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7.2 Klassifikation und grundlegende Definitionen in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 167 - 179

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_167

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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156 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern stellen. Se t jeder Oligopolist eine seiner Strategien ein, so ist eine Partie des (Oligopol-)Spiels gespielt; allgemein kann also eine Partie durch ein N-Tupel von Strategien charakterisiert werden. Ist eine Partie gespielt, so stehen für jeden Spieler die resultierenden Konsequenzen fest. Die Funktionen, die in Abhängigkeit von den ausgewählten Strategien die Konsequenzen für die einzelnen Spieler angeben, werden in der Spieltheorie als Auszahlungsfunktionen ui bezeichnet. Es gibt bei einem N-Personenspiel also N Auszahlungsfunktionen, eine für jeden Spieler. Die Grundlagen der Spieltheorie wurden von v. Neumann/Morgenstern (1947) außerordentlich breit und allgemein konzipiert; so wurden Spiele mit verschiedenen Spieleranzahlen in Betracht gezogen, Spiele mit und ohne Zufallszüge, Spiele mit unterschiedlichen Informationsstrukturen, Spiele mit unterschiedlichen Kooperationsmöglichkeiten usw. Deshalb lässt sich fast jeder in der Praxis vorkommenden Konfliktsituation ein adäquates spieltheoretisches Modell zuordnen. Diese Zuordnungsmöglichkeit bedeutet allerdings nicht, dass damit stets eine allgemein akzeptierte Lösung aus der Spieltheorie übernommen werden könnte; in vielen Fällen kann damit lediglich die Problematik der Konfliktsituation transparenter gemacht werden. Da auf unterschiedliche Weise präzisiert werden kann, was unter „rationalem Verhalten“ zu verstehen ist, existieren verschiedene Lösungskonzepte und somit auch verschiedene Definitionen (und Berechnungsmöglichkeiten) für optimale Strategien. 7.2 Klassi kation und grundlegende De nitionen Spiele, bei denen die Spieler in jeder Partie unabhängig voneinander nur einen Zug auszuführen haben, werden als Spiele in Normalform bezeichnet; beispielsweise ist beim (statischen) Preisdyopol eine Partie bereits dann gespielt, wenn sich jeder Dyopolist für eine Preisfestse ung entschieden hat. Andererseits gibt es – z. B. unter den Gesellschaftsspielen – viele Spiele, bei denen die Spieler in jeder Partie häufiger am Zuge sind. Diese Spiele heißen Spiele in extensiver Form; sie können durch einen Kunstgriff ebenfalls auf Spiele in Normalform zurückgeführt werden. Ein Beispiel mag dies erläutern. Das betrachtete Spiel ist unter der Bezeichnung „Nim-Spiel“ bekannt. Es stammt zwar nicht aus der betrieblichen Praxis und ist außerdem so simpel, dass es als Gesellschaftsspiel kaum üblich ist; dennoch ist es zur Klärung einiger Begriffe gut geeignet. Das Nim-Spiel wird nach folgenden Regeln gespielt: Von einem ursprünglich 20 Hölzchen umfassenden Stapel nehmen die Spieler nacheinander (und für die anderen Spieler sichtbar) entweder 1, 2, 3, 4 oder 5 Hölzchen; Sieger ist derjenige, der das le te Hölzchen nimmt. Wir nehmen an, dass N = 2 Spieler beteiligt sind. Es sei αi bzw. βi die Anzahl der von Spieler 1 bzw. Spieler 2 beim i-ten Zug genommenen Hölzchen; Spieler 1 sei der als Erster ziehende Spieler. WelcheWahl vonαi, βi ist für die Spieler optimal? Kann einer der beiden Spieler 7.2 Klassi kation und grundlegende De nitionen 157 den Sieg erzwingen, das heißt, gewinnt er bei geeigneter Spielweise, ohne dass der Gegenspieler dies durch noch so geschicktes Verhalten verhindern kann? Da das Spiel eine einfache Struktur besi t, können diese Fragen leicht beantwortet werden. Spieler 1 kann den Sieg erzwingen; er braucht dazu nur nach folgendem Plan zu spielen: α1 = 2 (darauf werden β1 Hölzchen von Spieler 2 genommen), α2 = 6 − β1 (darauf werden β2 Hölzchen von Spieler 2 genommen), α3 = 6 − β2 (darauf werden β3 Hölzchen von Spieler 2 genommen), α4 = 6 − β3 (damit hat Spieler 1 das le te