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3.4 Spezielle Entscheidungsregeln für multikriterielle Entscheidungsprobleme in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 64 - 69

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_64

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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52 3. Entscheidungen bei Sicherheit Aktionen zusammengefasst werden.⁶ Dieses Amalgamationsproblem ist eng mit dem in Kapitel 8 untersuchten Problem der Aufstellung einer Sozialwahlfunktion für die Entscheidungsfindung in Entscheidungsgremien verknüpft. Die r Ziele entsprechen dabei den r Mitgliedern des Entscheidungsgremiums. Das Problem der Einigung der einzelnen Mitglieder des Gremiums auf eine gemeinsame Aktion ist nach der Aufstellung einer Sozialwahlfunktion gelöst, mi els derer die individuellen Nu envorstellungen zu einer kollektiven Rangordnung zusammengefasst werden. Wegen dieser Problemanalogie lassen sich für die Lösung von Entscheidungsproblemen bei mehreren Zielse ungen prinzipiell die im Rahmen der Theorie kollektiver Entscheidungen untersuchten Sozialwahlfunktionen anwenden. Wie in Kapitel 8 noch deutlicher ausgeführt wird, stößt die Konstruktion befriedigender Sozialwahlfunktionen jedoch auf große Schwierigkeiten. Deshalb wollen wir auf diese Analogie nicht weiter zurückgreifen, sondern im Folgenden nur einige für Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielse ungen besonders wichtig erscheinende Verknüpfungsregeln darstellen.⁷ 3.4 Spezielle Entscheidungsregeln für multikriterielle Entscheidungsprobleme Eine in Entscheidungsmodellen häufig angewendete Möglichkeit zur Lösung von Zielkonflikten ist die Zielgewichtung. Die individuellen Zielgewichtungsfaktoren sindMaßstabsfaktoren, die das Verhältnis der Nu enwerte der einzelnen Ergebnisse zum Gesamtnu enwert der Aktionen fixieren. Die Relationen der Zielgewichtungsfaktoren, die als konstante Äquivalenzziffern (konstante Zielgewichte) oder als Äquivalenzfunktionen (variable Zielgewichte) ausgedrückt werden können, geben die Grenzrate der Substitution der betrachteten Zielse ungen an. Die Zielgewichtung se t somit eine gegenseitige Substituierbarkeit der Zielgrößen und dementsprechend eine kardinale Nu enmessung voraus. Der Entscheidungsträger muss Austauschregeln zwischen den verschiedenen Zielkriterien spezifizieren, also für je zwei Ziele angeben, wie viel Mehrerfüllung des einen Ziels er einer bestimmten Mindererfüllung der anderen Zielse ungen für äquivalent hält. Mi els solcher Substitutionsregeln werden die mehrfachen Zielse ungen in eine übergeordnete, substitutionale Nu enfunktion überführt. Es wird realistisch sein anzunehmen, dass solche Austauschregeln immer nur in gewissen Grenzen angegeben werden können, wobei die Grenzen durch Nebenbedingungen gegeben sind, die an bestimmte Zielkriterien aus wirtschaftlichen Gründen zu stellen sind (z. B. Mindestgewinn). Formal besteht die Zielgewichtung in der Multiplikation der Nu enwerte uip mit nichtnegativen Gewichten gp (p = 1, 2, . . . , r) und Addition der so gewich- ⁶ Eine Reihe von Verknüpfungsregeln liefert automatisch eine effiziente Aktion; eine vorherige Aussonderung der ineffizienten Aktionen ist in diesen Fällen unnötig. ⁷ Vgl. zum Folgenden vor allem Dinkelbach (1982); Dinkelbach/Kleine (1996). 