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4.9 Welche Präferenzen berücksichtigt das Bernoulli-Prinzip? in:

Günter Bamberg, Adolf Gerhard Coenenberg, Michael Krapp

Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre, page 108 - 111

15. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4518-3, ISBN online: 978-3-8006-4519-0, https://doi.org/10.15358/9783800645190_108

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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4.9 Welche Präferenzen berücksichtigt das Bernoulli-Prinzip? 97 4.9 Welche Präferenzen berücksichtigt das Bernoulli-Prinzip? Seit der von Leber (1975) und Jacob/Leber (1976a,b) vorgetragenen Kritik am Bernoulli-Prinzip ist die Diskussion um Bedeutung und Aussagegehalt dieses Prinzips in der deutschsprachigen betriebswirtschaftlichen Literatur nicht mehr abgerissen. Als Forum diente vornehmlich die Zeitschrift für Betriebswirtschaft (ZfB). Die erste Diskussionsrunde²⁵ fand ihren Niederschlag in den ZfB-Jahrgängen 1975 bis 1978. Ab 1982 hat in derselben Zeitschrift sowie in der Zeitschrift für betriebswirtschaftliche Forschung (Z F) eine zweite Diskussionsrunde²⁶ sta gefunden, die sich an der in der Monografie von Hieronimus (1979) formulierten Kritik en ündet ha e. Anfang 1993 kamen die Herausgeber der ZfB, insbesondere auf Grund der klärenden Artikel von Kürsten zu dem Fazit, dass die Positionen und Gegenpositionen hinreichend erörtert worden seien und beschlossen, keine weiteren Beiträge zu dieser Problematik mehr anzunehmen. Die Diskussion war damit allerdings noch nicht beendet, sondern nur auf die Z F und andere Zeitschriften verlagert, beispielsweise auf die Betriebswirtschaftliche Forschung und Praxis (BFuP) und das Operations Research Spectrum (OR Spectrum). Bislang sind die Beiträge Dyckhoff (1993); Schildbach (1996, 1999); Kruse (1997); Bi (1998, 1999) erschienen. Der engagiert geführteMeinungsstreit betraf die als Überschrift gewählte Kernfrage: „Welche Präferenzen berücksichtigt das Bernoulli-Prinzip?“ Hier stehen sich (abgesehen von geringfügigen Nuancen) die beiden Auffassungen gegenüber: Auffassung 1: Die Bernoulli-Nu enfunktion u(x) spiegelt lediglich eine reine Höhenpräferenz wider und ist mit der Höhenpräferenzfunktion h(x) identisch. Wegen dieser Übereinstimmung kann das Bernoulli-Prinzip keinerlei vom Erwartungswert-Prinzip abweichende Präferenzen in Bezug auf eine subjektive Risikoeinstellung beinhalten. Auffassung 2: Die Zerlegung der Bernoulli-Nu enfunktion u(x) in eine Höhenpräferenz und eine Risikopräferenz ist weder erforderlich noch zweckmäßig. Vielmehr wird der gemeinsame Effekt durch u(x) in operabler Weise erfasst und ist zur Charakterisierung der Risikoeinstellung völlig ausreichend. Dem Leser der vorangegangenen Abschni e wird nicht entgangen sein, dass in diesem Buch die Auffassung 2 vertreten wird. Auffassung 1 wird im Wesentlichen durch die suggestive Wirkung zweier unstri iger Fakten motiviert, nämlich: • Sowohl die Höhenpräferenzfunktion h als auch die Bernoulli-Funktion u sind kardinal in dem Sinne, dass sie jeweils bis auf wachsende lineare Transformationen eindeutig bestimmt sind. ²⁵ Leber (1975); Coenenberg/Kleine-Doepke (1975); Jacob/Leber (1976a,b, 1978), Krelle (1976, 1978a,b); Bi /Rogusch (1976); Wilhelm (1977); Jacob (1978). ²⁶ Albrecht (1982, 1983, 1984); Schildbach/Ewert (1983, 1984a,b); Vetschera (1984); Bi (1984); Wilhelm (1985, 1986); Schildbach (1989, 1992); Scho (1990, 1993); Kürsten (1992a,b). 