Hölzchen genommen und gewonnen). Der Plan, der Spieler 1 den Sieg bringt, besteht also aus der unbedingten Anweisung, beim ersten Zug 2Hölzchen zu ziehen und aus den bedingten Anweisungen (bedingt durch die Informationen aus den Zügen des Gegenspielers), beim zweiten, dri en und vierten Zug 6 − β1, 6 − β2 und 6 − β3 Hölzchen zu nehmen. Die Beschreibung dieses speziellen Plans ist bewusst so ausführlich gehalten, weil dadurch der für die Spieltheorie fundamentale Begriff der Strategie verdeutlicht werden soll. Allgemein bezeichnet man als Strategie des Spielers i einen Plan, der für jede Information, die dem Spieler i im Zeitpunkt der Ausführung eines Zuges zur Verfügung stehen kann, eine (bedingte) Anweisung enthält, wie der Zug auszuführen ist. Der spieltheoretische Begriff der Strategie deckt sich demnach mit dem in Abschni 6.3 betrachteten Begriff einer (die Stichprobeninformation verwertenden) Strategie. Eine Strategie ist also eine Liste von Abbildungen (für jeden Zug eine), die die Menge der potenziellen Informationen in dieMenge der (durch die Spielregeln) zugelassenen Zugmöglichkeiten abbilden. Oder noch kürzer ausgedrückt: Eine Strategie ist ein vollständiger Verhaltensplan. In unserem Beispiel besi t Spieler 1 beim ersten Zug naturgemäß noch keine Information über gegnerische Züge; da die 5 Zugmöglichkeiten α1 = 1, 2, 3, 4, 5 offenstehen, gibt es auch nur 5 mögliche Anweisungen. Beim zweiten Zug dagegen besi t Spieler 1 die 25 potenziellen Informationen (α1, β1); da wiederum jeweils 5 Zugmöglichkeiten offenstehen, gibt es 525 ≈ 3 · 1017 verschiedene Anweisungen, den Zug auszuführen.Man erkennt, wie groß bereits bei diesem einfachen Spiel die Strategienmengen werden können. Es lässt sich leicht vorstellen, dass die Anzahl der Strategien beim Schach ungleich größer ist. Angesichts der u.U. gigantischen Anzahl möglicher Strategien drängt sich die skeptische Frage auf, was durch die Einführung des relativ komplexen Begriffs der Strategie gewonnen ist. Der Gewinn besteht darin, dass durch den Begriff der Strategie die eingangs des Abschni s erwähnte Zurückführung eines beliebigen Spiels auf ein Spiel in Normalform gelingt; denn entscheidet sich jeder der Spieler für eine seiner Strategien, so ist dadurch die resultierende Partie bzw. das entsprechende Baumende eindeutig festgelegt. Wir brauchen deshalb nur noch Spiele zu betrachten, bei denen die Spieler unabhängig voneinander jeweils nur einen Zug, nämlich die Auswahl einer Strategie, durchzuführen haben. Die damit gewonnene formale Vereinfachung ist ganz beträchtlich. 158 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern 7.2.1 Baumdarstellung Bevor wir uns den Spielen in Normalform zuwenden, wollen wir noch kurz die Baumdarstellung eines Spiels in extensiver Form betrachten: Die Knoten des Baumes stellen die möglichen Spielsituationen dar; die in den Knoten notierte Zahl gibt den Spieler an, der gerade am Zug ist. Die Kanten stellen jeweils die verschiedenen Zugmöglichkeiten dar. Da jedes Baumende eine Partie charakterisiert, schreibt man an die Baumenden die entsprechende Auszahlung für die N verschiedenen Spieler in Form eines N-Tupels (u1, u2, . . . , uN). In unserem Beispiel ergibt sich der in Abbildung 7.1 (nur partiell) skizzierte Spielbaum. Da der komple e Baum sehr breit ist und sowohl die Zahl der Züge als auch die am Schluss der Partie verbleibenden Zugmöglichkeiten vom Verlauf der Partie selbst abhängen, fällt eine exakte Baumdarstellung bereits relativ schwer. Ist jeder Spieler dann, wenn er einen Zug auszuführen hat, über den bisherigen Verlauf der Partie völlig informiert, so spricht man von einem Spiel mit vollkommener (oder perfekter) Information; andernfalls spricht man von einem Spiel mit unvollkommener (oder imperfekter) Information. Der unterschiedliche Informationsstand eines oder einiger Spieler sowie eventuell vorgesehene (u1, u2) (u1, u2) 1 (u1, u2) (u1, u2) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Abb. 7.1: Skizze