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29. Numerische Integration in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 829 - 842

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_829

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Kapitel29 Numerische Integration Kapitel 29 Numerische Integration 29.1 Grundlagen In Kapitel 19 wurde anhand vieler Beispiele deutlich, dass die Berechnung eines bestimmten Riemann-Integrals ∫ b a f (x) dx einer Riemann-integrierbaren reellen Funktion f : [a, b] −→R sofort möglich ist, wenn eine Stammfunktion F des Integranden f bekannt ist. Denn gemäß dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (vgl. Satz 19.22 in Abschnitt 19.6) gilt dann die Newton-Leibniz-Formel ∫ b a f (x) dx = F(b)− F(a) und die Auswertung des bestimmten Riemann-Integrals bereitet somit keine Schwierigkeiten. Die zahlreichen Beispiele erfolgreicher Integrationen in Kapitel 19 sollten aber nicht darüber hinwegtäuschen, dass die Berechnung eines bestimmten Riemann-Integrals in geschlossener Form mit Hilfe einer bekannten Stammfunktion F eher die Ausnahme als die Regel darstellt. Integrationsformel Die Berechnung eines bestimmten Riemann-Integrals muss daher sehr oft näherungsweise mittels numerischer Methoden erfolgen. In solchen Fällen spricht man dann von numerischer Integration oder auch von numerischer Quadratur. Die numerische Integration eines bestimmten Riemann- Integrals ∫ b a f (x) dx kommt in den folgenden Fällen zur Anwendung: a) Es sind nur endlich viele Punkte (x, f (x)) des Graphen der Funktion f bekannt. b) Der Integrand f ist zwar bekannt, aber das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx kann nicht in geschlossener Form angegeben werden, da eine Stammfunktion F nicht elementar darstellbar ist, wie z. B. bei den in (19.38) und (19.39) angegebenen reellen Funktionen. c) Das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx kann zwar prinzipiell in geschlossener Form dargestellt werden, die analytische Auswertung erfordert jedoch unverhältnismä- ßig viel Rechenaufwand. Es existieren eine Reihe verschiedener Methoden zur numerischen Integration, die sich bezüglich Genauigkeit und Berechnungsaufwand deutlich unterscheiden. Alle diese numerischen Methoden haben jedoch gemeinsam, dass für ihre Anwendung nicht die komplette Funktionsvorschrift f bzw. ihr vollständiger Graph, sondern nur die Kenntnis von endlich vielen Punkten ( ξ1, f (ξ1) ) , ( ξ2, f (ξ2) ) , . . . , ( ξn, f (ξn) ) des Graphen von f mit a ≤ ξ1 < ξ2 < . . . < ξn ≤ b erforderlich ist. Das Ergebnis dieser numerischen Integrationsmethoden ist dann jeweils eine Integrationsformel (Quadraturformel) der Form ∫ b a f (x) dx ≈ n∑ i=1 gif (ξi) mit sogenannten Gewichten g1, . . . , gn und Stützstellen (Knoten) ξ1, . . . , ξn ∈ [a, b]. Quadraturfehler Je nach Anzahl und Position der Stützstellen ξi und Wahl der Gewichte gi ist der resultierende Wert ∑n i=1 gif (ξi) eine bessere oder schlechtere Näherung für das bestimmte Riemann- Integral ∫ b a f (x) dx. Eine Auskunft über die Güte der Approximation erhält man dabei durch Abschätzung des Quadraturfehlers (Restgliedes) R(f ) := ∫ b a f (x) dx − n∑ i=1 gif (ξi). Die numerische Integration einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] −→ R ist grundsätzlich immer mit Hilfe von Riemann-Summen möglich. Denn für eine äquidistante Zerlegung a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b des Intervalles [a, b], d. h. eine Zerlegung von [a, b] mit der Eigenschaft xi − xi−1 = b − a n für alle i = 1, . . . , n und jeweils einer beliebigen Stützstelle ξi ∈ [xi−1, xi] aus den n Teilintervallen [xi−1, xi] mit i = 1, . . . , n wird die zugehörige Riemann-Summe n∑ i=1 f (ξi)(xi − xi−1) = b − a n n∑ i=1 f (ξi) (29.1) beliebig nahe bei dem Wert des bestimmten Riemann- Integrals ∫ b a f (x) dx liegen, wenn n nur hinreichend groß ist (siehe Satz 19.6). Mit anderen Worten: Für große n kann die Riemann-Summe (29.1) als Näherungswert für das bestimmte Riemann-Integral verwendet werden. 840 Kapitel 2929.2 Rechteckformeln Einfache Spezialfälle von (29.1) ergeben sich, wenn als Stützstellen ξi jeweils die linken oder rechten Randstellen der Teilintervalle [xi−1, xi] oder die Intervallmittelpunkte der Teilintervalle [xi−1, xi] gewählt werden. Im ersten Fall erhält man die sogenannten Rechteckformeln (siehe Abschnitt 29.2) und im zweiten Fall die sogenannte Tangentenformel (siehe Abschnitt 29.3). 