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7.5 Allgemeine kooperative Zweipersonenspiele in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 202 - 210

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_202

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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7.5 Allgemeine kooperative Zweipersonenspiele 191 Auch der Garantiepunkt ist nicht undominiert.²⁹ Nach den vorangegangenen Diskussionen ist es kaummöglich, eine befriedigende spielbedingte Lösung zu definieren. Deshalb ist es auch nicht weiter verwunderlich, dass in den zahlreichen Publikationen zu diesemThema stets persönlichkeitsbestimmte Charakteristika in Form von Reaktionskurven oder Reaktionshypothesen berücksichtigt werden. Nach Festlegung einer Reaktionshypothese werden dann Strategienpaare als stabil oder gleichgewichtig bezeichnet, wenn kein Dyopolist durch eigene Strategievariationen und nachfolgende Reaktion des anderen Dyopolisten seine Auszahlung verbessern kann. Unterstellt man beispielsweise die spezielle Reaktionshypothese, dass der Gegenspieler überhaupt nicht auf eigene Strategienvariation reagiert, so sind genau diejenigen Strategienpaare gleichgewichtig, die wir auch bisher als Gleichgewichtspunkte (im Sinne von Nash) bezeichnet haben; bei anderen Reaktionshypothesen gelangt man zu allgemeineren Gleichgewichtspunkten. Die Menge aller Gleichgewichtspunkte wird dann als Dyopollösung aufgefasst. Exemplarisch für die verschiedenen allgemeinen Reaktionshypothesen sei diejenige von Krelle erwähnt, da sie in der Literatur bisher das größte Echo gefunden hat. Krelle (1961, S. 247–266) betrachtet als „normale oder wirtschaftsfriedliche“ Reaktion die folgende: Falls man sich durch die Strategienvariation des Gegenspielers verbessert, reagiert man nicht; falls man auf dem gleichen Gewinn-Niveau bleibt, reagiert man ebenfalls nicht; falls man sich verschlechtert, so stellt man – wenn möglich – sein altes Gewinn- Niveau wieder her; wenn das alte Gewinn-Niveau nicht mehr zu erreichen ist, so maximiert man den Gewinn unter den nun eingetretenen Umständen. 7.5 Allgemeine kooperative Zweipersonenspiele Im vorangehenden Abschni wurde das Spiel Γ2 mit der Auszahlungsbimatrix U2 = ( (2, 1) (−1,−1) (−1,−1) (1, 2) ) nichtkooperativ zu „lösen“ versucht. Dem Versuch war kein großer Erfolg beschieden, da zwischen den Spielern ein unlösbarer Interessengegensa darüber bestand, welcher der beiden Gleichgewichtspunkte (a1, b1) und (a2, b2) realisiert werden soll. Sind dagegen Kooperationsmöglichkeiten zugelassen, so scheint die Lösung auf der Hand zu liegen. Betrachten wir nämlich die beiden Hauptfälle: ²⁹ Beim Einprodukt-Mengendyopol (vgl. Abschni 7.2) schreibt die Maximin-Strategie jedem Dyopolisten vor, überhaupt nichts zu produzieren und die Fixkosten Ki(0) in Kauf zu nehmen; denn sobald eine positive Quantität produziert wird, kann der Gegenspieler (im ungünstigsten Falle) soviel produzieren, dass der Preis völlig zusammenbricht (was den Erlös 0 und Kosten zur Folge hat, die die Fixkosten übersteigen). Der Garantiepunkt ist unter den üblichen Annahmen über die Nachfrageund Kostenfunktionen also durch (−K1(0),−K2(0)) gegeben und sicherlich nicht undominiert. 