eines Spielbaumes beim Nim-Spiel 7.2 Klassi kation und grundlegende De nitionen 159 0 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 Abb. 7.2: Nim-Spiel mit Münzwurf als Start Zufallszüge können in der Baumdarstellung ebenfalls veranschaulicht werden. Zufallszüge können in der Baumdarstellung als Züge eines fiktiven Spielers 0 berücksichtigt werden; an die Kanten, die von einem mit 0 beschrifteten Knoten wegführen, schreibt man die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Wird in unserem Beispiel durch einen Münzwurf entschieden, welcher Spieler beginnt, so sieht die neue Baumwurzel wie in Abbildung 7.2 aus. Unterschiedliche Informationsstände eines Spielers können dadurch berücksichtigt werden, dass gewisse Spielsituationen (= Knoten) zu Informationsmengen zusammengefasst werden; kann der Spieler bei einigen Spielsituationen (ohne Verle ung der Spielregeln) nicht entscheiden, welches die tatsächlich eingetretene Spielsituation ist, so werden diese zu einer Informationsmenge zusammengefasst und in der Baumdarstellung eingekreist. Beginnt ein Spiel mit einem Zufallszug, dessen Ergebnis allen Spielern unbekannt ist (z. B. Kartenverteilung beim Skat), und ist dann Spieler 1 am Zuge, so enthält der Spielbaum, wie in Abbildung 7.3 skizziert, unmi elbar nach der Wurzel eine umfangreiche Informationsmenge. 160 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern 1 1 1 0 Abb. 7.3: Spielbaum mit einer Informationsmenge 7.2.2 Spiele in Normalform Nun wollen wir uns den N-Personen-Spielen in Normalform zuwenden. Wir bezeichnen die Strategienmenge des i-ten Spielers mit Ai. Wählen die N Spieler unabhängig voneinander jeweils eine ihrer Strategien aus, so ist durch das resultierende Strategien-N-Tupel (a1, a2, . . . , aN) eindeutig eine Partie festgelegt. Bezeichnen wir die Auszahlungsfunktion des i-ten Spielers mit ui, so erhält Spieler i bei dieser Partie eine Auszahlung von ui(a1, a2, . . . , aN) . Die Auszahlungsfunktionen u1, u2, . . . , uN sind jeweils auf dem kartesischen Produkt A1 × A2 × · · · × AN definierte Funktionen¹: ui : A1 × A2 × · · · × AN → R (i = 1, . . . ,N) . Für einige Teile der Spieltheorie reicht ein ordinaler Nu en ui aus, für die meisten Teile benötigt man jedoch ui als Bernoulli-Nu en. Wir werden an geeigneten Stellen nochmals darauf hinweisen. Da ein N-Personenspiel Γ in Normalform durch die N Strategienmengen und die N Auszahlungsfunktionen vollständig beschrieben ist, können wir Γ folgendermaßen charakterisieren: Γ = (A1, A2, . . . , AN; u1, u2, . . . , uN) . Bei N = 2 Personen schreibt man meistens A an Stelle von A1 und B an Stelle von A2 und somit Γ = (A, B; u1, u2). Sind dabei A und B endliche Mengen, also A = {a1, . . . , am}, B = {b1, . . . , bn} – man spricht dann von einem endlichen Zweipersonenspiel –, so können die Auszahlungen matriziell angegeben werden, genauer in Form einer Bimatrix mit den Auszahlungspaaren ¹ Enthält das Spiel in extensiver Form noch Zufallszüge, so geht man, damit die Auszahlung eine reelle Zahl und keine Zufallsvariable wird, zum Erwartungswert über und nimmt diesen als Auszahlung. 7.2 Klassi kation und grundlegende De nitionen 161 (u1(ai, bj), u2(ai, bj)) an Position (i, j), i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n. Dies sei anhand folgenden Zweipersonenspiels verdeutlicht, in dem auch nochmals der Übergang von extensiver Form zur Normalform, aber auch die unterschiedliche Handhabung von perfekter bzw. imperfekter Information sichtbar werden. Auf dieses Spiel werden wir im Verlauf von Kapitel 7 unter dem Stichwort „Zahlenwahlspiel“ noch mehrmals eingehen. Dieses Zahlenwahlspiel ist dadurch charakterisiert, dass der Spieler 1 eine Zahl x ∈ {1, 2} und der Spieler 2 eine Zahl y ∈ {1, 2} auszuwählen hat und dabei folgendeAuszahlungen resultieren (die beiden Spielern bekannt sind): Spieler 1 erhält das Ergebnis x − 1, falls Spieler 2 dieWahl y = 1 trifft, bzw. das Ergebnis x + 2, falls Spieler 2 die Wahl y = 2 trifft. Für Spieler 