29.2 Rechteckformeln Als Stützstellen ξi werden die linken Randstellen xi−1 oder die rechten Randstellen xi der n Teilintervalle [xi−1, xi] gewählt. Für das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx erhält man dann aus (29.1) die beiden Integrationsformeln ∫ b a f (x) dx ≈ b − a n n∑ i=1 f (xi−1) bzw. ∫ b a f (x) dx ≈ b − a n n∑ i=1 f (xi). (29.2) Diese Integrationsformeln werden als Rechteckformeln bezeichnet, da sich die Summen (29.2) für eine nichtnegative Funktion f als Summen von Rechtecken der Breite b−a n und der Höhe f (xi−1) bzw. f (xi) deuten lassen (siehe Abbildung 29.1, links). 0 x0 x1 x2 x3 x4 0 f (x) 0 x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3 x3 ξ4 x4 0 f (x) l l l l Abb. 29.1: Rechteckformeln b−an ∑n i=1 f (xi−1) und b−an ∑n i=1 f (xi ) (links) und Tangentenformel b−an ∑n i=1 f ( xi+xi−1 2 ) (rechts) Ist der Integrand f monoton wachsend, dann gilt f (xi−1) ≤ f (x) ≤ f (xi) für alle x ∈ [xi−1, xi] mit i = 1, . . . , n und somit insbesondere auch b − a n n∑ i=1 f (xi−1) ≤ ∫ b a f (x) dx ≤ b − a n n∑ i=1 f (xi). Für den Quadraturfehler erhält man daher die gleiche (grobe) Abschätzung: |R(f )| ≤ b − a n |f (xn)− f (x0)| (29.3) Das heißt, für n → ∞ nimmt der Quadraturfehler R(f ) mit der gleichen Geschwindigkeit wie 1 n ab. Für monoton fallende Integranden f erhält man für den Quadraturfehler R(f ) völlig analog die gleiche Abschätzung. Beispiel 29.1 (Anwendung der Rechteckformeln) a) Das bestimmte Riemann-Integral ∫ 4 0 x 3 dx soll näherungsweise mit Hilfe der beiden Rechteckformeln (29.2) berechnet werden. Dazu wird das Intervall [0, 4] einmal in n = 4 und einmal in n = 10 gleichgroße Teilintervalle [xi−1, xi] zerlegt. Für n = 4 erhält man für den Quadraturfehler mit (29.3) die sehr grobe Abschätzung |R(f )| ≤ 4 − 0 4 |43 − 03| = 64. 841 Kapitel 29 Numerische Integration Mit den beiden Rechteckformeln (29.2) erhält man die beiden Näherungswerte ∫ 4 0 x3 dx ≈ 4 − 0 4 4∑ i=1 (i − 1)3 = 36 bzw. ∫ 4 0 x3 dx ≈ 4 − 0 4 4∑ i=1 i3 = 100. Da der exakte Wert des bestimmten Riemann- Integrals durch ∫ 4 0 x 3 dx = 14x4 ∣∣4 0 = 64 gegeben ist, betragen die Quadraturfehler R(f ) = 64 − 36 = 28 bzw. R(f ) = 64 − 100 = −36. Das heißt, die Näherungswerte sind außerordentlich schlecht. Diese schlechte Übereinstimmung der beiden Näherungswerte 36 und 100 mit dem tatsächlichen Wert 64 liegt darin begründet, dass der Integrand f (x) = x3 sehr schnell ansteigt. Für n = 10 erhält man für den Quadraturfehler die verbesserte Abschätzung |R(f )| ≤ 4 − 0 10 |43 − 03| = 128 5 = 25,6. Die Intervallbreite beträgt nun h = 25 und man erhält mit (29.2) die beiden Näherungswerte ∫ 4 0 x3 dx ≈ 2 5 10∑ i=1 ( 2 5 (i − 1) )3 = 51,84 bzw. ∫ 4 0 x3 dx ≈ 2 5 10∑ i=1 ( 2 5 i )3 = 77,44. Diese Näherungswerte sind nun zwar besser, aber immer noch sehr weit vom tatsächlichen Wert 64 entfernt (vgl. Abbildung 29.2, links). b) Nun soll das bestimmte Riemann-Integral∫ 1 0 √ 1−x2 dx näherungsweise mit Hilfe der ersten Rechteckformel in (29.2) berechnet werden und der Betrag des Quadraturfehlers R(f ) soll dabei maximal 10−3 betragen. Mit der Abschätzung |R(f )| ≤ 1 − 0 n |0 − 1| erhält man, dass dies erfüllt ist, wenn 1−0 n |0 − 1| ≤ 10−3 bzw. n ≥ 103 gilt. Mit n = 1000 erhält man dann den Näherungswert ∫ 1 0 √ 1 − x2 dx ≈ 1 − 0 1000 1000∑ i=1 √ 1− ( 1 1000 (i − 1) )2 = 0,785889. (29.4) Der Wert (29.4) ist eine obere Schranke für den exakten Wert ∫ 1 0 √ 1 − x2 dx= 1 2 ( x √ 1−x2−arccos(x) ) ∣∣∣∣ 1 0 = π 4 , da die Funktion f (x) = √1 − x2 auf dem Intervall [0, 1] (streng) monoton fallend ist (vgl. Abbildung 29.2, rechts). Der Quadraturfehler beträgt R(f ) = π 4 − 0,785889 ≈ −5 · 10−4 und ist somit unterhalb der Größenordnung der vorgegebenen Genauigkeitsschranke 10−3. 29.3 Tangentenformel Werden als Stützstellen ξi die Mittelstellen xi+xi−1 2 der n Teilintervalle [xi−1, xi] gewählt, dann resultiert die Integrationsformel ∫ b a f (x) dx ≈ b − a n n∑ i=1 f ( xi + xi−1 2 ) , (29.5) die als Tangentenformel oder auch Mittelpunktsformel bekannt ist. Die Bezeichnung Tangentenformel ist dadurch motiviert, dass man bei einem differenzierbaren Integranden f einen einzelnen Summanden b−a n f ( xi+xi−1 2 ) auch als Flächeninhalt des Trapezes auffassen kann, das von den Geraden x = xi−1 und x = xi , der x-Achse sowie der Tangente an den Graphen von f im Punkt (ξi , f (ξi)) begrenzt wird (siehe Abbildung 29.1, rechts). Für einen monoton wachsenden Integranden f gilt offensichtlich b − a n n∑ i=1 f (xi−1) ≤ b − a n n∑ i=1 f ( xi + xi−1 2 ) ≤ b − a n n∑ i=1 f (xi). 