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20. Riemann-Stieltjes-Integral in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 596 - 614

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_596

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Kapitel20 Riemann-Stieltjes-Integral Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral 20.1 Riemann-Stieltjes- Integrierbarkeit T. J. Stieltjes Das Riemann-Stieltjes-Integral ist eine wichtige Verallgemeinerung des in Kapitel 19 betrachteten Riemann-Integrals. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866) und dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856–1894) benannt und besitzt neben der Statistik (siehe z. B. Khuri [32]) und der Wahrscheinlichkeitstheorie (siehe z. B. Shiryaev [63]) auch für viele andere Bereiche, wie z. B. die Versicherungsmathematik, eine große Bedeutung (siehe z. B. Reichel [54]). K. Itō Darüber hinaus weist das Riemann-Stieltjes-Integral eine konzeptionelle Nähe zu dem nach dem japanischen Mathematiker Kiyoshi Itō (1915–2008) benannten Itō-Integral auf (siehe z. B. Mikosch [47]). Aus diesem Grund sind gute Kenntnisse bezüglich des Riemann-Stieltjes-Integrals und seiner Eigenschaften für viele Fragestellungen in der modernen Finanz- und Versicherungswirtschaft, wie z. B. bei der Bewertung von Derivaten und modernen Lebensversicherungsprodukten, hilfreich (siehe z. B. Reitz [55] und Koller [36]). In Abschnitt 19.2 wurde gezeigt, dass das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx einer Riemann-integrierbaren reellen Funktion f : [a, b] −→ R der Grenzwert einer Folge ( Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ) n∈N von Riemann-Summen Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi)(xi − xi−1) (20.1) mit Stützstellen ξi ∈ [xi−1, xi] ist. Das Riemann-Integral∫ b a f (x) dx ist somit der Grenzwert von gewichteten Durchschnitten ∑n i=1 f (ξi)(xi − xi−1) von Funktionswerten f (ξi), wobei das Gewicht des Funktionswertes f (ξi) durch die Länge xi − xi−1 des zugehörigen Teilintervalles [xi−1, xi] gegeben ist. Mit anderen Worten: Das Gewicht eines Summanden f (ξi)(xi − xi−1) in der Riemann-Summe (20.1) ist umso größer, je länger das Intervall [xi−1, xi] ist. Das heißt, im Falle einer äquidistanten Zerlegung des Intervalles [a, b] erhalten alle Funktionswerte f (ξi) in (20.1) dasselbe Gewicht h := xi − xi−1 = b−an . Mit der identischen Abbildung g : [a, b]→R, x %→g(x)=x lässt sich die Riemann-Summe (20.1) auch umschreiben zu Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi) (g(xi)− g(xi−1)) . (20.2) An dieser zu (20.1) äquivalenten Darstellung für Riemann- Summen wird der Unterschied zwischen Riemann- und Riemann-Stieltjes-Integral deutlich. Das Riemann-Stieltjes- Integral verallgemeinert das Riemann-Integral dahingehend, dass in (20.2) nicht nur die identische Abbildung g(x) = x als Gewichtsfunktion erlaubt ist, sondern auch andere reelle Funktionen g. Beim Riemann-Stieltjes-Integral erfolgt somit die Gewichtung des Funktionswertes f (ξi) durch die „gewichtete Länge“ g(xi) − g(xi−1). Die Gewichtung ist folglich unmittelbar abhängig von den Eigenschaften der Funktion g und davon, wo das Teilintervall [xi−1, xi] auf der x-Achse lokalisiert ist. Man sagt daher, dass bei Riemann- Stieltjes-Integralen das Integral „entlang einer Funktion g entwickelt wird“ und bei Riemann-Integralen die Entwicklung „entlang der x-Achse erfolgt“ (vgl. Abbildung 20.1, links). Im Folgenden seien f : [a, b] −→ R und g : [a, b] −→ R zwei reelle Funktionen und durch Zn = {x0, . . . , xn} mit a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b sei eine Zerlegung des Intervalles [a, b] gegeben. Aus den dadurch festgelegten n Teilintervallen [x0, x1], [x1, x2], . . . , [xi−1, xi], . . . , [xn−1, xn] wird jeweils eine Stützstelle ξi ∈ [xi−1, xi] ausgewählt und analog zur Riemannschen Summe (vgl. (19.15)) wird durch RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) := n∑ i=1 f (ξi) (g(xi)− g(xi−1)) (20.3) die Riemann-Stieltjes-Summe von f bezüglich der Zerlegung Zn, den n Stützstellen (ξ1, . . . , ξn) und der Funktion g definiert. Analog zum Riemann-Integral wird der Wert F(Zn) = maxi∈{1,...,n}(xi−xi−1) wieder als Feinheit der Zerlegung Zn bezeichnet. Der Begriff des Riemann-Stieltjes-Integrals von f bezüglich g ist dann wie folgt definiert: 598 Kapitel 2020.1 Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit 0 xi−1 xi xj−1 xj 0 g(xi−1) g(xi) g(xj−1) g(xj) g(x) y = x 0 0 g(x) f(x) ∫a b f (x) dg(x) Abb. 20.1: Unterschiedliche Gewichtung der Teilintervalle [xi−1, xi ] durch den Integrator (Gewichtsfunktion) g (links) und der Wert des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) als Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen der Kurve (g(x), f (x)) und der g(x)- Achse im g(x)-f (x)–Koordinatensystem (rechts) Definition 20.1 (Riemann-Stieltjes-Integral) Es seien f : [a, b] −→ R und g : [a, b] −→ R zwei reelle Funktionen und jede Folge (RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn))n∈N von Riemann-Stieltjes-Summen zu Zerlegungen (Zn)n∈N mit lim n→∞F(Zn) = 0 konvergiere gegen denselben Grenzwert. Dann heißt die Funktion f Riemann- Stieltjes-integrierbar bezüglich g und der Grenzwert ∫ b a f (x) dg(x) := lim n→∞RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) wird Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich g auf dem Intervall [a, b] genannt. Ferner bezeichnet man die Werte a und b als untere bzw. obere Integrationsgrenze, [a, b] als Integrationsintervall, f als Integrand, g als Integrator und x als Integrationsvariable. Definition 20.1 ist offensichtlich gleichbedeutend damit, dass es einen reellen Wert S gibt, so dass zu jedem ε > 0 ein δ > 0 mit der Eigenschaft ∣∣S − RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) ∣ ∣ < ε (20.4) für jede Zerlegung Zn von [a, b] mit F(Zn) < δ existiert, und zwar unabhängig von der Wahl der Stützstellen (ξ1, . . . , ξn). In diesem Fall gilt dann S = ∫ b a f (x) dg(x). Aufgrund der Möglichkeit, die Funktionswerte in verschiedenen Teilintervallen unterschiedlich zu gewichten, besitzt das Riemann-Stieltjes-Integral in den Wirtschaftswissenschaften viele Anwendungen. Beschreibt zum Beispiel g : [a, b]→R die Wertentwicklung einer Anleihe im Zeitraum [a, b], dann gibt g(x2) − g(x1) mit a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b die Wertveränderung der Anleihe im Zeitraum [x1, x2] an. Wird nun ein ganzes Portfolio betrachtet, das zum Zeitpunkt x aus f (x) Einheiten dieser Anleihe besteht und zu dem kontinuierlich weitere Einheiten hinzugefügt oder entfernt werden, dann ist die Wertveränderung des Portfolios im Zeitraum [a, b] durch das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ b a f (x) dg(x) gegeben. Im Gegensatz zum Riemann-Integral lässt sich jedoch für einen nichtnegativen Integranden f der Wert des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) im Allgemeinen nicht mehr so einfach als der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird, interpretieren. Falls jedoch der Integrator g zusätzlich monoton wachsend und stetig ist, entspricht der Wert 