3.4 Multikriterielle Entscheidungsprobleme 53 teten Nu enwerte der Ergebnisse. Damit wird die Aktion ai durch Φ(ai) = r∑ p=1 gpuip bewertet. Die Aktion mit dem höchsten Gesamtnu enwert Φ(a) ist dann optimal. Zweckmäßigerweise werden die Gewichtungsfaktoren so normiert, dass ihre Summe 1 ergibt. Für unser nummerisches Beispiel sei angenommen, dass der Entscheidungsträger eine Dringlichkeitsordnung bezüglich der verfolgten Ziele im Verhältnis k1 : k2 : k3 : k4 = 4 : 3 : 2 : 1 besi t. Unter dieser Vorausse ung erweist sich, wie folgende Tabelle zeigt, Aktion a4 als optimal: Φ(ai) = r∑ p=1 gpuip a1 2,2 a2 5,0 a3 5,3 a4 9,3∗ a5 8,9 Einen Spezialfall der Zielgewichtung stellt die Zielunterdrückung dar. Bei diesem Verfahren wird das vom Entscheidungsträger am wichtigsten erachtete Ziel zum alleinigen Bewertungsmaßstab erhoben, es erhält den Gewichtungsfaktor 1; alle anderen Zielse ungen bleiben für die Entscheidungsfindung außer Betracht, ihnen werden Gewichtungsfaktoren von 0 zugeordnet. Eine solche Verhaltensweise erscheint – von den früher erwähnten Aspekten der Modellvereinfachung abgesehen (vgl. Abschni 3.2) – dann plausibel, wenn die an ein bestimmtes, für das Überleben der Unternehmungwichtiges Ziel gestellten Mindestanforderungen nicht erfüllt sind. So überwiegt nach verlustreichen Geschäftsjahren das Gewinnziel regelmäßig alle anderen Zielse ungen. Führt die Nu enbewertung auf der Basis allein des wichtigsten Ziels nicht zu einer eindeutigen Entscheidung, weil das Optimum in Bezug auf dieses Ziel durch mehr als eine Aktion erreicht wird, dann liegt es nahe, zusä lich das nächstwichtigste Zielkriterium für die Aktionenbewertung heranzuziehen usw. Eine solche Verfahrensweise führt zur Ordnung der Alternativen nach der Rangfolge der verschiedenen Zielkriterien entsprechend einer alphabetischen Anordnung von Worten in einem Lexikon; sie wird deshalb auch als lexikografische Ordnung oder lexikografische Gesamtnu enmessung bezeichnet. Zunächst dient allein das wichtigste Ziel für die Ordnung der Alternativen. Erst wenn mindestens zwei Alternativen bezüglich dieser Zielart den gleichen Erfüllungsgrad aufweisen, wird das zweitwichtigste Ziel zur Auswahl herangezogen. Stimmen zwei oder mehr Aktionen auch bezüglich dieses zweiten Kriteriums überein, wird die Erfüllung des dri en Ziels zum Ordnungsmerkmal erhoben usw. Im Gegensa zur Zielgewichtung beruht die lexikografische Nu enmessung nicht auf der Annahme der Substituierbarkeit der verschiedenen Zielgrößen. Sie se t lediglich eine ordinale Präferenzordnung bezüglich der verfolgten 54 3. Entscheidungen bei Sicherheit Zielkriterien voraus. Dies ist einerseits unter dem Gesichtspunkt der praktischen Anwendung zweifellos ein wichtiger Vorteil der lexikografischen Nutzenmessung gegenüber der Zielgewichtung. Andererseits führt die mangelnde Erfassung von Nu enunterschieden zwischen den Zielkriterien dazu, dass eine Aktion a1 einer Aktion a2 auch schon dann vorgezogen wird, wenn a1 gegenüber a2 in Bezug auf daswichtigste Ziel nur geringfügig überlegen, in Bezug auf alle anderen Zielse ungen hingegen erheblich unterlegen ist. Eine lexikografische Nu enmessung dürfte deshalb hauptsächlich für den Fall plausibel erscheinen, dass in Bezug auf den Realisationsgrad des jeweils wichtigeren Ziels strenge Mindestanforderungen bestehen. Wenn wir in unserem Beispiel als Präferenzordnung bezüglich der verschiedenen Zielse ungen k1 ≻ k2 ≻ k3 ≻ k4 annehmen, so ergibt sich folgende Rangfolge der Alternativen: a4 ≻ a5 ≻ a2 ≻ a3 ≻ a1 . Körth (1969) hat zur Lösung von linearen Programmierungsmodellen zur optimalen Produktionsplanung bei mehrfachen Zielse ungen in Anlehnung an das spieltheoretische Maximin-Kriterium (vgl. Abschni 5.3) eine Entscheidungsregel Φ eingeführt, nach der die Minimierung der maximalen relativen Abweichung vom optimalen Zielerreichungsgrad oder – was dasselbe besagt – die Maximierung des minimalen Zielerreichungsgrades erstrebt wird. Diese Entscheidungsregel beruht auf der Vorausse ung einer kardinalen (genauer: verhältnisskalierten) Nu enmessung. In der zweiten Version (Maximierung des minimalen Zielerreichungsgrades) wird der Erreichungsgrad eines Ziels kp durch den Quotienten aus tatsächlichem Nu enwert uip und erreichbarem optimalen Nu enwert maxh uhp gemessen. Diejenige Aktion ist optimal, die in Bezug auf den ungünstigsten Zielerreichungsgrad unter allen Aktionen ein Maximum aufweist. Formal lautet die