Content

8.1 Probleme einer gerechten Aggregation individueller Präferenzen in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 221 - 226

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_221

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

Bibliographic information
8. Entscheidungen durch Entscheidungsgremien Im Zuge der fortschreitenden Demokratisierung werden nicht nur im politischen, sondern auch im wirtschaftlichen Bereich immer häufiger Entscheidungen von Entscheidungsgremien getroffen; deshalb sind die mit Entscheidungsgremien zusammenhängenden Probleme auch von betriebswirtschaftlichem Interesse. Der Intention des Buches entsprechend sollen die ideologischen gegenüber den formalen Aspekten vernachlässigt werden. Bei Entscheidungen durch Entscheidungsgremien lassen sich ebenfalls statische und dynamische Probleme, Sicherheits-, Risiko- und Ungewissheitssituationen sowie verschiedene Informationsstrukturen unterscheiden. Diese Unterscheidung bringt für die Behandlung von Kollektiventscheidungen nicht viel Neues, da es für die bisherige Behandlung derartiger Situationen (vgl. Kapitel 3 bis 6) unerheblich war, ob der Entscheidungsträger ein Individuum oder ein Gremium ist. Von zentralem Interesse ist vielmehr die folgende Frage: Wie können die Präferenzordnungen der Mitglieder des Gremiums „möglichst gerecht“ zu einer einzigen Präferenzordnung aggregiert werden? Es ist offensichtlich, welche praktische Bedeutung ein gerechter, allgemein akzeptierter Aggregationsmechanismus besäße. Aufgenommen in die Geschäftsordnung, könnte er endlose Deba en ersparen; relativ mühe- und konfliktlos könnten mit seiner Hilfe Probleme von folgendem Typ gelöst werden: • Auf welche Prioritätenliste für Forschungsprojekte oder andere Projekte soll sich der Vorstand einer AG einigen? • In welche Rangfolge soll der Vorstand die Kandidaten für vakante leitende Stellen ordnen? • Auf welche Rangfolge der verschiedenen Unternehmensziele soll sich der Vorstand einigen? • Auf welche Rangfolge von konkurrierenden wirtschaftspolitischen Zielen soll sich ein politisches Gremium einigen? • Nach welchen Prioritäten soll ein Stadtrat seine zur Deba e stehenden Projekte ordnen? • Auf welche Landesliste soll sich ein Landesparteitag einigen? • Wie kann in einem Berufungsausschuss ein Konsens über eine Berufungsliste erreicht werden? • usw. Vielfach müssen in der Praxis Entscheidungsgremien keine Präferenzordnung aller zur Deba e stehenden Alternativen aufstellen, sondern sich lediglich für eine der Alternativen entscheiden. Diese Aufgabe ist natürlich gelöst, wenn das Gremium eine Präferenzordnung aller Alternativen ermi elt hat und der „Spi enreiter“ eindeutig bestimmt ist. Viele Verfahren sind jedoch ausschließ- 212 8. Entscheidungen durch Entscheidungsgremien lich auf die Ermi lung der Gremienentscheidung (und nicht der komple en Gremienpräferenzordnung) ausgelegt. Diese Verfahren werden als kollektive Entscheidungsregeln¹ bezeichnet. Im nachfolgenden Abschni 8.1 werden zunächst die (formalen) Probleme einer gerechten Aggregation von individuellen Präferenzen erörtert sowie wichtige Bezeichnungen eingeführt. Abschni 8.2 hat das bekannte Ergebnis von K. J. Arrow zum Gegenstand, das oft als „Unmöglichkeitstheorem“ bezeichnet wird und gelegentlich in unzulässig vergröberter Form durch das Schlagwort „Demokratie ist unmöglich“ beschrieben wird. In Abschni 8.3 werden Abänderungen derjenigen Forderungen, die das Unmöglichkeitstheorem zur Folge haben, untersucht. In Abschni 8.4 kommen traditionelle Wahlverfahren, allgemeine kollektive Entscheidungsregeln sowie in Abschni 8.5 ein weiteres wichtiges Unmöglichkeitstheorem (Gibbard und Sa erthwaite) zur Sprache. Eine kritische Zusammenfassung erübrigt sich bei diesem Kapitel, da die „negativen Resultate“ ohnehin gegenüber den „positiven