599 Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral des Riemann-Stieltjes-Integrals dem Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Kurve (g(x), f (x)) und der g(x)-Achse im g(x)-f (x)–Koordinatensystem eingeschlossen wird (vgl. Abbildung 20.1, rechts). Ein Riemann-Stieltjes-Integral einer reellen Funktion f bezüglich des speziellen Integrators g(x) = x, d. h. der identischen Abbildung, ist offensichtlich ein gewöhnliches Riemann-Integral und man schreibt dann ∫ b a f (x) dx anstelle von ∫ b a f (x) dg(x). In Kapitel 19 wurde bei der Definition des bestimmten Riemann-Integrals die Beschränktheit des Integranden f ausdrücklich vorausgesetzt (vgl. Definition 19.1). In der Definition 20.1 für das Riemann-Stieltjes-Integral wurde jedoch keine solche Annahme getroffen. Denn ist zum Beispiel der Integrator g konstant, dann existiert das Riemann-Stieltjes- Integral ∫ b a f (x) dg(x) für jede beliebige (auch unbeschränkte) reelle Funktion (siehe Beispiel 20.2b)). Eine analoge Aussage gilt, wenn g stückweise konstant ist. Ist dies jedoch nicht der Fall, dann kann man zeigen, dass aus der Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) die Beschränktheit des Integranden f folgt. Das folgende Beispiel zeigt, wie mit Hilfe der Definition 20.1 bzw. dem äquivalenten Kriterium (20.4) für einfache Integranden f und Integratoren g die Existenz des Riemann- Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) überprüft und – im Falle der Existenz – sein Wert berechnet werden kann: Beispiel 20.2 (Berechnung einfache Riemann- Stieltjes-Integrale) a) Die reelle Funktion g : [a, b] −→ R sei monoton wachsend und die reelle Funktion f : [a, b] −→ R konstant. Es gelte somit f (x) = c für alle x ∈ [a, b]. Dann ist f bezüglich g Riemann-Stieltjesintegrierbar und das Riemann-Stieltjes-Integral hat den Wert ∫ b a f (x) dg(x) = c (g(b)− g(a)) . (20.5) Denn für jede Zerlegung Zn des Intervalles [a, b] und Stützstellen (ξ1, . . . , ξn) erhält man RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 c (g(xi)− g(xi−1)) = c (g(xn)− g(x0)) = c (g(b)− g(a)) . Für alle Zerlegungen (Zn)n∈N mit lim n→∞F(Zn) = 0 gilt folglich lim n→∞RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = c (g(b)− g(a)) . b) Es sei f : [a, b] −→ R eine beliebige reelle Funktion und die reelle Funktion g : [a, b] −→ R sei konstant mit g(x) = c für alle x ∈ [a, b]. Dann ist f bezüglich g Riemann-Stieltjes-integrierbar und das Riemann- Stieltjes-Integral hat den Wert ∫ b a f (x) dg(x) = 0. Denn für jede Zerlegung Zn des Intervalles [a, b] und Stützstellen (ξ1, . . . , ξn) gilt RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi) (g(xi)− g(xi−1)) = n∑ i=1 f (ξi) (c − c) = 0. Folglich erhält man lim n→∞RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = 0 für alle Zerlegungen (Zn)n∈N mit lim n→∞F(Zn) = 0. c) Die reelle Funktion H : R −→ R, (20.6) x %→H(x − c) := { 0 für x≤c 1 für x>c O. Heaviside wird nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) als Heaviside-Funktion bezeichnet. Gilt a ≤ c < b und ist f : [a, b] −→ R eine an der Stelle x = c stetige reelle Funktion, dann ist f bezüglichH Riemann-Stieltjes-integrierbar und das Riemann-Stieltjes-Integral hat den Wert ∫ b a f (x) dH(x − c) = f (c). (20.7) Denn aufgrund der Stetigkeit von f an der Stelle x = c gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass 600 Kapitel 2020.2 Eigenschaften von Riemann-Stieltjes-Integralen |f (c)−f (x)| < ε für alle x ∈ [c− δ, c+ δ] ∩ [a, b] gilt. Ist nun Zn eine Zerlegung des Intervalles [a, b] mit der Eigenschaft F(Zn) < δ und sind (ξ1, . . . , ξn) beliebige Stützstellen, dann existiert genau ein i0 ∈ {1, . . . , n} mit c ∈ [xi0−1, xi0 ). Es folgt somit RSf ;H (Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi) (H(xi − c)−H(xi−1 − c))=f (ξi0 ). Da jedoch ξi0 ∈ [c− δ, c+ δ]∩ [a, b] gilt, impliziert dies ∣∣f (c)−RSf ;H (Zn; ξ1, . . . , ξn) ∣∣= ∣∣f (c)−f (ξi0 ) ∣∣<ε. Das heißt, f ist Riemann-Stieltjes-integrierbar und das Riemann-Stieltjes-Integral hat den Wert f (c) (vgl. (20.4)). Ist jedoch f an der Stelle x = c nicht stetig, dann existiert das Riemann-Stieltjes-Integral∫ b a f (x) dH(x − c) nicht. Die direkte Untersuchung einer reellen Funktion f auf Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit bezüglich eines Integrators g und die Berechnung des Wertes eines Riemann- Stieltjes-Integrals über Riemann-Stieltjes-Summen, wie im obigen Beispiel, ist analog zu Riemann-Integralen nur in den seltensten Fällen praktikabel. Die folgenden Abschnitte haben daher zum Ziel, effiziente Hilfsmittel zur Untersuchung und Berechnung von Riemann-Stieltjes-Integralen bereitzustellen. 20.2 Eigenschaften von Riemann- Stieltjes-Integralen Elementare Integrationsregeln bezüglich des Integranden Der folgende Satz fasst die wichtigsten elementaren Integrationsregeln des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) bezüglich des Integranden f zusammen: Satz 20.3 (Elementare Integrationsregeln bezüglich des Integranden) Die reellen Funktionen f1, f2 : [a, b] −→ R seien bezüglich der reellen Funktion g : [a, b] −→ R Riemann- Stieltjes-integrierbar und α, β ∈ R. Dann sind auch die reellen Funktionen αf1, f1 +f2 und αf1 +βf2 bezüglich g Riemann-Stieltjes-integrierbar und es gilt: a) b∫ a αf1(x) dg(x) = α b∫ a f1(x) dg(x) (Homogenität) b) b∫ a (f1(x)+ f2(x)) dg(x) = b∫ a f1(x) dg(x) + b∫ a f2(x) dg(x) (Additivität) c) b∫ a (αf1(x)+ βf1(x)) dg(x) = α b∫ a f1(x) dg(x) +β b∫ a f2(x) dg(x) (Linearität) Beweis: Die Aussagen lassen sich für eine beliebige Zerlegung Zn des Intervalles [a, b] und Stützstellen (ξ1, . . . , ξn) leicht für Riemann-Stieltjes-Summen nachweisen. Durch Grenzübergang folgt dann die Behauptung. Elementare Integrationsregeln bezüglich des Integrators Der nächste Satz ist eine Zusammenfassung der wichtigsten elementaren Integrationsregeln des Riemann-Stieltjes- Integrals ∫ b a f (x) dg(x) bezüglich des Integrators g: Satz 20.4 (Elementare Integrationsregeln bezüglich des Integrators) Die reelle Funktion f : [a, b] −→ R sei bezüglich der beiden reellen Funktionen g1, g2 : [a, b] −→ R Riemann-Stieltjes-integrierbar und α, β ∈ R. Dann ist f auch bezüglich der reellen Funktionen αg1, g1 + g2 und αg1 + βg2 Riemann-Stieltjes-integrierbar und es gilt: a) b∫ a f (x) d (αg1(x)) = α b∫ a f (x) dg1(x) (Homogenität) b) b∫ a f (x) d (g1(x)+ g2(x)) = b∫ a f (x) dg1(x) + b∫ a f (x) dg2(x) (Additivität) c) b∫ a f (x) d (αg1(x)+ βg2(x)) = α b∫ a f (x) dg1(x) +β b∫ a f (x) dg2(x) (Linearität) 601 Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral Beweis: Die Aussagen lassen sich für eine beliebige Zerlegung Zn des Intervalles [a, b] und Stützstellen (ξ1, . . . , ξn) leicht für Riemann-Stieltjes-Summen nachweisen. Durch Grenzübergang folgt dann die Behauptung. Beispiel 20.5 (Darstellung einer Summe als Riemann-Stieltjes-Integral) Eine endliche Summe n∑ i=1 αif (ci) mit einer an den Stellen a ≤ c1 < . . . < cn < b stetigen reellen Funktion f : [a, b] −→ R kann als Riemann- Stieltjes-Integral ∫ b a f (x) dg(x) bezüglich des Integrators g : [a, b] −→ R, x %→ g(x) = n∑ i=1 αiH(x − ci) dargestellt werden, wobei H die