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6.3 Informationsbeschaffungsaktionen bei unvollkommenen Informationssystemen; Information durch Stichproben in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 143 - 147

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_143

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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132 6. Entscheidungen bei variabler Informationsstruktur zu berechnenden erwartetenWert einer unvollkommenen Information darstellt (vgl. Abschni 6.4). Erkennt man also in einer Entscheidungssituation, in der nur unvollkommene Information beschafft werden kann, dass die Kosten der unvollkommenen Information bereits den erwarteten Wert der vollkommenen Information übersteigen, so weißman sicher, dass auf die Informationsbeschaffung verzichtet werden muss. 6.3 Informationsbeschaffungsaktionen bei unvollkommenen Informationssystemen; Information durch Stichproben Für viele Entscheidungssituationen bestehen die relevanten Zustände aus den möglichen Werten eines Parameters. Können nur (oder in erster Linie) empirische Untersuchungen einen Aufschluss über den wahren Parameterwert erbringen, so dürfte eine vollkommene Information nur selten zu vertretbaren Kosten zu beschaffen sein. Vielmehr muss sich die Informationsbeschaffung aus Zeit- oder Kostengründen oder auch prinzipiellen Gründen oft auf Stichproben beschränken. Einige Beispiele mögen dies verdeutlichen: • Bei empirischen Marktuntersuchungen interessieren beispielsweise die Absa chancen eines Produktes, der Vergleich der Absa chancen mehrerer Produkte, die Wirkung alternativer Verpackungen, alternativer Preise usw. Vollkommene Informationen können (ideale Interview-Technik vorausgese t) nur Totalerhebungen unter allen potenziellen Kunden erbringen; in der Praxis beschränkt man sich auf die Befragung von n Personen (n Geschäften, n Betrieben usw.), man erhebt also eine Stichprobe vom Umfang n. • Für die Entscheidung über die Modalitäten der Garantieerklärung eines neu entwickelten Produktes, etwa eines Elektronenbli gerätes, interessiert den Hersteller natürlich die mi lere Lebensdauer L des Gerätes. Da die gesamte (auch zukünftige) Produktion die Grundgesamtheit darstellt, kann der Parameter L aus prinzipiellen Gründen nicht exakt ermi elt, sondern nur auf Grund einer Stichprobe geschä t werden. • Ähnliches gilt für Produktionsentscheidungen, die ein neu entwickeltes pharmazeutisches Präparat betreffen: Informationen über die Wirksamkeit des neuen Präparates im Vergleich zur Wirksamkeit marktüblicher Präparate können nur auf Stichprobenbasis gewonnen werden. Bei Informationen durch Stichproben stellen die Stichprobenrealisationen die verschiedenen Nachrichten dar, die der Entscheidungsträger erhalten kann. Wir wollen den Stichprobenumfang mit n, die Stichprobenrealisation mit x = (x1, x2, . . . , xn) und die Stichprobenvariable mit X = (X1, X2, . . . , Xn) 6.3 Unvollkommene Informationssysteme 133 bezeichnen; X ist also eine n-dimensionale Zufallsvariable und x ein n-dimensionaler Vektor.⁷ Die Menge der Stichprobenrealisationen bildet den Stichprobenraum, der mit X bezeichnet werde; X ist somit die Menge aller potenziellen Informationen über den wahren Umfeldzustand. Erinnern wir uns nun an die Vorgehensweise aus Abschni 6.2. Dort wurden alle Informationsbeschaffungsaktionen bis auf eine kostengünstigste (nämlich a0) von vornherein ausgeschlossen; das mit a0 verbundene Ne oergebnis konnte als Differenz des zur optimalen Aktion gehörenden Ergebnisses und der Informationskosten ermi elt werden. Auf Grund dieses Ne oergebnisses konnte a0 (unter eventueller Zuhilfenahme einer Entscheidungsregel) mit den anderen Aktionen a ∈ A verglichen werden. Diese Vorgehensweise lässt sich aus mehreren Gründen nicht übertragen. Zunächst kann man sich nicht auf eine kostengünstigste Stichprobe beschränken; die kostengünstigste Stichprobe hä e den Umfang null, stellt überhaupt keine echte Stichprobe dar und bringt keinerlei Information. Da die Kosten mit dem Stichprobenumfang wachsen, bedeutet eine Kostenerhöhung (-verringerung) im Allgemeinen einen Präzisionsgewinn (-verlust) beim Rückschluss von der Stichprobe auf das wahre z ∈ Z. Weiterhin ist im Gegensa zum vollkommenen Informationssystem auch nach Erhalt der Nachricht, also nach Kenntnis der Stichprobenrealisation x, der wahre Zustand immer noch nicht bekannt, so