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9.5 Aufgaben in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 261 - 266

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_261

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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252 9. Mehrstu ge Entscheidungen 9.5 Aufgaben Die nachfolgenden vier Aufgaben dienen der Einübung der in Kapitel 9 behandelten Konzepte. Lösungen zu diesen Aufgaben findet der interessierte Leser im Anhang ab Seite 279. Weitere Übungsaufgaben, darunter 16 zu mehrstufigen Entscheidungen, inklusive ausführlicher Lösungen können beispielsweise Bamberg et al. (2012a) entnommen werden. . Aufgabe 9.1 In dem Lagerhaltungsbeispiel aus Abschni 9.3 wurden die Lagerkosten mit 3 Euro pro Stück und Quartal angese t. Welches ist die optimale Lagerhaltungspolitik, wenn die Lagerkosten 6 Euro pro Stück und Quartal betragen und alle übrigen Annahmen unverändert gelten? . Aufgabe 9.2 Eine risikoneutrale Firma stellt elektronische Bausteine her.¹³ Sie hat vier halbautomatische Montageanlagen in Betrieb, die mit der Produktion völlig ausgelastet sind. Deshalb stellt sich die Frage, ob eine weitere Anlage angeschafft oder Überstundenarbeit eingeführt werden soll. In der nächsten Zeitperiode stehen dann (je nach Absa lage und Anfangsentscheidung) die in der nachfolgenden Abbildung eingetragenen Folgeentscheidungen zur Deba e. Die von Vertriebsleiter und Finanzdirektor gemeinsam erarbeiteten Schä ungen der Übergangswahrscheinlichkeiten sind ebenfalls im Entscheidungsbaum eingetragen; im ersten Jahr wird sowohl eine Absa steigerung wie eine Absa verringerung für möglich gehalten, im zweiten Jahr kommt nach den Schä ungen nur eine Absa steigerung (um 10% bzw. 20%) in Betracht. Die Ergebnisse sind nicht den einzelnen Zeitperioden, sondern dem jeweiligen Prozessverlauf zugerechnet worden (Eintragungen an den Baumenden). Welches ist die optimale Politik? ¹³ Diese Aufgabe stammt ebenfalls (wie Aufgabe 9.2) aus der Fülle der in der Literatur benu ten Demonstrationsbeispiele für die Konstruktion eines Entscheidungsbaumes (vgl. McCreary, 1967). 9.5 Aufgaben 253 neue Anlage Überstunden Überstunden Überstunden Absatz 20 % Absatz 20 % Absatz 5 % Absatz 5 % weitere Anlage Absatz 20 % Absatz 20 % Absatz 20 % Absatz 20 % Absatz 20 % Absatz 20 % Absatz 10 % Absatz 10 % Absatz 10 % Absatz 10 % Absatz 10 % Absatz 10 % Einsatz der Anlage aus Periode 1 neue Anlage und Überstunden zwei neue Anlagen 0,2 0,2 996 000 948 000 1 012 000 976 000 820 000 780 000 936 000 888 000 952 000 910 000 840 000 810 000 0,6 0,6 0,4 0,4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,8 0,8 254 9. Mehrstu ge Entscheidungen . Aufgabe 9.3 Der risikoneutrale Eigentümer einer in Kürze auslaufenden Bohrkonzession hat gerade noch genügend Zeit, um eine größere Bohrung vornehmen und vor der Bohrung (eventuell) noch einen seismischen Test durchführen zu lassen.¹⁴ Die Ergebnisse und die von Geologen geschä ten Wahrscheinlichkeiten sind an den Kanten des unten stehenden Entscheidungsbaumes notiert. Man bestimme die optimale Politik. Bohrung Bohrung Bohrung Keine Bohrung Keine Bohrung Keine Bohrung Testergebnis günstig Testergebnis ungünstig Öl Öl Öl Kein Öl Kein Öl Kein Öl 400 000 400 000 400 000 30 000 100 000 100 000 100 000 Kein seismischer Test Seismischer Test 0,6 0,4 0,1 0,85 0,15 0,9 0,55 0,45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ¹⁴ An diesem Beispiel erläutert Hammond (1967) die Konstruktion eines Entscheidungsbaumes; vgl. auch Aufgabe 6.7. 9.5 Aufgaben 255 Aufteilungsprobleme Die nächste Aufgabe stellt ein spezielles Aufteilungsproblem dar. Ihr seien folgende Hinweise vorangestellt: Aufteilungsprobleme treten in der betrieblichen Praxis dort auf, wo eine beschränkte Anzahl von K Einheiten eines Produktionsmi els auf n Verwendungsmöglichkeiten so aufgeteilt werden soll, dass der Gesamtertrag maximal wird. Einige Beispiele: • Aufteilung eines Budgets K auf n verschiedene Entwicklungs- oder Investitionsprojekte. • Einsa planung imMarketing; wie sollen die verfügbaren K Firmenvertreter optimal auf die n Teilgebiete des Gesamtmarktes aufgeteilt werden? • Produktionsplanung einerMolkerei; wie sollen die verfügbarenKHektoliter Rohmilch auf die n verschiedenen Verwendungszwecke (Trinkmilch, Jogurt, Quark, Käse usw.) aufgeteilt werden? • Ein anderes häufig zitiertes Aufteilungsproblem ist das so genannte Rucksackproblem;welcheGegenstände sollen in einen Rucksack gepacktwerden, so dass der Gesamtnu en maximal ist und ein vorgegebenes Gewicht von K = 20 Kilogramm nicht überschri en wird? Bezeichnen wir mit ai bzw. ui(ai) die Anzahl der Einheiten, die der i-ten Verwendungsmöglichkeit zugeteilt werden bzw. das daraus resultierende Ergebnis, so besteht das Aufteilungsproblem darin, das Gesamtergebnis u1(a1) + u2(a2) + · · · + un(an) unter den Nebenbedingungen a1 ≧ 0, a2 ≧ 0, . . . , an ≧ 0 und a1 + a2 + · · · + an ≦ K̄ zumaximieren.