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7.6 Kooperative N-Personenspiele in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 210 - 217

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_210

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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7.6 Kooperative N-Personenspiele 199 ler jeweils die Werte û1 bzw. û2 der zugehörigen Nash-Lösung (û1, û2) fordern. Se t man dies voraus, so ist das Forderungsspiel kein echtes Spiel mehr (da die Einigung auf (û1, û2) durch den Schlichtungsmechanismus bewerkstelligt wird); die gesamten spieltheoretischen Aspekte verlagern sich in das nichtkooperative Drohspiel. Nash zeigte, dass die Gleichgewichtspunkte dieses Drohspiels ansprechende Eigenschaften haben: Sie sind vertauschbar und führen alle zu demselben undominierten Auszahlungspunkt, der auch der Garantiepunkt ist; mithin kann jedes gleichgewichtige Paar von Drohstrategien und jedes Paar von Maximin-Drohstrategien als eine Lösung aufgefasst werden. 7.6 Kooperative N-Personenspiele Wie bereits in Abschni 7.2 erwähnt, entstehen im Rahmen von N-Personenspielen (mit N ≧ 3) gegenüber den Zweipersonenspielen zusä liche Schwierigkeiten dadurch, dass sich Koalitionen bilden können. Große theoretische Anstrengungen wurden zur Klärung der Frage unternommen, welche Koalitionen sich unter rationalen Spielern bilden sollten undwelches die faire Aufteilung des Koalitionsgewinnes ist. Auch breit angelegte empirischeUntersuchungen wurden unternommen,³³ teils um die normativen Resultate der Theorie zu testen, teils um zu ergründen, wie sich Personen (mit den üblichen menschlichen Schwächen) in kooperativen Mehrpersonenspielen tatsächlich verhalten. Es darf bereits hier vorweggenommen werden, dass kein Rezept dafür bereitsteht, das Spielergebnis mit hundertprozentiger Sicherheit prognostizieren zu können. Dies wird nach den Problemen, mit denen wir schon bei den allgemeinen Zweipersonenspielen zu kämpfen ha en, wohl nicht weiter überraschen. Ein einfaches Fünfpersonenspiel, auf das wir im Folgenden oft zurückgreifen, mag der weiteren Veranschaulichung der auftretenden Probleme dienen. Die speziellen Spieldaten interessieren hier nicht im Detail, sondern nur in Bezug auf die Auszahlung, die sich die verschiedenen Koalitionen sichern können. In Bezug auf diese Koalitionsauszahlungen wird Folgendes angenommen: 40 Euro bekommt eine Koalition, falls sie entweder aus Spieler 1 und mindestens einem der restlichen Spieler besteht oder falls sie aus den restlichen vier Spielern 2, 3, 4 und 5 besteht; alle anderen Koalitionen bekommen nichts. Bei diesem Spiel kann man zwar ohne Bedenken die Prognose wagen, dass sich eine der „Gewinnkoalitionen“ bilden wird; eine genauere Prognose, die sich auf eine der 16 Gewinnkoalitionen sowie auf eine Aufteilung des Koalitionsgewinnes festlegt, dürfte jedoch nur selten „ins Schwarze treffen“. Formiert sich beispielsweise die Koalition {2, 3, 4, 5}, so geht Spieler 1 leer aus, während die restlichen Spieler 40 Euro unter sich aufteilen. Da die Rollen der vier Spieler 2, 3, 4, 5 symmetrisch sind, wirdman bei fairem Verhalten erwarten dürfen, dass sich die vier Spieler auf eine gleichmäßige Aufteilung einigen; ins- ³³ Vgl. z. B. Rapoport/Orwant (1962); Selten/Schuster (1968). 