Resultaten“ überwiegen, so dass eine unmi elbare praktische Anwendung der Resultate in den Hintergrund tri . Dies soll natürlich nicht besagen, dass die Resultate keinerlei Bezug zur Anwendung haben. Auch die Erkenntnis, dass es vergebliche Mühe wäre, nach einem allseits zufrieden stellenden Aggregationsmechanismus zu suchen, kann für die Praxis von Nu en sein. 8.1 Probleme einer gerechten Aggregation individueller Präferenzen Das Entscheidungsgremium bestehe aus N Individuen. Eine Menge A von m Alternativen a, b, c, . . . stehe zur Deba e. Jedes der N Mitglieder des Entscheidungsgremiums besi e bezüglich dieser Alternativen eine transitive und vollständige Präferenzordnung.² Da wir es mit N Präferenzordnungen zu tun haben, ist es zweckmäßig, auf das Symbol ≽ zu verzichten und sta dessen die Präferenzordnung des i-ten Mitgliedes mit Ri zu bezeichnen; es bedeute a Ri b , dass die Alternative a ∈ A für das i-te Mitglied mindestens so gut wie die Alternative b ∈ A ist. Die Präferenzordnung Ri kann mithilfe der Definitionen a Ii b : ⇐⇒ a Ri b und b Ri a , a Pi b : ⇐⇒ a Ri b und nicht b Ri a ¹ Andere Bezeichnungen sind: Abstimmungsregeln, social decision functions, social choice functions. Diese Mechanismen ordnen jedem Präferenzordnungsprofil als Funktionswert ein einziges Element von A zu, nämlich den kollektiven Spi enreiter. In leichter Verallgemeinerung findet man in der Literatur (z. B. Sen, 1970) auch die Definition, dass die kollektive Entscheidungsregel jedem Profil eine binäre Relation R über A zuordnet mit der Eigenschaft, dass jede Teilmenge von A (also auch A selbst) ein bezüglich R optimales Element besi t. ² Die Transitivität und die Vollständigkeit einer Präferenzordnung wurden bereits in Abschni 2.4 erläutert. 8.1 Gerechte Aggregation individueller Präferenzen 213 in die Indifferenzrelation Ii und die strikte Präferenzrelation Pi aufgespalten werden. Es bedeutet also a Ii b , dass das i-te Mitglied zwischen den Alternativen a und b indifferent ist, sowie a Pi b , dass das i-te Mitglied die Alternative a gegenüber der Alternative b (echt) präferiert. Fasst man die Präferenzordnungen der N Mitglieder zu dem N- Tupel (R1, R2, . . . , RN) zusammen, so erhält man ein Präferenzordnungsprofil. Die Frage, die uns hier beschäftigt, lautet: Nach welchen Spielregeln soll das Gremium aus einem Präferenzordnungsprofil (R1, R2, . . . , RN) eine kollektive Präferenzordnung R herstellen? Dieses Problem ist übrigens, wie in Abschni 3.3 bereits erwähnt, rein formal völlig identisch mit dem Problem, das sich einem Individuum stellt, das m Alternativen bezüglich N Zielen ordinal geordnet hat und aus diesen N Präferenzordnungen eine gemeinsame Präferenzordnung konstruieren muss. In dem speziellen Fall, dass alle individuellen Präferenzordnungen übereinstimmen, dürfte es unumstri en sein, dass die kollektive Präferenzordnung R mit der für alle Mitglieder gleichen Präferenzordnung übereinstimmen sollte. Sobald dieser Fall der völligen Interessenharmonie nicht vorliegt, wird die Aggregation eines Präferenzordnungsprofils problematischer; gleichzeitig wird damit die Nü lichkeit eines vernünftigen Aggregationsmechanismus³ deutlicher gemacht. Was unter „vernünftig“ zu verstehen ist, kann auf verschiedene Weisen präzisiert werden. Eine erste nahe liegende Forderung besteht darin, dass der Aggregationsmechanismus für jede vorhersehbare Situation, das heißt für jedes Präferenzordnungsprofil, verwendbar sein sollte. Bezeichnen wir die Menge aller transitiven und vollständigen Präferenzordnungen auf A mit R, so bedeutet diese Forderung, dass der Aggregationsmechanismus eine Zuordnung F ist, die jedem Präferenzordnungsprofil, das heißt jedem Element der Menge RN = R × R × · · · × R wieder eine Präferenzordnung, das heißt ein Element von R zuordnet: F : RN → R . Aus der formalen Darstellung ersieht man, dass die Anzahl der möglichen Aggregationsmechanismen F sehr rasch mit der Alternativenzahl m und der Gremiengröße N anwächst. Bezeichnet nämlich |R| die Anzahl der Elemente von R, so gibt es |R|(|R| N) mögliche Aggregationsmechanismen. Auch die Anzahl kollektiver Entscheidungsregeln steigt mit wachsenden m und N sehr schnell an; sie beträgt m(|R| N) . ³ Andere Bezeichnungen sind: kollektive Präferenzordnungsregel, Schlichtungsregel, Konstitution, Präferenzen aggregierende Funktion, social welfare function. 