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7.4 Allgemeine nichtkooperative Zweipersonenspiele in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 189 - 202

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_189

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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178 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern 7.4 Allgemeine nichtkooperative Zweipersonenspiele Ein allgemeines Zweipersonenspiel Γ = (A, B; u1, u2) ist ein Zweipersonenspiel, dessen Auszahlungsfunktionen u1, u2 keiner Konstantsummenbedingung unterliegen müssen. Da im Rahmen betriebswirtschaftlicher Entscheidungsprobleme – wie etwa beim Dyopolproblem – meistens keine Konstantsummenbedingung vorausgese t werden kann, scheint den allgemeinen Zweipersonenspielen ein breiteres Anwendungsfeld als den Zweipersonennullsummenspielen gesichert zu sein. Es zeigt sich jedoch, dass die Schwierigkeiten, die sich bei der Erarbeitung eines befriedigenden Lösungsbegriffs ergeben, noch wesentlich größer als bei den Nullsummenspielen sind. Einen Einblick in diese Schwierigkeiten gewähren bereits allgemeine Zweipersonenspiele, wobei wir uns auf endliche Zweipersonenspiele beschränken und die Auszahlungen wieder in Form einer Bimatrix darstellen, wie das bereits in den Fällen a) und b) des Zahlenwahlspiels aus Abschni 7.2 geschah. Zunächst stellen wir zwei wichtige Typen von Bimatrixspielen vor, bei denen jedem Spieler nur zwei (reine) Strategien zur Verfügung stehen, die Auszahlungsbimatrix also die Gestalt U = ( (u1(a1, b1), u2(a1, b1)) (u1(a1, b2), u2(a1, b2)) (u1(a2, b1), u2(a2, b1)) (u1(a2, b2), u2(a2, b2)) ) besi t. 7.4.1 Spiele vom Typ „Gefangenendilemma“ Den Spielen mit einer Auszahlungsbimatrix vom Typ U = ( (β, β) (δ, α) (α, δ) (γ, γ) ) mit α > β > γ > δ wurde in der Literatur viel Aufmerksamkeit geschenkt. Sogar ganze Bücher¹⁵ wurden über die empirischen Resultate und die psychologischen Aspekte derartiger Spiele geschrieben. Nach einer häufig zitierten Interpretation¹⁶ wird ein solches Spiel als „Gefangenendilemma“ bezeichnet. Se en wir der Anschaulichkeit halber α = 10, β = 6, γ = 2 und δ = 0 , ¹⁵ Z. B. Rapoport/Chammah (1965). ¹⁶ Zwei eines Mordes Verdächtige wurden festgenommen und getrennt inhaftiert. Die für beide Gefangenen jeweils zur Verfügung stehenden Strategien sind: Nichtgestehen (= a1 bzw. b1) oder Gestehen (= a2 bzw. b2). Gestehen beide nicht, so bekommen beide wegen unerlaubten Waffenbesi es usw. nur eine geringfügige Haftstrafe von einem Jahr; gestehen beide, so bekommen sie wegen des Geständnisses zwar mildernde Umstände zugebilligt, jeder erhält dennoch eine Haftstrafe von 10 Jahren. Gesteht jedoch nur einer, so wird dieser zum Kronzeugen, erhält nur 6 Monate Haft, während der Nichtgeständige zu 20 Jahren Haft verurteilt wird. 7.4 Allgemeine nichtkooperative Zweipersonenspiele 179 so erhalten wir beispielsweise das Spiel Γ1 mit der Bimatrix U1 = ( (6, 6) (0, 10) (10, 0) (2, 2) ) . Betriebswirtschaftliche, ökologische und sonstige Interpretationen liegen auf der Hand. Folgende diskrete Version eines Einprodukt-Preisdyopols (vgl. Borch, 1969, S. 206) könnte etwa auf die Bimatrix U1 führen: a1 (bzw. b1) bedeutet, dass Firma 1 (bzw. Firma 2) ihren Preis beibehält, a2 (bzw. b2) bedeutet, dass Firma 1 (bzw. Firma 2) ihren Preis um eine Einheit senkt. Man sieht an U1, dass beiderseitige Preisreduktion zum Auszahlungspunkt (2, 2) führt, also für die Firmen ungünstiger ist als eine konzentrierte Preisbeibehaltung, die zum Auszahlungspunkt (6, 6) führt. Eine einseitige Preisreduktion ist für jede Firma allerdings noch a raktiver, da sie ihr (auf Kosten der anderen Firma) eine Auszahlung von 10 bringt. Eine andere nahe liegende Interpretation des Spiels Γ1 liefert das Abrüstungsproblem zwischen zwei Ländern oder zwei Bündnissystemen: a1 bzw. b1 bedeutet dabei Abrüsten und a2 bzw. b2 bedeutet Weiterrüsten. Das beiderseitige Abrüsten ist für beide Parteien besser als das beiderseitige Weiterrüsten. Da sich aber jede Partei durch ein einseitiges Weiterrüsten einen Vorteil auf Kosten der anderen verschaffen kann, ist die Verlockung groß, eine Täuschung des Gegners zu versuchen. Man bezeichnet a1 (bzw. b1) häufig als die „kooperative Alternative“ (da ihr wechselseitiger Einsa beide Spieler relativ besser stellt) und a2 (bzw. b2) als die „defektive Alternative“. Um im Rahmen eines Zweipersonenspiels zu bleiben, muss man sich für die (im Folgenden nur angetippten) Interpretationen als Spieler 1 die