200 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern gesamt entsteht dann der Auszahlungsvektor (0, 10, 10, 10, 10). Andererseits wird Spieler 1 diese Koalition mit allen Mi eln verhindern wollen. Wenn es ihm gelingt, einen Spieler – etwa Spieler 2 – aus der Koalition herauszulösen, kann er sich mit diesem Spieler die 40 Euro teilen. Wenn Spieler 2 dafür den Löwenanteil – sagen wir 35 Euro – verlangt, entsteht der Auszahlungsvektor (5, 35, 0, 0, 0). Selbst bei dieser ungleichen Aufteilung stellt sich Spieler 1 (und natürlich Spieler 2) besser als bei obigem Auszahlungsvektor (0, 10, 10, 10, 10). Aber auch gegen diese Gewinnkoalition {1, 2} und diese Aufteilung sprechen gewichtige Argumente. So könnte sich etwa Spieler 3 dem Spieler 1 als billigerer Koalitionspartner – etwa für 20 Euro – anbieten; geht Spieler 1 darauf ein, so entsteht der Auszahlungsvektor (20, 0, 20, 0, 0). Da die vier Spieler 2, 3, 4, 5 jedoch in harter Konkurrenz um die begehrte Partnerschaft mit Spieler 1 stehen, scheint es für den Spieler 1 rational zu sein, seinem Partner nicht viel über 10 Euro zu bieten; denn die einzige sinnvolle Alternative zu einer Koalition mit Spieler 1 ist die anfänglich betrachtete Koalition {2, 3, 4, 5}, die jedem der vier Spieler 2, 3, 4 und 5 nur 10 Euro einbringt. Auf Grund dieses Konkurrenzdrucks kann Spieler 1 seine potenziellen Partner gegeneinander ausspielen, was z. B. Dreierkoalitionen vom Typ {1, 2, 3}, {1, 2, 4} usw. als sehr unwahrscheinlich, Auszahlungsvektoren vom Typ (29, 11, 0, 0, 0), (30, 10, 0, 0, 0), (29, 0, 11, 0, 0) usw. dagegen als sehr wahrscheinlich erscheinen lässt. Selten/Schuster (1968) ließen dieses Fünfpersonenspiel von Studenten der Universität Frankfurt mehrfach durchspielen. Eine Koalition und ein Auszahlungsvektor galten dabei als endgültig, wenn sie 10 Verhandlungsminuten überdauerten. Es zeigte sich, dass häufig Auszahlungsvektoren vom Typ (25, 15, 0, 0, 0), (25, 0, 15, 0, 0) zu Stande kamen, aber auch der für starkes Solidaritätsgefühl sprechende Auszahlungsvektor (8, 8, 8, 8, 8) sowie unmotivierter erscheinende Ergebnisse wie etwa (0, 7, 7, 19, 7) und (25, 0, 5, 5, 5). Wegen weiterer empirischer Resultate sei direkt auf Selten/Schuster (1968) oder auch auf die ausführliche Besprechung dieses Experimentes durch Borch (1969) verwiesen. Ohne Zweifel kann man aus den empirischen Resultaten den Schluss ziehen, dass die Kenntnis von persönlichkeitsbestimmten Daten wie etwa Sympathien, Antipathien, Beredsamkeit, Verhandlungsgeschick, weltanschauliche Einstellung usw. für eine absolut sichere Prognose unerlässlich sein wird. Die Einbeziehung solcher Daten wirft zusä liche gravierende Messprobleme sowie psychologische und soziologische Fragestellungen auf.Wir wollen uns hier auf die Behandlung einiger wesentlicher Definitionen und Lösungsansä e beschränken, die zur Beantwortung der eingangs dieses Abschni s erwähnten normativen Fragestellungen dienen. Wie in diesem Fünfpersonenspiel wollen wir auch künftig annehmen, dass die Auszahlungen in Einheiten eines unbeschränkt teilbaren, transferierbaren Gutes (z. B. Geld) erfolgen, so dass es einen Sinn hat, den Koalitionsgewinn durch eine einzige Zahl zu beschreiben und von Aufteilungen des Koalitionsgewinnes auf die Koalitionsteilnehmer zu reden. Weiter sollen alle denkbaren Koalitionen sowie alle denkbaren Aufteilungen a priori möglich sein (später werden natürlich einige normative Forderungen aufgestellt). Da wir primär an der Analyse der Koalitionsbildung interessiert sind, wäre es ein Umweg, den 7.6 Kooperative N-Personenspiele 201 Untersuchungen das Spiel in Normalform zu Grunde zu legen und die Normalform dann durch die Einbeziehung von Absprachen über kompensierende Zahlungen und koordinierte Strategienwahl zu ergänzen. Es ist zweckmäßiger, das kooperative N-Personenspiel direkt durch die Auszahlungen zu beschreiben, die