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A. Mathematische Symbole in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 843 - 849

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_843

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Teil X Anhang AnhangA Mathematische Symbole Mathematische Symbole „Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.“ Galileo Galilei (1564–1642) ∞ Symbol für unendlich oder unbeschränkt N Menge der natürlichen Zahlen N0 Menge der natürlichen Zahlen inklusive Null P Menge der Primzahlen Z Menge der ganzen Zahlen Q Menge der rationalen Zahlen I Menge der irrationalen Zahlen R Menge der reellen Zahlen R+ Menge der nichtnegativen reellen Zahlen R Menge der erweiterten reellen Zahlen C Menge der komplexen Zahlen M ×N Kartesisches Produkt der Mengen M und N ×ni=1 Mi Kartesisches Produkt der Mengen M1,M2, . . . ,Mn Mn n-faches kartesisches Produkt der Menge M (x1, . . . , xn) n-Tupel oder n-dimensionaler Vektor N n Menge der n-Tupel natürlicher Zahlen Z n Menge der n-Tupel ganzer Zahlen R n Menge der n-Tupel reeller Zahlen R n + Menge der n-Tupel nichtnegativer reeller Zahlen C n Menge der n-Tupel komplexer Zahlen xr r-te Potenz von x n √ x n-te Wurzel von x e Eulersche Zahl e = 2,7182818284 . . . π Kreiszahl Pi π = 3,1415926535 . . . i Imaginäre Zahl mit i2 = −1 z = a + ib Komplexe Zahl z Konjugierte komplexe Zahl Re(z) Realteil der komplexen Zahl z Im(z) Imaginärteil der komplexen Zahl z arg(z) Argument der komplexen Zahl z Arg(z) Hauptargument der komplexen Zahl z (a, b) Punkt mit den Koordinaten a und b oder offenes Intervall von a nach b ]a, b[ Offenes Intervall von a nach b (a, b] oder ]a, b] Linksseitig offenes Intervall von a nach b [a, b) oder [a, b[ Rechtsseitig offenes Intervall von a nach b [a, b] Abgeschlossenes Intervall von a nach b (c,∞) oder ]c,∞) Linksseitig offenes unbeschränktes Intervall (−∞, c) oder (−∞, c[ Rechtsseitig offenes unbeschränktes Intervall [c,∞) Linksseitig abgeschlossenes unbeschränktes Intervall (−∞, c] Rechtsseitig abgeschlossenes unbeschränktes Intervall R Relation oder Konvergenzradius einer Potenzreihe R−1 Umkehrrelation a = b a ist gleich b a = b a ist ungleich b a < b a ist kleiner als b a > b a ist größer als b a ≤ b a ist kleiner oder gleich b a ≥ b a ist größer oder gleich b := oder :⇔ Definition des Terms links durch den Term rechts w Wahrheitswert „wahr“ f Wahrheitswert „falsch“ ¬A Negation der Aussage A A ∧ B Konjunktion der Aussagen A und B ∧n k=1 Ak Konjunktion der Aussagen A1, . . . , An A ∨ B Disjunktion der Aussagen A und B ∨n k=1 Ak Disjunktion der Aussagen A1, . . . , An A ⇒ B Implikation der Aussage B durch die Aussage A A ⇒ B Negation der Implikation A ⇒ B A ⇔ B Äquivalenz der Aussagen A und B A ⇔ B Negation der Äquivalenz A ⇔ B A(x1, . . . , xn) Aussageform mit den Variablen x1, . . . , xn D Definitionsbereich einer Aussageform oder Gleichung L Lösungsbereich einer Aussageform oder Gleichung 856 Mathematische Symbole ∀ oder ∧ Allquantor ∃ oder ∨ Existenzquantor ∃! oder •∨ Eindeutigkeitsquantor oder ¬∃ Negation des Existenzquantors Beweisende {a, b, c} Menge mit den Elementen a, b und c {a : a besitzt die Eigenschaft E} Menge von Elementen