eine Hälfte der Betroffenen und als Spieler 2 die andere Hälfte der Betroffenen vorstellen. • Beim Kartell- oder OPEC-Problem bedeute: a1 an die vereinbarte Förderquote halten, a2 zu viel fördern (und auf den Markt bringen). • Beim Subventionswe lauf von Regionen oder Gemeinden bedeute: a1 Verzicht auf exzessive Subventionen, a2 exzessive Subventionen. • Beim Abfallentsorgungsproblem bedeute: a1 Abfallstoffe vorschriftsmäßig trennen, a2 Abfallstoffe gemischt in die Tonne werfen. • Bei der drohenden Überfischung der Weltmeere bedeute: a1 Fischen mit vorschriftsmäßigen (weitmaschigen) Ne en, a2 Fischen mit engmaschigen Ne en. Im Vergleich zu den Nullsummenspielen weist Γ1 einige Eigenschaften auf, die alle Lösungsbegriffe infrage stellen, die entweder auf der Maximin-Regel oder auf dem Gleichgewichtskonzept basieren: Der einzige Gleichgewichts- 180 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern punkt von Γ1 ist (a2, b2); er besteht aus einem Paar von Maximin-Strategien und führt auf den unbefriedigendenAuszahlungspunkt (2, 2). Dieser Gleichgewichtspunkt bzw. Auszahlungspunkt ist dominiert¹⁷, da die Partie (a1, b1) für beide Spieler eine bessere Auszahlung erbringt. Wie in Abschni 7.2 ausgeführt wurde, kann ein Gleichgewichtspunkt jedoch nur dann als stabile Situation angesehen werden, wenn bei Abweichung eines Spielers der andere auf seiner Gleichgewichtsstrategie beharrt. Da hier beide Spieler ein Interesse daran haben, den Gleichgewichtspunkt (a2, b2) zu verlassen, kann man ihn wohl kaum als die Lösung des Spiels betrachten. Andererseits ist es im nichtkooperativen Fall für jeden Spieler gefährlich, die attraktive Partie (a1, b1) anzupeilen, da weder a1 noch b1 eine Maximin-Strategie ist, Wenn keine bindenden Absprachen über eine abgestimmte Strategienwahl möglich sind, besteht natürlich die Gefahr, dass sich der Gegenspieler durch Einsa seiner Bayes-Strategie die Auszahlung 10 sichert und den anderen Spieler auf die minimale Auszahlung 0 herabdrückt. Deshalb wird man die Partie (a1, b1) nicht ohne Weiteres als Lösung akzeptieren wollen. Bei diesem völlig symmetrischen Spiel kommen auch die in Bezug auf die Auszahlungen extrem unsymmetrischen Partien (a1, b2) bzw. (a2, b1) nicht als Lösungen infrage. Da damit alle Möglichkeiten erschöpft sind, eine Lösung in reinen Strategien zu definieren, liegt es nach den guten Erfolgen beimNullsummenspiel nahe, sich von der gemischten Erweiterung eineHilfe zu versprechen. Man kann jedoch nachrechnen, dass auch in der gemischten Erweiterung von Γ1 kein zusä licher, insbesondere also auch kein günstigerer Gleichgewichtspunkt existiert. Weiterhin kann auch der maximale garantierte Mindestgewinn (in Höhe von 2 Einheiten) nicht durch den Übergang zur gemischten Erweiterung vergrößert werden; nach wie vor bleiben a2 bzw. b2 die einzigenMaximin- Strategien. Somit bringt uns auch der Übergang zur gemischten Erweiterung einer befriedigenden Lösung nicht näher. Sobald einzig und allein die Auszahlungsbimatrix U1 bekannt ist, kann die Theorie keine Verhaltensweise empfehlen, die die Bezeichnung „optimal“ verdient; es hängt von der speziellen Situation (von den persönlichen Eigenarten der Spieler, von der gegenseitigen Einschä ung usw.) ab, welche Verhaltensweise verfolgt werden soll. Deshalb kann man den Standpunkt einnehmen (z. B. Krelle/Coenen, 1965; Krelle, 1968), dass ein solches Spiel lediglich eine persönlichkeitsbestimmte Lösung, aber keine spielbedingte Lösung besi t. Die alltägliche Erfahrung zeigt, dass ein Spiel wie Γ1 in unterschiedlichen Situationen auch unterschiedlich gespielt wird. So realisieren Dyopolisten (zum Nachteil der Verbraucher) bevorzugt die Partie (a1, b1); Preiskämpfe sind relativ selten zu beobachten. Dass die Partie (a1, b1) bevorzugt wird, mag daran liegen, dass das Spiel – entgegen den Gese en zur We bewerbsförderung – kooperativ gespielt wird und Preisabsprachen vorgenommen werden; es mag auch daran liegen, dass das Spiel in jeder Zeitperiode wiederholt wird und sich eine Täuschung des Gegenspielers in der Folgezeit rächen kann. Beim „Abrüstungsspiel“ dagegen wird fast ausschließlich die Partie (a2, b2) realisiert; bei- ¹⁷ In anderer Bezeichnungsweise: nicht paretooptimal oder ineffizient. 