Heaviside-Funktion ist (vgl. (20.6)). Denn die Funktion f ist bezüglich der Heaviside-Funktion H Riemann-Stieltjes-integrierbar und für das Riemann-Stieltjes-Integral gilt ∫ b a f (x) dH(x − ci) = f (ci) (20.8) für alle i = 1, . . . , n (vgl. Beispiel 20.2c)). Mit Satz 20.4c) erhält man somit, dass f auch bezüglich des Integrators ∑n i=1 αiH(x− ci) Riemann-Stieltjes-integrierbar ist, und mit (20.8) folgt für den Wert des Riemann- Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) = n∑ i=1 αi ∫ b a f (x) dH(x − ci) = n∑ i=1 αif (ci) (20.9) (vgl. Abbildung 20.2, links). Zerlegung von Riemann-Stieltjes- Integralen über Teilintervallen Völlig analog zu Riemann-Integralen (vgl. Abschnitt 19.3) werden für Riemann-Stieltjes-Integrale bezüglich der Integrationsgrenzen die folgenden Vereinbarungen getroffen: a) Für zwei an der Stelle a ∈ R definierte Funktionen f und g vereinbart man ∫ a a f (x) dg(x) := 0. (20.10) b) Für eine bezüglich g : [a, b] −→ R Riemann-Stieltjesintegrierbare Funktion f : [a, b] −→ R definiert man ∫ a b f (x) dg(x) := − ∫ b a f (x) dg(x). (20.11) Der folgende Satz ist ein wichtiges Hilfsmittel für die Berechnung von Riemann-Stieltjes-Integralen. Er besagt, dass ein Riemann-Stieltjes-Integral in mehrere Riemann-Stieltjes- Integrale auf Teilintervallen additiv zerlegt werden kann: Satz 20.6 (Additivität bezüglich dem Integrationsintervall) Die reelle Funktion f : [a, b] −→ R sei bezüglich der reellen Funktion g : [a, b] −→ R Riemann-Stieltjesintegrierbar und a1, a2, a3 seien beliebige Werte aus [a, b] mit a1 ≤ a2 ≤ a3. Dann sind auch die Restriktionen f|[a1,a2], f|[a2,a3] und f|[a1,a3] von f bezüglich der Funktion g Riemann-Stieltjes-integrierbar und es gilt ∫ a3 a1 f (x) dg(x) = ∫ a2 a1 f (x) dg(x)+ ∫ a3 a2 f (x) dg(x). (20.12) Beweis: Siehe z. B. Heuser [25], Seite 492. Wie das Beispiel 20.7 zeigt, ist bei der Anwendung des Satzes 20.6 zu beachten, dass aus der Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit von f|[a1,a2] und f|[a2,a3] im Allgemeinen nicht die Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit von f|[a1,a3] folgt. Diese Beobachtung zeigt einen wichtigen Unterschied zwischen Riemann-Stieltjes-Integralen und Riemann-Integralen auf (vgl. Satz 19.10). Beispiel 20.7 (Riemann-Stieltjes-Integral über Teilintervallen) Betrachtet werden die beiden reellen Funktionen f : [−1, 1] −→ R, x %→ { 0 für x ∈ [−1, 0] 1 für x ∈ (0, 1] 602 Kapitel 2020.3 Reelle Funktionen von beschränkter Variation c1 c2 … cn l l l l l l l l ∑ i=1 n αi H(x − ci) 0 1 0 1 x2 x ∫0 1 x dx2 = 2 3 Abb. 20.2: Die reelle Funktion g : [a, b] −→ R, x %→ g(x) = n∑ i=1 αiH(x − ci ) (links) und graphische Veranschaulichung des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ 1 0 x dx 2 (rechts) und g : [−1, 1] −→ R, x %→ { 0 für x ∈ [−1, 0) 1 für x ∈ [0, 1] . Ist nun Zn = {x0, . . . , xn} eine beliebige Zerlegung des Intervalles [−1, 0] und Zm = {̃x0, . . . , x̃m} eine beliebige Zerlegung des Intervalles [0, 1], dann gilt für beliebige Zwischenstellen (ξ1, . . . , ξn) bzw. (̃ξ1, . . . , ξ̃n) RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi) (g(xi)− g(xi−1))=0 bzw. RSf ;g(Zm; ξ̃1, . . . , ξ̃n)= n∑ i=1 f (̃ξi) (g(̃xi)− g(̃xi−1))=0 (vgl. auch Beispiel 20.2a) und b)). Die beiden Riemann- Stieltjes-Integrale ∫ 0 −1 f (x) dg(x) und ∫ 1 0 f (x) dg(x) existieren folglich und ihr Wert ist jeweils gleich Null. Das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ 1 −1 f (x) dg(x) existiert jedoch nicht, da f und g an der Stelle x = 0 eine gemeinsame Unstetigkeitsstelle besitzen (siehe dazu Satz 20.20). 20.3 Reelle Funktionen von beschränkter Variation Wie das Beispiel 20.2 zeigt, ist der Nachweis der Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) bereits für sehr einfache Integranden f und Integratoren g relativ mühsam, wenn dazu nur die Definition 20.1 bzw. das äquivalente Kriterium (20.4) zur Verfügung steht. Es ist daher wichtig, einfache hinreichende Kriterien für die Existenz des Riemann- Stieltjes-Integrals zur Hand zu haben. Ein solches einfaches, aber dennoch relativ allgemeines hinreichendes Kriterium existiert für Integratoren g, die zur Klasse der sogenannten reellen Funktionen von beschränkter Variation gehören. Reelle Funktionen von beschränkter Variation sind wie folgt definiert: Definition 20.8 (Reelle Funktion von beschränkter Variation) Es seien g : [a, b] −→ R eine reelle Funktion undZn eine beliebige Zerlegung des Intervalles [a, b]. Dann heißt der Wert V(g, Zn) := n∑ i=1 |g(xi)− g(xi−1)| 603 Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral Variation von g auf dem Intervall [a, b] bezüglich der Zerlegung Zn, und das Supremum über alle möglichen Zerlegungen Zn von [a, b], d. h. der Wert Vba(g) := sup Zn V(g, Zn), wird als totale Variation von g auf [a, b] bezeichnet. Gilt Vba(g) < ∞, dann heißt die Funktion g von beschränkter Variation auf [a, b]. Eine reelle Funktion g von beschränkter Variation zeichnet sich somit dadurch aus, dass sie in gewisser Weise nicht beliebig stark oszilliert. Wie sich mit Satz 20.14 in Abschnitt 20.4 zeigen wird, hängt diese Eigenschaft sehr eng mit der Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) einer reellen Funktion f bezüglich des Integrators g zusammen. Eigenschaften von reellen Funktionen von beschränkter Variation Aus Definition 20.8 folgt unmittelbar, dass eine reelle Funktion f : [a, b] −→ R genau dann konstant ist, wenn sie von beschränkter Variation auf dem Intervall [a, b] ist und Vba(f ) = 0 gilt. Der folgende Satz fasst weitere wichtige Eigenschaften reeller Funktionen von beschränkter Variation zusammen: Satz 20.9 (Eigenschaften reeller Funktionen von beschränkter Variation) Es seien f, g : [a, b] −→ R zwei reelle Funktionen. Dann gilt: a) Ist f von beschränkter Variation auf [a, b], dann ist f beschränkt und es gilt |f (b)− f (a)| ≤ Vba(f ). b) Sind f und g von beschränkter Variation auf [a, b] und α, β ∈ R, dann sind auch die reellen Funktionen αf , f + g und fg von beschränkter Variation auf [a, b] und es gilt Vba(αf + βg) ≤ |α|Vba(f )+ |β|Vba(g). c) Ist f von beschränkter Variation auf [a, b], dann ist f auch auf jedem Teilintervall [c, d] ⊆ [a, b] von beschränkter Variation und es gilt Vdc (f ) ≤ Vba(f ). d) Es sei c ∈ (a, b) und die Funktion f von beschränkter Variation auf [a, b]. Dann ist f auch auf den beiden Teilintervallen [a, c] und [c, b] von beschränkter Variation und es gilt Vba(f ) = Vca(f )+ Vbc (f ). e) Ist f von beschränkter Variation auf [a, b], dann sind die beiden auf [a, b] definierten reellen Funktionen V(x) := Vxa(f ) und V(x)−f (x)monoton wachsend. Beweis: Zu a) und b): Siehe z. B. Walter [68], Seite 176. Zu c): Folgt unmittelbar aus der Definition 20.8. Zu d) und e): Siehe z. B. Heuser [25], Seiten 496–497. Unter Verwendung des Begriffes der totalen Variation lässt sich die folgende Ungleichung beweisen, die aufgrund ihrer Bedeutung als Fundamentalungleichung für Riemann- Stieltjes-Integrale bezeichnet wird: Satz 20.10 (Fundamentalungleichung für Riemann- Stieltjes-Integrale) Es seien f : [a, b] −→ R eine beschränkte reelle Funktion, g : [a, b] −→ R eine reelle Funktion