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Lösungen zu den Aufgaben in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 266 - 290

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_266

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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Lösungen zu den Aufgaben Lösung zu Aufgabe 3.1 Es liegen zwei Zielse ungen k1 (Gewinnmaximierung) und k2 (Umsa maximierung) vor. Die verfügbaren Aktionen bestehen in den alternativ möglichen Angebotspreisen p. Se t man Nu eneinheit und Geldeinheit gleich, dann werden die den individuellen Zielkriterien k1, k2 zugehörigen Nu enwerte u1, u2 der Aktionen wie folgt bestimmt: u1(p) = px − K = 50p − p2 − 500 u2(p) = px = 40p − p2 . Bei ausschließlicher Gewinnmaximierung ergibt sich ein optimaler Angebotspreis von 25, bei ausschließlicher Umsa maximierung ein Preis von 20. Beide Ziele widersprechen sich also. Es ist eine Zielgewichtung im Verhältnis 4 : 1 vorzunehmen. Nach Normierung der Zielgewichte ergibt sich folgende Bewertungsfunktion: Φ(p) = 0,8 · (50p − p2 − 500) + 0,2 · (40p − p2) . Der bei dieser Zielgewichtung optimale Angebotspreis ist p∗ = 24. Die Zielwerte betragen u1(p∗) = 124 und u2(p∗) = 384. Lösung zu Aufgabe 3.2 Die Aktionen bestehen in den zulässigen Produktionsplänen (x, y). Die anzuwendende Bewertungsfunktion Φ ergibt sich durch Gewichtung der Nu enwerte u1(x, y) = 5x + 10y und u2(x, y) = x der beiden Zielse ungen k1 (Deckungsbeitragsmaximierung) und k2 (Absa maximierung des Produktes I) mit Φ(x, y) = 0,2 · (5x + 10y) + 0,8x . Φ ist zu maximieren unter den Nebenbedingungen 5x + 8y ≦ 740, 9x + 8y ≦ 980, x ≦ 100, y ≦ 80, und x, y ≧ 0 . Die Lösung lautet: x∗ = 60, y∗ = 55, u1(x∗, y∗) = 850 sowie u2(x∗, y∗) = 60 . 258 Lösungen zu den Aufgaben Lösung zu Aufgabe 3.3 Die Aktionsmenge entspricht wiederum der Menge der zulässigen Produktionspläne (x, y). Für die Bestimmung des optimalen Produktionsplans sind zwei Ziele k1 (Deckungsbeitragsmaximierung) und k2 (Umsa maximierung) relevant. Die zugehörigen Nu enfunktionen lauten: u1(x, y) = 7x + 5y und u2(x, y) = 11x + 49y . Für die Produktionsplanung sind folgende Nebenbedingungen zu beachten: x + 3y ≦ 160, y ≦ 40, x ≦ 100 und x, y ≧ 0 . Die Durchrechnung des Modells unter den zwei verschiedenen Zielse ungen zeigt, dass ein Zielkonflikt vorliegt. Bezüglich k1 lautet die optimale Lösung: x∗1 = 100, y ∗ 1 = 20, u1(x ∗ 1 , y ∗ 1 ) = 800 sowie u2(x ∗ 1 , y ∗ 1 ) = 2 080 . Bezüglich k2 lautet die optimale Lösung: x∗2 = 40, y ∗ 2 = 40, u1(x ∗ 2 , y ∗ 2 ) = 480 sowie u2(x ∗ 2 , y ∗ 2 ) = 2 400 . Laut Aufgabenstellung soll der Zielkonflikt dadurch gelöst werden, dass dasjenige Produktionsprogramm gewählt wird, bei dem alle individuell optimalen Zielwerte zu einem maximalen Prozentsa 100 · w erreicht werden (Körth-Regel). Zu lösen ist also folgendes Problem: Maximiere w unter den Nebenbedingungen 7x + 5y ≧ 800w, 11x + 49y ≧ 2 400w, x + 3y ≦ 160, x ≦ 100, y ≦ 40 und x, y ≧ 0. Die Lösung lautet: x∗ = 85, y∗ = 25, u1(x∗, y∗) = 720, u2(x∗, y∗) = 2 160 sowie w∗ = 0,9. Der Zielerreichungsgrad beträgt also in Bezug auf beide Ziele wenigstens 90%. Lösung zu Aufgabe 3.4 Die Produktionsplanung steht hier unter den beiden Zielen k1 (Kapazitätsauslastung) und k2 (Verbrauch des Vorproduktes), für die bestimmte nummerische Planvorgaben û1 = 160 und û2 = 240 bestehen. Die tatsächliche Kapazitätsauslastung und der tatsächliche Verbrauch ergeben sich mit u1 = x + 2y und u2 = 3x + y . Die Summe der a) ungewichteten und b) gewichteten absoluten Abweichungen αj = |uj − ûj| ist zu minimieren. Der Absolutbetrag einer Über- bzw. Unterschreitung der Zielvorgabe ûj sei mit α+j bzw. α − j bezeichnet. Lösungen zu den Aufgaben 259 a) Ohne Gewichtung ergibt sich unter Berücksichtigung der Absa restriktion: α+1 + α − 1 + α + 2 + α − 2 → min! Dabei sind folgende Nebenbedingungen zu beachten: x+ 2y+ α−1 − α + 1 = 160 3x+ y+ α−2 − α + 2 = 240 x + y ≦ 100 x, y, α+1 , α − 1 , α + 2 , α − 2 ≧ 0 . Die optimale Lösung ist: x∗ = 70, y∗ = 30, α−1 = 30 sowie α + 1 , α + 2 , α − 2 = 0 . b) Mit Gewichtung ändert sich die Zielfunktion des Problems zu a) wie folgt: 3 4 · (α + 1 + α − 1 ) + 1 4 · (α + 2 + α − 2 ) → min! Die optimale Lösung lautet dann: x∗ = 40, y∗ = 60, α−2 = 60 sowie α + 1 , α − 1 , α + 2 = 0 . Lösung zu Aufgabe 3.5 Für die Zielse ung