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23. Riemann-Integral im Rn in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 687 - 700

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_687

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Kapitel23 Riemann-Integral im Rn Kapitel 23 Riemann-Integral im Rn 23.1 Riemann-Integrierbarkeit im Rn B. Riemann Im letzten Kapitel wurde bereits der Begriff der Differenzierbarkeit auf reellwertige Funktionen in n Variablen verallgemeinert. Konsequenterweise wird nun auch das in Kapitel 19 für reelle Funktionen eingeführte Konzept der Riemann-Integrierbarkeit auf reellwertige Funktionen in n Variablen ausgeweitet. Diese Verallgemeinerung des nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866) benannten Riemann-Integrals wird bei der Untersuchung vieler wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen benötigt. Darüber hinaus wird man auch in der Statistik, in der Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie in der Versicherungs- und Finanzmathematik bei der Verwendung mehrdimensionaler Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit sogenannten mehrfachen Riemann-Integralen konfrontiert. Das mehrfache Riemann-Integral lässt sich weitgehend analog zum Riemann-Integral für reellwertige Funktionen in einer Variablen einführen. Aus diesem Grund ist es möglich, die folgenden Ausführungen im Vergleich zu den entsprechenden Erläuterungen für das einfache Riemann-Integral in Abschnitt 19.2 deutlich kürzer zu halten. Ähnlich wie bei der Konstruktion des Riemann-Integrals für reellwertige Funktionen in einer Variablen ist der Ausgangspunkt der Überlegungen eine beschränkte reellwertige Funktion f : I ⊆ R n −→ R. Diese ist nun jedoch nicht mehr auf einem eindimensionalen, sondern auf einem n-dimensionalen abgeschlossenen Intervall I := [a, b] = [a1, b1] × · · · × [an, bn] = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi für i = 1, . . . , n } definiert, dessen Inhalt naheliegenderweise durch |I | := n∏ i=1 (bi − ai) definiert wird. Bei I handelt es sich somit für n = 1 um ein eindimensionales Intervall in R der Länge b1 − a1, für n = 2 um eine Fläche im R2 mit dem Flächeninhalt (b1 − a1) · (b2 − a2) und für n = 3 um einen Quader im R 3 mit dem Volumen (b1 − a1) · (b2 − a2) · (b3 − a3). Für die weitere Betrachtung sei nun für alle i = 1, . . . , n durch Z (i) ki := { x (i) 0 , . . . , x (i) ki } mit ai = x(i)0 < x(i)1 < x(i)2 < . . . < x(i)ki = bi eine Partition (Zerlegung) des eindimensionalen i-ten Komponentenintervalls [ai, bi] von [a, b] in die ki eindimensionalen Komponententeilintervalle [ ai, x (i) 1 ] , [ x (i) 1 , x (i) 2 ] , . . . , [ x (i) ki−2, x (i) ki−1 ] , [ x (i) ki−1, bi ] gegeben. Das n-fache kartesische Produkt dieser Zerlegungen, also die Menge Zk1,...,kn := Z(1)k1 × · · · × Z(n)kn = {( x (1) j1 , . . . , x (n) jn ) : x(1)j1 ∈ Z(1)k1 , . . . , x(n)jn ∈ Z(n)kn } , wird als n-dimensionale Partition (Zerlegung), und ihre Elemente ( x (1) j1 , . . . , x (n) jn ) werden als n-dimensionale Zwischenstellen des