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4.4 Empirische Ermittlung des Bernoulli-Nutzens in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 90 - 92

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_90

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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4.4 Empirische Ermittlung des Bernoulli-Nutzens 79 sichtigt man dagegen nur die aus dem Future-Engagement resultierenden Zahlungen als relevante Ergebnisse, so wird ein erhebliches Risiko vorgetäuscht; dasselbe gilt, wenn man nur die aus dem DAX-Portfolio resultierenden Ergebnisse betrachtet. Andererseits bringt die Verwendung von Endvermögenspositionen den Nachteil mit sich, dass Unternehmensberater, Anlageberater und andere externe Berater ihren Mandanten „in die Tasche“ schauen müssten, was in vielen Fällen auf eine geringe Akzeptanz stoßen könnte. 4.4 Empirische Ermittlung des Bernoulli-Nutzens Die Nu enfunktion u eines Entscheidungsträgers, der sich in Risikosituationen (bewusst oder unbewusst) gemäß dem Bernoulli-Prinzip verhält, lässt sich nach einer auf Ramsey (1931) zurückgehenden Idee empirisch folgendermaßen ermi eln: a) Dem Entscheidungsträger werden hypothetische Entscheidungssituationen vorgelegt. Dabei genügt es, sich auf Entscheidungssituationen von relativ einfacher Struktur zu beschränken, nämlich auf solche, bei denen nur zwei Aktionen a1 und a2 zur Deba e stehen, wobei a1 mit Sicherheit die Konsequenz x zur Folge hat und a2 mit den Wahrscheinlichkeiten p bzw. 1 − p die Konsequenzen y bzw. v zur Folge hat, vgl. die Baumdarstellung in Abbildung 4.1. p 1 1 – a2 a1 v y p x Abb. 4.1: Empirische Ermi lung des Bernoulli-Nu ens b) Die Wahrscheinlichkeit p wird solange variiert, bis der Entscheidungsträger zwischen a1 und a2 indifferent wird. c) Aus dem registrierten Verhalten des Entscheidungsträgers wird u berechnet. Die Punkte b) und c) bedürfen noch einer näheren Erläuterung. Die beiden Konsequenzen y und v seien fest vorgegeben und dem Entscheidungsträger nicht gleichwertig. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann deshalb y ≺ v 80 4. Entscheidungen bei Risiko angenommen werden. Handelt es sich um monetäre Ergebnisse, so bedeutet dies natürlich y < v. Bezüglich der Konsequenz x ist dann sinnvollerweise nur der Fall y ≺ x ≺ v zu betrachten. Durch geeignete Verfügung über die Symbole x, y, v ist dieser Fall stets erreichbar. Sobald p den Wert 0 hat, hat a2 mit Sicherheit die a raktive Konsequenz v zur Folge, so dass a2 gegenüber a1 vorgezogen wird; ist p dagegen gleich 1, so wird a1 vorgezogen. Es kann deshalb erwartet werden (vgl. auch Abschni 4.7), dass der Entscheidungsträger bei einer geeignet vorgegebenen Wahrscheinlichkeit p, die es empirisch auszuloten gilt, zwischen a1 und a2 indifferent wird; x ist dann das Sicherheitsäquivalent der mit a2 verknüpften Zufallsvariablen. Für diesen Wert p müssen nach dem Bernoulli- Prinzip die beiden Nu enerwartungswerte, also einerseits u(x) · 1 und andererseits u(y) · p + u(v) · (1 − p) übereinstimmen. Die Gleichung u(x) = u(y) · p + u(v) · (1 − p) gesta et eine nummerische Bestimmung von u(x), wenn eine geeignete Normierung derNu enfunktion verwendetwird. Se tman nämlich für die beiden Konsequenzen y und v die Nu enwerte durch u(y) = 0 und u(v) = 1 fest, so ergibt sich u(x) = 1 − p . Variiert man nun noch x und bezeichnet man die Wahrscheinlichkeit, die a1 und a2 gleichwertig macht, mit p(x), so ist mit u(x) = 1 − p(x) der Verlauf der Nu enfunktion u für alle Konsequenzen x ermi elt, die obigem Fall genügen. Eine Reihe von Arbeiten¹⁰ berichten über experimentelle Nu enmessungen, die nach dieser oder modifizierten Methoden durchgeführt wurden bzw. über Erkenntnisse, die auf Grund empirischer Daten hinsichtlich des approximativen Verlaufs von Nu enfunktionen gewonnen wurden. Empirisch orientierte Arbeiten, die sich kritisch über die Tragfähigkeit des Bernoulli-Prinzips zur Erklärung des Verhaltens in Risikosituationen äußern, stammen insbesondere z. B. von Allais (1953) und Kahneman/Tversky (1979). ¹⁰ Vgl. z. B. Friedman/Savage (1948); Edwards (1953); Grayson (1960); Farrar (1962); Kahneman/Tversky (1979); Schauenberg (1990). 4.5 Diskussion einiger Nutzenfunktionen 81 4.5 Diskussion einiger Nutzenfunktionen Wir se en voraus, dass die Handlungskonsequenzen x monetäre Ergebnisse sind und die Nu enfunktion u durch u(0) = 0 und u(1) = 1 normiert ist. In einem (x, u)-Koordinatensystem verläuft die Nu enfunktion also durch die Punkte (0, 0) und (1, 1). Sie ist sicherlich monoton steigend, da überflüssige Geldbeträge ohne Mühe weggeworfen werden könnten. Die weiteren Eigenschaften hängen vom speziellen Entscheidungsträger ab. Wir wollen folgende vier charakteristische Fälle betrachten: a) u ist linear b) u ist konvex c) u ist konkav d) u ist aus konvexen und konkaven Stücken zusammengese t. u(x) x 1 1 Abb. 4.2: Lineare Nu enfunktion Zu a): Wegen der Normierung ist u(x) = x. Ein Entscheidungsträger mit dieser Nu enfunktion beurteilt seine Aktionen allein auf Grund des Erwartungswertes der Ergebnisse, denn dieser Erwartungswert stimmt mit dem Nu enerwartungswert überein. Eine Aktion, die mit den Wahrscheinlichkeiten pi die Ergebnisse xi zur Folge hat, ist demnach einer Aktion gleichwertig, die n∑ i=1 xipi als sicheres Ergebnis zur Folge hat; der Ergebniserwartungswert stimmt mit dem Sicherheitsäquivalent überein. So ist z. B. eine Fifty-fifty-Chance auf 0 bzw. 500 Euro dem sicheren Ergebnis von 250 Euro gleichwertig und dem sicheren Ergebnis von 200 Euro vorzuziehen. Demnach wäre im Eingangsbeispiel von Abschni 4.3 die Aktion a6 der Aktion a4 vorzuziehen. Ein Entscheidungsträger mit einer linearen Nu enfunktion wird Versicherungsabschlüssen gegenüber indifferent sein, wenn die Prämie mit dem Schadenserwartungswert übereinstimmt; ist die Prämie niedriger (bzw. höher) als der Schadenserwartungswert, so wird er gern (bzw. bestimmt nicht) abschließen. Der Entscheidungsträger

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.