214 8. Entscheidungen durch Entscheidungsgremien Für m = 3 und A = {a, b, c} ergeben sich beispielsweise die in der Abbildung 8.1 dargestellten 13 Präferenzordnungen. Bei dieser Tabelle wurden gleichwer- Nummer 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a b c a b c a b c bc ac ab abc b c a c a b bc ac ab a b c c a b b c a Abb. 8.1: Die Präferenzordnungen zwischen drei Alternativen a, b, c tige Alternativen auf ein Niveau geschrieben; bei der Präferenzordnung Nr. 13 sind also alle Alternativen gleichwertig. Bei der PräferenzordnungNr. 1 kommt dagegen keine Gleichwertigkeit vor; a wird gegenüber b streng präferiert, b ebenso gegenüber c (wegen der Transitivität dann auch a gegenüber c). Nehmen wir je t noch zusä lich N = 3 an, so ist wegen |R| = 13 die Anzahl der möglichen Aggregationsmechanismen bzw. kollektiven Entscheidungsregeln durch 13(13 3) = 132197 bzw. 3(13 3) = 32197 gegeben. Die Vielfalt an Aggregationsmechanismen enthält offensichtlich zahlreiche Möglichkeiten, die man als „unvernünftig“ einstufen muss. So gibt es zunächst Aggregationsmechanismen, die jedem Präferenzordnungsprofil (R1, R2, R3) dieselbe Präferenzordnung R ∈ R zuordnen (konstante Abbildungen); von diesem Typ gibt es 13 Exemplare. Man bezeichnet sie als aufgezwungene Aggregationsmechanismen, da die resultierende kollektive Präferenzordnung von den individuellen Präferenzen gänzlich unabhängig ist.⁴ Ferner gibt es die drei diktatorischen Aggregationsmechanismen:⁵ F(R1, R2, R3) = R1 für alle (R1, R2, R3) ∈ R3 , F(R1, R2, R3) = R2 für alle (R1, R2, R3) ∈ R3 , F(R1, R2, R3) = R3 für alle (R1, R2, R3) ∈ R3 , bei denen jeweils die Präferenzordnung eines Mitglieds (Diktator) zur Präferenzordnung desGremiums gemachtwird. Berücksichtigtman die aufgezwungenen und diktatorischen Lösungen nicht, so bleiben immer noch 132197 − 16 Möglichkeiten offen. Diese Riesenauswahl erweckt die Hoffnung, dass ein geeignetes F gefunden werden kann. Dennoch wird sich im nächsten Abschni ⁴ Arrow (1963, S. 28) bezeichnet einen Aggregationsmechanismus bereits dann als aufgezwungen (imposed), wenn für irgendein Paar (a, b) verschiedener Alternativen stets a R b gilt, unabhängig davon, welches die individuellen Präferenzen R1, . . . , RN sind (Forderung 2b in Abschni 8.3). In einem solchen Fall liegt insofern ein Tabu vor, als das Gremium nicht in der Lage ist, b gegenüber a zu bevorzugen. Aufgezwungene Aggregationsmechanismen von diesem allgemeinen Typ sind natürlich zahlreicher als die oben betrachteten konstanten Aggregationsmechanismen. ⁵ In Abschni 8.2 wird an ein diktatorisches F eine schwächere Forderung gestellt (Forderung 4). 8.1 Gerechte Aggregation individueller Präferenzen 215 zeigen, dass es keinen Aggregationsmechanismus gibt, der einige harmlos aussehende Rationalitätspostulate gleichzeitig erfüllen kann. Werfenwir jedoch vorher noch einen Blick auf diejenige Aggregationsmethode, die in fast allen Gremien praktiziert wird: die Mehrheitsentscheidung. Bei der Mehrheitsentscheidung gilt für je zwei Alternativen a und b a R b genau dann, wenn die Anzahl der Mitglieder i, die a mindestens so gut wie b einschä en, für die also a Ri b gilt, mindestens so groß wie die Anzahl der Mitglieder i mit b Ri a ist. Wir wollen wiederum N = m = 3 annehmen, also ein Drei-Personen-Gremium