Content

5.3 Spezielle Entscheidungsregeln in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 123 - 129

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_123

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

Bibliographic information
112 5. Entscheidungen bei Ungewissheit zurückgeführt wird. Nachteile kann man darin sehen, dass in der Wahl einer Entscheidungsregel eine gewisse Willkür steckt und dass für die meisten der Entscheidungsregeln ein kardinaler Nu en¹ benötigt wird. 5.3 Spezielle Entscheidungsregeln Den Erläuterungen liegt die im vorigen Abschni eingeführte Nu enmatrix (uij) zu Grunde. Die reelle Zahl, die der Aktion ai bzw. dem n-Tupel (ui1, ui2, . . . , uin) durch die jeweilige Entscheidungsregel als Gütemaß zugeordnet wird, werde mit Φ(ai) bezeichnet. a) Bei der Maximin-Regel, die nach A. Wald² auch Wald-Regel genannt wird, ist Φ(ai) = min j uij . Von zwei Aktionen wird diejenige mit dem größeren Φ-Wert präferiert; optimal ist demnach eine Aktion a∗ mit Φ(a∗) = max i min j uij . Diese Entscheidungsregel orientiert sich an der ungünstigsten Konsequenz und empfiehlt diejenige Aktion als optimal, bei der die ungünstigste Konsequenz noch am günstigsten ausfällt. Über die Maximin-Regel wurden bereits viele kritische Bemerkungen formuliert. So schreibt Krelle (1968, S. 185), dass sie „einen geradezu pathologischen Pessimismus vorausse t“. Als Beispiel wird dort eine Entscheidungssituation betrachtet, die bezüglich einer kardinalen Nu enfunktion die Entscheidungsmatrix( 0,999 1 000 1 000 · · · 1 000 1 1 1 · · · 1 ) besi t; a2 ist nach der Maximin-Regel die optimale Aktion. Die Maximin-Regel wird primär in der Spieltheorie (vgl. Kapitel 7) und der statistischen Entscheidungstheorie (vgl. Abschni 6.3) benu t, also in Entscheidungssituationen, bei denen das „Umfeld“ ein rational handelnder Gegenspieler ist oder Informationsbeschaffungsmöglichkeiten in Betracht kommen; in derartigen Entscheidungssituationen lässt sich die Maximin- Regel weit gehend rechtfertigen. Sobald die Handlungskonsequenzen – wie in der statistischen Entscheidungstheorie – an Stelle der Nu enmatrix durch eine Schadensmatrix oder ¹ Für die Definitionen von gleichmäßig besten bzw. effizienten Aktionen benötigt man dagegen nur Größenvergleiche, also lediglich eine ordinale Nu enmessung. ² Wald (z. B. 1945, 1950) benu te diese Entscheidungsregel bei seiner Fundierung der statistischen Entscheidungstheorie. Vorher wurde diese Entscheidungsregel von v. Neumann (1928) und v. Neumann/Morgenstern (1944) in ihrer Fundierung der Spieltheorie benu t. 5.3 Spezielle Entscheidungsregeln 113 Verlustmatrix bewertet werden, geht die Maximin-Regel in die Minimax- Regel über, denn nun sucht man diejenige Aktion, die das Minimum der Maximalverluste realisiert. b) Entsprechend ergibt sich bei der Orientierung an der jeweils günstigsten Konsequenz die Maximax-Regel mit Φ(ai) = max j uij , die bei Verwendung einer Schadensmatrix in die Minimin-Regel übergeht. Spricht die Minimax-Regel für einen pathologischen Pessimismus, so entspricht die Maximax-Regel einem unverbesserlichen Optimismus. c) Einen Kompromiss zwischen der Maximin- und der Maximax-Regel stellt die Hurwicz-Regel³ dar, bei der Φ(ai) = λ · max j uij + (1 − λ) · min j uij gese t wird. Dabei ist λ ein vom Entscheidungsträger selbst zu fixierender Parameter zwischen 0 und 1; je größer λ gewählt wird, desto stärker gibt die günstigste Handlungskonsequenz, also maxj uij, den Ausschlag für die Beurteilung von ai. Deshalb bezeichnet man λ als Optimismusparameter. Für λ = 1 geht die Hurwicz-Regel in die Maximax-Regel und für λ = 0 in die Maximin-Regel über; für jeden Zwischenwert bekommt man eine neue Entscheidungsregel. Der einem Entscheidungsträger angepasste Optimismusparameter lässt sich unter Verwendung der Ungewissheitssituation z1 z2 a1 1 0 a2 x x empirisch dadurch ermi eln, dass