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3.5 Sonstige Lösungsmöglichkeiten für multikriterielle Probleme in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 69 - 75

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_69

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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3.5 Sonstige Lösungsmöglichkeiten für multikriterielle Probleme 57 kann nur Gültigkeit besi en, wenn der Entscheidungsträger die verschiedenenAbweichungen tatsächlich – unabhängig vom jeweils betrachteten Ziel und unabhängig davon, ob es sich um Zielüberschreitungen oder Zielunterschreitungen handelt – als gleich gravierend erachtet. Diese Einschränkung lässt sich allerdings leicht dadurch ausräumen, dass das Kriterium kombiniert mit einer Zielgewichtung angewendet wird, indem den verschiedenen Abweichungen je nach ihrer Richtung und je nach Dringlichkeit der betreffenden Zielgröße ein spezifischer Gewichtungsfaktor zugemessen wird (Ijiri, 1965, S. 45–50). In Fall 2 wird angenommen, dass die Planziele den maximalen individuellen Werten der Zielkriterien entsprechen. Nunmehr ist die Aktion a5 optimal, sie ist zugleich auch effizient. Zum selben Ergebnis würde eine Zielgewichtung führen, bei der die Ziele jeweils mit gleichen Gewichtungsfaktoren bewertet würden. Diese Übereinstimmung ist keineswegs zufällig, denn immer, wenn bei der Minimierung der Summe der absoluten Abweichungen die Zielvorgabenmindestens gleich den individuell optimalen Zielwerten gese t werden, ist diese Entscheidungsregel lediglich ein Spezialfall der Zielgewichtung (nämlich eine Zielgewichtung mit gleich großen Gewichtungsfaktoren). 3.5 Sonstige Lösungsmöglichkeiten fürmultikriterielle Probleme Bei gegebener Entscheidungsregel und Verfügbarkeit aller zu ihrer Implementierung erforderlichen Informationen ist die Auswahl einer optimalen Aktion lediglich ein technisches Problem, das bei kontinuierlichem Aktionenraum oder „großem diskreten“ Aktionenraum allerdings sehr aufwändig sein kann und EDV-Unterstü ung erfordert. Prinzipielle Probleme treten dann auf, wenn • Informationen über die Präferenzen des Entscheidungsträgers fehlen oder vorhandene Informationen widersprüchlich sind, • keine Entscheidungsregel vorgegeben ist, sondern eine geeignete Entscheidungsregel (aus dem Katalog der in Abschni 3.4 exemplarisch besprochenen sowie der Vielzahl anderer denkbarer Regeln) auszuwählen ist; dieses Auswahlproblem stellt ein so genanntes Metaentscheidungsproblem dar. Mit beiden Problemen hat sich die entscheidungstheoretische Literatur beschäftigt. Zur Lösung des Metaentscheidungsproblems gibt es zwar keine Patentrezepte, jedoch einige axiomatisch begründete Fingerzeige. So beinhalten einige Theoreme (vgl. z. B. Keeney/Raiffa, 1999; French, 1986) die Aussage, dass genau dann, wenn die starke Präferenzunabhängigkeit sowie gewisse Zusa prämissen gelten, eine additive Entscheidungsregel vorliegen muss, das heißt Φ die Form Φ(a) = r∑ p=1 up(xp) besi en muss, wobei (x1, . . . , xr) den zur Aktion a gehörenden Ergebnisvektor darstellt und die univariaten Bewertungsfunktionen u1, . . . , ur die partiellen Nu enfunktionen bezüglich der Einzelziele darstellen. Unter noch einschnei- 58 3. Entscheidungen bei Sicherheit denderen Forderungen (z. B. konstante Austauschraten zwischen jedem Paar von Zielen) lässt sich sogar die lineare Entscheidungsregel Φ(a) = r∑ p=1 gpxp , die uns als Zielgewichtung aus Abschni 3.4 vertraut ist, axiomatisch begründen. Wenn diese lineare Form ausgewählt wird, so lassen sich die Gewichte gp leicht bestimmen, sobald der Entscheidungsträger Fragen des folgenden Typs zu beantworten gewillt ist: Um wie viel muss das Ergebnis bezüglich Ziel 1 erhöht werden, um eine bestimmte Reduktion des Ergebnisses bezüglich Ziel 2 zu kompensieren? Bezeichnen