dass auch die bezüglich des wahren Zustandes optimale Aktion noch unbekannt ist. Mithin kann das mit einer Stichprobe verbundene Ne oergebnis nicht ermi elt und ein Vergleich mit den Aktionen a ∈ A nicht durchgeführt werden. Deshalb geht man in der vonWald (1950) entwickelten statistischen Entscheidungstheorie⁸ folgendermaßen vor: a) Man führt Strategien oder, wie man auch sagt, statistische Entscheidungsfunktionen δ ein. Dabei ist eine statistische Entscheidungsfunktion δ eine Vorschrift, die für jede Stichprobenrealisation x ∈ X eine Aktion δ(x) ∈ A festlegt; δ ist also eine auf X definierte Abbildung: δ : X → A . b) Die Beurteilung der verschiedenen statistischen Entscheidungsfunktionen erfolgt durch die Risikofunktion. Zur Berechnung der Risikofunktion werden drei Daten, nämlich die Schadensfunktion, die Stichprobenkostenfunktion und die Likelihoodfunktion benötigt: α) Die Schadensfunktion s ist eine auf dem kartesischen Produkt Z × A (der entscheidungstheoretischen Konvention gemäß wäre eigentlich A × Z passender) definierte Funktion s : Z × A → R , ⁷ Da die Anzahl der relevanten Umfeldzustände (die bisher mit n bezeichnet wurde) in diesem Abschni nicht explizit benötigt wird, ist das Symbol n, wie es in der Stichprobentheorie Tradition ist, für den Stichprobenumfang benu t worden. Ebenfalls aus Traditionsgründen werden die Stichprobenrealisationen mit x und nicht mit dem in Abschni 2.2 für Nachrichten vorgesehenen Symbol y bezeichnet. ⁸ Einführende Texte sind etwa Chernoff/Moses (1959); Bamberg (1972); mathematisch anspruchsvollere Texte sind etwa Wald (1950); DeGroot (2004); Berger (1985). 134 6. Entscheidungen bei variabler Informationsstruktur die die Handlungskonsequenzen, ausgedrückt in Schadenseinheiten, wiedergibt. s(z, a) ist also der Schaden, der bei Durchführung der Aktion a entsteht, wenn z der wahre Zustand ist. β) Die Stichprobenkostenfunktion c ist eine auf dem Stichprobenraum X definierte Funktion c : X → R ; c(x1, x2, . . . , xn) gibt die Kosten an, die bei Durchführung der Stichprobe und Beobachtung der Stichprobenrealisation (x1, x2, . . . , xn) entstehen. Der wichtigste Spezialfall ist die lineare Stichprobenkostenfunktion c(x1, x2, . . . , xn) = c(n) = c0 + nc1 , die vom Stichprobenumfang n (linear) abhängig, aber von der speziellen Stichprobenrealisation unabhängig ist. γ) Durch den wahren Umfeldzustand z ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung über dem Stichprobenraum X festgelegt. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung wird meist durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsdichte f(x|z) charakterisiert; man bezeichnet f(x|z) als Likelihoodfunktion. Verwendet man eine statistische Entscheidungsfunktion δ, so ist die von δ fes ulegende Aktion δ(X) noch eine Zufallsvariable, da die Stichprobenvariable X eine (gemäß der Likelihoodfunktion f(x|z) verteilte) Zufallsvariable ist. Infolgedessen ist auch der bei Einsa von δ entstehende Schaden noch eine (von z abhängende) Zufallsvariable, nämlich s(z, δ(X)) . Addiert man hierzu die bei Einsa von δ entstehenden Stichprobenkosten c(X) , die im allgemeinen Fall ebenfalls noch eine Zufallsvariable darstellen, so erhält man als Summe die Zufallsvariable s(z, δ(X)) + c(X) . Es ist klar, dass δ so gewählt werden sollte, dass diese Summe aus entstehenden Schäden und Kosten möglichst klein ausfällt. Da der Größenvergleich von Zufallsvariablen nicht ohne Weiteres möglich ist, geht man in der statistischen Entscheidungstheorie (unter Berufung auf das Bernoulli-Prinzip) zum Erwartungswert dieser Zufallsvariablen über. Der Erwartungswert⁹ r(z, δ) = Ez[s(z, δ(X)) + c(X)] ist bei festem δ eine Funktion von z und heißt Risikofunktion der statistischen Entscheidungsfunktion δ. Im wichtigen Spezialfall eines fest vorgegebenen Stichprobenumfanges n und einer nur von n abhängigen Funktion c ⁹ Der Index z bei Ez besagt, dass der Erwartungswert bezüglich der durch z bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung, also bezüglich der Likelihoodfunktion f(x|z), zu bilden ist. 6.3 Unvollkommene Informationssysteme 135 kann der Summand c(X) weggelassen werden, da er bei jedem δ denselben Beitrag liefert; man kann dann vereinfachend von der Risikofunktion r(z, δ) = Ezs(z, δ(X)) ausgehen. c) Es stellt sich nun die Frage, welche statistische Entscheidungsfunktion auszuwählen ist und was gegenüber der ursprünglich gegebenen