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18. Optimierung und Kurvendiskussion in R in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 512 - 532

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_512

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Kapitel18 Optimierung und Kurvendiskussion in R Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R 18.1 Optimierung und ökonomisches Prinzip Die Optimierung ist eines der wichtigsten Anwendungsgebiete mathematischer Modelle und Methoden in den Wirtschaftswissenschaften. Unter Optimierung versteht man dabei die Problemstellung für eine gegebene reellwertige Funktion f : D −→ R – in den Wirtschaftswissenschaften oftmals als Zielfunktion bezeichnet – je nach spezifischer Fragestellung das Minimum oder Maximum zu ermitteln. Im ersten Fall spricht man genauer von einem Minimierungsproblem, während der zweite Fall als Maximierungsproblem bezeichnet wird. Der Grund für die Omnipräsenz von Optimierungsproblemen in den Wirtschaftswissenschaften rührt vor allem von der Tatsache her, dass das sogenannte ökonomische Prinzip – auch Wirtschaftlichkeitsprinzip oder Rationalprinzip genannt – seine mathematische Formulierung in Optimierungsproblemen besitzt. Das ökonomische Prinzip bezeichnet die für die gesamten Wirtschaftswissenschaften fundamentale Annahme, dass ein rational handelnder und nutzenorientierter Wirtschaftsakteur (sog. Homo oeconomicus) aufgrund der Knappheit von Gütern stets die eingesetzten Mittel und das damit erwirtschaftete Ergebnis zueinander ins Verhältnis setzt und entsprechend seiner persönlichen Präferenzen und Ziele (z. B. Nutzenmaximierung, Risikominimierung, Gewinnmaximierung, Vergrößerung der Marktanteile usw.) handelt. Beim ökonomischen Prinzip unterscheidet man weiter zwischen Maximal- und Minimalprinzip, je nachdem, ob das zu erreichende Ziel oder die zur Verfügung stehenden Mittel fest vorgegeben sind (siehe Abbildung 18.1). Optimierungsprobleme treten in den verschiedensten wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen auf, insbesondere in den Bereichen Ökonomisches Prinzip Minimalprinzip Maximalprinzip Minimierung des Input/Risikos bei gegebenem Output/Ertrag ⇒ Minimierungsproblem Maximierung des Output/Ertrages bei gegebenem Input/Risiko ⇒ Maximierungsproblem Abb. 18.1: Zusammenhang ökonomisches Prinzip und Optimierungsprobleme • Bank- und Finanzwirtschaft, • Mikro- und Makroökonomie, • Produktions- und Absatzplanung, • Marketing, • Qualitäts- und Risikomanagement, • Versicherungstechnik, • Entscheidungs- und Spieltheorie sowie • Statistik/Ökonometrie. Konkrete Beispiele für typische wirtschaftswissenschaftliche Optimierungsprobleme sind durch die Maximierung des Unternehmensgewinns oder Umsatzes sowie die Minimierung der Kosten als Funktion von Input-Größen, wie z. B. Rohstoff-, Personal- und Maschineneinsatz, gegeben. Ein anderes Beispiel ist die Optimierung eines Portfolios von Wertpapieren oder die Schätzung von verschiedenen Modellparametern in statistischen und ökonometrischen Anwendungen, so dass die Datenbeziehungen bestmöglich dargestellt werden (vgl. hierzu auch Beispiel 7.53). Im Folgenden werden mit Hilfe der in Kapitel 16 entwickelten Differentialrechnung notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale und globale Minima und Maxima bereitgestellt. Dabei beschränken sich die Ausführungen in diesem Kapitel ausschließlich auf die Optimierung reellwertiger Funktionen f : D −→ R mit D ⊆ R. Das heißt, es werden nur Funktionen betrachtet, die von einer einzigen Variablen x abhängen. Der allgemeine Fall D ⊆ Rn, d. h. die Optimierung von reellwertigen Funktionen, die von n Variablen x = (x1, . . . , xn)T abhängen, ist Gegenstand von Kapitel 24. 