842 Kapitel 2929.3 Tangentenformel x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 0 10 20 30 40 50 60 70 f (x) = x3 x0 x100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (x) = 1 − x2 Abb. 29.2: Approximation von ∫ 4 0 x 3 dx mittels den Rechteckformeln für n = 10 (links) und Approximation von ∫ 10 √ 1 − x2 dx mittels der Tangentenformel für n = 100 (rechts) Man erhält somit für den Quadraturfehler die gleiche Abschätzung wie für die Rechteckformeln (29.2). Das heißt, es gilt wieder |R(f )| ≤ b − a n |f (xn)− f (x0)|. (29.6) Für monoton fallende Integranden f erhält man für den Quadraturfehler R(f ) völlig analog die gleiche Abschätzung. Die Abschätzung (29.6) ist relativ grob. Genauere Abschätzungen für den Quadraturfehler R(f ) erhält man jedoch nur unter stärkeren Annahmen an den Integranden f . Der folgende Satz enthält zwei solche verbesserte Abschätzungen: Satz 29.2 (Quadraturfehler bei der Tangentenformel) Es seien f : [a, b] −→ R eine reelle Funktion, a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b eine äquidistante Zerlegung des Intervalles [a, b] und R(f ) der bei Verwendung der Tangentenformel resultierende Quadraturfehler. Dann gilt: a) Ist f stetig differenzierbar und |f ′(x)| ≤ M für alle x ∈ [a, b], dann gilt |R(f )| ≤ M(b − a) 2 4n . (29.7) b) Ist f zweimal stetig differenzierbar und |f ′′(x)| ≤ M für alle x ∈ [a, b], dann gilt |R(f )| ≤ M(b − a) 3 24n2 . (29.8) Beweis: Für den nicht schwierigen Beweis siehe z. B. Maess [43], Seiten 187–188. Der obige Satz besagt, dass bei Verwendung der Tangentenformel der QuadraturfehlerR(f ) für n → ∞ bei einem stetig differenzierbaren Integranden wie 1 n und bei einem zweimal stetig differenzierbaren Integranden wie 1 n2 abnimmt. Die drei Integrationsformeln (29.2) und (29.5) haben gemeinsam, dass es bei ihnen jeweils um eine Riemann-Summe handelt und der Integrand f durch eine Treppenfunktion approximiert wird (siehe Abbildung 29.1). In der Praxis werden anstelle der Rechteckformeln (29.2) sowie der Tangentenformel (29.5) häufig andere Integrationsformeln verwendet. Denn bei diesen Näherungsformeln erfolgt für n → ∞ die Konvergenz gegen den Wert des bestimmten Riemann-Integrals ∫ b a f (x) dx im Allgemeinen nur sehr langsam. Für effizientere Integrationsformeln siehe die Abschnitte 29.4 und 29.5. 843 Kapitel 29 Numerische Integration Beispiel 29.3 (Anwendung der Tangentenformel) a) Das bestimmte Riemann-Integral ∫ 3 2 x 2 dx soll näherungsweise mit Hilfe der Tangentenformel (29.5) berechnet werden. Dazu wird das Intervall [2, 3] in n = 10 gleichgroße Teilintervalle [xi−1, xi] der Länge h = 110 zerlegt. Da f (x) = x2 die zweite Ableitung f ′′(x) = 2 besitzt, kann in der Abschätzung (29.8) von Satz 29.2 für die Konstante M der Wert 2 eingesetzt werden. Es resultiert dann für den Quadraturfehler die Abschätzung |R(f )| ≤ 2(3 − 2) 3 24 · 102 ≈ 0,000833. Mit (29.5) erhält man den Näherungswert ∫ 3 2 x2 dx ≈ 3−2 10 10∑ i=1 ( 2 + 110 i + 2 + 110 (i − 1) 2 )2 = 6,33250. Da der exakte Wert des bestimmten Riemann-Integrals durch ∫ 3 2 x 2 dx = 13x3 ∣∣3 2 = 193 gegeben ist, beträgt der Quadraturfehler lediglich R(f ) = 19 3 − 6,33250 ≈ 0,000833. b) Das bestimmte Riemann-Integral ∫ 1 0 √ 1 − x2 dx aus Beispiel 29.1b) soll nun näherungsweise mit Hilfe der Tangentenformel (29.5) berechnet werden und der Quadraturfehler R(f ) soll dabei wieder maximal 10−3 betragen. Da die beiden ersten Ableitungen der Funktion f (x) = √1 − x2 auf [0, 1] nicht beschränkt sind, können die beiden Abschätzungen (29.7) und (29.8) von Satz 29.2 nicht zur Bestimmung der benötigten Anzahl n von Stützstellen verwendet werden. Es muss somit wieder auf die grobe Abschätzung |R(f )| ≤ 1 − 0 n |0 − 1| zurückgegriffen werden, welche n ≥ 103 liefert (vgl. Beispiel 29.1b)). Mit (29.5) erhält man dann den Näherungswert ∫ 1 0 √ 1−x2 dx≈1−0 1000 1000∑ i=1 √√√ √1− ( 1 1000 i+ 11000 (i−1) 2 )2 = 0,785401. (29.9) Der Quadraturfehler beträgt nur R(f ) = π 4 − 0,785401 ≈ −3 · 10−6 und die Tangentenformel liefert somit ein wesentlich genaueres Ergebnis als die Rechteckformel in Beispiel 29.1b) (vgl. auch Abbildung 29.2, rechts für n = 100). 29.4 Newton-Cotes-Formeln In Abschnitt 27.1 wurde gezeigt, dass eine reelle Funktion f : [a, b] −→ R durch gegebene Stützpunkte (x0, y0), . . . , (xn, yn) stets durch ein Interpolationspolynom p vom Grad kleiner gleich n approximiert werden kann. Ist die reelle Funktion f sogar (n + 1)-fach stetig differenzierbar, dann kann der dabei resultierende Interpolationsfehler nach oben abgeschätzt werden (vgl. Satz 27.9). Darüber hinaus sind Polynome besonders einfach zu integrieren. I. Newton Es ist daher naheliegend, bei der Berechnung eines gegebenen Riemann-Integrals ∫ b a f (x) dx den Integranden f durch ein Polynom p zu ersetzen, das an vorgegebenen Stellen mit f übereinstimmt. Das bestimmte Riemann-Integral∫ b a p(x) dx des Interpolationspolynoms p ist dann oftmals ein guter Näherungswert für das Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx. Denn falls die Differenz f (x)−p(x) innerhalb des Integrationsintervalles [a, b] mehrmals das Vorzeichen wechselt, kann der Quadraturfehler ∫ b a f (x) dx − ∫ b a p(x) dx selbst dann klein sein, wenn das Polynom p den Integranden f nicht optimal approximiert. Das heißt, die numerische Integration hat in solch einem Fall eine glättende Wirkung. R. Cotes Der Ansatz, den Integranden f durch ein interpolierendes Polynom p zu ersetzen, geht auf den großen englischen Physiker und Mathematiker Isaac Newton (1643–1727) und seinen Schüler Roger Cotes (1682–1716) zurück. Die resultierenden Integrationsformeln werden deshalb als Newton-Cotes-Formeln bezeichnet. 