192 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern a) Die Spieler haben die Möglichkeit, ihren Mitspielern kompensierende Zahlungen (so genannte Seiten- oder Nebenzahlungen) für den Fall verbindlich zu versprechen, dass diese eine bestimmte Strategie einse en.³⁰ b) Es sind nur verbindliche Absprachen über die einzuse enden Strategien, aber keine Seitenzahlungen zulässig. Im Falle a) liegt es nahe, die beiden Gleichgewichtspunkte (a1, b1) und (a2, b2) durch Seitenzahlungen für beide Spieler gleichermaßen günstig zu gestalten. Spieler 1 könnte etwa Spieler 2 die Zahlung 12 für den Einsa von b1 versprechen. Die endgültige Auszahlung bei dieser kooperativen Strategie, die aus der Partie (a1, b1) und der nachfolgenden Kompensationszahlung besteht, ist 2 − 12 = 3 2 für Spieler 1 und 1 + 1 2 = 3 2 für Spieler 2. Dieser symmetrische Auszahlungspunkt ( 3 2 , 3 2 ) scheint für beide Spieler akzeptabel zu sein und könnte als Lösung des kooperativen Spiels aufgefasst werden. Im Falle b) können die beiden Gleichgewichtspunkte zwar nicht durch kompensierende Zahlungen gleichwertig gemacht werden; beide Spieler können sich jedoch zumindest dahingehend einigen, dass entweder (a1, b1) oder (a2, b2) gespielt und eine für beide missliche Panne (nämlich eine der Partien (a1, b2) oder (a2, b1)) vermieden wird. Damit keiner der Spieler das Gefühl hat, benachteiligt zu sein, müsste jeder der beiden Gleichgewichtspunkte dieselbe Chance haben, realisiert zu werden. Bei der Standardinterpretation von Γ2 als „Kampf der Geschlechter“ müsste beispielsweise ein Münzwurf darüber entscheiden, ob zwei Theaterkarten oder zwei Karten für die Boxveranstaltung gekauft werden. Auch bei dieser kooperativen Strategie, die aus der Fifty-fifty-Mischung der Partien (a1, b1) und (a1, b2) besteht, ergibt sich für jeden Spieler eine Auszahlung (= Nu enerwartungswert) von 12 · (2 + 1) = 3 2 . Man sieht, dass bei kooperativer Spielweise Auszahlungspunkte realisiert werden können, die nichtkooperativ unerreichbar bleiben; denn der Auszahlungspunkt ( 3 2 , 3 2 ) ist nach Abbildung 7.8 weder bei Γ2 noch bei der gemischten Erweiterung von Γ2 realisierbar. Die bei kooperativer Spielweise erreichbaren Auszahlungspunkte wollen wir als kooperatives Auszahlungsdiagramm K bezeichnen. Der gemischten Erweiterung von Γ2 entspricht das in Abbildung 7.13 ³⁰ Hier – sowie in den kooperativen Modellen des Abschni s 7.6 – treten die Probleme des interpersonellen Nu envergleichs und Nu entransfers natürlich in voller Deutlichkeit hervor. Die grundlegenden Definitionen der bisher behandelten nichtkooperativen Modelle (Gleichgewichtspunkte, Vertauschbarkeit von Gleichgewichtspunkten, Undominiertheit von Gleichgewichts- und Garantiepunkten usw.) bedingten keinerlei Festlegung von Nu ennullpunkt und Nu eneinheit, ja sie kamen teilweise mit einer rein ordinalen Nu enmessung aus. Je t bei der Berücksichtigung von Seitenzahlungen muss man natürlich wissen, welchen Nu enzuwachs etwa Spieler 1 dadurch erhält, dass ihm Spieler 2 eine Einheit seines Nu ens transferiert. Wir wollen simplifizierend annehmen, dass Spieler 2 (bzw. Spieler 1) die Auszahlung von Spieler 1 (bzw. Spieler 2) um eine Einheit dadurch vergrößern kann, dass er ihm eine Einheit seiner Auszahlung überträgt. Diese Simplifizierung ist beispielsweise dann gerechtfertigt, wenn die Spielergebnisse von monetärer Natur sind, die Nutzen linear von den Geldbeträgen abhängen