Vorschrift, wenn m Aktionen unter r verschiedenen Zielse ungen zu bewerten sind: Gesucht ist die Aktion ai ∈ A mit der Eigenschaft uip ≧ w · max h uhp , wobei w = max q min p ( uqp maxh uhp ) ; die formelmäßige Darstellung der Entscheidungsregel bzw. der Körth-Regel lautet damit: Φ(ai) = min p ( uip maxh uhp ) . Zur Anwendung dieser Präferenzvorschrift auf unser Beispiel müssen zunächst die Nu enwerte der Entscheidungsmatrix durch die erwähnten Ziel- 3.4 Multikriterielle Entscheidungsprobleme 55 erreichungsquotienten erse t werden. Das Maximum der Zeilenminima gibt dann die Lösung des Entscheidungsproblems an: k1 k2 k3 k4 Zeilenminimum a1 0 12 7 20 1 3 0 a2 27 1 2 5 1 2 7 a3 27 1 2 7 10 1 2 2 7 a4 1 14 3 4 2 3 1 4 a5 57 1 2 1 1 2 1 2 ∗ Im Beispiel ergibt sich für w ein Wert von 12 . Aktion a5 ist also die optimale Handlungsalternative. Das heißt, eine Entscheidung für a5 gewährleistet in Bezug auf alle verfolgten Zielse ungen wenigstens einen Realisationsgrad von 50%, und es gibt keine Handlungsalternative, die einen höheren Prozentsa minimaler Zielrealisation zulässt. Wie erwähnt, entspricht die Maximierung des minimalen Realisationsgrades formal dem Maximin-Kriterium. Dementsprechend muss ersteres Kriterium prinzipiell ähnlichen Einwendungen unterliegen, wie sie gegen das Maximin-Kriterium vorgebracht werden können (vgl. Abschni 5.3). Zweifel an der Plausibilität des Kriteriums scheinen vor allem in den Situationen gerechtfertigt, in denen die nach dem Kriterium als optimal ausgezeichnete Aktion gegenüber den anderen Aktionen in Bezug auf das ungünstigste Ergebnis nur unerheblich besser, in Bezug auf die anderen Ergebnisarten dagegen erheblich schlechter abschneidet. Beispielsweise müsste in der folgenden Entscheidungssituation k1 k2 k3 k4 · · · kr a1 1 1 000 1 000 1 000 · · · 1 000 a2 1 001 1 1 1 · · · 1 gemäß der Entscheidungsregel von Körth Aktion a2 gewählt werden, eine sicherlich nicht sehr plausible Verhaltensweise. Abschließend soll auf eine Entscheidungsregel zur Lösung von Zielkonflikten eingegangen werden, die den Modellen des Goal-Programming zu Grunde liegt.⁸ Dieser Lösungsansa geht nicht wie die bisher dargestellten Verfahrensregeln von Extremierungszielen, sondern vielmehr von der Vorausse ung aus, dass dem Entscheidungsträger bestimmte nummerische Zielvorgaben (Punktziele, Budgets) vorgegeben sind. Diese Annahme stimmt in weiten Bereichen mit der betrieblichen Praxis überein, da sich aus Motivations- und Koordinationsgründen oft die Notwendigkeit ergibt, im Rahmen von Planungs- und Kontrollrechnungen beispielsweise Ausbringungsmengen, Faktorverzehr, Beschäftigungsgrad, Kosten und Ähnliches als Planzahlen vorzugeben. Im Idealfall sind diese Planvorgaben so aufeinander abgestimmt und koordiniert, dass ⁸ Vgl. Charnes/Cooper (1961, S. 215–223); Ijiri (1965, S. 34–50). 56 3. Entscheidungen bei Sicherheit sie alle gleichzeitig realisierbar sind. In manchen Fällen ist dies praktisch aber nicht erreichbar, so dass sich positive und negative Abweichungen von den Planvorgaben ergeben. DerGoal-Programming-Ansa unterstellt nun, dass der Entscheidungsträger diejenige Lösung anstrebt, die den Zielvorgaben „insgesamt am nächsten kommt“. Dies kann auf verschiedene Weise präzisiert werden. Nach dem Standardansa des Goal-Programming gilt diejenige Aktion als optimal, bei der die Summe der absoluten Abweichungen (Überschreitungen und Unterschreitungen) von den Zielvorgaben minimal ist. Bezeichnen wir die Vorgabe für das Ziel kp mit ûp, so entspricht diesem Standardansa die (hier zu minimierende) Entscheidungsregel bzw. Bewertungsfunktion Φ(ai) = r∑ p=1 |uip − ûp| . Zur besseren Veranschaulichung dieses Kriteriums der Minimierung der Summe der absoluten Abweichungen von den Zielvorgaben soll unser Beispiel unter zwei verschiedenen Vorausse ungen über die Höhe der Zielvorgaben gelöst werden. Die Nu enwerte der ursprünglichen Entscheidungsmatrix werden durch die absoluten Abweichungen von den Zielvorgaben erse t. Das Minimum der Zeilensummen gibt die optimale Aktion an. Fall 1: û1 = 6, û2 = 5, û3 = 14, û4 = 8. k1 k2 k3 k4 Zeilensumme a1 6 3 7 6 22 a2 2 1 6 2 11 a3 2 3 0 5 10∗ a4 8 4 1 4 17 a5 4 3 6 5 18 Fall 2: ûp = maxh uhp; also û1 = 14, û2 = 4, û3 = 20, û4 = 6. k1 k2 k3 k4 Zeilensumme a1 14 2 13 4 33 a2 10 0 12 0 22 a3 10 2 6 3 21 a4 0 3 5 2 10 a5 4 2 0 3 9∗ In Fall 1 ergibt sich a3 als die optimale Alternative, obwohl es sich bei a3 um eine ineffiziente Aktion handelt.