2 ergibt sich die Auszahlung 1 + y, falls Spieler 1 sich für x = 1 entscheidet, bzw. die Auszahlung 2 − y, falls Spieler 1 die Entscheidung x = 2 fällt. Bezüglich der Durchführung des Spiels unterscheiden wir zwei Fälle: a) Nennen beide Spieler ihre Zahlen x bzw. y gleichzeitig, so ist das Spiel von vorneherein in Normalform gegeben mit A = {a1, a2} und B = {b1, b2}, wobei ai bzw. bj bedeutet: x = i bzw. y = j. Aus obiger Beschreibung erhält man – wie man sich für die einzelnen Positionen (i, j) leicht klarmacht – folgende Auszahlungsbimatrix: U = ( (0, 2) (3, 3) (1, 1) (4, 0) ) . In einer ersten Analyse erkennt man bereits: Spieler 1 erhält durch a2 sowohl bei b1 als auch bei b2 ein (jeweils um 1) höheres Ergebnis als durch a1; rechnet Spieler 2 daher mit a2, so wird er sich für b1 entscheiden. Für beide Spieler resultiert dann die Auszahlung 1. b) Nun gehen wir davon aus, dass Spieler 2, wenn er y zu nennen hat, bereits die von Spieler 1 genannte Zahl x kennt. Damit ist das Spiel zunächst in extensiver Form – durch die Baumdarstellung in Abbildung 7.4 – gegeben. Offensichtlich hat Spieler 1 wieder die beiden Strategien a1 und a2 zur Aus- 2 2 1 1 2 1 2 2 1 (0, 2) (3, 3) (1, 1) (4, 0) Abb. 7.4: Spielbaum im Fall b) des Zahlenwahlspiels wahl, wobei ai für die Wahl x = i steht. Spieler 2 verfügt hingegen nunmehr über 2 · 2 = 4 Strategien, die gemäß b1 = (1 1 ) , b2 = (1 2 ) , b3 = (2 1 ) , b4 = (2 2 ) 162 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern darstellbar sind, wobei in bj jeweils der obere Wert die y-Wahl nach x = 1 und der untere Wert die y-Wahl nach x = 2 angibt. Überführt man dieses Spiel in Normalform, so erhält man die Auszahlungsbimatrix U = ( (0, 2) (0, 2) (3, 3) (3, 3) (1, 1) (4, 0) (1, 1) (4, 0) ) . deren Spalten den Strategien bj (mit j = 1, . . . , 4) entsprechen. In einer ersten Analyse dieses Falls erkennt man, dass es für Spieler 2 offenkundig optimal ist, nach x = 1 die Wahl y = 2 bzw. nach x = 2 die Wahl y = 1 zu treffen. Somit sollte sich Spieler 2 für b3 entscheiden; da Spieler 1 dies antizipiert, trifft er die Entscheidung a1, und für beide resultiert die Auszahlung 3 (siehe dazu in Abschni 7.4.4 den Begriff teilspielperfektes Gleichgewicht). Laut Beschreibung – und Baumdarstellung – handelt es sich in Fall b) um ein Spiel mit perfekter Information. In Fall a) hingegen, in dem keiner der beiden Spieler bei Festlegung seiner Zahl die vom jeweils anderen gewählte Zahl kennt, liegt ein Spiel mit imperfekter Information vor. Im Übrigen ist dabei die Gleichzeitigkeit der Zahlenwahlen nicht entscheidend; die Situation wäre unverändert, wenn Spieler 1 zuerst seine Zahl festlegt, das Ergebnis aber vor Spieler 2 verdeckt hält. Der Entscheidungsbaum in Abbildung 7.5 mit eingetragener Informationsmenge von Spieler 2 ist demnach geeignet als Darstellung von Fall a). 2 2 1 1 2 1 2 2 1 (0, 2) (3, 3) (1, 1) (4, 0) Abb. 7.5: Spielbaum im Fall a) des Zahlenwahlspiels Man kann sich natürlich fragen, ob es realistisch ist anzunehmen, dass alle Spieler über die Charakteristika (Strategienmengen und Auszahlungsfunktionen) der restlichen Spieler vollständig informiert sind. Sobald dieser Fall vorliegt, spricht man deshalb auch von einem Spiel mit vollständiger Information. Die Daten von Γ sind dann gemeinsames Wissen (common knowledge) aller Spieler. Sobald Informations-Asymmetrien vorherrschen, ist eineModellierung durch Spiele mit unvollständiger Information angemessener. Dieser Fall liegt beispielsweise dann vor, wenn die Kostenfunktion und damit auch die Auszahlungsfunktion eines Dyopolisten dem Konkurrenten nicht bekannt ist. Wie Harsanyi (1967) jedoch gezeigt hat, kann ein Spiel mit unvollständiger Information mithilfe eines fiktiven Spielers 0 und des Begriffs der Informationsmenge (analog zu Abbildung 7.3) auf ein Spiel mit vollständiger Information zurückgeführt werden. Ist etwa die Auszahlungsfunktion u1 den restlichen Spielern 7.2 Klassi kation und grundlegende De nitionen 163 2, 