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19. Riemann-Integral in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 533 - 595

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_533

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Teil VI Integralrechnung in R Kapitel19 Riemann-Integral Kapitel 19 Riemann-Integral 19.1 Grundlagen G. W. Leibniz Wie bereits im Kapitel 16 zu den Grundlagen der Differentialrechnung erläutert wurde, bildet die Differentialrechnung zusammen mit der Integralrechnung die Infinitesimalrechnung, welche im Wesentlichen auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) und Isaac Newton (1643–1727) zurückgeht und durch die Arbeiten von Augustin Louis Cauchy (1789–1857) und Karl Weierstraß (1815–1897) ihre heute übliche logische Strenge erhalten hat. I. Newton Die Infinitesimalrechnung ist eine der bedeutendsten schöpferischen Leistungen des menschlichen Geistes. Sie besitzt für die Natur-, Ingenieur- und Wirtschaftswissenschaften eine überragende Bedeutung und ohne sie wären viele technische Entwicklungen der letzten 250 Jahre schlicht undenkbar gewesen. Dabei ist es bemerkenswert, dass es den beiden Mathematikern Leibniz und Newton völlig unabhängig voneinander gelang, Ende des 17. Jahrhunderts Kalküle zur Differential- und Integralrechnung zu entwickeln und mit dem sogenannten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung eines der wichtigsten Resultate der Analysis zu entdecken. Während jedoch die Differentialrechnung ihre Entstehung im Wesentlichen dem Tangentenproblem verdankt (vgl. Abschnitt 16.1), ist die Integralrechnung historisch gesehen aus dem sogenannten Quadraturproblem hervorgegangen. Darunter versteht man die Versuche der Geometer des Altertums den Flächeninhalt einer ebenen krummlinig berandeten Fläche durch Verwandlung des Flächenstückes in ein inhaltsgleiches Quadrat zu ermitteln. Diese beiden auf den ersten Blick sehr unterschiedlich erscheinenden Problemstellungen haben jedoch gemein, dass sie jeweils zu der Berechnung eines Grenzwertes führen. Beim Tangentenproblem ist dies der Differentialquotient (siehe Abschnitt 16.2) und beim Quadraturproblem das sogenannte bestimmte Riemann-Integral (siehe Abschnitt 19.2). Neben dieser Gemeinsamkeit gilt sogar, dass die Differentialund Integralrechnung zueinander umgekehrte Konzepte bilden und somit eng verwandt sind. Denn während man in der Differentialrechnung das lokale Änderungsverhalten einer reellen Funktion f : [a, b] −→ R untersucht und dazu ihre Ableitung f ′ ermittelt, ermöglicht es die Integralrechnung umgekehrt aus der ersten Ableitung f ′ von f die ursprüngliche Funktion f zurückzugewinnen. Diese zueinander „inverse“ Eigenschaft der Differential- und Integralrechnung erweist sich bei der Lösung der unterschiedlichsten Problemstellungen als äußerst hilfreich und wird durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung präzisiert (siehe Abschnitt 19.6). 19.2 Riemann-Integrierbarkeit Darbouxsche Unter- und Obersummen Im Folgenden wird eine beschränkte reelle Funktion f : [a, b] → R mit f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] und die Fläche I (f ) := {(x, y) : x ∈ [a, b] und 0 ≤ y ≤ f (x)} (19.1) betrachtet. Bei der Fläche I (f ) handelt es sich offensichtlich um die Fläche, die vom Graphen von f , den senkrechten Geraden durch die Intervallgrenzen x = a und x = b sowie der x- Achse eingeschlossen wird (vgl. Abbildung 19.1, links). Diese anschauliche Vorstellung des Inhaltes der Fläche I (f ) wird durch den Begriff des bestimmten Riemann-Integrals präzisiert, der auf den großen deutschen Mathematiker Bernhard Riemann (1826–1866) zurückgeht. Das bestimmte Riemann-Integral basiert auf der einfachen Idee, den Flächeninhalt von I (f ) durch eine Summe leicht zu berechnender Flächeninhalte von Rechtecken beliebig genau anzunähern. Bei der mathematischen Präzisierung dieses Ansatzes gibt es jedoch prinzipiell verschiedene B. Riemann J. G. Darboux 536 Kapitel 1919.2 Riemann-Integrierbarkeit a b f (x) I( f ) Z1 a = x0 x1 = b Z3 a = x0 x1 x2 x3 = b Z8 a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 = b Abb. 19.1: Fläche I (f ) zwischen dem Graphen der reellen Funktion f : [a, b] −→ R und der x-Achse im Intervall [a, b] (links) und drei unterschiedlich feine Zerlegungen Z1, Z3 und Z8 des Intervalles [a, b] (rechts) Möglichkeiten vorzugehen. Im Folgenden wird ein besonders anschaulicher und verbreiteter Zugang verwendet, der auf den französischen Mathematiker Jean Gaston Darboux (1842–1917) zurückgeht und auf der Verwendung von sogenannten Ober- und Untersummen basiert. Dabei werden n+ 1 ≥ 2 beliebige Zwischenstellen x0, . . . , xn ∈ [a, b] mit der Eigenschaft a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b betrachtet und das Intervall [a, b] in die n Teilintervalle [a, x1], [x1, x2], . . . , [xn−2, xn−1], [xn−1, b] zerlegt. Eine solche Menge von Zwischenstellen Zn := {x0, . . . , xn} heißt Zerlegung oder Partition des Intervalles [a, b] und die Länge des größten Teilintervalles, das durch die Zerlegung Zn erzeugt wird, d. h. der Wert F(Zn) := max i∈{1,...,n} (xi − xi−1), (19.2) wird als Feinheit der Zerlegung Zn bezeichnet. Folglich gilt, je kleiner der Wert F(Zn) ist, desto „feiner“ ist die Zerlegung des Intervalles [a, b] in Teilintervalle (vgl. Abbildung 19.1, rechts). Die Zerlegung Zn heißt äquidistant, wenn alle n Teilintervalle [xi−1, xi] dieselbe Länge b−an haben. Mit Hilfe der Zerlegung Zn wird nun der Inhalt der Fläche I (f ) in Rechtecke zerlegt. Genauer wird über jedem Teilintervall [xi−1, xi] das größte Rechteck betrachtet, das unterhalb, und das kleinste Rechteck, das oberhalb des Graphen von f liegt. Die Höhe dieser Rechtecke ist somit durch das Infimum bzw. das Supremum von f auf dem Teilintervall [xi−1, xi] gegeben, also durch die Werte mi := inf x∈[xi−1,xi ] f (x) bzw. Mi := sup x∈[xi−1,xi ] f (x). (19.3) Die Existenz von mi und Mi ist dabei aufgrund der Beschränktheit von f sichergestellt. Auf diese Weise entsteht über dem Teilintervall [xi−1, xi] ein „inneres Rechteck“ mit dem Flächeninhalt mi(xi − xi−1) und ein „äußeres Rechteck“ mit dem Flächeninhalt Mi(xi−xi−1). Die anschließende Summierung dieser n Rechtecke liefert mit Uf (Zn) := n∑ i=1 mi(xi − xi−1) bzw. Of (Zn) := n∑ i=1 Mi(xi − xi−1) (19.4) die Darbouxsche Unter- bzw. Obersumme von f bezüglich der Zerlegung Zn, welche im Folgenden einfach kurz Unterbzw. Obersumme von f bezüglich Zn genannt werden. Bezeichnet |I (f )| den Inhalt der Fläche I (f ), dann gilt offensichtlich stets Uf (Zn) ≤ |I (f )| ≤ Of (Zn). (19.5) 537 Kapitel 19 Riemann-Integral f (x) a = x0 x1 x2 = b O(Z2) U(Z2) I(f) f (x) I( f) a = x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 = b O(Z8) U(Z8) Abb. 19.2: Ober- und Untersumme einer reellen Funktion f : [a, b] −→ R zu zwei unterschiedlich feinen Zerlegungen Z2 (links) und Z8 (rechts) Ist die Zerlegung Zn hinreichend fein, so dass die Differenz Of (Zn)−Uf (Zn) klein ist, dann können die beiden Summen Uf (Zn) und Of (Zn) als Näherungswerte für den Inhalt der Fläche I (f ) angesehen werden (vgl. Abbildung 19.2). Unteres und oberes Integral Bei Verwendung immer feiner werdender Zerlegungen Zn werden die Untersummen von f immer größer und die Obersummen von f immer kleiner. Die Verwendung „unendlich feiner“ Zerlegungen entspricht somit der Betrachtung des Supremums der Untersummen Uf (Zn) bzw. des Infimums der Obersummen Of (Zn), also der Werte U − ∫ b a f (x) dx := sup Zn Uf (Zn) bzw. O − ∫ b a f (x) dx := inf Zn Of (Zn). (19.6) Dabei sind alle möglichen Zerlegungen Zn des Intervalles [a, b] in eine beliebige Anzahl von Teilintervallen zugelassen und die beiden Buchstaben „O“ und „U“ stehen für Oberbzw. Untersumme. Die Werte (19.6) werden als unteres bzw. oberes Integral der Funktion f bezeichnet. Bei dieser Definition wurde benutzt, dass jede Obersumme Of (Zm) von f größer oder gleich jeder Untersumme Uf (Zn) von f ist. Denn sind Zn und Zm zwei beliebige Zerlegungen des Intervalles [a, b], dann kann daraus immer eine weitere Zerlegung Z von [a, b] konstruiert werden, die aus den Durchschnitten der Teilintervalle von Zn und Zm besteht und damit eine gemeinsame Verfeinerung von Zn und Zm ist. Es gilt daher Uf (Zn) ≤ Uf (Z) ≤ Of (Z) ≤ Of (Zm). (19.7) Daraus folgt insbesondere, dass die Werte der Obersummen Of (Zm) nach unten und die Werte der Untersummen Uf (Zn) nach oben beschränkt sind und folglich das Supremum und Infimum in (19.6), also das untere und obere Integral von f , existieren. Ferner erhält man mit (19.7) U − ∫ b a f (x) dx ≤ O − ∫ b a f (x) dx. (19.8) Bestimmtes Riemann-Integral Im Falle, dass das untere und obere Integral von f übereinstimmen, d. h. in (19.8) Gleichheit gilt, folgt mit (19.5) und (19.7) U − ∫ b a f (x) dx = |I (f )| = O − ∫ b a f (x) dx. (19.9) 538 Kapitel 1919.2 Riemann-Integrierbarkeit In diesem Fall wird die Funktion f Riemann-integrierbar und der Wert (19.9) das bestimmte Riemann-Integral von f auf dem Intervall [a, b] genannt und mit ∫ b a f (x) dx (19.10) bezeichnet. Das heißt, bei einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] −→ R mit f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] stimmt der Inhalt |I (f )| der Fläche zwischen ihrem Graphen und der x-Achse im Intervall [a, b] mit dem bestimmten Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx überein. In den bisherigen Ausführungen wurde stets f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] vorausgesetzt. Diese Annahme ist jedoch nicht notwendig und wurde nur getroffen, um einen anschaulichen Zusammenhang zwischen dem bestimmten Riemann- Integral (19.10) und dem Flächeninhalt |I (f )| zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a, b] zu erhalten. Wird auf diese Nichtnegativitätsannahme für f verzichtet, dann erhält man die folgende Definition des bestimmten Riemann-Integrals für beschränkte reelle Funktionen. Definition 19.1 (Bestimmtes Riemann-Integral) Es sei f : [a, b] −→ R eine beschränkte reelle Funktion, deren unteres und oberes Integral übereinstimmen. Dann heißt die Funktion f Riemann-integrierbar und der Wert des unteren (oberen) Integrals ∫ b a f (x) dx := U − ∫ b a f (x) dx = O − ∫ b a f (x) dx (19.11) wird bestimmtes Riemann-Integral von f auf dem Intervall [a, b] genannt. Ferner bezeichnet man die Werte a und b als untere bzw. obere Integrationsgrenze, [a, b] als Integrationsintervall, f als Integrand und x als Integrationsvariable. Bei einem bestimmten Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx spricht man davon, dass „f über die Variable x integriert wird“. Die Integrationsvariable kann dabei beliebig gewählt werden, sie muss sich jedoch von den beiden Integrationsgrenzen unterscheiden. Das heißt, es gilt z. B. ∫ b a f (x) dx = ∫ b a f (u) du = ∫ b a f (t) dt. Das Integralzeichen ∫ wurde im Jahre 1675 von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) eingeführt und ist aus dem Buchstaben „S“ für das lateinische Wort „summa“ abgeleitet. Bei dx handelt es sich um das in Abschnitt 16.3 eingeführte Differential und es gibt Auskunft darüber, dass bezüglich der Variablen x zu integrieren ist. Die Schreibweise ∫ b a f (x) dx soll folglich ausdrücken, dass das bestimmte Riemann- Integral von f über [a, b] durch Summation von Rechtecken der Höhe f (x) und der infinitesimalen Breite dx entsteht. Bei dieser Schreibweise wird deutlich erkennbar, wie stark Leibniz – ganz im Gegensatz zu Newton – bestrebt war, durch eine möglichst intuitive Notation die Infinitesimalrechnung anderen Wissenschaftlern verständlich zu machen und damit insbesondere deren Akzeptanz und weitere Verbreitung zu gewährleisten. Aus Beispiel 19.2 wird deutlich, dass der Nachweis der Riemann-Integrierbarkeit und die Berechnung des bestimmten Riemann-Integrals ohne weitere Hilfsmittel bereits bei einfachen reellen Funktionen f aufwendig ist. Beispiel 19.2 (Unter- und Obersummen und bestimmtes Riemann-Integral) a) Betrachtet wird die reelle Funktion f : [0, b] −→ R, x %→ 2x und die äquidistante Zerlegung Zn := { 0, b n , . . . , (n−1)b n , b } von [0, b] in die n gleichlangen Teilintervalle [ 0, b n ] , [ b n , 2b n ] , . . . , [ (n− 1)b n , b ] . Für die Unter- und Obersummen der Funktion f bezüglich der Zerlegung Zn erhält man Uf (Zn) = 2 · 0 · b n + 2 · b n · b n + 2 · 2b n · b n + . . . + 2 · (n− 1)b n · b n = b 2 n2 ( 2 · 0 + 2 · 1 + 2 · 2 + . . . + 2 · (n− 1)) = 2 b 2 n2 n−1∑ i=1 i bzw. 539 Kapitel 19 Riemann-Integral Of (Zn) = 2 · b n · b n + 2 · 2b n · b n + . . . + 2 · (n− 1)b n · b n + 2 · nb n · b n = b 2 n2 ( 2 · 1 + 2 · 2 + . . . + 2 · (n− 1)+ 2 · n) = 2 b 2 n2 n∑ i=1 i. Mit der Gaußschen Summenformel (1.20) und durch Bildung des Grenzüberganges n → ∞ (d. h. durch Übergang zu einer „unendlichen“ Verfeinerung von Zn) erhält man daraus für die Unter- und Obersummen die übereinstimmenden Grenzwerte lim n→∞Uf (Zn) = limn→∞ b2 n2 (n− 1)n = lim n→∞ b 2 ( 1 − 1 n ) = b2 bzw. lim n→∞Of (Zn) = limn→∞ b2 n2 n(n+ 1) = lim n→∞ b 2 ( 1 + 1 n ) = b2. Das heißt, unteres und oberes Integral sind identisch und für das bestimmte Riemann-Integral von f über [0, b] erhält man ∫ b 0 2x dx = b2. Wegen f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [0, b] stimmt dieser Wert mit dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [0, b] überein. Dasselbe Ergebnis resultiert auch mittels der elementar-geometrischen Formel für den Flächeninhalt von Dreiecken. Denn es gilt 12 · b · 2b = b2. b) Betrachtet wird die reelle Funktion f : [0, b] −→ R, x %→ x2 und die äquidistante Zerlegung Zn := { 0, b n , . . . , (n−1)b n , b } des Intervalles [0, b]. Dann erhält man für die Unter- und Obersummen der Funktion f bezüglich der Zerlegung Zn Uf (Zn) = 0 · b n + ( b n )2 · b n + ( 2b n )2 · b n + . . . + ( (n− 1)b n )2 · b n = b 3 n3 ( 0 + 1 + 22 + . . .+ (n− 1)2) = b 3 n3 n∑ i=1 (i − 1)2 bzw. Of (Zn) = ( b n )2 · b n + ( 2b n )2 · b n + ( 3b n )2 · b n +. . . + ( nb n )2 · b n = b 3 n3 ( 1 + 22 + 32 + . . .+ n2) = b 3 n3 n∑ i=1 i2. Mit der Summenformel n∑ i=1 i2 = n(n+ 1)(2n+ 1) 6 , (19.12) die leicht durch vollständige Induktion nachgewiesen werden kann (siehe hierzu Abschnitt 1.7), und Bildung des Grenzüberganges n → ∞ erhält man für die Unter- und Obersummen lim n→∞Uf (Zn) = limn→∞ b3 n3 · (n− 1)n(2(n− 1)+ 1) 6 = lim n→∞ b 3 · 2 − 3 n + 1 n2 6 = b 3 3 und lim n→∞Of (Zn) = limn→∞ b3 n3 · n(n+ 1)(2n+ 1) 6 = lim n→∞ b 3 · 2 + 3 n + 1 n2 6 = b 3 3 . Das heißt, unteres und oberes Integral sind identisch und für das bestimmte Riemann-Integral von f über [0, b] erhält man 540 Kapitel 1919.2 Riemann-Integrierbarkeit ∫ b 0 x2 dx = b 3 3 . Wegen f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [0, b] stimmt dieser Wert wieder mit dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [0, b] überein. Eine elementar-geometrische Berechnung des Flächeninhaltes wie in Beispiel a) ist nun jedoch nicht mehr möglich. Flächeninhalt und bestimmtes Riemann-Integral Wie bereits erläutert wurde, stimmt bei einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] −→ R mit f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] das bestimmte Riemann-Integral mit dem Inhalt der Fläche (19.1) überein. Gilt dagegen f (x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, b], dann liegt die Fläche I (f ) = {(x, y) : x ∈ [a, b] und f (x) ≤ y ≤ 0} zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a, b] unterhalb der x-Achse und aus der Definition des a b + f (x) a b − f (x) a b + + + − − f (x) Abb. 19.3: Orientierter Flächeninhalt einer reellen Funktion f : [a, b] −→ R mit f (x) ≥ 0 (links), f (x) ≤ 0 (Mitte) und im allgemeinen Fall (rechts) Riemann-Integrals folgt ∫ b a f (x) dx ≤ 0. Der Flächeninhalt von I (f ) ist nun gegeben durch |I (f )| = − ∫ b a f (x) dx. Aus diesem Grund spricht man auch von einem orientierten oder gerichteten Flächeninhalt. Für den allgemeinen Fall einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] −→ R, die sowohl Werte unterhalb als auch oberhalb der x-Achse annimmt, ist das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx die Summe der mit dem Vorzeichen „+“ versehenen Inhalte von Flächenstücken oberhalb der x-Achse und der mit dem Vorzeichen „−“ versehenen Inhalte von Flächenstücken unterhalb der x-Achse (vgl. Abbildung 19.3). Ist f eine reelle Funktion, die sowohl positive als auch negative Werte annimmt, dann muss bei der Berechnung des Inhaltes der Fläche I (f ) zwischen dem Graphen von f und der x-Achse somit zuerst durch Nullstellenbestimmung und Monotonie-Überlegungen geklärt werden, in welchen Teilintervallen die Funktion f negative Werte annimmt. Den Inhalt der Fläche I (f ) erhält man dann anschließend durch Berech- 541 Kapitel 19 Riemann-Integral nung des bestimmten Riemann-Integrals der Funktion f̃ (x) := { f (x) für x ∈ [a, b] mit f (x) ≥ 0 −f (x) für x ∈ [a, b] mit f (x) < 0 . Es gilt dann |I (f )| = |I (f̃ )| = ∫ b a f̃ (x) dx. Integrabilitätskriterium von Riemann Gemäß der Definition 19.1 bedeutet Riemann-Integrierbarkeit einer beschränkten reellen Funktion f : [a, b] → R, dass Untersummen Uf (Zn) und Obersummen Of (Zn) von f existieren, deren Werte beliebig nahe beim bestimmten Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx liegen. Zur weiteren Untersuchung der Riemann-Integrierbarkeit bietet es sich daher an, die Differenz Of (Zn)− Uf (Zn) = n∑ i=1 (Mi −mi)(xi − xi−1) (19.13) zu untersuchen. Da der Wert Mi − mi die Schwankung von f auf dem Teilintervall [xi−1, xi] angibt, wird die Differenz (19.13) häufig als Schwankungssumme oder Oszillationssumme von f bezüglich der Zerlegung Zn bezeichnet. Das folgende Integrabilitätskriterium von Riemann basiert auf Schwankungssummen und liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung für Riemann-Integrierbarkeit: Satz 19.3 (Integrabilitätskriterium von Riemann) Eine beschränkte reelle Funktion f : [a, b] −→ R ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0 eine Zerlegung Z des Intervalles [a, b] gibt, so dass gilt Of (Z)− Uf (Z) < ε. Beweis: Die Funktion f sei Riemann-integrierbar, ε > 0 beliebig vorgegeben und I := U−∫ b a f (x) dx = O−∫ b a f (x) dx. Dann existieren Zerlegungen Zn und Zm des Intervalles [a, b] mit I − Uf (Zn) < ε 2 und Of (Zm)− I < ε 2 . (19.14) Es sei nun Z eine weitere Zerlegung von [a, b], die eine gemeinsame Verfeinerung von Zn und Zm ist und aus den Durchschnitten der Teilintervalle von Zn und Zm besteht. Dann folgt mit (19.7) und (19.14) Of (Z) ≤ Of (Zm) < I + ε 2 < Uf (Zn)+ ε ≤ Uf (Z)+ ε, also Of (Z)− Uf (Z) < ε. Es existiere nun umgekehrt zu jedem ε > 0 eine ZerlegungZ des Intervalles [a, b] mit Of (Z)−Uf (Z) < ε. Aus der Definition des unteren und oberen Integrals (vgl. (19.6)) sowie (19.8) folgt Uf (Z) ≤ U − ∫ b a f (x) dx ≤ O − ∫ b a f (x) dx ≤ Of (Z). Dies impliziert jedoch zusammen mit Of (Z)− Uf (Z) < ε 0 ≤ O − ∫ b a f (x) dx − ( U − ∫ b a f (x) dx ) < ε. Da dies jedoch für alle ε > 0 gilt, erhält man, dass unteres und oberes Integral übereinstimmen und die Funktion f somit Riemann-integrierbar ist. Das Integrabilitätskriterium von Riemann ist als notwendiges und hinreichendes Kriterium in vielen theoretischen Fragestellungen ein wichtiges Hilfsmittel für den Nachweis der Riemann-Integrierbarkeit einer beschränkten reellen Funktion (siehe z. B. den Beweis des folgenden Satzes 19.4). Allerdings lässt sich mit seiner Hilfe die Riemann-Integrierbarkeit einer beschränkten reellen Funktion häufig nur relativ aufwendig nachweisen. Für viele Anwendungen der Integrationstheorie ist es daher wichtig, ein einfaches hinreichendes Kriterium für die Riemann-Integrierbarkeit zur Hand zu haben. Das folgende Resultat ist ein solches Kriterium, da es sich oftmals relativ einfach nachweisen lässt und für viele natur-, ingenieur- und wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen die Existenz des bestimmten Riemann-Integrals sicherstellt. Satz 19.4 (Riemann-Integrierbarkeit stetiger und monotoner Funktionen) Jede stetige und jede monotone reelle Funktion f : [a, b] −→ R ist Riemann-integrierbar, d. h. das bestimmte Riemann-Integral b∫ a f (x) dx existiert. Beweis: Die reelle Funktion f sei stetig. Dann ist f auf [a, b] gemäß Satz 15.25 beschränkt und nach Satz 15.35 ist f sogar gleichmäßig stetig. Zu jedem ε > 0 gibt es daher ein δ > 0 mit |f (x)− f (y)| < ε b − a 542 Kapitel 1919.2 Riemann-Integrierbarkeit für alle x, y ∈ [a, b] mit |x − y| < δ. Für die Schwankungssumme einer beliebigen Zerlegung Zn = {x0, . . . , xn} des Intervalles [a, b] mit einer Feinheit F(Zn) < δ gilt somit Of (Zn)− Uf (Zn) = n∑ i=1 (Mi −mi)(xi − xi−1) ≤ ε b − a n∑ i=1 (xi − xi−1) = ε. Mit Satz 19.3 folgt daher, dass die Funktion f Riemannintegrierbar ist. Die reelle Funktion f sei nun monoton. Dann folgt mit Satz 13.11, dass f beschränkt ist. Ferner sei ε > 0 beliebig vorgegeben und Zn = {x0, . . . , xn} eine beliebige Zerlegung des Intervalles [a, b] mit einer Feinheit F(Zn) < ε|f (b)− f (a)| . Aus der Monotonie von f folgt, dass das Infimum und das Supremum auf jedem Teilintervall [xi−1, xi ] von [a, b] an den Intervallgrenzen angenommen werden. Es folgt somit Of (Zn)− Uf (Zn) = n∑ i=1 (Mi −mi)(xi − xi−1) ≤ ε|f (b)− f (a)| n∑ i=1 (Mi −mi) = ε. Somit ist gemäß Satz 19.3 die Funktion f Riemann-integrierbar. Aus Satz 19.4 folgt unmittelbar, dass alle bekannten elementaren reellen Funktionen, wie z. B. Polynome, rationale Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und trigonometrische Funktionen über allen abgeschlossenen Intervallen [a, b], die im Definitionsbereich der Funktion liegen, Riemann-integrierbar sind. In wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen treten jedoch auch reelle Funktionen f : [a, b] −→ R auf, die nicht stetig und nicht monoton, sondern lediglich stückweise stetig oder stückweise monoton sind. Unter einer stückweise stetigen oder einer stückweise monotonen reellen Funktion versteht man dabei eine reelle Funktion f : [a, b] −→ R, für die es eine endliche Zerlegung Zn = {x0, . . . , xn} des Intervalles [a, b] gibt, so dass die Funktion f auf den n Teilintervallen [xi−1, xi] jeweils stetig bzw. jeweils monoton ist (vgl. Abschnitt 15.6). Der folgende Satz besagt, dass auch stückweise stetige Funktionen und stückweise monotone Funktionen Riemann-integrierbar sind: Folgerung 19.5 (Stückweise Riemann- Integrierbarkeit) Jede stückweise stetige und jede stückweise monotone reelle Funktion f : [a, b] −→ R ist Riemann-integrierbar. Beweis: Der Beweis verläuft im Wesentlichen analog zum Beweis des Satzes 19.4. Es werden jedoch nur noch solche Zerlegungen Zn = {x0, . . . , xn} von [a, b] verwendet, bei denen die Funktion f zwischen zwei Zwischenstellen xi−1 und xi stetig bzw. monoton ist. Mit Satz 19.4 und Folgerung 19.5 erhält man, dass Riemann- Integrierbarkeit im Allgemeinen nicht Differenzierbarkeit impliziert. Denn (stückweise) stetige und (stückweise) monotone Funktionen sind gemäß den obigen Resultaten zwar Riemann-integrierbar, aber im Allgemeinen nicht differenzierbar. Riemann-Summen B. Riemann auf einer deutschen Briefmarke Der Zugang zum bestimmten Riemann-Integral über Ober- und Untersummen geht wie bereits erwähnt auf Jean Gaston Darboux (1842–1917) zurück. Ursprünglich wurde jedoch 1854 das bestimmte Riemann- Integral von Bernhard Riemann (1826–1866) über sogenannte Riemann-Summen definiert. Riemann-Summen sind auch für viele weiterführende theoretische Fragestellungen, wie z. B. die numerische Integration (siehe Kapitel 29), ein wichtiges Hilfsmittel. Im Folgenden wird daher auch der Zugang zum bestimmten Riemann-Integral über Riemann-Summen vorgestellt und seine Äquivalenz zum Zugang über Ober- und Untersummen nachgewiesen. Hierzu sei f : [a, b] −→ R eine beschränkte reelle Funktion und Zn = {x0, . . . , xn} eine beliebige Zerlegung des Intervalles [a, b]. Ferner wird aus jedem der nTeilintervalle [xi−1, xi] für i = 1, . . . , n eine sogenannte Stützstelle ξi ∈ [xi−1, xi] ausgewählt und durch Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) := n∑ i=1 f (ξi)(xi − xi−1) (19.15) die Riemann-Summe von f bezüglich der Zerlegung Zn und den n Stützstellen (ξ1, . . . , ξn) definiert. Auch Riemann- 543 Kapitel 19 Riemann-Integral f (x) Rf(Z2, ξ1, ξ2) a = x0 x1 x2 = bξ1 ξ2 Rf(Z8, ξ1, …, ξ8) a = x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3 x3 ξ4 x4 ξ5 x5 ξ6 x6 ξ7 x7 ξ8 x8 = b Abb. 19.4: Riemann-Summe einer reellen Funktion f : [a, b] −→ R zu zwei unterschiedlich feinen (äquidistanten) Zerlegungen Z2 (links) und Z8 (rechts) mit den Stützstellen ξi = xi+xi−12 für i = 1, . . . , n Summen besitzen eine naheliegende geometrische Bedeutung. Denn gilt f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], dann ist auch (19.15) – analog zur Unter- und Obersumme Uf (Zn) bzw. Of (Zn) – eine Approximation des Inhaltes der Fläche I (f ) zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a, b] (vgl. Abbildung 19.4). Wegen mi ≤ f (ξi) ≤ Mi für alle i = 1, . . . , n (vgl. (19.3)) gilt dabei Uf (Zn) ≤ Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ≤ Of (Zn) und zwar unabhängig von der gewählten Zerlegung Zn und den n Stützstellen (ξ1, . . . , ξn). Der folgende Satz liefert eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Riemann-Integrierbarkeit einer beschränkten reellen Funktion f : [a, b] −→ R anhand von Riemann- Summen: Satz 19.6 (Riemann-Summe und Riemann- Integrierbarkeit) Eine beschränkte reelle Funktion f : [a, b] −→ R ist genau dann Riemann-integrierbar, wenn jede Folge von Riemann-Summen ( Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ) n∈N zu Zerlegungen (Zn)n∈N mit der Eigenschaft lim n→∞F(Zn) = 0 konvergiert. In diesem Fall konvergieren alle Folgen( Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ) n∈N gegen denselben Grenzwert, welcher durch das bestimmte Riemann-Integral von f auf dem Intervall [a, b] gegeben ist. Das heißt, es gilt lim n→∞Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) = b∫ a f (x) dx. Beweis: Teil (I): Die Funktion f sei Riemann-integrierbar mit dem Riemann-Integral I := ∫ b a f (x) dx und ( Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ) n∈N sei eine Folge von Riemann-Summen zu Zerlegungen (Zn)n∈N mit lim n→∞F(Zn) = 0. Dann existiert zu einem beliebigen ε > 0 eine Untersumme Uf (Z′) und eine Obersumme Of (Z) mit I − ε ≤ Uf (Z′) ≤ I ≤ Of (Z) ≤ I + ε. (19.16) Durch Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) sei eine Riemann-Summe zu einer Zerlegung Zn von [a, b] mit F(Zn) < F(Z) gegeben. Diese Riemann-Summe wird aufgespalten in Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) = An + Bn, wobei An die Summe aller derjenigen Summanden von Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ist, die zu Teilintervallen von Zn gehören, die Zwischenstellen xi von Z enthalten. Durch Bn ist die Summe aller übrigen Summanden von Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) gegeben. Offensichtlich muss dann Bn ≤ Of (Z) gelten. Weiter gilt lim n→∞An = 0. Denn ist m die Anzahl der Zwischenstellen xi von Z, dann kann An höchstens 2m Summanden haben, da 544 Kapitel 1919.2 Riemann-Integrierbarkeit jede Zwischenstelle von Z in höchstens zwei Teilintervallen von Zn liegen kann. Da ferner jeder Summand von An betragsmäßig maximal F(Zn) supx∈[a,b] |f (x)| ist, folgt |An| ≤ 2m F(Zn) sup x∈[a,b] |f (x)|. Wegen lim n→∞F(Zn) = 0 impliziert dies jedoch limn→∞An = 0. Folglich ist |An| < ε, falls n > n0 gilt und n0 ∈ N hinreichend groß ist. Zusammen mit (19.16) folgt aus diesen Überlegungen Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn)=An+Bn≤ε+Bn≤ε+Of (Z)≤I+2ε. Auf analoge Weise zeigt man Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ≥ Uf (Z′)− ε ≥ I − 2ε, falls n > n1 gilt und n1 ∈ N hinreichend groß ist. Insgesamt erhält man I − 2ε ≤ Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ≤ I + 2ε, falls n > max {n0, n1} gilt und somit insbesondere, dass( Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ) n∈N gegen das bestimmte Riemann- Integral I konvergiert. Teil (II): Es sei nun angenommen, dass jede Folge( Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ) n∈N von Riemann-Summen zu Zerlegungen (Zn)n∈N mit lim n→∞F(Zn) = 0 konvergiert. Dann besitzen alle diese Folgen von Riemann-Summen denselben Grenzwert R. Denn gäbe es zwei Folgen, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren, dann würde eine Mischfolge aus diesen beiden Folgen nicht konvergieren, was der Voraussetzung, dass alle Folgen konvergieren, widersprechen würde. Es muss daher nur noch gezeigt werden, dass f Riemann-integrierbar ist. Dazu wird eine Folge von Zerlegungen (Zn)n∈N von [a, b] mit lim n→∞F(Zn) = 0 und die dazugehörige Folge (Of (Zn))n∈N von Obersummen betrachtet. Zu jeder Obersumme Of (Zn) kann man eine Riemann-Summe Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) von f mit Of (Zn) = Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn)+ εn und 0 ≤ εn ≤ 1n finden. Dazu müssen lediglich die Werte f (ξi) in Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) hinreichend nahe an den Suprema Mi von f in den zugehörigen Teilintervallen gewählt werden. Mit lim n→∞Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) = R und limn→∞ εn = 0 folgt dann lim n→∞Of (Zn) = R. Entsprechend ergibt sich für die Untersummen lim n→∞Uf (Zn) = R. Zusammen mit supZn Uf (Zn) ≤ inf Zn Of (Zn) (vgl. (19.8)) folgt daraus R = sup Zn Uf (Zn) = inf Zn Of (Zn), d. h. die Funktion f ist Riemann-integrierbar und besitzt das Riemann-Integral R = ∫ b a f (x) dx. Neben seiner Bedeutung für weiterführende theoretische Fragestellungen besitzt der Zugang zum Riemann-Integral mittels Riemann-Summen den Vorteil, dass durch ihn die Berechnung des Riemann-Integrals oftmals erleichtert wird. Denn er ermöglicht es bei Integranden f , deren Integrierbarkeit bereits feststeht, die Berechnung des bestimmten Riemann-Integrals ∫ b a f (x) dx durch die Verwendung speziell zugeschnittener Zerlegungen Zn und Zwischenstellen ξi zu erleichtern. Siehe hierzu das folgende Beispiel. Beispiel 19.7 (Riemann-Summen und bestimmtes Riemann-Integral) Betrachtet wird die Exponentialfunktion f : [a, b] −→ R, x %→ erx mit r = 0. Da die Exponentialfunktion stetig ist (vgl. Satz 15.18), folgt mit Satz 19.4, dass sie Riemann-integrierbar ist. Zur Berechnung des bestimmten Riemann-Integrals von f mittels Riemann-Summen werden eine äquidistante Zerlegung Zn = {x0, . . . , xn} des Intervalles [a, b] mit xi := a + ih und h := b−an für i = 0, . . . , n sowie die Stützstellen ξi := a + ih für i = 1, . . . , n gewählt. Man erhält dann die Riemann-Summe Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 f (ξi)(xi − xi−1) = hera n∑ i=1 erhi = hera ( 1 − erh(n+1) 1 − erh − 1 ) = hr erh − 1 1 r ( erb − era) erh, wobei für die vorletzte Gleichung die Summenformel (12.1) verwendet wurde. Wegen h → 0 für n → ∞ erhält man mit der ersten Regel von L’Hôspital (vgl. Satz 16.37) lim h→0 hr erh − 1 = limh→0 r rerh = 1. Für das bestimmte Riemann-Integral von f über [a, b] folgt somit ∫ b a erx dx = lim n→∞Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) = 1 r ( erb − era) . (19.17) Mit dem Ergebnis aus Beispiel 19.7 lassen sich bereits eine Reihe interessanter finanzwirtschaftlicher Fragestellungen untersuchen: 545 Kapitel 19 Riemann-Integral Beispiel 19.8 (Finanzwirtschaftliche Anwendung der Integralrechnung) a) In Beispiel 14.33a) wurde erläutert, dass eine Investition I mit den endlich vielen Auszahlungen K0, . . . , Kn zu den diskreten Zeitpunkten t = 0, . . . , n bei stetiger Verzinsung mit dem Zinssatz p > 0 den Barwert I0(p) = ∑nt=0 Kte−pt besitzt. Ist nun I eine Investition mit dem kontinuierlichen und Riemann-integrierbaren Auszahlungsstrom K : [0, T ] −→ R und Aufwendungen zu Beginn in Höhe von a ≥ 0, dann ist bei stetiger Verzinsung mit dem Zinssatz p > 0 der Barwert von I durch I0(p) = −a + ∫ T 0 K(t)e−pt dt gegeben. Gilt zum Beispiel K(t) = c > 0 für alle t ∈ [0, T ] (stetige Auszahlung mit konstanter Rate c), dann beträgt der Barwert der Investition I I0(p) = −a + c ∫ T 0 e−pt dt, und mit (19.17) folgt daraus I0(p) = −a + c−p ( e−pT − 1) = −a + c p ( 1 − e−pT ) . Ist der Auszahlungsstrom von unbegrenzter Dauer, dann bleibt der Barwert dennoch beschränkt, denn es gilt lim T→∞ ( −a + c p ( 1 − e−pT ) ) = −a + c p . Gilt zum Beispiel konkret p = 5%, T = 10, a = 5000€ und c = 1000€, dann erhält man für die Investition den Barwert I0(5%) = −5000€+ 1000€ 0,05 ( 1 − e−0,05·10) ≈ 2869,39€. Dagegen resultiert für einen zeitlich unbegrenzten Auszahlungsstrom der Barwert I0(5%) = −5000€+ 1000€ 0,05 = 15000€ (vgl. Abbildung 19.5, links). Der Barwert des zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ] noch verbleibenden Auszahlungsstromes ist durch E(t) = ∫ T t K(s)e−p(s−t) ds = ept ∫ T t K(s)e−ps ds gegeben. Gilt wieder K(t)=c>0 für alle t ∈[0, T ], dann erhält man mit (19.17) E(t) = cept ∫ T t e−ps ds = c−p e pt ( e−pT − e−pt) = c p − c p e−p(T−t), und für die erste Ableitung von E nach t gilt somit E′(t) = −ce−p(T−t) < 0. Die Funktion E ist somit streng monoton fallend mit lim t→T E(t) = 0. Da ferner |E′(t)| = ce−p(T−t) streng monoton wachsend ist, erhält man, dass bei konstanter Auszahlungsrate c die Minderung von E(t), d. h. des Barwertes des noch verbleibenden Auszahlungsstromes, umso größer ausfällt, je kleiner der noch verbleibende Auszahlungsstrom ist, d. h. je mehr man sich dem Ende der Laufzeit T der Investition nähert. Gilt zum Beispiel wieder konkret p = 5%, T = 10 und c = 1000€, dann erhält man E(8) ≈ 1903,25€, E(9) ≈ 975,41€ und E(10) = 0,00€ (vgl. Abbildung 19.5, rechts). b) Der interne Zinsfuß einer Investition I mit dem kontinuierlichen und Riemann-integrierbaren Auszahlungsstrom K : [0, T ] −→ R und Aufwendungen zu Beginn in der Höhe von a ≥ 0 ist der Zinssatz ρ, bei dem der Barwert des Auszahlungsstromes gleich den Aufwendungen a ist (vgl. Beispiel 26.7). Der interne Zinsfuß ρ berechnet sich somit als Lösung der Gleichung a = ∫ T 0 K(t)e−ρt dt. Gilt wieder K(t) = c > 0 für alle t ∈ [0, T ], dann erhält man mit (19.17) a = c ∫ T 0 e−ρt dt = c ρ ( 1 − e−ρT ) bzw. a c = 1 − e −ρT ρ . 546 Kapitel 1919.3 Eigenschaften von Riemann-Integralen 20 40 60 80 100 −5000 0 5000 10000 15000 I0(0.05) T ● 0 2 4 6 8 10 0 2000 4000 6000 8000 E(t) ● ● ● Abb. 19.5: Barwert I0(p) = −a + cp ( 1 − e−pT ) der Investition I als Funktion von T ∈ [0, 100] für p = 5%, a = 5000€ und c = 1000€ (links) und Barwert des zum Zeitpunkt t ∈ [0, T ] noch verbleibenden Auszahlungsstromes E(t) = cp − cp e−p(T−t) der Investition I für p = 5%, c = 1000€ und T = 10 (rechts) Da diese Gleichung nicht mit algebraischen Methoden nach ρ aufgelöst werden kann, muss zur Berechnung von ρ ein Näherungsverfahren, wie z. B. das Newton-Verfahren (vgl. Abschnitt 26.4), eingesetzt werden. Setzt man f (ρ) := a c − 1 − e −ρT ρ , dann gilt f ′(ρ) = 1−e−ρT ρ2 − T ρ e−ρT und man erhält die Newton-Iteration ρn+1 = ρn − f (ρn) f ′(ρn) = ρn − a c − 1−e−ρnT ρn 1−e−ρnT ρ2n − T ρn e−ρnT . Gilt zum Beispiel konkret a = 5000€, c = 1000€ und T = 10, dann erhält man mit dem Startwert ρ0 = 5% für den internen Zinsfuß den Näherungswert ρ ≈ 15,94%. 19.3 Eigenschaften von Riemann-Integralen Elementare Integrationsregeln In den bisherigen Ausführungen zum bestimmten Riemann- Integral ∫ b a f (x) dx wurde stets davon ausgegangen, dass zwischen der unteren Integrationsgrenze a und der oberen Integrationsgrenze b die Relation a < b besteht. Von dieser Einschränkung kann man sich jedoch durch die beiden folgenden Konventionen befreien: a) Für eine an der Stelle a ∈ R definierte reelle Funktion f setzt man ∫ a a f (x) dx := 0. (19.18) b) Für eine Riemann-integrierbare Funktion f : [a, b]→R definiert man ∫ a b f (x) dx := − ∫ b a f (x) dx. (19.19) Die beiden folgenden Sätze fassen die wichtigsten Regeln für den Umgang mit bestimmten Riemann-Integralen zusammen. Diese Integrationsregeln werden für die Anwendung 547 Kapitel 19 Riemann-Integral und den weiteren Ausbau der Integralrechnung benötigt. Da diese Regeln unmittelbar einleuchten, wird auf den Beweis dieser beiden Sätze verzichtet. Der erste Satz besagt, dass die Linearkombination αf +βg zweier Riemann-integrierbarer Funktionen f und g wieder Riemann-integrierbar und das bestimmte Riemann-Integral von αf + βg die Linearkombination der bestimmten Riemann-Integrale von f und g ist: Satz 19.9 (Elementare Integrationsregeln) Es seien f, g : [a, b] −→ R Riemann-integrierbare Funktionen und α, β ∈ R. Dann sind auch αf , f + g und αf + βg Riemann-integrierbar und es gilt: a) b∫ a αf (x) dx = α b∫ a f (x) dx (Homogenität) b) b∫ a (f (x)+ g(x)) dx = b∫ a f (x) dx + b∫ a g(x) dx (Additivität) c) b∫ a (αf (x)+βg(x)) dx=α b∫ a f (x) dx+β b∫ a g(x) dx (Linearität) Beweis: Die Aussagen lassen sich leicht für Riemann-Summen nachweisen und mit Satz 19.6 folgt dann die Behauptung. Der folgende Satz besagt, dass ein bestimmtes Riemann- Integral bezüglich des Integrationsintervalles in bestimmte Riemann-Integrale auf Teilintervallen additiv zerlegt werden kann: Satz 19.10 (Additivität bezüglich des Integrationsintervalles) Es sei f : [a, b] −→ R eine beschränkte reelle Funktion und a ≤ c ≤ b. Dann ist f genau dann Riemannintegrierbar, wenn die beiden Restriktionen f|[a,c] und f|[c,b] Riemann-integrierbar sind und es gilt b∫ a f (x) dx = c∫ a f (x) dx + b∫ c f (x) dx. Beweis: Siehe z. B. Henze-Last [24], Seite 302. Der Satz 19.10 bleibt auch richtig, wenn die Voraussetzung a < c < b nicht erfüllt ist. Gilt z. B. a ≤ b ≤ c, dann folgt mit Satz 19.10 zunächst∫ c a f (x) dx = ∫ b a f (x) dx + ∫ c b f (x) dx. Daraus folgt mit (19.19) ∫ b a f (x) dx = ∫ c a f (x) dx − ∫ c b f (x) dx = ∫ c a f (x) dx + ∫ b c f (x) dx. Die anderen möglichen Fälle behandelt man analog. Ferner erhält man mit Folgerung 19.5 und Satz 19.10, dass das bestimmte Riemann-Integral einer stückweise stetigen reellen Funktion f : [a, b] −→ R mit den endlich vielen Sprungstellen a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an gegeben ist durch∫ b a f (x) dx = ∫ a1 a f (x) dx + ∫ a2 a1 f (x) dx + . . . + ∫ b an f (x) dx (vgl. Abbildung 19.6, links und Beispiel 19.11). Beispiel 19.11 (Integration einer stückweise stetigen Funktion) Für das bestimmte Riemann-Integral der reellen Funktion f : [−2,4]→R, x %→f (x) := ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ −x−2 für −2≤x<−1 y1 für x = −1 x für −1 < x < 1 y2 für x = 1 −x+2 für 1 < x < 3 y3 für x = 3 x−4 für 3 < x ≤ 4 (19.20) über dem Intervall [−2, 4] gilt ∫ 4 −2 f (x) dx = ∫ −1 −2 f (x) dx + ∫ 1 −1 f (x) dx + ∫ 3 1 f (x) dx + ∫ 4 3 f (x) dx = ∫ 0 −2 f (x) dx+ ∫ 2 0 f (x) dx+ ∫ 4 2 f (x) dx = ∫ 4 2 f (x) dx = −1. 548 Kapitel 1919.3 Eigenschaften von Riemann-Integralen a a1 a2 b −2 −1 1 2 f (x) l l l l ∫a a1 f (x) dx ∫a1 a2 f (x) dx ∫a2 b f (x) dx −2 −1 1 2 3 4 −1 1 f (x) y1 y2 y3 l l l l l l Abb. 19.6: Zerlegung des bestimmten Riemann-Integrals einer reellen Funktion f : [a, b] −→ R mit zwei Sprungstellen a1 und a2 in drei Riemann-Integrale (links) und Unabhängigkeit des bestimmten Riemann-Integrals der reellen Funktion (19.20) von den Funktionswerten y1, y2 und y3 (rechts) Den Wert des bestimmten Riemann-Integrals ∫ 4 2 f (x) dx erhält man dabei elementar-geometrisch als (orientierten) Flächeninhalt eines Dreieckes. Gemäß Satz 19.13b) ist die Riemann-Integrierbarkeit und der Wert des bestimmten Riemann-Integrals von f unabhängig von den konkreten Funktionswerten y1, y2 und y3 der Funktion f an den Stellen x1 = −1, x2 = 1 bzw. x3 = 3 (vgl. Abbildung 19.6, rechts). Riemann-Integrierbarkeit spezieller Funktionen Der folgende Satz zeigt, dass viele wichtige mathematische Operationen die Riemann-Integrierbarkeit einer reellen Funktion nicht zerstören: Satz 19.12 (Riemann-Integrierbarkeit spezieller Funktionen) Es seien f, g : [a, b]−→R Riemann-integrierbare Funktionen. Dann gilt: a) Ist φ : E→R eine reelle Funktion mit f (x)∈E⊆R für alle x ∈ [a, b] und gibt es ein L ≥ 0, so dass |φ(u)− φ(v)| ≤ L|u− v| (19.21) für alle u, v ∈ E gilt, dann ist auch die Komposition φ ◦ f Riemann-integrierbar. b) Die reellen Funktionen |f |, f + := max {f, 0} , f − := max {−f, 0} und f p für p ≥ 1 sind Riemannintegrierbar. Gilt ferner |f (x)|≥δ für alle x∈[a,b] und ein δ > 0, dann ist auch 1 f Riemann-integrierbar. c) Die reellen Funktionen fg,max {f,g} und min {f,g} sind Riemann-integrierbar. Gilt ferner |g(x)| ≥ δ für alle x ∈ [a, b] und ein δ > 0, dann ist auch f g Riemann-integrierbar. Beweis: Zu a): Aus der Ungleichung |φ(f (x))− φ(f (y))| ≤ L|f (x)− f (y)| für alle x, y ∈ [a, b] ist ersichtlich, dass die Schwankung von φ ◦f in einem Teilintervall von [a, b] höchstens L-mal so groß ist wie die entsprechende Schwankung von f . Für die Schwankungssumme von φ ◦ f gilt somit Oφ◦f (Zn)− Uφ◦f (Zn) ≤ L ( Of (Zn)− Uf (Zn) ) (19.22) (vgl. (19.13)). Mit Satz 19.3 folgt somit die Behauptung. 