wir nämlich die Reduktion des Ergebnisses bezüglich Ziel 2 mit ∆ und die kompensierende Erhöhung des Ergebnisses bezüglich Ziel 1 mit α · ∆, so ergibt sich aus der Indifferenz (x1, x2, x3, . . . , xr) ∼ (x1 + α · ∆, x2 − ∆, x3, . . . , xr) unter Verwendung der linearen Entscheidungsregel die Gleichung r∑ p=1 gpxp = r∑ p=1 gpxp + ∆(α · g1 − g2) , woraus sich die Austauschrate α = g2 g1 zwischen Ziel 1 und Ziel 2 ergibt. Aus den Austauschraten sind demnach die Gewichte (bis auf einen irrelevanten Proportionalitätsfaktor) eindeutig bestimmbar. Lässt sich eine derartige Befragung auch noch mit Variation der Ergebnisniveaus xp durchführen, so kann man darüber hinaus auch testen, ob die Entscheidungsregel richtig ausgewählt wurde. Ist beispielsweise obige Austauschrate α von∆ oder von der Größe x1 oder x2 abhängig, so kann die lineare Form, das heißt eine konstante Zielgewichtung, nicht verwendet werden. Ist α sogar vom Niveau der Ergebnisse x3, . . . , xr abhängig, so darf nicht einmal die allgemeine additive Entscheidungsregel verwendet werden. Aus theoretischer Sicht handelt es sich bei der additiven Form zwar nur um eine spezielle Familie multikriterieller Entscheidungsregeln. Die praktischen Ausgestaltungsmöglichkeiten sind jedoch so vielfältig, dass man es de facto mit einer Fülle von einzelnen Entscheidungsregeln zu tun hat. Dabei werden die partiellen Nu enfunktionen up oft in einen Gewichtungsfaktor gp und eine normierte partielle Nu enfunktion ũp zerlegt, so dass man zur Form Φ(a) = r∑ p=1 gpũp(xp) gelangt, deren Anwendung meist als Nu wertanalyse bezeichnet wird. Ausgestaltungsdetails betreffen den Katalog der zu erfassenden Ziele, eine even- 3.5 Sonstige Lösungsmöglichkeiten für multikriterielle Probleme 59 tuelle Zerlegung der Ziele in Subziele, die Messmethoden für die Ergebnisse, die Wahl der Normierung von ũp usw.¹⁰ Auch für den eingangs angesprochenen Fall, dass Informationen über die Präferenzen des Entscheidungsträgers fehlen oder widersprüchlich sind, bietet die einschlägige Literatur Lösungsvorschläge an. Fehlende Informationen können im Prinzip durch Befragungen des Entscheidungsträgers beschafft werden. Dabei tri jedoch – falls eine Befragung überhaupt möglich ist – ein Dilemma auf: Legt man sich vorab auf eine handliche Entscheidungsregel (etwa die additive Entscheidungsregel) fest, um den Befragungsaufwand in vertretbaren Grenzen zu halten, so ist die Gefahr einer Fehlspezifizierung relativ groß. Lässt man die Entscheidungsregel Φ zur Vermeidung von Spezifikationsfehlern jedoch noch ganz allgemein, so ist es selbst unter Laborbedingungen fast hoffnungslos, Φ komple zu ermi eln. Weber et al. (1987) berichten über Möglichkeiten und Probleme der experimentellen Bestimmung einer additiven Entscheidungsregel und diskutieren den Spli ing-Bias (Versuchspersonen messen einem Ziel ein höheres Gewicht bei, wenn es ohne substanzielle Änderungen in mehrere Subziele zerlegt wird). Was unter „widersprüchlichen Präferenzen“ des Entscheidungsträgers zu verstehen ist, bedarf noch gewisser Erläuterungen. Wir wollen zunächst wieder an das Beispiel der (in dem Ergebnisvektor) linearen Entscheidungsregel anknüpfen. Wir ha en festgestellt, dass die Austauschrate zwischen Ziel 1 und Ziel 2 α = α12 = g2 g1 beträgt. Ganz analog erweist sich α23 = g3 g2 als Austauschrate zwischen Ziel 2 und Ziel 3. Bildet man das Produkt dieser Austauschraten, so ergibt sich die Austauschrate zwischen Ziel 1 und Ziel 3: α12 · α23 = g2 g1 · g3 g2 = g3 g1 = α13 . Diese rechnerische Gleichheit braucht beim Einse en der (in drei Befragungen separat ermi elten) empirischen Werte α̂12, α̂23, α̂13 natürlich nicht zwangsläufig zu gelten. Ist die Gleichheit verle t, so kann man im Wesentlichen zwei Schlüsse ziehen. Zum einen könnte man folgern, dass die lineare Entscheidungsregel