Intervalls I = [a, b] bezeichnet. Durch die Zerlegung Zk1,...,kn wird das n-dimensionale Intervall I in insgesamt K := ∏ni=1 ki n-dimensionale Teilintervalle der Form Il := [ x (1) j1−1, x (1) j1 ] × [ x (2) j2−1, x (2) j2 ] ×· · ·× [ x (n) jn−1, x (n) jn ] (23.1) zerlegt, welche mit l = 1, . . . , K durchnummeriert seien. Die Größe eines solchen Teilintervalls wird durch seinen Durchmesser δ(Il) := max u,v∈Il ‖u − v‖ gemessen, der den maximalen Abstand der Elemente in Il angibt. Der Durchmesser des größten Teilintervalls von I , das durch die Zerlegung Zk1,...,kn erzeugt wird, d. h. der Wert F(Zk1,...,kn ) := max l∈{1,...,K} δ(Il), (23.2) wird als Feinheit der Zerlegung Zk1,...,kn bezeichnet. Je kleiner der Wert F(Zk1,...,kn ) ist, desto „feiner“ ist die Zerlegung des Intervalls I = [a, b] in n-dimensionale Teilintervalle. Für den Spezialfall n = 1 vereinfacht sich (23.2) zu dem in 692 Kapitel 2323.1 Riemann-Integrierbarkeit im Rn Abschnitt 19.2 verwendeten Feinheitsbegriff (19.2). Ist zum Beispiel n = 2 und I = [a1, b1] × [a2, b2] ein zweidimensionales abgeschlossenes Intervall, Z(1)k1 :={ x (1) 0 , . . . , x (1) k1 } eine Zerlegung von [a1, b1] und Z(2)k2 :={ x (2) 0 , . . . , x (2) k2 } eine Zerlegung von [a2, b2], dann besteht die zweidimensionale Zerlegung Zk1,k2 = Z(1)k1 × Z(2)k2 von I aus allen zweidimensionalen Zwischenstellen ( x (1) j1 , x (2) j2 ) mit j1 ∈ {0, . . . , k1}, j2 ∈ {0, . . . , k2} und die zweidimensionalen Teilintervalle von I sind gegeben durch Il = [ x (1) j1−1, x (1) j1 ] × [ x (2) j2−1, x (2) j2 ] (23.3) für l = 1, . . . , K = k1 · k2 (vgl. Abbildung 23.1). a2= x (2) 0 x(2)1 x(2)2 x(2)3 b2= x (2) 4 a1 = x (1) 0 x (1) 1 x (1) 2 x (1) 3 x (1) 4 x (1) 5 b1=x (1) 6 I = [ a1, b1]× [a2, b2] Il− 2 Il− 1 Il Il+ 1 Il+ 2 Abb. 23.1: Zerlegung des zweidimensionalen Intervalls I = [a1, b1] × [a2, b2] in insgesamt K = k1 · k2 = 6 · 4 = 24 zweidimensionale Teilintervalle Il und die dazugehörigen zweidimensionalen Zwischenstellen ( x (1) j1 , x (2) j2 ) (rot eingezeichnet) Darbouxsche Unter- und Obersummen Das mehrfache Riemann-Integral einer beschränkten reellwertigen Funktion f : I ⊆ Rn −→ R auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b] wird nun völlig analog zu Abschnitt 19.2 eingeführt. Hierzu wird für die ndimensionalen Teilintervalle I1, . . . , IK von I durch ml := inf x∈Il f (x) und Ml := sup x∈Il f (x) für l = 1, . . . , K das Infimum bzw. das Supremum von f auf dem Teilintervall Il definiert. Dabei ist aufgrund der Beschränktheit von f die Existenz von ml und Ml sichergestellt. Werden nun diese Werte jeweils mit dem Inhalt |Il | des lten Teilintervalls Il gewichtet und die resultierenden Produkte anschließend über alle K Teilintervalle aufsummiert, so erhält man Uf (Zk1,...,kn ) := K∑ l=1 ml |Il | und Of (Zk1,...,kn ) := K∑ l=1 Ml |Il |. Analog zur Konstruktion des einfachen Riemann-Integrals für reellwertige Funktionen in einer Variablen werden diese Werte häufig nach dem französischen Mathematiker Jean Gaston Darboux (1842–1917) als Darbouxsche Unter- bzw. Obersumme von f bezüglich