98 4. Entscheidungen bei Risiko • Für eine Einpunkt-Verteilung, das heißt eine Zufallsvariable X, die mit Sicherheit das Ergebnis x zur Folge hat, reduziert sich der Nu enerwartungswert Eu(X) auf u(x). Wäre der Nu enerwartungswert Eu(X) kardinal messend (das heißt eine Höhenpräferenzfunktion auf dem Bereich der risikobehafteten und risikolosen Aktionen bzw. den zugeordneten Zufallsvariablen X), so wäre u(x) natürlich auch kardinal messend auf der Teilmenge der risikolosen Aktionen bzw. sicheren Ergebnisse x. Selbstverständlich müsste dann u(x)mit der Höhenpräferenzfunktion h(x) (bis auf wachsende lineare Transformationen) übereinstimmen. Auffassung 1 wäre damit bestätigt. Der „Haken“ an dieser Bestätigung ist allerdings, dass der Nu enerwartungswert auf Grund seiner axiomatischen Begründung nur ordinal messend ist. Genau so wurde die Aussage des Bernoulli-Prinzips auch in diesem Kapitel definiert. Für die meisten betriebswirtschaftlichen Anwendungen reicht die Ordinalität aus. Denn man kann damit für jede vorgegebene Menge von Aktionen diese prinzipiell in einer „Hitparade“ anordnen und die optimale Aktion daraus bestimmen. Wenn der Nu enerwartungswert nur ordinal messend ist, kann u(x) auf dem Teilbereich der sicheren Ergebnisse ebenfalls nur ordinal messend sein. Der scheinbare Widerspruch zur Kardinalität von u entsteht durch die (bereits im Abschni 2.4 angesprochene) saloppe Verwendung des Adjektivs „kardinal“. Kürsten (1992a) spricht deshalb von der „anderen Kardinalität“ der Risikonu enfunktion, womit die Eindeutigkeit bis auf wachsende lineare Transformationen gemeint ist. Greifen wir zur Ergänzung nochmals auf die bereits in Abschni 4.3 erwähnte krellesche Zerlegung der Risikonu enfunktion u(x) in u(x) = φ[h(x)] , das heißt in die Hintereinanderschaltung einer reinen Höhenpräferenzfunktion h und einer reinen Risikopräferenzfunktion φ zurück. Diese Zerlegung ist zwar nach Auffassung 2 weder erforderlich noch empirisch praktikabel; dies schließt jedoch nicht aus, dass sie an dieser Stelle für die gedankliche Klarstellung nü lich sein kann. Bi (1984) schlägt vor, das jeweilige Symbol u bzw. φ mit zu vermerken, wenn sich der bei der Argumentation benu te Begriff der Risikoeinstellung auf den Verlauf der Funktion u bzw.φ bezieht. Die imKapitel 4 (und in späteren Kapiteln) angesprochenen Risikoeinstellungen wären demnach als risikoaversu, risikoneutralu und risikofreudigu zu bezeichnen und begrifflich von risikoaversφ, risikoneutralφ und risikofreudigφ zu unterscheiden. Auch Dyer/Sarin (1982) sowie Wilhelm (1986) verwenden obige Zerlegung zur Klärung der Zusammenhänge. An Stelle der Kennzeichnung durch φ benutzen sie den Zusa „relativ“, so dass beispielsweise „risikoneutralφ“ identisch mit „relativ risikoneutral“ ist. Abschni 2.4 enthält die Definition einer Höhenpräferenzfunktion in relativ knapper Form. Eine wesentlich stringentere Fundierung der Höhenpräferenzfunktion h wird von Wilhelm (1986) geliefert. Er zeigt auch auf, dass φ in aller Regel eine nichtlineare Funktion ist. Das heißt, u(x) und h(x) sind in aller Regel verschiedene Funktionen (die auch nicht durch eine wachsende lineare Trans- 4.9 Welche Präferenzen berücksichtigt das Bernoulli-Prinzip? 