k1 (Outputmaximierung) lautet die Nu enfunktion u1(x, y) = x + y und für die Zielse ung k2 (Minimierung der Stillstandszeiten) u2(x, y) = (240 − 2x − 5y) + (180 − x − 4y) = 420 − 3x − 9y . Begrenzte Maschinenkapazität und begrenzte Materialverfügbarkeit führen zu folgenden Beschränkungen: 2x + 5y ≦ 240, x + 4y ≦ 180, 2x + y ≦ 140 und 2x + 3y ≦ 180 . Die Outputmaximierung unter diesen Restriktionen ergibt folgende Lösung: x∗1 = 60, y ∗ 1 = 20, u1(x ∗ 1 , y ∗ 1 ) = 80 sowie u2(x ∗ 1 , y ∗ 1 ) = 60 . Bei ausschließlicher Minimierung der Stillstandszeiten ergibt sich dagegen: x∗2 = 20, y ∗ 2 = 40, u1(x ∗ 2 , y ∗ 2 ) = 60 sowie u2(x ∗ 2 , y ∗ 2 ) = 0 . 260 Lösungen zu den Aufgaben Die individuell optimalen Zielwerte gelten als Zielvorgaben: û1 = u1(x∗1 , y ∗ 1 ) = 80 bzw. û2 = u2(x ∗ 2 , y ∗ 2 ) = 0 . Die gewichtete Summe der absoluten Abweichungen von diesen Zielvorgaben ist zu minimieren: 0,6α−1 + 0,4α − 2 → min! Dabei sind folgende Nebenbedingungen zu beachten: x+ y+ α−1 = 80 420− 3x− 9y− α−2 = 0 2x+ 5y ≦ 240 x+ 4y ≦ 180 2x+ y ≦ 140 2x+ 3y ≦ 180 x, y, α−1 , α − 2 ≧ 0 . In diesem Zielansa sind nur Zielunterschreitungen berücksichtigt. Zielüberfüllungen können nicht auftreten, da 80 bzw. 0 den maximalen Output bzw. die minimale Stillstandszeit darstellen. Die Lösung lautet: x∗ = 45, y∗ = 30, u1(x∗, y∗) = 75, u2(x∗, y∗) = 15 sowie α−1 = 5 und α − 2 = 15 . Lösung zu Aufgabe 4.1 Da die Nu enfunktion linear ist, stimmt das Sicherheitsäquivalent mit dem Erwartungswert 500p + 100 · (1 − p) überein. Aus der Gleichung 400 = 500p + 100 · (1 − p) ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit p = 34 . Lösung zu Aufgabe 4.2 Es gibt zwei Aktionen und zwei Zustände: a1 Durchführung einer Abweichungsanalyse, a2 Keine Durchführung einer Abweichungsanalyse, z1 Unwirtschaftlichkeit entfällt, z2 Unwirtschaftlichkeit bleibt bestehen. Lösungen zu den Aufgaben 261 Die Lösung ergibt sich aus folgendem Entscheidungsbaum: –5000 0 0 z1 z2 a1 –750 a2 –5000 0 z1 z2 0,1 0,7 0,3 0,9 Die zu vergleichenden Erwartungswerte sind: bei a1 : 0,1 · (−5 000) − 750 = −1 250 , bei a2 : 0,3 · (−5 000) = −1 500 , die Abweichungsanalyse ist also durchzuführen. Lösung zu Aufgabe 4.3 Für den Unternehmer I beträgt der zu erwartende Gewinn 10 000 · 20 100 + 1 000 · 80 100 = 2 800 . Da das Sicherheitsäquivalent größer ist als dieser Erwartungswert, muss der Unternehmer I als risikofreudig bezeichnet werden.¹ Für den Unternehmer II beträgt der zu erwartende Gewinn 10 000 · 70 100 + 1 000 · 30 100 = 7 300 . Da das Sicherheitsäquivalent kleiner als dieser Erwartungswert ist, muss der Unternehmer II als risikoscheu bezeichnet werden. ¹ Falls angenommen werden kann, dass u(x) zu einer der drei charakteristischen Kategorien (linear, konvex, konkav) gehört. Ansonsten kann aus der für ein spezielles X gültigen Relation E(X) < s noch nicht auf die Konvexität von u geschlossen werden. 262 Lösungen zu den Aufgaben Lösung zu Aufgabe 4.4 Im Falle des Nichtversicherns ist Herr Huber (wenn Wertveränderungen des Bildes ausgeklammert bleiben) mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung konfrontiert, deren Erwartungswert −100 000 · 1 100 + 0 · 99 100 = −1 000 beträgt. Da Herr Huber risikoscheu ist, liegt sein Sicherheitsäquivalent unterhalb des Erwartungswertes von −1 000 Euro; er wird deshalb bereit sein, die Prämie in Höhe von 1 000 Euro zu bezahlen. Lösung zu Aufgabe 4.5 Das erste Projekt führt auf den Nu enerwartungswert 1 2 · u(20 000) + 1 2 · u(40 000) = 1 2 · 36 000 + 1 2 · 64 000 = 50 000 . Das zweite Projekt führt auf den Nu enerwartungswert 1 2 · u(y) + 1 2 · u(0) = 1 2 · ( − y 2 100 000 + 2y ) . Durch Gleichse en der Nu enerwartungswerte ergibt sich − y 2 100 000 + 2y = 100 000 ⇐⇒ y2 − 200 000y + 100 0002 = 0 ⇐⇒ (y − 100 000)2 = 0 und somit y = 100 000. Lösung zu Aufgabe 4.6 a) uH(10) = 205, uH(0) = 5. Es ist das sichere Ergebnis s gesucht, dessenNu en dem Nu en des Spiels als äquivalent betrachtet wird: uH(s) = 2s2 + 5 = 205 · 0,64 + 5 · 0,36 = 133 ⇒ s = 8 . b) uM(10) = 412, uM(0) = 12. uM(s) = 4s2 + 12 = 412 · 0,64 + 12 · 0,36 = 268 ⇒ s = 8 c) Da uM durch die wachsende lineare Transformation uM = 2uH + 2 aus uH entsteht, müssen die Ergebnisse zwangsläufig gleich sein. Lösungen zu den Aufgaben 263 Lösung zu Aufgabe 4.7 Für die Nu enfunktion u des Unternehmers gilt annahmegemäß 1 2 · u(0) + 1 2 · u(x) = u( 1 4 · x) . Es sei die Normierung u(0) = 0 und u(1 000 000) = 1 gewählt. Se t man x = 1 000 000 in obige Gleichung ein, so ergibt sich (wegen der Normierung) u(250 000) = 0,5; se t man hingegen den Wert x = 4 000 000 ein, so ergibt sich u(4 000 000) = 2. Im Folgenden benötigen wir nur diese beiden Nu enwerte.