mit der Eigenschaft E {} und ∅ Leere Menge m ∈ M m ist ein Element der Menge M m ∈ M m ist kein Element der Menge M |M| Anzahl der Elemente der Menge M M ⊆ N M ist eine Teilmenge von N M ⊆ N M ist keine Teilmenge von N M ⊂ N M ist eine echte Teilmenge von N M ⊂ N M ist keine echte Teilmenge von N M ∪N Vereinigungsmenge der Mengen M und N ⋃n k=1 Mk Vereinigungsmenge der Mengen M1, . . . ,Mn⋃ i∈I Mi Vereinigungsmenge der Mengen (Mi)i∈I M ∩N Durchschnittsmenge der Mengen M und N ⋂n k=1 Mk Durchschnittsmenge der Mengen M1, . . . ,Mn⋂ i∈I Mi Durchschnittsmenge der Mengen (Mi)i∈I M \N Differenz der Mengen M und N MN Komplement der Menge M bzgl. N P(M) Potenzmenge der Menge M Grundmenge P(M) Partition der Menge M M◦ Inneres der Menge M ∂M Rand der Menge M M Abgeschlossene Hülle der Menge M maxM Maximum der Menge M supM Supremum der Menge M minM Minimum der Menge M inf M Infimum der Menge M |x| Betrag der Zahl x .x/ Gaußsche Klammer ∑n i=m ai Summe reeller Zahlen∑n i=m ∑l j=k aij Doppelsumme reeller Zahlen∏n i=m ai Produkt reeller Zahlen n! n Fakultät sin(ϕ) Sinus des Winkels ϕ cos(ϕ) Kosinus des Winkels ϕ tan(ϕ) Tangens des Winkels ϕ cot(ϕ) Kotangens des Winkels ϕ ( n k ) Binomialkoeffizient für k ≤ n ∈ N0( α k ) Verallgemeinerter Binomialkoeffizient für k ∈ Z, a ∈ C P(n) Anzahl der Permutationen ohne Wiederholungen PWn1,...,nk (n) Anzahl der Permutationen mit Wiederholungen V l(n) Anzahl der Variationen ohne Wiederholungen V lW (n) Anzahl der Variationen mit Wiederholungen Kl(n) Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen KlW (n) Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen x ∼ y x ist äquivalent zu y x ∼ y x ist nicht äquivalent zu y [x] Äquivalenzklasse zu x x $ y x ist höchstens so gut wie y f : M−→N Abbildung von M nach N f : D⊆R−→R Reelle Funktion mit Definitionsbereich D f : D⊆Rn−→R Reellwertige Funktion mit Definitionsbereich D f −1 : N −→ M Umkehrabbildung von f f (M) Bild der Abbildung f : M −→ N f (x) Bild der Abbildung f für das Argument x graph(f ) Graph der Abbildung f If (c) Isohöhenlinie der Funktion f zum Niveau c f|L : L −→ N Restriktion der Abbildung f auf die Menge L f (A) Bild der Menge A unter der Abbildung f 857 Mathematische Symbole f −1(B) Urbild der Menge B unter der Abbildung f f ◦ g Komposition der Abbildungen f und g f n n-fache Komposition von f f −n n-fache Komposition von f −1 idM : M −→ M Identische Abbildung auf M maxx∈M f (x) Maximum von f auf der Menge M supx∈M f (x) Supremum von f auf der Menge M minx∈M f (x) Minimum von f auf der Menge M infx∈M f (x) Infimum von f auf der Menge M max {f1, . . . , fn} Aus f1, . . . , fn gebildete Maximumsfunktion min {f1, . . . , fn} Aus f1, . . . , fn gebildete Minimumsfunktion f + max {f, 0} f − max {−f, 0} x Vektor (Spaltenvektor) xT Transponierter Vektor x (Zeilenvektor) 0 Nullvektor ei i-ter Einheitsvektor (a, b) oder ]a, b[ Offenes n-dimensionales Intervall (a, b] oder ]a, b] Linksseitig offenes n-dimensionales Intervall [a, b) oder [a, b[ Rechtsseitig offenes n-dimensionales Intervall [a, b] Abgeschlossenes n-dimensionales Intervall 〈x, y〉 Skalarprodukt der Vektoren x und y ‖x‖ Norm des Vektors x ‖x − y‖ Abstand der Vektoren x und y x⊥y Orthogonalität der