man x solange variiert, bis der Entscheidungsträger zwischen a1 und a2 indifferent wird. Es ist Φ(a1) = λ und Φ(a2) = x , so dass im Falle der Indifferenz wegen Φ(a1) = Φ(a2) der Optimismusparameter λ mit diesem x-Wert übereinstimmen muss. Sobald der Optimismusparameter λ echt zwischen 0 und 1 liegt, wägt die Hurwicz-Regel für jede Aktion die günstigste Konsequenz gegenüber der ungünstigsten Konsequenz ab. Wegen dieser Abwägung kommt man mit einer ordinalen Nu enmessung nicht mehr aus. Denn se t man etwa λ = 12 und geht man von der Nu enmatrix( 1 0 −2 2 ) ³ Nach einer Arbeit von Hurwicz (1951) benannt. 114 5. Entscheidungen bei Ungewissheit durch eine monoton wachsende Transformation (die bei einer ordinalen Nu enmessung ja erlaubt ist) zur Nu enmatrix( 1 0 −4 10 ) über, so verändert sich die nach der Hurwicz-Regel optimale Aktion (zuerst ist a1 optimal, danach aber a2). Die Verwendung einer Hurwicz-Regel mit 0 < λ < 1 ist demnach erst sinnvoll, wenn ein kardinaler Nu en vorliegt. Aber auch wenn ein kardinaler Nu en vorliegt, lassen sich gegen die Hurwicz-Regel kritische Einwände vorbringen, da sie jeweils nur auf den beiden extremen Konsequenzen basiert. Bei der Ungewissheitssituation z1 z2 z3 z4 z5 z6 · · · z1000 a1 1 0 0 0 0 0 · · · 0 a2 0 1 1 1 1 1 · · · 1 sind nach der Hurwicz-Regel (für jedes λ) die beiden Aktionen a1 und a2 gleichwertig. Der „gesunde Menschenverstand“ scheint dem zu widersprechen. Sicherlich würden Befragungen ergeben, dass die Mehrheit der Entscheidungsträger die Aktion a2 präferiert. Vermutlich liegt dies daran, dass der „gesunde Menschenverstand“ Ungewissheitssituationen dadurch in Risikosituationen umzufunktionieren sucht, dass er jedem Zustand zi die gleiche Wahrscheinlichkeit zuordnet. Hierauf beruht die nächste Entscheidungsregel. d) Die Laplace-Regel⁴ geht davon aus, dass man auf Grund der Unsicherheit von keinem der Umfeldzustände sagen kann, dass er eher als ein anderer eintreten wird und dass man infolgedessen alle Zustände als gleich wahrscheinlich ansehen müsse. Die Laplace-Regel benu t deshalb die Nu ensumme Φ(ai) = n∑ j=1 uij (die bis auf den Faktor 1n mit demNu enerwartungswert übereinstimmt) als Gütemaß. Die Laplace-Regel ist offensichtlich erst dann sinnvoll anwendbar, wenn ein kardinaler Nu en zu Grunde liegt. Liegt speziell ein Bernoulli- Nu en zu Grunde, so fallen in dieser künstlich definierten Risikosituation die Laplace-Regel, die Bayes-Regel und das Bernoulli-Prinzip zusammen. Die Laplace-Regel besi t beispielsweise den Nachteil, dass sich infolge des für jeden Zustand starr festgelegten gleichen Gewichts die Rangfolge der Aktionen durch Hinzufügung einer gleichen Spalte in der Entscheidungsmatrix ändern kann. So ist bezüglich der Entscheidungsmatrix( 3 1 −1 4 ) ⁴ Nach P. S. de Laplace (1749–1827) benannt, oft auch als „Prinzip vom unzureichenden Grunde“ bezeichnet. 5.3 Spezielle Entscheidungsregeln 115 die Aktion a1 zu präferieren, aber bezüglich der Entscheidungsmatrix( 3 1 1 −1 4 4 ) die Aktion a2. Da die im Modell zu erfassenden Zustände vom Entscheidungsträger zu erarbeiten sind, können solche Erscheinungen in der Praxis nicht ausgeschlossen werden. e) Auf völlig anderen Überlegungen beruht die Savage-Niehans-Regel⁵. Nach dieser Entscheidungsregel ist zuerst aus der Entscheidungsmatrix (uij) die Opportunitätskostenmatrix (sij) gemäß sij = max k ukj − uij zu bilden; sij gibt (vgl. Abschni 2.4) den Nu enentgang an, den man dann erleidet, wenn der Zustand zj eintri und man an Stelle der optimalen Aktion (optimal in der durch Z = {zj} definierten Sicherheitssituation) die Aktion ai ergriffen hat. Je größer sij, desto größer ist infolgedessen das Bedauern (regret). Auf die Opportunitätskostenmatrix wird nun die Minimax- Regel angewandt. Damit gelangt man zu dem etwas kompliziert aussehenden Gütemaß: Φ(ai) = max j ( max k ukj − uij ) . Da man dieses maximale