7.4 Allgemeine nichtkooperative Zweipersonenspiele 181 derseitige Abrüstung ist eine politische Rarität. Beide Spieler gehen also „auf Nummer sicher“ und se en ihreMaximin-Strategien ein. Daran kann auch eine gewisse Kooperation (gemeinsame Konferenzen und Verhandlungen) nichts ändern; sobald vereinbarte Absprachen nicht unbedingt bindend sind, bleibt ein Misstrauen bestehen, wodurch das Spiel praktisch wie ein nichtkooperatives Spiel zu behandeln ist. Ein weiterer Aspekt des Spiels Γ1 sei kurz erwähnt. Führt man eine Reduktion des Spieles nach dem inAbschni 7.3 besprochenen Schema¹⁸ durch, so erkennt man, dass die Strategie a2 die Strategie a1 und die Strategie b2 die Strategie b1 dominiert. In dem übrig bleibenden Spiel besi en beide Spieler jeweils nur noch eine einzige Strategie, nämlich a2 bzw. b2. Die Spieler sind dann in ihrer Strategienwahl völlig festgelegt¹⁹ und bekommen jeweils die Auszahlung 2. Da die a raktive Partie (a1, b1) durch die Reduktion unmöglich gemacht wird, kann eine Reduktion – im Gegensa zu den Nullsummenspielen – den Charakter von allgemeinen Zweipersonenspielen offenbar entscheidend verändern. Darüber hinaus kann das Spiel Γ1 zur Illustration dafür dienen, dass verschiedene Rationalitätsforderungen unvereinbar sein können. Bezeichnen wir die Orientierung am Dominanzprinzip („Se e nur undominierte Aktionen ein“) als individuelle Rationalität und die Forderung, dass keine paretoinferiore Partie realisiert werden sollte, als kollektive Rationalität, so schreibt die individuelle Rationalität den Einsa von a2 bzw. b2 vor. Weil diese Strategien nicht nur undominiert, sondern sogar dominant sind, spricht aus individueller Sicht alles für das Zu-Stande-Kommen der Partie (a2, b2). Da hierbei jeder Spieler nur die Auszahlung 2 bekommt, ist die Partie paretoinferior. Denn es existiert eine Partie, nämlich (a1, b1), bei der jeder Spieler die Auszahlung 6 erhält. Demnach kollidiert die individuelle Rationalität mit der kollektiven Rationalität. 7.4.2 Spiele vom Typ „Kampf der Geschlechter“ Weitere Schwierigkeiten, die bei allgemeinen Zweipersonenspielen auftreten, können am besten durch Spiele mit einer Auszahlungsbimatrix vom Typ U2 = ( (α, β) (γ, γ) (γ, γ) (β, α) ) mit α > β > γ erläutert werden. Se en wir speziell α = 2, β = 1 und γ = −1, so erhalten wir ein Spiel Γ2 mit der Bimatrix U2 = ( (2, 1) (−1,−1) (−1,−1) (1, 2) ) , ¹⁸ Die Spieler eliminieren sukzessive ihre dominierten Strategien; diese Reduktion ermöglichte eine vereinfachte Berechnung der Maximin-Strategien und veränderte den Spielwert von Nullsummenspielen nicht. ¹⁹ Da A und B zweielementig sind, und da a1 von a2 bzw. b1 von b2 dominiert wird, ist a2 bzw. b2 hier gleichmäßig beste (= dominante) Strategie in A bzw. in B; (a2, b2) heißt dann auch Gleichgewichtspunkt in dominanten Strategien. 182 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern das auf Grund seiner Standardinterpretation²⁰ etwas hochtrabend „Kampf der Geschlechter“ genannt wird. Man sieht, dass Spieler 1 die Partie (a1, b1) und Spieler 2 die Partie (a2, b2) bevorzugen wird; für beide Spieler ist es gleichermaßen ungünstig, wenn die gewählten Strategien nicht zusammenpassen, das heißt eine der Partien (a1, b2) oder (a2, b1) realisiert wird. Betriebswirtschaftliche Entscheidungssituationen von dieser Struktur treten relativ häufig auf. Borch (1969, S. 205) gibt folgendes Beispiel an: Zwei Versicherungsgesellschaften erwägen jeweils eine Reklamekampagne, die sich entweder auf Krankenversicherungen (= Strategie a1 bzw. b1) oder auf Lebensversicherungen (= Strategie a2 bzw. b2) beziehen kann. Die Marktlage sei dabei derart, dass Reklame nu los ist, außer wenn beide Gesellschaften ihre Mi el dafür verwenden, für dieselbe Art von Versicherung zu werben. Gesellschaft 1 (bzw. Gesellschaft 2) gewinnt am meisten, wenn sich die Nachfrage nach Krankenversicherungen (bzw. Lebensversicherungen) erhöht. Ein anderes Beispiel ergibt sich, wenn zwei Unternehmungen – etwa infolge technischer Entwicklungen oder des Verhaltens der Konkurrenz – eine engere Zusammenarbeit anstreben müssen und zu diesem Zweck zwei unterschiedliche (Kooperations-)Verträge erarbeitet haben, von denen der erste für die Unternehmung 1 und der zweite für die Unternehmung 2 vorteilhafter ist; besteht jede Unternehmung auf dem für sie vorteilhafteren Vertrag, so kommt keine Einigung zu Stande (die resultierende Auszahlung ist −1 für beide Unternehmungen). Bei diesen und anderen Beispielen wird man zunächst einwenden, dass das Spiel in der Praxis wohl kaum nichtkooperativ durchgeführt wird, sondern eher versucht werden wird, durch geeignete Kompensationen die Partien (a1, b1) und (a2, b2) für beide Spieler gleichermaßen a raktiv zu machen. Damit werden aber alle Schwierigkeiten in den Aushandlungsprozess