844 Kapitel 2929.4 Newton-Cotes-Formeln Zur Herleitung dieser Newton-Cotes-Formeln seien im Folgenden f : [a, b] −→ R eine Riemann-integrierbare reelle Funktion und a = x0 < x1 < . . . < xn = b eine äquidistante Partition (Zerlegung) des Intervalles [a, b]. Das heißt, es gelte xi − xi−1 = b−an für alle i = 1, . . . , n und damit xi = a + ih für alle i = 0, . . . , n mit der Schrittweite h := b−a n . Weiter sei pn ein Polynom mit den beiden Eigenschaften a) Grad(pn) ≤ n und b) pn(xi) = yi , wobei yi := f (xi) für alle i = 0, 1, . . . , n. Das heißt, pn ist ein Interpolationspolynom von f vom Grad kleiner gleich n, und mit Satz 27.1 folgt unmittelbar, dass pn durch die Eigenschaften a) und b) eindeutig bestimmt ist. In der Darstellung als Lagrangesches Interpolationspolynom gilt für dieses Polynom pn(x) = n∑ i=0 yiLi(x) mit Li(x) = n∏ k=0 k =i x − xk xi − xk (29.10) für i = 0, 1, . . . , n (vgl. Abschnitt 27.2). Mit der Substitution x = a + th und t als neue Variable, erhält man für die Lagrangeschen Polynome Li die alternative Darstellung Li(x) = n∏ k=0 k =i (a + th)− (a + kh) (a + ih)− (a + kh) = n∏ k=0 k =i t − k i − k =: L̃i(t) (29.11) für alle i = 0, 1, . . . , n. Zusammen mit (29.10) folgt daraus durch Integration ∫ b a pn(x) dx = n∑ i=0 yi ∫ b a Li(x) dx = h n∑ i=0 yi ∫ n 0 L̃i(t) dt ︸ ︷︷ ︸ =:αi = h n∑ i=0 αiyi, (29.12) wobei in der zweiten Gleichung von (29.12) der Zusammenhang dx = hdt und die neuen Integrationsgrenzen t = 0 und t = n berücksichtigt wurden, die sich durch Einsetzen der alten Integrationsgrenzen x = a und x = b in t = 1 h (x − a) ergeben. Die Gewichte αi in (29.12) sind rationale Zahlen, die offensichtlich nur vom Grad n des interpolierenden Polynoms pn abhängen und nicht vom Integranden f oder den Integrationsgrenzen a und b. Mit den Gewichten αi erhält man zur näherungsweisen Berechnung des bestimmten Riemann- Integrals ∫ b a f (x) dx die Integrationsformeln ∫ b a f (x) dx ≈ ∫ b a pn(x) dx = h n∑ i=0 αiyi, (29.13) wobei αi = ∫ n 0 n∏ k=0 k =i t − k i − k dt (29.14) mit yi = f (a+ih) für i = 0, 1, . . . , n und h = b−an gilt. Diese Integrationsformeln werden als Newton-Cotes-Formeln bezeichnet. In der Praxis sind Newton-Cotes-Formeln mit interpolierenden Polynomen pn vom Grad n = 1, 2 und 3 am gebräuchlichsten. Da die Newton-Cotes-Formeln insbesondere für den speziellen Integranden y = f (x) = 1 für alle x ∈ [a, b] gelten und die Eindeutigkeit der Polynominterpolation in diesem Fall pn(x) = 1 für alle x ∈ [a, b] impliziert, folgt aus (29.13) für die Gewichte n∑ i=0 αi = 1 h ∫ b a pn(x) dx = 1 h (b − a) = n. (29.15) Aufgrund der Tatsache, dass die Gewichte αi rationale Zahlen sind, kann t so gewählt werden, dass die neuen Gewichte βi := tαi (29.16) für i = 0, 1, . . . , n ganze Zahlen sind. Diese neuen Gewichte βi hängen offensichtlich ebenfalls nicht vom Integranden f und den Integrationsgrenzen a und b ab. Die Gewichte βi können deshalb bequem in Tabellen nachgeschlagen werden (siehe Tabelle 29.2). Für die Newton-Cotes-Formeln (29.13) erhält man mit den Gewichten βi die Darstellung∫ b a f (x) dx ≈ b − a nt n∑ i=0 βiyi . (29.17) Das folgende Beispiel zeigt anhand der beiden wichtigen Spezialfälle n = 1 und n = 2, wie die Gewichte αi und βi mittels der Formeln (29.14) und (29.16) berechnet werden können: Beispiel 29.4 (Berechnung der Gewichte für die Newton-Cotes-Formeln) a) Im Spezialfall n = 1 erhält man mit (29.14) α0 = ∫ 1 0 t − 1 0 − 1 dt = ( −1 2 t2 + t ) ∣∣ ∣∣ 1 0 = 1 2 und α1 = ∫ 1 0 t − 0 1 − 0 dt = 1 2 t2 ∣ ∣∣∣ 1 0 = 1 2 . 