² Das alte Projekt erbringt einen Gewinn von y = 1 200 000 · (3 − 2) − 200 000 = 1 000 000 . Somit besi t das alte Projekt den Nu en(erwartungswert) u(y) = u(1 000 000) = 1 . Das neue Projekt erbringt einen Gewinn X, der entweder mit der Wahrscheinlichkeit von 25% den Wert 1 700 000 · (3,50 − 1) − 250 000 = 4 000 000 oder mit der Wahrscheinlichkeit von 75% den Wert 200 000 · (3,50 − 1) − 250 000 = 250 000 annimmt. Für den Nu enerwartungswert ergibt sich Eu(X) = 14 · u(4 000 000) + 3 4 · u(250 000) = 1 4 · 2 + 3 4 · 0,5 = 0,875 . Wegen Eu(X) < u(y) kann damit gerechnet werden, dass von der Einführung des neuen Produkts abgesehen wird. ² Eine Nu enfunktion, die der obigen Bedingungsgleichung sowie den Normierungsbedingungen genügt, ist übrigens durch u(x) = √ x/1 000 gegeben, wie man durch Einse en leicht verifiziert. Es gibt allerdings noch andere Funktionen, die diese Bedingungen erfüllen. 264 Lösungen zu den Aufgaben Lösung zu Aufgabe 4.8 a) Müller ist risikoneutral. Schulze ist für 0 ≦ x ≦ 50 000 risikofreudig und für 50 000 < x ≦ 100 000 risikoscheu. u x 100000 uS uM 100000500000 50000 b) Die Entscheidungsmatrizen lauten: p1 = 0,3 p2 = 0,5 p3 = 0,2 z1 z2 z3 Eu(X) Müller: 1 50 000 90 000 100 000 80 000 2 80 000 80 000 80 000 80 000 Schulze: 1 50 000 98 000 100 000 84 000 2 92 000 92 000 92 000 92 000 Müller ist gegenüber beiden Produkten indifferent. Schulze zieht das sichere Produkt 2 vor. c) Die Entscheidungsmatrizen lauten nun: p1 = 0,3 p2 = 0,5 p3 = 0,2 z1 z2 z3 Eu(X) Müller: 1 0 40 000 50 000 30 000 2 30 000 30 000 30 000 30 000 Schulze: 1 0 32 000 50 000 84 000 2 18 000 18 000 18 000 18 000 Bei Schulze ändert sich die Entscheidung. d) Durch die Berücksichtigung der zusä lichen Fixkosten fallen die Ergebnisse in den risikofreudigen Bereich der Nu enfunktion Schulzes. Dementsprechend zieht er nun das unsichere Produkt 1 vor.³ ³ Solche Entscheidungseffekte von Fixkosten bei Risikosituationen haben zu der erneuten Diskussion um die Entscheidungsrelevanz von Fixkosten geführt. Man vergleiche hierzu z. B. Schneider (1984); Siegel (1985, 1991, 1992); Maltry (1990); Burger (1991); Ni sch (1992) sowie Schirmeister/ThenBergh (1995); Ewert/Wagenhofer (2008) und die dort zitierte Literatur. Lösungen zu den Aufgaben 265 Lösung zu Aufgabe 5.1 Wald- Maximax- Hurwicz- Laplace- Savage- Krelle- Regel Regel Regel Regel Niehans- Regel Regel Φ(a1) 20 90 41∗ 140 40 326 Φ(a2) 0 120∗ 36 170∗ 30∗ 341∗ Φ(a3) 30∗ 60 39 120 90 306 Lösung zu Aufgabe 5.2 p1 = 0,3; p2 = 0,2; p3 = 0,5; µ1 = µ2 = µ3 = 39 Lösung zu Aufgabe 5.3 Der Gewinn u(x, y; p) = (p − 160)x + (300 − 200)y − 15 000 ist unter den Nebenbedingungen x + 2y ≦ 1 500, x + 6y ≦ 2 100 und x, y ≧ 0 für 160 ≦ p ≦ 220 zu analysieren. Es ist min p u(x, y; p) = 100y − 15 000 sowie max x,y min p u(x, y; p) = 100 · max x,y y − 15 000 . y x 750 600 450 300 150 1 200 1 500 2 100 Aus obiger Abbildung wird ersichtlich, dass max x,y y = 350 gilt. Infolgedessen ist (x∗, y∗) = (0, 350) ein Maximin-Produktionsplan. Geht die Unternehmung in dieser Ungewissheitssituation „auf Nummer sicher“, das 266 Lösungen zu den Aufgaben heißt orientiert sie sich an der Maximin-Regel, so darf sie also nur das Produkt II (und zwar in 350 Mengeneinheiten) herstellen. Damit ist garantiert, dass der Gewinn mindestens 100 · 350 − 15 000 = 20 000 beträgt. Lösung zu Aufgabe 5.4 a) Die Aktionen bestehen im Kauf von 0, 1, 2, 3, 4 Einheiten, die relevanten Zustände bestehen in den alternativen Nachfrageniveaus von 0, 1, 2, 3, 4 Einheiten pro Tag. Die Nu enmatrix U und die Opportunitätskostenmatrix S lauten: U = 0 0 0 0 0 −5 5 5 5 5 −10 0 10 10 10 −15 −5 5 15 15 −20 −10 0 10 20 , S = 0 5 10 15 20 5 0 5 10 15 10 5 0 5 10 15 10 5 0 5 20 15 10 5 0 Die Bewertung der Aktionen nach den verschiedenen Entscheidungsregeln ergibt: Wald- Maximax- Hurwicz- Laplace- Savage- Krelle- Regel Regel Regel Regel Niehans- Regel Regel Φ(a1) 0∗ 0 0∗ 0 20 0 Φ(a2) −5 5 0∗ 15 15 13,75 Φ(a3) −10 10 0∗ 20∗ 10∗ 16∗ Φ(a4) −15 15 0∗ 15 15 7,75 Φ(a5) −20 20∗ 0∗ 0 20 −10 b) Es