18.2 Notwendige Bedingung für Extrema In Abschnitt 16.7 wurde mit Hilfe der Differentialrechnung das Kriterium von Fermat (vgl. Satz 16.24) bewiesen. Es besagt, dass für eine differenzierbare Funktion f : [a, b] −→ R f ′(x0) = 0 (18.1) eine notwendige Bedingung für ein (lokales und globales) Minimum oder Maximum an einer inneren Stelle x0 ∈ (a, b) ist. Mit anderen Worten: Die Tangente an den Graphen einer differenzierbaren Funktion f an einer (globalen oder lokalen) Extremalstelle x0 ∈ (a, b) besitzt stets die Steigung 0 und ist damit stets waagerecht (vgl. Abbildungen 16.9 und 16.10). Eine Stelle x0 ∈ (a, b) mit der Eigenschaft (18.1) und der 512 Kapitel 1818.2 Notwendige Bedingung für Extrema zugehörige Punkt (x0, f (x0)) auf dem Graphen von f werden als stationäre Stelle bzw. als stationärer Punkt von f bezeichnet (vgl. Definition 16.25). Das Fermatsche Kriterium ist für die konkrete Ermittlung von Extremalstellen sehr hilfreich, da es für eine differenzierbare Funktion häufig leicht nachgeprüft werden kann. Bei seiner Anwendung auf eine Funktion f : [a, b] −→ R müssen jedoch die folgenden beiden Punkte beachtet werden: 1) Die Eigenschaft (18.1) ist nur dann eine notwendige Bedingung für eine (lokale oder globale) Extremalstelle x0 von f , wenn x0 ein innerer Punkt des Definitionsbereiches von f ist, d. h. nicht x0 = a oder x0 = b gilt, und die Funktion f an der Stelle x0 auch differenzierbar ist. Zum Beispiel zeigt die Abbildung 18.2, links den Graphen einer Funktion f : [a, b] −→ R mit einer globalen Maximalund Minimalstelle bei x = a bzw. x = c sowie einer lokalen Maximalstelle bei x = b. Dennoch handelt es sich bei diesen drei Stellen nicht um stationäre Stellen von f . Dies ist jedoch nur möglich, weil x = a und x = b keine inneren Punkte des Definitionsbereiches von f sind und die Funktion f an der Stelle x = c nicht differenzierbar ist, da der Graph von f an der Stelle x = c einen Knick aufweist. 2) Die Bedingung (18.1) ist bei einer an der Stelle x0 ∈ (a,b) differenzierbaren Funktion f nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für eine 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 f (x) a bc l l f (x) −2 −1 1 2 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 l x0 Abb. 18.2: Reelle Funktion f : [a, b] −→ R mit globaler Maximal- und Minimalstelle bei x = a bzw. x = c sowie lokaler Maximalstelle bei x = b (links) und differenzierbare reelle Funktion f (x) = x3 mit stationärer Stelle bei x0 = 0 (rechts) Extremalstelle. Dies wird bereits am Beispiel der differenzierbaren reellen Funktion f (x) = x3 ersichtlich. Für diese Funktion gilt f ′(x) = 3x2 und damit insbesondere f ′(x0) = 0 für x0 = 0. Das heißt, die Stelle x0 = 0 ist zwar eine stationäre Stelle von f , dennoch ist x0 = 0 keine (lokale oder globale) Extremalstelle von f (vgl. Abbildung 18.2, rechts). Stationäre Stellen einer Funktion f : [a, b] −→ R sind somit lediglich Kandidaten für lokale und globale Extrema, die an Stellen im Inneren des Definitionsbereiches [a, b] liegen und an denen f differenzierbar ist. Über Stellen, die auf