von beschränkter Variation auf [a, b] und f eine bezüglich g Riemann- Stieltjes-integrierbare Funktion. Dann gilt ∫ b a f (x) dg(x) ≤ sup x∈[a,b] |f (x)| Vba(g). Beweis: Für jede Zerlegung Zn von [a, b] und beliebige Stützstellen (ξ1, . . . , ξn) gilt |RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn)| ≤ n∑ i=1 |f (ξi)| |g(xi)− g(xi−1)| ≤ sup x∈[a,b] |f (x)| n∑ i=1 |g(xi)− g(xi−1)| ≤ sup x∈[a,b] |f (x)| Vba(g). Folglich gilt auch ∫ b a f (x) dg(x) ≤ sup x∈[a,b] |f (x)| Vba(g). Der folgende Satz besagt, dass stückweise konstante, monotone, Lipschitz-stetige und auch differenzierbare Funktionen mit beschränkter erster Ableitung zur Klasse der reellen Funktionen von beschränkter Variation gehören: 604 Kapitel 2020.3 Reelle Funktionen von beschränkter Variation Satz 20.11 (Beschränkte Variation wichtiger Funktionen) Es sei f : [a, b] −→ R eine reelle Funktion. Dann gilt: a) Ist f eine stückweise konstante Funktion (Treppenfunktion), d. h. gibt es eine Zerlegung Zn = {x0, . . . , xn} von [a, b] mit f (x) = ci für alle x ∈ (xi−1, xi) und i = 1, . . . , n, dann ist f von beschränkter Variation auf [a, b]. b) Ist f monoton, dann ist f von beschränkter Variation auf [a, b] und es gilt Vba(f ) = |f (b)− f (a)|. c) Ist f Lipschitz-stetig, d. h. gibt es ein L ≥ 0 mit |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| für alle x, y ∈ [a, b], dann ist f von beschränkter Variation auf [a, b] und es gilt Vba(f ) ≤ L(b − a). d) Ist f differenzierbar und f ′ beschränkt, dann ist f von beschränkter Variation auf [a, b] und es gilt Vba(f ) ≤ sup x∈[a,b] |f ′(x)|(b − a). Beweis: Zu a): Es sei M := max{|c1|, . . . , |cn|, |f (x0)|, . . . , |f (xn)|}. Dann gilt für jede Zerlegung Zm = {y0, . . . , ym} des Intervalles [a, b] V(f, Zm) = m∑ i=1 |f (yi)− f (yi−1)| ≤ 2Mn und damit auch Vba(f ) < ∞. Die Funktion f ist somit von beschränkter Variation auf [a, b]. Zu b): Es sei Zn = {x0, . . . , xn} eine beliebige Zerlegung des Intervalles [a, b]. Dann folgt aus der Monotonie von f , dass alle Differenzen f (xi)−f (xi−1) dasselbe Vorzeichen haben. Zum Beispiel gilt für eine monoton wachsende Funktion f (xi)− f (xi−1) ≥ 0 für alle i = 1, . . . , n und damit V(f, Zn) = n∑ i=1 |f (xi)− f (xi−1)| = n∑ i=1 (f (xi)− f (xi−1)) = f (xn)− f (x0) = f (b)− f (a). Für eine monoton fallende Funktion f gilt dagegen f (xi) − f (xi−1) ≤ 0 für alle i = 1, . . . , n und man erhält völlig analog V(f, Zn) = n∑ i=1 |f (xi)− f (xi−1)| = n∑ i=1 − (f (xi)− f (xi−1)) = −(f (b)− f (a)). Es gilt daher V(f, Zn) = |f (b)− f (a)| für jede Zerlegung Zn von [a, b] und damit auch Vba(f ) = |f (b)−f (a)|. Folglich gilt auch Vba(f ) < ∞ und f ist somit von beschränkter Variation auf [a, b]. Zu c): Für eine beliebige Zerlegung Zn = {x0, . . . , xn} des Intervalles [a, b] folgt aus |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| für alle x, y ∈ [a, b] und ein L ≥ 0 V(f, Zn)= n∑ i=1 |f (xi)−f (xi−1)|≤L n∑ i=1 |xi−xi−1|=L(b−a) und damit auch Vba(f ) < ∞. Die Funktion f ist also von beschränkter Variation auf [a, b]. Zu d): Es sei Zn = {x0, . . . , xn} eine beliebige Zerlegung des Intervalles [a, b]. Dann folgt mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (vgl. Satz 16.28), dass es für alle i = 1, . . . , n ein xi ∈ [xi−1, xi ] mit f (xi)− f (xi−1) = f ′(xi)(xi − xi−1) gibt. Daraus erhält man jedoch V(f, Zn) = n∑ i=1 |f (xi)− f (xi−1)| = n∑ i=1 |f ′(xi)|(xi − xi−1) ≤ sup x∈[a,b] |f ′(x)| n∑ i=1 (xi−xi−1)= sup x∈[a,b] |f ′(x)|(b−a). Da diese Ungleichung für jede ZerlegungZn von [a, b] gilt, folgt Vba(f ) ≤ supx∈[a,b] |f ′(x)|(b−a) und damit insbesondere auch Vba(f ) < ∞. Der Satz 20.11 liefert mit einem Schlag eine ganze Reihe reeller Funktionen mit beschränkter Variation. Er besagt insbesondere, dass die meisten in der wirtschaftswissenschaftlichen Praxis auftretenden reellen Funktionen von beschränkter Variation sind. Trotzdem ist jedoch Vorsicht geboten. Denn das folgende Beispiel zeigt, dass selbst eine stetige reelle Funktion nicht von beschränkter Variation sein muss: Beispiel 20.12 (Stetige Funktion von nicht beschränkter Variation) Die reelle Funktion f : [0, 1]−→R, x %→f (x) := { 0 für x=0 x sin ( 1 x ) für x∈(0, 1] ist zwar stetig (vgl. Beispiel 15.10b)), aber sie ist nicht von beschränkter Variation auf dem Intervall [0, 1]. Denn für die Zerlegung Zn = {x0, . . . , xn} mit x0 = 0, xn = 1 605 Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral und xi = 2(2i+1)π für i = 1, . . . , n− 1 folgt V(f, Zn) = n∑ k=1 |f (xk)− f (xk−1)| = n∑ k=1 ∣∣∣∣ 2 (2k + 1)π sin ( (2k + 1)π 2 ) − 2 (2k − 1)π sin ( (2k − 1)π 2 )∣∣∣∣ = 2 π n∑ k=1 ∣∣∣∣ (−1)k 2k + 1 − (−1)k−1 2k − 1 ∣∣∣∣ = 2 π n∑ k=1 4k 4k2 − 1 ≥ 2 π n∑ k=1 1 k . Da jedoch die harmonische Reihe divergent ist (vgl. Beispiel 12.10b)), folgt daraus lim n→∞ n∑ k=1 |f (xk)− f (xk−1)| = ∞, also V10(f ) = ∞. Folglich ist die Funktion f nicht von beschränkter Variation und weist damit ein unbegrenztes Oszillationsverhalten auf (vgl. Abbildung 15.7, rechts). Darstellungssatz von Jordan C. Jordan Der folgende sogenannte Darstellungssatz von Jordan ist nach dem französischen Mathematiker Camille Jordan (1838–1922) benannt. Er gibt eine in keiner Weise offensichtliche Auskunft über die Struktur von reellen Funktionen mit beschränkter Variation. Er besagt nämlich, dass es sich dabei um genau diejenigen reellen Funktionen handelt, die sich als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellen lassen: Satz 20.13 (Darstellungssatz von Jordan) Eine reelle Funktion f : [a, b] −→ R ist genau dann von beschränkter Variation auf dem Intervall [a, b], wenn sie als Differenz g−h zweier monoton wachsender Funktionen g : [a,b]−→R und h : [a,b]−→R darstellbar ist. Beweis: Die reelle Funktion f sei von beschränkter Variation auf dem Intervall [a, b]. Offensichtlich gilt dann f (x) = Vxa(f ) − ( Vxa(f )− f (x) ) für alle x ∈ [a, b]. Gemäß Satz 20.9e) sind jedoch Vxa(f ) und V x a(f )−f (x) monoton wachsende Funktionen. Die Funktion f ist somit als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen darstellbar. Gilt umgekehrt f (x) = g(x) − h(x) für alle x ∈ [a, b] und zwei monoton wachsende Funktionen g und h, dann folgt mit Satz 20.11b), dass g und h von beschränkter Variation auf [a, b] sind. Der Satz 20.9b) impliziert somit, dass auch die Funktion f = g − h von beschränkter Variation auf [a, b] ist. Für eine direkte Anwendung des Darstellungssatzes von Jordan siehe Beispiel 20.23. Der Satz 20.13 ist auch richtig, wenn man monoton wachsend durch monoton fallend ersetzt. Denn gilt f = g − h mit monoton wachsenden Funktionen g und h, dann sind die Funktionen (−h) und (−g)monoton fallend und f = (−h)− (−g). Das heißt, die Funktion f lässt sich in diesem Fall auch als Differenz monoton fallender Funktionen darstellen. Aus Satz 20.13 und Satz 19.4 folgt ferner, dass eine reelle Funktion f von beschränkter Variation als Differenz zweier monotoner reeller Funktionen stets Riemann-integrierbar ist. 20.4 Existenzresultate für Riemann- Stieltjes-Integrale Existenzsätze für Riemann-Stieltjes- Integrale Die große Bedeutung, die reelle Funktionen von beschränkter Variation für die Theorie der