Bedauern möglichst klein zu halten sucht, sind Aktionen mit einem kleineren Φ-Wert gegenüber anderen zu präferieren. Selbstverständlich benötigt man auch für die Savage-Niehans-Regel eine kardinale Nu enmessung. Ungewissheitssituationen, bei denen diese Entscheidungsregel zu unbefriedigenden Resultaten führt, sind ebenso wie bei den anderen Entscheidungsregeln leicht anzugeben. Gehen wir beispielsweise in der von c) bereits bekannten Ungewissheitssituation z1 z2 z3 z4 z5 z6 · · · z1000 a1 1 0 0 0 0 0 · · · 0 a2 0 1 1 1 1 1 · · · 1 zu den Opportunitätskosten sij über, so bedeutet dies lediglich eine Vertauschung der Nullen und Einsen; mithin sind wegen Φ(a1) = 1 = Φ(a2) die beiden Aktionen a1 und a2 gleichwertig, was schon unter c) hinreichend kritisiert wurde. f) Die bisher aufgeführten Entscheidungsregeln li en unter demNachteil, dass sie sich entweder nur auf speziell ausgewählte Handlungskonsequenzen (die günstigste, ungünstigste usw.) stü en oder dass sie (wie die Laplace- Regel) zwar alle Handlungskonsequenzen berücksichtigen, diese jedoch ⁵ Unabhängig voneinander von Savage (1951) und Niehans (1948) vorgeschlagen; oft wird die Entscheidungsregel auch als „Prinzip des kleinsten Bedauerns“ oder auch als „Minimax-Regret-Prinzip“ bezeichnet. 116 5. Entscheidungen bei Ungewissheit nach einem starren Schema gewichten. Unter diesem Nachteil leiden auch andere, hier nicht aufgeführte, Entscheidungsregeln. So sind z. B. bei Kramer (1967) sieben weitere Entscheidungsregeln aufgeführt. Beliebig viele andere sind denkbar; beispielsweise könnte die günstigste mit der zweitgünstigsten Handlungskonsequenz gewichtet werden, diese beiden mit der ungünstigsten Handlungskonsequenz usw. Da sich gegen derartige Entscheidungsregeln immer Kritikpunkte finden lassen, hat Krelle (1968, S. 184) ein völlig anderes Konzept vorgeschlagen: Alle mit einer Aktion ai verknüpften (und kardinal gemessenen) Nu enwerte ui1, ui2, . . . , uin sollen mit einer für den Entscheidungsträger typischen Unsicherheitspräferenzfunktion ω transformiert und dann addiert werden. Die Krelle-Regel, die konsequenterweise eigentlich als Krelle-Prinzip bezeichnet werden müsste, benu t demnach das (vom Entscheidungsträger abhängende) zu maximierende Gütemaß Φ(ai) = n∑ j=1 ω(uij) . Die (nur bis auf positive lineare Transformationen bestimmte) Unsicherheitspräferenzfunktion kann dadurch ermi elt werden, dass der Entscheidungsträger in hypothetische Ungewissheitssituationen gestellt und die nahe liegende Normierung ω(0) = 0 und ω(1) = 1 eingeführt wird. Variiert man x solange, bis in der – bereits bei der Hurwicz- Regel verwandten – Ungewissheitssituation z1 z2 a1 1 0 a2 x x Indifferenz zwischen a1 und a2 eintri , so ist ω(1) + ω(0) = 1 = ω(x) + ω(x) , also ω(x) = 12 ; ist dies z. B. für x = 1 3 der Fall, so sind bereits 3 Punkte (0, 0), ( 13 , 1 2 ) und (1, 1) bekannt, die auf der Unsicherheitspräferenzkurve liegen. Variiert man nun y solange, bis in der Ungewissheitssituation z1 z2 a1 13 0 a2 y y Indifferenz zwischen a1 und a2 auftri , so ist wegen ω( 13 ) + ω(0) = 1 2 = 2ω(y) der weitere Punkt (y, 14 ) ermi elt. Fährt man in nahe liegender Weise fort, so lässt sich die gesamte Unsicherheitspräferenzfunktion ermi eln; man erhält 5.3 Spezielle Entscheidungsregeln 117 u w w (u) 1 113 1 2 Abb. 5.1: Unsicherheitspräferenzfunktion eine (monoton wachsende) Kurve von dem in Abbildung 5.1 dargestellten Typus.