845 Kapitel 29 Numerische Integration Daraus erhält man mit (29.16) und t = 2 die Gewichte β0 = 2α0 = 1 und β1 = 2α1 = 1. b) Im Spezialfall n = 2 erhält man mit (29.14) α0 = ∫ 2 0 t − 1 0 − 1 t − 2 0 − 2 dt = 1 2 ∫ 2 0 (t2 − 3t + 2) dt = ( 1 6 t3 − 3 4 t2 + t ) ∣∣∣∣ 2 0 = 4 3 − 3 + 2 − 0 = 1 3 , α1 = ∫ 2 0 t − 0 1 − 0 t − 2 1 − 2 dt = ∫ 2 0 (−t2 + 2t) dt = ( −1 3 t3 + t2 ) ∣∣∣∣ 2 0 = −8 3 + 4 − 0 = 4 3 . Zusammen mit (29.15) liefert dies α2 = 2 − α0 − α1 = 13 . Daraus erhält man mit (29.16) und t = 3 schließlich die Gewichte β0 = 3α0 = 1, β1 = 3α1 = 4 und β2 = 3α2 = 1. Für Newton-Cotes-Formeln mit Interpolationspolynomen vom Grad n ≥ 3 erfolgt die Berechnung der Gewichte αi und βi völlig analog. Die Tabelle 29.2 zeigt die resultierenden Gewichte βi bei Verwendung von Interpolationspolynomen pn bis einschließlich zum Grad n = 6. Die drei wichtigsten Spezialfälle von Newton-Cotes-Formeln (29.13) erhält man für die Polynomgrade n = 1, 2 und 3: Trapezregel Im Falle n = 1 ist das Interpolationspolynom p1 vom Grad eins und somit durch die interpolierende Gerade durch die beiden Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)) gegeben. Für die zugehörigen Gewichte gilt α0 = α1 = 12 bzw. β0 = β1 = 1 (siehe Beispiel 29.4a)). Mit diesen Gewichten erhält man aus (29.13) oder (29.17) die Integrationsformel ∫ b a f (x) dx ≈ (b − a) ( 1 2 f (a)+ 1 2 f (b) ) , (29.18) welche als Trapezregel bezeichnet wird. Denn der Ausdruck auf der rechten Seite von (29.18) gibt für einen nicht negativen Integranden f gerade den Flächeninhalt an, der von den senkrechten Geraden x = a und x = b, der x-Achse sowie der interpolierenden Geraden p1 begrenzt wird (vgl. Abbildung 29.3, links). Keplersche Fassregel Im Falle n = 2 ist das Interpolationspolynom p2 vom Grad zwei und somit durch das interpolierende quadratische Polynom durch die drei Punkte (a, f (a)), ( a + b 2 , f ( a + b 2 )) und (b, f (b)) gegeben (vgl. Abbildung 29.3, Mitte). Für die zugehörigen Gewichte gilt α0 = α2 = 13 und α1 = 43 bzw. β0 = β2 = 1 und β1 = 4 (siehe Beispiel 29.4b)). Mit diesen Gewichten erhält man aus (29.13) oder (29.17) die Integrationsformel ∫ b a f (x) dx≈(b−a) ( 1 6 f (a)+ 2 3 f ( a + b 2 ) + 1 6 f (b) ) . (29.19) J. Kepler Diese Integrationsformel wird im deutschen Sprachraum oftmals nach dem deutschen Mathematiker und Astronom Johannes Kepler (1571–1630) als Keplersche Fassregel oder Kepler- Regel bezeichnet. Kepler stellte die Formel 1615 auf und benutzte sie zur näherungsweisen Berechnung des Volumens eines Weinfasses durch Messung des Durchmessers am Boden, am Deckel und an der dicksten Stelle des Fasses. Der Wert (b − a) ( 1 6 f (a)+ 2 3 f ( a + b 2 ) + 1 6 f (b) ) kann jedoch auch als der Inhalt eines Rechteckes der Breite b−a aufgefasst werden, dessen Höhe gleich dem gewichteten Mittel 16f (a)+ 23f ( a+b 2 )+ 16f (b) aus den Funktionswerten von f an den drei Stützstellen a, a+b2 und b ist. T. Simpson Es ist zu beachten, dass im englischen Sprachraum die Integrationsformel (29.19) in der Regel nach dem englischen Mathematiker Thomas Simpson (1710– 1761) als Simpsonregel bezeichnet wird. Im deutschen Sprachraum wird dagegen die Benennung Simpsonregel oftmals nur für die zusammengesetzte Version von (29.19) verwendet (siehe Abschitt 29.5). 846 Kapitel 2929.4 Newton-Cotes-Formeln Newtonsche 3/8-Regel Im Falle n = 3 ist das Interpolationspolynom p3 vom Grad drei und somit durch das interpolierende kubische Polynom durch die vier Punkte (a, f (a)), (a + h, f (a + h)) , (a + 2h, f (a + 2h)) und (b, f (b)) mit h = b−a3 gegeben (vgl. Abbildung 29.3, rechts). Für die zugehörigen Gewichte gilt α0 = α3 = 38 und α1 = α2 = 98 bzw. β0 = β3 = 1 und β1 = β2 = 3 (siehe Tabelle 29.2). Mit diesen Gewichten erhält man aus (29.13) oder (29.17) die als Newtonsche 3/8-Regel oder auch einfach als 3/8-Regel bezeichnete Integrationsformel ∫ b a f (x) dx (29.20) ≈ (b−a) ( 1 8 f (a)+ 3 8 f (a+h)+ 3 8 f (a+2h)+ 1 8 f (b) ) . Ihr Entdecker Isaac Newton (1643–1727) nannte diese Formel begeistert pulcherrima (lat. für „die Schönste“). Im folgenden Beispiel wird die Genauigkeit der Integrationsformeln (29.18), (29.19) und (29.20) anhand einfacher bestimmter Riemann-Integrale, deren Werte jeweils exakt berechnet werden können, miteinander verglichen: a = x0 x1 = b f (x) p1(x) l l a = x0 x1 x2 = b f (x) p2(x) l l l a = x0 x1 x2 x3 = b f (x) p3(x) l l l l Abb. 29.3: Approximation eines bestimmten Riemann-Integrals ∫ b a f (x) dx mittels Trapezregel (links), Kepler-Regel (Mitte) und 3/8-Regel (rechts) Beispiel 29.5 (Vergleich von Trapez-, Keplerund 3/8-Regel) Die Tabelle 29.1 enthält die mit den Integrationsformeln (29.18), (29.19) und (29.20) jeweils resultierenden Näherungswerte für die bestimmten Riemann-Integrale 1) ∫ 2 1 1 x dx, 2) ∫ π 2 0 sin(x) dx, 3) ∫ 1 0 √ 1 − x2 dx und 4) ∫ 1 0 x dx, 5) ∫ 1 0 x2 dx, 6) ∫ 1 0 x3 dx, 7) ∫ 1 0 x4 dx. Zum Beispiel erhält man mit den drei Integrationsformeln (29.18), (29.19) und (29.20) der Reihe nach für das bestimmte Riemann-Integral ∫ 2 1 1 x dx die folgenden Näherungswerte ∫ 2 1 1 x dx ≈ 1 2 ·1+ 1 2 · 1 2 = 3 4 , ∫ 2 1 1 x dx ≈ 1 6 ·1+ 2 3 · 2 3 + 1 6 · 1 2 = 25 36 ≈ 0,69444, ∫ 2 1 1 x dx ≈ 1 8 ·1+ 3 8 · 3 4 + 3 8 · 3 5 + 1 8 · 1 2 = 111 160 = 0,69375. 