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4.10 Stochastische Dominanz in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 111 - 115

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_111

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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100 4. Entscheidungen bei Risiko (infinitesimalen) Vermögenszuwachs ist und umgekehrt proportional zum bereits vorhandenen Vermögen. Bernoullis „Nu enaxiome“ unterscheiden sich von den heutigen Nu enaxiomen fundamental. Insbesondere kommen Wahrscheinlichkeiten (die für das Stetigkeitsaxiom und Substitutionsaxiom wesentlich sind) in Bernoullis „Nu enaxiomen“ nicht vor. Damit können wird das Fazit ziehen: • Geht es um die Auslegung der Bernoulli-Arbeit von 1738, so ist der Auffassung 1 zuzustimmen. • Argumentiert man auf Basis der 1944 von J. von Neumann und O. Morgenstern axiomatisch begründeten Erwartungsnu entheorie, so ist die Auffassung 1 nicht haltbar und die Auffassung 2 zutreffend. 4.10 Stochastische Dominanz Bislang wurde die Entscheidung eines bestimmten Entscheidungsträgers betrachtet. Falls dessen Risikonu enfunktion ermi elt ist, können alle zur Deba te stehenden Aktionen ohne Probleme verglichen werden (wenn man von technischen Schwierigkeiten bei der Berechnung von Nu enerwartungswerten absieht). Sobald aber Aussagen über die Wirkung von Entlohnungsschemata, von Steuertarifänderungen, von Regulierungs- und Deregulierungsmaßnahmen etc. gewonnen werden sollen, muss eine Gruppe von Entscheidungsträgern bzw. ein repräsentativer Entscheidungsträger betrachtet werden. Dann ist es problematisch, eine einzige wohldefinierte Risikonu enfunktion zu unterstellen. Robustere Aussagen werden nur dann erzielt, wenn ein bestimmter Effekt für alle Risikonu enfunktionen einer bestimmten Klasse, beispielsweise die in Abschni 4.6 definierte CARA- oder CRRA-Klasse, deduziert werden kann. Neben diesen einparametrischenKlassenwerden häufig auch die beiden (umfangreicheren und nichtparametrischen) Klassen zu Grunde gelegt: U1 = Klasse aller streng monoton wachsenden Risikonu enfunktionen u. U2 = Klasse aller Risikonu enfunktionen u ∈ U1, die streng konkav sind. Jedes u aus U1 drückt lediglich Normalverhalten aus (je mehr, desto besser). Die KlasseU2 ist diejenige Teilklasse vonU1, die darüber hinaus Risikoaversion repräsentiert. Sind Paare X1, X2 von Zufallsvariablen zu vergleichen, so ist der Fall denkbar, dass alle Entscheidungsträger mit einer Risikonu enfunktion u aus U1 zu demselben Urteil kommen, beispielsweise zu X1 ≻ X2 , was ja gleichbedeutend mit Eu(X1) > Eu(X2) für alle u ∈ U1 ist. Man spricht dann von stochastischer Dominanz ersten Grades, das heißt X1 dominiert X2 stochastisch vom Grade 1. Auf Grund der englischsprachi- 4.10 Stochastische Dominanz 101 gen Bezeichnung „first degree stochastic dominance“ hat sich hierfür die Symbolik X1 ≻FSD X2 eingebürgert. Ganz analog wird die stochastische Dominanz zweiten Grades (second degree stochastic dominance) definiert: Trifft für alle Entscheidungsträger mit einer Risikonu enfunktion u aus U2 das Präferenzurteil X1 ≻ X2 zu, so liegt stochastische Dominanz zweiten Grades vor, wofür die Symbolik X1 ≻SSD X2 gebräuchlich ist. Seit den 1960er Jahren wurden Kriterien²⁷ entwickelt, aus denenman ersehen kann, ob eine FSD- oder SSD-Relation besteht. Diewichtigsten Erkenntnisse fasst folgender Sa zusammen: Sa 4.3: Sind F1 bzw. F2 die Verteilungsfunktionen der Zufallsvariablen X1 bzw. X2, so liegt stochastische Dominanz ersten Grades von X1 über X2, das heißt X1 ≻FSD X2 , genau dann vor, wenn F1(x) ≦ F2(x) für alle x ∈ R , wobei F1(x) < F2(x) für mindestens ein x gilt. Stochastische Dominanz zweiten Grades, das heißt X1 ≻SSD X2 , liegt genau dann vor, wenn x∫ −∞ F1(y) dy ≦ x∫ −∞ F2(y) dy für alle x ∈ R , wobei wiederum die strikte Ungleichung für mindestens ein x gilt. Das Kriterium für FSD ist plausibel und leicht zu interpretieren. Abbildung 4.9 illustriert die Situation. Das exemplarisch herausgegriffene Ergebnis x̂wird bei einer Entscheidung fürX1 mit einer geringerenWahrscheinlichkeit unterschritten (und einer entsprechend größerenWahrscheinlichkeit überschri en) als bei einer Entscheidung fürX2. Aus dem Sa folgt natürlich auch, dass zwischenX1 und X2 keine FSD-Dominanz vorliegt, wenn sich die zugehörigen Verteilungsfunktionen schneiden; die beiden Alternativen X1 und X2 sind dann bezüglich FSD unvergleichbar. Damit ist geklärt, dass FSD nur eine partielle Ordnung erzeugt. Dasselbe gilt auch für die SSD-Relation. ²⁷ Es sei beispielsweise auf die Monografie Mosler (1982), den Übersichtsaufsa Levy (1992) sowie die dort zitierte Literatur verwiesen. 102 4. Entscheidungen bei Risiko Ergebnisrealisation x 1 x P(Xi ≤ x) F2(x) F1(x) ^ Abb. 4.9: Die Verteilungsfunktion F1 verläuft unterhalb von F2. Es liegt stochastische Dominanz ersten Grades von X1 über X2 vor. Die nachfolgenden Bemerkungen und Beispiele sollen den Begriff „stochastische Dominanz“ etwas vertrauter machen. a) Da U1 eine Obermenge von U2 ist, folgt unmi elbar: Liegt X1 ≻FSD X2 vor, so auch X1 ≻SSD X2 . b) Falls X1 und X2 bezüglich FSD unvergleichbar sind, ist durchaus X1 ≻SSD X2 oder X2 ≻SSD X1 möglich. Wenn wir auf die eingangs des Abschni s 4.3 betrachteten Aktionen a1, . . . , a6 zurückgreifen und die zugehörigen (degenerierten bzw. dichotomen) Zufallsvariablen mit X1, . . . , X6 bezeichnen, so sind beispielsweise X4 und X5 bezüglich FSD unvergleichbar. Denn F4(x) ist für Werte x < 200 kleiner als F5(x) und für x > 200 größer als F5(x). Mithilfe des Sa es 4.3 (oder einem in der erwähnten Literatur beschriebenen Schni kriterium) kann man bestätigen, dass X4 und X5 bezüglich SSD vergleichbar sind und X4 ≻SSD X5 gilt. Die in Abschni 4.3 als unstri ig deklarierten Paarvergleiche beruhen jeweils auf einer FSD-Beziehung, wohingegen die problematischen Paarvergleiche jeweils mit FSD-Unvergleichbarkeiten korrespondieren. c) In Prinzipal-Agent-Ansä en (vgl. Abschni 6.6) wird oft angenommen, dass der Output des Agenten die Summe aus seinem (als reelle Zahl erfassten) Arbeitseinsa (Effort) a und einer stochastischen Überlagerung X ist: Xa = a + X , wobei die (für alle a gleiche) Zufallsvariable X Glück, Pech oder sonstige exogenen Effekte erfassen soll. Seien a ein bestimmter Arbeitseinsa und b 4.10 Stochastische Dominanz 103 ein höherer Arbeitseinsa . Wir versuchen, die zugehörigen Outputs Xa und Xb im FSD-Sinne zu vergleichen. Offensichtlich gilt P(Xa ≦ x) = P(a + X ≦ x) = P(X ≦ x − a) = F(x − a) , wobei F die Verteilungsfunktion der Störvariablen X ist. Da analog auch P(Xb ≦ x) = F(x − b) (≦ F(x − a)) gilt, verläuft die Verteilungsfunktion von Xb stets unterhalb derjenigen von Xa. Se en wir der Einfachheit halber F als streng monoton voraus, so besi t Xb sogar eine überall strikt kleinere Verteilungsfunktion. Damit ist geklärt, dass ein höherer Effort einen (im Sinne von FSD) stochastisch dominanten Output erzeugt. d) Die für eine gegebene Alternativenmenge bezüglich FSD (bzw. SSD) undominiertenAktionen heißen FSD-effizient (bzw. SSD-effizient). Ist eineAktion SSD-effizient, so ist sie auch FSD-effizient. Wegen einer Anwendung dieser Begriffe auf die Renditen der 30 DAX-Aktien sei auf Steiner et al. (1996) verwiesen. e) Gelegentlich kommen Risikonu enfunktionen zum Einsa , deren Verlauf zumindest abschni sweise geradlinig ist. Damit fällt man aus dem Bereich der in U1 bzw. U2 aufgenommenen Risikonu enfunktionen heraus. Es gilt allerdings ein leicht modifizierter Sa , bei dem in der Definition vonU1 und U2 das