und die Nu enskalen geeignet gewählt sind. 7.5 Allgemeine kooperative Zweipersonenspiele 193 K 1 1 –1 –1 2 2 u2 u1 ( , )32 32 Abb. 7.13: Kooperatives Auszahlungsdiagramm K der gemischten Erweiterung des Spiels Γ2 dargestellte kooperative Auszahlungsdiagramm. Der hellgraue Bereich besteht aus allen Auszahlungspunkten, die nur kooperativ erreichbar sind. Ein Blick auf K zeigt, dass ( 3 2 , 3 2 ) der einzige symmetrische undominierte Auszahlungspunkt vonK ist und infolgedessen für eine Lösung dieses symmetrischen Spiels prädestiniert ist. Bei allgemeineren Spielen kann K jedoch eine außerordentlich komplizierte Menge sein und die Aussonderung eines für beide Spieler akzeptablen Auszahlungspunktes (û1, û2) zu einem echten Problem werden. Nash stellte hierzu 1950 folgenden interessanten Lösungsansa zur Diskussion. 7.5.1 Die Nash-Lösung Nash geht vom kooperativen Auszahlungsdiagramm K eines beliebigen Spiels aus³¹ und nimmt an, dass ein Punkt der (u1, u2)-Ebene, etwa (ū1, ū2) besonders ausgezeichnet ist. ūi ist dabei ein für Spieler i charakteristischer Wert, der seine Position für den Fall beschreiben soll, dass keine Einigung zwischen den Spielern zu Stande kommt. Einige Beispiele mögen dies erläutern. Nash ha e in erster Linie den Aushandlungsprozess im Auge, der zwischen zwei Individuen sta findet, die jeweils mit einem Güterbündel ausgesta et sind und durch Feilschen zu einem für beide Seiten annehmbaren Tausch kommen wollen. Kommt keine Einigung zu Stande, so findet auch kein Tausch sta ; durch geeignete Wahl der Nu enskalen können dieser Status-quo-Situation die Nutzen ū1 = 0 und ū2 = 0 zugeordnet werden. Ähnlich gelagert ist die Situation, wenn sich ein Monopolist und ein Monopsonist, z. B. ein Verkäufer und ein ³¹ Für den nachfolgenden Existenzsa muss lediglich vorausgese t werden, dass K konvex, abgeschlossen und nach oben beschränkt ist. 194 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern Käufer eines gesamten Unternehmens auf einen Preis einigen müssen oder wenn zwei Länder um die Modalitäten eines bilateralen Handelsabkommens feilschen. Ist die Entscheidungssituation primär durch ein nichtkooperatives Spiel gegeben, bei dem zusä lich aber Kooperationsmöglichkeiten zugelassen werden, so bietet sich die Wahl von ū1 = u1∗ und ū2 = u2∗ an; denn der untere Spielwert ui∗ ist diejenige Auszahlung, die sich Spieler i aus eigener Kraft, also auch nach dem Scheitern von Verhandlungen, garantieren kann. Wie kann nun aus den Daten (K; ū1, ū2) ein akzeptabler Auszahlungspunkt (û1, û2) ermi elt werden, ohne dass der Zeit raubende und Aggressionen erzeugende Aushandlungsprozess konkret durchexerziert werden muss? Nach welcher Regel sollte eine neutrale Schlichtungsinstanz aus (K; ū1, ū2) die Lösung (û1, û2) berechnen? Formal kann eine Regel zur Berechnung von (û1, û2) als eine Abbildung F aufgefasst werden, die jedem Tripel (K; ū1, ū2), das heißt jedem „Verhandlungsspiel“, einen Auszahlungspunkt (û1, û2) aus K zuordnet: F : (K; ū1, ū2) → (û1, û2) ∈ K . Damit beide Spieler bereit sind, sich einer „Schiedsrichterlösung“ anzuvertrauen, muss der Schlichtungsmechanismus F einige intuitiv nahe liegende Invarianzbedingungen erfüllen sowie einige Bedingungen, die den Begriff der Fairness präzisieren. Nash stellte deshalb an F folgende Forderungen: Forderung 1 (Unabhängigkeit