der n-dimensionalen Zerlegung Zk1,...,kn bezeichnet. Im Folgenden werden diese jedoch einfach wieder kurz Unter- bzw. Obersumme von f bezüglich Zk1,...,kn genannt. Für die Unter- und Obersumme zu einer Zerlegung Zk1,...,kn gilt offensichtlich stets Uf (Zk1,...,kn ) ≤ Of (Zk1,...,kn ) (vgl. Abbildung 23.2). x y z f (x, y) Abb. 23.2: Jeweils vier Summanden ml |Il | und Ml |Il | der Untersumme Uf (Zk1,...,kn ) bzw. der Obersumme Of (Zk1,...,kn ) einer reellwertigen Funktion f : I ⊆ Rn −→ R auf einem abgeschlossenen zweidimensionalen Intervall I = [a, b] Unteres und oberes Integral Bei Verwendung immer feiner werdender Zerlegungen Zk1,...,kn werden die Untersummen Uf (Zk1,...,kn ) von f immer größer und die Obersummen Of (Zk1,...,kn ) von f immer kleiner. Die Verwendung „unendlich feiner“ Zerlegungen entspricht somit der Betrachtung des Supremums 693 Kapitel 23 Riemann-Integral im Rn der Untersummen Uf (Zk1,...,kn ) bzw. des Infimums der Obersummen Of (Zk1,...,kn ), also den Werten U − ∫ I f (x) dx := sup Zk1 ,...,kn Uf (Zk1,...,kn ) und O − ∫ I f (x) dx := inf Zk1 ,...,kn Of (Zk1,...,kn ). Dabei sind alle möglichen Zerlegungen Zk1,...,kn des n-dimensionalen Intervalls I = [a, b] in eine beliebige Anzahl von Teilintervallen Il zugelassen und die beiden Buchstaben „U“ und „O“ stehen wieder für Unter- bzw. Obersumme. Diese beiden Werte werden als unteres bzw. oberes Integral der Funktion f bezeichnet, und wie in Abschnitt 19.2 für reellwertige Funktionen in einer Variablen zeigt man, dass für sie stets U − ∫ I f (x) dx ≤ O − ∫ I f (x) dx (23.4) gilt (vgl. (19.8)). Bestimmtes Riemann-Integral Eine beschränkte reellwertige Funktion f : I⊆Rn−→R auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I=[a, b] wird nun als Riemann-integrierbar bezeichnet, wenn das untere und obere Integral von f übereinstimmen, also in (23.4) Gleichheit gilt. Definition 23.1 (Bestimmtes mehrfaches Riemann-Integral) Es sei f : I ⊆ Rn −→ R eine beschränkte reellwertige Funktion auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b], deren unteres und oberes Integral übereinstimmen. Dann heißt die Funktion f Riemannintegrierbar und der Wert des unteren bzw. oberen Integrals ∫ I f (x) dx := U − ∫ I f (x) dx = O − ∫ I f (x) dx (23.5) wird bestimmtes mehrfaches Riemann-Integral von f auf dem Intervall I genannt. Ferner bezeichnet man I als Integrationsintervall, f als Integrand und x als n-dimensionale Integrationsvariable. Bei einem mehrfachen Riemann-Integral ∫ I f (x) dx spricht man nun davon, dass „f über die n-dimensionale Variable x integriert wird“. Anstelle von ∫ I f (x) dx wird für ein mehrfaches Riemann- Integral häufig auch die ausführlichere Schreibweise ∫ I f (x1, x2, . . . , xn) d(x1, x2 . . . , xn) verwendet. Im Fall n = 1 stimmt das bestimmte Riemann- Integral (23.5) offensichtlich mit dem bestimmten Riemann- Integral ∫ b a f (x) dx aus Definition 19.1 überein. Im Falle zweier und dreier Variablen schreibt man häufig ∫ I f (x, y) d(x, y) bzw. ∫ I f (x, y, z) d(x, y, z). Gemäß obiger Definition 23.1 bedeutet Riemann-Integrierbarkeit