dem Rand des Definitionsbereiches von f liegen oder an denen die Funktion f nicht differenzierbar ist, macht das Kriterium (18.1) keine Aussage. Im Fall der Existenz solcher Stellen müssen diese gesondert darauf untersucht werden, ob sie Extremalstellen der Funktion f sind. Bei der Suche nach lokalen und globalen Extremalstellen einer reellen Funktion f : [a, b]−→R müssen somit die folgenden drei Arten von Stellen x0 ∈[a, b] untersucht werden: 1) Innere Stellen x0 ∈ (a, b) mit f ′(x0) = 0, also die stationären Stellen von f 2) Innere Stellen x0 ∈ (a, b), an denen f nicht differenzierbar ist 3) Die Randstellen x = a und x = b des Definitionsbereiches [a, b] 513 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R Grundsätzlich kommen alle Stellen x0 ∈ [a, b], die zu einer dieser drei Arten gehören, als lokale oder globale Extremalstellen der Funktion f in Frage. Falls jedoch die Funktion f als Definitionsbereich R oder ein offenes Intervall (a, b) mit a, b ∈ R ∪ {−∞,∞} besitzt, müssen zur Bestimmung der Extremalstellen lediglich die ersten beiden Arten von Stellen untersucht werden. Ist die Funktion f zusätzlich differenzierbar, dann sind durch die stationären Stellen von f bereits alle Kandidaten für lokale und globale Extremalstellen gegeben (vgl. Beispiel 18.1). Zur endgültigen Entscheidung, welche stationären Stellen einer differenzierbaren Funktion f : [a, b] −→ R tatsächlich Extremalstellen sind und welche nicht, werden noch hinreichende Bedingungen benötigt. Die Ermittlung solcher hinreichender Bedingungen mit Hilfe der Differentialrechnung ist Gegenstand des folgenden Abschnittes 18.3. Beispiel 18.1 (Kandidaten für lokale und globale Extremalstellen) Die differenzierbare reelle Funktion f : [−1, 3] −→ R, x %→ f (x) = 1 4 x4 − 5 6 x3 + 1 2 x2 − 1 besitzt die erste Ableitung f ′(x) = x3 − 5 2 x2 + x = x ( x2 − 5 2 x + 1 ) . −1 1 2 3 −2 −1 1 2 f (x) a bx1 x2 x3 l l l l l Abb. 18.3: Differenzierbare reelle Funktion f : [−1, 3] −→ R mit einer globalen Minimal- und Maximalstelle bei x3 = 2 bzw. b = 3, einer lokalen Minimalstelle bei x1 = 0 und zwei lokalen Maximalstellen bei x2 = 12 und a = −1 Offensichtlich ist x1 = 0 eine Nullstelle von f ′(x). Mit der Lösungsformel (4.8) für quadratische Gleichungen erhält man, dass die Gleichung x2 − 52x + 1 = 0 die beiden Nullstellen x2 = 12 und x3 = 2 besitzt (vgl. (4.6)). Das heißt, die Funktion f besitzt die stationären Stellen x1 = 0, x2 = 12 und x3 = 2. Diese stationären Stellen sind zusammen mit den beiden Randstellen a = −1 und b = 3 des Definitionsbereiches von f die Kandidaten für lokale und globale Extremalstellen von f . Ferner gilt f (a) = 7 12 , f (x1) = −1, f (x2) = −185 192 , f (x3) = −5 3 und f (b) = 5 4 und somit f (x3) < f (x1) < f (x2) < f (a) < f (b). Ein Blick auf die Abbildung 18.3 zeigt, dass die Funktion f an den Stellen x3 = 2 und b = 3 eine globale Minimalbzw. Maximalstelle besitzt. Das globale Minimum und Maximum von f beträgt somit f (x3)=− 53 bzw. f(b)= 54 . Darüber hinaus hat f an der Stelle x1 = 0 eine lokale Minimalstelle sowie an den beiden Stellen x2 = 12 und a = −1 eine lokale Maximalstelle. Das lokale Minimum von f beträgt f (x1) = −1 und die beiden lokalen Maxima sind f (x2) = − 185192 und f (a) = 712 . 514 Kapitel 1818.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema 18.