ergeben sich folgende Erwartungswerte Eui der Aktionen ai: Eu1 = 0, Eu2 = Eu3 = Eu4 = 3, Eu5 = 1 . a3 (Kauf von zwei Einheiten) ist (neben a2 und a4) also optimal, obwohl genau zwei Einheiten mit Sicherheit nicht abgese t werden können. Lösung zu Aufgabe 6.1 Die a-priori-Verteilung ist φ = (p1, p2, p3, p4) = ( 1 4 , 1 4 , 1 4 , 1 4 ) ; die Opportunitätskostenmatrix ist S = 10 000 8 000 0 13 000 0 7 000 18 000 11 000 5 000 11 000 12 000 0 11 000 0 10 000 10 000 ; Lösungen zu den Aufgaben 267 der erwarteteWert der vollkommenen Information ist nach Abschni 6.2 durch EWVI = min { 31 000 4 , 36 000 4 , 28 000 4 , 31 000 4 } = 7 000 gegeben. Die Unternehmung sollte nicht mehr als 7 000 Euro für die Gewinnung vollkommener Information aufwenden. Lösung zu Aufgabe 6.2 Im Abschni 6.1 wurden bereits die fünf relevanten Eckpunktverteilungen p berechnet. Die zu vergleichendenWerte ergeben sich als Produkt des jeweiligen Zeilenvektors der Entscheidungsmatrix mit dem Spaltenvektor der Eckpunktverteilung. Dies liefert: min p g(a1, p) = min{100, 200, 100, 90, 120} = 90 min p g(a2, p) = min{150, 150, 50, 50, 170} = 50 min p g(a3, p) = min{120, 150, 100, 60, 130} = 60 . Die optimale Aktion ist demnach a1. Lösung zu Aufgabe 6.3 a) Für die Aktion a1 gilt Eu1 = E[z · (2,5 − 1) − 15 000] = 13 000 · 1,5 − 15 000 = 4 500 . Für die Aktion a2 gilt Eu2 = E[z · (2,4 − 0,4) − 28 000] = 16 250 · 2 − 28 000 = 4 500 . Demnach sind nach der Bayes-Regel beide Aktionen gleichwertig. b) Bezeichnet ẑ den Break-even-Punkt, so gilt für das erste Produkt ẑ = 10 000 sowie P(z ≧ 10 000) = 0,7486 (wie man aus der Tabelle der Normalverteilung ablesen kann) und für das zweite Produkt ẑ = 14 000 sowie P(z ≧ 14 000) = 0,8413 . Lösung zu Aufgabe 6.4 Der maximal zahlbare Preis für die Gewinnung vollkommener Information ist durch den in Abschni 6.2 eingeführten EWVI gegeben. Auf Grund der Angaben kann von folgenden Opportunitätskosten ausgegangen werden: für z < ẑ für z ≧ ẑ a1 (Produkteinführung) p · (ẑ − z) 0 a2 (Nichteinführung) 0 p · (z − ẑ) 268 Lösungen zu den Aufgaben Dabei bezeichnet p den Deckungsbeitrag je Produkteinheit. Wie aus der folgenden Skizze ersichtlich, bilden wegen ẑ < E(z) die erwarteten Opportunitätskosten von a1 den EWVI. z Opportunitätskosten von a1 z E(z) Opportunitätskosten von a2 Wahrscheinlichkeitsdichte f (z) ^ Damit ergibt sich EWVI = ẑ∫ −∞ p · (ẑ − z)f(z) dz , wobei f(z) die Dichtefunktion der (für z unterstellten) Normalverteilung ist. Für eine nummerische Auswertung dieses Integrals muss auf Tabellen zurückgegriffen werden. Es ist EWVI = p · σ · L(ζ) . Dabei entspricht der tabellierte⁴ Ausdruck L(ζ) dem Wert des Schadensintegrals bis zur Obergrenze ζ = ẑ−E(z)σ bei linearer Schadensfunktion und Standardnormalverteilung. Für den Fall ẑ < E(z), der hier vorliegt, wächst L(ζ) monoton mit ζ . Die Informationsbeschaffung lohnt sich also umso mehr, je größer der Deckungsbeitrag p und die Standardabweichung σ sind und je geringer der erwartete Absa E(z) über dem Break-even-Punkt ẑ liegt. a) Bezüglich Produkt 1 beträgt der erwartete Wert vollkommener Information: EWVI = 1,5 · 4 500 · L ( 10 000 − 13 000 4 500 ) = 1,5 · 4 500 · 0,1503 = 1014,50 . b) Für Produkt 2 ergibt sich: EWVI = 2 · 2 250 · L ( 14 000 − 16 250 2 250 ) = 2 · 2 250 · 0,08332 = 374,90 . Lösung zu Aufgabe 6.5 Die Gewinnfunktion lautet u(z, a1) = 5z − 4 000 000 = 6 000 000, für z = z1 1 000 000, für z = z2 −3 000 000, für z = z3 u(z, a2) = 500 000 für z = z1, z2, z3 . ⁴ Vgl. z. B. Raiffa/Schlaifer (2000, S. 356). Lösungen zu den Aufgaben 269 a) Die zu a1 und a2 gehörenden Nu enerwartungswerte sind Eu(z, a1) = −500 000 und Eu(z, a2) = 500 000 . Deshalb sollte beim gegenwärtigen Informationsstand auf die Einführung des neuen Produktes verzichtet werden. b) Aus der Gewinnfunktion ergibt sich S = ( 0 0 3 500 000 5 500 000 500 000 0 ) als Opportunitätskostenmatrix. Nach Abschni 6.2 ist EWVI = min { 5 10 · 3 500 000, 1 10 · 5 500 000 + 4 10 · 500 000 } = 750 000 . Die breit angelegte Marktanalyse lohnt sich nicht, da ihre Kosten den erwarteten Wert der vollkommenen Information übersteigen. Lösung zu Aufgabe 6.6 a) Eine Strategie δ ordnet jeder Nachricht y ∈ {y1, y2, y3} eine Aktion a ∈ {a1, a2} zu; δ ist also durch das Tripel (δ(y1), δ(y2), δ(y3)) vollständig beschrieben. Die Strategienmenge∆ der Unternehmung besteht also aus 