99 formation auseinander hervorgehen können). Wilhelm charakterisiert ferner mi els einer speziellen Verträglichkeitsbedingung den Sonderfall, in dem die Bernoulli-Nu enfunktion u mit der Höhenpräferenzfunktion h identisch ist. Diese Verträglichkeitsbedingung (wegen einer exakten Formulierung sei auf Wilhelms Beitrag verwiesen) impliziert insbesondere Folgendes: Liegt x, gemessen am Höhenpräferenzzuwachs, genau in der Mi e zwischen y und v, so wird x als gleichwertigmit der Fifty-fifty-Lo erie zwischen y und v empfunden. In dem Sonderfall, dass diese Verträglichkeitsbedingung erfüllt ist, liefert der Nu enerwartungswert eine kardinale Messung, das heißt, er ist eine Höhenpräferenzfunktion auf dem Bereich der Zufallsvariablen. Das Erfülltsein der Verträglichkeitsbedingung bei einem realen Entscheidungsträger ist a priori allerdings sehr unwahrscheinlich, da die Bedingung verschiedene Begriffswelten (Nu enzuwachs von einem sicheren Ergebnis zu einem anderen versus Nu en von Lo erien) perfekt aneinanderkoppelt. Die Auffassung 1 wird von ihren Verfechtern jedoch so interpretiert, dass sie generell gilt und nicht nur unter einer selten erfüllten Bedingung. Insofern ist auch das von Wilhelm aufgezeigte „Schlupfloch“ keine Stü e für die Auffassung 1, sondern im Gegenteil ein weiteres Argument gegen sie. Fasst man die Diskussion um das Bernoulli-Prinzip jedoch als Exegese der Bernoulli-Arbeit von 1738 auf, so muss man den Verfechtern von Auffassung 1 Recht geben. Aus der Lektüre (etwa der deutschen Überse ung von L. und P. Kruschwi , 1996) geht hervor, dass Bernoulli u(x) in der Tat als Höhenpräferenzfunktion behandelt. Er verwendete allerdings nur Vermögenspositionen x als Argument und hielt im Wesentlichen nur eine Funktion u(x) für legitim, nämlich u(x) = b · ln ( x v0 ) , wobei b eine beliebige positive Konstante darstellt und v0 das (vor der fraglichen Entscheidung vorhandene) Anfangsvermögen bedeutet. Die Normierung u(v0) = 0 ist dabei nicht essenziell; jedoch muss v0 stets positiv sein, was laut Bernoulli nach geeigneter Berücksichtigung des Humankapitals auch für verschuldete Personen gegeben ist. Dieser Rahmen war für Bernoulli ausreichend, um die für die damalige Zeit revolutionäre Abkehr vom reinen Ergebniserwartungswert zu begründen. Bernoulli konnte Sicherheitsäquivalente, Einsä e etc. besser erklären und zudem verdeutlichen, dass arme und reiche Personen dieselbe Lo erie ganz unterschiedlich bewerten müssen. Mi lerweile hat sich die Entscheidungstheorie allerdings sehr weit vom ursprünglichen Bernoulli-Ansa entfernt. Für die Funktion u(x)wird weder eine Funktionenklasse noch gar ein exakter Verlauf vorgegeben. Als Argument x werden nicht nur Vermögenspositionen, sondern auch Größen wie etwa Gewinn, Entlohnung, Rendite etc. bis hin zu nichtmonetären Ergebnissen zugelassen. Die Risikonu enfunktion u(x) wird mi els der im Abschni 4.7 erörterten axiomatischen Fundierung eingeführt. Auch Bernoulli benu t eine gewisse Axiomatik, um die von ihm favorisierte Logarithmus-Funktion zu legitimieren. Er nimmt nämlich an, dass der Nu enzuwachs proportional zum 100 4. Entscheidungen bei Risiko (infinitesimalen) Vermögenszuwachs ist und umgekehrt proportional zum bereits vorhandenen