549 Kapitel 19 Riemann-Integral Zu b): Da die Funktionen φ(u) = |u|, φ(u) = u+ mit u+ := max {u, 0}, φ(u) = u− mit u− := max {−u, 0}, φ(u) = up und die Funktion φ(u) = 1 u für |u| ≥ δ > 0 auf einer beschränkten Menge E die Eigenschaft (19.21) besitzen, folgt mit Aussage a) die Behauptung. Zu c): Eine kurze Rechnung zeigt, dass fg = 1 4 ( (f + g)2 − (f − g)2 ) , max {f, g} = f + (g − f )+, min {f, g} = f − (g − f )− und f g = f 1 g gilt. Mit Aussage b) und Satz 19.9c) folgt daher die Behauptung. Mit Satz 19.4 und Satz 19.12 folgt, dass Beträge, Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von Polynomen, rationalen Funktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, trigonometrischen Funktionen usw. über allen abgeschlossenen Intervallen [a, b], die ganz im Definitionsbereich der Funktion liegen, Riemann-integrierbar sind. R. Lipschitz Eine Funktion φ : E → R mit der Eigenschaft (19.21) wird als Lipschitz-stetig mit der Lipschitz- Konstanten L bezeichnet. Lipschitz-stetige Funktionen sind nach dem deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz (1832–1903) benannt und spielen eine wichtige Rolle in der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Zum Beispiel sind alle stetig differenzierbaren Funktionen f : [a, b] −→ R Lipschitzstetig mit der Lipschitz-Konstanten L = maxx∈[a,b] f ′(x). Lipschitz-stetige Funktionen sind (gleichmäßig) stetig (vgl. Definition 15.34), die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch im Allgemeinen nicht. Übereinstimmung von Riemann-Integralen Der folgende Satz besagt, dass sich die Riemann-Integrierbarkeit und der Wert des Riemann-Integrals nicht verändern, wenn die Funktion an endlich vielen Stellen verändert wird: Satz 19.13 (Übereinstimmung von Riemann-Integralen) Ist f : [a, b] −→ R eine Riemann-integrierbare Funktion und unterscheidet sich g : [a, b] −→ R von f nur an endlich vielen Stellen, dann ist auch g Riemann-integrierbar und es gilt b∫ a f (x) dx = b∫ a g(x) dx. Beweis: Es sei ε > 0 beliebig vorgegeben und die Funktion g unterscheide sich von f nur an einer Stelle x ∈ [a, b] um den Wert u ∈ R. Da f nach Voraussetzung Riemann-integrierbar ist, gibt es gemäß Satz 19.3 eine Zerlegung Zn von [a, b] mit der Eigenschaft Of (Zn) − Uf (Zn) < ε2 . Dabei kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen werden, dass F(Zn) < ε 2|u| gilt, da dies sonst durch eine weitere Verfeinerung der Zerlegung sichergestellt werden könnte. Ferner gilt, dass sich entweder Ug(Zn) von Uf (Zn) oder Og(Zn) von Of (Zn) betragsmäßig höchstens um |u|F(Zn) unterscheidet. Daraus folgt Og(Zn)−Ug(Zn) =Of (Zn)+Og(Zn)−Of (Zn) − (Uf (Zn)+ Ug(Zn)− Uf (Zn) ) =(Of (Zn)−Uf (Zn) )+(Og(Zn)−Of (Zn) ) + (Uf (Zn)− Ug(Zn) ) < ε 2 + |u|F(Zn) < ε. Gemäß Satz 19.3 ist g somit Riemann-integrierbar. Für den allgemeinen Fall, dass sich g von f an endlich vielen Stellen unterscheidet, erhält man den Beweis durch Wiederholung dieser Schlussfolgerung. 19.4 Ungleichungen In diesem Abschnitt werden einige wichtige Ungleichungen für bestimmte Riemann-Integrale bereitgestellt. Elementare Ungleichungen Der folgende Satz fasst einige wichtige elementare Ungleichungen für bestimmte Riemann-Integrale zusammen. Diese Ungleichungen sind unmittelbar plausibel, wenn man sich die geometrische Interpretation des bestimmten Riemann- Integrals als (orientierte) Fläche vergegenwärtigt: 550 Kapitel 1919.4 Ungleichungen Satz 19.14 (Ungleichungen für das Riemann- Integral) Für zwei Riemann-integrierbare Funktionen f, g : [a, b]−→R gilt: a) b∫ a f (x) dx ≥ 0, falls f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] (Positivität) b) b∫ a f (x) dx ≤ b∫ a g(x) dx, falls f (x) ≤ g(x) für alle x ∈ [a, b] (Monotonie) c) b∫ a f (x) dx< b∫ a g(x) dx, falls f und g stetig, f (x)≤g(x) für alle x ∈ [a, b] sowie f (x0) < g(x0) für mindestens ein x0 ∈ [a, b] (strenge Monotonie) d) m(b − a) ≤ b∫ a f (x) dx ≤ M(b − a), falls m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a, b] e) ∣∣∣∣ b∫ a f (x) dx ∣∣∣∣ ≤ b∫ a |f (x)| dx (Dreiecksungleichung) Beweis: Zu a): Es sei ( Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ) n∈N eine beliebige Folge von Riemann-Summen zu Zerlegungen (Zn)n∈N mit lim n→∞F(Zn) = 0. Wegen f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] gilt dann Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ≥ 0 für alle n ∈ N und mit Satz 19.6 folgt b∫ a f (x) dx = lim n→∞Rf (Zn; ξ1, . . . , ξn) ≥ 0. Zu b): Gemäß Voraussetzung gilt g(x)−f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b]. Zusammen mit Satz 19.9c) und Aussage a) folgt daraus die Behauptung b∫ a g(x) dx − b∫ a f (x) dx = b∫ a (g(x)− f (x)) dx ≥ 0. Zu c): Die Funktion h mit h(x) := g(x)−f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] ist stetig und es gibt ein x0 ∈ [a, b] mit h(x0) > 0. Daraus folgt, dass es ein δ > 0 gibt, so dass h(x) ≥ h(x0)2 > 0 für alle x ∈ (x0−δ, x0+δ) gilt. Es gibt daher eine Untersumme Uh(Zn) von h, die positiv ist, wenn die Zerlegung Zn nur hinreichend fein ist. Somit gilt die Behauptung b∫ a g(x) dx − b∫ a f (x) dx = b∫ a h(x) dx = sup Zn Uh(Zn) > 0. Zu d): Mit Satz 19.9a) folgt b∫ a m dx = m b∫ a 1 dx = m(b − a) und b∫ a M dx = M b∫ a 1 dx = M(b − a). Zusammen mit Aussage b) erhält man daraus die Behauptung. Zu e): Durch Integration der beiden Seiten der Ungleichung −f (x) ≤ |f (x)| und f (x) ≤ |f (x)| für alle x ∈ [a, b] erhält man mit Aussage b) − ∫ b a f (x) dx≤ ∫ b a |f (x)| dx bzw. ∫ b a f (x) dx≤ ∫ b a |f (x)| dx und damit die Behauptung. Jensensche Ungleichung J. L. Jensen Die nach dem dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen (1859–1925) benannte Jensensche Ungleichung für Summen (vgl. Satz 13.21) führt zu der folgenden Ungleichung für bestimmte Riemann-Integrale. Diese Ungleichung wird ebenfalls als Jensensche Ungleichung bezeichnet: Satz 19.15 (Jensensche Ungleichung) Es sei f : I ⊆ R −→ R eine stetige reelle Funktion auf dem Intervall I ⊆ R und g : [a, b] −→ R eine Riemannintegrierbare Funktion mit g([a, b]) ⊆ I . Ferner sei auch die Komposition f ◦ g : [a, b] −→ R Riemannintegrierbar. a) Ist f konvex, dann gilt f ( 1 b − a ∫ b a g(t) dt ) ≤ 1 b − a ∫ b a f (g(t)) dt. b) Ist f konkav, dann gilt f ( 1 b − a ∫ b a g(t) dt ) ≥ 1 b − a ∫ b a f (g(t)) dt. 551 Kapitel 19 Riemann-Integral Beweis: Zu a): Die reelle Funktion f sei konvex, Zn = {x0, . . . , xn} eine Zerlegung des Intervalles [a, b] und ξi ∈ [xi−1, xi ] für i = 1, . . . , n seien Stützstellen. Für die beiden Riemann-Summen Rg(Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 g(ξi)(xi − xi−1) bzw. Rf ◦g(Zn; ξ1, . . . , ξn) = n∑ i=1 (f ◦ g)(ξi)(xi − xi−1) folgt dann mit Satz 13.21a) f ( 1 b − a Rg(Zn; ξ1, . . . , ξn) ) = f ( n∑ i=1 xi − xi−1 b − a g(ξi) ) ≤ n∑ i=1 xi − xi−1 b − a f (g(ξi)) = 1 b − a Rf ◦g(Zn; ξ1, . . . , ξn). Da f nach Voraussetzung stetig ist, folgt daraus zusammen mit Satz 19.6 für n → ∞ die Behauptung f ( 1 b − a ∫ b a g(t) dt ) ≤ 1 b − a ∫ b a f (g(t)) dt. Zu b): Ist f eine konkave Funktion, dann ist −f konvex. Folglich gilt für konkave Funktionen die Jensensche Ungleichung in umgekehrter Richtung. Die Jensensche Ungleichung ist in der Ökonomie sowie in der Finanz- und Versicherungsmathematik bei der Untersuchung der unterschiedlichsten Problemstellungen hilfreich (siehe hierzu z. B. Buchanan [9] und Dickson [12]). Zum Beispiel ist sie eines der wichtigsten Hilfsmittel in der Nutzentheorie. 19.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung Gegenstand dieses Abschnittes sind der Mittelwertsatz und der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Integralrechnung. Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz der Integralrechnung ist analog zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung (siehe Abschnitt 16.7) ein wichtiges Resultat der Infinitesimalrechnung, das für den weiteren Ausbau der Integralrechnung sehr hilfreich ist. Zum Beispiel wird er beim Beweis des (ersten) Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (vgl. Satz 19.21) benötigt. Im Folgenden seien f : [a, b] −→ R eine Riemannintegrierbare Funktion mit b > a sowie m := inf x∈[a,b] f (x) und M := sup x∈[a,b] f (x) (19.23) Infimum und Supremum der Funktion f auf dem Intervall [a, b]. Das heißt, es gilt m ≤ f (x) ≤ M (19.24) für alle x ∈ [a, b] und mit Satz 19.14d) erhält man somit die Integralabschätzung m(b − a) ≤ ∫ b a f (x) dx ≤ M(b − a) bzw. m ≤ 1 b − a ∫ b a f (x) dx ≤ M. (19.25) Der Wert μ(f ) := 1 b − a ∫ b a f (x) dx (19.26) wird als Integral-Mittelwert der Funktion f auf [a, b] bezeichnet und gemäß (19.25) gilt m ≤ μ(f ) ≤ M. Ist die Funktion f zusätzlich stetig, dann stimmt in (19.23) das Infimum m mit dem Minimum und das Supremum M mit dem Maximum der Funktion f überein. Das heißt, es gilt min x∈[a,b] f (x) ≤ μ(f ) ≤ max x∈[a,b] f (x). Mit dem Zwischenwertsatz (vgl. Satz 15.28) folgt, dass die stetige Funktion f jeden Wert aus dem Intervall [ min x∈[a,b] f (x), max x∈[a,b] f (x) ] an mindestens einer Stelle ξ ∈ [a, b] annimmt, also auch den Integral-Mittelwert μ(f ). Diese Überlegungen werden durch den folgenden Mittelwertsatz der Integralrechnung zusammengefasst: 552 Kapitel 1919.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung a ξ b m f (ξ) M f (x) l l l m(b − a) M(b − a) ⌠ ⌡a b f (x)dx = f (ξ)(b − a) Abb. 19.7: Graphische Veranschaulichung der Integralabschätzungen (19.25) und des Mittelwertsatzes der Integralrechnung Satz 19.16 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Es sei f : [a, b] −→ R eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann genügt der Integral-Mittelwert μ(f ) der Funktion f den Ungleichungen inf x∈[a,b] f (x) ≤ μ(f ) ≤ sup x∈[a,b] f (x). Ist die Funktion f sogar stetig, dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit μ(f ) = f (ξ), d. h. ∫ b a f (x) dx = f (ξ)(b − a). Beweis: Siehe die Erläuterungen vor Satz 19.16. Die Integralabschätzungen (19.25) und der Mittelwertsatz der Integralrechnung werden in Abbildung 19.7 veranschaulicht: Für eine stetige Funktion mit f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x- Achse im Intervall [a, b], also der Wert ∫ b a f (x) dx, größer gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen m und (b− a), kleiner gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen M und (b − a) und gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen f (ξ) und (b − a) für ein geeignetes ξ ∈ [a, b]. Verallgemeinerter Mittelwertsatz Bezeichnet w : [a, b] −→ R eine Riemann-integrierbare Funktion mit w(x) ≥ 0 oder w(x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, b] sowie m und M wieder Infimum bzw. Supremum von f auf [a, b] (vgl. (19.23)), dann ist durch μ̃(f ) := { 1∫ b a w(x) dx ∫ b a f (x)w(x) dx für ∫ b a w(x) dx = 0 c ∈ [m,M] beliebig für ∫ b a w(x) dx = 0 (19.27) der gewichtete Integral-Mittelwert der Funktion f auf [a, b] gegeben. Mit μ̃(f ) lässt sich Satz 19.16 wie folgt zum sogenannten verallgemeinerten Mittelwertsatz der Integralrechnung verallgemeinern: Satz 19.17 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Integralrechnung) Es seien f,w : [a, b] −→ R zwei Riemann-integrierbare Funktionen und es gelte w(x) ≥ 0 oder w(x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, b]. Dann genügt der gewichtete Integral- Mittelwert μ̃(f ) der Funktion f den Ungleichungen inf x∈[a,b] f (x) ≤ μ̃(f ) ≤ sup x∈[a,b] f (x). (19.28) Ist die Funktion f sogar stetig, dann gibt es ein ξ ∈ [a, b] mit μ̃(f ) = f (ξ), d. h. ∫ b a f (x)w(x) dx = f (ξ) ∫ b a w(x) dx. (19.29) 553 Kapitel 19 Riemann-Integral Beweis: Es gelte w(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b]. Aus (19.24) folgt dann mw(x) ≤ f (x)w(x) ≤ Mw(x) für alle x ∈ [a, b] und zusammen mit Satz 19.9a) sowie Satz 19.14b) impliziert dies m ∫ b a w(x) dx≤ ∫ b a f (x)w(x) dx≤M ∫ b a w(x) dx. (19.30) Ist ∫ b a w(x) dx = 0, dann gilt (19.28) per Definition von μ̃(f ). Ist dagegen ∫ b a w(x) dx = 0, dann folgt (19.28) unmittelbar aus (19.30). Ist die Funktion f zusätzlich stetig, dann kann in (19.28) das Infimumm und das SupremumM durch das Minimum bzw. Maximum der Funktion f ersetzt werden und der Zwischenwertsatz (vgl. Satz 15.28) besagt, dass die Funktion f den gewichteten Integral-Mittelwert μ̃(f ) an mindestens einer Stelle ξ ∈ [a, b] annimmt. Den Fall w(x) ≤ 0 für alle x ∈ [a, b] zeigt man völlig analog. Für die Funktion w : [a, b] −→ R mit w(x) = 1 für alle x ∈ [a, b] erhält man als Spezialfall von Satz 19.17 den (einfachen) Mittelwertsatz der Integralrechnung. Insbesondere gilt dann μ̃(f ) = μ(f ). Die Integralabschätzungen (19.25) und der (verallgemeinerte) Mittelwertsatz der Integralrechnung sind zum Beispiel bei der Abschätzung von bestimmten Riemann-Integralen mit komplizierten Integranden nützlich. Gilt w(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b] und ∫ b a w(x) dx = 1, dann besitztw auch die Interpretation einer Dichtefunktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. 19.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird aufgrund seiner großen Bedeutung für die gesamte Analysis oft auch als Fundamentalsatz der Analysis bezeichnet. Er stellt einen direkten Zusammenhang zwischen den beiden großen Teilgebieten der Infinitesimalrechnung her. Denn er besagt im Wesentlichen, dass die Differential- und Integralrechnung zwei zueinander inverse mathematische Operationen sind. Das heißt, die beiden mathematischen Operationen Ableiten und Integrieren einer Funktion f sind Umkehrungen voneinander. Bei genauer Betrachtung stellt man jedoch fest, dass es sich dabei um zwei verschiedene Resultate handelt, weshalb in manchen Lehrbüchern auch von zwei Hauptsätzen die Rede ist. Geht man von einer stetigen reellen Funktion f zu der neuen Funktion F : [a, b] −→ R, x %→ F(x) := ∫ x c f (t) dt über, dann besagt der erste Hauptsatz, dass man durch Ableiten von F wieder die ursprüngliche Funktion f erhält. Geht man umgekehrt von einer differenzierbaren Funktion F mit Riemann-integrierbarer erster Ableitung F ′ = f aus, dann sagt der zweite Hauptsatz aus, dass durch Integration von f = F ′ bis auf eine additive Konstante wieder F resultiert. J. Gregory Die Erkenntnis, dass die Integration nichts anderes als die Umkehrung der Differentiation ist, reifte bereits in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts. Der erste bekannte Beweis des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung wurde nämlich bereits 1667 vom schottischen Mathematiker und Astronom James Gregory (1638–1675) publiziert. Es waren jedoch – wieder einmal – Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), die als erste – und zwar unabhängig voneinander – bei der Entwicklung der Infinitesimalrechnung die volle Bedeutung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung erkannt haben. Seine heutige formale Form erhielt er jedoch erst durch die Arbeiten von Augustin Louis Cauchy (1789–1857), der 1823 als erster den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung im Rahmen einer formalen Integraldefinition mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung bewiesen hat. Stammfunktionen Für die Formulierung des (ersten und zweiten) Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ist der Begriff der Stammfunktion von zentraler Bedeutung: Definition 19.18 (Stammfunktion) Eine differenzierbare reelle Funktion F : [a, b]→R heißt Stammfunktion der reellen Funktion f : [a, b]→R, wenn für alle x ∈ [a, b] gilt: F ′(x) = f (x) 554 Kapitel 1919.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Stammfunktionen werden für gewöhnlich mit Großbuchstaben, wie z. B. F,G,H, . . ., bezeichnet. Die Suche nach einer Stammfunktion einer reellen Funktion f entspricht der „Umkehrung der Differentiation“. Dieser Umkehrungsprozess erhält seine Bedeutung für die Analysis durch den (ersten und zweiten) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (siehe Satz 19.21 und Satz 19.22). Aus Definition 19.18 folgt unmittelbar, dass eine Stammfunktion im Falle ihrer Existenz nicht eindeutig ist. Genauer gilt, dass eine reelle Funktion f : [a, b] −→ R entweder keine oder unendlich viele Stammfunktionen besitzt. Ist nämlich F eine Stammfunktion der reellen Funktion f , dann gilt (F (x)+ C)′ = F ′(x) = f (x) (19.31) für alle x ∈ [a, b] und eine beliebige Konstante C ∈ R. Die Funktion F +C ist somit auch eine Stammfunktion von f . Der folgende Satz besagt, dass durch F + C bereits alle Stammfunktionen von f gegeben sind. Das heißt, zwei beliebige Stammfunktionen einer reellen Funktion f unterscheiden sich stets lediglich um eine Konstante C ∈ R. Satz 19.19 (Charakterisierung von Stammfunktionen) Zwei Stammfunktionen F1, F2 : [a, b] −→ R einer reellen Funktion f : [a, b] −→ R unterscheiden sich nur um eine Konstante C ∈ R. Das heißt, es gilt F2(x) = F1(x)+ C für alle x ∈ [a, b]. Beweis: Aus F ′1(x) = f (x) und F ′2(x) = f (x) für alle x ∈[a, b] folgt F ′2(x)−F ′1(x) = 0 für alle x ∈ [a, b]. Mit Folgerung 16.29a) erhält man, dass F2−F1 eine konstante Funktion ist und somit F2(x) = F1(x)+C für alle x ∈ [a, b] und eine geeignete Konstante C ∈ R gilt. Mit den im Kapitel 16 ermittelten ersten Ableitungen erhält man unmittelbar für viele wichtige reelle Funktionen die zugehörigen Stammfunktionen: Beispiel 19.20 (Stammfunktionen) a) F(x) = 1 n+1x n+1 ist eine Stammfunktion von f (x) = xn. b) F(x) = ex und G(x) = ln(x) sind Stammfunktionen von f (x) = ex bzw. g(x) = 1 x . c) F(x) = − cos(x) und G(x) = sin(x) sind Stammfunktionen von f (x) = sin(x) bzw. g(x) = cos(x). Für weitere Beispiele von Stammfunktionen reeller Funktionen siehe Tabelle 19.1. Erster Hauptsatz Der erste Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt für stetige Funktionen f die Existenz von Stammfunktionen F sicher und liefert insbesondere den bereits mehrfach erwähnten Zusammenhang zwischen Ableitung und Integration. Satz 19.21 (Erster Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Es sei f : [a, b] −→ R eine stetige reelle Funktion. Dann ist die Funktion F : [a, b] −→ R, x %→ ∫ x c f (t) dt mit c ∈ [a, b] differenzierbar und eine Stammfunktion von f . Das heißt, es gilt für alle x ∈ [a, b] F ′(x) = d dx (∫ x c f (t) dt ) = f (x). Beweis: Da die Funktion f stetig ist, erhält man mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung (vgl. Satz 19.16) F(x0 + h)− F(x0) = ∫ x0+h c f (t) dt − ∫ x0 c f (t) dt = ∫ x0+h x0 f (t) dt = f (ξh)h für x0, x0 + h ∈ [a, b] mit h = 0 und einem geeigneten ξh zwischen x0 und x0 + h. Folglich gilt F(x0 + h)− F(x0) h = f (ξh) und lim h→0 ξh = x0. Zusammen mit der Stetigkeit von f impliziert dies F ′(x0) = lim h→0 F(x0 + h)− F(x0) h = lim h→0 f (ξh) = f (x0). Die Funktion F ist somit differenzierbar und besitzt die erste Ableitung f . 555 Kapitel 19 Riemann-Integral Mit anderen Worten: Durch das bestimmte Riemann-Integral∫ x c f (t) dt mit variabler oberer Integrationsgrenze x ∈ [a, b] wird eine differenzierbare reelle Funktion F in der Variablen x erklärt, die Stammfunktion von f ist. Die Ableitung des bestimmten Integrals F(x) = ∫ x c f (t) dt nach x liefert den Integranden f . Zweiter Hauptsatz Der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt eine einfache und mächtige Methode zur Berechnung bestimmter Riemann-Integrale bereit. Satz 19.22 (Zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) Es sei F : [a, b] −→ R die Stammfunktion einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] −→ R, dann gilt ∫ b a f (x) dx = F(b)− F(a) =: F(x) ∣∣∣ b a . (19.32) Beweis: Es sei (Zn)n∈N eine Folge von Zerlegungen des Intervalles [a, b] mit der Eigenschaft lim n→∞F(Zn) = 0. Dann lässt sich die Differenz F(b) − F(a) bezüglich jeder dieser Zerlegungen Zn wie folgt als Teleskopsumme darstellen: F(b)− F(a) = n∑ i=1 (F (xi)− F(xi−1)) (19.33) Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (vgl. Satz 16.28) lassen sich die Summanden auf der rechten Seite von (19.33) in der Form F(xi)− F(xi−1) = F ′(ξi )(xi − xi−1) mit ξi ∈ (xi−1, xi) schreiben. Es gilt somit F(b)− F(a) = n∑ i=1 F ′(ξi )(xi − xi−1). (19.34) Die rechte Seite von (19.34) ist für jede Zerlegung Zn eine Riemann-Summe mit RF ′ (Zn; ξ1, . . . , ξn) = F(b)− F(a). Da jedoch F ′ = f nach Voraussetzung Riemann-integrierbar ist, folgt daraus die Behauptung ∫ b a f (x) dx = lim n→∞RF ′ (Zn; ξ1, . . . , ξn) = F(b)− F(a). Der zweite Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt also, dass nach Integration der ersten Ableitung f = F ′ einer reellen Funktion wieder die urspüngliche Funktion F resultiert. Insbesondere wird durch den zweiten Hauptsatz das Problem der Berechnung eines bestimmten Riemann-Integrals ∫ b a f (x) dx auf das Problem der Bestimmung einer Stammfunktion F von f zurückgeführt. Da jedoch jede differenzierbare Funktion eine Stammfunktion ihrer ersten Ableitung ist, können auf diese Weise die Erkenntnisse und Ergebnisse der Differentialrechung in Kapitel 16 herangezogen werden. Der zweite Hauptsatz erlaubt es somit bei der Berechnung von bestimmten Riemann- Integralen die in der Regel sehr mühsamen Konvergenzbetrachtungen von Unter- und Obersummen (vgl. Beispiel 19.2) oder Riemann-Summen (vgl. Beispiel 19.7) zu umgehen. Stattdessen kann die Berechnung des bestimmten Riemann- Integrals ∫ b a f (x) dx einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] −→ R in den folgenden zwei Schritten erfolgen: 1) Bestimmung einer Stammfunktion F von f . 2) Berechnung des bestimmten Riemann-Integrals mittels ∫ b a f (x) dx = F(b)− F(a). Da eine Riemann-integrierbare Funktion f : [a, b]→R auch auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von [a, b] Riemannintegrierbar ist (siehe Satz 19.10), kann (19.32) zu F(x) = ∫ x a f (t) dt + F(a) (19.35) für alle x ∈ [a, b] verallgemeinert werden. Die Formel (19.35) wird oft als Newton-Leibniz-Formel bezeichnet. Anstelle von F(x) ∣ ∣b a schreibt man für F(b)−F(a) häufig auch [ F(x) ]b a . Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wurde 1984 inklusive Beweis, Anwendungen und historischen Bemerkungen von dem deutschen Mathematiker Friedrich Wille (1935–1992) in der sogenannten Hauptsatzkantate vertont (vgl. Wille [73]). Beispiel 19.23 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) a) Mit Satz 16.16a) erhält man ∫ π/2 −π/2 cos(x) dx = sin(x) ∣∣ ∣ π/2 −π/2 = sin (π 2 ) −sin ( −π 2 ) = 1 − (−1) = 2. 556 Kapitel 1919.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung b) Mit Satz 16.12 folgt ∫ 2 0 ( −x 2 2 + x + 1 2 ) dx = ( −x 3 6 + x 2 2 + x 2 ) ∣∣∣∣ 2 0 = 5 3 − 0 = 5 3 . c) Mit Satz 16.12 und Satz 16.14a) erhält man ∫ 4 1 ( c1x 3 + c2x2 + c3x + c4 x ) dx = ∫ 4 1 ( c1x 2 + c2x + c3 + c4 x ) dx = ( c1 x3 3 + c2 x 2 2 + c3x + c4 ln(x) ) ∣∣∣∣ 4 1 = 64 3 c1+8c2+4c3 + ln(4)c4− ( 1 3 c1+ 1 2 c2+c3 ) = 63 3 c1 + 15 2 c2 + 3c3 + ln(4)c4. d) Mit Satz 16.12 folgt ∫ 5 2 |x − 4| dx = ∫ 4 2 −(x − 4) dx + ∫ 5 4 (x − 4) dx = − ( x2 2 − 4x ) ∣∣∣ ∣ 4 2 + ( x2 2 − 4x ) ∣∣∣ ∣ 5 4 = 8 − 6 − 15 2 + 8 = 5 2 . e) Mit Satz 16.14a) und e) erhält man ∫ e 1 ( 2 +√x + 3x2 − 3 x2 + 1 x ) dx = ( 2x + 2 3 x 3 2 + x3 + 3 x + ln(x) ) ∣∣ ∣∣ e 1 = 2e + 2 3 e 3 2 + e3 + 3 e + 1 − ( 2 + 2 3 + 1 + 3 ) ≈ 23,947. f) Mit Satz 16.14c) und d) sowie Satz 16.16b) folgt ∫ e 1 ( 3x − e x4 + sin(2x) ) dx = ( 3x ln(3) − 4e x4 − 1 2 cos(2x) ) ∣∣ ∣∣ e 1 = 3 e ln(3) −4e e4 − 1 2 cos(2e) − ( 3 ln(3) −4e 14 − 1 2 cos(2) ) ≈ 12,008. Im folgenden Beispiel wird der Nutzen des zweiten Hauptsatzes der Integralrechnung anhand einer konkreten wirtschaftswissenschaftlichen Problemstellung verdeutlicht: Beispiel 19.24 (Berechnung der Kostenfunktion aus den Grenzkosten) In den Wirtschaftswissenschaften werden die Kosten, die durch die Produktion einer zusätzlichen Einheit eines Produktes entstehen, als Grenzkosten bezeichnet und durch eine sogenannte Grenzkostenfunktion k : R+ −→ R beschrieben. Die Grenzkostenfunktion ist damit die erste Ableitung einer differenzierbaren Kostenfunktion K : R+ −→ R, welche die Kosten für das Produkt K(x) in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x angibt. Umgekehrt kann gemäß dem zweiten Hauptsatz der Integralrechnung aus der Grenzkostenfunktion k durch Integration die Kostenfunktion K ermittelt werden, falls die Fixkosten bekannt sind: ∫ x 0 k(t) dt = K(t) ∣ ∣∣ x 0 = K(x)−K(0) bzw. K(x) = K(0)+ ∫ x 0 k(t) dt für alle x ∈ R+. Der WertK(0) gibt die Fixkosten an, d. h. den Teil der Kosten K(x), der auch bei einer Produktionsmenge von x = 0 anfällt und damit unabhängig von der Produktionsmenge x ist. Dagegen beschreibt ∫ x 0 k(t) dt die variablen Kosten, d. h. den Teil der Kosten, der von der Produktionsmenge x abhängig ist. Ist die Grenzkostenfunktion z. B. durch k : R+ −→ R, t %→ k(t) = (t − 32 )2 +1 gegeben und gilt für die Fixkosten K(0) = 32 , dann erhält man für die Kostenfunktion K(x) = K(0)+ ∫ x 0 k(t) dt = ∫ x 0 (( t − 3 2 )2 + 1 ) dt + 3 2 = ( 1 3 t3 − 3 2 t2 + 13 4 t )∣∣∣ ∣ x 0 + 3 2 = 1 3 x3 − 3 2 x2 + 13 4 x + 3 2 für alle x ∈ R+ (vgl. Abbildung 19.8, links). 557 Kapitel 19 Riemann-Integral 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 k(x) K(x) K(0)l 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 5 10 l f (x) εf (x) Abb. 19.8: Grenzkostenfunktion k : R+ −→ R, t %→ ( t − 32 )2+1 und zugehörige KostenfunktionK : R+ −→ R, x %→ 13x3− 32 x2+ 13 4 x + 32 (links) sowie reelle Funktion f : (0,∞) −→ R, x %→ 5x4e3x−3 und zugehörige Elastizität εf : (0,∞) −→ R, x %→ 4 + 3x (rechts) Riemann-Integrierbarkeit versus Stammfunktion Bei der Berechnung von bestimmten Riemann-Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen ist zu beachten, dass Riemann-Integrierbarkeit einer reellen Funktion f nicht mit der Existenz einer Stammfunktion F gleichgesetzt werden kann. Denn nicht jede Riemann-integrierbare Funktion f : [a, b] −→ R besitzt eine Stammfunktion F . Umgekehrt muss die Ableitung f = F ′ einer differenzierbaren Funktion F nicht automatisch Riemann-integrierbar sein. Zum Beispiel kann man zeigen, dass die reelle Funktion F : [0,∞)−→R, x %→F(x) := {√ x3 sin ( 1 x ) für x > 0 0 für x = 0 differenzierbar ist und die erste Ableitung f (x) := F ′(x) = { 3 2 √ x sin ( 1 x )− 1√ x cos ( 1 x ) für x > 0 0 für x = 0 besitzt. Die Funktion f ist jedoch auf keinem Intervall [0, b] mit b > 0 Riemann-integrierbar. Denn die Funktion f ist an der Stelle x0 = 0 unbeschränkt, aber gemäß Definition 19.1 ist eine Riemann-integrierbare Funktion stets beschränkt. Zusammengefasst verdeutlichen diese Ausführungen, dass die Existenz einer Stammfunktion F für eine reelle Funktion f und die Existenz des bestimmten Riemann-Integrals einer reellen Funktion f verschiedene Dinge sind und deshalb sorgfältig auseinander gehalten werden müssen. Dies bedeutet insbesondere auch, dass die Newton-Leibniz-Formel F(x) = ∫ x a f (t) dt + F(a) keine Allgemeingültigkeit besitzt. Denn zum einen ist es möglich, dass die erste Ableitung f = F ′ einer Stammfunktion F nicht Riemann-integrierbar ist und damit das bestimmte Riemann-Integral ∫ x a f (t) dt nicht existiert, und zum anderen ist es möglich, dass eine Riemann-integrierbare reelle Funktion f keine Stammfunktion F besitzt. Unbestimmtes Riemann-Integral Es wurde bereits gezeigt, dass die Stammfunktion einer Riemann-integrierbaren Funktion f : [a, b] −→ R im Falle ihrer Existenz nicht eindeutig ist (vgl. (19.31)). Diese Erkenntnis motiviert die folgende Definition des unbestimmten Riemann-Integrals einer Riemann-integrierbaren Funktion f : 558 Kapitel 1919.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Definition 19.25 (Unbestimmtes Riemann-Integral) Es sei f : [a, b] −→ R eine Riemann-integrierbare Funktion. Dann heißt die Menge aller Stammfunktionen von f unbestimmtes Riemann-Integral von f auf dem Intervall [a, b] und wird bezeichnet mit ∫ f (x) dx. Das unbestimmte Riemann-Integral von f ist im Gegensatz zum bestimmten Riemann-Integral von f keine reelle Zahl, sondern die Menge aller Stammfunktionen von f . Da sich jedoch gemäß Satz 19.19 zwei Stammfunktionen einer reellen Funktion f lediglich um eine additive Konstante unterscheiden, ist es üblich, diese Menge von Stammfunktionen von f mit ∫ f (x) dx = F(x)+ C zu bezeichnen, wobei F eine beliebige Stammfunktion von f ist und C Integrationskonstante des unbestimmten Integrals von f genannt wird. Es gilt somit die Äquivalenz ∫ f (x) dx = F(x)+ C ⇐⇒ F ′(x) = f (x). Bei Verwendung der Schreibweise ∫ f (x) dx sollte man sich stets bewusst sein, dass dieses Symbol eine Stammfunktion von f nur bis auf eine beliebige additive Konstante beschreibt. So gilt z. B. ∫ x2 dx = 13x3, aber ebenso auch∫ x2 dx = 13x3 + 2. Das folgende Beispiel zeigt, dass unbestimmte Integrale auch bei wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen auftreten: Beispiel 19.26 (Ermittlung einer Funktion aus der Elastizität) Aus der Elastizität εf (x) einer stetig differenzierbaren positiven reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R kann durch Integration die zugrundeliegende Funktion f zurückgewonnen werden. Denn aus der Definition der Elastizität εf (x) := x · f ′(x)f (x) (vgl. Definition 16.44d)) erhält man f ′(x) f (x) = εf (x) x und und damit das unbestimmte Integral ∫ εf (x) x dx = ∫ f ′(x) f (x) dx = ln(f (x))+ C, wobei für die letzte Gleichung die Integrationsformel (19.48) verwendet wurde. Daraus erhält man für f die Darstellung f (x) = e ∫ εf (x) x dx−C, und ist F(x) eine Stammfunktion von εf (x) x , dann folgt weiter f (x) = eF(x)−C = e−CeF(x) = ρeF(x) mit ρ := e−C. (19.36) Ist nun zusätzlich ein Funktionswert f (a) von f gegeben, dann erhält man aus (19.36) f (a) = ρeF(a) bzw. ρ = f (a) eF(a) . Dies impliziert für die Funktion f die Darstellung f (x) = f (a) eF(a) eF(x) = f (a)eF(x)−F(a). (19.37) Besitzt eine Funktion f : (0,∞) −→ R z. B. konkret die lineare Elastizität εf : (0,∞) −→ R, x %→ 4 + 3x und den Funktionswert f (1) = 5, dann gilt εf (x) x = 4 x + 3 und F(x) = 4 ln(x)+ 3x. In (19.37) eingesetzt liefert dies f (x) = f (1)eF(x)−F(1) = 5e4 ln(x)+3x−3 = 5x4e3x−3 (vgl. Abbildung 19.8, rechts). In Tabelle 19.1 sind einige wichtige elementare reelle Funktionen und ihr unbestimmtes Riemann-Integral (Stammfunktion) zusammengestellt. Diese unbestimmten Riemann-Integrale werden oftmals als Grundintegrale bezeichnet und dienen als Ausgangspunkt für die praktische Rechnung mit (bestimmten und unbestimmten) Riemann-Integralen. Sie ergeben sich unmittelbar aus den in Abschnitt 16.5 ermittelten ersten Ableitungen für die wichtigsten elementaren Funktionen. Beim Integrieren ist die Tabelle 19.1 von links nach rechts und beim Differenzieren von rechts nach links zu lesen. Dabei sind die angegebenen Funktionen f für alle x ∈ R definiert, ausgenommen dort, wo auftretende Nenner Null werden oder unter Wurzeln negative Werte resultieren. 559 Kapitel 19 Riemann-Integral f (x) = F ′(x) F (x)+ C = ∫ f (x) dx Bemerkungen a ax + C xc 1 c+1xc+1 + C R für c ∈ N0 R \ {0} für c ∈ {−2,−3, . . .} R+ für c > 0 R+ \ {0} für c < 0 mit c = −1 1 x ln |x| + C x = 0 ex ex + C erx 1r e rx + C r = 0 ax 1ln(a) a x + C a > 0, a = 1 xx(1 + ln(x)) xx + C x > 0 ln(x) x(ln(x)− 1)+ C x > 0 loga(x) x ln(a) (ln(x)− 1)+ C a > 0,x > 0 sin(x) − cos(x)+ C cos(x) sin(x)+ C tan(x) − ln | cos(x)| + C x = (2k + 1) π2 , k ∈ Z cot(x) ln | sin(x)| + C x = kπ , k ∈ Z 1 sin2(x) − cot(x)+ C x = kπ , k ∈ Z 1 cos2(x) tan(x)+ C x = (2k + 1) π2 , k ∈ Z 1√ 1−x2 arcsin (x)+ C |x| < 1 1 1+x2 arctan (x)+ C 1 1−x2 1 2 ln ( 1+x 1−x ) + C |x| < 1 1 1−x2 1 2 ln ( x+1 x−1 ) + C |x| > 1 1√ 1+x2 ln ( x + √ 1 + x2 ) + C 1 ± √ x2−1 ± ln ( x + √ x2 − 1 ) + C |x| > 1 Tabelle 19.1: Grundintegrale für reelle Funktionen 19.7 Berechnung von Riemann-Integralen Berechenbarkeit von Riemann-Integralen Im Kapitel 16 zur Differentialrechnung hat sich gezeigt, dass alle elementaren Funktionen f (d. h. Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten, Kompositionen und Umkehrfunktionen von Polynomen, rationalen Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen) differenzierbar und ihre Ableitungen f ′ ebenfalls elementare Funktionen sind. Diese Tatsache ist die Ursache da- J. Liouville für, dass das Differenzieren einer reellen Funktion im Allgemeinen keine Schwierigkeiten bereitet. Bedauerlicherweise gilt dies nicht für die Integration. Denn die analytische Berechnung des Riemann-Integrals von elementaren Funktionen ist oftmals sehr schwierig oder gar unmöglich. Aus diesem Grund sagt man: „Die Differentiation gehört zum Handwerk, die Integration dagegen zur Kunst“. Zum Beispiel ist die elementare Funktion f (x) = sin(x) x (19.38) leicht differenzierbar, aber alle Versuche diese Funktion zu integrieren müssen fehlschlagen, da der französische Mathematiker Joseph Liouville (1809–1882) und andere nachgewiesen haben, dass sich diese und viele weitere Funktionen, wie z. B. e−x 2 , ex x , 1 ln(x) oder √ a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0, (19.39) nicht geschlossen integrieren lassen. Das heißt, eine Darstellung des Riemann-Integrals dieser Funktionen als elementare Funktion „in geschlossener Form“ ist nicht möglich. Dies gilt trotz der Tatsache, dass die Funktionen (19.38) und (19.39) als stetige Funktionen Riemann-integrierbar sind und damit die zugehörigen Riemann-Integrale grundsätzlich existieren (vgl. Satz 19.4). Es gilt sogar, dass für diese Funktionen aufgrund ihrer Stetigkeit durch den ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechung (vgl. Satz 19.21) die Existenz von Stammfunktionen sichergestellt ist. Unglücklicherweise sind jedoch diese Stammfunktionen nicht elementar darstellbar und die Riemann-Integrale der Funktionen (19.38) und (19.39) können deshalb nicht mit Hilfe der durch den zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechung bereitgestellten Newton-Leibniz-Formel (19.35) in geschlossener Form angegeben werden. Die Integration führt somit im Allgemeinen aus der Menge der elementaren Funktionen heraus. Sie liefert oftmals nicht 560 Kapitel 1919.7 Berechnung von Riemann-Integralen Denkmal von C.F. Gauß in Braunschweig elementare, aber für die Theorie und Praxis dennoch wichtige „höhere“ Funktionen der Form F(x) = ∫ x a f (t) dt, (19.40) wobei f eine elementare Funktion, wie z. B. die in (19.38) und (19.39) angegebenen, sein kann. Ein sehr bekanntes Beispiel für solch eine nicht elementare Funktion ist die nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777–1855) benannte Gaußsche Fehlerfunktion (x) := 2√ π ∫ x 0 e−t 2 dt für alle x ≥ 0. Sie besitzt für die Wahrscheinlichkeitstheorie, die Statistik, die Finanz- und Versicherungsmathematik sowie für viele weitere Bereiche eine herausragende Bedeutung. Die Funktionswerte der Gaußschen Fehlerfunktion und vieler anderer höherer Funktionen, die durch Integration elementarer Funktionen entstehen, können jedoch mit Hilfe von Potenzreihen (siehe Abschnitt 17.4) oder numerischer Integration (vgl. Kapitel 29) beliebig genau berechnet werden. Im weiteren Verlauf dieses Kapitels werden nur noch elementare Funktionen betrachtet, für die eine Stammfunktion existiert und deren Riemann-Integral wieder eine elementare Funktion ist. Das Ziel dieses und des nächsten Abschnittes ist es, die in diesem Kapitel bisher entwickelten Konzepte dadurch weiter auszubauen, dass der Zusammenhang zwischen Integration und Differentiation noch stärker ausgenutzt wird. Da das Auffinden von Stammfunktionen gerade der Umkehrungsprozess des Differenzierens ist, lassen sich die Differentiationsregeln aus Kapitel 16 in Integrationsregeln umwandeln, die zur Bestimmung von Stammfunktionen eingesetzt werden können. Das Ergebnis ist eine Technik des Integrierens, mit der ein zu berechnendes Riemann-Integral auf die Grundintegrale in Tabelle 19.1 oder andere bereits bekannte Riemann-Integrale zurückgeführt und damit eine Stammfunktion für das betrachtete Riemann-Integral analytisch ermittelt werden kann. Wie sich jedoch zeigen wird, sind dabei oftmals „kreative“ Ideen und „phantasievolle“ Ansätze notwendig. Diese Technik des Integrierens ist für viele Bereiche der Wirtschaftswissenschaften unentbehrlich. Daran ändert auch die Tatsache nichts, dass in sogenannten Integraltafeln Tausende von unbestimmten Integralen (Stammfunktionen) aufgelistet sind (vgl. z. B. Gröbner-Hofreiter [21] und Gradshteyn-Ryzhik [20]) und bei Bedarf nachgeschlagen werden können, sowie eine Reihe von Computeralgebrasystemen, wie z. B. Derive, Maple, Mathcad, Mathematica und MuPAD, mittlerweile in der Lage sind, fast alle bisher tabellierten Integrale problemlos zu berechnen. Berücksichtigung von Symmetrien Häufig lassen sich bestimmte Riemann-Integrale ∫ b a f (x) dx leichter berechnen, wenn vorhandene Symmetrieeigenschaften des Integranden f erkannt und berücksichtigt werden. Denn für eine gerade reelle Funktion f : [a, b] −→ R mit f (−x) = f (x) für alle x ∈ [a, b] gilt ∫ c −c f (x) dx = ∫ 0 −c f (x) dx + ∫ c 0 f (x) dx = 2 ∫ c 0 f (x) dx für alle [−c, c] ⊆ [a, b]. Für eine ungerade reelle Funktion f : [a, b] −→ R mit f (x) = −f (−x) für alle x ∈ [a, b] gilt dagegen für alle [−c, c] ⊆ [a, b] ∫ c −c f (x) dx = ∫ 0 −c f (x) dx + ∫ c 0 f (x) dx = 0. Beispiel 19.27 (Berücksichtigung von Symmetrieeigenschaften) a) Die Kosinusfunktion cos : [−π/2, π/2] −→ R, f (x) = cos(x) ist eine gerade Funktion, d. h. es gilt f (x) = f (−x). Man erhält somit ∫ π/2 −π/2 cos(x) dx = 2 ∫ π/2 0 cos(x) dx = 2 sin(x) ∣∣ ∣ π/2 0 = 2(1 − 0) = 2 (vgl. Abbildung 19.9, links). b) Die Funktion f : [−5, 5] −→ R, f (x) = e x − e−x 2 ist eine ungerade Funktion, d. h. es gilt f (x) = −f (−x). Man erhält somit ∫ 5 −5 ( ex − e−x 2 ) dx = 0 (vgl. Abbildung 19.9, rechts). 561 Kapitel 19 Riemann-Integral f (x) = cos (x) − π 2 π 2 −1 −0.5 0.5 1 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −80 −60 −40 −20 20 40 60 80 f(x) = exp (x) − exp (− x) 2 Abb. 19.9: Gerade reelle Funktion cos : [−π/2, π/2] −→ R, f (x) = cos(x) (links) und ungerade reelle Funktion f : [−5, 5] −→ R, f (x) = ex−e−x2 (rechts) Methode der partiellen Integration Ein wichtiges Hilfsmittel bei der expliziten Berechnung von Riemann-Integralen ist die Methode der partiellen Integration (auch Produktintegration genannt). Es handelt sich dabei um eine Integrationsmethode, die durch Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung (fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0)+ f (x0)g′(x0) entsteht (vgl. Satz 16.6c)). Die Bezeichnung „partielle“ Integration soll darauf hinweisen, dass die Integration nur in dem Sinne teilweise erfolgt, dass das bestimmte Riemann-Integral einer reellen Funktion fg′ auf das Riemann-Integral der reellen Funktion f ′g zurückgeführt wird. Dieses Verfahren ist daher nur sinnvoll, wenn das bestimmte Riemann-Integral mit dem Integranden f ′g leichter zu berechnen ist als das bestimme Riemann-Integral mit dem Integranden fg′. Die Methode der partiellen Integration wird durch den folgenden Satz konkretisiert: Satz 19.28 (Partielle Integration) Es seien f, g : [a, b] −→ R zwei stetig differenzierbare reelle Funktionen. Dann ist fg′ Riemann-integrierbar auf [a, b] und es gilt für das unbestimmte Riemann-Integral ∫ f (x)g′(x) dx = f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx (19.41) sowie für das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x)g′(x) dx = f (x)g(x) ∣∣ ∣ b a − ∫ b a f ′(x)g(x) dx. (19.42) Beweis: Die Funktion fg′ ist als Produkt stetiger Funktionen stetig. Mit Satz 19.4 folgt somit, dass fg′ Riemann-integrierbar ist. Für die Gültigkeit von (19.41) ist lediglich nachzuweisen, dass die rechte Seite von (19.41) eine Stammfunktion von fg′ ist. Es ist also zu zeigen, dass die Differentiation der rechten Seite von (19.41) fg′ ergibt. Dies ist jedoch der Fall, denn mit der Produktregel der Differentialrechnung (vgl. Satz 16.6c)) erhält man d dx ( f (x)g(x)− ∫ f ′(x)g(x) dx ) = d dx f (x)g(x)− d dx ∫ f ′(x)g(x) dx = f ′(x)g(x)+ f (x)g′(x)− f ′(x)g(x) = f (x)g′(x), also (19.41). Daraus folgt unmittelbar auch (19.42). 562 Kapitel 1919.7 Berechnung von Riemann-Integralen Entscheidend für eine sinnvolle Anwendung der Produktintegration ist, dass sich der Integrand des vorliegenden Riemann-Integrals als ein Produkt der Form fg′ darstellen lässt, so dass sowohl die Stammfunktion g von g′ als auch das Riemann-Integral ∫ f ′(x)g(x) dx leichter ermittelt werden können als das ursprüngliche Riemann-Integral∫ f (x)g′(x) dx. Als grobe Richtschnur bei der Anwendung der Produktintegration lässt sich somit festhalten, dass bei einem Riemann-Integral mit einem Integranden, der ein Produkt zweier reeller Funktionen ist, derjenige Faktor als Funktion f gewählt werden sollte, der sich durch Differenzieren „vereinfacht“, und derjenige Faktor als Funktion g′, der sich beim Integrieren wenigstens nicht allzusehr „verkompliziert“. Was dabei als eine Vereinfachung und eine Verkomplizierung verstanden werden kann, lässt sich nicht präzise formulieren. Als eine Vereinfachung kann z. B. angesehen werden, wenn von Potenzfunktionen f (x) = xn mit n ∈ N zu Ableitungen f ′(x) = nxn−1 mit niedrigeren Potenzen übergegangen wird. Es liegt ebenfalls eine Vereinfachung vor, wenn z. B. beim Differenzieren von f (x) = ln(x) zu f ′(x) = 1 x , von f (x) = arctan(x) zu f ′(x) = 1 1+x2 oder von f (x) = arcsin(x) zu f ′(x) = 1√ 1−x2 übergegangen wird. Dagegen werden beim Integrieren die Funktionen ex , sin(x) und cos(x) nicht komplizierter, da ihre Stammfunktionen ex,− cos(x) bzw. sin(x) von der gleichen Bauart sind. Die partielle Integration ist deshalb besonders gut zur Berechnung von Riemann-Integralen der Form ∫ xn ln(x) dx, ∫ xneax dx, ∫ xn sin(ax) dx oder ∫ xn cos(ax) dx geeignet (vgl. Beispiel 19.29). Zur effektiven Nutzung der Methode der partiellen Integration bei der Berechnung eines Riemann-Integrals gibt es verschiedene „Standardtricks“. Zum Beispiel kann man sich in manchen Fällen zunutze machen, dass nach Anwendung der Produktintegration das ursprüngliche Riemann-Integral auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens wiederkehrt, welches dann mit dem Riemann-Integral auf der linken Seite zusammengefasst werden kann (vgl. Beispiel 19.29c) und Beispiel 19.31b)). In anderen Fällen, bei denen der Integrand des Riemann- Integrals ursprünglich kein Produkt von zwei Funktionen ist, kann es zielführend sein, durch Einfügen des Faktors 1 den Integranden in die Form 1·f zu bringen und anschließend die Methode der partiellen Integration einzusetzen. Mit diesem Ansatz können z. B. die Riemann-Integrale ∫ ln(x) dx, ∫ arcsin(x) dx, ∫ arccos(x) dx, ∫ arctan(x) dx und ∫ arccot(x) dx problemlos berechnet werden (vgl. Beispiel 19.29b)). Oftmals muss bei der Berechnung eines Riemann-Integrals die Methode der partiellen Integration auch mehrfach angewendet werden, bevor man schließlich eine Stammfunktion erhält. Dies ist z. B. bei den Riemann-Integralen ∫ xn sin(x) dx, ∫ xn cos(x) dx und ∫ xnex dx (19.43) der Fall (vgl. Beispiel 19.29d)). Das konkrete Vorgehen bei der Methode der partiellen Integration wird im folgenden Beispiel verdeutlicht: Beispiel 19.29 (Partielle Integration) a) Produktintegration mit f (x) = x, f ′(x) = 1, g′(x) = ex und g(x) = ex liefert ∫ xex dx = xex − ∫ ex dx = xex − ex + C = (x − 1)ex + C. Zum Beispiel erhält man für das bestimmte Riemann- Integral ∫ 1 −1 xe x dx den Wert ∫ 1 −1 xex dx = (x − 1)ex ∣∣ ∣ 1 −1 = 0 + 2e−1 ≈ 0,7358 (vgl. Abbildung 19.10, links). b) Produktintegration mit f (x) = ln(x), f ′(x) = 1 x , g′(x) = 1 und g(x) = x liefert ∫ ln(x) dx = ∫ ln(x) · 1 dx = ln(x)x − ∫ 1 x x dx = ln(x)x − x + C. Zum Beispiel erhält man für ∫ e 1 ln(x) dx den Wert ∫ e 1 ln(x) dx = x(ln(x)− 1) ∣∣∣ e 1 = 0 − (−1) = 1. 