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema Der folgende Satz 18.2 liefert eine hinreichende Bedingung dafür, dass eine stationäre Stelle x0 einer differenzierbaren Funktion f : D ⊆ R −→ R eine lokale Extremalstelle ist. Darüber hinaus ermöglicht er es, lokale Minimalstellen von lokalen Maximalstellen zu unterscheiden. Der Satz 18.2 basiert auf der einfachen Beobachtung, dass eine differenzierbare Funktion, die unmittelbar vor einer stationären Stelle wachsend und unmittelbar danach fallend ist, bei dieser stationären Stelle eine lokale Maximalstelle besitzen muss. Analog gilt, dass eine differenzierbare Funktion, die unmittelbar vor einer stationären Stelle fallend und unmittelbar danach wachsend ist, dort eine lokale Minimalstelle aufweisen muss. Zum Beispiel zeigt die Abbildung 18.3 den Graphen einer reellen Funktion, die bei x1, x2 und x3 jeweils eine stationäre Stelle aufweist. Da die Funktion f unmittelbar vor den beiden stationären Stellen x1 und x3 fallend und unmittelbar danach wachsend ist, besitzt sie dort jeweils eine lokale Minimalstelle. Dagegen ist f unmittelbar vor x2 monoton wachsend und unmittelbar danach fallend. Die Funktion f weist daher an der Stelle x2 eine lokale Maximalstelle auf. Diese Beobachtungen führen zusammen mit der Tatsache, dass sich das Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion mittels ihrer ersten Ableitung ausdrücken lässt, zu dem folgenden Resultat: Satz 18.2 (Hinreichende Bedingung für lokale Extrema – Version I) Es sei f : D⊆R→R eine reelle Funktion und x0 ∈D. Ferner gebe es ein ε > 0, so dass f auf dem Intervall (x0 −ε, x0 +ε) differenzierbar ist mit f ′(x0) = 0. Dann gilt: a) Gibt es ein 0 < δ < ε, so dass f ′(x) > 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0) und f ′(x) < 0 für alle x ∈ (x0, x0 + δ) gilt, dann besitzt f in x0 eine lokale Maximalstelle. b) Gibt es ein 0 < δ < ε, so dass f ′(x) < 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0) und f ′(x) > 0 für alle x ∈ (x0, x0 + δ) gilt, dann besitzt f in x0 eine lokale Minimalstelle. c) Gibt es ein 0 < δ < ε, so dass f ′(x) < 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) mit x = x0 oder f ′(x) > 0 für alle x ∈ (x0 −δ, x0 +δ) mit x = x0 gilt, dann besitzt f in x0 keine lokale Extremalstelle. Beweis: Zu a): Gilt f ′(x) > 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0) und f ′(x) < 0 für alle x ∈ (x0, x0 +δ), dann folgt mit Satz 16.31c) und d), dass f auf (x0 − δ, x0) streng monoton wachsend und auf (x0, x0+δ) streng monoton fallend ist. Folglich ist f (x0) der größte Wert, den die Funktion f auf dem Intervall (x0−δ, x0+δ) annimmt, und damit x0 eine lokale Maximalstelle. Zu b): Zeigt man analog zu Teil a). Zu c): Gilt f ′(x) < 0 für alle x ∈ (x0−δ, x0+δ)mit x = x0 oder f ′(x) > 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) mit x = x0, dann folgt mit Satz 16.31c) und d), dass f links und rechts von x0 streng monoton fallend bzw. streng monoton steigend ist. Folglich ist f (x0) nicht der größte oder kleinste Wert, den die Funktion f auf dem Intervall (x0 − δ, x0 + δ) annimmt, d. h. x0 ist keine lokale Extremalstelle. Der obige Satz lässt sich weniger formal auch wie folgt formulieren: Wechselt die erste Ableitung f ′ beim Überschreiten einer stationären Stelle x0 von links nach rechts das Vorzeichen von + zu −, dann ist x0 eine lokale Maximalstelle, während ein Vorzeichenwechsel von f ′ bei x0 von − zu + eine lokale Minimalstelle bei x0 anzeigt. Findet dagegen beim