Vektoren x und y δij Kroneckersymbol (x, y) Winkel zwischen den Vektoren x und y H(a, c) Hyperebene bzgl. a und c H≤(a, c) und H≥(a, c) Halbräume bzgl. a und c K(a, r) Kugelfläche (Sphäre) um a mit Radius r K<(a, r) Kugelinneres um a mit Radius r K>(a, r) Kugeläußeres um a mit Radius r K≤(a, r) Abgeschlossene Kugel um a mit Radius r Lin {a1, . . . , am} Lineare Hülle von {a1, . . . , am} Konv {a1, . . . , am} Konvexe Hülle von {a1, . . . , am} M ⊥ N Orthogonalität der Mengen M und N M⊥ Orthogonales Komplement der Menge M x ⊥ N Orthogonalität des Vektors x und der Menge M dim(U) Dimension des Unterraums U PU : Rn −→ U Orthogonale Projektion auf den Unterraum U Kern(f ) Kern der linearen Abbildung f Bild(f ) Bild der linearen Abbildung f A oder (aij )m,n m× n-Matrix M(m, n) Menge aller m× n-Matrizen Ak k-te Potenz der Matrix A AT Transponierte Matrix A Om×n oder O m× n-Nullmatrix En oder E n× n-Einheitsmatrix D oder diag(d11, . . . , dnn) n× n-Diagonalmatrix fA : Rn −→ Rm Lineare Abbildung zur m×n-Matrix A Kern(A) Kern der Matrix A Bild(A) Bild der Matrix A rang(A) Rang der Matrix A A−1 Inverse der Matrix A spur(A) Spur der Matrix A Aij Untermatrix der Matrix A det(A) Determinante der Matrix A A∗ij Kofaktor der Matrix A (A, b) Erweiterte Koeffizientenmatrix pA(λ) Charakteristisches Polynom der Matrix A J Jordan-Matrix Ji i-tes Jordan-Kästchen (an)n∈N0 Folge reeller Zahlen an mit Indexmenge N0 (ank )k∈N0 Teilfolge der Folge (an)n∈N0 (amn)m,n∈N0 Doppelfolge mit Indexmenge N0 × N0 supn∈N0 an Supremum von (an)n∈N0 infn∈N0 an Infimum von (an)n∈N0 858 Mathematische Symbole limn→∞ an = a oder Konvergenz von (an)n∈N0 gegen a an→a für n→∞ limn→∞ an=∞ oder Divergenz von (an)n∈N0 gegen ∞ an→∞ für n→∞ limn→∞ an = −∞ oder Divergenz von (an)n∈N0 gegen −∞ an→−∞ für n→∞ lim infn→∞ an Limes inferior von (an)n∈N0 lim supn→∞ an Limes superior von (an)n∈N0∑∞ k=0 ak Reihe von reellen Zahlen ak∑∞ k=0 ∑∞ l=0 akl oder ∑∞ k,l=0 akl Doppelreihe von reellen Zahlen akl ∑∞ k,l=0 akbl Produktreihe von reellen Zahlen ak und bl lim x→x0 f (x)=c oder Konvergenz von f gegen c f(x)→c für x→x0 lim x↑x0 f (x) = c oder Linksseitige Konvergenz von f gegen c f(x)→c für x↑x0 lim x↓x0 f (x) = c oder Rechtsseitige Konvergenz von f gegen c f(x)→c für x↓x0 o und O Landau-Symbole Grad(p) Grad des Polynoms p exp(x) Exponentialfunktion (e-Funktion) ln(x) Natürliche Logarithmusfunktion loga(x) Allgemeine Logarithmusfunktion zur Basis a lg(x) Dekadische Logarithmusfunktion sin(x) Sinusfunktion cos(x) Kosinusfunktion tan(x) Tangensfunktion cot(x) Kotangensfunktion arcsin(x) oder sin−1(x) Arcussinus-Funktion arccos(x) oder cos−1(x) Arcuskosinus-Funktion arctan(x) oder tan−1(x) Arcustangens-Funktion arccot(x) oder cot−1(x) Arcuskotangens-Funktion arcsink(x) k-ter Zweig der Arcussinus-Funktion arccosk(x) k-ter Zweig der Arcuskosinus-Funktion sinh(x) Sinus hyperbolicus cosh(x) Kosinus hyperbolicus x Argumentendifferenz x1 − x0 y Funktionswertdifferenz y1 − y0 y x Differenzenquotient dx, dy oder df Differentiale f ′(x0), dfdx (x0) oder df (x) dx ∣∣ x=x0 Erste Ableitung von f an der Stelle x0 f ′′(x0), d 2f dx2 (x0) oder d 2f (x) dx2 ∣∣∣ x=x0 Zweite Ableitung von f an der Stelle x0 f (n)(x0), dnf dxn (x0) oder