sich die verschiedenen Koalitionen sichern können. Die Funktion, die diese Beschreibung leistet, heißt charakteristische Funktion des Spiels. Bezeichnen wir die Spielermenge des kooperativen N-Personenspiels Γ mit S = {1, 2, . . . ,N} , so ordnet die charakteristische Funktion v jeder Teilmenge K von S eine reelle Zahl zu;³⁴ der Funktionswert v(K) gibt die Auszahlung an, die sich die Koalition K (durch geeignete Strategienwahl, die aber hier nicht weiter interessiert) sichern kann. Demnach ist v(K) der untere Spielwert des Spielers K in dem Zweipersonenspiel, das sich zwischen der Koalition K und der Gegenkoalition S \ K ergibt. In dem obigen Fünfpersonenspiel hat die charakteristische Funktion beispielsweise folgende Form: v(K) = 40, falls 1 ∈ K und K mindestens zweielementig ist 40, falls K = {2, 3, 4, 5} 0, sonst . Zwei disjunkte Koalitionen K1 und K2 können sich insgesamt die Auszahlung v(K1) + v(K2) sichern; fügen sie sich zu einer großen Koalition K = K1 ∪ K2 zusammen, so können sie sich (durch koordinierte Strategienwahl) mindestens ebenso viel sichern. Deshalb erfüllt die charakteristische Funktion v die Ungleichung: v(K1 ∪ K2) ≧ v(K1) + v(K2), falls K1 ∩ K2 = ∅ . Gilt hierbei für ein Spiel Γ stets das Gleichheitszeichen, so besagt dies, dass sich keine Koalitionsbildung lohnt und jeder Spieler auf eigene Faust genauso viel erreichen kann wie bei Kooperation mit anderen Spielern. Solche Spiele heißen unwesentlich (inessential), da sie vom Gesichtspunkt der kooperativen Theorie aus uninteressant sind. Gilt dagegen für mindestens ein Paar (disjunkter) Koalitionen K1, K2 das Ungleichheitszeichen, also v(K1 ∪ K2) > v(K1) + v(K2) , so heißt das Spiel Γ wesentlich (essential). Ein handliches Kriterium zur Überprüfung, ob ein Spiel Γ wesentlich oder unwesentlich ist, beruht auf dem Vergleich von v(S) mit der Summe ∑ i∈S v({i}) ³⁴ Der Buchstabe K symbolisiert in diesem Abschni stets eine Koalition und nicht – wie im Abschni 7.5 – ein kooperatives Auszahlungsdiagramm. Da man sich lästige Fallunterscheidungen sparen will, lässt man auch die leere Menge, das heißt K = ∅ als Koalition zu; der Funktionswert v(∅) wird definitionsgemäß gleich null gese t. 202 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern aller individuellen Auszahlungen v({i}), die sich die Spieler allein (das heißt jeweils als Ein-Personen-Koalition {i}) sichern können; man rechnet nämlich leicht nach, dass ein Spiel Γ genau dann unwesentlich ist, wenn v(S) = ∑ i∈S v({i}) gilt. Im Beispiel des Fünfpersonenspiels ist v(S) = 40, aber v({i}) = 0 für jedes i; infolgedessen ist das Spiel wesentlich. 7.6.1 Imputationen und Kern eines Spiels Wir kommen nun zu den Auszahlungsvektoren (x1, x2, . . . , xN), die sich nach der Tätigung aller vereinbarten Seitenzahlungen ergeben. Im Beispiel ha en die Auszahlungsvektoren die spezielle Form (0, 10, 10, 10, 10), (25, 15, 0, 0, 0) usw.; jede Komponente war nichtnegativ, die Summe der Komponenten war stets 40. Die beiden Eigenschaften lauten, auf den allgemeinen Fall übertragen: xi ≧ v({i}) für i = 1, . . . ,N und (1)∑ i∈S xi = v(S) . (2) Ein Auszahlungsvektor, der diese Forderungen (1) und (2) erfüllt, heißt eine Imputation (oder Zubilligung, Zurechnung, Zuweisung, Zuteilung). Forderung (1) wird individuelle Rationalität genannt, da sie besagt, dass sich kein Spieler bei einer Koalition mit weniger abspeisen lässt, als er schon aus eigener Kraft erreichen kann. Die Forderung (2) wird kollektive Rationalität oder Pareto- Optimalität genannt; ist sie nämlich verle t, gilt also³⁵∑ i∈S xi < v(S) , so besagt