Überschreiten einer stationären Stelle x0 bei f ′ kein Vorzeichenwechsel statt, dann ist x0 keine lokale Extremalstelle von f . Wie man sich z. B. mit Hilfe der Abbildungen 18.3 und 18.4, links leicht verdeutlichen kann, besitzt eine stetige Funktion zwischen zwei lokalen Maximalstellen (bzw. Minimalstellen) stets eine lokale Minimalstelle (bzw. Maximalstelle). Aus dem letzten Satz lässt sich unmittelbar die folgende hinreichende Bedingung für globale Extremalstellen ableiten: Folgerung 18.3 (Hinreichende Bedingung für globale Extrema – Version I) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle differenzierbare Funktion mit x0 ∈ D und f ′(x0) = 0. Dann gilt: a) Ist f ′(x) > 0 für alle x∈D mit x x0, dann besitzt f in x0 eine globale Maximalstelle. b) Ist f ′(x) < 0 für alle x∈D mit x 0 für alle x ∈ D mit x > x0, dann besitzt f in x0 eine globale Minimalstelle. Beweis: Zu a): Gilt f ′(x) > 0 für alle x ∈ D mit x < x0 und f ′(x) < 0 für alle x ∈ D mit x > x0, dann folgt mit Satz 18.2a), dass x0 eine lokale Extremalstelle ist. Ferner folgt mit Satz 16.31c) und d), dass f links von x0 streng monoton 515 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R wachsend und rechts von x0 streng monoton fallend ist. Folglich ist f (x0) sogar eine globale Maximalstelle. Zu b): Folgt analog zu Teil a) aus 18.2b) sowie Satz 16.31c) und d). Die Stärke von Satz 18.2 und Folgerung 18.3 besteht darin, dass für deren Anwendung lediglich die erste Ableitung f ′ von f benötigt wird und sie dann eindeutige Aussagen liefern. Mit anderen Worten: Sie machen unter relativ allgemeinen Voraussetzungen eine Aussage bzgl. der Existenz von Minimal- und Maximalstellen. Falls jedoch zum Definitionsbereich einer reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R auch Randstellen oder Stellen, an denen die Funktion f nicht differenzierbar ist, gehören, müssen diese Stellen gesondert darauf untersucht werden, ob sie lokale oder sogar globale Extremalstellen sind. Beispiel 18.4 (Hinreichende Bedingung für lokale und globale Extrema) Die differenzierbare reelle Funktion f : (−1, 1) −→ R, x %→ f (x) = x2 √ 1 − x2 besitzt die erste Ableitung f ′(x) = 2x √ 1 − x2 + x2 −(2x) 2 √ 1 − x2 = x(2 − 3x 2)√ 1 − x2 . (18.2) −1 −0.5 0 0.5 1 0.1 0.2 0.3 0.4f (x) x3x1 x2 l l l 0 5000 10000 15000 20000 0 5 10 15 20 U(c1)l c1 Abb. 18.4: Differenzierbare Funktion f (x) = x2 √ 1 − x2 mit globalen Extremalstellen bei x1 = − √ 2 3 , x2 = 0 und x3 = √ 2 3 (links) und Nutzenfunktion U(c1) = ln(c1)+ 11+δ ln (x2 − (1 + r)(c1 − x1)) für x1 = 10000, x2 = 12000, δ = 2% und r = 6% mit globaler Maximalstelle bei c1 = 10765,93 (rechts) Die Nullstellen von f ′ und damit auch die stationären Stellen von f sind gegeben durch die drei Werte x1 = − √ 2 3 , x2 = 0 und x3 = √ 2 3 . Ein Blick auf (18.2) zeigt, dass f ′ beim Überschreiten der stationären Stellen x1 und x3 von links nach rechts einen Vorzeichenwechsel von + zu − und beim Überschreiten der stationären Stelle x2 einen Vorzeichenwechsel von − zu + aufweist. Mit Satz 18.2a) und b) folgt somit, dass x1 und x3 lokale Maximalstellen von f sind und durch x2 eine lokale Minimalstelle von f gegeben ist. Wie man leicht einsehen kann und wie es auch aus Abbildung 18.4, links ersichtlich ist, sind diese drei Stellen sogar globale Extremalstellen von f . Wegen f (0) = 0 und f ( − √ 2 3 ) = f (√ 2 3 ) = 23 √ 1 3 besitzt die Funktion f das globale Minimum 0 an der Stelle x2 und das globale Maximum 23 √ 1 3 an den beiden Stellen x1 und x3. Das folgende Beispiel verdeutlicht die Nützlichkeit der obigen Resultate bei der Lösung ökonomischer Fragestellungen: 516 Kapitel 1818.