23 = 8 Strategien, die den 8 Tripeln (a1, a1, a1) , (a2, a1, a1) , (a1, a2, a1) , (a1, a1, a2) , (a2, a2, a2) , (a1, a2, a2) , (a2, a1, a2) , (a2, a2, a1) entsprechen. b) Nach der in Abschni 6.4 geschilderten Berechnungsmethode ist zuerst für jedes y ∈ {y1, y2, y3} die a-posteriori-Verteilung ψ(z|y) zu berechnen und dann jeweils diejenige Aktion a∗ zu bestimmen, die den a-posteriori-Schadenserwartungswert Eψ(z|y)s(z, a) minimiert. Die a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten ψ(z|y), die man gemäß der Formel ψ(z|y) = f(y|z)φ(z)∑ z∈Z f(y|z)φ(z) ermi elt, ergeben (nach Rundung) folgende Tabelle: y1 y2 y3 z1 0,26 0,09 0,02 z2 0,52 0,61 0,18 z3 0,22 0,30 0,80 Σ 1 1 1 Der bei der Rechnung auftretende Nenner ist die (totale) Wahrscheinlichkeit P(y), die in Teil c) benötigt wird: P(y1) = 0,23, P(y2) = 0,33 und P(y3) = 0,44 . 270 Lösungen zu den Aufgaben Mi els der a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten sind nun folgende a-posteriori-Schadenserwartungswerte zu berechnen und zu vergleichen. Für y1: Eψs(z, a1) = 0,22 · 3 500 000 = 770 000 und Eψs(z, a2) = 0,26 · 5 500 000 + 0,52 · 500 000 = 1 690 000 , für y2: Eψs(z, a1) = 1 050 000 und Eψs(z, a2) = 800 000 , für y3: Eψs(z, a1) = 2 800 000 und Eψs(z, a2) = 200 000 . Also ist δ∗ mit δ∗(y1) = a1, δ ∗(y2) = a2 und δ ∗(y3) = a2 eine Bayes-Strategie bezüglich der a-priori-Verteilung φ. c) Nach Abschni 6.4 berechnet man den erwarteten Wert der Stichprobeninformation (EWSI) als Differenz des EWVI und des Risikoerwartungswertes Eφr(z, δ∗) einer Bayes-Strategie δ∗ bezüglichφ. In der Lösung zuAufgabe 6.5 wurde bereits EWVI = 750 000 berechnet. Die in Teil b) ermi elte Bayes-Strategie δ∗ besi t den Risikoerwartungswert Eφr(z, δ∗) = ∑ z∈Z φ(z)r(z, δ∗) = ∑ z∈Z φ(z) · ∑ y∈Y f(y|z)s(z, δ∗(y)) = ∑ y∈Y P(y) · ∑ z∈Z ψ(z|y)s(z, δ∗(y)) = 0,23 · 770 000 + 0,33 · 800 000 + 0,44 · 200 000 = 529 100 . Damit sind der erwartete Wert der Testmarktuntersuchung EWSI = 750 000 − 529 100 = 220 900 und der erwartete Ne ogewinn der Testmarktuntersuchung ENGS = EWSI − 60 000 = 160 900 . Insbesondere ergibt sich aus diesen Daten, dass die Testmarktuntersuchung durchgeführt werden sollte. Lösung zu Aufgabe 6.7 Die Lösung ergibt sich aus dem folgenden Entscheidungsbaum, in dem die Ergebnisse der verschiedenen Prozessverläufe an den Baumenden in Tausend Lösungen zu den Aufgaben 271 Euro, die Nu enwerte bzw. Nu enerwartungswerte in Klammern und die jeweiligen Eintri swahrscheinlichkeiten unterstrichen vermerkt sind. Details zum verwendeten Lösungsverfahren können in Kapitel 9 gefunden werden. Der maximale Nu enerwartungswert von 0,527 ergibt sich bei Durchführung des seismischen Experiments. Erbringt das Experiment y1, so sollte keine Bohrung vorgenommen werden, erbringt es y2 oder y3, so ist eine Bohrung durchzuführen. Das dieser Strategie zugehörige Sicherheitsäquivalent beträgt übrigens u−1(0,527) = 5,78 Tausend Euro. (0,5) a2 kein Öl Öl a1 0,78 –100 (0,0) –400 (2,0) (0,44) 0 (0,5) (0,5) 0,22 (0,5) 1,0 a2 kein Öl Öl a1 0,3 380 (1,939) (1,325) (0,405) –20 –20 (–0,405) (1,325) 0,7 (0,405) 1,0 (0,527) Kein seismischer Test Seismischer Test (0,527) y1 0,6 y2 0,3 y3 0,1 a2 kein Öl Öl a1 0,9 (0,0967) (1,939) 380 –120 (–0,108)(0,405) 0,1 (0,405) 1,0 a2 kein Öl Öl a1 0,7 380 (1,939) (0,506) (0,405) –20 –120 (–0,108) –120 (–0,108) (0,506) 0,3 (0,405) 1,0 1,0 272 Lösungen zu den Aufgaben Lösung zu Aufgabe 7.1 Das Spiel (in reinen Strategien) ist determiniert, (a3, b3) ist der einzige Gleichgewichtspunkt, v = 5 ist der Spielwert. Es ist daher für die Unternehmung 1 optimal, die Gleichgewichts- (und Maximin-)Strategie a3 einzuse en, also dem Bewerber die Gehaltsstufe III anzubieten. Der Einsa einer gemischten Strategie lohnt sich nicht, da die gemischte Erweiterung denselben Spielwert v = 5 besi t wie das Spiel in reinen Strategien. Lösung zu Aufgabe 7.2 a) Nein. b) Es ist −1 = max i min j uij ̸= min j max i uij = 1 , also kann kein Gleichgewichtspunkt (in reinen Strategien) existieren. Wie jedes Matrixspiel besi t auch dieses einen Gleichgewichtspunkt in gemischten Strategien; er wird bei d) berechnet. c) Auf Grund der Indeterminiertheit des Spiels in reinen Strategien ist es aus den in Abschni 7.3 geschilderten Gründen vorteilhafter, eine gemischte (Maximin-)Strategie zu verfolgen. d) Der Auszahlungsmatrix sieht man nicht unmi