dies, dass beim Auszahlungsvektor (x1, x2, . . . , xN) insgesamt „etwas verschenkt“ wurde. Denn wenn alle Spieler kooperieren (das heißt die Koalition S bilden) und die Mehrauszahlung v(S) − ∑ i∈S xi gleichmäßig untereinander aufteilen, so fahren dabei alle besser als beim Auszahlungsvektor (x1, x2, . . . , xN). Bei rationalen Spielern wird man demnach keine beliebigen Auszahlungsvektoren, sondern nur Imputationen als Ergebnisse erwarten dürfen. Allerdings kann man nicht jede Imputation als rational ansehen. Im Fünfpersonenspiel sind etwa (0, 0, 0, 0, 40) und (0, 1, 0, 39, 0) noch Imputationen; ihre Realisa- ³⁵ Die umgekehrte Ungleichung kann offenbar nicht gelten, da die Spieler voraussetzungsgemäß höchstens soviel unter sich verteilen können, wie sie insgesamt erzielen können. 7.6 Kooperative N-Personenspiele 203 tion würde einem objektiven Betrachter sicher merkwürdig vorkommen. Wir benötigen deshalb nochweitere Forderungen, umdie vernünftigen von den unvernünftigen Imputationen trennen zu können. Nachdemwir bereits gefordert haben, dass jeder Spieler, das heißt jede Koalition {i} und die Spielergesamtheit, das heißt die Koalition S, rational sein sollen, bietet sich als Zusa forderung an, dass auch jede von {i} und S verschiedene Koalition K rational sein soll. Gillies (1959) präzisierte diese Forderung folgendermaßen:∑ i∈K xi ≧ v(K) für alle K ⊆ S . (3) In dieser Form enthält sie speziell auch die Forderungen (1) und (2). Die Menge aller Imputation eines Spiels, die der Forderung (3) genügen, wird als Kern (core) des Spiels bezeichnet. Um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie einschränkend die Forderung (3) ist, wollen wir den Kern unseres Fünfpersonenspiels berechnen. Eine Imputation (x1, x2, . . . , x5) ist durch xi ≧ 0 (i = 1, . . . , 5) und 5∑ i=1 xi = 40 (4) definiert. Die Forderung (3) liefert für K = {2, 3, 4, 5}: 5∑ i=2 xi ≧ 40 . Daraus lässt sich mit (4) ersehen, dass x1 = 0 sein muss. Die Forderung (3) liefert z. B. für K = {1, 2} und K = {1, 3}: x1 + x2 ≧ 40 und x1 + x3 ≧ 40 . Da x1 verschwinden muss, sieht man, dass x2 und x3 mindestens 40 betragen müssen; dies kann nach (4) jedoch nicht der Fall sein. Der Widerspruch zeigt, dass keine Imputation existieren kann, die zum Kern gehört; der Kern ist also bei diesem Spiel leer. Der Kern ist auch bei vielen anderen Spielen leer; es lässt sich zeigen (vgl. Aufgabe 7.5), dass jedes wesentliche Konstantsummenspiel einen leeren Kern besi t.³⁶ Die Forderung (3) siebt also unter den Imputationen häufig so viele ³⁶ Ein Spiel Γ, gegeben durch seine charakteristische Funktion v, heißt dabei ein Konstantsummenspiel, wenn für jede Koalition K gilt: v(K) + v(S \ K) = v(S) . War Γ ursprünglich durch seine Normalform gegeben und ist diese ein Konstantsummenspiel (in dem in 7.2 definierten Sinne), so erfüllt Γ diese Bedingung genau dann, wenn für jedes K das Zweipersonenspiel von K gegen S \ K einem determinierten Nullsummenspiel strategisch äquivalent ist. 204 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern als unvernünftig aus, dass keine „vernünftigen“ mehr übrig bleiben. Versteht man unter einer „vernünftigen“ Imputation eine Imputation, die sich durch besondere Stabilitätseigenschaften auszeichnet und als gleichgewichtig bezeichnet werden kann, so existieren bei einem Spiel mit leerem Kern tatsächlich keine vernünftigen Imputationen. Denn sie besi en alle zumindest folgenden Schönheitsfehler: Zu (x1, . . . , xN) gibt es (mindestens) eine Koalition K, so dass∑ i∈K xi < v(K) gilt (sonst wäre nämlich (3) erfüllt). Dies bedeutet aber, dass die Spieler i ∈ K keine Veranlassung haben, mit der Imputation (x1, . . . , xN) zufrieden zu sein; bei der Bildung der Koalition K könnten diese Spieler alle besser abschneiden. Wird jedoch die Koalition K gebildet, so gibt es bezüglich der neu entstandenen Imputation (x′1, . . . , x′N)wiederum eine Koalition K ′, die dasselbe Problem aufwirft usw. 7.6.2 Die Von-Neumann-Morgenstern-Lösung Fasst man nur Imputationen aus dem Kern als Lösungen auf, so hat man zwar für lösbare Spiele eine Lösung mit befriedigenden Eigenschaften; gleichzeitig muss man jedoch in Kauf nehmen, dass sehr viele Spiele unlösbar sind. Von Neumann/Morgenstern (1947) wollten möglichst allen Spielen eine Lösung zuordnen und führten einen anderen Lösungsbegriff ein. In ihrer Bezeichnungsweise dominiert eine Imputation x = (x1, . . . , xN) eine Imputation y = (y1, . . . , yN), wenn es eine (nichtleere) Koalition K gibt, so dass xi > yi für alle i ∈ K (5) und ∑ i∈K xi ≦ v(K) (6) gilt. Die Bedingung (5) besagt, dass sich alle Spieler aus K bei der Imputation x besser stellen als bei der Imputation y. Die Bedingung (6) garantiert, dass die Spieler aus K auch in der Lage sind, die Ansprüche xi aus dem Koalitionsgewinn v(K) zu befriedigen. Man sieht, dass eine Imputation genau dann zum Kern gehört, wenn sie von keiner anderen Imputation dominiert wird; damit ist allerdings nicht gesagt (und im Allgemeinen falsch), dass eine Imputation aus dem Kern jede Imputation außerhalb des Kerns dominiert. Die Dominanz ist keine transitive Relation; es kann beispielsweise x die Imputation y dominieren und y seinerseits die Imputation x (natürlich bezüglich verschiedener Koalitionen K, K′). Infolgedessen ist kaum damit zu rechnen – was auch bei obiger Diskussion der Imputationen bei leerem Kern deutlich wurde –, dass eine Imputation gefunden werden kann, die bezüglich der Dominanzrelation optimal ist. Deshalb definierten von Neumann/Morgenstern auch nicht eine 7.6 Kooperative N-Personenspiele 205 einzelne Imputation, sondern eine Menge L von Imputationen als Lösung,³⁷ wenn L die beiden folgenden Stabilitätsbedingungen erfüllt: a) Jede nicht in L enthaltene Imputation wird durch eine Imputation aus L dominiert. b) Keine Imputation aus Lwird von einer anderen Imputation aus L dominiert. Von Neumann/Morgenstern vergleichen die Lösung L mit einem „akzeptierten Verhaltensstandard“ oder einer „Gesellschaftsordnung“. Die Bedingung a) sorgt dafür, dass jedes nicht akzeptierte Verhalten (= Imputation außerhalb von L) diskreditiert werden kann; die Bedingung b) verhindert innere Widersprüche der Gesellschaftsordnung. Bei einigen Spielen gibt es nur eine einzige Lösung L, bei anderen existieren mehrere Lösungen L1, L2, . . . Es können (sogar schon bei Dreipersonenspielen) auch unendlich viele Spiellösungen existieren. Unwesentliche Spiele besi en nur eine einzige Imputation, nämlich (v({1}), . . . , v({N})) ; diese Imputation stellt auch die Lösung L dar. Bei Zweipersonenspielen gibt es auch nur eine Lösung, nämlich L = {(x1, x2) : x1 ≧ v({1}), x2 ≧ v({2}), x1 + x2 = v({1, 2})} . Die Aufteilung des kooperativ möglichen Gesamtgewinns bleibt dabei völlig offen. Unser Fünfpersonenspiel besi t mehrere Lösungen; eine davon besteht aus den folgenden fünf Imputationen: (30, 10, 0, 0, 0), (30, 0, 10, 0, 0), (30, 0, 0, 10, 0), (30, 0, 0, 0, 10) und (0, 10, 10, 10, 10) . Von Neumann/Morgenstern bestimmen in ihrem Buch sämtliche Lösungen für die Dreipersonenspiele sowie für gewisse Klassen von Vierpersonenspielen. Es war über 20 Jahre ein berühmtes offenes Problem, ob alle Spiele eine Lösung L besi en. Die