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema Beispiel 18.5 (Optimaler Konsumplan) Ein VWL-Student der Universität Hamburg interessiert sich für seinen optimalen zweijährigen Konsumplan. Aktuell besitzt er das Einkommen x1 > 0 und erwartet im kommenden Jahr das Einkommen x2 > 0. Er möchte seinen gegenwärtigen und zukünftigen Konsum c1 bzw. c2 so gestalten, dass sein Nutzen maximiert wird. Dabei wird sein Nutzen durch die Nutzenfunktion U(c1, c2) = ln(c1)+ 1 1 + δ ln(c2) (18.3) mit c1, c2 > 0 und der Diskontierungsrate δ > 0 ausgedrückt. Sein Konsum im kommenden Jahr ist gegeben durch c2 = x2 − (1 + r)(c1 − x1), (18.4) wobei r > 0 der Zinssatz ist, zu dem er Geld bei seiner Hausbank anlegen und aufnehmen kann. Denn gilt c1 ≥ x1 (d. h. im aktuellen Jahr ist der Konsum c1 größer oder gleich dem Einkommen x1), dann muss er sich den Betrag c1 − x1 ≥ 0 leihen und im kommenden Jahr inklusive Zinsen den Betrag (1 + r)(c1 − x1) zurückzahlen. Das heißt, im zweiten Jahr kann er dann lediglich den Betrag c2 = x2 − (1 + r)(c1 − x1) konsumieren. Gilt jedoch c1 ≤ x1 (d. h. im aktuellen Jahr ist das Einkommen x1 größer oder gleich dem Konsum c1), dann kann er den überschüssigen Betrag x1 −c1 ≥ 0 zum Zinsatz r anlegen und erhält im kommenden Jahr den Betrag (1+r)(x1−c1). Das heißt, im zweiten Jahr kann er ebenfalls den Betrag c2 = x2 + (1+ r)(x1 − c1) konsumieren. Somit lässt sich in beiden Fällen der Konsum im zweiten Jahr durch die Gleichung (18.4) ausdrücken und es gilt x1 + x2 1 + r = c1 + c2 1 + r . Das heißt, in dem betrachteten zweijährigen Zeitfenster entspricht das diskontierte Einkommen x1+ x21+r dem diskontierten Konsum c1 + c21+r (Budgetrestriktion). Wird nun (18.4) in die Nutzenfunktion (18.3) eingesetzt, erhält man für die Nutzenfunktion die neue Darstellung U(c1) := U(c1, c2) (18.5) = ln(c1)+ 1 1 + δ ln (x2 − (1 + r)(c1 − x1)) , welche nur noch von c1 abhängt. Den optimalen Konsum im aktuellen Jahr erhält man nun durch Nullsetzen der ersten Ableitung von U(c1). Dabei kann man annehmen, dass die Ungleichungen 0 < c1 < x1 + (1 + r)−1x2 (18.6) erfüllt sind, da dies äquivalent zu c1, c2 > 0 ist (vgl. (18.4)). Man erhält für die erste Ableitung von U : U ′(c1) = 1 c1 − 1 + r 1 + δ · 1 x2 − (1 + r)(c1 − x1) (18.7) = (1 + δ)[x2 − (1 + r)(c1 − x1)] − (1 + r)c1 c1(1 + δ)[x2 − (1 + r)(c1 − x1)] = (1 + δ)[(1 + r)x1 + x2] − (1 + r)c1(2 + δ) c1(1 + δ)[x2 − (1 + r)(c1 − x1)] Es gilt somit U ′(c1) = 0 genau dann, wenn (1 + δ)[(1 + r)x1 + x2] − (1 + r)c1(2 + δ) = 0 gilt. Daraus erhält man als Lösung der Gleichung U ′(c1) = 0 und damit als stationäre Stelle der Nutzenfunktion U c1 = (1 + δ)[(1 + r)x1 + x2] (1 + r)(2 + δ) = x1 + (1 + δ)x2 − (1 + r)x1 (1 + r)(2 + δ) > 0. (18.8) Mit c2 = x2 − (1 + r)(c1 − x1) > 0 und (18.7) folgt U ′(c1) { > 0 für 0 < c1 < c1 < 0 für c1 > c1 . An der Stelle c1 = c1 wechselt somit die erste Ableitung der Nutzenfunktion U ihr Vorzeichen von + zu −. Mit Folgerung 18.3a) erhält man somit, dass die Nutzenfunktion des VWL-Studenten an der Stelle c1 eine globale Maximalstelle besitzt. Der Student maximiert daher seinen Nutzen, wenn er im ersten Jahr den Betrag c1 und im zweiten Jahr den Betrag c2 := x2 − (1 + r) · (c1 − x1) konsumiert. Zum Beispiel resultiert für x1 = 10000€, x2 = 12000€, δ = 2% und r = 6% als optimaler Konsumplan c1 = 10765,93€ für das erste Jahr und c2 = 11188,12€ für das zweite Jahr (vgl. Abbildung 18.4, rechts). 