⁹ Daran zeigt sich deutlich die Problematik dieser Entscheidungsregel in der hier dargestellten Grundform, deren Ergebnis stark beeinflusst wird durch das jeweilige Niveau der vorgegebenen Zielwerte. Sie ⁹ Ist der vorgegebene Zielpunkt (û1, . . . , ûr) in jeder Komponente mindestens so groß wie der jeweilige maximale Zielbeitrag maxh uhp, so ist die Lösung allerdings stets eine effiziente Aktion. 3.5 Sonstige Lösungsmöglichkeiten für multikriterielle Probleme 57 kann nur Gültigkeit besi en, wenn der Entscheidungsträger die verschiedenenAbweichungen tatsächlich – unabhängig vom jeweils betrachteten Ziel und unabhängig davon, ob es sich um Zielüberschreitungen oder Zielunterschreitungen handelt – als gleich gravierend erachtet. Diese Einschränkung lässt sich allerdings leicht dadurch ausräumen, dass das Kriterium kombiniert mit einer Zielgewichtung angewendet wird, indem den verschiedenen Abweichungen je nach ihrer Richtung und je nach Dringlichkeit der betreffenden Zielgröße ein spezifischer Gewichtungsfaktor zugemessen wird (Ijiri, 1965, S. 45–50). In Fall 2 wird angenommen, dass die Planziele den maximalen individuellen Werten der Zielkriterien entsprechen. Nunmehr ist die Aktion a5 optimal, sie ist zugleich auch effizient. Zum selben Ergebnis würde eine Zielgewichtung führen, bei der die Ziele jeweils mit gleichen Gewichtungsfaktoren bewertet würden. Diese Übereinstimmung ist keineswegs zufällig, denn immer, wenn bei der Minimierung der Summe der absoluten Abweichungen die Zielvorgabenmindestens gleich den individuell optimalen Zielwerten gese t werden, ist diese Entscheidungsregel lediglich ein Spezialfall der Zielgewichtung (nämlich eine Zielgewichtung mit gleich großen Gewichtungsfaktoren). 3.5 Sonstige Lösungsmöglichkeiten fürmultikriterielle Probleme Bei gegebener Entscheidungsregel und Verfügbarkeit aller zu ihrer Implementierung erforderlichen Informationen ist die Auswahl einer optimalen Aktion lediglich ein technisches Problem, das bei kontinuierlichem Aktionenraum oder „großem diskreten“ Aktionenraum allerdings sehr aufwändig sein kann und EDV-Unterstü ung erfordert. Prinzipielle Probleme treten dann auf, wenn • Informationen über die Präferenzen des Entscheidungsträgers fehlen oder vorhandene Informationen widersprüchlich sind, • keine Entscheidungsregel vorgegeben ist, sondern eine geeignete Entscheidungsregel (aus dem Katalog der in Abschni 3.4 exemplarisch besprochenen sowie der Vielzahl anderer denkbarer Regeln) auszuwählen ist; dieses Auswahlproblem stellt ein so genanntes Metaentscheidungsproblem dar. Mit beiden Problemen hat sich die entscheidungstheoretische Literatur beschäftigt. Zur Lösung des Metaentscheidungsproblems gibt es zwar keine Patentrezepte, jedoch einige axiomatisch begründete Fingerzeige. So beinhalten einige Theoreme (vgl. z. B. Keeney/Raiffa, 1999; French, 1986) die Aussage, dass genau dann, wenn die starke Präferenzunabhängigkeit sowie gewisse Zusa prämissen gelten, eine additive Entscheidungsregel vorliegen muss, das heißt Φ die Form Φ(a) = r∑ p=1 up(xp) besi en muss, wobei (x1, . . . , xr) den zur Aktion a gehörenden Ergebnisvektor darstellt und die univariaten Bewertungsfunktionen u1, . . . , ur die partiellen Nu enfunktionen bezüglich der Einzelziele darstellen. Unter noch einschnei-

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.