inadäquat ist; dieser Schluss wurde oben (bei einem etwas anders gelagerten Widerspruch) gezogen. Zum anderen könnte man aber auch argumentieren, dass die lineare Entscheidungsregel dennoch brauchbar ist – etwa im Sinne einer besten Approximation oder einer zumindest für praktische Zwecke brauchbaren Approximation –, und dass die Widersprüche durch ¹⁰ Eine bebilderte Broschüre über die Nu wertanalyse in der Straßenplanung (mit den drei Zielen Umwelt, Raumordnung, Verkehr sowie zahlreichen Subzielen und Messvorschriften für die Ergebnisse) wird beispielsweise vom Hessischen Landesamt für Straßenbau, Wiesbaden, an Interessenten verschickt. Einschlägige Monografien sind Zangemeister (1976) und Lillich (1992). 60 3. Entscheidungen bei Sicherheit die beschränkte Informationsverarbeitungskapazität oder durch die anderweitig eingeschränkte Rationalität des Entscheidungsträgers bedingt sind. Wenn man diesen zweiten Schluss zieht, so muss man versuchen, die Inkonsistenzen rechnerisch zu eliminieren, wofür regressionsanalytische oder verwandte Techniken infrage kommen. Ein bekanntes multikriterielles Verfahren, bei dem empirisch festgestellte Inkonsistenzen rechnerisch eliminiert werden, wird im Folgenden kurz skizziert. 3.5.1 Saatys Methode (Analytic Hierarchy Process) Wie erwähnt, handelt es sich um einen Ansa , der inkonsistente empirische Vergleichsurteile als Ausgangspunkt nimmt. Der Entscheidungsträger muss bei der Anwendung dieser Methode pro Ziel eine ganze Matrix von Paarvergleichsurteilen zwischen den Ergebnissen aufstellen (z. B. das Matrixelement (1, 2) gleich 5 se en, wenn das erste Ergebnis wesentlich bedeutender oder besser als das zweite Ergebnis ist; entsprechend muss dann das Matrixelement (2, 1) gleich dem Reziproken, also 15 , gese t werden). Die Vorschrift, das gespiegelte Matrixelement durch den reziproken Wert zu erse en, vermeidet zwar einige denkbare Inkonsistenzen. Die r + 1 empirisch ermi elten Matrizen (r für den Vergleich der Ergebnisse pro Ziel, eine für den entsprechenden Vergleich der Ziele untereinander) enthalten in der Regel jedoch noch relativ viele andere Inkonsistenzen. Saaty „bügelt“ diese Inkonsistenzen soweit wie möglich aus, indem er pro Ziel eine normierte Skala konstruiert, bei der die Inkonsistenzen (in einem bei ihm präzisierten Sinne) minimiert werden; dies definiert für ihn die normierten partiellen Nu enfunktionen ũp. Dieselbe Prozedur (die technisch auf die Ermi lung des Eigenvektors zum größten Eigenwert der Paarvergleich-Matrix führt) wird schließlich auch benu t, um die Zielgewichte gp zu konstruieren. Mit diesen Konstrukten wird dann eine gewöhnliche Nu wertanalyse durchgeführt. Für detailliertere Ausführungen sei auf die Literatur verwiesen, etwa auf Schneeweiß (1991, 1992). Eine Anwendung auf die Unternehmensbewertung schlägt Hafner (1988) vor. In Saatys Monografie (1980) ist die Methode naturgemäß sehr optimistisch und auch mi els vieler Beispiele dargestellt. Wegen einer kritischen Darstellung sei auf French (1986) verwiesen, der einige Schwachpunkte diskutiert und auf erforderliche Prämissen hinweist, die in Saatys Darstellung wenig transparent gemacht werden. 3.5.2 Interaktive Methoden Ist die Vorab-Spezifikation einer Entscheidungsregel entweder zu schwierig oder mit zuviel Willkür behaftet, so bietet es sich an, auf eine solche Vorab- Spezifikation zu verzichten. Die so genannten interaktiven Verfahren knüpfen an diesem Punkt an und generieren schri weise Aktionen a(1), a(2), . . . , wobei a(i+1) vom Entscheidungsträger als Verbesserung gegenüber der Aktion a(i) empfunden wird. Bei jedem Schri wird der Entscheidungsträger in gewisser Weise einbezogen. Er muss beispielsweise lokale Aussagen über Austauschra- 3.5 Sonstige Lösungsmöglichkeiten für multikriterielle Probleme 61 ten machen oder (mit der