Ungewissheitssituation gewonnen wurde. Die ursprünglich gegebene Ungewissheitssituation konnte durch den Zustandsraum Z, den Aktionenraum A und die Schadensfunktion s, also kurz durch das Tripel (Z, A, s) charakterisiert werden. Fasst man zweckmäßigerweise die zur Deba e stehenden statistischen Entscheidungsfunktionen zu dem so genannten Strategienraum ∆ zusammen, so erkennt man, dass die Einbeziehung der Stichprobeninformationen zu einer Ungewissheitssituation geführt hat, die durch das Tripel (Z,∆, r) charakterisiert werden kann. Rein formal ist insofern noch nichts gewonnen, als die gegebene Entscheidungssituation in eine Entscheidungssituation vom gleichen Typus überführt wurde. Allerdings ist durch den Übergang von A zu ∆ für den Entscheidungsträger das Arsenal an Alternativen beträchtlich vergrößert worden, denn die Aktionen a ∈ A entsprechen ganz speziellen Strategien.¹⁰ Infolge dieser Vermehrung der Alternativen ist die Chance, bezüglich der benu ten Entscheidungsregel eine „vernünftige“ Alternative zu finden, weitaus größer als bei der ursprünglich gegebenen Ungewissheitssituation. Die Festlegung einer Entscheidungsregel ist – wie auch bei den vollkommenen Informationssystemen in Abschni 6.2 – im Allgemeinen unumgänglich. Legt man die Minimax-Regel fest, so heißen die optimalen Strategien Minimax-Strategien oderMinimax-Entscheidungsfunktionen; bei der Bayes- Regel bezeichnet man sie entsprechend als Bayes-Strategien. ¹⁰ Bei festem Stichprobenumfang kann man sich, wie oben erwähnt, auf die Risikofunktion r(z, δ) = Ezs(z, δ(X)) beschränken. Die Aktionen a ∈ A sind in Form der konstanten (von der Stichprobeninformation keinerlei Notiz nehmenden) Strategien: δa(x) = a für jedes x ∈ X in ∆ enthalten, denn wegen r(z, δa) = s(z, a) können δa und a ohne Weiteres identifiziert werden. Bei variablem Stichprobenumfang kann ohnehin n = 0 gewählt werden, so dass die Aktionen in natürlicher Weise als spezielle Strategien aufgefasst werden können. 136 6. Entscheidungen bei variabler Informationsstruktur Die Bayes-Regel hat eine relativ große Resonanz gefunden.Wie die im nächsten Abschni exemplarisch zitierte Literatur dokumentiert, wurde ihr Einsa für zahlreiche betriebswirtschaftliche Problembereiche vorgeschlagen. Es ist deshalb sinnvoll, ihr einen eigenen Abschni zu widmen. 6.4 Bayes-Analyse Wie in Abschni 6.1 bereits erwähnt, bedingt die Anwendung der Bayes-Regel die Kenntnis einer a-priori-Verteilung über dem Zustandsraum Z. Die a-priori- Verteilung kann die rein subjektive Einschä ung des Entscheidungsträgers repräsentieren, sie kann aber auch frühere Erfahrungen oder das Urteil von Experten wiedergeben. Wir wollen die a-priori-Verteilung nun mit φ bezeichnen. Eine Strategie δ∗ ist eine Bayes-Strategie in∆ bezüglich der a-priori-Verteilung φ, wenn δ∗ den Risikoerwartungswert¹¹ Eφr(z, δ) unter allen δ ∈ ∆ minimiert. Die direkte Lösung dieses Minimierungsproblems kann ziemlich aufwändig sein, da zuerst alle Strategien δ ∈ ∆ aufgestellt, dann alle Risikofunktionen und alle Risikoerwartungswerte berechnet werden müssen, um schließlich den minimalen Risikoerwartungswert und δ∗ ermi eln zu können. Es existiert jedoch ein günstigerer Weg, der im Folgenden für den Fall eines festen Stichprobenumfangs erläutert werden soll:¹² a) Zur Stichprobenrealisation x wird die (durch φ und x bestimmte) a-posteriori-Verteilung ψ gebildet. b) EineAktion a∗ ∈ Awird ermi elt, die den a-posteriori-Schadenserwartungswert Eψs(z, a) minimiert. c) Se t man δ∗(x) = a∗ und führt man a) und b) für jede Stichprobenrealisation x ∈ X durch, so ergibt sich insgesamt eine Bayes-Strategie. Dieser Weg ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn man keine „komple e“ Bayes-Strategie δ∗ benötigt, sondern die Stichprobenrealisation x bereits kennt und nur für dieses eine x die Aktion δ∗(x) wissen will; man braucht nach dem ¹¹ Der wahre Umfeldzustand z ist durch die Annahme einer a-priori-Verteilung φ in den logischen Zustand einer Zufallsvariablen verse t. Für diese verwenden wir weiterhin das Symbol z, insbesondere weil Z bereits für den Zustandsraum vergeben ist). Mit z ist auch r(z, δ) als Zufallsvariable aufzufassen und die Erwartungswertbildung sinnvoll. ¹² Die mathematische Begründung läuft im Wesentlichen auf die Vertauschung der Reihenfolge zweier Integrationen hinaus; vgl. z. B. Bamberg (1972, S. 102–103).

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.