Riemann-Stieltjes-Integrale besitzen, wird durch den folgenden fundamentalen Satz deutlich: Satz 20.14 (Existenzsatz I für Riemann-Stieltjes- Integrale) Eine stetige reelle Funktion f : [a, b] −→ R ist bezüglich einer reellen Funktion g : [a, b] −→ R von beschränkter Variation auf [a, b] Riemann-Stieltjes-integrierbar, d. h. das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ b a f (x) dg(x) existiert. Beweis: Es sei zunächst angenommen, dass der Integrator g monoton wachsend ist. Dabei kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit g(a) < g(b) angenommen werden. Denn aus g(a) = g(b) würde g(x) = c für ein geeignetes c ∈ R und 606 Kapitel 2020.4 Existenzresultate für Riemann-Stieltjes-Integrale alle x ∈ [a, b] folgen. Gemäß Beispiel 20.2b) ist dann aber f bezüglich g Riemann-Stieltjes-integrierbar und das Riemann- Stieltjes-Integral hat den Wert ∫ b a f (x) dg(x) = 0. Im Folgenden sei Zn := {x0, . . . , xn} eine Zerlegung des Intervalles [a, b] mit Stützstellen ξi ∈ [xi−1, xi ] sowie mi := infx∈[xi−1,xi ] f (x) und Mi := supx∈[xi−1,xi ] f (x) für alle i = 1, . . . , n. Ferner seien Uf ;g(Zn) := n∑ i=1 mi(g(xi)− g(xi−1)) und Of ;g(Zn) := n∑ i=1 Mi(g(xi)− g(xi−1)). Mit S := supZn Uf ;g(Zn) gilt dann, wie man leicht einsieht, Uf ;g(Zn) ≤ S ≤ Of ;g(Zn) für alle Zerlegungen Zn von [a, b]. Aus mi ≤ f (ξi) ≤ Mi und g(xi)− g(xi−1) ≥ 0 folgt weiter mi(g(xi)− g(xi−1)) ≤ f (ξi)(g(xi)− g(xi−1)) ≤ Mi(g(xi)− g(xi−1)) für alle i = 1, . . . , n und damit insbesondere auch Uf ;g(Zn) ≤ RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) ≤ Of ;g(Zn). Daraus erhält man Uf ;g(Zn)−Of ;g(Zn) ≤ S −Of ;g(Zn) ≤ S − RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) ≤ Of ;g(Zn)− RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) ≤ Of ;g(Zn)− Uf ;g(Zn). Es gilt somit ∣ ∣S−RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) ∣ ∣≤Of ;g(Zn)− Uf ;g(Zn) (20.13) = n∑ i=1 (Mi −mi)(g(xi)−g(xi−1)). Es sei nun ε > 0 beliebig gewählt. Da f als stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] gleichmäßig stetig ist (vgl. Satz 15.35), gibt es ein δ > 0, so dass |f (x)−f (y)| < ε g(b)−g(a) für alle x, y ∈ [a, b] mit |x − y| < δ gilt. Folglich erhält man Mi −mi < εg(b)−g(a) für alle i = 1, . . . , n und jede Zerlegung Zn von [a, b] mit einer Feinheit F(Zn) < δ. Zusammen mit (20.13) folgt daraus ∣∣S − RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) ∣∣ ≤ ε g(b)− g(a) n∑ i=1 (g(xi)− g(xi−1)) = ε. Also gilt (20.4) und damit ist gezeigt, dass f bezüglich g Riemann-Stieltjes-integrierbar ist. Ist nun g eine beliebige reelle Funktion von beschränkter Variation auf [a, b], dann lässt sie sich gemäß dem Darstellungssatz von Jordan (vgl. Satz 20.13) als Differenz g = g1 − g2 zweier monoton wachsender reeller Funktionen g1 und g2 darstellen. Nach dem soeben Bewiesenen existieren jedoch die Riemann- Stieltjes-Integrale ∫ b a f (x) dg1(x) und ∫ b a f (x) dg2(x), und mit Satz 20.4c) folgt somit schließlich, dass auch das Riemann- Stieltjes-Integral ∫ b a f (x) dg(x) = ∫ b a f (x) dg1(x)− ∫ b a f (x) dg2(x) existiert, also f bezüglich g Riemann-Stieltjes-integrierbar ist. Beispiel 20.15 (Darstellung einer Reihe als Riemann-Stieltjes-Integral) Eine Reihe der Form ∞∑ i=1 αif (ci), wobei ∞∑ i=1 αi eine absolut konvergente Reihe ist und a = c0 < c1 < . . . < b gilt, kann als Riemann-Stieltjes- Integral ∫ b a f (x) dg(x) einer stetigen reellen Funktion f : [a, b] −→ R bezüglich des Integrators g : [a, b] −→ R, x %→g(x) = ∞∑ i=1 αiH(x − ci) = ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎩ 0 für a ≤ x ≤ c1 n∑ i=1 αi für cn < x ≤ cn+1 ∞∑ i=1 αi für lim n→∞ cn ≤ x ≤ b dargestellt werden. Denn ist Zm = {x0, . . . , xm} eine Zerlegung von [a, b], welche in jedem der Teilintervalle (c1, c2], (c2, c3], . . . , (cn−1, cn] mindestens eine Zerlegungsstelle xi und im letzten dieser Teilintervalle die Zerlegungsstelle xm−1 hat, dann gilt V(g;Zm) = m∑ i=1 |g(xi)− g(xi−1)| = |α1| + . . .+ |αn−1| + ∣ ∣∣ ∣∣ ∞∑ i=n αi ∣∣ ∣∣ ∣ . Die Funktion g ist somit genau dann von beschränkter Variation, d. h. Vba(g) < ∞, wenn ∑∞ i=1 αi eine absolut 607 Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral konvergente Reihe ist. In diesem Fall gilt Vba(g) = ∞∑ i=1 |αi | und gemäß Satz 20.14 ist die Funktion f Riemann-Stieltjes-integrierbar. Wird nun die Riemann-Stieltjes-Summe von f bezüglich g zur Zerlegung Zn = {x0, . . . , xn} von [a, b] mit xi := ci für i = 0, . . . , n − 1 und den Zwischenstellen ξi := ci für i = 1, . . . , n betrachtet, dann erhält man RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi) (g(xi)− g(xi−1)) = n∑ i=1 f (ci)αi . Für n → ∞ erhält man somit ∞∑ i=1 αif (ci) = ∫ b a f (x) dg(x). Aus Satz 20.14 ergibt sich für Riemann-Stieltjes-Integrale mit monotonem Integrator die folgende wichtige Folgerung: Folgerung 20.16 (Riemann-Stieltjes-Integral mit monotonem Integrator) Eine stetige reelle Funktion f : [a, b] −→ R ist bezüglich einer monotonen reellen Funktion g : [a, b] −→ R stets Riemann-Stieltjes-integrierbar. Beweis: Gemäß Satz 20.11b) ist g von beschränkter Variation auf [a, b]. Mit Satz 20.14 folgt daher, dass f bezüglich g Riemann-Stieltjes-integrierbar ist. In einigen Lehrbüchern wird fälschlicherweise behauptet, dass die beschränkte Variation des Integrators g eine notwendige Bedingung für die Existenz des Riemann-Stieltjes- Integrals ∫ b a f (x) dg(x) sei. Sie ist jedoch nur eine hinreichende Bedingung und es existieren schwächere Bedingungen für die Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals (vgl. z. B. Young [74]). Aufgrund des Satzes 20.14 und der Folgerung 20.16 ist bereits für sehr viele Integranden f und Integratoren g die Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ b a f (x) dg(x) sichergestellt. Für diese Riemann-Stieltjes-Integrale muss dann „nur“ noch ihr Wert berechnet werden. Analog zu Beispiel 20.2 zeigt aber auch das folgende Beispiel, dass dies ohne weitere Hilfsmittel selbst bei relativ einfachen Integranden f und Integratoren g in der Regel nicht ohne einen gewissen Aufwand möglich ist. In Abschnitt 20.5 werden deshalb mit dem Satz zur Produktintegration, dem Satz zur Substitutionsmethode und dem Transformationssatz die drei wichtigsten Hilfsmittel zur Berechnung von Riemann-Stieltjes- Integralen bereitgestellt. Beispiel 20.17 (Elementare Berechnung eines Riemann-Stieltjes-Integrals) Betrachtet wird das Riemann-Stieltjes-Integral mit dem Integranden f : [0, 1] −→ R, x %→ x und dem Integrator g : [0, 1] −→ R, x %→ x2. Da f stetig und g auf dem Intervall [0, 1]monoton wachsend ist, folgt mit Folgerung 20.16, dass das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ b a f (x) dg(x) existiert. Zur Berechnung des Wertes von ∫ b a f (x) dg(x) wird die äquidistante Zerlegung Zn := {x0, . . . , xn} des Intervalles [0, 1] mit xi = in für i = 0, . . . , n in die n gleichlangen Teilintervalle [ 0, 1 n ] , [ 1 n , 2 n ] , . . . , [ (n− 1) n , 1 ] der Länge h := 1 n verwendet. Durch {ξ1, . . . , ξn} mit ξi ∈ [ i−1 n , i n ] seien ferner beliebige Stützstellen gegeben. Für die zugehörige Riemann-Stieltjes-Summe von f bezüglich g RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn)= n∑ i=1 f (ξi) ( g ( i n ) −g ( i−1 n )) gilt wegen i−1 n ≤ f (ξi) ≤ in für i = 1, . . . , n: n∑ i=1 i − 1 n (( i n )2 − ( i − 1 n )2) ≤RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn)≤ n∑ i=1 i n (( i n )2 − ( i−1 n )2) . Durch eine kurze Umformung erhält man daraus weiter 2 n∑ i=1 i2 n3 − 3 n∑ i=1 i n3 + 1 n2 ≤ RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) ≤ 2 n∑ i=1 i2 n3 − n∑ i=1 i n3 . 