¹⁵ Dies ist zunächst noch ein einstufiges Entscheidungsproblem. Man kann jedoch künstlich die n Stufen „Zuteilung zur Verwendungsmöglichkeit 1“, „Zuteilung zur Verwendungsmöglichkeit 2“ usw. definieren und eine optimale Aufteilung (a1, a2, . . . , an) schri weise ermi eln. Zuerst wird eine Rückwärtsrechnung nach folgendem Schema durchgeführt: 1. Schri : un(an) wird unter Beachtung der Nebenbedingung 0 ≦ an ≦ K maximiert; die (bzw. eine) Maximalstelle wird mit an(K), der Maximalwert un(an(K)) wird mit Un(K) bezeichnet. 2. Schri : un−1(an−1) + Un(K − an−1) wird unter Beachtung der Nebenbedingung 0 ≦ an−1 ≦ K maximiert;¹⁶ die (bzw. eine) Maximalstelle wird mit an−1(K), der Maximalwert wird mit Un−1(K) bezeichnet. ¹⁵ Es ist zweckmäßig, die gegebene Schranke der besseren Unterscheidung wegen mit K̄ zu bezeichnen, da in der schri weisen Berechnung Teilprobleme mit variablem K auftreten. ¹⁶ un−1(an−1) + Un(K − an−1) gibt das Ergebnis an, das beim Einsa von an−1 Einheiten für den Verwendungszweck n − 1 und dem optimalen Einsa der restlichen K − an−1 Einheiten für den Verwendungszweck n entsteht. 256 9. Mehrstu ge Entscheidungen 3. Schri : un−2(an−2) + Un−1(K − an−2) wird unter Beachtung der Nebenbedingung 0 ≦ an−2 ≦ K maximiert; wieder wird die Maximalstelle mit an−2(K) und der Maximalwert mit Un−2(K) bezeichnet. Führt man analog die Schri e 4, 5, . . . , n durch, so erhält man die restlichen Maximalstellen an−3(K), . . . , a2(K), a1(K) und die jeweiligen Maximalwerte Un−3(K), . . . ,U2(K),U1(K). Mithilfe dieser ai(K) und des gegebenen Wertes K̄ ergibt sich eine optimale Aufteilung durch die Vorwärtsrechnung (die wie in Abschni 9.3 nur aus Einse ungen besteht): a∗1 = a1(K̄) , a∗2 = a2(K̄ − a∗1 ) , a∗3 = a3(K̄ − a∗1 − a∗2 ) , ... a∗n = an(K̄ − a∗1 − · · · − a∗n−1) . Das maximale Gesamtergebnis ist U1(K̄). . Aufgabe 9.4 Eine Unternehmung ist in der Lage, insgesamt K̄ = 1 000 000 Euro in drei zur Deba e stehende Projekte P1, P2 sowie P3 zu investieren. Die Ergebnisfunktionen (= Ne ogewinne) seien durch u1(a1) = 100 √ a1, u2(a2) = 120 √ a2 sowie u3(a3) = 80 √ a3 gegeben. Welches ist die optimale Aufteilung für den Fall, dass a) nur in die drei Projekte investiert werden kann (und der nicht investierte Teil von K̄ kein Ergebnis erbringt), b) als vierte Alternative eine Anlage (in unbegrenzter Höhe) zum festen Zinssa von 10% möglich ist? Lösungen zu den Aufgaben Lösung zu Aufgabe 3.1 Es liegen zwei Zielse ungen k1 (Gewinnmaximierung) und k2 (Umsa maximierung) vor. Die verfügbaren Aktionen bestehen in den alternativ möglichen Angebotspreisen p. Se t man Nu eneinheit und Geldeinheit gleich, dann werden die den individuellen Zielkriterien k1, k2 zugehörigen Nu enwerte u1, u2 der Aktionen wie folgt bestimmt: u1(p) = px − K = 50p − p2 − 500 u2(p) = px = 40p − p2 . Bei ausschließlicher Gewinnmaximierung ergibt sich ein optimaler Angebotspreis von 25, bei ausschließlicher Umsa maximierung ein Preis von 20. Beide Ziele widersprechen sich also. Es ist eine Zielgewichtung im Verhältnis 4 : 1 vorzunehmen. Nach Normierung der Zielgewichte ergibt sich folgende Bewertungsfunktion: Φ(p) = 0,8 · (50p − p2 − 500) + 0,2 · (40p − p2) . Der bei dieser Zielgewichtung optimale Angebotspreis ist p∗ = 24. Die Zielwerte betragen u1(p∗) = 124 und u2(p∗) = 384. Lösung zu Aufgabe 3.2 Die Aktionen bestehen in den zulässigen Produktionsplänen (x, y). Die anzuwendende Bewertungsfunktion Φ ergibt sich durch Gewichtung der Nu enwerte u1(x, y) = 5x + 10y und u2(x, y) = x der beiden Zielse ungen k1 (Deckungsbeitragsmaximierung) und k2 (Absa maximierung des Produktes I) mit Φ(x, y) = 0,2 · (5x + 10y) + 0,8x . Φ ist zu maximieren unter den Nebenbedingungen 5x + 8y ≦ 740, 9x + 8y ≦ 980, x ≦ 100, y ≦ 80, und x, y ≧ 0 . Die Lösung lautet: x∗ = 60, y∗ = 55, u1(x∗, y∗) = 850 sowie u2(x∗, y∗) = 60 .

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.