elbar an, ob der Spielwert v der gemischten Erweiterung positiv ist. Addiert man zu jedem Element der Auszahlungsmatrix zwei Einheiten, so wird u∗ – und damit auch v – positiv. Es genügt aber bereits – und macht die Zahlen handlicher – jeweils lediglich eine Einheit hinzuzuaddieren. Es entsteht dann die Auszahlungsmatrix 3 0 20 2 0 2 −1 4 , die sicherlich einen positiven Spielwert der gemischten Erweiterung besi t; denn z. B. die Strategie p̃ = ( 1 2 , 1 2 , 0 ) führt zum Auszahlungsvektor ( 3 2 , 1, 1 ) , so dass wegen u∗ = max p min q u(p, q) = max p min j u(p, bj) ≧ min j u(p̃, bj) = min{ 32 , 1} = 1 der Spielwert v mindestens 1 betragen muss. Nach dem linearen Programmierungsansa (vgl. Ende von Abschni 7.3) lautet beispielsweise für Spieler 2 das zu lösende Problem: Maximiere y1 + y2 + y3 unter Beachtung der Nebenbedingungen 3y1 + 2y3 ≦ 1, 2y2 ≦ 1, 2y1 − y2 + 4y3 ≦ 1 und y1, y2, y3 ≧ 0 . Man berechnet nach Einführung der 3 Schlupfvariablen α1, α2, α3 die im nachfolgenden Tableau abzulesenden Simplex-Schri e. Aus dem Endtableau entnimmt man, dass der Maximalwert 1516 beträgt. Mithin ist der Lösungen zu den Aufgaben 273 Spielwert der (durch Addition von +1) veränderten Spielmatrix gleich 1615 , so dass der Spielwert des Ausgangsspiels v = 1615 − 1 = 1 15 beträgt. Weiter liest man aus dem Endtableau ab, dass p∗ = 1615 · ( 1 4 , 9 16 , 1 8 ) = ( 4 15 , 9 15 , 2 15 ) eine Maximin-Strategie des Spielers 1 und q∗ = 1615 · ( 2 16 , 8 16 , 5 16 ) = ( 2 15 , 8 15 , 5 15 ) eine Maximin-Strategie des Spielers 2 ist. y1 y2 y3 α1 α2 α3 3 0 2 1 0 0 1 0 ⃝2 0 0 1 0 1 2 −1 4 0 0 1 1 −1 −1 −1 0 0 0 0 ⃝3 0 2 1 0 0 1 0 1 0 0 12 0 1 2 2 0 4 0 12 1 3 2 −1 0 −1 0 12 0 1 2 1 0 23 1 3 0 0 1 3 0 1 0 0 12 0 1 2 0 0 ⃝83 − 23 12 1 56 0 0 − 13 1 3 1 2 0 5 6 1 0 0 12 − 1 8 − 1 4 2 16 0 1 0 0 12 0 1 2 0 0 1 − 14 3 16 3 8 5 16 0 0 0 14 9 16 1 8 15 16 e) Da der Spielwert positiv ist, gewinnt der Supermarkt 1 mit jeder Partie einen um 115 Prozent höherenMarktanteil. Langfristig muss daher der Supermarkt 2 seine Anzeigengestaltung verändern. Lösung zu Aufgabe 7.3 a) Das Spiel in reinen Strategien ist wegen −2 = max i min j uij ̸= min j max i uij = 2 indeterminiert. 274 Lösungen zu den Aufgaben b) Die Strategie b2 wird von b1 dominiert. c) Streicht man die dominierte Strategie b2, so ergibt sich die reduzierte Spielmatrix −4 42 −2 −2 −1 . Se tman hierfür eine gemischte Strategie der Firma 2 in der Form (q1, 1−q1) an, so liefern die Strategien a1, a2, a3 in Abhängigkeit von q1 die in der Skizze gezeigten Auszahlungsverläufe. Die dick eingezeichnete Kurve, die wir im Folgenden mit φ(q1) bezeichnen, stellt für jedes q1 das Maximum dieser Verläufe dar. Das Minimum von φ(q1) gibt den Spielwert v an und die Minimalstelle q∗1 liefert eine Maximin-Strategie q ∗ = (q∗1 , 0, 1 − q∗1 ) der Firma 2 (bezogen auf die dreispaltige Spielmatrix vor der Reduktion und gewonnen nach der Minimax-Regel, da die uij Verluste des Spielers 2 darstellen). Es gilt also v = 0 und q∗ = ( 1 2 , 0, 1 2 ) . 4 2 1 1 –1 –2 –4 a2 a3 a1 q1 Da das Minimum von φ(q1) im Schni punkt der beiden zu a1 und a2 gehörenden Geraden liegt, kann eine Maximin-Strategie der Firma 1 gemäß p∗ = (p∗1 , 1 − p∗1 , 0) angese t werden. Dabei erhält man p∗ aus der Gleichung u(p∗, b1) = −4p∗1 + 2 · (1 − p∗1 ) = v = 0 (alternativ kann man auch u(p∗, b3) = v verwenden), woraus sich p∗1 = 13 und p ∗( 1 3 , 2 3 , 0 ) ergibt. Begründet ist diese Vorgehensweise dadurch, dass das Minimum der beiden Geraden u(p, b1) und u(p, b3) sein Maximum – welches in der Höhe v liegt – genau in deren Schni punkt annimmt. Lösungen zu den Aufgaben 275 d) Se t die Firma 2 die gemischte Strategie q = ( 1 3 , 1 3 , 1 3 ) ein, so ergeben die Strategien a1, a2, a3 die folgenden Auszahlungen: u(a1, q) = 13 · (−4 − 3 + 4) = −1 , u(a2, q) = 13 · ( 2 + 3 − 2) = 1 , u(a3, q) = 13 · (−2 + 4 − 1) = 1 3 . Also ist a2 eine Bayes-Strategie der Firma 1 bezüglich der Strategie q. Lösung zu Aufgabe 7.4 Die Auszahlungsfunktionen errechnen sich als u1(a, b) = a · (−5a − b + 100) − 120 − 2 · (−5a − b + 100) = (a − 2) · (−5a − b + 100) − 120 u2(a, b) = b · (−a − 5b + 100) − 120 − 2 · (−a − 5b + 100) = (b − 2) · (−a − 5b + 100) − 120 . a) Es muss lediglich nachgewiesen werden, dass u1(a, 10) für a = 10 und dass u2(10, b) für b = 10 maximal wird. Aus u1(a, 10) = −5a2 + 100a − 300 erkennt man