608 Kapitel 2020.4 Existenzresultate für Riemann-Stieltjes-Integrale Mit den Summenformeln (1.20) und (19.12) liefert dies schließlich 2n3+3n2+n 3n3 − 3(n+1) 2n2 + 1 n2 ≤ RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) ≤ 2n 3+3n2+n 3n3 − n+1 2n2 . Offensichtlich konvergieren die linke und die rechte Seite dieser Doppelungleichung für n → ∞ gegen 23 . Dies bedeutet jedoch lim n→∞RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = 2 3 . Das Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich g hat somit den Wert ∫ 1 0 x dx2 = 2 3 . Für das bestimmte Riemann-Integral von f gilt dagegen∫ 1 0 x dx = 12 < 23 . Die unterschiedlichen Werte sind eine Folge der Tatsache, dass beim Riemann-Stieltjes-Integral∫ 1 0 x dx 2 die Teilintervalle [ i−1 n , i n ] nahe der oberen Integrationsgrenze 1 durch den Integrator g(x) = x2 ein höheres Gewicht erhalten als die Teilintervalle nahe der unteren Integrationsgrenze 0. Beim bestimmten Riemann- Integral ∫ 1 0 x dx erhalten dagegen alle Teilintervalle dasselbe Gewicht. Der Wert des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ 1 0 x dx 2 entspricht dem Inhalt der Fläche zwischen der Kurve {(x2, x) : x ∈ [0, 1]} und der x2-Achse im x2-x–Koordinatensystem. Da es sich bei der Kurve {(x2, x) : x∈[0, 1]} um den Graphen der Wurzelfunktion √ x im Intervall [0, 1] handelt, entspricht dieser Flächeninhalt dem Wert des bestimmten Riemann-Integrals ∫ 1 0 √ x dx = 2 3 x 3 2 ∣∣ ∣∣ 1 0 = 2 3 (vgl. Abbildung 20.2, rechts). Mit Satz 20.14 erhält man ferner, dass das Riemann-Stieltjes- Integral bezüglich einer stückweise konstanten Funktion als Integrator stets existiert und sich sein Wert sehr leicht berechnen lässt: Folgerung 20.18 (Riemann-Stieltjes-Integral für Treppenfunktionen) Es seien f : [a, b] −→ R eine stetige reelle Funktion und g : [a, b] −→ R eine stückweise konstante Funktion (Treppenfunktion) mit Sprüngen der Höhe α1, . . . , αn ∈ R an den Stellen a ≤ c1 < . . . < cn < b. Dann existiert das Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich g und sein Wert ist gegeben durch ∫ b a f (x) dg(x) = n∑ i=1 αif (ci). Beweis: Eine stückweise konstante Funktion g : [a, b] −→ R ist gemäß Satz 20.11a) von beschränkter Variation auf [a, b]. Mit Satz 20.14 folgt somit, dass das Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich g existiert. Ferner besitzt die reelle Funktion g als stückweise konstante Funktion die Darstellung g : [a, b] −→ R, x %→ g(x) = n∑ i=1 αiH(x − ci), wobei H die Heaviside-Funktion (20.6) ist. Mit (20.9) erhält man somit für den Wert des Riemann-Stieltjes-Integrals von f bezüglich g ∫ b a f (x) dg(x) = n∑ i=1 αif (ci). Dieses Ergebnis wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik zur Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz sogenannter diskreter Verteilungsfunktionen verwendet (vgl. hierzu Beispiel 20.29). Beispiel 20.19 (Berechnung eines Riemann- Stieltjes-Integrals) Zu berechnen sei das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ 10 0 x d(x − .x/), wobei f : R −→ R, x %→ f (x) = .x/ die Entier- Funktion ist, die einer reellen Zahl x ∈ R die größte ganze Zahl k zuordnet, die kleiner oder gleich x ist. Sie ist somit eine stückweise konstante Funktion mit Sprüngen der Höhe 1 an den Stellen k ∈ Z (siehe Beispiel 13.51a) und Abbildung 13.28, links) und die Zahl x − .x/ gibt 609 Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral den Nachkommawert der reellen Zahl x an. Für x = 7,1389 gilt zum Beispiel x − .x/ = 0,1389. Mit Satz 20.4c) und Folgerung 20.18 erhält man für den Wert des Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ 10 0 x d(x − .x/) = ∫ 10 0 x dx − ∫ 10 0 x d(.x/) = 1 2 x2 ∣∣∣∣ 10 0 − 10∑ i=1 i = 50 − 55 = −5. Notwendige Bedingung für die Existenz von Riemann-Stieltjes-Integralen Während Satz 20.14 und die sich daraus ergebenden Folgerungen 20.16 und 20.18 hinreichende Bedingungen für die Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals darstellen, liefert der folgende Satz eine notwendige Bedingung. Er besagt, dass es für die Existenz des Riemann-Stieltjes-Integrals notwendig ist, dass Integrand und Integrator keine gemeinsame Unstetigkeitsstelle besitzt. Satz 20.20 (Notwendige Bedingung für Riemann- Stieltjes-Integrale) Es seien f, g : [a, b]→R zwei reelle Funktionen, die eine gemeinsame Unstetigkeitsstelle c∈[a, b] besitzen. Dann ist f bezüglich g nicht Riemann-Stieltjes-integrierbar. Beweis: Die beiden Funktionen f und g seien an der Stelle c∈[a, b] unstetig und Zn={x0, . . . , xn} sei eine beliebige Zerlegung des Intervalles [a, b] mit c∈[xi−1, xi ] für ein bestimmtes i∈{1, . . . , n}. Ferner seien durchRSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξ ′i , . . . , ξn) und RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξ ′′i , . . . , ξn) zwei Riemann-Stieltjes- Summen bezüglich der Zerlegung Zn gegeben, die sich lediglich in der i-ten Stützstelle unterscheiden. Für die Differenz der beiden Riemann-Stieltjes-Summen gilt dann ∣∣RSf ;g(Zn;ξ1, . . . ,ξ ′i , . . . , ξn)−RSf ;g(Zn;ξ1, . . . ,ξ ′′i , . . . , ξn) ∣∣ = |f (ξ ′i )− f (ξ ′′i )||g(xi)− g(xi−1)| mit ξ ′i , ξ ′′i ∈ [xi−1, xi ] und ξ ′i = ξ ′′i . Aufgrund der Unstetigkeit von f und g an der Stelle c können jedoch zwei Werte ε1, ε2 > 0 gefunden werden, so dass für eine hinreichend feine Zerlegung Zn |f (ξ ′′i )− f (ξ ′i )| > ε1 bzw. |g(xi)− g(xi−1)| > ε2 gilt. Für ein 0 < ε < ε1ε2 gilt somit ∣ ∣RSf ;g(Zn;ξ1, . . . ,ξ ′i , . . . ,ξn)−RSf ;g(Zn;ξ1, . . . ,ξ ′′i , . . . ,ξn) ∣ ∣ > ε. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Definition 20.1. Folglich ist f bezüglich g nicht Riemann-Stieltjes-integrierbar. 