verlagert, der theoretisch nicht leicht in den Griff zu bekommen ist und selbst meist (vgl. Abschni 7.5) auf ein nichtkooperatives Spiel zurückgeführt wird. Schauen wir uns nun die spieltheoretischen Aspekte des (nichtkooperativen) Spiels Γ2 genauer an:²¹ Γ2 besi t zwei Gleichgewichtspunkte, nämlich (a1, b1) und (a2, b2). Anders als bei den Nullsummenspielen führen also verschiedene Gleichgewichtspunkte zu verschiedenen Auszahlungspunkten. Außerdem sind hier die Gleichgewichtspunkte nicht vertauschbar, das heißt, die Gleichgewichtsstrategien a1 und b2 (und ebenso a2 und b1) ergeben zusammen keinen Gleichgewichtspunkt. Auch bilden im Gegensa zu den Verhältnissen bei den determinierten Nullsummenspielen je zwei Maximin-Strategien (z. B. a1 und b2) im Allgemeinen keinen Gleichgewichtspunkt. Ein weiterer ²⁰ Eine Ehefrau (= Spieler 1) und ihr Ehemann (= Spieler 2) wollen abends ausgehen. Zwei Abendveranstaltungen finden sta , eine Theateraufführung und ein Profi-Boxkampf. Im Verlaufe des Tages besorgt sich jeder (unabhängig voneinander) entweder eine Theaterkarte (= a1 bzw. b1) oder eine Karte für den Boxkampf (= a2 bzw. b2). Die Frau präferiert einen gemeinsamen Theaterabend, der Mann einen gemeinsam besuchten Boxkampf; ein getrenntes Ausgehen bewerten beide schlechter als einen gemeinsamen Abend. Welche Karte soll sich jeder besorgen? ²¹ Eine ausführlichere Diskussion findet der interessierte Leser bei Luce/Raiffa (1957, S. 90–94). 7.4 Allgemeine nichtkooperative Zweipersonenspiele 183 Unterschied zu den Nullsummenspielen besteht darin, dass eine Information des Gegenspielers über die eigene Strategienwahl vorteilhaft ist (denn dessen Bayes-Strategie ist für einen selbst besonders vorteilhaft). Die Eigenschaften von Γ2 stehen also im krassen Gegensa zu den Eigenschaften determinierter Nullsummenspiele. Offensichtlich kann keine der vier möglichen Partien (ai, bj) als Lösung des Spiels angesehen werden; die beiden Partien (a1, b2) und (a2, b1) sind ineffizient und damit indiskutabel, die beiden Partien (a1, b1) und (a2, b2) sind unsymmetrisch und bevorteilen jeweils einseitig einen der Spieler (obwohl das Spiel selbst völlig symmetrisch ist). Wie bereits beim Spiel Γ1 bringt uns auch der Übergang von Γ2 zur gemischten Erweiterung einer befriedigenden Lösung kaum näher. Die optimale Garantie (das heißt die maximale garantierte Mindestauszahlung) wird durch die gemischten Maximin-Strategien p∗ = ( 2 5 , 3 5 ) bzw. q∗ = ( 3 5 , 2 5 ) zwar jeweils von −1 auf 15 angehoben. Dieses (einzige) Paar von gemischten Maximin-Strategien kann jedoch wegen folgendem Schönheitsfehler nicht gut als Lösung aufgefasst werden. Es bildet keinen Gleichgewichtspunkt: Sobald Spieler 1 vermutet, dass Spieler 2 seine Maximin-Strategie q∗ einse en wird, liegt es für ihn nahe, an Stelle von p∗ seine Bayes-Strategie gegen q∗, nämlich a1, einzuse en und sich dadurch die Auszahlung 45 zu verschaffen;²² umgekehrt wird Spieler 2 aus der analogen Überlegung b2 zum Einsa bringen. Die Empfehlung, die Partie (p∗, q∗) zu spielen, führt also zu einer höchst instabilen Situation, da jeder zum Kontern verlockt wird; kontern aber beide, so wird die Partie (a1, b2) realisiert, die für jeden Spieler die unbefriedigende Auszahlung von −1 zur Folge hat. Sucht man nach Gleichgewichtspunkten in gemischten Strategien, so stellt man fest, dass die gemischte Erweiterung gegenüber dem Spiel in reinen Strategien noch einen zusä lichen Gleichgewichtspunkt besi t, nämlich (p̄, q̄) mit p̄ = ( 3 5 , 2 5 ) und q̄ = ( 2 5 , 3 5 ) ; die Gleichgewichtsauszahlung beträgt für beide Spieler jeweils nur 15 . Damit sind sogar die bereits hinreichend kritisierten Maximin-Strategien p∗ und q∗ vorteilhafter als p̄ und q̄, denn sie garantieren die Auszahlung 15 in jedem Falle (und nicht nur dann, wenn der Gegenspieler seine Gleichgewichtsstrategie einse t). Man erkennt an der Diskussion deutlich, dass keine Chance besteht, eine befriedigende Lösung zu definieren, die allein auf der Kenntnis der Auszahlungsbimatrix basiert. Somit besi t auch Γ2 wie Γ1 keine spielbedingte, sondern allenfalls eine persönlichkeitsbestimmte Lösung. Insbesondere zeigt diese Erkenntnis, dass keinerlei Aussicht besteht, allen allgemeinen Zweipersonenspielen in befriedigender Weise eine (spielbedingte) Lösung zuzuordnen. Damit wird die Frage nach den Forderungen nahegelegt, die man an ein Spiel Γ stellen sollte, damit für Γ eine vernünftige Lösung definiert werden kann. Der Diskussion einiger solcher Forderungen müssen noch einige Definitionen vorangeschickt werden. ²² Dabei wird – wie immer bei einer gemischten Erweiterung – der Erwartungswert als Auszahlung genommen. 