durch Differenziation, dass das Maximum tatsächlich an der Stelle a = a∗ = 10 erreicht wird. Analog verfährt man mit u2(10, b). b) Nun ist die Maximalstelle (a0, b0) von u1(a, b) + u2(a, b) = (a − 2) · (−5a − b + 100) + (b − 2) · (−a − 5b + 100) − 240 zu bestimmen. Die partiellen Ableitungen nach a bzw. b sind −10a − 2b + 112 bzw. −2a − 10b + 112 . Durch Nullse en ergibt sich a0 = 283 und b0 = 28 3 . Da die zweiten Ableitungen negativ (= −10) sind und die aus den zweiten (gemischten) Ableitungen gebildete Determinante ∣∣∣∣−10 − 2− 2 −10 ∣∣∣∣ = 96 positiv ist, handelt es sich bei (a0, b0) tatsächlich um eine Maximalstelle. Es ist u1(10, 10) = u2(10, 10) = 200 u1 ( 28 3 , 28 3 ) = u2 ( 28 3 , 28 3 ) = 202,67 . Man sieht, dass die Gleichgewichtspreise jeweils größer sind als die Preise, die bei Kooperation realisiert würden, und dass der jeweilige Gewinn bei Kooperation größer ist als im Gleichgewicht. 276 Lösungen zu den Aufgaben Bemerkung zur Aufgabe 7.4 Dieses Beispiel stammt aus einer Arbeit von Eichhorn (1971); dort wurde ebenfalls nachgewiesen, dass (a∗, b∗) der einzige Gleichgewichtspunkt ist. Eichhorn (1971) demonstrierte mit diesem Beispiel folgendes interessante Resultat: Paradoxerweise kann bei Komplementarität der Güternachfrage eine den gemeinsamen Gesamtgewinnmaximierende Preisabsprache zwischen den Anbietern für alle Mark eilnehmer vorteilhafter sein als eine auf ein Gleichgewicht führende Preiskonkurrenz. Eine derartige Aussage erhält auch Selten (1970, S. 188) bezüglich einem ähnlichen Marktmodell. Im Falle der Substitutionalität der Nachfrage kann ein derartiges paradoxes Resultat übrigens nicht erzielt werden; Eichhorn (1971) zeigte in seinem Oligopolmodell, dass dann der aus einer Preisabsprache resultierende Preisvektor in allen Komponenten mindestens so groß sein muss wie der (immer noch eindeutig bestimmte) gleichgewichtige Preisvektor. Lösung zu Aufgabe 7.5 Wir betrachten eine beliebige Imputation (x1, x2, . . . , xN) aus dem Kern. Für jede Koalition K muss dann ∑ i∈K xi ≧ v(K) (1) gelten. Für die Gegenkoalition S \ K muss entsprechend∑ i∈S\K xi ≧ v(S \ K) (2) gelten. Addiert man (1) und (2), so erhält man N∑ i=1 xi ≧ v(K) + v(S \ K) . (3) Da die rechte Seite von (3) wegen (∗∗) mit v(S) identisch ist und die linke Seite wegen der Pareto-Optimalität der Imputation ebenfalls mit v(S) identisch ist, gilt in (3) das Gleichheitszeichen. Insbesondere muss auch in (1) das Gleichheitszeichen gelten. Se t man speziell K = {i}, so folgt xi = v({i}). Deshalb ergibt sich v(S) = N∑ i=1 xi = N∑ i=1 v({i}) , was im Widerspruch zu (∗) steht. Der Kern von Γ muss demnach leer sein. Lösungen zu den Aufgaben 277 Lösung zu Aufgabe 8.1 a) Die Punktsummen sind für a : 4 + 4 + 1 + 1 + 3 = 13 , für b : 3 + 3 + 4 + 2 + 1,5 = 13,5 , für c : 1 + 2 + 3 + 4 + 1,5 = 11,5 , für d : 2 + 1 + 2 + 3 + 4 = 12 . Gemäß dem Borda-Verfahren ergibt sich die Gremienpräferenzordnung b ≻ a ≻ d ≻ c . b) Nach Wegfall von c sind die neuen Punktsummen für a : 3 + 3 + 1 + 1 + 2 = 10 , für b : 2 + 2 + 3 + 2 + 1 = 10 , für d : 1 + 1 + 2 + 3 + 3 = 10 . Alle drei Alternativen a, b, d sind infolge des Wegfalls der (nur scheinbar irrelevanten) Alternative c gleichwertig geworden. Die Gremienpräferenzordnung bezüglich der reduzierten Alternativenmenge {a; b; d} ist a ∼ b ∼ d . Lösung zu Aufgabe 8.2 a) Von den Erstpräferenzen entfallen zwei auf a und jeweils eine auf b, c, d. Die Gremienpräferenzordnung ist demnach a ≻ b ∼ c ∼ d . b) Es gibt (4 2 ) = 6 denkbare Paarvergleiche. Dabei entnimmt man dem gegebenen Präferenzordnungsprofil bezüglich a die Paarvergleiche a ≻ b (mit 3 : 2 Stimmen) , a ≻ c (mit 3 : 2 Stimmen) , d ≻ a (mit 3 : 2 Stimmen) . Wegen des le ten Paarvergleichs kann a kein Condorcet-Gewinner sein. Auch b und c können wegen der ersten beiden Paarvergleiche keine Condorcet-Gewinner sein. Es bleibt noch die weitere Überprüfung von d. Wegen b ≻ d (mit 3 : 2 Stimmen) kann schließlich auch d kein Condorcet-Gewinner sein. Lösung zu Aufgabe 8.3 a) Die Pluralitätsregel liefert die Gremienpräferenzordnung a ≻ c ≻ b ∼ d . b) Das Präferenzordnungsprofil nach Wegfall von a ist R1 R2 R3 b b c c c b d d d 278 Lösungen zu den Aufgaben Die Gremienpräferenz ist b ≻ c ≻ d. Insbesondere ist die bei a) festgestellte Präferenz c ≻ b durch den Wegfall von a gerade umgedreht. Lösung zu Aufgabe 8.4 