847 Kapitel 29 Numerische Integration Das heißt, die Kepler-Regel und die 3/8-Regel liefern gute Näherungswerte für den exakten Wert ∫ 2 1 1 x dx = ln(2) ≈ 0,69315. Ein Blick auf Tabelle 29.1 zeigt, dass die Kepler-Regel und die 3/8-Regel auch für die anderen bestimmten Riemann-Integrale brauchbare Näherungswerte liefern. Dies gilt jedoch nicht für die Trapezregel, die bis auf das vierte bestimmte Riemann-Integral ∫ 1 0 x dx einen großen (relativen) Quadraturfehler aufweist. Darüber hinaus erkennt man, dass die Trapezregel für∫ 1 0 x dx und die Kepler- sowie 3/8-Regel sogar für∫ 1 0 x dx, ∫ 1 0 x 2 dx und ∫ 1 0 x 3 dx jeweils den exakten Wert liefern. Dies ist kein Zufall, denn es gilt allgemein, dass die Trapezregel Polynome ersten Grades und die Keplerund 3/8-Regel Polynome bis einschließlich zum dritten Grad exakt integrieren. Diese Beobachtung lässt sich auf Newton-Cotes-Formeln beliebigen Grades n ∈ N verallgemeinern. Integral Exakter Wert Trapezregel Kepler-Regel 3/8-Regel 1) 0,69315 0,75000 0,69444 0,69375 2) 1 0,78540 1,00228 1,00101 3) 0,78540 0,50000 0,74402 0,75806 4) 0,50000 0,50000 0,50000 0,50000 5) 0,33333 0,50000 0,33333 0,33333 6) 0,25000 0,50000 0,25000 0,25000 7) 0,20000 0,50000 0,20833 0,20370 Tabelle 29.1: Die mit der Trapezregel, der Kepler-Regel und der 3/8-Regel resultierenden Näherungswerte (gerundet auf fünf Nachkommastellen) für die bestimmten Riemann-Integrale 1) bis 7) In Abschnitt 29.5 wird gezeigt, wie durch die Verwendung sogenannter zusammengesetzter Newton-Cotes-Formeln der Quadraturfehler R(f ) beliebig verringert werden kann. Quadraturfehler Der Quadraturfehler R(f ) der Newton-Cotes-Formel mit Interpolationspolynomen pn vom Grad n ergibt sich als bestimmtes Riemann-Integral des Interpolationsfehlers f (x)− pn(x) über dem Intervall [a, b] (vgl. (29.13)). Mit dem Ergebnis (27.14) für den Interpolationsfehler bei Verwendung eines Interpolationspolynoms vom Grad kleiner gleich n liefert dies dann bei einem (n+1)-fach stetig differenzierbaren Integranden f für den Quadraturfehler die Darstellung R(f ) = ∫ b a f (x) dx − ∫ b a pn(x) dx = 1 (n+ 1)! ∫ b a f (n+1)(ξ(x)) n∏ k=0 (x − xk) dx (29.21) mit ξ(x) ∈ (min {x0, . . . , xn, x} ,max {x0, . . . , xn, x}). Diese Darstellung des Quadraturfehlers R(f ) lässt sich weiter vereinfachen. Die Tabelle 29.2 gibt die Gewichte βi der Newton- Cotes-Formeln für Interpolationspolynome pn vom Grad n ≤ 6 und den Betrag des jeweils zugehörigen Quadraturfehlers R(f ) für hinreichend oft stetig differenzierbare Integranden f und einen geeigneten Wert η ∈ [a, b] an. Aus dieser Tabelle ist z. B. zu erkennen, dass der Quadraturfehler bei der Trapezregel und einem zweifach stetig differenzierbaren Integranden f mit der dritten Potenz und bei der Kepler-Regel und einem vierfach stetig differenzierbaren Integranden f mit der fünften Potenz der Schrittweite h = b−a n gegen Null geht. Ein Blick auf Tabelle 29.2 zeigt auch, dass die Quadraturformeln zu geradem Grad n jeweils dieselbe Konvergenzordnung (d. h. h-Potenz) besitzen wie die Integrationsformeln zu dem nächsthöheren ungeraden Grad n+1. Da ferner für ein Polynom n-ten Grades alle Ableitungen der Ordnung (n+1) und höher gleich Null sind, kann man aus den Abschätzungen für den Quadraturfehler R(f ) in Tabelle 29.2 ablesen, dass Newton-Cotes-Formeln zu geradem Grad n Polynome bis zum Grad n+1 exakt integrieren, während dies bei Newton- Cotes-Formeln zu ungeradem Grad n nur für Polynome bis zum Grad n gilt. Der Höchstgrad von Polynomen, die von einer Quadraturformel noch exakt integriert werden, wird oftmals als algebraischer Genauigkeitsgrad oder Exaktheitsgrad bezeichnet. Zum Beispiel besitzt die Keplersche Fassregel den algebraischen Genauigkeitsgrad drei. Das heißt, bei Verwendung dieser Integrationsformel werden Polynome bis einschließlich zum Grad n = 3 exakt integriert. 848 Kapitel 2929.5 Zusammengesetzte Newton-Cotes-Formeln n nt β0 β1 β2 β3 β4 β5 β6 Fehler R(f ) Name 1 2 1 1 h 3 12 |f (2)(η)| Trapezregel 2 6 1 4 1 h 5 90 |f (4)(η)| Kepler-Regel 3 8 1 3 3 1 3h 5 80 |f (4)(η)| 3/8-Regel 4 90 7 32 12 32 7 8h 7 945 |f (6)(η)| Milne-Regel 5 288 19 75 50 50 75 19 275h 7 12096 |f (6)(η)| 6 840 41 216 27 272 27 216 41 9h 9 1400 |f (8)(η)| Weddle-Regel Tabelle 29.2: Gewichte βi der Newton-Cotes-Formeln mit Interpolationspolynomen pn vom Grad n = 1, 2, . . . , 6 und der jeweils zugehörige Quadraturfehler |R(f )| in Abhängigkeit von h = b−an und einem geeigneten η ∈ [a, b] 29.5 Zusammengesetzte Newton-Cotes-Formeln In der Praxis werden Newton-Cotes-Formeln zu Interpolationspolynomen pn höheren Grades als n = 6 aus zwei Gründen so gut wie nie verwendet: 1) Eine Erhöhung des Polynomgrades n führt nicht notwendigerweise zu einer Verringerung des Interpolationsfehlers (siehe Abschnitt 27.5). Folglich ergibt sich dadurch auch nicht zwangsläufig eine verbesserte Quadraturformel. 