gegenüber linearen Transformationen): Falls die Nu ennullpunkte und Nu eneinheiten verändert werden, verändert sich in demselben Maße³² auch die Lösung (û1, û2). Diese Forderung erscheint vernünftig, da wir bisher alle Nu enfunktionen als gleichwertig betrachtet haben, die durch eine (positive) lineare Transformation auseinander hervorgehen. Forderung 2 (Individuelle Rationalität): Die Lösung (û1, û2) muss den Ungleichungen û1 ≧ ū1 und û2 ≧ ū2 genügen. Auf diese Forderung kann nicht verzichtet werden, da kein rationaler Spieler eine Einigung akzeptiert, die ihn schlechter stellt als ein Scheitern der Verhandlungen. ³² Genauer soll hierunter Folgendes verstanden werden: Geht man von u1, u2 gemäß den linearen Transformationen u′1 = α1u1 + β1 und u ′ 2 = α2u2 + β2 zu den Auszahlungsfunktionen u′1 und u′2 über, so ist der neue ausgezeichnete Punkt (ū′1, ū′2) durch ū′1 = α1ū1 + β1 und ū ′ 2 = α2ū2 + β2 gegeben; bezeichnet man ferner das Bild von K unter diesen linearen Transformationen mit K′, so muss aus F(K; ū1, ū2) = (û1, û2) die Beziehung F(K′; ū′1, ū ′ 2) = (α1û1 + β1, α2û2 + β2) folgen. 7.5 Allgemeine kooperative Zweipersonenspiele 195 Forderung 3 (Pareto-Optimalität): Die Lösung (û1, û2) ist undominiert. Wäre diese Forderung verle t, so könnten sich die Spieler der „Schiedsrichterlösung“ zu Recht widerse en, da für wenigstens einen der Spieler etwas verschenkt wurde. Forderung 4 (Symmetrie): Sind die Rollen beider Spieler völlig symmetrisch, so ist auch die Lösung symmetrisch; das heißt, es gilt dann û1 = û2. Diese Forderung wird wohl jeder als fair empfinden. Forderung 5 (Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen): Ist K̃ eine Teilmenge von K, die sowohl den Punkt (ū1, ū2) als auch die Lösung (û1, û2) von (K; ū1, ū2) enthält, so gilt auch: F(K̃; ū1, ū2) = (û1, û2) . Anschaulich besagt diese Forderung, dass unter den getroffenen Vorausse ungen diejenigen Auszahlungspunkte, die zu K aber nicht zu K̃ gehören, für die Bestimmung der Lösung irrelevant sind. Oder anders ausgedrückt, geht man von einem Verhandlungsspiel (K̃; ū1, ū2) durch Vergrößerung von K̃ zu einem Verhandlungsspiel (K; ū1, ū2) über, so bleibt die Lösung entweder gleich oder sie stimmt mit einem der neu hinzugekommenen Auszahlungspunkte überein. Die Forderung 5 ist weniger einsichtig und normativ begründbar als die übrigen Forderungen. Durch die Einschränkung von K auf K̃ könnten die Verhandlungspositionen der Spieler verändert werden, z. B. durch den Wegfall von Druckmi eln, Drohstrategien und Ähnlichem. Nash (1950) untersuchte die Konsequenzen dieser fünf Forderungen. Er zeigte, dass die Forderungen miteinander verträglich sind. Er stellte darüber hinaus fest, dass nur eine einzige Funktion F0 allen Forderungen gleichzeitig genügen kann. F0 kann folgendermaßen beschrieben werden: F0(K; ū1, ū2) = (û1, û2) ist die (eindeutig bestimmte) Maximalstelle des Optimierungsproblems max(u1 − ū1)(u2 − ū2) unter den Nebenbedingungen (u1, u2) ∈ K, u1 ≧ ū1 und u2 ≧ ū2 . Sa 7.3: Es gibt genau einen auf der Menge aller Verhandlungsspiele (K; ū1, ū2) definierten Schlichtungsmechanismus, der alle fünf Forderungen gleichzeitig erfüllt; dieser ist durch das oben beschriebene F0 gegeben. Die Bestimmung von F0(K; ū1, ū2) kann man sich leicht anhand von Abbildung 7.14 veranschaulichen. Das kooperative Auszahlungsdiagramm