3, . . . ,N unbekannt, so „würfelt“ der Spieler 0 das wahre u1 (= Typ des Spielers 1) aus und teilt das Ergebnis nur dem Spieler 1 mit. Nach Harsanyi wird das resultierende Spiel mit vollständiger Information als bayessches Spiel bezeichnet, da die Analogie zu der (in Abschni 6.4 skizzierten) Bayes-Analyse ganz offensichtlich ist. Denn in dieser wird der wahre Zustand ϑ gemäß der a-priori-Verteilung „ausgewürfelt“, aber nicht öffentlich bekannt gemacht. Genaueres über bayessche Spiele ist z. B. bei Wiese (2002) und Holler/Illing (2009) zu finden. Wegen der angedeuteten Zurückführungsmöglichkeit werden im Rest des Kapitels jedoch ausschließlich Spiele mit vollständiger Information analysiert. Zunächst wollen wir uns mit der konkreten Ermi lung von Strategienmengen und Auszahlungsfunktionen anhand des Einprodukt-Dyopols (mit vollständiger Information) beschäftigen. 7.2.3 Das Dyopol a) Bei einem Mengendyopol stellt jede in der betrachteten Zeitperiode auf den Markt geworfene Quantität ai eine Strategie des Dyopolisten i dar; demnach ist Ai = [0; ci] (i = 1, 2) , wobei ci die Kapazitätsgrenze des Dyopolisten i bedeutet und Ai die Strategienmenge des Dyopolisten i. Bezeichnen wir die Kostenfunktionen mit K1 bzw. K2 und die inverse Nachfragefunktion mit p = f(q), wobei p den Preis angibt, zu dem genau q Einheiten auf dem Markt nachgefragt werden, und nehmen wir schließlich an, dass der Gewinn als relevante Auszahlung gilt, so ist ui(a1, a2) = aif(a1 + a2) − Ki(ai) . Insgesamt sieht die Normalform des Mengendyopols dann folgendermaßen aus: Γ = ([0; c1], [0; c2]; a1f(a1 + a2) − K1(a1), a2f(a1 + a2) − K2(a2)) . b) Beim Preisdyopol stellen die von den Dyopolisten geforderten Preise die Strategien dar. Falls wir uns keine Mühe mit der Aussonderung praktisch irrelevanter Preise machen, können wir Ai = [0;∞) (i = 1, 2) annehmen. Die Nachfragefunktion für den Dyopolisten i sei fi; der Dyopolist i kann also mi els seiner Vertriebsorganisation bei den Preisen a1, a2 genau fi(a1, a2) Einheiten abse en. Bezeichnen wir wieder die Kostenfunktionen mit Ki und unterstellen wir, dass nur die Gewinne interessieren, so ist ui(a1, a2) = aifi(a1, a2) − Ki(fi(a1, a2)) . c) Falls neben Preisvariationen noch weitere Aktionen mitberücksichtigt werden sollen – etwa die Werbung – so lässt sich die Dyopolsituation natürlich ebenfalls noch als Zweipersonenspiel in Normalform darstellen; die Strate- 164 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern gienmengenAi und die Auszahlungsfunktionen sehen dann allerdings komplizierter aus. Können beispielsweise vom Dyopolisten i in der betrachteten Zeitperiode bis zu di Geldeinheiten für die Werbung ausgegeben werden, so besteht eine Strategie ai aus einem Paar (pi, wi), wobei pi den Preis und wi den Werbeaufwand des Dyopolisten i bedeute. Man erhält so die Strategienmengen Ai = [0;∞) × [0; di] (i = 1, 2) . Die Auszahlungsfunktionen ui(a1, a2) = ui(p1, w1; p2, w2) (i = 1, 2) wären (wenn die Werbewirkungen noch unbekannt sind) erst empirisch zu ermi eln.² 7.2.4 Klassi kation; Programm dieses Kapitels Kehren wir nach diesem Exkurs über das Dyopolspiel nun wieder zu den N-Personenspielen zurück. Ein Spiel Γ = (A1, . . . , AN; u1, . . . , uN) heißt Konstantsummenspiel, wenn es eine Konstante c gibt, so dass für jede Partie (a1, . . . , aN) die Auszahlungssumme N∑ i=1 ui(a1, . . . , aN) gleich c ist; speziell für c = 0 heißt das Spiel ein Nullsummenspiel. Zweipersonennullsummenspiele werden uns im Abschni 7.3 ausführlicher beschäftigen. Da bei Zweipersonennullsummenspielen der Gewinn des einen Spielers gleich dem Verlust des anderen Spielers ist, können die Spieler ihre Situation dadurch nicht verbessern, dass sie zu kooperieren versuchen. Bei Mehrpersonenspielen (N ≧ 3) oder Zweipersonenspielen, die die Null- bzw. Konstantsummenbedingung verle en, kann eine Kooperation (falls sie durch die Spielregeln zugelassen ist) durchaus sinnvoll sein. Aus verständlichenGründen versucht man beispielsweise durch Gese