betrachten, das die drei Alternativen a, b, c in eine Reihenfolge zu bringen hat. Weiterhin wollen wir speziell annehmen, dass das Gremienmitglied Nr. i die Präferenzordnung Nr. i von Abbildung 8.1 besi t. Welche Rangfolge entsteht auf Grund von Mehrheitsbeschlüssen? Die Mitglieder 1 und 3 präferieren a gegenüber b, also präferiert eine Mehrheit und damit auch das Gremium a gegenüber b: a ≻ b Die Mitglieder 1 und 2 präferieren b gegenüber c, also müsste auch b ≻ c gelten. Wäre die entstehende Rangordnung transitiv, so müssten diese beiden Präferenzen auch a ≻ c zur Folge haben. Tatsächlich sieht man aber, dass eine Mehrheit (bestehend aus den Mitgliedern 2 und 3) c gegenüber a präferiert: c ≻ a . Für einen Beobachter, der das Wirken des Gremiums von außen betrachtet, mag es paradox erscheinen, dass das Gremium zuerst a gegenüber b präferiert, dann aber a für schlechter erachtet als eine Alternative c, die ihrerseits geringer als b eingestuft wurde. Dieser paradox aussehende Effekt, dass durch einfache (oder qualifizierte) Mehrheitsentscheidungen aus transitiven individuellen Rangordnungen intransitive kollektive Rangordnungen entstehen können, wurde bereits 1785 vom Marquis de Condorcet beschrieben⁶ und wird seither als Wählerparadoxon (oder Condorcet-Effekt) bezeichnet. Das obige Beispiel zeigt ferner, dass die Mehrheitsentscheidung (bei mindestens drei Alternativen) überhaupt kein Aggregationsmechanismus in dem hier betrachteten Sinne ist, da die entstehende Relation nicht für jedes Präferenzordnungsprofil transitiv ist. ⁶ Vgl. Condorcet (1785). 216 8. Entscheidungen durch Entscheidungsgremien 8.2 Das Unmöglichkeitstheorem von Arrow An einen Aggregationsmechanismus F stellen wir nun eine Reihe von Forderungen. Die erste Forderung wurde bereits bei der Definition von F aufgestellt; es wurde nämlich vorausgese t, dass F die Gesamtheit aller Präferenzordnungsprofile als Definitionsbereich besi t. Da in Abschni 8.3 abgeänderte Definitionsbereiche erörtert werden, ist es zweckmäßig, diese Forderung hier nochmals explizit aufzuführen. Forderung 1 (Universeller Definitionsbereich, universal domain condition): Der Aggregationsmechanismus F ist auf der Menge RN aller Präferenzordnungsprofile definiert. Die nächste Forderung besagt, dass der Aggregationsmechanismus F das einstimmige Urteil aller Mitglieder respektieren muss: Präferieren alle Mitglieder die Alternative a gegenüber der Alternative b, so darf F keine Präferenzordnung liefern, die entweder a und b gleichwertig macht oder b gegenüber a präferiert. Ist z. B. N = m = 3 und bestehe das Präferenzordnungsprofil (R1, R2, R3) aus den Präferenzordnungen Nr. 1, 4 und 7 von Abbildung 8.1 R1 R2 R3 a a a b c bc c b so wird von allen Mitgliedern a gegenüber b sowie a gegenüber c präferiert. Infolgedessen kann die resultierende Präferenzordnung F(R1, R2, R3) des Gremiums nur eine der Präferenzordnungen Nr. 1, 4 und 7 von Abbildung 8.1 sein; alle anderen 10 Präferenzordnungen verle en diese Forderung. Diesem Umstand wird mit der folgenden Forderung Rechnung getragen. Forderung 2 (Einstimmigkeitsbedingung, Pareto-Bedingung, unanimity condition): Sind a, b zwei beliebige Alternativen und ist (R1, . . . , RN) ein Präferenzordnungsprofil mit a Pi b für i = 1, . . . ,N, so gilt auch a P b ; dabei ist Pi die Ri entsprechende strikte Präferenzrelation und P die der kollektiven Präferenzordnung F(R1, . . . , RN) entsprechende strikte Präferenzrelation. Die dri e Forderung besagt, dass sich die Präferenzordnung R des Gremiums in dem folgenden Sinne aus den individuellen Paarvergleichen ergeben muss: Sind (R1, . . . , RN) und (R′1, . . . , R ′ N) zwei Präferenzordnungsprofile, die zwei (beliebige) Alternativen a und b übereinstimmend beurteilen, so

Chapter Preview

References

Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.