ist hellgrau und der durch die Nebenbedingungen festgelegte Bereich ist dunkelgrau markiert. Die Niveaulinien der Zielfunktion (u1 − ū1)(u2 − ū2) sind die eingezeichneten Hyperbeln. Der Berührpunkt der Hyperbel H0 mit K ist die Nash- Lösung F0(K; ū1, ū2) = (û1, û2) des gegebenen Verhandlungsspiels (K; ū1, ū2). Beispielsweise siehtman den inAbschni 7.4 behandelten SpielenΓ1 undΓ2 sofort an, dass sie symmetrisch sind und ihr kooperatives Auszahlungsdiagramm 196 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern jeweils einen einzigen symmetrischen undominierten Auszahlungspunkt besi t. Auf Grund der Forderungen 3 und 4 ist deshalb (6, 6) die Nash-Lösung von Γ1 und ( 3 2 , 3 2 ) die Nash-Lösung von Γ2. H0 u2 u1 u2 u1 (u1, u2)^^ – – Abb. 7.14: Grafische Ermi lung der Nash-Lösung (û1, û2) eines Verhandlungsspiels (K, ū1, ū2) 7.5.2 Die Nash-Lösung eines Tarifkon iktes Der weiteren Veranschaulichung diene das Beispiel des Tari onflikts. Spieler 1 (die Tari ommission der Gewerkschaften) und Spieler 2 (die Arbeitgeber- Vertretung) streiten sich um das Ausmaß der Lohnerhöhungen. Nehmen wir 20% als realistische Obergrenze an, so wären bei nichtkooperativer Spielweise die Strategienmengen A = {a : 0 ≦ a ≦ 20} und B = {b : 0 ≦ b ≦ 20} zu berücksichtigen; der Einsa von a ∈ A durch Spieler 1 bedeutet dabei, dass a% Lohnerhöhungen gefordert werden, der Einsa von b ∈ B durch Spieler 2 bedeutet entsprechend, dass b% Lohnerhöhungen zugestanden werden. Offensichtlich führt das nichtkooperative Spiel zu untragbaren Ergebnissen, da eine Einigung (das heißt a ≦ b) wohl nie zu Stande käme und permanent Arbeitskämpfe sta findenmüssten. In der Praxis wird das Spiel deshalb kooperativ gespielt. Der dabei ablaufende Aushandlungsprozess ist formal schwierig 7.5 Allgemeine kooperative Zweipersonenspiele 197 zu beschreiben. Die alltägliche Erfahrung zeigt, dass der Prozess meist über etliche Runden geht, dass dabei die Spielerpersönlichkeiten sowie die Beeinflussung der (und die Beeinflussung durch die) Öffentlichkeit eine Rolle spielen und dass die Spieler zu Beginn der Verhandlungen jeweils ihre Maximalforderungen (aus optischen Gründen etwas von 0% und 20% abweichend) auf den Tisch legen. Der genaue Prozessverlauf braucht uns hier nicht weiter zu interessieren, da wir den Tari onflikt von der Warte einer neutralen Schlichtungsinstanz betrachten und den Zeit raubenden Aushandlungsprozess gerade vermeiden wollen. Eine neutrale Schlichtungsinstanz, die auf der Basis obiger fünf Forderungen eine Lösung erarbeiten will, müsste sich zunächst die Daten K, ū1 und ū2 zu beschaffen versuchen. Hierin – und nicht in der grafischen Lösung gemäß Abbildung 7.14 steckt das Problem. Machen wir uns zunächst die Unabhängigkeit gegenüber linearen Transformationen (Forderung 1) zu Nu e, so können wir die beiden Auszahlungsfunktionen ohne Einschränkung der Allgemeinheit auf das Intervall [0; 1] normieren.Machenwir unsweiterhin zuNu e, dass (vgl. Abbildung 7.14) nicht ganz K, sondern nur der paretooptimale Rand von K (das heißt die Menge aller bezüglich K undominierten Auszahlungspunkte) relevant ist, so können wir uns auf diejenigen Auszahlungspunkte beschränken, die aus der Einigung auf irgendeinen der Prozentsä e α zwischen 0 und 20 resultieren. u1(α) wird monoton wachsen mit u1(0) = 0 und u1(20) = 1, während