2) Bei größeren Werten von n (für n = 8 und n ≥ 10) treten negative Gewichte βi auf. Dies ist zum einen numerisch ungünstig, da dies zu sogenannten Auslöschungen, d. h. zu einem Genauigkeitsverlust bei der Subtraktion fast gleichgroßer Zahlen, führen kann. Zum anderen steht dies im Widerspruch zu der anschaulich begründeten Absicht, das als Grenzwert von Riemann-Summen entstandene Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx durch eine Summe (und nicht eine Differenz) von Funktionswerten anzunähern. Um dennoch bei großen Integrationsintervallen [a, b] und stark variierenden Integranden f : [a, b] −→ R eine hohe Approximationsgenauigkeit zu erreichen, werden die Newton-Cotes-Formeln häufig nicht auf das gesamte Integrationsintervall [a, b] angewendet. Stattdessen wird das Intervall [a, b] in N gleichgroße Teilintervalle zerlegt, die ihrerseits jeweils aus n gleichgroßen Teilintervallen bestehen. Das heißt, es wird eine äquidistante Zerlegung a = x0 < x1 < x2 < . . . < xNn = b des Intervalles [a, b] inN Gruppen zu je n gleichgroßen Teilintervallen [xk−1, xk] betrachtet, so dass xk − xk−1 = b−aNn für alle k = 1, . . . , Nn gilt und damit xk = a + kh mit h := b − a Nn für alle k = 0, . . . , Nn gilt. Auf den resultierenden N Teilintervallen [x0, xn], [xn, x2n], . . . , [x(N−1)n, xNn] wird dann der Integrand f mit Hilfe der Newton-Cotes- Formeln jeweils separat interpoliert. Das heißt, das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx = N∑ l=1 ∫ xln x(l−1)n f (x) dx wird mit Hilfe der Summe der Integrationsformeln ∫ xln x(l−1)n f (x) dx ≈ h n∑ i=0 αiy(l−1)n+i für die bestimmten Riemann-Integrale ∫ xln x(l−1)nf (x) dx mit y(l−1)n+i :=f (x(l−1)n+i ) für i = 0, 1, . . . , n und l = 1, . . . , N approximiert. Auf diese Weise erhält man die sogenannten zusammengesetzten oder aufsummierten Newton-Cotes-Formeln ∫ b a f (x) dx ≈ h N∑ l=1 n∑ i=0 αiy(l−1)n+i , wobei die Gewichte αi durch (29.14) gegeben sind (vgl. Abbildung 29.4). Der Quadraturfehler der zusammengesetzten Newton-Cotes- Formeln ergibt sich entsprechend durch Aufsummieren der Quadraturfehler der Newton-Cotes-Formeln für dieN einzelnen Teilintervalle [x(k−1)n, xkn]. Das heißt, der Quadraturfehler der zusammengesetzten Newton-Cotes-Formeln mit interpolierenden Polynomen vom Grad n ist bei einem (n+1)-fach stetig differenzierbaren Integranden f gegeben durch R(f )= 1 (n+1)! N∑ l=1 ∫ xln x(l−1)n f (n+1)(ξl(x)) n∏ i=0 (x−x(l−1)n+i ) dx 849 Kapitel 29 Numerische Integration (vgl. (29.21)). Im Folgenden werden die zusammengesetzten Newton-Cotes-Formeln mit interpolierenden Polynomen vom Grad n = 1 und n = 2 aufgrund ihrer großen Bedeutung für die Praxis genauer betrachtet: Zusammengesetzte Trapezregel Im Falle n = 1 erhält man mit (29.18) die zusammengesetzte (aufsummierte) Trapezregel ∫ b a f (x) dx ≈ N∑ k=1 b − a N ( 1 2 f (xk−1)+ 1 2 f (xk) ) = b − a N ( 1 2 f (x0)+f (x1)+. . .+f (xN−1)+ 1 2 f (xN) ) , wobei xk = a + kh für alle k = 0, . . . , N und h = b−aN gilt (vgl. Abbildung 29.4, links). Bei einem zweifach stetig differenzierbaren Integranden f erhält man für den Quadraturfehler |R(f )| ≤ h 3 12 N∑ l=1 |f (2)(ηl)| (vgl. erste Zeile in Tabelle 29.2). Da jedoch die zweite Ableitung f (2) nach Voraussetzung stetig ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz 15.28, dass es ein η ∈ [a, b] mit der Eigenschaft f (2)(η) = 1 N ∑N l=1 f (2)(ηl) gibt. Es gilt somit |R(f )| ≤ (b − a) 12 h2|f (2)(η)|. (29.22) Das heißt, der Quadraturfehler R(f ) geht mit der zweiten Potenz der Schrittweite h gegen Null bzw. konvergiert für N → ∞ wie 1 N2 gegen Null. Der Quadraturfehler R(f ) kann somit prinzipiell durch Verfeinerung der Einteilung des Intervalles [a, b] beliebig klein gestaltet werden. Ferner folgt aus (29.22), dass der Quadraturfehler für Polynome ersten Grades stets gleich Null ist. Simpsonregel Im Falle n = 2 erhält man mit (29.19) die Simpsonregel ∫ b a f (x) dx ≈ N∑ k=1 b − a N ( 1 6 f (x2k−2)+ 23f (x2k−1)+ 1 6 f (x2k) ) = b−a N ⎛ ⎝1 6 f (x0)+ 13 N−1∑ k=1 f (x2k)+ 23 N−1∑ k=0 f (x2k+1)+ 16f (x2N) ⎞ ⎠, wobei xk = a + kh für alle k = 0, . . . , N und h = b−a2N gilt (vgl. Abbildung 29.4, Mitte). Bei einem vierfach stetig differenzierbaren Integranden f erhält man für den Quadraturfehler |R(f )| ≤ h 5 90 N∑ l=1 |f (4)(ηl)| (vgl. zweite Zeile in Tabelle 29.2). Da f (4) stetig ist, folgt wieder mit dem Zwischenwertsatz 15.28, dass es ein η ∈ [a, b] mit der Eigenschaft f (4)(η) = 1 N ∑N l=1 f (4)(ηl) gibt. Es gilt somit |R(f )| ≤ (b − a) 180 