einer beschränkten reellwertigen Funktion f : I ⊆ R n −→ R, dass Untersummen Uf (Zk1,...,kn ) und ObersummenOf (Zk1,...,kn ) von f existieren, deren Werte beliebig nahe beim bestimmten mehrfachen Riemann-Integral ∫ I f (x) dx liegen. Fast wortwörtlich wie in Satz 19.3 beweist man daher auch für mehrfache Riemann-Integrale das folgende Integrabilitätskriterium von Riemann: Satz 23.2 (Integrabilitätskriterium von Riemann im Rn) Eine beschränkte reellwertige Funktion f : I ⊆ Rn −→ R auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b] ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0 eine n-dimensionale Zerlegung Z von I gibt, so dass gilt Of (Z)− Uf (Z) < ε. Beweis: Verläuft analog zum Beweis von Satz 19.3. Analog zu reellwertigen Funktionen in einer Variablen lässt sich mit dem Integrabilitätskriterium von Riemann das folgende nützliche hinreichende Kriterium für die Riemann- Integrierbarkeit reellwertiger Funktionen in n Variablen nachweisen. Es stellt für viele natur-, ingenieurs- und wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen die Existenz des bestimmten mehrfachen Riemann-Integrals sicher. 694 Kapitel 2323.2 Eigenschaften von mehrfachen Riemann-Integralen Satz 23.3 (Riemann-Integrierbarkeit stetiger Funktionen) Eine stetige reellwertige Funktion f : I ⊆Rn −→R auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b] ist Riemann-integrierbar, d. h. das bestimmte mehrfache Riemann-Integral ∫ I f (x) dx existiert. Beweis: Verläuft weitgehend analog zum Beweis des ersten Teils von Satz 19.4. Dieses Resultat liefert somit die wichtige Erkenntnis, dass z. B. Polynome, rationale Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und trigonometrische Funktionen in n Variablen auf abgeschlossenen Intervallen I = [a, b] Riemann-integrierbar sind. Riemann-Summen Wie das bestimmte Riemann-Integral einer reellen Funktion kann auch das mehrfache bestimmte Riemann-Integral einer beschränkten reellwertigen Funktion f : I ⊆ Rn −→ R auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b] über Riemann-Summen definiert werden. Hierzu werden eine beliebige n-dimensionale Zerlegung Zk1,...,kn des Intervalls I in K Teilintervalle Il und ein Vektor ξ = (ξ1, . . . , ξK)T mit Stützstellen ξl ∈ Il für alle l = 1, . . . , K betrachtet. Dann wird Rf (Zk1,...,kn ; ξ) := K∑ l=1 f (ξl) |Il | als Riemann-Summe von f bezüglich der Zerlegung Zk1,...,kn und der K Stützstellen ξ = (ξ1, . . . , ξK)T bezeichnet. Analog zum Riemann-Integral für reellwertige Funktionen in einer Variablen gelten zwischen Unter-, Ober- und Riemann- Summen für beliebige Zerlegungen Zk1,...,kn und Stützstellen ξ = (ξ1, . . . , ξK)T die Beziehungen Uf (Zk1,...,kn ) ≤ Rf (Zk1,...,kn ; ξ) ≤ Of (Zk1,...,kn ). (23.6) Der folgende Satz liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Riemann-Integrierbarkeit einer beschränkten reellwertigen Funktion f : I ⊆ Rn −→ R in n Variablen anhand von Riemann-Summen: Satz 23.4 (Riemann-Summe und Riemann- Integrierbarkeit) Eine beschränkte reellwertige Funktion f : I⊆Rn−→R auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b] ist genau dann Riemann-integrierbar, falls jede Folge von Riemann-Summen ( Rf (Z l k1,...,kn ; ξ)) l∈N zu Zerlegungen ( Zlk1,...,kn ) l∈N mit der Eigenschaft lim l→∞ F(Zlk1,...,kn ) = 0 konvergiert. In diesem Fall konvergieren alle Folgen ( Rf (Z l k1,...,kn ; ξ)) l∈N gegen denselben Grenzwert, welcher durch das bestimmte mehrfache Riemann-Integral von f auf dem Intervall I gegeben ist. Das heißt, es gilt lim l→∞ Rf (Z l k1,...,kn ; ξ) = ∫ I f (x) dx. Beweis: Verläuft weitgehend analog zum Beweis von Satz 19.6. Der Zugang zum mehrfachen Riemann-Integral über Riemann-Summen ist bei vielen theoretischen und praktischen Überlegungen hilfreich. Zum Beispiel lässt sich der Wert des mehrfachen Riemann-Integrals einer Riemann-integrierbaren Funktion f : I ⊆ Rn −→ R durch Riemann-Summen beliebig genau annähern. Darüber hinaus stößt man bei vielen wirtschaftswissenschaftlichen Problemstellungen auf Ansätze, bei denen die ökonomischen Vorgänge zunächst durch Riemann-Summen angenähert beschrieben werden. Von diesen Riemann-Summen geht man dann mittels verfeinerter Zerlegungen zu mehrfachen Riemann-Integralen über. 23.2 Eigenschaften von mehrfachen Riemann-Integralen Elementare Integrationsregeln Das mehrfache Riemann-Integral besitzt die gleichen Eigenschaften wie das Riemann-Integral für eine reellwertige Funktion in einer Variablen. Der folgende Satz fasst die wichtigsten elementaren Integrationsregeln für mehrfache Riemann-Integrale zusammen. Diese Integrationsregeln sind die Analoga der entsprechenden Aussagen für einfache Riemann-Integrale (vgl. die Sätze 19.9 und 19.10). 695 Kapitel 23 Riemann-Integral im Rn Satz 23.5 (Elementare Integrationsregeln) Es seien f, g : I ⊆ Rn −→ R zwei Riemann-integrierbare Funktionen auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b] und α, β ∈ R. Dann sind auch αf , f +g und αf +βg Riemann-integrierbar und es gilt: a) ∫ I αf (x) dx = α ∫ I f (x) dx (Homogenität) b) ∫ I (f (x)+ g(x)) dx = ∫ I f (x) dx + ∫ I g(x) dx (Additivität) c) ∫ I (αf (x)+βg(x)) dx=α ∫ I f (x) dx+β ∫ I g(x) dx (Linearität) d) ∫ I1∪I2 f (x) dx= ∫ I1 f (x) dx+∫ I2 f (x) dx für I1, I2 ⊆ I mit I ◦1 ∩ I ◦2 = ∅ Beweis: Die Aussagen lassen sich leicht für Riemann-Summen nachweisen und mit Satz 23.4 folgt dann die Behauptung. Riemann-Integrierbarkeit spezieller Funktionen Der folgende Satz ist das Analogon von Satz 19.12. Er besagt, dass auch bei reellwertigen Funktionen in n Variablen viele wichtige mathematische Operationen die Riemann- Integrierbarkeit des Integranden erhalten. Satz 23.6 (Riemann-Integrierbarkeit spezieller Funktionen) Es seien f, g : I ⊆ Rn−→R zwei Riemann-integrierbare Funktionen auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b]. Dann gilt: a) Ist φ : E−→R eine reelle Funktion mit f (x)∈E⊆R für alle x ∈ [a, b] und gibt es ein L ≥ 0, so dass |φ(u)− φ(v)| ≤ L|u− v| für alle u, v ∈ E gilt, dann ist auch die Komposition φ ◦ f : I ⊆ Rn −→ R Riemann-integrierbar. b) Die reellwertigen Funktionen |f |, f + :=max {f, 0}, f − := max {−f, 0} und f p für p ≥ 1 sind