⁶ Die Analogie dieser Entscheidungsregel mit dem Bernoulli-Prinzip wird dann besonders deutlich, wenn – wie bei Krelle – noch „Pseudowahrscheinlichkeiten“ eingeführt werden und Φ als „Erwartungswert“ dargestellt wird. Krelle ordnet (wie bei der Laplace-Regel) jedem Zustand die gleiche Wahrscheinlichkeit, also 1n zu. Der damit gebildete Erwartungswert ist bis auf den Faktor 1 n mit dem oben definierten Φ identisch. Bei der Entscheidungsmatrix( 5 3 5 3 3 3 7 1 2 7 7 1 ) wäre der Aktion a1 der „Erwartungswert“ 1 6 · [4ω(3) + 2ω(5)] sowie der Aktion a2 der „Erwartungswert“ 1 6 · [2ω(1) + ω(2) + 3ω(7)] zuzuordnen. Die Krelle-Regel scheint aus der Sicht der Theorie die befriedigendste Entscheidungsregel zu sein. Sie gesta et es, jeden Nu enwert zu berücksichtigen und ihn gemäß dem individuellen Verhalten des Entscheidungsträgers zu transformieren; dadurch wird die Entscheidungsregel außergewöhnlich flexibel. Allerdings bürdet sie dem Entscheidungsträger oder dem sonstigen Anwender eine ⁶ Krelle (1968, S. 180–184) fordert durch ein „Informationsaxiom“, dass die Scheu vor Ungewissheit größer als die Scheu vor Risiko ist. Hieraus kann er schließen, dass die Kurve der Unsicherheitspräferenzfunktion stärker als die Kurve der Risikopräferenzfunktion gekrümmt sein muss; damit gelingt ihm eine überzeugende Auflösung des so genannten Ellsberg-Paradoxons (Ellsberg, 1961). Dass die Scheu vor Ungewissheit größer als die Scheu vor Risiko ist, wird auch durch eine Reihe von Marktexperimenten belegt (vgl. z. B. Weber, 1989). 118 5. Entscheidungen bei Ungewissheit doppelte kardinale Messung auf, nämlich die kardinale Messung des Nu ens der Ergebnisse und die kardinale Messung der Unsicherheitspräferenzfunktion.⁷ 5.4 Kritische Zusammenfassung Wie bei anderen modellartigen Darstellungen von Entscheidungssituationen lässt sich auch bei der Ungewissheitssituation einwenden, dass viele Entscheidungssituationen der betrieblichen Praxis nicht von diesem Typus sind, dass die benötigten Daten zu schwierig zu beschaffen sind, dass die Ermi lung des Aktionenraumes A und des Zustandsraumes Z zu aufwändig ist und dass man infolge von Bewertungsproblemen gar nicht bis zur Aufstellung der Nu enmatrix gelangt, auf die sich die diskutierten Lösungsansä e beziehen. Sicherlich sind viele Entscheidungssituationen der betrieblichen Praxis nicht von der völligenUngewissheit geprägt, die in diesemKapitel unterstellt wurde. Wie in Abschni 5.1 dargelegt wurde, kann aber auf die Behandlung vonUngewissheitssituationen nicht verzichtet werden. Das Datenbeschaffungsargument spricht nicht unbedingt gegen die Theorie. Ohne Kenntnis der einschlägigen Daten können zwar in der Praxis Entscheidungen getroffen werden (was fast sogar die Regel ist); eine fundierte Begründung der Entscheidung (die hier in erster Linie interessiert) dürfte jedoch schwer fallen. Die Diskussion der verschiedenen Lösungskonzepte sollte vor allen Dingen aufzeigen, dass es sogar bei Kenntnis der benötigten Daten keineswegs selbstverständlich ist, was unter einer rationalen Entscheidung oder unter einer optimalen Aktion zu verstehen ist. Im Allgemeinen kann erst dann, wenn zusä lich zu den Daten, die die Ungewissheitssituation charakterisieren, ein Optimalitätskriterium z. B. in Form einer der angegebenen Entscheidungsregeln präzisiert wird, von einer optimalen Aktion gesprochen werden. Deshalb wurden die mit der Präzisierung eines Optimalitätskriteriums verbundenen Probleme vorrangig behandelt. Wir sahen, dass sich zur Lösung eines Entscheidungsproblems unter Unsicherheit im Wesentlichen drei Wege anbieten, die sich entweder nur • auf gleichmäßig beste Aktionen oder • auf die Gesamtheit aller effizienten Aktionen oder • auf eine spezielle Entscheidungsregel stü en. In den vorangehenden Abschni en wurde deutlich zu machen versucht, dass gegen jeden dieser Lösungswege Einwände vorgebracht werden ⁷ Ist bei einer Ungewissheitssituation eine gesonderte Nu enbewertung der Ergebnisse nicht erforderlich, so können die Nu en- und Unsicherheitspräferenzmessung miteinander verbunden und die (gekoppelte) Unsicherheitspräferenzfunktion unmittelbar auf dem Bereich aller Handlungskonsequenzen definiert werden; in diesem Falle ist lediglich eine einzige kardinale Messung nötig.

Chapter Preview

References

Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.