e, bei Dyopolen oder Oligopolen eine Kooperation zwischen den Spielern zu verhindern; andererseits gibt es Aushandlungsprozesse (z. B. Tarifverhandlungen), bei denen ein kooperatives Modell angemessener erscheint. Bei kooperativen Spielen se en die Spieler ihre Strategien nicht mehr unabhängig voneinander ein; vielmehr einigen sich die ² Steht zusä lich noch die Aufteilung des Werbeetats auf verschiedene Werbemedien zur Deba e, etwa auf Presse, Rundfunk und Fernsehen, so besteht jede Strategie ai aus einem Quadrupel (Preis pi und die Werbeaufwendungen für drei Medien). Treten schließlich an die Stelle der kurzfristigen Gewinnmaximierung andere Zielse ungen, etwa eine ruinöse Konkurrenz mit dem langfristigen Ziel, Monopolist zu werden, so kann dies formal durch geeignete Wahl der Strategien (= langfristige Unternehmenspolitiken) und der Auszahlungsfunktionen erfasst werden. 7.2 Klassi kation und grundlegende De nitionen 165 Spieler einer Spielkoalition auf eine gemeinsame Strategienwahl. Dabei ergeben sich natürlich die Fragen:Welche Koalitionen kommen zu Stande? Aufwelche gemeinsamen Vorgehensweisen sollen sich die Koalitionen einigen? Wie soll der Koalitionsgewinn auf die Koalitionsmitglieder aufgeteilt werden? Der Beantwortung dieser Fragen ist ein großer Teil der spieltheoretischen Literatur gewidmet. Wir können uns im Rahmen dieses Kapitels natürlich nicht mit allen spieltheoretischen Problemen beschäftigen. Nichtkooperative Spiele werden in den Abschni en 7.3 und 7.4 behandelt; zuerst in 7.3 Zweipersonennullsummenspiele, dann in 7.4 allgemeine Zweipersonenspiele. Die Behandlung nichtkooperativer N-Personenspiele erübrigt sich, da gegenüber dem Fall N = 2 keine grundlegend neuen Aspekte auftauchen. Die Abschni e 7.5 und 7.6 sind der Theorie kooperativer Zweipersonenspiele bzw. N-Personenspiele gewidmet. Nicht behandelt werden beispielsweise kooperative Spiele mit nicht-transferierbaren Nu en, bei denen es also keinen Sinn hat, nach der Aufteilung des Koalitionsgewinns auf die Koalitionsmitglieder zu fragen. Nicht behandelt werden Probleme, die sich daraus ergeben, dass vor jedem Zug eines Spielers den Gegenspielern die Möglichkeit eingeräumt wird, auf jeden der bevorstehenden Züge eine Seitenzahlung zu versprechen.³ Nicht behandelt werden Differenzialspiele, also Spiele, bei denen alle Spieler versuchen, den Zustand eines dynamischen Systems in ihrem Sinne geeignet zu beeinflussen. In dem Extremfall, dass nur ein einziger Spieler beteiligt ist, reduziert sich das Differenzialspiel auf ein Problem der optimalen Kontrolle. Nicht behandelt werden ferner alle Probleme, diemit demhäufigenWiederholen desselben Spiels verknüpft sind. Spielt man ein (Nichtkonstantsummen-)Zweipersonenspiel beispielsweise hundertmal hintereinander, so ist auch dann, wenn durch die Spielregeln eine Kooperation ausgeschlossen ist, bei intelligenten Spielern zu erwarten, dass sie sich nach einer gewissen Anlaufzeit stillschweigend auf Partien einigen, die für beide ein relativ annehmbares Ergebnis bringen. Durch geeignete Strategienwahl eröffnen sich nämlich Möglichkeiten zum Signalisieren des eigenen Willens. Andererseits besteht in der le ten Partie für beide Spieler ein großer Anreiz, den Gegner „hereinzulegen“, indem eine Partie angestrebt wird, die einem selbst (auf Kosten des Gegners) ein möglichst gutes Resultat bringt. Rein formal kann auch die hundertfache Wiederholung desselben Spiels wieder als ein Spiel in Normalform aufgefasst werden (so genanntes Superspiel), indem die Sequenzen aus 100 sukzessiven Strategienwahlen als neue Strategien aufgefasst werden. Primär interessiert jedoch bei dieser Abfolge von Partien, wie der eventuell einse ende Lernprozess vor sich geht. Besonders intensiv beschäftigt sich Krelle (1968) mit diesen Problemen; wegen einer Anwendung solcher Superspiele auf das Dyopolproblem sei beispielsweise auch auf Cyert/DeGroot (1973) verwiesen. Eine Lehrbuchdarstellung der Theorie wiederholter Spiele kann beispielsweise bei Holler/Illing (2009) gefunden werden. ³ Albers (1973) analysiert derartige Spiele, charakterisiert durch einige Forderungen einen eindeutigen Spielwert und untersucht optimale Verhaltensweisen. 