184 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern 7.4.3 Auszahlungsdiagramm und Garantiepunkt Trägt man in einem Koordinatensystem auf der Abszisse die Auszahlung an Spieler 1 und auf der Ordinate die Auszahlung an Spieler 2 ab, so lässt sich die mit einer Partie verbundene Auszahlung als Auszahlungspunkt veranschaulichen. Die Menge aller Auszahlungspunkte eines Spiels Γ heißt (Nu endiagramm oder) Auszahlungsdiagramm von Γ. Bei einem Zweipersonennullsummenspiel (und auch bei seiner gemischten Erweiterung) liegt das Auszahlungsdiagramm natürlich auf der Geraden durch den Ursprung mit dem Anstieg −1 (vgl. Abbildung 7.6). 1 –1 u2 u1 Abb. 7.6: Auszahlungsdiagramm der gemischten Erweiterung eines Zweipersonennullsummenspiels Für die gemischten Erweiterungen der ausführlich behandelten Spiele Γ1 und Γ2 ergeben sich die in den Abbildungen 7.7 und 7.8 wiedergegebenen Auszahlungsdiagramme. Wie an Abbildung 7.8 ersichtlich, braucht das Auszahlungsdiagramm der gemischten Erweiterung eines Bimatrixspiels keineswegs konvex zu sein.²³ 10 6 2 2 6 10 u2 u1 Abb. 7.7: Auszahlungsdiagramm der gemischten Erweiterung von Γ1 (Gefangenendilemma) ²³ Als Randlinien des Auszahlungsdiagramms kommen allerdings nur Geraden- und Parabelstücke in Betracht. 7.4 Allgemeine nichtkooperative Zweipersonenspiele 185 1 1 –1 –1 2 2 u2 u1 Abb. 7.8: Auszahlungsdiagramm der gemischten Erweiterung von Γ2 (Kampf der Geschlechter) Analog zum Nullsummenspiel bezeichnen wir die Auszahlung, die sich ein Spieler maximal aus eigener Kraft garantieren kann, als unteren Spielwert. So ist beim Bimatrixspiel (A, B; u1, u2) u1∗ = max i min j u1(ai, bj) der untere Spielwert für Spieler 1 und u2∗ = max j min i u2(ai, bj) der untere Spielwert für Spieler 2. Entsprechend erhält man für die gemischte Erweiterung (P,Q; u1, u2) die beiden unteren Spielwerte u1∗ = max p min q u1(p, q) und u2∗ = max q min p u2(p, q) . Wie beim Nullsummenspiel vergrößert sich in der Regel der untere Spielwert, wenn man zur gemischten Erweiterung übergeht; schreiben wir der Deutlichkeit halber jeweils die Strategienmengen zu den Spielwerten hinzu, so gelten die Ungleichungen u1∗(A, B) ≦ u1∗(P,Q) und u2∗(A, B) ≦ u2∗(P,Q) . Den aus den unteren Spielwerten von Γ gebildeten Punkt (u1∗, u2∗)wollen wir als den Garantiepunkt des Spiels Γ bezeichnen. Für ein Zweipersonennullsummenspiel mit dem in Abschni 7.3 definierten unteren Spielwert u∗ und dem oberen Spielwert u∗ ist der Garantiepunkt durch (u∗,−u∗) gegeben. Im Falle der Determiniertheit ist u∗ = u∗ = v; der Garantiepunkt ist dann (v,−v). Schauen wir uns nun einige mögliche Lagen des Garantiepunktes relativ zum Auszahlungsdiagramm an. In den Abbildungen 7.9 und 7.11 ist der Garantiepunkt insofern dominiert, als es Partien gibt, die für beide Spieler eine Auszahlung liefern, die jeweils über ihrem unteren Spielwert liegt. Allgemein heißt der Garantiepunkt (u1∗, u2∗) eines Spiels Γ undominiert (oder paretooptimal), 186 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern u* u* (u1*, u2*) u2 u1 Abb. 7.9: Garantiepunkt und Auszahlungsdiagramm eines indeterminierten Nullsummenspiels v (u1*, u2*)–v u2 u1 Abb. 7.10: Garantiepunkt und Auszahlungsdiagramm eines determinierten Nullsummenspiels u1* u2* u2 u1 Abb. 7.11: Auszahlungsdiagramm eines allgemeinen Zweipersonenspiels mit dominiertem Garantiepunkt wenn kein von (u1∗, u2∗) verschiedener Auszahlungspunkt (ū1, ū2) des Spiels Γ existiert, so dass ū1 ≧ u1∗ und ū2 ≧ u2∗ gilt; andernfalls heißt der Garantiepunkt dominiert. Entsprechend definiert man die Dominiertheit bzw. Undominiertheit eines Gleichgewichtspunktes. Anschaulich besagt die Undominiertheit des Garantiepunktes, dass (u1∗, u2∗) auf dem „Nordost-Rand“ des Auszahlungsdiagramms liegt; dies ist beispielsweise bei Abbildung 7.10 erfüllt. 