bisher errechneten Aktion a(i) bereits realisierbare) Anspruchsniveaus geeignet anheben usw. Schließlich muss sich der Entscheidungsträger auch darüber äußern, wann die schri weise Prozedur abgebrochen werden soll. Die Verfahren unterscheiden sich in der Ausgestaltung der Einzelschri e und sind meist nach ihren Schöpfern benannt, z. B. Geoffrion- Verfahren, Zionts-Wallenius-Verfahren, Fandel-Verfahren; eine Ausnahme von dieser Nomenklatur stellt das STEM-Verfahren (= Step Method) dar. Typisch ist für alle diese Methoden, dass der Aktionenraum entweder ein Kontinuum oder eine „sehr große diskrete“ Menge ist, so dass die Analyse eine Computerunterstü ung erforderlich macht und auch die Suche nach effizienten Aktionen nich rivial ist. Die Verfahren sind in der Regel so geartet, dass alle schri weise vorgeschlagenen Aktionen effizient sind. Wegen der vielfältigen technischen Ausgestaltungen der interaktiven Verfahren muss auf die Literatur verwiesen werden, beispielsweise auf Isermann (1979); Winkels (1980); Dinkelbach (1982); Habenicht (1984). Ferner sei auf die Proceedings-Bände der seit 1975 sta findenden internationalen Konferenzen über „Multiple Criteria Decision Making“ verwiesen, vgl. etwa Hansen (1983) oder Fandel/Gal (1997). 3.5.3 Prävalenzrelationen; Electre Seit Ende der 1960er Jahre wurde in Frankreich – insbesondere von Roy – eine Gegenposition zu denjenigen multikriteriellen Ansä en aufgebaut, die die Begründung und Anwendung einer Entscheidungsregel Φ zum Ziel haben. Das wesentliche Kennzeichen dieser Gegenposition besteht darin, Unvergleichbarkeiten zwischen bestimmten Aktionen nicht nur a priori zu konzedieren, sondern auch noch als Resultat der Entscheidungsanalyse zu akzeptieren. Die aus dieser Schule entstandenen Verfahren sind unter der Bezeichnung Electre (I, II, III usw.) bekannt geworden und in erster Linie in den Ländern des französischen Sprachraums verbreitet. Wir wollen uns hier auf eine kurze Skizzierung der erforderlichen Inputdaten und die typische Form des Resultats einer Electre-Prozedur beschränken. Wegen Details muss ebenfalls wieder auf die Literatur, z. B. Roy (1980) sowie Crama/Hansen (1983), verwiesen werden. Wie bei jedem multikriteriellen Entscheidungsproblem müssen zuerst der Entscheidungsraum und der Katalog der relevanten Ziele fixiert werden. Anschließend muss der Entscheidungsträger folgende Präferenzdaten liefern: • Für jede Aktion und jedes Ziel eine Bewertung, wie gut die Aktion in Bezug auf das jeweilige Ziel ist. Die entstehende Nu enmatrix wird üblicherweise als Matrix der Score-Werte bezeichnet. (Damit man diese sinnvollerweise aufstellen kann, ist die Prämisse der Nu enunabhängigkeit erforderlich.) • Für jedes Ziel ein Gewicht, das die „Bedeutung“ der jeweiligen Zielse ung widerspiegelt. • Für jedes Ziel eine Indifferenzschwelle (oder allgemeiner: eine Indifferenzschwellenfunktion), aus der ersehen werden kann, welche Scores noch als gleichwertig gelten können. 62 3. Entscheidungen bei Sicherheit • Für jedes Ziel eine Präferenzschwelle (oder eine Präferenzschwellenfunktion), die abklärt, wann ein Score-Wert „strikt besser“ als ein anderer ist. • Für jedes Ziel eine Vetoschwelle (oder Vetoschwellenfunktion), die abklärt, wann ein Score-Wert „erheblich besser“ als ein anderer ist. Auf Grund dieser Präferenzdaten (und einiger hier nicht dargestellter Verfahrensschri e) wird eine graduelle Prävalenzrelation berechnet. Gemäß dieser Relation wird jedem Paar ai, aj von Aktionen eine Zahl p(ai, aj) ∈ [0; 1] zugeordnet mit der Bedeutung: p(ai, aj) ist der „Glaubwürdigkeitsgrad für die Hypothese, dass bezüglich der Präferenzen des Entscheidungsträgers die Aktion ai mindestens so gut wie die Aktion aj ist.