Vermögen. Bernoullis „Nu enaxiome“ unterscheiden sich von den heutigen Nu enaxiomen fundamental. Insbesondere kommen Wahrscheinlichkeiten (die für das Stetigkeitsaxiom und Substitutionsaxiom wesentlich sind) in Bernoullis „Nu enaxiomen“ nicht vor. Damit können wird das Fazit ziehen: • Geht es um die Auslegung der Bernoulli-Arbeit von 1738, so ist der Auffassung 1 zuzustimmen. • Argumentiert man auf Basis der 1944 von J. von Neumann und O. Morgenstern axiomatisch begründeten Erwartungsnu entheorie, so ist die Auffassung 1 nicht haltbar und die Auffassung 2 zutreffend. 4.10 Stochastische Dominanz Bislang wurde die Entscheidung eines bestimmten Entscheidungsträgers betrachtet. Falls dessen Risikonu enfunktion ermi elt ist, können alle zur Deba te stehenden Aktionen ohne Probleme verglichen werden (wenn man von technischen Schwierigkeiten bei der Berechnung von Nu enerwartungswerten absieht). Sobald aber Aussagen über die Wirkung von Entlohnungsschemata, von Steuertarifänderungen, von Regulierungs- und Deregulierungsmaßnahmen etc. gewonnen werden sollen, muss eine Gruppe von Entscheidungsträgern bzw. ein repräsentativer Entscheidungsträger betrachtet werden. Dann ist es problematisch, eine einzige wohldefinierte Risikonu enfunktion zu unterstellen. Robustere Aussagen werden nur dann erzielt, wenn ein bestimmter Effekt für alle Risikonu enfunktionen einer bestimmten Klasse, beispielsweise die in Abschni 4.6 definierte CARA- oder CRRA-Klasse, deduziert werden kann. Neben diesen einparametrischenKlassenwerden häufig auch die beiden (umfangreicheren und nichtparametrischen) Klassen zu Grunde gelegt: U1 = Klasse aller streng monoton wachsenden Risikonu enfunktionen u. U2 = Klasse aller Risikonu enfunktionen u ∈ U1, die streng konkav sind. Jedes u aus U1 drückt lediglich Normalverhalten aus (je mehr, desto besser). Die KlasseU2 ist diejenige Teilklasse vonU1, die darüber hinaus Risikoaversion repräsentiert. Sind Paare X1, X2 von Zufallsvariablen zu vergleichen, so ist der Fall denkbar, dass alle Entscheidungsträger mit einer Risikonu enfunktion u aus U1 zu demselben Urteil kommen, beispielsweise zu X1 ≻ X2 , was ja gleichbedeutend mit Eu(X1) > Eu(X2) für alle u ∈ U1 ist. Man spricht dann von stochastischer Dominanz ersten Grades, das heißt X1 dominiert X2 stochastisch vom Grade 1. Auf Grund der englischsprachi-

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Zusammenfassung

Vorteile

- Ein Lehr- und Lernbuch für einen einführenden Kurs in die Entscheidungstheorie

- Mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen

Zum Werk

In Unternehmen werden und müssen Entscheidungen getroffen werden, deren Auswirkungen zum Teil große Konsequenzen auf die eigene Geschäftstätigkeit haben können.

Dieses Lehrbuch führt den Leser in die Entscheidungstheorie ein und stellt Entscheidungen bei Sicherheit, Risiko und Unsicherheit ausführlich dar. Es erläutert die Grundbegriffe der Spieltheorie ebenso wie die der dynamischen Programmierung.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik an der Universität Augsburg.

Prof. em. Dr. Dres. h.c. Adolf G. Coenenberg war Inhaber des Lehrstuhls für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Wirtschaftsprüfung und Controlling, an der Universität Augsburg.

Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.