Bemühungen, ein Existenztheorem aufzustellen, endeten 1968, als es Lucas gelang, ein Zehnpersonenspiel zu konstruieren, das keine Lösung L besi t. Shapley/Shubik (1969) untersuchten, ob dieses Zehnpersonenspiel bloß ein durch mathematische Spi findigkeit entdecktes „pathologisches“ Spiel darstellt oder ob die „ökonomische Realität“ auf ein solches unlösbares Spiel führen kann; sie fanden, dass Le teres der Fall ist und gaben ein Marktmodell sowie ein Produktionsmodell an, die beide auf die charakteristische Funktion des lucasschen Spiels führen. Die Beziehungen zwischen dem Kern eines Spiels und der von-neumannmorgensternschen Lösung sind nicht einfach zu beschreiben. Es gibt Spiele (wie unser Fünfpersonenspiel) mit einem leeren Kern, aber vielen Lösungen; es gibt auch Spiele (wie dasjenige von Lucas), die keine Lösung, aber einen nichtleeren Kern besi en. ³⁷ Heute bezeichnet man L bevorzugt als eine stabile Menge. 206 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern Neben dem Kern und der von-neumann-morgensternschen Lösung wurden in der Spieltheorie eine Reihe anderer Ansä e diskutiert, etwa der Shapley-Wert oder der Verhandlungsbereich (bargaining set) von Aumann/Maschler (1964). Da ihre Behandlung hier zu weit führen würde, muss auf die einschlägige Literatur verwiesen werden.³⁸ 7.7 Kritische Zusammenfassung Die Diskussion in den vorangehenden Abschni en hat zwar gezeigt, dass viele betriebswirtschaftliche Entscheidungsprobleme durch spieltheoretische Modelle beschrieben werden können, sie hat aber auch gezeigt, dass damit keineswegs eine Lösung in den Schoß fällt. Die Diskussion hat ferner deutlich gemacht, dass forsch ausgesprochene Behauptungen, die propagierte Strategie sei eine „Optimalstrategie“ im Sinne der Spieltheorie, mit Vorsicht zu genießen sind. Diese Vorsicht ist besonders dann angebracht, wenn weder das Optimalitätskriterium noch die Strategienmengen noch die Bewertung der Konsequenzen (also die Auszahlungsfunktionen) mitgeteilt werden. Nur bei den Zweipersonennullsummenspielen, die bereits in reinen Strategien determiniert sind, konnte die erzielte Lösung voll befriedigen; im Falle der Indeterminiertheit mussten schon die „künstlichen“ gemischten Strategien eingeführt werden, um eine Determiniertheit u.U. zu erzwingen. Besi t jeder der beiden Spieler des Nullsummenspiels lediglich endlich viele Strategien, so erreicht man durch Einführung der gemischten Strategien stets die Determiniertheit; bei unendlich vielen Strategien ist jedoch nicht einmal dies gewährleistet, wie das folgende Spiel mit A = {1, 2, 3, . . . }, B = {1, 2, 3, . . . } und der Auszahlungsfunktion u(a, b) = 1, falls a > b 0, falls a = b −1, falls a < b zeigt.³⁹ Bei diesem so genannten Überholspiel nu t auch der Übergang zur gemischten Erweiterung nichts; das Indeterminiertheitsintervall bleibt das Intervall [−1; 1]. Es ist schlecht vorstellbar, dass eine Theorie gefunden werden kann, die im Stande ist, hierfür eine befriedigende „Optimalstrategie“ zu empfehlen. Bei den allgemeinen Zweipersonenspielen wurde im Abschni 7.4 anhand der Spiele Γ1 und Γ2 demonstriert, dass im nichtkooperativen Fall sicherlich nicht allen Spielen eine befriedigende Lösung zugeordnet werden kann. Die in Ab- ³⁸ Z. B. auf Burger (1966); Rosenmüller (1971); Tirole (1988, Kap. 11); Damme (1991); Güth (1999); Rieck (2006); Holler/Illing (2009). ³⁹ Einfachste Interpretation: Jeder Spieler sagt eine Zahl; wer die höchste Zahl sagt, hat gewonnen.

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References

Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.