Riemannintegrierbar. Gilt ferner |f (x)| ≥ δ für alle x ∈ [a, b] und ein δ > 0, dann ist auch 1 f Riemann-integrierbar. c) Die reellwertigen Funktionen fg,max {f, g} und min {f, g} sind Riemann-integrierbar. Gilt ferner |g(x)| ≥ δ für alle x ∈ [a, b] und ein δ > 0, dann ist auch f g Riemann-integrierbar. Beweis: Verläuft weitgehend analog zum Beweis von Satz 19.12. Mit Satz 23.3 und Satz 23.6 erhält man nun, dass Beträge, Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von Polynomen, rationalen Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und trigonometrischen Funktionen in n Variablen Riemann-integrierbar sind. Elementare Ungleichungen Wie bereits der letzte Satz ist auch das folgende Resultat das Analogon eines bekannten Ergebnisses für Riemann- Integrale reellwertiger Funktionen in einer Variablen (vgl. Satz 19.14). Es fasst einige wichtige elementare und plausible Ungleichungen für mehrfache Riemann-Integrale zusammen. Satz 23.7 (Elementare Ungleichungen) Für zwei Riemann-integrierbare Funktionen f, g : I ⊆ R n −→ R auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a, b] gilt: a) ∫ I f (x) dx ≥ 0, falls f (x) ≥ 0 für alle x ∈ I (Positivität) b) ∫ I f (x) dx ≤ ∫ I g(x) dx, falls f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ I (Monotonie) c) ∫ I f (x) dx < ∫ I g(x) dx, falls f und g stetig, f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ I sowie f (x0) < g(x0) für mindestens ein x0 ∈ I (strenge Monotonie) d) m|I | ≤ ∫ I f (x) dx ≤ M|I |, falls m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ I e) ∣∣∫ I f (x) dx ∣∣ ≤ ∫ I |f (x)| dx (Dreiecksungleichung) Beweis: Verläuft weitgehend analog zum Beweis von Satz 19.14. 696 Kapitel 2323.3 Satz von Fubini 23.3 Satz von Fubini G. Fubini Bisher steht noch kein Hilfsmittel zur Verfügung, welches es ermöglicht, das mehrfache Riemann-Integral ∫ I f (x) dx einer Riemannintegrierbaren Funktion f : I ⊆ R n → R auf einem abgeschlossenen n-dimensionalen Intervall I = [a,b] auf einfache Weise zu berechnen. Die Berechnung eines mehrfachen Riemann-Integrals als Grenzwert von Riemann- Summen ist nicht praktikabel. Mit Hilfe des nach dem italienischen Mathematiker Guido Fubini (1879–1943) benannten Satzes von Fubini ist es jedoch möglich, zumindest in den für die Praxis wichtigsten Fällen die Berechnung eines mehrfachen Riemann-Integrals auf die Berechnung mehrerer einfacher Riemann-Integrale zurückzuführen. Auf diese Weise stellt der Satz von Fubini insbesondere auch eine Verbindung zwischen mehrfachen Riemann-Integralen und dem ersten und zweiten Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung (vgl. die Sätze 19.21 und 19.22) sowie zu der Methode der partiellen Integration (vgl. Satz 19.28) und der Substitutionsmethode (vgl. Satz 19.32) her. Aufgrund seiner großen praktischen Relevanz ist es nicht verwunderlich, dass der Satz von Fubini eines der bedeutendsten Resultate der Integrationstheorie ist. Satz 23.8 (Satz von Fubini) Es seien [a, b] ⊆ Rm und [c, d] ⊆ Rn zwei abgeschlossene m-dimensionale bzw. n-dimensionale Intervalle und