7.4 Allgemeine nichtkooperative Zweipersonenspiele 187 7.4.4 Diskussion verschiedener Lösungsansätze Befolgen beide Spieler die Maximin-Regel, so ist für jeden von ihnen die Auszahlung mindestens so groß wie sein unterer Spielwert, das heißt, der resultierende Auszahlungspunkt liegt „rechts oberhalb“ des Garantiepunktes. Dieser Bereich, in dem dann der Auszahlungspunkt liegt, ist in der Abbildung 7.11 dunkelgrau gekennzeichnet. Offensichtlich sind Maximin-Strategien dann weniger a raktiv, wenn der Garantiepunkt weit „links unten“ liegt, also der dunkelgraue Bereich einen großen Teil desAuszahlungsdiagrammes ausmacht, wie es etwa Abbildung 7.9 der Fall ist. Auch bei den Spielen Γ1 und Γ2 (vgl. Abbildungen 7.7 und 7.8), für die sich keine vernünftige Lösung finden ließ, liegt der Garantiepunkt weit links unten: Bei Γ1 und der gemischten Erweiterung von Γ1 ist er jeweils (2, 2), bei Γ2 ist er (−1,−1) und bei der gemischten Erweiterung von Γ2 ist er ( 1 5 , 1 5 ) . Es liegt nahe und entspricht auch der Vorgehensweise bei den Nullsummenspielen, die Maximin-Regel bzw. die Maximin-Strategien dann als besonders effektiv zu betrachten, wenn der Garantiepunkt ziemlich weit rechts oben, also nahe amNordost-Rand des Auszahlungsdiagrammes liegt. Die Maximalforderung besteht darin, dass der Garantiepunkt undominiert sein soll, also auf dem Nordost-Rand liegen soll. Ist der Garantiepunkt undominiert, so schrumpft der dunkelgraue Bereich auf den Punkt (u1∗, u2∗) zusammen; bei Befolgung der Maximin-Regel durch beide Spieler ist die resultierende Auszahlung dann strikt determiniert. Es lässt sich zeigen,²⁴ dass bei einem Spiel mit undominiertem Garantiepunkt jedes Paar von Maximin-Strategien einen Gleichgewichtspunkt bildet und dass alle Gleichgewichtspunkte zu demselben Auszahlungspunkt, nämlich zu (u1∗, u2∗) führen. Sieht man bei diesen Spielen die Maximin- Strategien als optimal und jedes Paar von Maximin-Strategien als eine Lösung an, so ist insbesondere gesichert, dass • optimale Strategien wenig riskant sind (da sie Maximin-Strategien sind), • die Lösung insofern stabil ist, als sich für keinen der Spieler eine einseitige Abweichung lohnt (da die Lösung ein Gleichgewichtspunkt ist), • die Lösung auch insofern stabil ist, als keinerlei Anreiz für eine gemeinsame Abweichung besteht (da keine Partie existiert, deren Auszahlungspunkt den Garantiepunkt dominiert). Ordnet man auf Grund dieser Eigenschaften nur den Spielen mit undominiertem Garantiepunkt eine Lösung zu und bezeichnet man die anderen Spiele als unlösbar, so hat man zwar bei den lösbaren Spielen eine relativ unangrei are Lösung, gleichzeitig hat man sich aber den Nachteil eingehandelt, dass sehr ²⁴ Wegen detaillierterer Ergebnisse über Spiele mit undominiertem Garantiepunkt sei auf Bamberg (1969, 1970) verwiesen. 188 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern viele Spiele als unlösbar deklariert werden müssen.²⁵ Dies ist ein Dilemma, das bei allgemeinen Zweipersonenspielen allerdings unvermeidlich zu sein scheint: Ist man bei der Definition der Lösung zu anspruchsvoll (das heißt will man viele angenehme Eigenschaften „unter einen Hut bringen“), so gibt es nur wenige lösbare, aber viele unlösbare Spiele. Während die obigen Ausführungen darauf hinausliefen, nur solchen Spielen eine Lösung zuzuordnen, bei denen die Maximin-Regel besonders effektiv ist, beruhen andere Vorschläge darauf, nur solchen Spielen eine Lösung zuzuordnen, bei denen das Gleichgewichtskonzept besonders effektiv ist. In diesem Zusammenhang wären vor allem Nash (1951), Luce/Raiffa (1957) und Krelle/Coenen (1965) zu nennen. Nash, der 1951 zeigte, dass jedes Bimatrixspiel (entweder bereits in reinen oder zumindest in gemischten Strategien) einen oder mehrere Gleichgewichtspunkte besi t, bezeichnet ein Spiel dann als lösbar, wenn alle Gleichgewichtspunkte vertauschbar sind. Das Spiel Γ1 wäre demnach lösbar im Sinne von Nash, da (a2, b2) der einzige Gleichgewichtspunkt ist; dagegen wäre Γ2 nicht Nash-lösbar, da die beiden Gleichgewichtspunkte (a1, b1) und (a2, b2) nicht vertauschbar sind. Die Vertauschbarkeitsbedingung schließt nicht aus, dass verschiedene Gleichgewichtspunkte zu verschiedenen Auszahlungspunkten führen können. Führen die Gleichgewichtspunkte aber zu unterschiedlichen Auszahlungspunkten, so wird in der Regel zwischen den Spielern ein Interessengegensa darüber bestehen, welcher Gleichgewichtspunkt realisiert werden soll. Visiert jeder einen für sich günstigen Gleichgewichtspunkt an, so wird im Falle der Vertauschbarkeit zwar wieder ein Gleichgewichtspunkt realisiert; dieser kann jedoch für beide Spieler äußerst ungünstig sein. Weiterhin verhindert die Vertauschbarkeitsbedingung nicht, dass zu einem Gleichgewichtspunkt Partien existieren, deren Auszahlungspunkte die Gleichgewichtsauszahlung dominieren. Deshalb besi t ein Spiel nach Luce/Raiffa, Krelle/Coenen nur dann eine spielbedingte Lösung, wenn • undominierte Gleichgewichtspunkte existieren, • alle undominierten Gleichgewichtspunkte vertauschbar sind • und zu demselben Auszahlungspunkt führen. Damit nicht allzu viele Spiele unlösbar