u2(α) monoton fallen wird mit u2(0) = 1 und u2(20) = 0. Der genauere Verlauf von u1 und u2 hängt vom Einzelfall ab. Wir wollen zum Zwecke dieses Beispiels annehmen, dass u1 zuerst schneller und später (etwa ab der derzeitigen Inflationsrate) langsam steigt, während u2 linear fällt; damit die Berechnung von (û1, û2) einfach wird, se en wir speziell u1(α) = √ α 20 sowie u2(α) = 1 − α 20 . Die Werte ū1 und ū2 sind die Auszahlung für den Fall, dass keine Einigung zu Stande kommt und entweder Spieler 1 einen Streik oder Spieler 2 eine Aussperrung beschließt (oder beide einen derartigen Beschluss fassen). Wir wollen annehmen, dass dieser Fall die Spieler ungleich hart trifft und speziell ū1 = 12 sowie ū2 = 1 4 se en. Damit kann die Nash-Lösung (û1, û2) bestimmt werden (vgl. Abbildung 7.15). Der paretooptimale Rand von K ist ein Stück der Parabel u21+u2=1, wie man durch Elimination des Parameters α erkennt. Man errechnet die Nash- Lösung û1 = 0,69 und û2 = 0,52 . Dieser Auszahlungspunkt wird bei Einigung auf α = 9,6% Lohnerhöhung realisiert. Orientiert sich also eine neutrale Schlichtungsinstanz an den obigen Daten, so müsste sie bei Respektierung der Forderungen 1 bis 5 den beiden Tarifpartnern vorschlagen, sich auf Lohnerhöhungen von 9,6% zu einigen. Diese Vorgehensweise hat natürlich einige Nachteile, die ihre praktische Anwendung infrage stellen: Erstens sind die erforderlichen Daten kaum zu beschaffen, zweitens können Einwände gegen die fünf Forderungen vorgebracht 198 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern 1 0,5 0,25 0,5 0,7 1 u2 u1 (u1, u2)^^ Abb. 7.15: Ermi lung der Nash-Lösung für das Beispiel des Tari onflikts werden, dri ens entsteht infolge der starken Abhängigkeit der Nash-Lösung (û1, û2) von (ū1, ū2) ein zusä licher strategischer Aspekt. Drohen nämlich in dem obigen Beispiel die Arbeitgeber mit einer verschärften Aussperrung, die mit einer verstärkten Automatisierung und einer Stillegung gewisser Betriebe verbunden ist, so könnte dies die Arbeitnehmer entschieden härter treffen und den Punkt (ū1, ū2) von ( 1 2 , 1 4 ) etwa zu ( 1 5 , 3 5 ) verschieben. Dann wäre die Nash- Lösung aber (û1, û2) = (0,44; 0,81); die entsprechende Lohnerhöhung würde nur 3,8% betragen. 7.5.3 Das verallgemeinerte Verhandlungsmodell von Nash Der eben erwähnte strategische Aspekt veranlasste Nash (1953), ein allgemeineres Verhandlungsmodell vorzuschlagen, das aus der Kopplung eines so genannten Drohspiels mit einem so genannten Forderungsspiel besteht. Wir können hierauf nicht im Detail eingehen, sondern nur die zu Grunde liegende Idee umreißen. Nash zerlegt den Verhandlungsprozess in zwei Stufen: In der ersten Stufe, dem Drohspiel, wählen beide Spieler unabhängig voneinander eine Drohstrategie ā bzw. b̄ aus; die Drohstrategien, die dann bekannt gegeben, aber noch nicht eingese twerden, hä en für Spieler 1 eineAuszahlung ū1 und für Spieler 2 eine Auszahlung ū2 zur Folge. In der zweiten Stufe, dem Forderungsspiel, fordern die Spieler unabhängig voneinander jeweils eine Auszahlung ũ1 bzw. ũ2, von der sie ihre Kooperation abhängig machen; das heißt, Spieler i ist genau dann zur Kooperation bereit, wenn ihm diese mindestens die geforderte Auszahlung ũi einbringt. Kommt keine Einigung zu Stande, ist also der Auszahlungspunkt (ũ1, ũ2) kooperativ nicht realisierbar, so werden die