilt. Deshalb ist eine empirische Bestätigung im Sinne einer Verifikation (wie bei jeder All-Aussage) bekanntlich unmöglich. Vermutlich wird man bei hinreichend umfangreichen Untersuchungen eher zu einer Falsifikation gelangen. Eine Theorie, die so perfekt ist, dass sie das tatsächliche Verhalten in Risikosituationen mit Sicherheit zu prognostizieren gestat-

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.