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27. Polynominterpolation in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 805 - 815

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_805

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Kapitel27 Polynominterpolation Kapitel 27 Polynominterpolation 27.1 Grundlagen In vielen betriebs- und volkswirtschaftlichen Anwendungen und Fragestellungen untersucht man den funktionalen Zusammenhang zwischen zwei (ökonomischen) Variablen x und y. Oft ist jedoch die funktionale Beziehung zwischen der unabhängigen Variablen x und der abhängigen Variablen y zunächst nicht vollständig bekannt, sondern es sind lediglich eine endliche Anzahl von sogenannten Stützpunkten (x0, y0), . . . , (xn, yn) für (x, y) verfügbar. In solchen Situationen stellt sich dann häufig die Frage, wie eine möglichst leicht handhabbare Funktion f bestimmt werden kann, deren Graph durch diese n+1 Stützpunkte geht. Das heißt, es ist eine Funktion f mit der Eigenschaft f (xi) = yi für alle i = 0, 1, . . . , n gesucht, die dann zu weitergehenden Untersuchungen des funktionalen Zusammenhanges zwischen x und y herangezogen werden kann und deren Eigenschaften mit den Methoden der Differential- und Integralrechnung analysiert werden können. Polynome sind aufgrund ihrer sehr einfachen Struktur und guten mathematischen Eigenschaften, wie z. B. ihrer leichten Differenzier- und Integrierbarkeit, für diese Problemstellung oftmals die natürlichen Kandidaten. Man spricht dann von Polynominterpolation, und ein Polynom p mit der Eigenschaft p(xi) = yi für alle i = 0, 1, . . . , n heißt Interpolationspolynom. Man sagt in diesem Fall, dass das Polynom p die gegebenen n+ 1 Stützpunkte (xi, yi) interpoliert oder auch, dass das Polynom p den n+1 Interpolationsbedingungen p(xi) = yi genügt. Existenz und Eindeutigkeit Bei einer allgemeinen Betrachtung der Polynominterpolation stellt sich unmittelbar die Frage, ob ein Interpolationspolynom überhaupt existiert, und falls es existiert, ob es eindeutig ist. Der folgende Satz besagt, dass beide Fragen positiv beantwortet werden können: Satz 27.1 (Existenz und Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms) Zu n+ 1 Stützpunkten (x0, y0), . . . , (xn, yn) mit xi = xj für alle i = j gibt es genau ein Polynom p vom Grad kleiner gleich n mit p(xi) = yi für alle i = 0, . . . , n. Beweis: Eindeutigkeit: Seien p und q zwei Polynome vom Grad kleiner gleich n mit p(xi) = q(xi) = yi für alle i = 0, . . . , n. Dann ist p−q ein Polynom vom Grad kleiner gleich n mit mehr als n Nullstellen. Mit Satz 14.7 folgt somit, dass p − q das Nullpolynom ist und somit p − q = 0 bzw. p = q gilt. Existenz: Der Ansatz p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 mit noch unbekannten Koeffizienten a0, a1 . . . , an ∈ R und p(xi) = yi für i = 0, . . . , n führt zu einem System von n+ 1 linearen Gleichungen anx n i + an−1xn−1i + . . .+ a1xi + a0 = yi für i = 0, . . . , n, das nach a0, a1, . . . , an aufgelöst werden kann und somit ein Polynomp vom Grad kleiner gleich n festlegt (siehe hierzu auch (27.2)–(27.3) und die nachfolgende Erläuterung). Interpolationspolynom bzgl. monomialer Basis Im Beweis des Satzes 27.1 wurde für das Interpolationspolynom p die Darstellung p(x) = n∑ k=0 akx k (27.1) als Linearkombination der Monome 1, x, x2, x3, . . . , xn gewählt. Diese Darstellung wird als Polynomdarstellung bzgl. der monomialen Basis { 1, x, x2, . . . , xn } bezeichnet. Bei diesem Ansatz wird das (eindeutig festgelegte) Interpolationspolynom p durch die n+1 Stützstellen (xi, yi) durch Auflösen des linearen Gleichungssystems anx n 0 + an−1xn−10 + . . .+ a1x0 + a0 = y0 anx n 1 + an−1xn−11 + . . .+ a1x1 + a0 = y1 ... anx n n + an−1xn−1n + . . .+ a1xn + a0 = yn (27.2) nach den n + 1 unbekannten Koeffizienten a0, . . . , an bestimmt. In Matrixschreibweise lautet dieses lineare Gleichungssystem ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ 1 x0 x20 . . . x n 0 1 x1 x21 . . . x n 1 ... ... ... . . . ... 1 xn x2n . . . x n n ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ =:V ⎛ ⎜⎜ ⎜ ⎝ a0 a1 ... an ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜⎜ ⎝ y0 y1 ... yn ⎞ ⎟⎟ ⎟ ⎠ . (27.3) 814 Kapitel 2727.1 Grundlagen Die Matrix V auf der linken Seite von (27.3) ist die nach dem französischen Mathematiker Alexandre-Théophile Vandermonde (1735–1796) benannte Vandermonde-Matrix. In Beispiel 8.66 wurde bereits gezeigt, dass ihre Determinante, die sogenannte Vandermonde-Determinante, durch det(V) = ∏ 1≤i

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.