166 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern 7.2.5 Gleichgewichtspunkte Wir wollen diesen Abschni mit einer grundlegenden Definition und zwei wichtigen Sä en beschließen. Es ist zweckmäßig, diese hier vorzuziehen, da sie sonst in verschiedenen Abschni en jeweils in spezieller Form neu formuliert werden müssten. In einem (nichtkooperativen) N-Personenspiel Γ = (A1, . . . , AN; u1, . . . , uN) heißt ein Strategien-N-Tupel (a∗1 , . . . , a∗N) ein Gleichgewichtspunkt (genauer wäre die Bezeichnung „Gleichgewichtspartie“), wenn für alle ai ∈ Ai und alle i = 1, . . . ,N die Ungleichung ui(a∗1 , . . . , a ∗ i , . . . , a ∗ N) ≧ ui(a∗1 , . . . , a∗i−1, ai, a∗i+1, . . . , a∗N) gilt. Dies bedeutet anschaulich, dass jedes Abweichen von der Gleichgewichtsstrategie a∗i dann für den i-ten Spieler nicht vorteilhaft ist, wenn sämtliche anderen N − 1 Spieler ihre Gleichgewichtsstrategie beibehalten. Deshalb kann ein Gleichgewichtspunkt als eine stabile Situation interpretiert werden; allerdings ist diese Situation nur stabil, wenn man als Verhaltenshypothese unterstellt, dass die Abweichung eines Spielers von seiner Gleichgewichtsstrategie die anderen Spieler nicht darin beirrt, an ihrer Gleichgewichtsstrategie festzuhalten.⁴ Die Definition eines Gleichgewichtspunktes bedingt lediglich, dass für jeden Spieler die mit den verschiedenen Partien verknüpften Auszahlungen der Größe nach verglichenwerden können. Offensichtlich benötigt eine auf Gleichgewichtspunkten basierende Theorie deshalb nur eine ordinale Nu enmessung.⁵ In einem Zweipersonenspiel Γ = (A, B; u1, u2) ist laut obiger Definition ein Strategienpaar (a∗, b∗) genau dann ein Gleichgewichtspunkt, wenn die beiden Strategien a∗ und b∗ wechselseitig beste Antworten sind. Deshalb kann man zur Bestimmung von Gleichgewichtspunkten wie folgt vorgehen: • Spieler 1 bestimmt zu jedem b ∈ B seine beste Antwort (auch Bayes-Strategie⁶ gegen b genannt) gemäß u1(a, b) → max bezüglich a ∈ A , • und Spieler 2 bestimmt zu jedem a ∈ A seine beste Antwort (= Bayes-Strategie gegen a) gemäß u2(a, b) → max bezüglich b ∈ B . ⁴ Dieses Gleichgewichtskonzept wurde von Nash (1951) eingeführt. Es ist in der Spieltheorie so etabliert, dass auf den eigentlich zur Präzisierung erforderlichen Zusa „im Sinne von Nash“ verzichtet wird. Vgl. hierzu auch die Diskussion am Ende von Abschni 7.4. ⁵ Enthält das Spiel Zufallszüge oder werden – wie in den nächsten Abschni en – Gleichgewichtspunkte in gemischten Strategien gesucht, so benötigt man allerdings wieder eine Bernoulli-Nu enmessung. ⁶ Die Bezeichnung „Bayes-Strategie“ erklärt sich daraus, dass die Kenntnis der gegnerischen Strategie als eine spezielle a-priori-Verteilung (die die Wahrscheinlichkeit 1 auf diese gegnerische Strategie konzentriert) aufgefasst werden kann. 7.2 Klassi kation und grundlegende De nitionen 167 Anschließend lassen sich die Strategienpaare, die beste Antworten gegeneinander sind, meist leicht identifizieren. In einem endlichen Zweipersonenspiel lässt sich diese Vorgehensweise wie folgt konkretisieren: Spieler 1 markiert – z. B. durch einen Querstrich oben – jedes Spaltenmaximum zu u1, und Spieler 2 markiert – z. B. durch einen Querstrich unten – jedes Zeilenmaximum zu u2. Genau die zu doppelt markierten Positionen (i∗, j∗) gehörenden Strategienpaare (ai∗ , bj∗) sind dann die Gleichgewichtspunkte. Im Fall a) des obigen Zahlenwahlspiels ergibt sich so U = ( (0, 2) (3, 3) (1, 1) (4, 0) ) . Folglich besi t dieses Spiel genau einen Gleichgewichtspunkt, nämlich (a2, b1). Geht man analog dazu für den Fall b) des Zahlenwahlspiels vor, U = ( (0, 2) (0, 2) (3, 3) (3, 3) (1, 1) (4, 0) (1, 1) (4, 0) ) , so erkenntman, dass dieses zwei Gleichgewichtspunkte besi t, nämlich (a1, b3) und (a2, b1). Die Frage, ob beide Gleichgewichtspunkte