werden, schlagen Luce/Raiffa noch eine „solution in weak sense“ vor, die darauf beruht, dass diese einschneidenden Forderungen nur von einem Teilspiel erfüllt sein müssen, das durch geeignete Reduktion erhalten wird. ²⁵ Die Forderung der Undominiertheit des Garantiepunktes verknüpft die beiden Auszahlungsfunktionen u1 und u2 relativ eng miteinander. Etwas unpräzise formuliert, gilt folgender Zusammenhang: Beschränken sich bei einem Spiel mit undominiertem Garantiepunkt beide Spieler auf diejenigen reinen Strategien, die bei einer gemischten Maximin-Strategie eingese t werden können, so ist das resultierende Teilspiel einem determinierten Nullsummenspiel strategisch äquivalent. Auch bei den so genannten Konkurrenzspielen (speziellen Zweipersonenspielen, für die ebenfalls eine vernünftige Lösung definiert werden kann) lässt sich ein ähnliches Resultat nachweisen (vgl. Opi , 1969): Führt man bei einem Konkurrenzspiel nahe liegende Reduktionen durch, so ist das resultierende Teilspiel einem determinierten Nullsummenspiel strategisch äquivalent. 7.4 Allgemeine nichtkooperative Zweipersonenspiele 189 Da sich diese Lösungsbegriffe ausschließlich auf das Gleichgewichtskonzept stü en, ohne die mit den Gleichgewichtsstrategien verbundene garantierte Mindestauszahlung zu beachten, lassen sich natürlich lösbare Spiele konstruieren, bei denen sich kritische Einwände gegen die Lösung ergeben. Zur Illustration eignet sich das von Luce/Raiffa (1957, S. 110) angegebene Spiel Γ3 mit der Auszahlungsbimatrix U3 = ( (4,−3 000) (10, 6) (12, 8) (5, 4) ) . Das Spiel Γ3 besi t genau einen undominierten Gleichgewichtspunkt, nämlich (a2, b1); es ist also lösbar in dem besprochenen Sinne. Die Gleichgewichtsstrategie b1 ist jedoch außerordentlich risikoreich: Spieler 2 läuft beim Einsa von b1 Gefahr, den Verlust von 3 000 zu erleiden. Er wird deshalb nicht ohne Weiteres b1 einse en (es sei denn, er kennt die Persönlichkeit des Spielers 1 so gut, dass es sicher ist, dass dieser auf den Einsa von a1 verzichtet; eine derartige Abhängigkeit sollte bei einer spielbedingten Lösung aber gerade vermieden werden). Spieler 1 könnte infolgedessen vermuten, dass Spieler 2 die Strategie b2 einse t und wird dann selbst seine Bayes-Strategie gegen b2, nämlich a1 einse en. Damit wird aber an Stelle des undominierten Gleichgewichtspunktes die Partie (a1, b2) realisiert, die ebenfalls ein Gleichgewichtspunkt ist. Man kann deshalb die Ansicht vertreten, dass (a2, b1) von (a1, b2) „psychologisch dominiert“ wird. Bei Spielen, in denen mehrere Gleichgewichtspunkte existieren, besteht oft auch die Möglichkeit, durch gewisse „Verfeinerungen“ des Gleichgewichtskonzepts wenig plausible Gleichgewichtspunkte auszuschließen. Zu nennen ist etwa das von R. Selten (1975) stammende trembling-hand-perfekte Gleichgewicht.²⁶ Wir wollen hier kurz einen anderen derartigen Lösungsansa vorstellen, der in Spielen, die (zunächst) in extensiver Form – mit endlichem Baum und perfekter Information – gegeben sind, zur Anwendung kommen kann, nämlich das ebenfalls von R. Selten (1965) stammende teilspielperfekte Gleichgewicht. Dabei wird ein Gleichgewichtspunkt (a∗, b∗) eines Zweipersonenspiels mit den genannten Eigenschaften als teilspielperfekt bezeichnet, wenn es kein – an irgendeinem Knoten des Spielbaumes beginnendes – Teilspiel gibt, in dem einer der beiden Spieler von seiner Gleichgewichtsstrategie (a∗ bzw. b∗) abweichen würde. Es existiert immer mindestens ein teilspielperfekter Gleichgewichtspunkt. Zur Ermi lung empfiehlt sich die Vorgehensweise der Rückwärtsrechnung. Dabei werden die Knoten sukzessive von rechts nach linkswie folgt abgearbeitet:Man bestimmt jeweils das vom „Knotenspieler“ erreichbare Maximum seiner Auszahlungen,²⁷ kennzeichnet (z. B. fe ) die entsprechende Kante und vermerkt am Knoten das zugehörige Auszahlungspaar. ²⁶ Siehe dazu auch Holler/Illing (2009, S. 103). ²⁷ Dieses Maximum sollte, damit die Rückwärtsrechnung tatsächlich zur Lösung führt, eindeutig sein. 190 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern Das Prinzip der Teilspielperfektheit sowie die Methode der Rückwärtsrechnung lassen sich anhand des im Abschni 7.2 vorgestellten Zahlenwahlspiels, Fall b) verdeutlichen (vgl. hierzu auch die Baumdarstellung in Abbildung 7.4). Aus Abschni 7.2 ist bereits bekannt, dass dieses Spiel zwei Gleichgewichtspunkte besi t, nämlich (a1, b3) = ( 1, ( 2 1 )) und (a2, b1) = ( 2, ( 1 1 )) . Laut Definition ist dabei (a2, b1) nicht teilspielperfekt, denn in dem im oberen Knoten von Spieler 2 beginnenden Teilspiel würde dieser nicht die 1 wählen.