Drohstrategien eingese t; jeder Spieler erhält dann nur die Auszahlung ū1 bzw. ū2. Bei gegebenem Drohpunkt (ū1, ū2) kann das resultierende Forderungsspiel gemäß dem einfachenNash-Modell behandelt werden. Dannmüssten die Spie- 7.6 Kooperative N-Personenspiele 199 ler jeweils die Werte û1 bzw. û2 der zugehörigen Nash-Lösung (û1, û2) fordern. Se t man dies voraus, so ist das Forderungsspiel kein echtes Spiel mehr (da die Einigung auf (û1, û2) durch den Schlichtungsmechanismus bewerkstelligt wird); die gesamten spieltheoretischen Aspekte verlagern sich in das nichtkooperative Drohspiel. Nash zeigte, dass die Gleichgewichtspunkte dieses Drohspiels ansprechende Eigenschaften haben: Sie sind vertauschbar und führen alle zu demselben undominierten Auszahlungspunkt, der auch der Garantiepunkt ist; mithin kann jedes gleichgewichtige Paar von Drohstrategien und jedes Paar von Maximin-Drohstrategien als eine Lösung aufgefasst werden. 7.6 Kooperative N-Personenspiele Wie bereits in Abschni 7.2 erwähnt, entstehen im Rahmen von N-Personenspielen (mit N ≧ 3) gegenüber den Zweipersonenspielen zusä liche Schwierigkeiten dadurch, dass sich Koalitionen bilden können. Große theoretische Anstrengungen wurden zur Klärung der Frage unternommen, welche Koalitionen sich unter rationalen Spielern bilden sollten undwelches die faire Aufteilung des Koalitionsgewinnes ist. Auch breit angelegte empirischeUntersuchungen wurden unternommen,³³ teils um die normativen Resultate der Theorie zu testen, teils um zu ergründen, wie sich Personen (mit den üblichen menschlichen Schwächen) in kooperativen Mehrpersonenspielen tatsächlich verhalten. Es darf bereits hier vorweggenommen werden, dass kein Rezept dafür bereitsteht, das Spielergebnis mit hundertprozentiger Sicherheit prognostizieren zu können. Dies wird nach den Problemen, mit denen wir schon bei den allgemeinen Zweipersonenspielen zu kämpfen ha en, wohl nicht weiter überraschen. Ein einfaches Fünfpersonenspiel, auf das wir im Folgenden oft zurückgreifen, mag der weiteren Veranschaulichung der auftretenden Probleme dienen. Die speziellen Spieldaten interessieren hier nicht im Detail, sondern nur in Bezug auf die Auszahlung, die sich die verschiedenen Koalitionen sichern können. In Bezug auf diese Koalitionsauszahlungen wird Folgendes angenommen: 40 Euro bekommt eine Koalition, falls sie entweder aus Spieler 1 und mindestens einem der restlichen Spieler besteht oder falls sie aus den restlichen vier Spielern 2, 3, 4 und 5 besteht; alle anderen Koalitionen bekommen nichts. Bei diesem Spiel kann man zwar ohne Bedenken die Prognose wagen, dass sich eine der „Gewinnkoalitionen“ bilden wird; eine genauere Prognose, die sich auf eine der 16 Gewinnkoalitionen sowie auf eine Aufteilung des Koalitionsgewinnes festlegt, dürfte jedoch nur selten „ins Schwarze treffen“. Formiert sich beispielsweise die Koalition {2, 3, 4, 5}, so geht Spieler 1 leer aus, während die restlichen Spieler 40 Euro unter sich aufteilen. Da die Rollen der vier Spieler 2, 3, 4, 5 symmetrisch sind, wirdman bei fairem Verhalten erwarten dürfen, dass sich die vier Spieler auf eine gleichmäßige Aufteilung einigen; ins- ³³ Vgl. z. B. Rapoport/Orwant (1962); Selten/Schuster (1968).

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References

Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.