Wörtchen „streng“ jeweils gestrichen ist und der Zusa „strikte Ungleichung für mindestens ein x“ ebenfalls gestrichen werden kann. Genauer erhält man bezüglich FSD (ganz analog für SSD) Folgendes: Definiert man X1 ≽FSD X2 (in Worten „X1 ist bezüglich der stochastischen Dominanz ersten Grades mindestens so gut wie X2“) durch die Gültigkeit von Eu(X1) ≧ Eu(X2) für alle monoton wachsenden u, so lautet das entsprechende notwendige und hinreichende Kriterium: Es ist X1 ≽FSD X2 genau dann, wenn F1(x) ≦ F2(x) für alle x ∈ R gilt. 104 4. Entscheidungen bei Risiko 4.11 Kritische Zusammenfassung Das in Abschni 4.3 eingeführte Bernoulli-Prinzip besagt, dass die in Risikosituationen zur Deba e stehenden Aktionen nach ihrem Nu enerwartungswert beurteilt werden bzw. beurteilt werden sollen. Im konkreten Fall lässt sich diese Beurteilung natürlich nur dann durchführen, wenn die Nu enfunktion bekannt ist. Deshalbwurde inAbschni 4.4 geschildert, wieman den Bernoulli- Nu en eines Entscheidungsträgers mi els hypothetischer Risikosituationen messen kann. Für praktische Zwecke dürfte es zu aufwändig sein, allen möglichen Handlungskonsequenzen x gemäß diesem Messverfahren die Nu enbewertung u(x) zuzuordnen; man muss sich auf die Messung einiger Werte beschränken und daraus durch Inter- und Extrapolationen eine Approximation des Bernoulli-Nu ens gewinnen. Anhand einiger typischer Nu enfunktionen wurde in Abschni 4.5 erläutert, wie die auf dem Bernoulli-Prinzip beruhende Theorie die Risikosympathie, die Risikoaversion sowie das gleichzeitige Vorhandensein von Risikosympathie und Risikoaversion zu erklären gesta et. Der normative Aspekt des Bernoulli-Prinzips wurde in Abschi 4.7 betont. Sobald die Aktionen (in irgendeiner Weise) widerspruchsfrei geordnet sind (das heißt, das ordinale Prinzip gilt) und zwei relativ einleuchtende Rationalitätspostulate, nämlich das Stetigkeitsaxiom und das Substitutionsaxiom, zusä lich akzeptiert werden, kann auf Grundmathematischer Überlegungen die Gültigkeit des Bernoulli-Prinzips (für endlich diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen) gefolgert werden. Mi lerweile existieren natürlich auch Axiomensysteme für allgemeinereWahrscheinlichkeitsverteilungen. Deren Formulierung bedingt allerdings einen hohen technischen Aufwand. Dieser macht den normativen Gehalt gleichzeitig intransparenter. Deshalb wurde in Abschni 4.7 auf die Darstellung solcher Systeme verzichtet. Das dort gewählte Axiomensystem schließt nicht aus, dass die Bernoulli-Nu enfunktion unbeschränkt ist, was bei gewissen (ebenfalls unbeschränkten) Wahrscheinlichkeitsverteilungen die Nichtexistenz des Nutzenerwartungswertes nach sich ziehen kann. Ein einfacher und pragmatischer (und in diesem Buch beschri ener) Weg zur Vermeidung derartiger Probleme ist die fallweise Beschränkung auf geeignete Klassen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder Risikonu enfunktionen. Ein alternativer Weg bestünde darin, das Axiomensystem so zu verschärfen, dass die Risikonu enfunktion zwangsläufig beschränkt ist und alle denkbaren Nu enerwartungswerte existieren. So führt beispielsweise eine Verschärfung des Stetigkeitsaxioms derart, dass seine Gültigkeit für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen (an Stelle der betrachteten Einpunktverteilungen) gefordert wird, zu einer beschränkten Risikonu enfunktion. Die Zugrundelegung eines derart verschärften Axiomensystems und die damit verbundene Einengung auf beschränkte Risikonutzenfunktionen ist jedoch aus didaktischen Gründen unzweckmäßig, da damit beispielsweise die leicht zu diskutierenden polaren Fälle von (durchwegs linearen, durchwegs konvexen, durchwegs konkaven) Risikonu enfunktionen ausgeschlossen werden.

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.