d nf (x) dxn ∣∣∣ x=x0 n-te Ableitung von f an der Stelle x0 ρf (x0) Änderungsrate von f an der Stelle x0 εf (x0) Elastizität von f an der Stelle x0 Tn;x0 (x) Taylor-Polynom n-ten Grades um x0 Rn;x0 (x) n-tes Restglied um x0 Tx0 (x) Taylor-Reihe um x0 Bn n-te Bernoulli-Zahl ∑∞ k=0 akx k Potenzreihe I (f ) Fläche zwischen Graphen von f und x-Achse |I (f )| Inhalt der Fläche I (f ) Zn Zerlegung des Intervalls [a, b] F(Zn) Feinheit der Zerlegung Zn Uf (Zn) Darbouxsche Untersumme von f zu Zn Of (Zn) Darbouxsche Obersumme von f zu Zn U − ∫ b a f (x) dx Unteres Integral von f O − ∫ b a f (x) dx Oberes Integral von f ∫ b a f (x) dx Bestimmtes Riemann-Integral von f ξi Stützstelle Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) Riemann-Summe von f zu Zn μ(f ) Integral-Mittelwert von f μ̃(f ) Gewichteter Integral-Mittelwert von f 859 Mathematische Symbole F Stammfunktion von f F(x) ∣∣b a F (b)− F(a) F (∞) Kurzschreibweise für limb→∞ F(b) F (−∞) Kurzschreibweise für lima→−∞ F(a)∫ f (x) dx Unbestimmtes Riemann-Integral von f R(x, y) Rationale Funktion in den Variablen x und y I (f1, f2) Fläche zwischen den Graphen von f1 und f2 |I (f1, f2)| Inhalt der Fläche I (f1, f2) Standardnormalverteilung μ,σ Gaußverteilung mit den Parametern μ und σ Gammafunktion RSf ;g(Zn;ξ1, . . . ,ξn) Riemann-Stieltjes-Summe von f bzgl. g zu Zn∫ b a f (x) dg(x) Riemann-Stieltjes-Integral von f bzgl. g V(g, Zn) Variation von g zu Zn Vba(g) Totale Variation von g auf [a, b] (ak)k∈N0 Folge von Vektoren ak mit Indexmenge N0( a (i) k ) k∈N0 i-te Koordinatenfolge von (ak)k∈N0 limk→∞ ak = a oder Konvergenz von (ak)k∈N0 gegen a ak → a für k → ∞ ∑n i=m ai Summe von Vektoren∑∞ i=0 ai Reihe von Vektoren ∂f (x0) ∂xi oder fxi (x0) Partielle Ableitung 1. Ordnung von f bzgl. xi ∂2f (x0) ∂xj ∂xi oder fxixj (x0) Partielle Ableitung 2. Ordnung von f bzgl. xi, xj grad f (x0) Gradient von f Hf (x0) Hesse-Matrix von f f ′(x0) Totale Ableitung von f f ′(x0)T x Totales Differential von f ∂f (x0) ∂r Richtungsableitung von f in Richtung r ρf,xi (x0) Partielle Änderungsrate von f bzgl. xi εf,xi (x0) Partielle Elastizität von f bzgl. xi Tm;x0 (x) Taylor-Polynom m-ten Grades von f um x0 Rm;x0 (x) m-tes Restglied um x0 Zk1,...,kn Zerlegung des n-dimensionalen Intervalls [a, b] δ(I ) Durchmesser des n-dimensionalen Intervalls I F (Zk1,...,kn ) Feinheit der Zerlegung Zk1,...,kn Uf (Zk1,...,kn ) Darbouxsche Untersumme von f zu Zk1,...,kn Of (Zk1,...,kn ) Darbouxsche Obersumme von f zu Zk1,...,kn U − ∫ I f (x) dx Unteres Integral O − ∫ I f (x) dx Oberes Integral ∫ I f (x) dx Bestimmtes Riemann-Integral (mehrfach) ξ = (ξ1, . . . , ξK)T Stützstellen Rf (Zk1,...,kn ; ξ) Riemann-Summe (mehrfach) L(λ1, . . . , λk, x) Lagrange-Funktion Jg(x0) Jacobi-Matrix v(α) = maxx∈D f (x,α) Maximalwertfunktion v(α) = minx∈D f (x,α) Minimalwertfunktion Z Zulässiger Bereich eines Optimierungsproblems zP (x) Zielfunktion eines primalen Optimierungsproblems zD(x) Zielfunktion eines dualen Optimierungsproblems Lk(x) k-tes Lagrangesches Polynom Nk(x) k-tes Newtonsches Polynom f [xi, . . . , xi+k] k-te dividierte Differenz pi···i+k(x) Interpolationspolynom R(f ) Quadraturfehler 860

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.