563 Kapitel 19 Riemann-Integral −1 −0.5 0.5 1 −1 1 2 3 f (x) = xe x π 2 π 3π 2 2π −0.5 0 0.5 f (x)= sin(x)cos (x) Abb. 19.10: Reelle Funktion f : [−1, 1] −→ R, x %→ xex (links) und reelle Funktion f : [0, 2π ] −→ R, x %→ sin(x) cos(x) (rechts) c) Durch Produktintegration mit f (x) = cos(x), f ′(x) = − sin(x), g′(x) = sin(x) und g(x) = − cos(x) erhält man ∫ sin(x) cos(x) dx = − cos(x) cos(x) − ∫ sin(x) cos(x) dx bzw. 2 ∫ sin(x) cos(x) dx = − cos2(x). Unter Berücksichtigung der Integrationskonstanten ergibt dies ∫ sin(x) cos(x) dx = −1 2 cos2(x)+ C. Zum Beispiel erhält man für das bestimmte Riemann- Integral ∫ 2π 0 sin(x) cos(x) dx den Wert ∫ 2π 0 sin(x) cos(x) dx = −1 2 cos2(x) ∣ ∣∣ 2π 0 = −1 2 − ( −1 2 ) = 0 (vgl. Abbildung 19.10, rechts). d) Durch Produktintegration mit f (x)=x2, f ′(x)=2x, g′(x) = sin(x) und g(x) = − cos(x) folgt ∫ x2 sin(x) dx = −x2 cos(x)+ 2 ∫ x cos(x) dx. (19.44) Für das unbestimmte Riemann-Integral auf der rechten Seite von (19.44) erhält man durch erneute Anwendung der Produktintegration mit f (x) = x, f ′(x) = 1, g′(x) = cos(x) und g(x) = sin(x) ∫ x cos(x) dx = x sin(x)− ∫ sin(x) dx = x sin(x)+ cos(x). Unter Berücksichtigung der Integrationskonstanten ergibt dies schließlich ∫ x2 sin(x) dx = −x2 cos(x)+ 2x sin(x) + 2 cos(x)+ C. 564 Kapitel 1919.7 Berechnung von Riemann-Integralen Beispiel 19.30 (Investitionswert bei kontinuierlichem Auszahlungsstrom) Der Wert einer Investition I mit kontinuierlichem und Riemannintegrierbarem Auszahlungsstrom K : [0, T ] −→ R und Aufwendungen zum Zeitpunkt t = 0 in Höhe von a ≥ 0 beträgt bei stetiger Verzinsung mit dem Zinssatz p > 0 zum Zeitpunkt s ∈ [0, T ] Is(p) = eps · I0(p) = −aeps + ∫ T 0 K(t)e−p(t−s) dt (vgl. auch Beispiel 19.8a)). Bei einem kontinuierlichen Auszahlungsstrom mit linear ansteigender Rate K(t) = 300t für alle t ∈ [0, T ] vereinfacht sich dies zu Is(p) = −aeps + 300eps ∫ T 0 te−pt dt und durch Produktintegration erhält man weiter Is(p)=−aeps + 300eps ( − t p e−pt ∣∣∣∣ T 0 + 1 p ∫ T 0 e−pt dt ) =−aeps + 300eps ( −T p e−pT − 1 p2 e−pt ∣ ∣∣ ∣ T 0 ) =−aeps + 300eps ( −T p e−pT − 1 p2 ( e−pT − 1) ) . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Is(0.1 ) l l l Abb. 19.11: Wert Is (p) der Investition I zum Zeitpunkt s ∈ [0, T ] für p = 10%, T = 10 und a = 5000€ Gilt zum Beispiel konkret p = 10%, T = 10 und a = 5000€, dann erhält man I0(10%) = 2927,23€, I5(10%) = 4826,19€ und I10(10%) = 7957,05€ (vgl. Abbildung 19.11). Rekursionsformeln Einige Riemann-Integrale, wie z. B. die in (19.43) angegebenen oder die Riemann-Integrale ∫ x2 sinn(x) dx, ∫ x2 cosn(x) dx und ∫ x2 lnn(x) dx, sind von einem Parameter n ∈ N0 abhängig. Bei solchen Riemann-Integralen kann man oftmals mit der Methode der partiellen Integration ein Riemann-Integral der gleichen Form, aber mit reduzierten Parameterwerten n − 1 oder n − 2 erzeugen. Durch wiederholte Anwendung der Produktintegration resultiert dann eine Rekursionsformel, mit deren Hilfe das gegebene Riemann-Integral schrittweise berechnet werden kann. Da Rekursionsformeln in der gesamten Mathematik eine wichtige Rolle spielen, wird das konkrete Vorgehen im folgenden Beispiel demonstriert: 565 Kapitel 19 Riemann-Integral Beispiel 19.31 (Rekursionsformeln) a) Durch Produktintegration mit f (x)= lnn(x), f ′(x)= n x lnn−1(x), g′(x) = 1 und g(x) = x erhält man die Rekursionsformel ∫ lnn(x) dx = x lnn(x)− ∫ n x lnn−1(x)x dx = x lnn(x)− n ∫ lnn−1(x) dx für alle n ∈ N. b) Durch Produktintegration mit f (x) = sinn−1(x), g′(x) = sin(x), f ′(x) = (n − 1) sinn−2(x) cos(x) und g(x) = − cos(x) folgt ∫ sinn(x) dx = − sinn−1(x) cos(x) + (n− 1) ∫ sinn−2(x) cos2(x) dx für alle n ≥ 2. Wegen cos2(x) = 1 − sin2(x) ergibt sich daraus weiter ∫ sinn(x) dx = − sinn−1(x) cos(x) + (n− 1) ∫ sinn−2(x) dx − (n− 1) ∫ sinn(x) dx. Nach Zusammenfassung gleicher Riemann-Integrale und anschließender Division mit n erhält man für n ≥ 2 die Rekursionsformel ∫ sinn(x) dx = − sin n−1(x) cos(x) n (19.45) + n− 1 n ∫ sinn−2(x) dx. Auf ähnliche Weise wie in Beispiel 19.31 lassen sich viele andere Rekursionsformeln ermitteln. Zum Beispiel gilt: ∫ cosn(x) dx = sin(x) cos n−1(x) n + n− 1 n ∫ cosn−2(x) dx für n ≥ 2 ∫ sinm(x) cosn(x) dx= sin m+1(x) cosn−1(x) m+ n + n− 1 m+ n ∫ sinm(x) cosn−2(x) dx für n≥2, m≥1 ∫ tann(x) dx= tan n−1(x) n− 1 − ∫ tann−2(x) dx für n ≥ 2 ∫ cotn(x) dx=−cot n−1(x) n− 1 − ∫ cotn−2(x) dx für n ≥ 2 ∫ xnex dx = xnex − n ∫ xn−1ex dx für n ≥ 2 ∫ xn sin(x) dx=−xn cos(x) + n ∫ xn−1 cos(x) dx für n ≥ 2 ∫ xn cos(x) dx=xn sin(x) − n ∫ xn−1 sin(x) dx für n ≥ 2 Substitutionsmethode Ein weiteres wichtiges Hilfsmittel bei der expliziten Berechnung von Riemann-Integralen ist die Substitutionsmethode. Analog zur Methode der partiellen Integration entsteht auch diese Integrationsmethode aus einer Ableitungsregel. Bei der Substitutionsmethode handelt es sich um die Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung (f ◦ g)′(t0) = f ′ ( g(t0) ) g′(t0) (vgl. Satz 16.8). Die Bezeichnung „Substitutionsmethode“ weist dabei darauf hin, dass bei dieser Integrationsmethode durch Einführung einer neuen Integrationsvariablen x := g(t) ein Teil des Integranden substituiert und dadurch das Riemann-Integral vereinfacht oder auf ein anderes bereits bekanntes Riemann-Integral zurückgeführt wird. Die Substitutionsmethode wird durch den folgenden Satz konkretisiert: Satz 19.32 (Substitutionsmethode) Es sei f : [a, b] −→ R eine stetige reelle Funktion mit der Stammfunktion F und g : [α, β] −→ R eine stetig differenzierbare reelle Funktion mit g([α, β]) ⊆ [a, b]. Dann ist (f ◦ g)g′ Riemann-integrierbar auf [a, b] und 566 Kapitel 1919.7 Berechnung von Riemann-Integralen es gilt für das unbestimmte Riemann-Integral ∫ f (g(t)) g′(t) dt= ∫ f (x) dx mit x=g(t) (19.46) sowie für das bestimmte Riemann-Integral ∫ β α f (g(t)) g′(t) dt= ∫ g(β) g(α) f (x) dx = F(x) ∣∣∣ g(β) g(α) . (19.47) Beweis: Die Funktion (f ◦g)g′ ist als Produkt stetiger Funktionen stetig. Mit Satz 19.4 folgt daher, dass die Funktion (f ◦g)g′ Riemann-integrierbar ist. Für die Gültigkeit von (19.46) ist nachzuweisen, dass die rechte Seite von (19.46) eine Stammfunktion von (f ◦g)g′ ist, also man durch Differentiation der rechten Seite von (19.46) die Funktion (f ◦g)g′ erhält. Dies ist jedoch der Fall. Denn mit der Kettenregel der Differentialrechnung (vgl. Satz 16.8) erhält man für x = g(t) d dt (∫ f (x) dx ) = d dt (F (x)+ C) = d dt ( (F ◦ g)(t)+ C) = F ′(g(t))g′(t) = f (g(t))g′(t). Aus (19.46) folgt für bestimmte Riemann-Integrale ∫ β α f (g(t)) g′(t) dt = ∫ g(β) g(α) f (x) dx = F(x) ∣ ∣∣ g(β) g(α) . Besitzt die Funktion g eine Umkehrfunktion g−1 und gilt a = g(α) sowie b = g(β), dann kann die Integrationsregel (19.47) auch in der Form ∫ g−1(b) g−1(a) f (g(t)) g′(t) dt = ∫ b a f (x) dx = F(x) ∣∣ ∣ b a geschrieben werden. Entscheidend für die sinnvolle Anwendung der Substitutionsmethode ist, dass sich durch die Einführung der neuen Variablen x = g(t) das betrachtete Riemann-Integral zu einem Grundintegral oder einem anderen bereits bekannten Riemann-Integral vereinfacht. Oft ist jedoch nicht unmittelbar ersichtlich, dass bei der Berechnung eines Riemann- Integrals die Substitutionsmethode erfolgreich angewendet werden kann und wie eine „geeignete“ Substitution x = g(t) zu wählen ist. Es benötigt daher Übung, Erfahrung und manchmal auch Glück, um eine brauchbare Substitution zu finden. Auf der einen Seite kann eine geeignete Substitution schnell zum Ziel führen, und auf der anderen Seite kann man durch eine ungeeignete Substitution weiter ins „Dickicht“ geführt werden. Dieser Umstand ist mit ein Grund dafür, dass oft auch von der „Kunst des Integrierens“ gesprochen wird. Häufig ist es auch erforderlich, dass mehrere Substitutionen x = g(t), t = h(s), . . . hintereinander ausgeführt werden müssen, bevor im Erfolgsfall ein Grundintegral oder ein anderes bereits bekanntes Riemann-Integral resultiert. Bei der Verwendung der Integrationsregel (19.47) für bestimmte Riemann-Integrale ist zu beachten, dass beim Übergang von der Integrationsvariablen t zur Integrationsvariablen x auch die Integrationsgrenzen zu verändern sind oder eine Resubstitution durchgeführt werden muss. Weiter ist es ratsam, während der Rechnung nicht so sehr auf Gültigkeitsbereiche, Umkehrbarkeit der Substitution x = g(t) oder Ähnliches zu achten. Es ist vielmehr besser einfach „unbeschwert draufloszurechnen“. Es genügt, wenn am Ende durch Differentiation überprüft wird, ob die resultierende Funktion tatsächlich eine Stammfunktion des Integranden f ist. Wie die folgenden Ausführungen zeigen, gibt es grundsätzlich zwei verschiedene Möglichkeiten, wie die Substitutionsmethode bei der Berechnung von Riemann-Integralen angewandt werden kann. Denn die Integrationsregeln (19.46) und (19.47) können entweder „von links nach rechts“ oder „von rechts nach links“ angewendet werden. a) Anwendung der Substitutionsmethode „von links nach rechts“ Bei der Anwendungsmöglichkeit der Integrationsregel (19.46) „von links nach rechts“ kommt es im Wesentlichen darauf an, durch ein „geübtes Auge“ zu erkennen, dass das zu berechnende Riemann-Integral von der Form∫ f (g(t)) g′(t) dt ist. Die innere Funktion bei f (g(t)) wird dann durch eine neue Variable x := g(t) substituiert und g′(t) dt durch dx ersetzt. Anschließend wird das resultierende Riemann-Integral ∫ f (x) dx berechnet. Das konkrete Vorgehen bei dieser Anwendungsmöglichkeit der Substitutionsmethode wird im folgenden Beispiel deutlich: 567 Kapitel 19 Riemann-Integral Beispiel 19.33 (Substitutionsmethode „von links nach rechts“) a) Anwendung der Substitutionsmethode mit f (x)=ex und x = g(t) = sin(t) liefert ∫ esin(t) cos(t) dt = ∫ f ( g(t) ) g′(t) dt = ∫ f (x) dx =ex+C=esin(t)+C. Zum Beispiel erhält man für ∫ π/2 0 e sin(t) cos(t) dt den Wert ∫ π/2 0 esin(t) cos(t) dt = esin(t) ∣∣∣ π/2 0 = e − 1 (vgl. Abbildung 19.12, links). b) Es sei g eine stetig differenzierbare reelle Funktion mit g(t) = 0. Durch Anwendung der Substitutionsmethode mit f (x) = 1 x und x = g(t) erhält man ∫ g′(t) g(t) dt = ∫ f ( g(t) ) g′(t) dt = ∫ f (x) dx = ln |x| + C = ln |g(t)| + C. (19.48) Aus diesem allgemeinen Ergebnis lassen sich durch Variation der Funktion g eine Reihe nützlicher Formeln ableiten. Zum Beispiel erhält man: ∫ 2t t2 + 1 dt= ln(t 2 + 1)+ C für g(t) = t2 + 1 ∫ tan(t) dt=− ln | cos(t)| + C für g(t) = cos(t) ∫ cot(t) dt= ln | sin(t)| + C für g(t) = sin(t) ∫ 1 t ln(t) dt= ln | ln(t)| + C für g(t) = ln(t) Es ist jedoch zu beachten, dass diese Formeln nur für Integrationsintervalle gelten, in denen die jeweils gewählte Funktion g definiert und ungleich 0 ist. c) Es sei g eine stetig differenzierbare reelle Funktion und n ∈ N0. Durch Anwendung der Substitutionsmethode mit f (x) = xn und x = g(t) folgt ∫ gn(t)g′(t) dt= ∫ f ( g(t) ) g′(t) dt = ∫ f (x) dx = 1 n+1x n+1+C= 1 n+1g n+1(t)+C. Aus diesem allgemeinen Ergebnis lassen sich durch Variation der Funktion g eine Reihe nützlicher Formeln ableiten. Zum Beispiel erhält man: ∫ ln2(t) t dt= 1 3 ln3(t)+C für g(t) = ln(t) und n = 2 ∫ cos(t) sin(t) dt=−1 2 cos2(t)+C für g(t) = cos(t) und n = 1 d) Es sei f eine stetige reelle Funktion. Die Substitutionsmethode liefert dann mit x = g(t) = t2 ∫ f (t2)t dt = 1 2 ∫ f (t2)2t dt = 1 2 ∫ f ( g(t) ) g′(t) dt = 1 2 ∫ f (x) dx = 1 2 F(x)+ C = 1 2 F(t2)+ C, wobei F eine Stammfunktion von f ist. Aus diesem allgemeinen Ergebnis lassen sich durch Variation der Funktion f wieder eine Reihe nützlicher Formeln ableiten. Zum Beispiel erhält man: ∫ t sin(t2) dt=−1 2 cos(t2)+C für f (x)=sin(x) ∫ tet 2 dt= 1 2 et 2 +C für f (x)=ex ∫ te−t 2 dt=−1 2 e−t 2 +C für f (x)=e−x ∫ t 1 + t2 dt= 1 2 ln(1+t2)+C für f (x)= 1 1 + x ∫ t 1 − t2 dt=− 1 2 ln |1−t2|+C für f (x)= 1 1 − x ∫ t√ 1 + t2 dt= √ 1+t2+C für f (x)= 1√ 1+x ∫ t√ 1 − t2 dt=− √ 1 − t2+C für f (x)= 1√ 1−x ∫ t√ t2 − 1 dt= √ t2 − 1+C für f (x)= 1√ x−1 ∫ t√ a + bt2 dt= 1 b √ a+bt2+C für f (x)= 1√ a+bx mit b = 0 568 Kapitel 1919.7 Berechnung von Riemann-Integralen 0 π 4 π 2 0 0.5 1 1.5 f (t) = e sin(t)cos (t) 0 1 π 0 0.5 1 1.5 f (t) = t sin(t2) Abb. 19.12: Reelle Funktion f : [0, π/2] −→ R, t %→ esin(t) cos(t) (links) und reelle Funktion f : [0,√π ] −→ R, t %→ t sin(t2) (rechts) Diese Formeln gelten natürlich nur für Integrationsintervalle, in denen die jeweils gewählte Funktion f definiert ist. Zum Beispiel erhält man für die beiden bestimmten Riemann-Integrale ∫ √π 0 t sin(t 2) dt und ∫ √ln(4)√ ln(2) te t2 dt die Werte ∫ √π 0 t sin(t2) dt = −1 2 cos(t2) ∣∣ ∣∣ √ π 0 = −1 2 (−1 − 1) = 1 (vgl. Abbildung 19.12, rechts) bzw. ∫ √ln(4) √ ln(2) tet 2 dt = 1 2 et 2 ∣ ∣∣ ∣ √ ln(4) √ ln(2) = 1 2 (4 − 2) = 1. b) Anwendung der Substitutionsformel „von rechts nach links“ Die obigen Ausführungen zeigen, dass eine Anwendung der Substitutionsregel (19.46) „von links nach rechts“ nur möglich ist, wenn das zu berechnende Riemann-Integral von der Form ∫ f (g(t)) g′(t) dt ist. Dies ist jedoch meist nicht der Fall und der Hauptnutzen der Substitutionsregel (19.46) besteht daher in ihrer Anwendung „von rechts nach links“. Bei dieser Anwendung wird bei dem zu berechnenden Riemann-Integral ∫ f (x) dx mittels der Substitution x = g(t) eine neue Variable t eingeführt. Die Kunst besteht dann darin, durch eine geeignete Wahl der Funktion g zu erreichen, dass für das dadurch entstehende Riemann- Integral ∫ f (g(t)) g′(t) dt leichter eine Stammfunktion angegeben werden kann als für das ursprüngliche Riemann- Integral ∫ f (x) dx. Anschließend ist eine Resubstitution durchzuführen, so dass die Variable t wieder durch die Variable x ausgedrückt wird. Dazu muss jedoch die Funktion x = g(t) eine inverse Funktion t = g−1(x) besitzen, also die Funktion g injektiv sein. Dies ist z. B. der Fall, wenn g streng monoton ist. Durch die Anwendung der Substitutionsregel (19.46) „von rechts nach links“ können für viele nicht-triviale Integranden f Stammfunktionen ermittelt werden. Das konkrete Vorgehen bei dieser Anwendungsmöglichkeit der Substitutionsmethode wird im folgenden Beispiel deutlich. 569 Kapitel 19 Riemann-Integral Beispiel 19.34 (Substitutionsmethode „von rechts nach links“) a) Mit der Substitutionsmethode und der Substitution x = t5 und dx = 15dt folgt ∫ cos(5x) dx = ∫ cos(t) 1 5 dt = 1 5 ∫ cos(t) dt = 1 5 sin(t)+ C. Daraus erhält man mit der Resubstitution t = 5x ∫ cos(5x) dx = 1 5 sin(5x)+ C. b) Die Substitutionsmethode mit der Substitution x = ln(t) und dx = 1 t dt liefert ∫ e3x+3 ex+1 dx = ∫ t3 + 3 t + 1 · 1 t dt = ∫ ( t − 1 + 3 + t t (t + 1) ) dt = t 2 2 − t + C + ∫ ( 3 t − 2 t + 1 ) dt = t 2 2 − t + 3 ln(t)− 2 ln(t + 1)+ C. Daraus folgt mit der Resubstitution t = ex ∫ e3x+3 ex+1 dx= 1 2 e2x − ex + 3x − 2 ln(ex+1)+ C. c) Unter Beachtung der Identität sin2(x) = 1−cos2(x) liefert die Substitutionsmethode mit der Substitution x = arccos(t) und dx = − 1√ 1−t2 dt = − 1sin(x) dt (vgl. Satz 16.18b)) ∫ sin5(x) dx = ∫ ( 1 − cos2(x))2 sin(x) dx = − ∫ ( 1 − t2)2 dt = − ∫ ( 1 − 2t2 + t4) dt = −t + 2 3 t3 − 1 5 t5 + C. Daraus erhält man mit der Resubstitution t = cos(x) ∫ sin5(x) dx=− cos(x)+ 2 3 cos3(x)− 1 5 cos5(x)+C. Zum Beispiel erhält man für das bestimmte Riemann- Integral ∫ 2π 0 sin 5(x) dx den Wert ∫ 2π 0 sin5(x) dx=− cos(x)+ 2 3 cos3(x)− 1 5 cos5(x) ∣∣∣ 2π 0 =−1 + 2 3 − 1 5 − ( − 1 + 2 3 − 1 5 ) =0 (vgl. Abbildung 19.13, links). Dieses Ergebnis erhält man auch durch einfache Symmetrieüberlegungen. d) Es sei f eine stetige reelle Funktion und a = 0. Dann erhält man mit der Substitutionsmethode und der Substitution x = 1 a (t − b) und dx = 1 a dt ∫ f (ax + b) dx = ∫ f (t) 1 a dt = 1 a ∫ f (t) dt = 1 a F(t)+ C, wobeiF eine Stammfunktion von f ist. Daraus erhält man mit der Resubstitution t = ax + b ∫ f (ax + b) dx = 1 a F(ax + b)+ C. Aus diesem allgemeinen Ergebnis lassen sich durch Variation der Funktion f eine Reihe nützlicher Formeln ableiten. Zum Beispiel erhält man: ∫ cos(ax + b) dx = 1 a sin(ax + b)+ C für f (t) = cos(t) ∫ 1 ax + b dx = 1 a ln |ax + b| + C für f (t) = 1 t ∫ (ax + b)r dx = 1 a(r + 1) (ax + b) r+1 + C für f (t) = t r , r = −1 e) Es sei a, b = 0, dann erhält man mit der Substitutionsmethode und der Substitution x = a b tan(t) und dx = a b 1 cos2(t) dt (vgl. Satz 16.16c)) ∫ 1 a2 + b2x2 dx = ∫ 1 a2 + a2 tan2(t) a b 1 cos2(t) dt = 1 ab ∫ 1 ( 1 + tan2(t)) cos2(t) dt = 1 ab ∫ dt = 1 ab t + C, 570 Kapitel 1919.7 Berechnung von Riemann-Integralen wobei ( 1 + tan2(t)) cos2(t) = cos2(t)+ sin2(t) = 1 verwendet wurde. Daraus folgt mit der Resubstitution t = arctan ( b a x ) ∫ 1 a2 + b2x2 dx = 1 ab arctan ( b a x ) + C. f) Die Substitutionsmethode mit der Substitution x = cos(t) und dx = − sin(t)dt liefert ∫ √ 1 − x2 dx = − ∫ √ 1 − cos2(t) sin(t) dt = − ∫ sin2(t) dt, wobei 1 − cos2(t) = sin2(t) verwendet wurde. Zusammen mit (19.45) folgt daraus ∫ √ 1 − x2 dx = 1 2 (sin(t) cos(t))− 1 2 ∫ 1 dt = 1 2 (sin(t) cos(t)− t)+ C. Daraus erhält man mit sin(t) = √1 − cos2(t) und der Resubstitution t = arccos(x) ∫ √ 1 − x2 dx = 1 2 ( x √ 1 − x2 − arccos(x) ) + C. π 2 π 3π 2 2π −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f (x) = s in5(x) −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 f (x) = 1 − x2 Abb. 19.13: Reelle Funktion f : [0, 2π ] −→ R, x %→ sin5(x) (links) und reelle Funktion f : [−1, 1] −→ R, x %→ √ 1 − x2 (rechts) Dies liefert zum Beispiel für das bestimmte Riemann-Integral ∫ 1 −1 √ 1 − x2 dx den Wert ∫ 1 −1 √ 1−x2 dx = 1 2 ( x √ 1 − x2 − arccos(x) ) ∣∣∣ 1 −1 = 1 2 (0 − (−π)) = π 2 . (19.49) Da der Graph der Funktion f (x) = √1 − x2 mit x ∈ [−1, 1] durch den oberen Halbkreis des Einheitskreises gegeben ist, erhält man, dass 2 ∫ 1 −1 √ 1−x2 dx=π der Flächeninhalt des Einheitskreises ist (vgl. Abbildung 19.13, rechts). Entsprechend ist der Inhalt eines Kreises mit Radius r > 0 durch den Wert des bestimmten Riemann-Integrals 2 ∫ r −r √ r2 − x2 dx gegeben. Mit (19.49) erhält man durch Anwendung der Substitutionsmethode mit der Substitution x = rt und dx = rdt das wohlbekannte Ergebnis 2 ∫ r −r √ r2 − x2 dx = 2r ∫ r −r √ 1 − (x r )2 dx = 2r2 ∫ 1 −1 √ 1 − t2 dt = r2π. Wie die obigen Betrachtungen zur zweiten Anwendungsmöglichkeit der Substitutionsmethode zeigen, gibt es für das Auffinden einer geeigneten Substitution keine allgemeingültige 571 Kapitel 19 Riemann-Integral Regel. Es ist vielmehr Erfahrung und Übersicht, die durch ausreichend Übung erworben werden kann, notwendig. Auf der einen Seite gibt es viele Riemann-Integrale, die sich durch die Substitutionsmethode auf Grundintegrale oder andere bereits bekannte Riemann-Integrale zurückführen lassen. Auf der anderen Seite versagt jedoch auch diese Integrationsmethode schon bei verhältnismäßig einfachen Riemann- Integralen, wie z. B. ∫ √ sin(x) dx. 19.8 Integration spezieller Funktionsklassen Integration rationaler Funktionen In vielen ökonomischen Problemstellungen trifft man auf rationale Funktionen q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) : = p1(x) p2(x) = n∑ k=0 akx k m∑ k=0 bkxk mit D = {x ∈ R : p2(x) = 0} (vgl. Definition 14.12). Die Integration rationaler Funktionen besitzt daher für viele Anwendungen eine Bedeutung. In Abschnitt 14.2 wurde bereits erläutert, dass jede rationale Funktion q = p1 p2 durch Polynomdivision eindeutig in die Form q(x) = p(x)+ r(x) p2(x) zerlegt werden kann, wobei p ein Polynom (d. h. eine ganzrationale Funktion) und r p2 eine echt-gebrochen-rationale Funktion mit Grad(p2) > Grad(r) ist. Dabei gilt, dass p durch das Nullpolynom p(x) = 0 für alle x ∈ R gegeben ist, falls q bereits eine echt-gebrochen-rationale Funktion ist. Mit anderen Worten: Jede rationale Funktion q = p1 p2 kann unabhängig davon, ob sie echt-gebrochen-rational (d. h. Grad(p2) > Grad(p1)) oder unecht-gebrochen-rational (d. h. Grad(p2) ≤ Grad(p1)) ist, durch Polynomdivision eindeutig in eine Summe aus Polynomp und echt-gebrochen-rationaler Funktion r p2 zerlegt werden. Mit dem Satz zur Partialbruchzerlegung (siehe Satz 14.20) und dem Satz zu den elementaren Eigenschaften des Riemann-Integrals (siehe Satz 19.9) erhält man somit, dass die Integration rationaler Funktionen stets auf die Bestimmung von Riemann-Integralen der fünf Typen 1) ∫ ( n∑ k=0 akx k ) dx mit n ∈ N0, 2) ∫ A x − a dx, 3) ∫ A (x − a)l+1 dx mit l ∈ N, 4) ∫ Bx + A x2 + cx + d dx, 5) ∫ Bx + A (x2 + cx + d)l+1 dx mit l ∈ N zurückgeführt werden kann, wobei A,B, ak, a, c, d ∈ R Konstanten sind und c2 < 4d gilt. Das quadratische Polynom x2 + cx+ d im Nenner des Integranden der beiden Integral- Typen 4) und 5) besitzt folglich keine reellen Nullstellen. Da sich jedoch diese unbestimmten Riemann-Integrale stets durch rationale Funktionen, die natürliche Logarithmusfunktion und/oder die Arcustangens-Funktion ausdrücken lassen, erhält man den folgenden Satz: Satz 19.35 (Integration rationaler Funktionen) Das unbestimmte Riemann-Integral einer rationalen Funktion q kann stets durch rationale Funktionen, die natürliche Logarithmusfunktion und die Arcustangens- Funktion ausgedrückt werden. Dabei können ausschließlich unbestimmte Riemann-Integrale der Typen 1)–5) auftreten, und für diese unbestimmten Riemann-Integrale gilt ∫ ( n∑ k=0 akx k ) dx = n∑ k=0 ak k + 1x k+1 + C, ∫ A x − a dx = A · ln |x − a| + C, ∫ A (x − a)l+1 dx = − A l(x − a)l + C, ∫ Bx + A x2 + cx + d dx = B 2 ln(x2 + cx + d) (19.50) + ( A− Bc 2 ) 2√ 4d − c2 arctan ( 2x + c√ 4d − c2 ) + C und ∫ Bx + A (x2 + cx + d)l+1 dx = − B 2l 1 (x2 + cx + d)l + ( A− Bc 2 )∫ 1 (x2 + cx + d)l+1 dx + C mit der Rekursionsformel ∫ 1 (x2 + cx + d)l+1 dx = − 1 l(c2 − 4d) 2x + c (x2 + cx + d)l − 2(2l − 1) l(c2 − 4d) ∫ 1 (x2 + cx + d)l dx (19.51) 572 Kapitel 1919.8 Integration spezieller Funktionsklassen und ∫ 1 x2+cx+d dx= 2√ 4d−c2 arctan ( 2x+c√ 4d−c2 ) +C. Beweis: In den Ausführungen vor Satz 19.35 wurde bereits erläutert, weshalb das unbestimmte Riemann-Integral einer rationalen Funktion q stets auf unbestimmte Riemann-Integrale der Typen 1) – 5) zurückgeführt werden kann. Es ist daher nur noch zu zeigen, dass diese unbestimmten Riemann-Integrale durch die Ausdrücke auf der rechten Seite von (19.50) gegeben sind. Dies kann jedoch durch Differentiation verifiziert werden. Mit Hilfe von Satz 19.35 kann für jede beliebige rationale Funktion das unbestimmte Riemann-Integral ermittelt werden. Ist ein Riemann-Integral vom Typ 5), d. h. von der „Bauart“ ∫ Bx+A (x2+cx+d)l+1 dx, zu berechnen, erfolgt die Berechnung der dabei auftretenden Riemann-Integrale ∫ 1 (x2+cx+d)l+1 dx rekursiv mit der Rekursionsformel (19.51) bis zum Riemann- Integral ∫ 1 x2+cx+d dx . Die Berechnung des unbestimmten Riemann-Integrals einer rationalen Funktion q = p1 p2 erfolgt in den folgenden drei Schritten: 1. Schritt: Gilt Grad(p1) ≥ Grad(p2), dann wird die rationale Funktion q mittels Polynomdivision in der Form q(x) = p(x) + r(x) p2(x) mit den Polynomen p und r dargestellt, wobei r und p2 keinen gemeinsamen Teiler haben und Grad(r) < Grad(p2) gilt (für Erläuterungen zur Polynomdivision siehe Abschnitt 14.1). Im Falle von Grad(p1) < Grad(p2) kann gleich mit Schritt 2 fortgefahren werden. 