20.5 Berechnung von Riemann- Stieltjes-Integralen In diesem Abschnitt werden mit der partiellen Integration, der Substitutionsmethode und dem Transformationssatz drei wichtige Hilfsmittel zur Berechnung von Riemann-Stieltjes- Integralen bereitgestellt. Methode der partiellen Integration Der folgende Satz besagt, dass aus der Existenz von∫ b a f (x) dg(x) stets auch auf die Existenz des „umgedrehten“ Riemann-Stieltjes-Integrals ∫ b a g(x) df (x) geschlossen werden kann. Darüber hinaus gibt er auch Auskunft darüber, in welcher Beziehung die Werte dieser beiden Integrale zueinander stehen. Er ist damit das Analogon zu Satz 19.28 für Riemann-Integrale, und die Berechnung von Riemann- Stieltjes-Integralen mit Satz 20.21 wird deshalb ebenfalls als Methode der partiellen Integration oder Produktintegration bezeichnet. Satz 20.21 (Partielle Integration) Ist die reelle Funktion f : [a, b] −→ R bezüglich g : [a, b] −→ R Riemann-Stieltjes-integrierbar, dann ist umgekehrt die Funktion g bezüglich der Funktion f Riemann-Stieltjes-integrierbar und es gilt ∫ b a f (x) dg(x)+ ∫ b a g(x) df (x)= f (x)g(x) ∣ ∣∣ b a = f (b)g(b)−f (a)g(a). Beweis: Wie man leicht zeigen kann, gilt die Gleichung n∑ i=1 g(ξi) (f (xi)− f (xi−1)) + n∑ i=1 ( f (xi−1) (g(ξi)− g(xi−1))+ f (xi) (g(xi)− g(ξi)) ) = f (b)g(b)− f (a)g(a) (20.14) 610 Kapitel 2020.5 Berechnung von Riemann-Stieltjes-Integralen für beliebige a = x0 < x1 < . . . < xn = b und ξi ∈ [xi−1, xi ] mit i = 1, . . . , n. Da nach Voraussetzung das Riemann-Stieltjes- Integral ∫ b a f (x) dg(x) existiert, gibt es zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass ∣ ∣ ∣ ∣ ∫ b a f (x) dg(x)− RSf ;g(Z; ξ1, . . . , ξn) ∣ ∣ ∣ ∣ < ε für alle Zerlegungen Z von [a, b] mit F(Z) < δ gilt. Die erste Summe in (20.14) ist offensichtlich gleich der Riemann-Stieltjes-Summe RSg;f (Z; ξ1, . . . , ξn). Die zweite Summe in (20.14) ist dagegen eine Riemann-Stieltjes-Summe RSf ;g(Z∗; ξ∗1 , . . . , ξ∗m), wobei die Zerlegung Z∗ alle xi und alle ξi als Zerlegungsstellen enthält und ξ∗i jeweils der linke oder rechte Endpunkt des betrachteten Teilintervalles ist. Falls ξi = xi−1 oder ξi = xi gilt, ist ξi keine neue Zerlegungsstelle in Z∗ und der betreffende Summand ist gleich 0. Aus F(Z) < δ folgt F(Z∗) < δ und damit insbesondere auch ∣ ∣ ∣ ∣ ∫ b a f (x) dg(x)− RSf ;g(Z∗; ξ∗1 , . . . , ξ∗n ) ∣ ∣ ∣ ∣ < ε. Zusammen mit (20.14) ergibt dies ∣ ∣ ∣ ∣RSg;f (Z; ξ1, . . . , ξn)− (f (b)g(b)− f (a)g(a)) + ∫ b a f (x) dg(x) ∣ ∣ ∣∣ < ε. Dies bedeutet jedoch, dass das Riemann-Stieltjes-Integral∫ b a g(x) df (x) existiert und den Wert f (b)g(b)− f (a)g(a)− ∫ b a f (x) dg(x) besitzt. Das folgende Resultat ist eine unmittelbare Folgerung aus Satz 20.14 und Satz 20.21. Es liefert in gewisser Weise eine zu Satz 20.14 umgekehrte Aussage: Folgerung 20.22 (Existenzsatz II für Riemann- Stieltjes-Integrale) Ist die reelle Funktion f : [a, b] −→ R von beschränkter Variation auf [a, b] und die reelle Funktion g : [a, b] −→R stetig, dann ist f bezüglich g Riemann-Stieltjesintegrierbar. Beweis: Gemäß Satz 20.14 existiert das Riemann-Stieltjes- Integral von g bezüglich f . Mit Satz 20.21 folgt somit, dass auch das Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich g existiert. Das folgende Beispiel 20.23 zeigt, wie mittels partieller Integration Sprungstellen des Integrators berücksichtigt werden können: Beispiel 20.23 (Partielle Integration) Betrachtet wird ∫ 3 −1 f (x) dg(x) mit dem stetigen Integranden f : [−1, 3] −→ R, x %→ f (x) = x und dem bis auf die beiden Sprungstellen c1 = 0 und c2 = 2 differenzierbaren Integrator g : [−1, 3]→R, x %→g(x)= ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ex für x ∈ [−1, 0) 2 für x ∈ [0, 2) 1−x2 für x ∈ [2, 3] . Da die Funktion g als Differenz der beiden monoton wachsenden reellen Funktionen g1(x) = { ex für x ∈ [−1, 0) 2 für x ∈ [0, 3] und g2(x) = { 0 für x ∈ [−1, 2) x2 + 1 für x ∈ [2, 3] dargestellt werden kann, folgt mit Satz 20.13 (Darstellungssatz von Jordan), dass die Funktion g von beschränkter Variation auf [−1, 3] ist. Mit Satz 20.14 folgt somit, dass f bezüglich g Riemann-Stieltjes-integrierbar ist und durch partielle Integration (vgl. Satz 20.21) erhält man den Wert ∫ 3 −1 f (x) dg(x) = f (x)g(x) ∣ ∣∣ 3 −1 − ∫ 3 −1 g(x) dx = 3 · (−8)+ e−1 − ∫ 0 −1 ex dx − ∫ 2 0 2 dx − ∫ 3 2 (1 − x2) dx = 2e−1 − 71 3 . Für eine alternative Möglichkeit zur Berechnung von∫ 3 −1 f (x) dg(x) siehe Beispiel 20.28. Substitutionsmethode Ein weiteres wichtiges Hilfsmittel für die Berechnung von Riemann-Stieltjes-Integralen ist die Substitutionsmethode: Satz 20.24 (Substitutionsmethode) Es seien f : [a, b] −→ R eine stetige, g : [a, b] −→ R eine monoton wachsende und ϕ : [α, β] −→ [a, b] eine 611 Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral streng monoton wachsende stetige Funktion mit ϕ(α) = a und ϕ(β) = b. Dann gilt ∫ b a f (x) dg(x) = ∫ β α f (ϕ(t)) dg(ϕ(t)). (20.15) Beweis: Die Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit der Funktion f bezüglich g und der Funktion f ◦ ϕ bezüglich g ◦ ϕ ergibt sich aus Folgerung 20.16 und der Tatsache, dass die Komposition stetiger reeller Funktionen wieder stetig und die Komposition monotoner reeller Funktionen wieder monoton ist (vgl. Satz 15.14 und Satz 13.8a)). Jeder Zerlegung Zn = {x0, . . . , xn} von [a, b] entspricht daher genau eine Zerlegung Z̃n = {t0, . . . , tn} von [α, β] und die Werte von f und g auf [xi−1, xi ] stimmen mit den Werten von f ◦ ϕ bzw. g ◦ ϕ auf [ti−1, ti ] überein. Es gilt somit RSf ;g(Zn;ξ1, . . . , ξn)=RSf ◦ϕ;g◦ϕ(Z̃n;ϕ−1(ξ1), . . . , ϕ−1(ξn)). Daraus folgt (20.15). Von besonderer Bedeutung ist der Spezialfall g(x) = x für alle x ∈ [a, b]. Aus (20.15) folgt dann unmittelbar ∫ b a f (x) dx = ∫ β α f (ϕ(t)) dϕ(t). Diese Formel ist eine andere Variante der Substitutionsregel (19.46) für Riemann-Integrale. Transformation in ein Riemann-Integral Dieser Abschnitt geht der Frage nach, wie und unter welchen Bedingungen ein Riemann-Stieltjes-Integral ∫ b a f (x) dg(x) auf ein gewöhnliches Riemann-Integral zurückgeführt werden kann. Der folgende Transformationssatz besagt, dass dies im Falle eines Riemann-integrierbaren Integranden f und eines stetig differenzierbaren Integrators g auf einfache Weise möglich ist. In Kombination mit dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für Riemann- Integrale liefert er ein nützliches Hilfsmittel zur expliziten Berechnung von vielen Riemann-Stieltjes-Integralen: Satz 20.25 (Transformationssatz I) Es seien f : [a, b] −→ R eine Riemann-integrierbare reelle Funktion und g : [a, b] −→ R eine stetig differenzierbare reelle Funktion. Dann ist f bezüglich g Riemann- Stieltjes-integrierbar und es gilt ∫ b a f (x) dg(x) = ∫ b a f (x)g′(x) dx. Beweis: Als Riemann-integrierbare reelle Funktion ist f beschränkt und es gibt somit ein M ≥ 0 mit |f (x)| ≤ M für alle x ∈ [a, b]. Ferner ist g′ als stetige Funktion auf [a, b] sogar gleichmäßig stetig (vgl. Satz 15.35) und es gibt somit zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so dass |g′(y)−g′(x)| < ε für alle x, y ∈ [a, b] mit |y−x| < δ gilt. Es sei nun Zn eine beliebige Zerlegung des Intervalles [a, b], für deren Feinheit F(Zn) < δ gilt. Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (vgl. Satz 16.28) erhält man dann für die Riemann-Stieltjes-Summe von f bezüglich g RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi)(g(xi)− g(xi−1)) = n∑ i=1 f (ξi)g ′(ηi)(xi − xi−1) für geeignete ηi ∈ [xi−1, xi ]. Dagegen gilt für die zum Riemann- Integral ∫ b a f (x)g′(x) dx gehörende Riemann-Summe Rfg′ (Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi)g ′(ξi )(xi − xi−1). Damit folgt ∣ ∣RSf ;g(Zn; ξ1, . . . , ξn)− Rfg′ (Zn; ξ1, . . . , ξn) ∣ ∣ ≤ n∑ i=1 |f (ξi)| ∣ ∣g′(ηi)− g′(ξi ) ∣ ∣ (xi − xi−1) ≤ Mε n∑ i=1 (xi − xi−1) = Mε(b − a). Da ε > 0 beliebig gewählt war, folgt, dass die Werte der beiden Integrale ∫ b a f (x) dg(x) und ∫ b a f (x)g′(x) dx übereinstimmen. Damit ist insbesondere die Funktion f bezüglich der Funktion g Riemann-Stieltjes-integrierbar. Der Satz 20.25 besitzt viele Anwendungen. Zum Beispiel ist er in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik zur Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz sogenannter absolut stetiger Verteilungsfunktionen hilfreich (vgl. Beispiel 20.29). Wenn die Voraussetzungen von Satz 20.25 erfüllt sind, kann zur expliziten Berechnung des Riemann-Stieltjes-Integrals∫ b a f (x) dg(x) = ∫ b a f (x)g′(x) dx der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (vgl. Satz 19.22) verwendet werden. In diesem Fall genügt es folglich, eine Stammfunktion H des Integranden h := fg′ zu bestimmen und anschließend durch ∫ b a f (x) dg(x) = H(x) ∣∣ ∣ b a = H(b)−H(a) 612 Kapitel 2020.5 Berechnung von Riemann-Stieltjes-Integralen den Wert des Riemann-Stieltjes-Integrals zu berechnen (vgl. Beispiel 20.26). Umgekehrt erhält man mit dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (vgl. Satz 19.21), dass sich jedes Riemann-Integral der Form ∫ b a f (x)g(x) dx mit einer Riemann-integrierbaren reellen Funktion f und einer stetigen reellen Funktion g als Riemann-Stieltjes-Integral der Form∫ b a f (x) dG(x) mit G(x) := ∫ x a g(t) dt darstellen lässt. Die Nützlichkeit von Satz 20.25 wird im folgenden Beispiel deutlich: Beispiel 20.26 (Berechnung von Riemann- Stieltjes-Integralen) a) Für das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ 1 0 x d(x 2) aus Beispiel 20.17 erhält man mit Satz 20.25 ohne großen rechnerischen Aufwand ∫ 1 0 x d(x2) = ∫ 1 0 x(2x) dx = 2 ∫ 1 0 x2 dx = 2 3 x3 ∣ ∣∣ ∣ 1 0 = 2 3 . b) Mit Satz 20.25 folgt, dass das Riemann-Stieltjes- Integral ∫ π 0 cos(x) d(cos(x)) existiert und sein Wert gegeben ist durch (vgl. Beispiel 19.29c)) ∫ π 0 cos(x) d(cos(x)) = − ∫ π 0 cos(x) sin(x) dx = 1 2 cos2(x) ∣ ∣∣ ∣ π 0 = 1 2 − 1 2 = 0. c) Mit Satz 20.25 folgt, dass das Riemann-Stieltjes- Integral ∫ π 0 cos(x) d(sin(x)) existiert und sein Wert gegeben ist durch (vgl. Seite 566) ∫ π 0 cos(x) d(sin(x))= ∫ π 0 cos2(x) dx = 1 2 sin(x) cos(x) ∣∣ ∣∣ π 0 +1 2 ∫ π 0 1 dx = 0 + 1 2 x ∣ ∣∣ ∣ π 0 = 1 2 π. d) Das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ 2 0 x(x + 2) d(ln(1 + x)) existiert und sein Wert ist ∫ 2 0 x(x+2) d(ln(1+x))= ∫ 2 0 x(x + 2) 1 1 + x dx = ∫ 2 0 ( 1 + x − 1 1 + x ) dx = ( x + x 2 2 − ln(1 + x) ) ∣∣∣∣ 2 0 = 4 − ln(3). e) Das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ 1 0 e x d(e−x) existiert und sein Wert beträgt ∫ 1 0 ex d(e−x) = ∫ 1 0 ex(−e−x) dx = − ∫ 1 0 1 dx = −x ∣∣1 0 = −1. f) Das Riemann-Stieltjes-Integral ∫ 2 −1 x 5 d(|x|3) existiert. Mit Satz 20.6 erhält man für seinen Wert ∫ 2 −1 x5 d(|x|3) = ∫ 0 −1 x5 d(−x3)+ ∫ 2 0 x5 d(x3) = −3 ∫ 0 −1 x7 dx + 3 ∫ 2 0 x7 dx = −3 8 x8 ∣ ∣∣ ∣ 0 −1 +3 8 x8 ∣ ∣∣ ∣ 2 0 = 3 8 + 96 = 771 8 . Mit Satz 20.25 und Folgerung 20.18 erhält man das folgende Resultat, das in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Statistik von großem Nutzen ist. Dort wird es zum Beispiel zur Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz sogenannter gemischter Verteilungsfunktionen benötigt (vgl. auch Beispiel 20.29). Folgerung 20.27 (Transformationssatz II) Es seien f : [a, b] −→ R eine stetige reelle Funktion und g : [a, b] −→ R eine reelle Funktion von beschränkter Variation auf [a, b], die bis auf endlich viele Stellen a ≤ c1 < . . . < cn < b mit Sprüngen der Höhen α1, . . . , αn stetig differenzierbar ist. Dann ist f bezüglich g Riemann-Stieltjes-integrierbar und es gilt ∫ b a f (x) dg(x)= ∫ b a f (x)g′(x) dx+ n∑ i=1 αif (ci). (20.16) 613 Kapitel 20 Riemann-Stieltjes-Integral Beweis: Folgt mit Satz 20.14, Satz 20.25 und Folgerung 20.18. Das folgende Beispiel 20.28 verdeutlicht den Nutzen von Folgerung 20.27: Beispiel 20.28 (Integrator mit Sprungstellen) Betrachtet wird das Riemann-Stieltjes-Integral∫ 3 −1 f (x) dg(x) aus Beispiel 20.23. Der Integrator g ist offensichtlich bis auf die Sprungstellen c1=0 und c2 =2 stetig differenzierbar und es gilt g′(x) = ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ex x ∈ [−1, 0) 0 x ∈ [0, 2) −2x x ∈ [2, 3] . Die Sprunghöhen von g an den Stellen c1 = 0 und c2 = 2 sind α1 = 1 bzw. α2 = −5. Mit der Formel (20.16) und Beispiel 19.29a) erhält man somit für das Riemann- Stieltjes-Integral von f bezüglich g den Wert ∫ 3 −1 f (x) dg(x) = ∫ 0 −1 xex dx + 0− ∫ 3 2 2x2 dx+1·0−5·2 = (x − 1)ex ∣ ∣∣ 0 −1 −2 3 x3 ∣∣ ∣∣ 3 2 −10 = 2e−1 − 71 3 . Dieser Wert stimmt natürlich mit dem in Beispiel 20.23 mittels partieller Integration ermittelten Wert überein. Die Beispiele 20.5 und 20.15 sowie der Satz 20.25 und die Folgerung 20.27 verdeutlichen die Allgemeinheit und die Flexibilität des Riemann-Stieltjes-Integrals. Denn durch das Riemann-Stieltjes-Integral können Summen, Reihen und Riemann-Integrale in einem einheitlichen Rahmen betrachtet werden. Wie das folgende Beispiel zeigt, ist dies in der Statistik und der Wahrscheinlichkeitstheorie von großem Nutzen: Beispiel 20.29 (Riemann-Stieltjes-Integrale in der Statistik) In der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X, d. h. die reelle Funktion FX : R −→ R+, x %→ FX(x) := P(X ≤ x), von zentraler Bedeutung. Der Wert FX(x) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften: 1) FX ist monoton wachsend 2) FX ist rechtsseitig stetig 3) lim x→−∞FX(x) = 0 und limx→∞FX(x) = 1 Man unterscheidet bei Verteilungsfunktionen verschiedene Fälle, von denen die beiden folgenden am wichtigsten sind: a) FX heißt diskrete Verteilungsfunktion, falls sie stückweise konstant, also eine Treppenfunktion mit abzählbar vielen Sprungstellen xi der Sprunghöhe P(X = xi) ist (vgl. Abbildung 20.3, links). b) FX heißt absolut stetige Verteilungsfunktion, falls sie stetig ist und eine nichtnegative Riemann-integrierbare Funktion fX : R → R+ (sog. Dichtefunktion) mit der Eigenschaft FX(x) = ∫ x −∞ fX(x) dx für alle x ∈ R existiert (vgl. Abbildung 20.3, rechts und Beispiel 18.19 für eine absolut stetige Verteilungsfunktion und siehe z. B. Schaich-Münnich [58] und Schlittgen [60] für mehr Informationen zu Verteilungsfunktionen). Ist nun h bezüglich der Verteilungsfunktion FX Riemann-Stieltjes-integrierbar, dann ist das (uneigentliche) Riemann- Stieltjes-Integral gegeben durch ∫ ∞ −∞ h(x) dFX(x) = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ ∞∑ i=1 h(xi)P (X = xi) für FX diskret ∞∫ −∞ h(x)fX(x) dx für FX absolut stetig (vgl. Beispiel 20.15 und Satz 20.25). Speziell für die identische Funktion h(x) = x erhält man daraus für den Erwartungswert der Zufallsvariablen X die Darstellung E[X] = ∫ ∞ −∞ x dFX(x) = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ ∞∑ i=1 xiP (X=xi) für FX diskret ∞∫ −∞ xfX(x) dx für FX absolut stetig 614 Kapitel 2020.5 Berechnung von Riemann-Stieltjes-Integralen 0 1 l l l l l l l l l l l l F(x) 0 1 F(x) Abb. 20.3: Eine diskrete Verteilungsfunktion F (links) und eine absolut stetige Verteilungsfunktion F (rechts) und die quadratische Funktion h(x) = (x−E[X])2 liefert für die Varianz von X Var(X)= ∫ ∞ −∞ (x − E[X])2 dFX(x) = ⎧ ⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎩ ∞∑ i=1 (xi − E[X])2P(X = xi) für FX diskret ∞∫ −∞ (x − E[X])2fX(x) dx für FX absolut stetig . Der Erwartungswert und die Varianz besitzen somit für diskrete und absolut stetige Verteilungsfunktionen eine einheitliche Darstellung als (uneigentliches) Riemann- Stieltjes-Integral. 615

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.