²⁸ Somit ist, da stets mindestens ein Gleichgewichtspunkt teilspielperfekt ist, der andere Gleichgewichtspunkt (a1, b3) teilspielperfekt. Zum selben Ergeb- 2 2 1 2 1 2 1 (0, 2) 1 (1, 1)(1, 1) (4, 0) 2 (3, 3) (3, 3) (3, 3) Abb. 7.12: Ermi lung des teilspielperfekten Gleichgewichts für den Fall b) des Zahlenwahlspiels nis führt die Rückwärtsrechnung, deren oben beschriebener Ablauf sich wie in Abbildung 7.12 darstellt: Spieler 2 kennzeichnet am oberen Knoten die untere Kante (wegen 3 > 2) sowie am unteren Knoten die obere Kante (wegen 1 > 0) und er notiert an den beiden Knoten das jeweils resultierende Auszahlungspaar (3, 3) bzw. (1, 1). Spieler 1 bestimmt dann das Maximum der beiden ersten Komponenten dieser beiden Paare (3, 3), (1, 1); wegen 3 > 1 kennzeichnet er die obere der von □1 ausgehenden Kanten und vermerkt über □1 das zugehörige Auszahlungspaar (3, 3). Damit ist insgesamt der Gleichgewichtspunkt (a1, b3) = ( 1, ( 2 1 )) markiert. Werfen wir zum Abschluss noch einen kurzen Blick auf das Dyopol, das nach Krelle (1961, S. 245) „die für das Verständnis der je igen Wirtschaftsordnung wichtigste Marktform“ darstellt. Unter den üblichen Annahmen bezüglich der Nachfrage- und die Kostenfunktionen lässt sich die Existenz von Gleichgewichtspunkten nachweisen (vgl. z. B. Burger, 1966, S. 48). Allerdings sind die Gleichgewichtspunkte nicht undominiert, das heißt sie sind paretoinferior. ²⁸ Seine „Drohung“, dort die 1 zu spielen, ist unglaubwürdig, da sie ihm selber schadet. 7.5 Allgemeine kooperative Zweipersonenspiele 191 Auch der Garantiepunkt ist nicht undominiert.²⁹ Nach den vorangegangenen Diskussionen ist es kaummöglich, eine befriedigende spielbedingte Lösung zu definieren. Deshalb ist es auch nicht weiter verwunderlich, dass in den zahlreichen Publikationen zu diesemThema stets persönlichkeitsbestimmte Charakteristika in Form von Reaktionskurven oder Reaktionshypothesen berücksichtigt werden. Nach Festlegung einer Reaktionshypothese werden dann Strategienpaare als stabil oder gleichgewichtig bezeichnet, wenn kein Dyopolist durch eigene Strategievariationen und nachfolgende Reaktion des anderen Dyopolisten seine Auszahlung verbessern kann. Unterstellt man beispielsweise die spezielle Reaktionshypothese, dass der Gegenspieler überhaupt nicht auf eigene Strategienvariation reagiert, so sind genau diejenigen Strategienpaare gleichgewichtig, die wir auch bisher als Gleichgewichtspunkte (im Sinne von Nash) bezeichnet haben; bei anderen Reaktionshypothesen gelangt man zu allgemeineren Gleichgewichtspunkten. Die Menge aller Gleichgewichtspunkte wird dann als Dyopollösung aufgefasst. Exemplarisch für die verschiedenen allgemeinen Reaktionshypothesen sei diejenige von Krelle erwähnt, da sie in der Literatur bisher das größte Echo gefunden hat. Krelle (1961, S. 247–266) betrachtet als „normale oder wirtschaftsfriedliche“ Reaktion die folgende: Falls man sich durch die Strategienvariation des Gegenspielers verbessert, reagiert man nicht; falls man auf dem gleichen Gewinn-Niveau bleibt, reagiert man ebenfalls nicht; falls man sich verschlechtert, so stellt man – wenn möglich – sein altes Gewinn- Niveau wieder her; wenn das alte Gewinn-Niveau nicht mehr zu erreichen ist, so maximiert man den Gewinn unter den nun eingetretenen Umständen. 7.5 Allgemeine kooperative Zweipersonenspiele Im vorangehenden Abschni wurde das Spiel Γ2 mit der Auszahlungsbimatrix U2 = ( (2, 1) (−1,−1) (−1,−1) (1, 2) ) nichtkooperativ zu „lösen“ versucht. Dem Versuch war kein großer Erfolg beschieden, da zwischen den Spielern ein unlösbarer Interessengegensa darüber bestand, welcher der beiden Gleichgewichtspunkte (a1, b1) und (a2, b2) realisiert werden soll. Sind dagegen Kooperationsmöglichkeiten zugelassen, so scheint die Lösung auf der Hand zu liegen. Betrachten wir nämlich die beiden Hauptfälle: ²⁹ Beim Einprodukt-Mengendyopol (vgl. Abschni 7.2) schreibt die Maximin-Strategie jedem Dyopolisten vor, überhaupt nichts zu produzieren und die Fixkosten Ki(0) in Kauf zu nehmen; denn sobald eine positive Quantität produziert wird, kann der Gegenspieler (im ungünstigsten Falle) soviel produzieren, dass der Preis völlig zusammenbricht (was den Erlös 0 und Kosten zur Folge hat, die die Fixkosten übersteigen). Der Garantiepunkt ist unter den üblichen Annahmen über die Nachfrageund Kostenfunktionen also durch (−K1(0),−K2(0)) gegeben und sicherlich nicht undominiert.

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.