die reellwertige Funktion f : [a, b]×[c, d] ⊆ Rm+n −→ R auf dem (m+n)-dimensionalen Intervall [a, b]×[c, d] sei stetig. Dann gilt ∫ [a,b]×[c,d] f (x, y) d(x, y) = ∫ [c,d] (∫ [a,b] f (x, y) dx ) dy = ∫ [a,b] (∫ [c,d] f (x, y) dy ) dx. Beweis: Siehe z. B. Walter [68], Seiten 243–244. Der Satz von Fubini besagt, dass das mehrfache Riemann- Integral einer stetigen Funktion f : [a,b]×[c,d]⊆Rm+n→R auf einem abgeschlossenen (m + n)-dimensionalen Intervall in zwei Riemann-Integrale über niederdimensionalere Intervalle [a, b] und [c, d] der Dimension m bzw. n zerlegt werden kann. Dabei darf die Reihenfolge des „inneren“ und des „äußeren“ Riemann-Integrals vertauscht werden. Mit anderen Worten: Bei der Integration einer stetigen Funktion f : [a, b] × [c, d] ⊆ Rm+n −→ R bezüglich der (m + n)-dimensionalen Integrationsvariablen (x, y) = (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn) spielt es keine Rolle, ob zuerst über die m-dimensionale Integrationsvariable x oder über die ndimensionale Integrationsvariable y integriert wird. Durch Iteration des letzten Satzes erhält man die folgende praktische Version des Satzes von Fubini: Folgerung 23.9 (Mehrfach iteriertes Riemann- Integral) Die reellwertige Funktion f : [a, b] ⊆ Rn −→ R sei stetig. Dann gilt ∫ [a,b] f (x) dx (23.7) = ∫ bn an ( · · · ∫ b2 a2 (∫ b1 a1 f (x1, . . . , xn) dx1 ) dx2 . . . ) dxn = ∫ bn an · · · ∫ b2 a2 ∫ b1 a1 f (x1, . . . , xn) dx1 dx2 . . . dxn, wobei die Reihenfolge bei der Integration bezüglich der n Integrationsvariablen x1, . . . , xn beliebig gewählt werden kann. Das mehrfache Riemann-Integral ∫ [a,b] f (x) dx einer stetigen reellwertigen Funktion f kann somit durch sukzessives „herausintegrieren“ der n Integrationsvariablen x1, . . . , xn von „innen“ nach „außen“ berechnet werden (siehe hierzu auch Beispiel 23.10). Aus diesem Grund wird ein mehrfaches Riemann-Integral auch als (mehrfach) iteriertes Riemann- Integral bezeichnet. Im Fall n = 2, d. h. bei einer stetigen Funktion f : [a1, b1]× [a2, b2] −→ R in zwei Variablen, vereinfacht sich (23.7) zur Formel ∫ [a1,b1]×[a2,b2] f (x, y) d(x, y) = ∫ b2 a2 ∫ b1 a1 f (x, y) dx dy = ∫ b1 a1 ∫ b2 a2 f (x, y) dy dx, die sich leicht mit Hilfe von Abbildung 23.3 interpretieren lässt. Gilt nämlich zusätzlich f (x, y) ≥ 0 für alle (x, y) ∈ 697 Kapitel 23 Riemann-Integral im Rn [a1, b1] × [a2, b2] und macht man an einer festen, aber beliebigen Stelle y ∈ [a2, b2] einen Schnitt durch den von der Grundfläche [a1, b1]×[a2, b2] und dem Graphen von f eingeschlossenen zylindrischen Körper K , dann ist der Inhalt der dadurch entstehenden Fläche durch das einfache Riemann- Integral g(y) = ∫ b1 a1 f (x, y) dx gegeben. Durch Aufintegrieren der Flächeninhalte g(y) für y ∈ [a2, b2], also durch Berechnen des einfachen Riemann- Integrals ∫ b2 a2 g(y) dy = ∫ b2 a2 (∫ b1 a1 f (x, y) dx ) dy, erhält man dann das Volumen des zylindrischen Körpers K . x y z b1 a1 a2 b2 y [a1 , b1] × [a2 , b2] g(y) f (x, y ) Abb. 23.3: Veranschaulichung des Satzes von Fubini anhand einer reellwertigen Funktion f : [a1, b1]×[a2, b2] −→ R in