2. Schritt: Bestimmung der Partialbruchzerlegung der echtgebrochen-rationalen Funktion r p2 (für Erläuterungen zur Partialbruchzerlegung siehe Satz 14.20). 3. Schritt: Integration der bei der Partialbruchzerlegung resultierenden Summanden mit Hilfe der in Satz 19.35 angegebenen Formeln. Dieses Vorgehen wird im folgenden Beispiel demonstriert. Beispiel 19.36 (Integration von rationalen Funktionen) a) Der Integrand des unbestimmten Riemann-Integrals∫ 1 x2−1 dx besitzt die Partialbruchzerlegung 1 x2 − 1 = 1 2(x − 1) − 1 2(x + 1) . Damit erhält man für das unbestimmte Riemann- Integral den Ausdruck ∫ 1 x2 − 1 dx = 1 2 ∫ 1 x − 1 dx − 1 2 ∫ 1 x + 1 dx = 1 2 ln |x − 1| − 1 2 ln |x + 1| + C = ln √∣∣∣∣ x − 1 x + 1 ∣∣∣∣+ C. b) Der Integrand des unbestimmten Riemann-Integrals∫ 1 (x−1)(x−2)(x−3) dx besitzt die Partialbruchzerlegung 1 (x−1)(x−2)(x−3) = 1 2(x−1)− 1 x−2 + 1 2(x−3) (vgl. Beispiel 14.21a)). Damit erhält man für das unbestimmte Riemann-Integral den Ausdruck ∫ 1 (x − 1)(x − 2)(x − 3) dx = 1 2 ∫ 1 x−1 dx − ∫ 1 x−2 dx+ 1 2 ∫ 1 x−3 dx = 1 2 ln |x − 1| − ln |x − 2| + 1 2 ln |x − 3| + C. c) Für den Integranden des unbestimmten Riemann- Integrals ∫ x4−x3+4x2−3x+2 (x2+4)(x−1) dx erhält man durch Polynomdivision x4 − x3 + 4x2 − 3x + 2 (x2 + 4)(x − 1) = x + x + 2 (x2 + 4)(x − 1) und anschließende Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion auf der rechten Seite liefert weiter x4−x3+4x2−3x+2 (x2+4)(x−1) =x+ 3 5(x−1)+ − 35x+ 25 x2+4 . Daraus erhält man zusammen mit Satz 19.35 für das unbestimmte Riemann-Integral ∫ x4 − x3 + 4x2 − 3x + 2 (x2 + 4)(x − 1) dx = ∫ x dx + 3 5 ∫ 1 x − 1 dx + ∫ − 35x + 25 x2 + 4 dx = 1 2 x2 + 3 5 ln |x − 1| − 3 5 ln ( x2 + 4) + 1 5 arctan (x 2 ) + C. 573 Kapitel 19 Riemann-Integral d) Für den Integranden des unbestimmten Riemann- Integrals ∫ 2x3−x2−10x+19 x2+x−6 dx erhält man durch Polynomdivision 2x3 − x2 − 10x + 19 x2 + x − 6 = 2x − 3 + 5x + 1 x2 + x − 6 und anschließende Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion auf der rechten Seite liefert weiter 2x3−x2−10x+19 x2+x−6 =2x−3+ 11 5(x−2)+ 14 5(x+3) . Für das unbestimmte Riemann-Integral erhält man somit den Ausdruck ∫ 2x3 − x2 − 10x + 19 x2 + x − 6 dx = ∫ (2x−3) dx+ 11 5 ∫ 1 x−2 dx+ 14 5 ∫ 1 x+3 dx = x2 − 3x + 11 5 ln |x − 2| + 14 5 ln |x + 3| + C. e) Der Integrand des unbestimmten Riemann-Integrals∫ x3−10x2+7x−3 x4+2x3−2x2−6x+5 dx besitzt die Partialbruchzerlegung x3−10x2+7x−3 x4+2x3−2x2−6x+5 =− 7 10(x−1)− 1 2(x−1)2 + 17 10x−4 x2+4x+5 (vgl. Beispiel 14.21c)). Daraus folgt mit Satz 19.35 ∫ x3 − 10x2 + 7x − 3 x4 + 2x3 − 2x2 − 6x + 5 dx = − 7 10 ∫ 1 x − 1 dx − 1 2 ∫ 1 (x − 1)2 dx + ∫ 17 10x − 4 x2 + 4x + 5 dx = − 7 10 ln |x − 1| + 1 2(x − 1) + 17 20 ln(x2 + 4x + 5)− 37 5 arctan(x + 2)+ C. f) Der Integrand des unbestimmten Riemann-Integrals∫ 3x5−2x4+4x3+4x2−7x+6 (x−1)2(x2+1)2 dx besitzt die Partialbruchzerlegung 3x5−2x4+4x3+4x2−7x+6 (x−1)2(x2+1)2 = 1 x−1 + 2 (x−1)2 + 2x+1 x2+1 + 4 (x2+1)2 . Zusammen mit Satz 19.35 folgt daraus für das unbestimmte Riemann-Integral ∫ 3x5 − 2x4 + 4x3 + 4x2 − 7x + 6 (x − 1)2(x2 + 1)2 dx = ∫ 1 x − 1 dx + 2 ∫ 1 (x − 1)2 dx + ∫ 2x + 1 x2 + 1 dx + 4 ∫ 1 (x2 + 1)2 dx = ln |x − 1| − 2 x − 1 + ln |x 2 + 1| + arctan(x) + 2x x2 + 1 + 2 arctan(x)+ C = ln |x − 1| − 2 x − 1 + ln |x 2 + 1| + 3 arctan(x) + 2x x2 + 1 + C. Integration weiterer Funktionsklassen Eine ganze Reihe unbestimmter Riemann-Integrale, bei denen der Integrand eine spezielle algebraische oder transzendente Funktion ist, lassen sich durch geeignete Substitution auf Riemann-Integrale rationaler Funktionen zurückführen. Gemäß Satz 19.35 kann in diesen Fällen das unbestimmte Riemann-Integral mit Hilfe rationaler Funktionen, natürlicher Logarithmusfunktionen und/oder Arcustangens- Funktionen in geschlossener Form dargestellt werden, falls die Umkehrfunktion der für die Substitution verwendeten Funktion bekannt ist. Zur Formulierung der wichtigsten Klassen von reellen Funktionen, deren unbestimmtes Riemann- Integral auf diese Weise ermittelt werden kann, wird der Begriff der rationalen Funktion von zwei Variablen x und y benötigt. Dabei handelt es sich um einen Ausdruck der Form R(x, y) := n∑ j,k=0 ajkx j yk m∑ j,k=0 bjkxj yk mit n∑ j,k=0 |bjk| > 0. Rationale Funktionen von zwei Variablen x und y werden somit aus Potenzen von x und y sowie konstanten Faktoren gebildet, die durch die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verknüpft sind. Werden in R(x, y) die Variablen x und y durch die reellen Funktionen f (x) bzw. g(y) ersetzt, dann wird die dadurch resultierende reelle Funktion mit R(f (x), g(y)) bezeichnet, wobei 574 Kapitel 1919.8 Integration spezieller Funktionsklassen für R(f (x), f (x)) oftmals auch einfach R(f (x)) geschrieben wird. Im Folgenden werden einige wichtige Funktionsklassen betrachtet, deren Integration mit einer geeigneten Substitution auf die Integration rationaler Funktionen zurückgeführt werden kann. Integration der Funktionsklasse R(sin(x), cos(x)) Das Riemann-Integral ∫ R(sin(x), cos(x)) dx einer rationalen Funktion R(sin(x), cos(x)) der trigonometrischen Funktionen sin und cos kann durch die Substitution t = tan (x 2 ) , d. h. x = 2 arctan(t) und dx = 2 1 + t2 dt für x∈(−π, π), auf das unbestimmte Riemann-Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden. Denn mit den Additionstheoremen für die trigonometrischen Funktionen sin und cos (vgl. Satz 5.2c) und b)) sowie Satz 5.1b) folgt sin(x) = 2 sin (x 2 ) cos (x 2 ) = 2 sin ( x 2 ) cos ( x 2 ) cos2 ( x 2 )+ sin2 ( x2 ) = 2 tan ( x 2 ) 1 + tan2 ( x2 ) = 2t 1 + t2 bzw. cos(x) = cos2 (x 2 ) − sin2 (x 2 ) = cos 2 ( x 2 )− sin2 ( x2 ) cos2 ( x 2 )+ sin2 ( x2 ) = 1 − tan 2 ( x 2 ) 1 + tan2 ( x2 ) = 1 − t 2 1 + t2 . Auf diese Weise erhält man ∫ R(sin(x), cos(x)) dx = ∫ R ( 2t 1 + t2 , 1 − t2 1 + t2 ) dt, wobei der neue Integrand R ( 2t 1+t2 , 1−t2 1+t2 ) eine rationale Funktion in t ist und somit Satz 19.35 zur Bestimmung des unbestimmten Riemann-Integrals herangezogen werden kann. Es kann jedoch vorkommen, dass zwar der Integrand R(sin(x), cos(x)) für alle x definiert ist, der neue Integrand R ( 2t 1+t2 , 1−t2 1+t2 ) dagegen nicht für alle t . Dies ist eine Konsequenz der Substitution t = tan ( x2 ) , da t = tan ( x2 ) für x = π + 2πk mit k ∈ Z nicht definiert ist. Es empfiehlt sich daher, nach Bestimmung des unbestimmten Riemann- Integrals von R ( 2t 1+t2 , 1−t2 1+t2 ) zu überprüfen, für welche Intervalle [a, b] ⊆ R das ermittelte unbestimmte Riemann- Integral eine Stammfunktion F der zu integrierenden Funktion R(sin(x), cos(x)) darstellt. Beispiel 19.37 (Integration von Funktionen vom Typ R(sin(x), cos(x))) a) Mit der Substitution t = tan ( x2 ) bzw. x = 2 arctan(t) und dx = 2 1+t2 dt erhält man ∫ 1 sin(x) dx = ∫ 1 2t 1+t2 · 2 1 + t2 dt = ∫ 1 t dt = ln |t | + C = ln ∣∣∣tan (x 2 )∣∣∣+ C. b) Mit der Substitution t = tan ( x2 ) bzw. x = 2 arctan(t) und dx = 2 1+t2 dt folgt ∫ cos(x) 1 − cos(x) dx = ∫ 1−t2 1+t2 1 − 1−t2 1+t2 2 1 + t2 dt = ∫ 1 − t2 (1 + t2)t2 dt. Für den Integranden des rechtsstehenden Riemann- Integrals erhält man die Partialbruchzerlegung 1 − t2 (1 + t2)t2 = 1 t2 − 2 t2 + 1 . Daraus folgt mit Satz 19.35 ∫ cos(x) 1 − cos(x) dx = ∫ ( 1 t2 − 2 t2 + 1 ) dt = ∫ 1 t2 dt − ∫ 2 t2 + 1 dt = −1 t − 2 arctan(t)+ C = − 1 tan ( x 2 ) − x + C = − cot (x 2 ) − x + C. Integration der Funktionsklasse R(ecx) Das unbestimmte Riemann-Integral ∫ R(ecx) dx einer reellen Funktion der Form R(ecx) = a0 + a1e cx + a2e2cx + . . .+ anencx b0 + b1ecx + b2e2cx + . . .+ bmemcx 575 Kapitel 19 Riemann-Integral mit c = 0 kann durch die Substitution t = ecx , d. h. x = 1 c ln(t), und dx = 1 ct dt auf das unbestimmte Riemann-Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden. Man erhält dann ∫ R(ecx) dx = ∫ R(t) ct dt, wobei der neue Integrand R(t) ct eine rationale Funktion in t ist und somit Satz 19.35 zur Bestimmung des unbestimmten Riemann-Integrals herangezogen werden kann. Beispiel 19.38 (Integration von Funktionen vom Typ R(ecx)) a) Mit der Substitution t = ex bzw. x = ln(t) und dx = 1 t dt erhält man ∫ 1 ex + e−x dx = ∫ 1 t + 1 t 1 t dt = ∫ 1 t2 + 1 dt = arctan(t)+ C = arctan(ex)+ C. b) Mit der Substitution t = ex bzw. x = ln(t) und dx = 1 t dt folgt ∫ e2x ex − 1 dx = ∫ t2 t − 1 1 t dt = ∫ t t − 1 dt. Mit Zerlegung des Integranden t t−1 durch Polynomdivision folgt daraus weiter ∫ e2x ex−1 dx= ∫ ( 1 + 1 t − 1 ) dt = t+ln |t−1|+C=ex+ln |ex−1|+C. Integration der Funktionsklasse R ( x, n √ ax + b) Das Riemann-Integral ∫ R ( x, n √ ax + b) dx einer rationalen Funktion R ( x, n √ ax + b) von x und der Wurzelfunktionen n √ ax + b kann durch die Substitution t = n√ax + b, d. h. x = 1 a (tn − b), und dx = n a tn−1dt für x ≥ − b a und a = 0 auf das unbestimmte Riemann- Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden. Man erhält dann ∫ R ( x, n √ ax + b ) dx = ∫ R ( 1 a (tn − b), t ) n a tn−1 dt, wobei der neue IntegrandR ( 1 a (tn − b), t) n a tn−1 eine rationale Funktion in t ist. Das unbestimmte Riemann-Integral kann daher wieder mit Satz 19.35 ermittelt werden. Beispiel 19.39 (Integration von Funktionen vom Typ R(x, (ax + b)1/n) a) Mit der Substitution t = 4√3x + 2 bzw. x = 13 (t4−2) und dx = 43 t3dt folgt ∫ x 4 √ 3x+2 dx= ∫ 1 3 (t 4 − 2) t 4 3 t3 dt = ∫ ( 4 9 t6 − 8 9 t2 ) dt = 4 63 t7 − 8 27 t3 + C = 4 63 4 √ (3x+2)7− 8 27 4 √ (3x+2)3+C. b) Mit der Substitution t = √x − 1 bzw. x = t2 + 1 und dx = 2t dt erhält man ∫ x +√x − 1 x −√x − 1 dx = ∫ t2 + 1 + t t2 + 1 − t · 2t dt = 2 ∫ t3 + t2 + t t2 − t + 1 dt. Polynomdivision liefert für den Integranden des rechtsstehenden Riemann-Integrals t3 + t2 + t t2 − t + 1 = t + 2 + 2t − 2 t2 − t + 1 . Daraus folgt mit Satz 19.35 ∫ x +√x − 1 x −√x − 1 dx = 2 ∫ ( t + 2 + 2t − 2 t2 − t + 1 ) dt = 2 ∫ (t + 2) dt + 2 ∫ 2t − 2 t2 − t + 1 dt = t2 + 4t + 2 ln(t2 − t + 1) − 4√ 3 arctan ( 2t − 1√ 3 ) + C = x − 1 + 4√x − 1 + 2 ln(x −√x − 1) − 4√ 3 arctan ( 2 √ x − 1 − 1√ 3 ) + C. 576 Kapitel 1919.9 Flächeninhalt zwischen zwei Graphen Integration der Funktionsklasse R ( x, n √ ax+b ex+f ) Das Riemann-Integral ∫ R ( x, n √ ax+b ex+f ) dx einer rationalen Funktion R ( x, n √ ax+b ex+f ) von x und der Wurzelfunktionen n √ ax+b ex+f kann durch die Substitution t = n √ ax + b ex + f , d. h. x = f tn − b a − etn , und dx = n(af − be) t n−1 (a − etn)2 dt für x ∈ R mit ax+b ex+f ≥ 0 und af − be = 0 auf das unbestimmte Riemann-Integral einer rationalen Funktion zurückgeführt werden. Man erhält dann ∫ R ( x, n √ ax + b ex + f ) dx = ∫ R ( f tn − b a − etn , t ) n(af − be) t n−1 (a − etn)2 dt, wobei der neue Integrand R ( f tn−b a−etn , t ) n(af − be) tn−1 (a−etn)2 eine rationale Funktion in t ist. Beispiel 19.40 (Integration von Funktionen vom Typ R ( x, ( ax+b ex+f )1/n) ) a) Für das unbestimmte Riemann-Integral ∫ 1−√x x+√x dx erhält man mit der Substitution t = √x bzw. x = t2 und dx = 2t dt ∫ 1 −√x x +√x dx = ∫ 1 − t t2 + t 2t dt = 2 ∫ 1 − t t + 1 dt = 2 ∫ 1 t + 1 dt − 2 ∫ t t + 1 dt. Für den Integranden t t+1 erhält man durch Polynomdivision t t + 1 = 1 − 1 t + 1 . Damit folgt weiter ∫ 1−√x x+√x dx = 2 ∫ 1 t + 1 dt−2 ∫ ( 1 − 1 t + 1 ) dt = 4 ∫ 1 t + 1 dt − 2 ∫ 1 dt = 4 ln |t + 1| − 2t + C = 4 ln |√x + 1| − 2√x + C. b) Mit der Substitution t = 3√3x + 2 bzw. x = t3−23 und dx = t2 dt folgt ∫ x 3 √ 3x + 2 dx= ∫ t3−2 3 t t2 dt = 1 3 ∫ (t4 − 2t) dt = 1 15 t5 − 1 3 t2 + C = 1 15 3 √ (3x+2)5− 1 3 3 √ (3x+2)2+C. 19.9 Flächeninhalt zwischen zwei Graphen Statue von B. Cavalieri auf dem Palazzo di Brera in Mailand In Abschnitt 19.2 wurde deutlich, dass bei einer nichtnegativen Riemann-integrierbaren reellen Funktion f : [a, b] −→ R das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx per Konstruktion mit dem Inhalt der Fläche I (f ) = {(x, y) : x ∈ [a, b] und 0 ≤ y ≤ f (x)} zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall [a, b] übereinstimmt. Dieser Zusammenhang kann leicht dahingehend verallgemeinert werden, dass auch der Inhalt einer Fläche zwischen zwei Riemann-integrierbaren reellen Funktionen f1 : [a, b] −→ R und f2 : [a, b] −→ R mit f1(x) ≤ f2(x) für alle x ∈ [a, b] mit Hilfe eines bestimmten Riemann-Integrals ermittelt werden kann. Denn der Inhalt der durch die Graphen von f1 und f2 und die senkrechten Ge- 577 Kapitel 19 Riemann-Integral a b |I(f1, f2)| = ∫a b( f2(x) − f1(x)) dx f1(x) = cos (x) + 3 2 f2(x) = − 1 4 (x − 2)2 + 7 2d(x) = f2(x) − f1(x) Abb. 19.14: Inhalt |I (f1, f2)| der Fläche zwischen den Graphen von f1 : [a, b] −→ R, x %→ cos(x)+1 und f2 : [a, b] −→ R, x %→ − 14 (x − 2)2 + 72 und den senkrechten Geraden durch x = a und x = b raden an den Stellen x = a und x = b begrenzten Fläche, d. h. des Bereichs I (f1, f2) := {(x, y) : x ∈ [a, b] und f1(x) ≤ y ≤ f2(x)} , ist offensichtlich gegeben durch |I (f1, f2)| = ∫ b a f2(x) dx − ∫ b a f1(x) dx = ∫ b a (f2(x)− f1(x)) dx. (19.52) Die Differenz d(x) := f2(x)− f1(x) für alle x ∈ [a, b] gibt dabei geometrisch die „Breite“ des Bereichs I (f1, f2) an der Stelle x ∈ [a, b] an. Auf diese Weise können auch Flächeninhalte von komplizierten Bereichen relativ einfach berechnet werden. Die Gleichung (19.52) ist ein Spezialfall des nach dem italienischen Mathematiker und Astronomen Bonaventura Cavalieri (1598–1647) benannten Cavalierischen Prinzips. Beispiel 19.41 (Flächeninhalt zwischen zwei Graphen) Gegeben seien die beiden Riemann-integrierbaren Funktionen f1 : [a, b] −→ R, x %→ cos(x) + 1 und f2 : [a, b] −→ R, x %→ − 14 (x − 2)2 + 72 mit a = 12 und b = 92 . Dann gilt f1(x) ≤ f2(x) für alle x ∈ [a, b]. Für den Inhalt der durch die Graphen von f1 und f2 sowie die senkrechten Geraden an den Stellen x = a und x = b eingeschlossenen Fläche erhält man somit |I (f1,f2)|= ∫ 9 2 1 2 ( −1 4 (x−2)2+ 7 2 −(cos(x)+1) ) dx = ( − 1 12 (x−2)3+ 7 2 x−sin(x)−x ) ∣∣∣ ∣ 9 2 1 2 ≈9,87 (vgl. Abbildung 19.14). 19.10 Uneigentliches Riemann- Integral Erweiterung des Integralbegriffs In Abschnitt 19.2 wurde das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx einer Funktion f : [a, b] −→ R unter den beiden folgenden Voraussetzungen definiert: a) Die Integrationsgrenzen a und b sind endlich. b) Die Funktion f ist beschränkt. 578 Kapitel 1919.10 Uneigentliches Riemann-Integral Durch diese beiden Annahmen an den Integranden f ist sichergestellt, dass die bei der Einführung des bestimmten Riemann-Integrals verwendeten Unter- und Obersummen Uf (Zn) bzw. Of (Zn) existieren. Porträt von A. L. Cauchy auf einer Münze Lässt man eine der beiden Voraussetzungen a) und b) fallen, dann ist das bestimmte Riemann- Integral zunächst einmal nicht definiert. Es ist jedoch naheliegend, durch eine geeignete Grenzwertbetrachtung den Integralbegriff so zu erweitern, dass die Voraussetzungen a) und/oder b) in gewissen Fällen aufgehoben werden können, ohne dass das Riemann-Integral seinen Sinn verliert. Eine solche Erweiterung wurde erstmals 1823 von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) vorgenommen und führt zu den Begriffen uneigentliches Riemann-Integral 1. Art und uneigentliches Riemann-Integral 2. Art. Uneigentliches Riemann-Integral 1. Art Bei einem uneigentlichen Riemann-Integral 1. Art handelt es sich um ein Riemann-Integral über einem unbeschränkten Integrationsintervall (−∞, b], [a,∞) oder (−∞,∞). Uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art treten somit in den drei Formen∫ ∞ a f (x) dx, ∫ b −∞ f (x) dx oder ∫ ∞ −∞ f (x) dx (19.53) mit a, b ∈ R auf. Die exakte Definition der Integrale (19.53) lautet wie folgt: Definition 19.42 (Uneigentliches Riemann- Integral 1. Art) a) Die reelle Funktion f : [a,∞) −→ R sei Riemannintegrierbar auf [a, b] für alle b ∈ R mit b > a und der Grenzwert limb→∞ ∫ b a f (x) dx existiere. Dann heißt f auf [a,∞) uneigentlich Riemann-integrierbar 1. Art und der Grenzwert ∫ ∞ a f (x) dx := lim b→∞ ∫ b a f (x) dx wird als uneigentliches Riemann-Integral 1. Art von f auf [a,∞) bezeichnet. Andernfalls sagt man, dass das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f auf [a,∞) nicht existiert. b) Die reelle Funktion f : (−∞, b] −→ R sei Riemann-integrierbar auf [a, b] für alle a ∈ R mit a < b und der Grenzwert lima→−∞ ∫ b a f (x) dx existiert. Dann heißt f auf (−∞, b] uneigentlich Riemann-integrierbar 1. Art und der Grenzwert ∫ b −∞ f (x) dx := lim a→−∞ ∫ b a f (x) dx wird als uneigentliches Riemann-Integral 1. Art von f auf (−∞, b] bezeichnet. Andernfalls sagt man, dass das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f auf (−∞, b] nicht existiert. c) Die reelle Funktion f : R −→ R sei für ein beliebiges c ∈ R auf (−∞, c] und [c,∞) uneigentlich Riemann-integrierbar 1. Art. Dann heißt f auf R uneigentlich Riemann-integrierbar 1. Art und der Wert ∫ ∞ −∞ f (x) dx := ∫ c −∞ f (x) dx + ∫ ∞ c f (x) dx (19.54) wird als uneigentliches Riemann-Integral 1. Art von f auf R bezeichnet. Existiert eines der beiden uneigentlichen Riemann-Integrale auf der rechten Seite von (19.54) nicht, dann sagt man, dass das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f auf R nicht existiert. Man beachte, dass das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art einer reellen Funktion f auf R nicht durch ∫ ∞ −∞ f (x) dx = lim c→∞ ∫ c −c f (x) dx (19.55) definiert ist. Denn es ist erforderlich, dass die beiden Grenz- übergänge c → −∞ und c → ∞ unabhängig voneinander erfolgen. Anstelle von (19.54) könnte man jedoch das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f auf R auch durch ∫ ∞ −∞ f (x) dx = lim b→∞ a→−∞ ∫ b a f (x) dx definieren, wobei die beiden Grenzübergänge a → −∞ und b → ∞ unabhängig voneinander ausgeführt werden. Ist jedoch die Existenz des uneigentlichen Riemann-Integrals (19.54) bereits sichergestellt, dann kann es oftmals am einfachsten nach (19.55) berechnet werden. Wenn eine Stammfunktion F des Integranden f bekannt ist, geht man bei der Ermittlung der drei uneigentlichen Riemann-Integrale 579 Kapitel 19 Riemann-Integral (19.53) im Allgemeinen so vor, dass man das bestimmte Riemann-Integral ∫ b a f (x) dx = F(b) − F(a) berechnet und anschließend den entsprechenden Grenzübergang durchführt: a) ∫ ∞ a f (x) dx = lim b→∞ F(x) ∣∣∣ b a = lim b→∞ F(b)− F(a) b) ∫ b −∞ f (x) dx = lim a→−∞F(x) ∣∣∣ b a = F(b)− lim a→−∞F(a) c) ∫ ∞ −∞ f (x) dx = lim b→∞ a→−∞ F(x) ∣∣∣ b a = lim b→∞ F(b)− lim a→−∞F(a) Die konkrete Vorgehensweise wird im folgenden Beispiel deutlich. Beispiel 19.43 (Berechnung uneigentlicher Riemann-Integrale 1. Art) a) Es gilt ∫ b 1 1 x dx = ln(x) ∣∣b 1 = ln(b) für alle b > 1. Daraus folgt ∫ ∞ 1 1 x dx = lim b→∞ ∫ b 1 1 x dx = lim b→∞ ln(b) = ∞. Das heißt, dass das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f (x) = 1 x auf [1,∞) nicht existiert. Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f (x) = 1 x und der x-Achse im Intervall [1,∞) ist somit unendlich (vgl. Abbildung 19.15, links). b) Es gilt ∫ b 1 1 x2 dx = ∫ b 1 x−2 dx = − 1 x ∣∣ ∣∣ b 1 = −1 b + 1 für alle b > 1. Daraus folgt ∫ ∞ 1 1 x2 dx = lim b→∞ ∫ b 1 1 x2 dx = lim b→∞ −1 b + 1 = 1. Das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f (x) = 1 x2 auf [1,∞) existiert somit und beträgt 1. Das heißt, der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f (x) = 1 x2 und der x-Achse im Intervall [1,∞) ist gleich 1. Dieses Ergebnis zeigt, dass nicht beschränkte Flächenstücke durchaus einen endlichen Flächeninhalt besitzen können (vgl. Abbildung 19.15, rechts). c) In den Beispielen a) und b) wurde gezeigt, dass das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ 1 1 xα dx für α = 2 existiert und für α = 1 nicht existiert. Es sei nun α ∈ R beliebig gewählt. Dann gilt für b > 1 ∫ b 1 1 xα dx = ⎧ ⎨ ⎩ 1 1−α x 1−α ∣∣∣ b 1 für α ∈ R \ {1} ln(x) ∣∣b 1 für α = 1 . Daraus folgt ∫ ∞ 1 1 xα dx= lim b→∞ ∫ b 1 1 xα dx = ⎧ ⎨ ⎩ lim b→∞ 1 1−α (b 1−α − 1) für α∈R\ {1} lim b→∞ ln(b) für α=1 . Wegen lim b→∞ b1−α = ∞ für α < 1 und lim b→∞ b1−α = lim b→∞ 1 bα−1 = 0 für α > 1 erhält man daraus ∫ ∞ 1 1 xα dx = { ∞ α ≤ 1 1 α−1 α > 1 . Das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f (x) = 1 xα auf [1,∞) existiert somit für α > 1 und beträgt 1 α−1 . Für α ≤ 1 existiert es dagegen nicht (vgl. Abbildung 19.16, links). Aus diesen Überlegungen ist ersichtlich, dass sich am Konvergenzverhalten des uneigentlichen Riemann-Integrals 1. Art nichts ändert, wenn für die untere Integrationsgrenze ein beliebiges a > 0 gewählt wird, d. h. wenn ∫∞ a 1 xα dx mit a > 0 betrachtet wird. d) Es gilt ∫ 0 a ex dx = ex ∣∣ ∣ 0 a = 1 − ea für alle a < 0. Daraus folgt ∫ 0 −∞ ex dx = lim a→−∞ ∫ 0 a ex dx = lim a→−∞ (1 − e a) = 1. Das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f (x) = ex auf (−∞, 0] existiert somit und beträgt 1 (vgl. Abbildung 19.16, rechts). Im folgenden Beispiel werden uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art über R betrachtet. 580 Kapitel 1919.10 Uneigentliches Riemann-Integral 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 f (x) = 1 x b → ∞∫1 b1 x dx 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 f (x) = 1 x2 b → ∞∫1 b 1 x2 dx Abb. 19.15: Nicht existentes uneigentliches Riemann-Integral 1. Art ∫∞ 1 1 x dx (links) und existentes uneigentliches Riemann- Integral 1. Art ∫∞ 1 1 x2 dx mit dem Wert 1 (rechts) 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 1 x2 1 x 1 x ∫1 b 1 xα dx b → ∞ −4 −3 −2 −1 0 0.5 1 ∫b 0 exp (x) dx− ∞ ← b Abb. 19.16: Uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art ∫∞ 1 1 xα dx für α ∈ { 12 , 1} (nicht existent) sowie für α = 2 (existent) (links) und existentes uneigentliches Riemann-Integral 1. Art ∫ 0 −∞ exp(x) dx mit dem Wert 1 (rechts) 581 Kapitel 19 Riemann-Integral Beispiel 19.44 (Berechnung uneigentlicher Riemann-Integrale 1. Art) a) Für a < b gilt ∫ b a xe−x 2 dx = −1 2 e−x 2 ∣∣∣∣ b a = −1 2 e−b 2 + 1 2 e−a 2 . Daraus folgt ∫ ∞ −∞ xe−x 2 dx = lim b→∞ a→−∞ ∫ b a xe−x 2 dx = lim b→∞ a→−∞ ( −1 2 e−b 2 + 1 2 e−a 2 ) = 0 + 0 = 0. Das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f (x) = xe−x2 auf R existiert somit und beträgt 0 (vgl. Abbildung 19.17, links). b) Es gilt ∫ b a 1 1 + x2 dx = arctan(x) ∣∣ ∣ b a = arctan(b)− arctan(a) für a < b (vgl. Satz 16.18c)). Daraus folgt −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −0.5 −0.25 0.25 0.5 f (x) = x ⋅ e −x2 ∫a b x ⋅ exp (− x2) dx − ∞ ← a b → ∞ −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0.5 1 f (x) = 1 1 + x2 − ∞ ← a b → ∞ ∫a b 1 1+x2 dx Abb. 19.17: Existente uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art ∫∞ −∞ xe−x 2 dx mit dem Wert 0 (links) und ∫∞ −∞ 11+x2 dx mit dem Wert π (rechts) ∫ ∞ −∞ 1 1 + x2 dx = limb→∞ a→−∞ ∫ b a 1 1 + x2 dx = lim b→∞ a→−∞ (arctan(b)− arctan(a)) = π 2 − ( −π 2 ) = π (vgl. Abbildung 19.17, rechts). Das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f (x) = 1 1+x2 auf R existiert somit und beträgt π . Das heißt, der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f (x) = 1 1+x2 und der x-Achse ist somit gleich dem Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r = 1. Der folgende Satz fasst die wichtigsten (elementaren) Integrationsregeln für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art zusammen. Er ist für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art auf Intervallen der Form [a,∞) formuliert. Die Aussagen gelten jedoch (mit entsprechender Anpassung) auch für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art auf (−∞, b] und R. 582 Kapitel 1919.10 Uneigentliches Riemann-Integral Satz 19.45 (Rechenregeln für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art) Es seien f, g : [a,∞) −→ R auf [a,∞) uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen 1. Art und α, β ∈ R. Dann sind die Funktionen f, g, αf, f + g und αf + βg auf jedem Intervall [c,∞) mit a ≤ c < ∞ uneigentlich Riemann-integrierbar 1. Art. Ferner gilt: a) ∞∫ a f (x) dx = c∫ a f (x) dx + ∞∫ c f (x) dx (Additivität bzgl. des Integrationsintervalles) b) ∞∫ a αf (x) dx = α ∞∫ a f (x) dx (Homogenität) c) ∞∫ a (f (x)+ g(x)) dx = ∞∫ a f (x) dx + ∞∫ a g(x) dx (Additivität) d) ∞∫ a (αf (x)+βg(x)) dx = α ∞∫ a f (x) dx+β ∞∫ a g(x) dx (Linearität) e) lim c→∞ ∞∫ c f (x) dx = 0 f) ∞∫ a f (x) dx = − a∫ ∞ f (x) dx g) ∞∫ a f (x) dx ≥ 0, falls f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a,∞) (Positivität) h) ∞∫ a f (x) dx ≤ ∞∫ a g(x) dx, falls g(x) ≥ f (x) für alle x ∈ [a,∞) (Monotonie) Entsprechende Aussagen gelten auch für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art über (−∞, b] und R. Beweis: Die Aussagen a) – h) ergeben sich unmittelbar aus der Definition 19.42 und den entsprechenden Aussagen für eigentliche Riemann-Integrale in Satz 19.9, Satz 19.10 und Satz 19.14. Existenzkriterien für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art Die folgenden Existenzkriterien (d. h. Konvergenzkriterien) für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art werden analog zu Satz 19.45 wieder nur für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art vom Typ ∫∞ a f (x) dx mit a ∈ R formuliert. Uneigentliche Riemann-Integrale der „Bauart“ ∫ b −∞ f (x) dx und ∫∞ −∞ f (x) dx können leicht auf diesen Typ zurückgeführt werden. Denn mit der Substitution y = −x bzw. dy = −dx und der Festlegung (19.19) erhält man b∫ −∞ f (x) dx = −b∫ ∞ −f (−y) dy = ∞∫ −b f (−y) dy und damit insbesondere auch ∞∫ −∞ f (x) dx = c∫ −∞ f (x) dx + ∞∫ c f (x) dx = ∞∫ −c f (−y) dy + ∞∫ c f (x) dx. Die Frage nach der Existenz des uneigentlichen Riemann- Integrals 1. Art ∫∞ a f (x) dx lässt sich schnell beantworten, wenn von dem Integranden f eine Stammfunktion F bekannt ist. Denn wegen ∫∞ a f (x) dx = lim x→∞F(x)−F(a) lässt sich in einem solchem Fall die Frage nach der Existenz des uneigentlichen Riemann-Integrals auf die Frage, ob der Grenzwert lim x→∞F(x) existiert, reduzieren. Mit den folgenden Kriterien kann für eine ganze Reihe uneigentlicher Riemann-Integrale 1. Art ∫∞ a f (x) dx deren Existenz oder Nichtexistenz nachgewiesen werden, auch wenn keine Stammfunktion des Integranden f bekannt ist. Sie werden als Monotoniekriterium, Majorantenkriterium und Minorantenkriterium für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art bezeichnet. Sie stellen die Analoga der entsprechenden Konvergenz- und Divergenzkriterien für Reihen dar (vgl. die Sätze 12.13 und Satz 12.15). Satz 19.46 (Monotonie-, Majoranten- und Minorantenkriterium) Die reellen Funktionen f, g : [a, b] −→ R seien Riemann-integrierbar auf [a, b] für alle b ∈ R mit b > a. Dann gilt: a) Ist f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a,∞), dann existiert das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f auf [a,∞) genau dann, wenn es eine Konstante C ≥ 0 mit ∫ t a f (x) dx ≤ C für alle t > a gibt (Monotoniekriterium). 583 Kapitel 19 Riemann-Integral b) Die uneigentlichen Riemann-Integrale 1. Art von |f | und f auf [a,∞) existieren, falls |f (x)| ≤ g(x) für alle x ≥ a gilt und das uneigentliche Riemann- Integral 1. Art ∫∞ a g(x) dx existiert (Majorantenkriterium). c) Das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ a f (x) dx existiert nicht, falls 0 ≤ g(x) ≤ f (x) für alle x ≥ a gilt und das uneigentliche Riemann-Integral∫∞ a g(x) dx nicht existiert (Minorantenkriterium). Beweis: Die Beweise der Aussagen a)-c) können ähnlich geführt werden wie die Beweise der entsprechenden Konvergenzund Divergenzkriterien für Reihen (vgl. die Beweise zu den Sätzen 12.13 und Satz 12.15). Eine reelle Funktion g mit f (x) ≤ g(x) für alle x ≥ a wird als Majorante von f bezeichnet. Gilt zusätzlich, dass das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ a g(x) dx existiert, dann heißt g konvergente Majorante von f . Dagegen wird eine reelle Funktion g mit 0 ≤ g(x) ≤ f (x) für alle x ≥ a als Minorante von f bezeichnet. Gilt zusätzlich, dass das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ a g(x) dx nicht existiert, dann heißt g divergente Minorante von f . In Satz 19.46b) und c) ist es nicht erforderlich, dass die Voraussetzung |f (x)| ≤ g(x) bzw. 0 ≤ g(x) ≤ f (x) für alle x ≥ a gilt. Denn wegen ∫ ∞ a f (x) dx = ∫ b a f (x) dx + ∫ ∞ b f (x) dx behalten das Majoranten- und Minorantenkriterium ihre Richtigkeit auch dann, wenn |f (x)| ≤ g(x) bzw. 0 ≤ g(x) ≤ f (x) nur für alle x ≥ b gilt, wobei b eine beliebige reelle Zahl mit b ≥ a ist. Bei der Untersuchung eines uneigentlichen Riemann- Integrals ∫∞ a f (x) dx auf Existenz, für dessen Integrand f keine Stammfunktion F bekannt ist, erweist sich vor allem das Majorantenkriterium häufig als nützliches Hilfsmittel. Im folgenden Beispiel 19.47 wird die Vorgehensweise bei der Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums aufgezeigt: Beispiel 19.47 (Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums) a) Es wird das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art∫∞ 1 1 x2+ex dx betrachtet. Wegen e x > 0 für alle x ≥ 1 gilt auch x2 + ex > x2 bzw. g(x) := 1 x2 > 1 x2 + ex =: f (x) ≥ 0 für alle x ≥ 1. Die reelle Funktion g ist somit eine Majorante der positiven reellen Funktion f . Da jedoch nach Beispiel 19.44b) das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ 1 g(x) dx existiert und den Wert 1 hat, folgt mit Satz 19.46b) (Majorantenkriterium), dass auch das uneigentliche Riemann-Integral∫∞ 1 1 x2+ex dx existiert und einen Wert kleiner als 1 besitzt (vgl. Abbildung 19.18, links). b) Betrachtet wird das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art ∫∞ 1 √ x+5 x dx. Es gilt f (x) := √ x + 5 x > √ x x = 1 x1/2 =: g(x) ≥ 0 für alle x ≥ 1. Die reelle Funktion g ist somit eine Minorante der reellen Funktion f . Da jedoch nach Beispiel 19.44c) das uneigentliche Riemann-Integral∫∞ 1 g(x) dx nicht existiert, folgt mit Satz 19.46c) (Minorantenkriterium), dass auch das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ 1 f (x) dx nicht existiert (vgl. Abbildung 19.18, rechts). Das folgende Beispiel ist für viele Anwendungsbereiche von großer Bedeutung: Beispiel 19.48 (Existenz der Gaußverteilung) In Beispiel 18.19 wurde bereits erwähnt, dass die Gauß-Verteilung (Normalverteilung) für die Statistik, das Risikomanagement und viele andere Bereiche eine zentrale Bedeutung besitzt. Die Gauß-Verteilung mit Erwartungswert μ ∈ R und Standardabweichung σ > 0 ist gegeben durch μ,σ :R→R, x %→ μ,σ (x) := 1 σ √ 2π ∫ x −∞ e − (t−μ)2 2σ2 dt. Die Gauß-Verteilung mit Erwartungswert μ = 0 und Standardabweichung σ = 1 wird als Standardnormal- 584 Kapitel 1919.10 Uneigentliches Riemann-Integral 0 1 2 3 4 5 0 0.5 1 f (x) = 1 x2 + exp (x) g(x) = 1 x2 b → ∞ 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 f (x) = x + 5 x g(x) = 1 x1 2 b → ∞ Abb. 19.18: Reelle Funktion f : [1,∞) −→ R, x %→ f (x) = 1 x2+ex mit konvergenter Majorante g : [1,∞) −→ R, x %→ g(x) = 1 x2 (links) und reelle Funktion f : [1,∞) −→ R, x %→ f (x) = √ x+5 x mit divergenter Minorante g : [1,∞) −→ R, x %→ g(x) = 1x1/2 (rechts) verteilung bezeichnet und ist gegeben durch : R→R, x %→ (x) := 1√ 2π ∫ x −∞ e− t2 2 dt. (19.56) Im Folgenden wird gezeigt, dass das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art 1 σ √ 2π ∫ ∞ −∞ e − (t−μ)2 2σ2 dt (19.57) existiert. Da jedoch das bestimmte Riemann-Integral 1 σ √ 2π ∫ b a e − (t−μ)2 2σ2 dt nicht in geschlossener Form dargestellt werden kann (vgl. dazu auch die Ausführungen zu Beginn von Abschnitt 19.7), wird hierzu das Majorantenkriterium verwendet. Dabei genügt es nachzuweisen, dass das uneigentliche Riemann-Integral 1 σ √ 2π ∫ ∞ μ e − (t−μ)2 2σ2 dt (19.58) existiert. Denn für die reelle Funktion f (t):= 1 σ √ 2π e −(t−μ)2 2σ2 gilt offensichtlich f (μ − t) = f (μ + t) für alle t ∈ R. Das heißt, f ist achsensymmetrisch zur senkrechten Ge- Geraden an der Stelle t = μ (vgl. Definition 13.23a)) und es gilt somit 1 σ √ 2π ∫ ∞ −∞ e − (t−μ)2 2σ2 dt = 2 1 σ √ 2π ∫ ∞ μ e − (t−μ)2 2σ2 dt. Das uneigentliche Riemann-Integral (19.58) wird weiter zerlegt in 1 σ √ 2π ∫ ∞ μ e − (t−μ)2 2σ2 dt = 1 σ √ 2π ∫ μ+1 μ e − (t−μ)2 2σ2 dt ︸ ︷︷ ︸ <∞ + 1 σ √ 2π ∫ ∞ μ+1 e − (t−μ)2 2σ2 dt. (19.59) Es gilt jedoch 0 ≤ e− (t−μ) 2 2σ2 ≤ e− t−μ2σ2 für t ≥ μ+ 1 und 1 σ √ 2π ∫ ∞ μ+1 e − t−μ 2σ2 dt = 1 σ √ 2π ( −2σ 2e− t−μ2σ2 ) ∣∣∣ ∣ ∞ μ+1 = √ 2 π σe − 1 2σ2 . 585 Kapitel 19 Riemann-Integral −2 −1 0 1 μ μ + 1 4 5 6 7 8 9 10 0.2 0.4 0.6 f (t) = 1 σ 2π e −(t−μ)2 2σ2 g(t) = e −(t−μ) 2σ2 Abb. 19.19: Reelle Funktion f : R −→ R, t %→ f (t) = 1 σ √ 2π e − (t−μ)2 2σ2 mit konvergenter Majorante g : [μ + 1,∞) −→ R, t %→ g(t) = e− t−μ 2σ2 von f auf [μ+ 1,∞) Folglich ist g(t) := e− t−μ2σ2 auf [μ + 1,∞) eine konvergente Majorante von f . Daraus folgt mit Satz 19.46b) (Majorantenkriterium), dass das uneigentliche Riemann- Integral (19.59) und damit insbesondere auch das uneigentliche Riemann-Integral (19.57) existiert. Ferner kann man zeigen, dass 1 σ √ 2π ∫∞ −∞ e − (t−μ)2 2σ2 dt = 1 gilt und die Funktion f somit eine sogenannte Dichtefunktion ist (vgl. Abbildung 19.19). Mit Hilfe des Majorantenkriteriums lässt sich leicht das sogenannte Grenzwertkriterium beweisen: Satz 19.49 (Grenzwertkriterium) Die reellen Funktionen f, g : [a, b]→R seien Riemannintegrierbar auf [a, b] für alle b ∈ R mit b > a. Ferner gelte f (x), g(x) > 0 für alle x ∈ [a,∞) und lim x→∞ f (x) g(x) = L. (19.60) Dann folgt: a) Die beiden uneigentlichen Riemann-Integrale∫∞ a f (x) dx und ∫∞ a g(x) dx haben das gleiche Konvergenzverhalten, falls L > 0 gilt. b) Aus der Existenz von ∫∞ a g(x) dx folgt die Existenz von ∫∞ a f (x) dx, falls L = 0 gilt. Beweis: Zu a): Es sei L > 0. Dann folgt mit (19.60), dass zu ε0 := L2 ein c ≥ a existiert, so dass L− ε0 < f (x) g(x) < L+ ε0 für alle x ≥ c gilt. Wegen L− ε0 = L2 und L+ ε0 = 32L erhält man somit, dass 0 < L 2 g(x) < f (x) < 3L 2 g(x) für alle x ≥ c gilt. Daraus folgt mit Satz 19.46b) (Majorantenkriterium), dass das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von f auf [c,∞) genau dann existiert, wenn das uneigentliche Riemann-Integral 1. Art von g auf [c,∞) existiert. Folglich haben auch die beiden uneigentlichen Riemann-Integrale∫∞ a f (x) dx und ∫∞ a g(x) dx das gleiche Konvergenzverhalten. Zu b): Es sei L = 0. Dann erhält man mit (19.60), dass zu ε0 := 1 ein c ≥ a existiert, so dass 0 < f(x)g(x) < 1 und damit insbesondere 0 < f (x) < g(x) für alle x ≥ c gilt. Mit 586 Kapitel 1919.10 Uneigentliches Riemann-Integral Satz 19.46b) folgt daher, dass die Existenz des uneigentlichen Riemann-Integrals ∫∞ c g(x) dx auch die Existenz des uneigentlichen Riemann-Integrals ∫∞ a f (x) dx impliziert. Für konkrete Beispiele zur Anwendung und Nützlichkeit des Grenzwertkriteriums siehe Beispiel 19.53b) und c) sowie Beispiel 19.54b). Uneigentliches Riemann-Integral 2. Art Ein uneigentliches Riemann-Integral 2. Art liegt vor, wenn der Integrand f : [a, b] −→ R des Riemann-Integrals an einer Stelle c ∈ [a, b] des Integrationsintervalles [a, b] unbeschränkt ist. Das heißt, wenn der Integrand f an einer der beiden Randstellen a oder b des Intervalles [a, b] eine Polstelle besitzt und damit der Grenzwert lim x↑b f (x) bzw. lim x↓a f (x) uneigentlich (d. h. gleich ∞ oder −∞) ist oder wenn der Integrand f an einer inneren Stelle c ∈ (a, b) eine Polstelle besitzt und damit mindestens einer der beiden Grenzwerte lim x↑c f (x) und lim x↓c f (x) uneigentlich ist (vgl. Seite 361). Es ist nun naheliegend, den Begriff des Riemann-Integrals auch auf Integranden f mit einer Polstelle an der Randstelle a oder b zu erweitern, für die der Grenzwert lim t↑b ∫ t a f (x) dx bzw. lim t↓a ∫ b t f (x) dx existiert, sowie auf Integranden f mit einer Polstelle an einer inneren Stelle c ∈ (a, b), für welche die beiden Grenzwerte lim t↑c ∫ t a f (x) dx und lim t↓c ∫ b t f (x) dx existieren. Die genaue Definition lautet wie folgt: Definition 19.50 (Uneigentliches Riemann- Integral 2. Art) a) Die reelle Funktion f : [a, b) −→ R mit |f (x)| −→ ∞ für x ↑ b sei Riemann-integrierbar auf [a, t] für alle a < t < b und der Grenzwert limt↑b ∫ t a f (x) dx existiere. Dann heißt f auf [a, b] uneigentlich Riemann-integrierbar 2. Art und der Grenzwert ∫ b a f (x) dx := lim t↑b ∫ t a f (x) dx wird als uneigentliches Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] bezeichnet. Andernfalls sagt man, dass das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] nicht existiert. b) Die reelle Funktion f : (a, b] −→ R sei Riemannintegrierbar auf [t, b] für alle a < t < b mit |f (x)| −→ ∞ für x ↓ a und der Grenzwert limt↓a ∫ b t f (x) dx existiere. Dann heißt f auf [a, b] uneigentlich Riemann-integrierbar 2. Art und der Grenzwert ∫ b a f (x) dx := lim t↓a ∫ b t f (x) dx wird als uneigentliches Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] bezeichnet. Andernfalls sagt man, dass das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] nicht existiert. c) Die reelle Funktion f : (a, b) → R sei für ein beliebiges c ∈ (a, b) auf [a, c] und [c, b] uneigentlich Riemann-integrierbar 2. Art mit |f (x)| −→ ∞ für x ↓ a und x ↑ b. Dann heißt f auf [a, b] uneigentlich Riemann-integrierbar 2. Art und der Wert ∫ b a f (x) dx := ∫ c a f (x) dx + ∫ b c f (x) dx (19.61) wird als uneigentliches Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] bezeichnet. Existiert eines der beiden uneigentlichen Riemann-Integrale auf der rechten Seite von (19.61) nicht, dann sagt man, dass das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] nicht existiert. d) Die reelle Funktion f : [a, b] \ {c} −→ R mit |f (x)| −→ ∞ für x ↓ c oder x ↑ c für ein c ∈ (a, b) sei sowohl Riemann-integrierbar auf [a, t] für alle a < t < c als auch Riemann-integrierbar auf [t, b] für alle c < t < b. Ferner existieren die beiden Grenzwerte lim t↑c ∫ t a f (x) dx und lim t↓c ∫ b t f (x) dx. (19.62) Dann heißt f auf [a, b] uneigentlich Riemann-integrierbar 2. Art und der Wert ∫ b a f (x) dx := lim t↑c ∫ t a f (x) dx + lim t↓c ∫ b t f (x) dx (19.63) 587 Kapitel 19 Riemann-Integral wird als uneigentliches Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] bezeichnet. Existiert eines der beiden uneigentlichen Riemann-Integrale (19.62) nicht, dann sagt man, dass das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] nicht existiert. Wie wichtig die Beachtung der Polstellen eines Integranden f bei der Integration ist, wird bereits bei der Betrachtung sehr einfacher Riemann-Integrale wie z. B. ∫ 1 −1 1 x2 dx deutlich. Denn eine formale Berechnung dieses Riemann-Integrals ohne Beachtung des Pols von f an der Stelle x = 0 würde zu dem „unsinnigen“ Ergebnis ∫ 1 −1 1 x2 dx = − 1 x ∣∣∣∣ 1 −1 = −1 − 1 = −2 führen. Dieses Resultat kann auf keinen Fall richtig sein, da die Fläche I (f ) zwischen dem Graphen von f (x) = 1 x2 und der x-Achse im Intervall [−1, 1] vollständig oberhalb der x-Achse liegt und somit ihr Inhalt auf keinen Fall negativ ist (vgl. Abbildung 19.20, links). Tatsächlich gilt, dass der Flächeninhalt unendlich groß ist und das uneigentliche Riemann-Integral ∫ 1 −1 1 x2 dx somit nicht existiert (vgl. Beispiel 19.51a)). −3 −2 −1 0 1 2 3 1 2 3 f (x) = 1 x2 I ( f ) 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 1 x2 1 x 1 x 0 ← t ∫t 1 1 xα dx Abb. 19.20: Fläche I (f ) zwischen dem Graphen der reellen Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ f (x) = 1 x2 und der x-Achse im Intervall [−1, 1] (links) und das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art ∫ 10 1xα dx für α = 12 (existent) sowie für α = 1 und α = 2 (nicht existent) (rechts) Analog zu uneigentlichen Riemann-Integralen 1. Art ist zu beachten, dass das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art einer reellen Funktion f mit einer