gleichermaßen plausible Lösungen dieses Spiels darstellen, werden wir in Abschni 7.4 aufgreifen (und beantworten). Weitere zentrale Fragen sind die nach der Existenz und den weiteren speziellen Eigenschaften von Gleichgewichtspunkten. Diese werden in den folgenden Abschni en noch häufiger behandelt. Die zwei folgenden Existenzsä e über Gleichgewichtspunkte stammen von Kuhn (1953) bzw. Nikaido/Isoda (1955); übersichtliche Beweise sind z. B. bei Burger (1966, S. 31–37) nachzulesen. Sa 7.1 macht eine Aussage über Gleichgewichtspunkte bei Spielen mit vollkommener Information, bei denen jeder Spieler nur endlich oft am Zuge ist und dabei jeweils nur endlich viele Zugmöglichkeiten zur Verfügung hat; das Spiel besi t dann einen endlichen Spielbaum. Neben diesen Vorausse ungen über die Struktur des Spiels werden keinerlei Vorausse ungen über die Form der Auszahlungsfunktionen benötigt. Sa 7.1: Jedes Spiel mit vollkommener Information und endlichem Baum besi t mindestens einen Gleichgewichtspunkt. Sa 7.2 benötigt zwar starke Vorausse ungen über die Auszahlungsfunktionen, jedoch keine Vorausse ungen über die Informationsstruktur. Sa 7.2: Genügen die Strategienmengen sowie die Auszahlungsfunktionen des N-Personenspiels Γ = (A1, . . . , AN; u1, . . . , uN) für i = 1, . . . ,N den drei folgenden Bedingungen, so besi t Γ mindestens einen Gleichgewichtspunkt. a) Ai ist eine abgeschlossene, beschränkte, konvexe Menge des Rni (die Dimension ni kann für jedes i eine andere sein). b) Die Auszahlungsfunktion ui ist konkav bezüglich ai bei festen a1, . . . , ai−1, ai+1,. . . , aN. c) Die Auszahlungsfunktion ui ist stetig in a1, . . . , aN. 168 7. Entscheidungen bei bewusst handelnden Gegenspielern 7.3 Zweipersonennullsummenspiele Zweipersonennullsummenspiele sind durch die NormalformΓ = (A, B; u1, u2) und u2 = −u1 charakterisiert. Da u2 bereits durch u1 festgelegt ist und man sich überflüssige Indizes sparen will, ist es zweckmäßig u1 = u zu se en und das Zweipersonennullsummenspiel kürzer durch das Tripel Γ = (A, B; u) zu charakterisieren. Dabei gibt also u(a, b) für jede Partie (a, b) den Gewinn von Spieler 1 und gleichzeitig den Verlust von Spieler 2 an. Zweipersonennullsummenspiele bieten sich als Modelle für solche Entscheidungssituationen an, bei denen der Interessengegensa zwischen zwei Entscheidungsträgern in der schärfsten Form auftri . Zweipersonennullsummenspiele sind ferner für die Theorie der kooperativen N-Personennullsummenspiele von Bedeutung, da die Konfliktsituation zwischen einer Koalition und der Gegenkoalition auf ein Zweipersonennullsummenspiel führt. Schließlich erfordert die Behandlung von Zweipersonenkonstantsummenspielen gegenüber den Zweipersonennullsummenspielen aus folgendem Grund keine neue Theorie: Im Konstantsummenspiel Γ = (A, B; u1, u2) mit u1 + u2 = c verhalten sich beide Spieler in strategischer Hinsicht vermutlich genauso wie im Nullsummenspiel Γ̄ = ( A, B; u1 − c2 , u2 − c 2 ) , bei dem jeder Spieler die Teilnahme an einer Partie mit einer zusä lichen Prämie von c2 honoriert bekommt.⁷ Die Spiele Γ und Γ̄ heißen strategisch äquivalent. Für ein Zweipersonennullsummenspiel Γ = (A, B; u) sind folgende Definitionen von Bedeutung: Sind die Strategienmengen A und B endlich, so bezeichnet man Γ als ein Matrixspiel. Für A = {a1, a2, . . . , am} und B = {b1, b2, . . . , bn} sowie uij = u(ai, bj) kann Γ durch die Auszahlungsmatrix (oder Spielmatrix) U = (uij) = u11 · · · u1n... . . . ... um1 · · · umn vollständig beschrieben werden. Der Einsa der Strategie ai durch Spieler 1 entspricht der Wahl der i-ten Zeile der Auszahlungsmatrix und der Einsa der Strategie bj durch Spieler 2 entspricht der Wahl der j-ten Spalte; am Kreu- ⁷ Diese Zerlegung des Konstantsummenspiels in ein Nullsummenspiel und eine Prämienzahlung bedingt natürlich, dass die Auszahlungen in einem transferierbaren und beliebig teilbaren Gut, also etwa in Geldeinheiten, erfolgen.

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.