“ Das heißt, je größer p(ai, aj) ist, desto verlässlicher ist die Aussage, dass ai mindestens so gut wie aj ist. Die Prävalenzwerte kann man in einer Prävalenzmatrix sammeln, womit ein wesentlicher Teil der Electre-Prozedur beendet ist. Beispielhaft sei die in Roy (1980) errechnete Prävalenzmatrix für einen neunelementigen Aktionenraum wiedergegeben: 1 0,6 0,8 0,8 1 1 0,5 1 0,8 0,22 1 0,22 0,8 0,8 0 0,9 1 1 0 0 1 1 0 0,8 0 0,8 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,8 1 0 0 0 0 0,9 0,5 0,8 0,8 0,9 1 0,23 1 0,8 0,22 1 0,22 0,8 0,9 0 1 1 1 0,12 0,5 0,06 0,6 0,7 0 0,23 1 0,8 0 0 0,22 0,8 0 0 0 0,8 1 Der Leser möge selbst urteilen, ob es zweckmäßig ist, wenn eine Stabsabteilung diese Matrix ohne weitere Kommentierung oder Auswertung der Geschäftsführung präsentiert. Üblicherweise schließen sich deshalb auch weitere Auswertungsschri e an. So kann mithilfe einer vom Entscheidungsträger vorgegebenen (oder am „grünen Tisch“ ausgedachten) Prävalenzschwelle λ obige Matrix in eine binäreMatrix überführt werden, indem jedesMatrixelement≧ λ in eine 1 und jedes kleinere in eine 0 umgeschrieben wird. Diese binäre Matrix kann durch einen Grafen veranschaulicht werden, dessen Knoten die Aktionen sind und dessen Pfeile den akzeptablen Prävalenzgraden (das heißt den 1-Elementen der Matrix) entsprechen. Auch die geistige Verarbeitung des Grafen dürfte so manchen Entscheidungsträger überfordern. Deshalb schließen sich – je nach Electre-Version – weitere Verarbeitungsschri e an. Beispielsweise können auf Grund der Binärmatrix Äquivalenzklassen von Aktionen definiert und in unserem 9-Aktionen-Fall ein Resultat des folgenden Typs deduziert werden: Klassen gleichwertiger Aktionen sind {a1, a3, a6}, {a2, a7}, {a4}, {a5}, {a8, a9}; ferner ist keine Aktion der ersten Klasse mit einer Aktion der zweiten Klasse vergleichbar (so sind z. B. a1 und a2 unvergleichbar); jede Aktion aus den beiden ersten Klassen ist besser als jede Aktion aus den restlichen drei Klassen. 3.6 Aufgaben 63 3.6 Aufgaben Die nachfolgenden fünf Aufgaben dienen der Einübung der in Kapitel 3 behandelten Konzepte. Lösungen zu diesen Aufgaben findet der interessierte Leser im Anhang ab Seite 257. Weitere Übungsaufgaben, darunter 21 zu Entscheidungen bei Sicherheit, inklusive ausführlicher Lösungen können beispielsweise Bamberg et al. (2012a) entnommen werden. .Aufgabe 3.1 Eine monopolistische Unternehmung bietet ein Produkt auf dem Markt an, wobei folgende Nachfragefunktion gilt: x = 40 − p . Dabei ist x die zum Preis p abse bare Menge. Die Kostenfunktion lautet: K = 100 + 10x . Da das Produkt neu auf demMarkt ist, verfolgt die Unternehmung neben dem Ziel der Gewinnmaximierung auch das Ziel der Umsa maximierung. Dabei gilt, dass das Gewinnziel zum Umsa ziel im Verhältnis 4 : 1 bewertet wird. Welcher Angebotspreis ist optimal? .Aufgabe 3.2 Eine Unternehmung fertigt zwei Produkte I und II zu xMengeneinheiten bzw. zu y Mengeneinheiten. Produkt I erzielt einen Deckungsbeitrag von 5 Euro je Einheit, Produkt II einen Deckungsbeitrag von 10 Euro je Einheit. Maximal abse bar sind in der betrachteten Periode 100 Einheiten von I und 80 Einheiten von II. Für beide Produkte werden Vorprodukte 1 und 2 benötigt, die in der Unternehmung selbst hergestellt werden und in beschränktem Maß zur Verfügung stehen. Vom Vorprodukt 1 (2) können höchstens 740 (980) Einheiten gefertigt werden. Produkt I benötigt für eine Einheit 5 (9) Einheiten des Vorproduktes 1 (2), Produkt II benötigt von beiden Vorprodukten je 8 Einheiten. Da die Unternehmung langfristig die besseren Gewinnchancen beim Produkt I sieht, verfolgt sie neben dem Ziel der Deckungsbeitragmaximierung das Ziel, einen möglichst großen Marktanteil des Produktes I zu erzielen. Dabei schä t sie einenDeckungsbeitrag von 4 Euro ebenso hochwie denAbsa einer Einheit des Produktes I. Wie lautet der optimale Produktionsplan?

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.