zwei Variablen Das folgende Beispiel demonstriert, wie mit Hilfe des Satzes von Fubini auf einfache Weise mehrfache Riemann-Integrale berechnet werden können: Beispiel 23.10 (Berechnung von mehrfachen Riemann-Integralen) a) Die reellwertige Funktion f : [−2,−1]×[0,1]−→R, (x, y) %→ 2x3 + y2 ist stetig und damit gemäß Satz 23.3 auch Riemannintegrierbar (vgl. Abbildung 23.4, links). Mit dem Satz von Fubini erhält man für das zweifache Riemann-Integral von f den Wert ∫ [−2,−1]×[0,1] f (x, y) d(x, y) = ∫ 1 0 ∫ −1 −2 (2x3 + y2) dx dy = ∫ 1 0 ( 1 2 x4 + xy2 )∣∣∣∣ −1 −2 dy = ∫ 1 0 ( 1 2 − y2 − (8 − 2y2) ) dy = ∫ 1 0 ( −15 2 + y2 ) dy = ( −15 2 y + 1 3 y3 )∣∣∣∣ 1 0 =−15 2 + 1 3 −0=−43 6 . Wird zuerst bezüglich der Variablen y und dann bezüglich der Variablen x integriert, erhält man für das zweifache Riemann-Integral denselben Wert ∫ [−2,−1]×[0,1] f (x,y) d(x,y) = ∫ −1 −2 ∫ 1 0 (2x3+y2) dy dx = . . . = −43 6 . b) Die reellwertige Funktion f : [0, 1] × [1, 2] −→ R, (x, y) %→ xy ist stetig, und mit dem Satz von Fubini erhält man für den Wert des zweifachen Riemann-Integrals den Wert ∫ [0,1]×[1,2] f (x,y) d(x,y)= ∫ 2 1 ∫ 1 0 xy dx dy = ∫ 2 1 ( 1 y + 1x y+1 )∣∣∣ ∣ 1 0 dy = ∫ 2 1 1 y + 1 dy= ln(y+1) ∣ ∣2 1 = ln(3)− ln(2)= ln ( 3 2 ) . c) Die reellwertige Funktion f : [0, 1] × [−2,−1] × [−1, 1] −→ R, (x, y, z) %→ 2xyz ist stetig, und mit dem Satz von Fubini erhält man für das dreifache Riemann-Integral den Wert 698 Kapitel 2323.3 Satz von Fubini ∫ [0,1]×[−2,−1]×[−1,1] f (x, y, z) d(x, y, z) = ∫ 1 −1 ∫ −1 −2 ∫ 1 0 2xyz dx dy dz = ∫ 1 −1 ∫ −1 −2 ( x2yz )∣∣1 0 dy dz = ∫ 1 −1 ∫ −1 −2 yz dy dz = ∫ 1 −1 ( 1 2 y2z )∣∣∣∣ −1 −2 dz = −3 2 ∫ 1 −1 z dz = −3 2 ( 1 2 z2 )∣∣∣∣ 1 −1 = −3 2 ( 1 2 − 1 2 ) = 0. Dasselbe Ergebnis erhält man etwas schneller durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge ∫ [0,1]×[−2,−1]×[−1,1] f (x, y, z) d(x, y, z) = ∫ 1 −1 ∫ −1 −2 ∫ 1 0 2xyz dx dy dz = ∫ −1 −2 ∫ 1 0 ∫ 1 −1 2xyz dz dx dy = ∫ −1 −2 ∫ 1 0 ( xyz2 )∣∣1 −1 dx dy = ∫ −1 −2 ∫ 1 0 (xy − xy) dx dy = 0. d) Für das dreifache Riemann-Integral der stetigen Funktion f : [1, 2]×[2, 3]×[1, 2]−→R, (x, y, z) %→ 2z (x + y)2 erhält man mit dem Satz von Fubini den Wert ∫ [1,2]×[2,3]×[1,2] f (x, y, z) d(x, y, z) = ∫ 2 1 ∫ 3 2 ∫ 2 1 2z (x + y)2 dz dy dx = ∫ 2 1 ∫ 3 2 ( z2 (x + y)2 )∣∣ ∣∣ 2 1 dy dx = ∫ 2 1 ∫ 3 2 3 (x + y)2 dy dx = ∫ 2 1 ( −3 x + y )∣∣∣∣ 3 2 dx = ∫ 2 1 ( − 3 x + 3 + 3 x + 2 ) dx = (−3 ln(x + 3)+ 3 ln(x + 2)) ∣∣∣ 2 1 = −3 ln(5)+ 3 ln(4)− (−3 ln(4)+ 3 ln(3)) = −3 ln(5)+ 6 ln(4)− 3 ln(3) = 3 ln ( 42 5 · 3 ) = 3 ln ( 16 15 ) . Das folgende Beispiel zeigt, wie mit Hilfe mehrdimensionaler Integrationstechniken Riemann-Integrale reellwertiger Funktionen in einer Variablen bestimmt werden können, deren analytische Berechnung mit Integrationsmethoden in einer Variablen nicht möglich ist. Beispiel 23.11 (Berechnung von mehrfachen Riemann-Integralen) Die reellwertige Funktion f : [0, 1] −→ R, x %→ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 0 x = 0 xb−xa ln(x) x ∈ (0, 1) b − a x = 1 mit 0

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.