Mitglied Nr. 3 kann sein Ziel erreichen, indem es vorgibt, R̃3 : d ≻ b ≻ c ≻ a als wahre Präferenzordnung zu haben. Der bei ehrlichem Input resultierende Spi enreiter a wird von ihm demnach vom zweiten auf den le ten Pla zurückgestuft. Gemäß Borda-Verfahren wird aus (R1, R2, R̃3) die Gremienpräferenzordnung d ≻ a ∼ b ≻ c erzeugt mit dem vom Gremienmitglied Nr. 3 gewünschten neuen Spi enreiter d. Bemerkungen • Mit diesem Beispiel illustriert Gibbard (1973) die Manipulationsanfälligkeit des Borda-Verfahrens. • Die Präferenzordnung R̃3 : d ≻ c ≻ b ≻ a bewirkt ebenfalls, dass Alternative d die Höchstpräferenz des Gremiums erreicht. Die Gremienpräferenzordnung ist dann d ≻ a ≻ b ≻ c. Lösung zu Aufgabe 8.5 a) Es gibt nur zwei Durchgänge, wobei auf a, b, c, d die folgenden Stimmenzahlen entfallen Durchgang Nr. 1 Nr. 2 a 3 7 b 6 6 c 2 − d 2 − Damit ist a beim zweiten Durchgang mit der erforderlichen absolutenMehrheit als siegreiche Alternative ermi elt. b) Stimmt Gremienmitglied Nr. 11 entgegen seiner wahren Präferenz in allen Durchgängen jeweils für c, so resultieren folgende Ergebnisse Durchgang Nr. 1 Nr. 2 Nr. 3 a 3 3 − b 5 5 8 c 3 5 5 d 2 − − Lösungen zu den Aufgaben 279 Man sieht, dass Gremienmitglied Nr. 11 durch diese Manipulation sein Ziel erreicht. (Um dieses Ziel zu erreichen, genügt es übrigens, dass Gremienmitglied Nr. 11 seine Präferenz im ersten Durchgang verfälscht; eine Manipulation auch der nachfolgenden Durchgänge ist hier nicht zwingend erforderlich.) Lösung zu Aufgabe 8.6 a) Es votieren 8 Mitglieder für a ≻ b , 8 Mitglieder für a ≻ c und 11 Mitglieder für a ≻ d , also ist Alternative a Condorcet-Gewinner. b) Die Hare-Regel erfordert drei Runden; die Ergebnisse stimmen mit denen von Aufgabe 8.5 b) überein: Durchgang Nr. 1 Nr. 2 Nr. 3 a 3 3 − b 5 5 8 c 3 5 5 d 2 − − Man erkennt, dass b gemäß Hare gewinnt und der Condorcet-Gewinner a verliert. Lösung zu Aufgabe 9.1 Die Rückwärtsrechnung ergibt: a4(z3) = 3 000 − z3 , a3(z2) = 6 000 − z2 , a2(z1) = 4 500 − z1 , a1(0) = a∗1 = 3 000 . Die Vorwärtsrechnung ergibt: z∗1 = 0 , z∗2 = 0 , z∗3 = 0 , a∗2 = 4 500 , a∗3 = 6 000 , a∗4 = 3 000 . Damit lautet die optimale Lagerhaltungspolitik (a∗1 , a ∗ 2 , a ∗ 3 , a ∗ 4 ) = (3 000, 4 500, 6 000, 3 000) . Infolge der erhöhten Lagerkosten ist es also optimal, zu Beginn jedes Quartals genau den Bedarf des Quartals zu bestellen. 280 Lösungen zu den Aufgaben Lösung zu Aufgabe 9.2 Die optimale Politik (δ∗1 , δ∗2 ) schreibt Folgendes vor: Zu Beginn der ersten Periode ist eine neue Anlage zu beschaffen und zu Beginn der zweiten Periode ist • Überstundenarbeit einzuführen, falls der Absa gestiegen ist, • die in der ersten Periode beschaffte Anlage einzuse en, falls der Absa gesunken ist. Lösung zu Aufgabe 9.3 Die optimale Politik besteht darin, keinen seismischen Test durchführen zu lassen, sondern sofort bohren zu lassen; das erwartete Ergebnis ist dann 120 000. Lösung zu Aufgabe 9.4 a) Da die Ergebnisfunktionen monoton wachsend sind, wird der gesamte Betrag K̄ auf die Projekte aufgeteilt. Deshalb könnte die Lösung natürlich auch mithilfe der Lagrange-Methode ermi elt werden. Wir wollen hier der Übung halber den auf Seite 255 geschilderten dynamischen Programmierungsansa verwenden. Die Rückwärtsrechnung ergibt a3(K) = K , a2(K) = 913K , a1(K) = 25 77K , U3(K) = 80 √ K , U2(K) = 520 √ K 13 , U1(K) = 1 540 √ K 77 . Se t man K̄ = 1 000 000 ein, so liefert die Vorwärtsrechnung a∗1 = 25 77 · 1 000 000 = 324 675 , a∗2 = (1 − 2577 ) · 9 13 · 1 000 000 = 467 533 , a∗3 = (1 − 913 · 52 77 − 25 77 ) · 1 000 000 = 207 792 . Das damit erzielte Gesamtergebnis ist U1(K̄) = 175 499 Euro. b) Man könnte u4(a4) = a410 als vierte Ergebnisfunktion einführen und die Berechnung analog zum Teil a) durchführen. Vertrauter dürfte allerdings der bekannte Lösungsweg sein: Investiere in jedes der drei Projekte soviel, bis das Grenzergebnis 10% unterschreitet; reicht K̄ hierfür aus, so ist das Maximum gefunden, anderenfalls liegt ein Randmaximum vor. Diese Devise liefert a∗1 = 250 000, a ∗ 2 = 360 000 und a ∗ 3 = 160 000 . Der Restbetrag von 230 000 Euro muss auf dem Kapitalmarkt zu 10% angelegt werden. Literaturverzeichnis Adam, D. (1996): Planung und Entscheidung, Gabler, Wiesbaden, 4. 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References

Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.