Polstelle bei c ∈ (a, b) nicht einfach durch ∫ b a f (x) dx= lim ε→0 (∫ c−ε a f (x) dx+ ∫ b c+ε f (x) dx ) (19.64) definiert werden kann. Denn es ist auch hier erforderlich, dass die beiden Grenzübergänge c − ε → c und c + ε → c unabhängig voneinander erfolgen. Anstelle von (19.63) könnte man jedoch das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f mit einer Polstelle bei c ∈ (a, b) auch durch ∫ b a f (x) dx = lim ε1→0 ∫ c−ε1 a f (x) dx + lim ε2→0 ∫ b c+ε2 f (x) dx definieren, wobei die beiden Grenzübergänge ε1 → 0 und ε2 → 0 unabhängig voneinander auszuführen sind. Ist jedoch die Existenz des uneigentlichen Riemann-Integrals∫ b a f (x) dx bereits sichergestellt, dann kann es häufig am einfachsten nach (19.64) berechnet werden. Eine analoge Aussage gilt auch für das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art einer reellen Funktion f mit zwei Polstellen an den beiden Randstellen a und b. Besitzt ein Integrand f : [a, b] −→ R im Inneren des Definitionsbereichs endlich viele Polstellen a = x0 < x1 < . . . < 588 Kapitel 1919.10 Uneigentliches Riemann-Integral xn−1 < xn = b und existieren die uneigentlichen Riemann- Integrale ∫ xk xk−1 f (x) dx für k = 1, . . . , n, dann ist das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f auf [a, b] durch ∫ b a f (x) dx := n∑ k=1 ∫ xk xk−1 f (x) dx definiert. Ein an der oberen Integrationsgrenze b uneigentliches Riemann-Integral 2. Art wird häufig auch mit dem Symbol ∫ b− a f (x) dx und ein an der unteren Integrationsgrenze a uneigentliches Riemann-Integral 2. Art entsprechend mit∫ b a+ f (x) dx bezeichnet. Für ein an beiden Integrationsgrenzen a und b uneigentliches Riemann-Integral 2. Art verwendet man dann das Symbol ∫ b− a+ f (x) dx. Wenn eine Stammfunktion F des Integranden f bekannt ist, geht man bei der Ermittlung eines der vier uneigentlichen Riemann-Integrale 2. Art wie bei einem uneigentlichen Riemann-Integral 1. Art vor. Das heißt, man berechnet je nach Art des betrachteten uneigentlichen Riemann-Integrals 2. Art das bestimmte Riemann-Integral ∫ t a f (x) dx = F(t)−F(a), das bestimmte Riemann-Integral ∫ b t f (x) dx=F(b)−F(t) oder beide bestimmte Riemann-Integrale und führt dann anschließend den entsprechenden Grenzübergang durch. Für die vier in Definition 19.50 aufgeführten Fälle erhält man dann: a) ∫ b a f (x) dx = lim t↑b F (x) ∣ ∣∣ t a = lim t↑b F (t)− F(a) b) ∫ b a f (x) dx = lim t↓a F (x) ∣ ∣∣ b t = F(b)− lim t↓a F (t) c) ∫ b a f (x) dx = lim t↑b F (x) ∣ ∣∣ t c + lim t↓a F (x) ∣ ∣∣ c t = lim t↑b F (t)− lim t↓a F (t) d) ∫ b a f (x) dx = lim t↑c F (x) ∣ ∣∣ t a + lim t↓c F (x) ∣ ∣∣ b t = lim t↑c F (t)− F(a)+ F(b)− lim t↓c F (x) Darüber hinaus können auch die Rechenregeln für uneigentliche Riemann-Integrale 1. Art in Satz 19.45 leicht so umformuliert werden, dass sie auch für uneigentliche Riemann- Integrale 2. Art gelten. Beispiel 19.51 (Berechnung uneigentlicher Riemann-Integrale 2. Art) a) Für 0 < t < 1 und α ∈ R gilt ∫ 1 t 1 xα dx = ⎧ ⎨ ⎩ 1 1−α x 1−α ∣∣∣ 1 t für α ∈ R \ {1} ln(x) ∣∣1 t für α = 1 . Daraus folgt ∫ 1 0 1 xα dx= lim t↓0 ∫ 1 t 1 xα dx = ⎧ ⎨ ⎩ lim t↓0 ( 1 1−α − 11−α t1−α ) für α∈R\ {1} lim t↓0 − ln(t) für α = 1 . Wegen lim t↓0 1 1−α t 1−α=−∞ für α>1 und lim t↓0 1 1−α t 1−α =0 für α < 1 erhält man weiter ∫ 1 0 1 xα dx = { ∞ für α ≥ 1 1 1−α für α < 1 . Das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f (x) = 1 xα auf [0,1] existiert somit für α < 1 und beträgt 11−α . Für α ≥ 1 existiert es dagegen nicht (vgl. Abbildung 19.20, rechts). Zusammen mit Beispiel 19.43c) folgt, dass das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ 0 1 xα dx für kein α ∈ R existiert. b) Für 0 < t < 1 gilt ∫ t 0 1√ 1 − x2 dx = arcsin(x) ∣ ∣t 0 (vgl. Satz 16.18a)). Daraus folgt ∫ 1 0 1√ 1 − x2 dx = limt↑1 ∫ t 0 1√ 1 − x2 dx = lim t↑1 arcsin(t)− arcsin(0) = arcsin(1) = π 2 . Analog erhält man ∫ 0 −1 1√ 1 − x2 dx = lims↓−1 ∫ 0 s 1√ 1 − x2 dx = π 2 . Das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f (x) = 1√ 1−x2 auf den beiden Intervallen [0, 1] 589 Kapitel 19 Riemann-Integral −1 −0.5 0 0.5 1 1 2 3 f (x) = 1 1 − x2 t → 1− 1 ← s ∫0 t(1 − x2)−1 2 dx 0 Q0 0 P0 Gütermenge Q P re is P l A(Q) N(Q) KR PR Abb. 19.21: Existierendes uneigentliches Riemann-Integral 2. Art ∫ 1 −1 1√1−x2 dx mit dem Wert π (links) sowie die Konsumentenrente KR und die Produzentenrente PR für eine Preis-Angebots- und eine Preis-Nachfragefunktion A(Q) bzw. N(Q) (rechts) und [−1, 0] existiert somit und beträgt in beiden Fällen π2 . Für das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art von f (x) = 1√ 1−x2 auf [−1, 1] erhält man daher ∫ 1 −1 1√ 1 − x2 dx = limt↑1 ∫ t 0 1√ 1 − x2 dx + lim s↓−1 ∫ 0 s 1√ 1 − x2 dx = π 2 + π 2 = π (vgl. Abbildung 19.21, links). Das folgende Beispiel zeigt, dass uneigentliche Riemann- Integrale 2. Art auch bei wirtschaftswissenschaftlichen Problemstellungen auftreten: Beispiel 19.52 (Konsumenten- und Produzentenrente) In der Mikroökonomie untersucht man u. a., wie das Wohlergehen der Konsumenten und der Produzenten von Änderungen der ökonomischen Parameter abhängt. Zwei grobe, aber verbreitete Maße zur Quantifizierung des A. Marshall Wohlergehens sind die sog. Konsumentenrente und Produzentenrente. Sie gehen auf den einflussreichen englischen Ökonom und Autor des 1890 veröffentlichten Standardwerks „Principles of Economics“ Alfred Marshall (1842–1924) zurück. Im Folgenden bezeichnen A(Q) und N(Q) die Preis- Angebots- bzw. die Preis- Nachfragefunktion in Abhängigkeit von der Gütermenge Q. Der Gleichgewichtspreis P0 ist dann gegeben durch P0 = A(Q0) = N(Q0). Der Gleichgewichtspreis P0 ist somit derjenige Preis, der die Konsumenten dazu veranlasst, genau dieselbe Menge nachzufragen, welche die Produzenten bereit sind zu diesem Preis anzubieten. Geht man von einem Marktgleichgewicht aus (d. h. Angebotsmenge ist gleich Nachfragemenge), dann ist der Gleichgewichtspreis der Preis, den ein Konsument aufgrund der Marktverhältnisse tatsächlich zahlen muss (Marktpreis). Bei der Konsumenten- 590 Kapitel 1919.10 Uneigentliches Riemann-Integral rente KR handelt es sich dann um die Differenz aus dem Betrag, den ein Konsument für die Gütermenge Q0 zu zahlen bereit ist (sog. Reservationspreis des Kunden) und dem Betrag P0Q0, den der Konsument aufgrund des Marktpreises P0 tatsächlich zu zahlen hat. Das heißt, es gilt KR := ∫ Q0 0 N(Q) dQ− P0Q0 (vgl. Abbildung 19.21, rechts). Dagegen handelt es sich bei der Produzentenrente um die Differenz aus dem Betrag P0Q0, den ein Produzent aufgrund des Marktpreises P0 für die Gütermenge Q0 tatsächlich erzielt hat, und dem Preis, zu dem ein Produzent das Gut gerade noch anbieten würde (sog. Reservationspreis des Produzenten). Es gilt somit PR := P0Q0 − ∫ Q0 0 A(Q) dQ (vgl. Abbildung 19.21, rechts). Ist nun die Preis-Nachfragefunktion speziell eine Potenzfunktion N(Q) = aQb mit b ∈ (−1, 0) und a > 0, dann ist die Konsumentenrente durch KR = ∫ Q0 0 aQb dQ− P0Q0 (19.65) gegeben. Das Riemann-Integral auf der rechten Seite von (19.65) ist ein uneigentliches Riemann-Integral 2. Art, da der Integrand bei Q = 0 eine Polstelle besitzt. Für die Konsumentenrente erhält man weiter KR = lim t↓0 ∫ Q0 t aQb dQ− aQb+10 = lim t↓0 a b + 1Q b+1 ∣ ∣∣ ∣ Q0 t −aQb+10 = a b + 1Q b+1 0 − lim t↓0 a b + 1 t b+1 − aQb+10 = − ab b + 1Q b+1 0 . Wegen b ∈ (−1, 0) folgt daraus, dass − ab b+1Q b+1 0 > 0 gilt und damit die Konsumentenrente eine streng monoton wachsende Funktion der nachgefragten Gütermenge Q0 ist. Mit P0 = N(Q0) = aQb0 bzw. Q0 = ( P0 a ) 1 b folgt weiter KR = − ab b + 1 ( P0 a ) b+1 b . Wegen b+1 b < 0 folgt daraus, dass die Konsumentenrente eine streng monoton fallende Funktion des Preises P0 ist. Existenzkriterien für uneigentliche Riemann-Integrale 2. Art Das Monotonie-, das Majoranten- und das Minorantenkriterium (siehe Satz 19.46) sowie das Grenzwertkriterium (siehe Satz 19.49) können mühelos auch für uneigentliche Riemann- Integrale 2. Art formuliert und die zugehörigen Beweise nahezu wortwörtlich übertragen werden. Diese Kriterien werden deshalb nicht noch einmal für uneigentliche Riemann- Integrale 2. Art formuliert, sondern es werden stattdessen einige weitere Beispiele betrachtet: Beispiel 19.53 (Anwendung des Majoranten- und des Grenzwertkriteriums) a) Es gilt ∣∣∣∣ cos(x)√ x ∣∣∣∣ ≤ 1√ x für alle x ∈ (0, 1]. Da jedoch das uneigentliche Riemann-Integral ∫ 1 0 1√ x dx existiert (vgl. Beispiel 19.51a)), folgt mit der Umformulierung des Majorantenkriteriums (vgl. Satz 19.46b)) für uneigentliche Riemann-Integrale 2. Art, dass auch ∫ 1 0 cos(x)√ x dx existiert. b) Das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art∫ 1 0 ln(x)√ x dx existiert. Denn zum einen gilt lim x↓0 | ln(x)|√ x 1 x 3 4 = lim x↓0 x 1 4 | ln(x)| = 0 (vgl. Beispiel 16.40a)) und zum anderen existiert gemäß Beispiel 19.51a) das uneigentliche Riemann- Integral ∫ 1 0 1 x 3 4 dx. Mit Satz 19.49 (Grenzwertkriterium) – umformuliert für uneigentliche Riemann- Integrale 2. Art – folgt somit, dass auch das uneigentliche Riemann-Integral ∫ 1 0 | ln(x)|√ x dx existiert. Das heißt jedoch, dass auch das uneigentliche Riemann-Integral ∫ 1 0 ln(x)√ x dx existiert (vgl. Beispiel 19.22, links). 591 Kapitel 19 Riemann-Integral 0.5 1 −10 −5 0 ∫0 1ln(x) x dx f (x) = ln(x) x 1 2 3 −10 −5 0 5 10 f (x) = 1 ln(x) Abb. 19.22: Existentes uneigentliches Riemann-Integral 2. Art ∫ 1 0 ln(x)√ x dx (links) und nicht existentes uneigentliches Riemann- Integral 2. Art ∫ 2 1 1 ln(x) dx (rechts) c) Das uneigentliche Riemann-Integral 2. Art∫ 2 1 1 ln(x) dx existiert nicht. Denn mit Satz 16.37 (erste Regel von L’Hôspital) erhält man lim x↓1 ln(x) x − 1 = limx↓1 1 x 1 = 1. Mit Satz 19.49 (Grenzwertkriterium) – wieder für uneigentliche Riemann-Integrale 2. Art formuliert – folgt somit, dass die beiden uneigentlichen Riemann- Integrale ∫ 2 1 1 ln(x) dx und ∫ 2 1 1 x−1 dx das gleiche Konvergenzverhalten aufweisen. Da jedoch das uneigentliche Riemann-Integral ∫ 2 1 1 x − 1 dx gemäß Beispiel 19.51a) nicht existiert, impliziert dies auch die Nichtexistenz von ∫ 2 1 1 ln(x) dx (vgl. Beispiel 19.22, rechts). Das folgende Beispiel zeigt, dass ein Riemann-Integral∫ b a f (x) dx gleichzeitig sowohl bezüglich 1. als auch 2. Art uneigentlich sein kann. In einem solchen Fall wird das Riemann-Integral in zwei uneigentliche Riemann-Integrale zerlegt, von denen das eine ausschließlich bezüglich 1. Art und das andere ausschließlich bezüglich 2. Art uneigentlich ist. Zur Untersuchung dieser beiden uneigentlichen Riemann-Integrale auf Existenz können dann die für uneigentliche Riemann-Integrale 1. und 2. Art ermittelten Kriterien herangezogen werden und die Existenz des ursprünglichen Riemann-Integrals ∫ b a f (x) dx ist genau dann gegeben, wenn die beiden Teilintegrale existieren. Beispiel 19.54 (Uneigentliche Riemann-Integrale 1. und 2. Art) a) Das Riemann-Integral ∫∞ 0 e −x ln(x) dx ist ein uneigentliches Riemann-Integral 1. Art (obere Integrationsgrenze) und 2. Art (untere Integrationsgrenze). Zur Untersuchung auf Existenz wird deshalb das Riemann-Integral in die beiden uneigentlichen Riemann-Integrale ∫ 1 0 e−x ln(x) dx und ∫ ∞ 1 e−x ln(x) dx 2. bzw. 1. Art zerlegt. Die Existenz dieser beiden uneigentlichen Riemann-Integrale folgt mit Satz 19.49 (Grenzwertkriterium). Denn zum einen gilt lim x↓0 |e−x ln(x)| ∣∣ ∣ ln(x)√ x ∣∣ ∣ = lim x↓0 e−xx 1 2 = 0 und lim x→∞ |e−x ln(x)| ∣∣∣ ln(x)√ x ∣∣∣ = lim x→∞ e −xx 1 2 = 0 592 Kapitel 1919.10 Uneigentliches Riemann-Integral (vgl. Satz 14.32b)) und zum anderen existiert das uneigentliche Riemann-Integral ∫ 1 0 ln(x)√ x dx (vgl. Beispiel 19.53b)). Die Existenz der beiden uneigentlichen Riemann-Integrale ∫∞ 1 e −x ln(x) dx und ∫ 1 0 e −x ln(x) dx impliziert somit, dass auch das uneigentliche Riemann-Integral ∫ ∞ 0 e−x ln(x) dx= ∫ 1 0 e−x ln(x) dx+ ∫ ∞ 1 e−x ln(x) dx existiert (vgl. Abbildung 19.23, links). b) Das Riemann-Integral ∫∞ 0 e −xxα−1 dx ist ein uneigentliches Riemann-Integral 1. Art (obere Integrationsgrenze) und für α < 1 auch ein uneigentliches Riemann-Integral 2. Art (untere Integrationsgrenze). Es wird deshalb in die beiden uneigentlichen Riemann-Integrale ∫ 1 0 e−xxα−1 dx und ∫ ∞ 1 e−xxα−1 dx zerlegt. Wegen lim x↓0 e−xxα−1 1 x1−α = lim x↓0 e−x = 1 1 2 3 4 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 f(x) = e −x ln(x) g(x) = e −x x f(x) = e −x 1 x2 0 1 2 3 4 0 1 2 Abb. 19.23: Existentes uneigentliches Riemann-Integral 2. Art ∫∞ 0 e −x ln(x) dx (links) und uneigentliches Riemann-Integral 2. Art ∫∞ 0 e −xxα−1 dx für α = 2 (existent) und für α = −1 (nicht existent) (rechts) existiert ∫ 1 0 e −xxα−1 dx gemäß Satz 19.49 (Grenzwertkriterium) genau dann, wenn das uneigentliche Riemann-Integral ∫ 1 0 1 x1−α dx existiert. Also genau dann, wenn α > 0 gilt (vgl. Beispiel 19.51a)). Ferner gilt lim x→∞ e−xxα−1 1 x2 = lim x→∞ e −xxα+1 = 0 für alle α ∈ R (vgl. Satz 14.32b)). Da jedoch das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ 1 1 x2 dx existiert (vgl. Beispiel 19.43b)), folgt mit Satz 19.49 (Grenzwertkriterium), dass auch ∫∞ 1 e −xxα−1 dx für alleα ∈ R existiert. Es gilt somit insgesamt, dass das uneigentliche Riemann-Integral ∫ ∞ 0 e−xxα−1 dx= ∫ 1 0 e−xxα−1 dx + ∫ ∞ 1 e−xxα−1 dx genau dann existiert, wenn α > 0 gilt (vgl. Abbildung 19.23, rechts). Die im Folgenden betrachtete Gammafunktion ist ein weiteres Beispiel für ein Riemann-Integral, das gleichzeitig ein uneigentliches Riemann-Integral 1. und 2. Art ist. 593 Kapitel 19 Riemann-Integral Gammafunktion Zu den besonders wichtigen „höheren“ reellen Funktionen gehört die sogenannte Gammafunktion, die für viele Anwendungsbereiche von großer Bedeutung ist. Zum Beispiel leitet sich aus ihr die Gamma-Verteilung ab, die nach der Gauß- Verteilung (siehe Beispiel 19.48) eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist und viele wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen in der Statistik, dem Risikomanagement, der Versicherungs- und Finanzmathematik besitzt. Die Gammafunktion hat ihren Ursprung im frühen 18. Jahrhundert in der Bemühung, eine reelle Funktion f zu finden, welche die in vielen Problemstellungen auftretenden Fakultäten n! = n·(n−1) · · · 2·1 für n ∈ N und 0! = 1 interpoliert, also für die f (n) = n! für alle n ∈ N0 gilt (zum Begriff „Interpolation“ siehe Kapitel 27). L. Euler auf einem schweizerischen 10-Frankenschein In den Jahren 1729 und 1730 stellte der junge schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) in zwei Briefen dem deutschen Mathematiker Christian Goldbach (1690–1764) seine Lösung dieses Interpolationsproblems in verschiedenen Formen vor, von denen die Gammafunktion : (0,∞) −→ R, x %→ (x) := ∫ ∞ 0 e−t t x−1 dt heute am verbreitetsten ist. Die heute übliche Bezeichnung der Gammafunktion mit dem griechischen Gamma-Zeichen „ “ wurde jedoch erst etwas später vom französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre (1752–1833) eingeführt. Die Gammafunktion ist durch das Riemann-Integral∫∞ 0 e −t t x−1 dt definiert, welches an der oberen Integrationsgrenze ein uneigentliches Riemann-Integral 1. Art und für x ∈ (0, 1) an der unteren Integrationsgrenze ein uneigentliches Riemann-Integral 2. Art ist. In Beispiel 19.54b) wurde jedoch bereits gezeigt, dass für x > 0 beide Teilintegrale ∫ 1 0 e −t t x−1 dt und ∫∞ 1 e −t t x−1 dt existieren und damit insbesondere die Gammafunktion wohldefiniert ist. Die entscheidende Eigenschaft der Gammafunktion ist, dass sie tatsächlich die Fakultäten n! für n ∈ N0 interpoliert: Satz 19.55 (Interpolationseigenschaft der Gammafunktion) Für die Gammafunktion : (0,∞)→ R, x %→ (x) :=∫∞ 0 e −t t x−1 dt gilt: a) (x + 1) = x (x) für alle x ∈ (0,∞) (Funktionalgleichung) b) (n+ 1) = n! für alle n ∈ N0 Beweis: Zu a): Gemäß Beispiel 19.54b) existiert das uneigentliche Riemann-Integral ∫∞ 0 e −t tx−1 dt für alle x > 0 und durch Produktintegration erhält man ∫ b a e−t tx dt = (−e−t tx) ∣ ∣ ∣ b a +x ∫ b a e−t tx−1 dt. Daraus folgt für alle x > 0 durch Bildung der beiden Grenz- übergänge a ↓ 0 und b → ∞: (x + 1) = lim b→∞ a↓0 ∫ b a e−t tx dt = lim b→∞ a↓0 (−e−t tx) ∣ ∣∣ b a +x lim b→∞ a↓0 ∫ b a e−t tx−1 dt = lim b→∞ a↓0 ( −e−bbx + e−aax ) + x ∫ ∞ 0 e−t tx−1 dt = 0 + x (x) = x (x) Zu b): Wegen (1) = lim b→∞ ∫ b 0 e−t dt = lim b→∞ (−e−t ) ∣∣ ∣ b 0 = lim b→∞ ( −e−b + 1 ) = 1 folgt mit der Funktionalgleichung von Aussage a) für alle n∈ N0: (n+ 1) = n (n) = n(n− 1) (n− 1) = . . . = n(n− 1) · · · 1 · (1) = n! Durch wiederholte Anwendung der Funktionalgleichung von Satz 19.55a) erhält man (x + n) = (x + n− 1)(x + n− 2) · . . . · (x + 2)(x + 1)x (x) für alle x > 0 und n ∈ N, und die Auflösung dieser Gleichung nach (x) liefert (x) = (x + n) (x + n− 1)(x + n− 2) · · · (x + 2)(x + 1)x . 594 Kapitel 1919.11 Integration von Potenzreihen −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 Γ(x) Abb. 19.24: Graph der auf den Definitionsbereich R \ {0,−1,−2,−3, . . .} erweiterten Gammafunktion : R \ {0,−1,−2,−3, . . .} −→ R mit Polstellen bei x = 0,−1,−2,−3, . . . Dieser Ausdruck wird zur Definition von (x) für x < 0 benutzt, indem man (x) := (x + n) (x + n− 1)(x + n− 2) · · · (x + 2)(x + 1)x für alle x ∈ (−n,−n + 1) und n ∈ N definiert. Bei dieser Festlegung ist die Funktionalgleichung (x + 1) = x (x) für alle x ∈ R \ {0,−1,−2,−3, . . .} gültig und (x) für x ∈ {0,−1,−2,−3, . . .} nicht erklärt, da dort Polstellen vorliegen. Für den Graphen der auf den Definitionsbereich R\{0,−1,−2,−3, . . .} erweiterten Gammafunktion siehe Abbildung 19.24. 19.11 Integration von Potenzreihen In Abschnitt 17.7 wurde bereits erläutert, dass die Summenfunktion f : (x0 − R, x0 + R)−→R, x %→f (x) := ∞∑ k=0 ak(x − x0)k einer Potenzreihe ∑∞ k=0 ak(x − x0)k mit positivem Konvergenzradius R > 0 sowohl stetig als auch beliebig oft differenzierbar ist und die Differentiation gliedweise durchgeführt werden darf. Bei der Ermittlung neuer Identitäten für reelle Funktionen hat sich vor allem die Differenzierbarkeit der Summenfunktion f als sehr nützlich erwiesen (vgl. Beispiel 17.23). Aus der Stetigkeit der Summenfunktion f folgt mit Satz 19.4, dass eine Summenfunktion auch Riemannintegrierbar ist. Wie der folgende Satz zeigt, lässt sich für f durch gliedweise Integration leicht eine Stammfunktion F berechnen: Satz 19.56 (Stammfunktion einer Potenzreihe) Es sei ∑∞ k=0 ak(x − x0)k eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius R um den Entwicklungspunkt x0. Dann besitzt die durch f : (x0 − R, x0 + R) −→ R, x %→ f (x) := ∞∑ k=0 ak(x − x0)k definierte Summenfunktion eine auf (x0 −R, x0 +R) definierte Stammfunktion F : (x0 − R, x0 + R) −→ R, x %→ F(x) := ∞∑ k=0 ak k + 1 (x − x0) k+1. (19.66) 595 Kapitel 19 Riemann-Integral Beweis: Wegen lim k→∞ ∣ ∣ ∣ akak+1 ∣ ∣ ∣ = R (vgl. Satz 17.15a)) gilt für die Potenzreihe (19.66) lim k→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ak(k + 2) (k + 1)ak+1 ∣ ∣ ∣ ∣ = limk→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ak ak+1 ∣ ∣ ∣ ∣ · limk→∞ ∣ ∣ ∣ ∣ k + 2 k + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ = R. Mit 17.15a) folgt somit, dass auch die Potenzreihe ∞∑ k=0 ak k + 1 (x − x0) k+1 = (x − x0) ∞∑ k=0 ak k + 1 (x − x0) k den Konvergenzradius R besitzt. Gemäß Satz 17.22b) ist die Funktion F somit differenzierbar und kann gliedweise differenziert werden. Man erhält dann F ′(x) = ∞∑ k=0 ak(x − x0)k = f (x) für alle x ∈ (x0 − R, x0 + R), also ist F eine Stammfunktion von f . Die Nützlichkeit des Satzes 19.56 bei der Ermittlung von Potenzreihen für reelle Funktionen zeigt sich im folgenden Beispiel. Beispiel 19.57 (Stammfunktionen von Potenzreihen) a) Gemäß Beispiel 17.23b) besitzt die erste Ableitung ln′(1 + x) = 11+x von ln(1 + x) (vgl. Satz 16.14a)) die Potenzreihendarstellung ln′(1 + x) = 1 1 + x = ∞∑ k=0 (−1)kxk für alle x ∈ (−1, 1). Mit Satz 19.56 folgt, dass F : (−1, 1) −→ R, x %→ F(x) := ∞∑ k=0 (−1)k k + 1 x k+1 eine Stammfunktion von ln′(1+ x) ist. Es gilt somit ln(1 + x) = ∞∑ k=0 (−1)k k + 1 x k+1 + C (19.67) für alle x ∈ (−1, 1) und eine geeignete Konstante C. Setzt man in (19.67) x = 0, dann folgt ln(1) = C , also C = 0. Die Funktion ln(1 + x) besitzt folglich um x0 = 0 für alle x ∈ (−1, 1) die Potenzreihendarstellung ln(1 + x) = ∞∑ k=0 (−1)k k + 1 x k+1 = ∞∑ k=1 (−1)k+1 k xk (vgl. auch Beispiel 17.10b)). b) Für die Potenzreihe der ersten Ableitung arctan′(x) = 1 1+x2 von arctan(x) (vgl. Satz 16.18c)) gilt arctan′(x) = 1 1 + x2 = ∞∑ k=0 (−x2)k = ∞∑ k=0 (−1)kx2k für alle x ∈ (−1, 1) (vgl. erste Potenzreihe in Tabelle 17.1). Mit Satz 19.56 folgt somit, dass F : (−1, 1) −→ R, x %→ F(x) := ∞∑ k=0 (−1)k 2k + 1x 2k+1 eine Stammfunktion von arctan′(x) ist. Es gilt somit arctan(x) = ∞∑ k=0 (−1)k 2k + 1x 2k+1 + C (19.68) für alle x ∈ (−1, 1) und eine geeignete Konstante C. Setzt man in (19.68) x = 0, dann folgt arctan(0) = C, also C = 0. Das heißt, die Funktion arctan(x) besitzt um x0 = 0 für alle x ∈ (−1, 1) die Potenzreihendarstellung arctan(x) = ∞∑ k=0 (−1)k 2k + 1x 2k+1. 596

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.