h4|f (4)(η)|. (29.23) Das heißt, der Quadraturfehler R(f ) geht mit der vierten Potenz der Schrittweite h gegen Null bzw. konvergiert für N → ∞ wie 1 N4 gegen Null. Der Quadraturfehler R(f ) kann somit analog zur zusammengesetzten Trapezregel durch Verfeinerung der Einteilung des Intervalles [a, b] prinzipiell beliebig klein werden. Ferner folgt aus (29.23), dass der Quadraturfehler für Polynome vom Grad n ≤ 3 gleich Null ist. W. Romberg Die Trapezregel ist als Baustein für einige höhere Quadraturformeln, wie z. B. für das nach dem deutschen Mathematiker Werner Romberg (1909–2003) bezeichnete Romberg-Verfahren, von großer Bedeutung. Das Romberg-Verfahren beruht auf der zusammengesetzten Trapezregel, bei der die Schrittweite immer weiter verkleinert und die resultierenden Werte geschickt extrapoliert werden (siehe z. B. Weller [69] und Stoer [64]). Analog zu den Überlegungen in Abschnitt 27.5 zur Polynominterpolation mit nicht äquidistanten Stützstellen kann man daran denken, auch für die numerische Integration die Stützstellen möglichst geschickt (und damit im Allgemeinen nicht äquidistant) zu wählen. Zum Beispiel könnte man versuchen, die Stützstellen ξi und die Gewichte gi einer Integrationsformel ∫ b a f (x) dx ≈ n∑ i=1 gif (ξi) so zu bestimmen, dass diese Formel Polynome bis zu einem möglichst hohen Grad exakt integriert. Dieser Ansatz führt 850 Kapitel 2929.5 Zusammengesetzte Newton-Cotes-Formeln x0 x1 x2 x3 f (x) l l l l x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 f (x) l l l l l l l x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 f (x) l l l l l l l l l l Abb. 29.4: Approximation eines Riemann-Integrals ∫ b a f (x) dx mittels zusammengesetzter Trapezregel (links), Simpsonregel (Mitte) und zusammengesetzter 3/8-Regel (rechts) für N = 3 dann zur sogenannten Gauß-Quadratur, bei der neben den n Gewichten g1, . . . , gn auch die n Stützstellen ξ1, . . . , ξn als frei wählbare Parameter zur Verfügung stehen. Mittels Gauß- Quadratur können daher bei n Stützstellen Polynome bis zum Grad 2n− 1 exakt integriert werden (siehe z. B. Hämmerlin [23] und Stoer [64]). Beispiel 29.6 (Zusammengesetzte Trapezregel und Simpsonregel) a) Bei der numerischen Berechnung des bestimmten Riemann-Integrals ∫ 1 0 1 1 + x2 dx = π 4 ≈ 0,78539816339745 mittels zusammengesetzter Trapezregel und Simpsonregel resultieren die in Tabelle 29.3 angegebenen Näherungswerte. Das Ergebnis zeigt deutlich die Überlegenheit der Simpsonregel gegenüber der zusammengesetzten Trapezregel (vgl. auch Abbildung 29.5). b) Das bestimmte Riemann-Integral ∫ 1 0 e −x2/2 dx kann nicht geschlossen integriert werden (vgl. Abschnitt 19.7). Der Wert des Riemann-Integrals wird daher im Folgenden numerisch mit der Simpsonregel mit N = 3 berechnet. Das heißt, die Berechnung basiert auf N Zusammengesetzte Simpsonregel Trapezregel 4 0,78279412 0,78539216 10 0,78498150 0,78539815 100 0,78539400 0,78539816 1000 0,78539812 0,78539816 1500 0,78539815 0,78539816 2000 0,78539815 0,78539816 Tabelle 29.3: Mit zusammengesetzter Trapezregel und Simpsonregel berechnete Näherungswerte für ∫ 1 0 1 1+x2 dx mit N = 4, 10, 100, 1000, 1500, 2000 den sieben Funktionswerten f (x0), . . . , f (x6) des Integranden f (x) = e−x2/2, wobei xk = kh mit h := 16 und k = 0, 1, . . . , 6 gilt. Die Integrationsformel lautet somit ∫ 1 0 e−x 2/2 dx≈ 1 3 ( 1 6 f (x0)+ 2 3 f (x1)+ 1 3 f (x2) + 2 3 f (x3)+ 1 3 f (x4)+ 2 3 f (x5)+ 1 6 f (x6) ) und man erhält damit den Näherungswert ∫ 1 0 e−x 2/2 dx ≈ 0,85563. 851 Kapitel 29 Numerische Integration 0 = x0 x1 x2 x3 x4 = 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (x) l l l l l 0 = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 = 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (x) l l l l l l l l l Abb. 29.5: Approximation des Riemann-Integrals ∫ 1 0 1 1+x2 dx mittels zusammengesetzter Trapezregel (links) und Simpsonregel (rechts) für N = 4 Zur Abschätzung des Quadraturfehlers |R(f )| werden die vierte und fünfte Ableitung des Integranden f berechnet. Man erhält f (4)(x) = (x4 − 6x2 + 3)e−x2/2 und f (5)(x) = −(x4 − 10x2 + 15)e−x2/2x. Da f (5)(x) ≤ 0 für alle x ∈ [0, 1] gilt, ist f (4) auf dem Intervall [0, 1] monoton fallend. Das heißt, f (4) besitzt im Intervall [0, 1] an der Stelle x = 0 das Maximum und an der Stelle x = 1 das Minimum. Wegen f (4)(0) = 3 und f (4)(1) = −1,3 bedeutet dies, dass ∣∣f (4)(x) ∣∣ ≤ 3 für alle x ∈ [0, 1] gilt. Mit (29.23) folgt somit |R(f )| ≤ 1 180 · ( 1 6 )4 · 3 < 1,3 · 10−5. (29.24) Der Näherungswert 0,85563 für das bestimmte Riemann-Integral ∫ 1 0 e −x2/2 dx ist somit auf mindestens 4 Nachkommastellen genau. 852

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.