517 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R Bei der obigen Betrachtung ist jedoch zu beachten, dass der Unterschied zwischen Haben- und Sollzinsen, der in der Realität stets existiert, nicht berücksichtigt worden ist. Denn es wurde sowohl für das Leihen als auch das Anlegen des Betrags |c1 − x1| der einheitliche Zinssatz r verwendet. Der folgende Satz 18.6 gibt eine weitere hinreichende Bedingung dafür an, dass eine stationäre Stelle x0 einer reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R eine lokale Minimal- oder Maximalstelle ist. Diese hinreichende Bedingung ist oftmals deutlich einfacher anzuwenden als die hinreichende Bedingung von Satz 18.2. Im Gegensatz zu Satz 18.2 muss jedoch vorausgesetzt werden, dass die Funktion f in einer Umgebung von x0 mindestens zweimal stetig differenzierbar ist. Satz 18.6 (Hinreichende Bedingung für lokale Extrema – Version II) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle Funktion und x0 ∈ D. Ferner gebe es ein ε > 0, so dass f auf dem Intervall (x0 − ε, x0 + ε) n-mal stetig differenzierbar ist mit n ≥ 2 und es gelte f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0 und f (n)(x0) = 0. (18.9) a) Ist n gerade, dann besitzt f an der Stelle x0 eine lokale Extremalstelle. Genauer gilt: Im Fall von f (n)(x0)<0 ist x0 eine lokale Maximalstelle und falls f (n)(x0)>0 gilt, ist x0 eine lokale Minimalstelle. b) Ist n ungerade, dann besitzt f an der Stelle x0 keine lokale Extremalstelle. Beweis: Zu a): Im Folgenden sei f (n)(x0) < 0 angenommen. Aufgrund der Voraussetzungen kann der Satz von Taylor angewendet werden. Mit der Lagrangeschen Restgliedformel erhält man dann wegen (18.9) für ein beliebiges x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) f (x)− f (x0) = f (n)(x0 + λ(x − x0)) (x − x0) n n! (18.10) für ein λ ∈ (0, 1) (vgl. Satz 17.5). Da f (n) nach Voraussetzung an der Stelle x0 stetig ist und f (n)(x0) < 0 gilt, gibt es ein 0 < δ < ε mit f (n)(x) < 0 für alle x ∈ (x0 −δ, x0 +δ). Wegen λ ∈ (0, 1) gilt daher insbesondere f (n)(x0 + λ(x − x0)) < 0 (18.11) für alle x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Ist nun n gerade, dann gilt (x−x0)n n! > 0 für alle x = x0. Zusammen mit (18.10) und (18.11) folgt daraus f (x0) > f (x) für alle x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) mit x = x0. Das heißt, x0 ist eine lokale Maximalstelle. Für den Fall f (n)(x0) > 0 verläuft der Beweis völlig analog und man erhält, dass x0 eine lokale Minimalstelle von f ist. Zu b): Es sei wieder f (n)(x0) < 0 angenommen. Ist nun n ungerade, dann gilt (x − x0)n n! { < 0 für x < x0 > 0 für x > x0 . Zusammen mit (18.10) und (18.11) folgt daraus f (x0) { < f (x) für x ∈ (x0 − δ, x0) > f (x) für x ∈ (x0, x0 + δ) . Folglich besitzt f an der Stelle x0 keine lokale Extremalstelle. Für den Fall f (n)(x0) > 0 verläuft der Beweis völlig analog. Zur Anwendung des Satzes 18.6 auf eine stationäre Stelle x0 muss die Funktion f so oft differenziert werden, bis an der Stelle x0 erstmalig eine Ableitung von Null verschieden ist. Dazu ist es natürlich erforderlich, dass die Funktion f in einer Umgebung der stationären Stelle x0 hinreichend oft differenzierbar ist. Es gibt jedoch auch Funktionen, die an einer Stelle x0 unendlich oft differenzierbar sind und f (n)(x0) = 0 für alle n ∈ N0 gilt. In einem solchen – pathologischen – Fall erlaubt der Satz 18.6 keine Aussage und es muss auf Satz 18.2 zurückgegriffen werden. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist die bereits aus Abschnitt 17.3 bekannte reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = { e − 1 x2 für x = 0 0 für x = 0 mit f (n)(0) = 0 für alle n ∈ N0 (vgl. auch Abbildung 17.3). Aus dem letzten Satz lässt sich die folgende hinreichende Bedingung für globale Extremalstellen ableiten: Folgerung 18.7 (Hinreichende Bedingung für globale Extrema – Version II) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle n-mal differenzierbare Funktion mit x0 ∈ D und f ′(x0) = f ′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0 für ein gerades n≥2. Dann besitzt f an der Stelle x0 eine globale Maximalstelle bzw. eine globale Minimalstelle, falls f (n)(x)<0 bzw. f (n)(x)>0 für alle x∈D gilt. 518 Kapitel 1818.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema Beweis: Es sei f (n)(x) < 0 für alle x ∈ D. Mit dem Satz von Taylor erhält man dann analog zum Beweis von Satz 18.2a) f (x0) > f (x) für alle x ∈ D mit x = x0. Das heißt, f besitzt an der Stelle x0 eine globale Maximalstelle. Im Fall f (n)(x) > 0 für alle x ∈ D verläuft der Beweis völlig analog und man erhält, dass x0 eine globale Minimalstelle von f ist. In vielen Situationen gilt bereits für die zweite Ableitung von f , dass diese von Null verschieden ist. Aus diesem Grund wird der Satz 18.6 und die Folgerung 18.7 für diesen Spezialfall noch einmal explizit formuliert: Folgerung 18.8 (Hinreichende Bedingung für Extrema – Version II für n = 2) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit x0 ∈ D und f ′(x0) = 0 und f ′′(x0) = 0. a) Dann besitzt f an der Stelle x0 eine lokale Maximalstelle, falls f ′′(x0) < 0, und eine lokale Minimalstelle, falls f ′′(x0) > 0 gilt. b) Dann besitzt f an der Stelle x0 eine globale Maximalstelle, falls f ′′(x) < 0 für alle x ∈ D, und eine globale Minimalstelle, falls f ′′(x) > 0 für alle x ∈ D gilt. −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 f1(x) l −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 f2(x) l −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 f3(x) l Abb. 18.5: Reelle Funktion f1(x) = x4 mit globaler Minimalstelle bei x0 = 0 (links), reelle Funktion f2(x) = −x4 mit globaler Maximalstelle bei x0 = 0 (Mitte) und reelle Funktion f3(x) = x3 ohne Extremalstelle bei x0 = 0 (rechts) Beweis: Die Aussage a) folgt unmittelbar aus Satz 18.6a) für n = 2. Die Aussage b) ist eine direkte Konsequenz aus Folgerung 18.7 für n = 2. Die Folgerung 18.8 liefert eine oftmals leicht zu überprüfende hinreichende Bedingung für lokale und globale Extremalwerte. Allerdings macht sie keine Aussage darüber, was im Fall von f ′(x0) = f ′′(x0) = 0 gilt. In einem solchen Fall kann x0 eine lokale (globale) Maximalstelle, eine lokale (globale) Minimalstelle oder keines von beiden sein. Für die drei reellen Funktionen f1(x) = x4, f2(x) = −x4 und f3(x) = x3 gilt zum Beispiel f ′1(0) = f ′′1 (0) = 0, f ′2(0) = f ′′2 (0) = 0 und f ′3(0) = f ′′3 (0) = 0. Das heißt, alle drei Funktionen haben gemeinsam, dass an der Stelle x0 = 0 ihre beiden ersten Ableitungen gleich Null sind und somit die Folgerung 18.8 keine Aussage erlaubt. Dennoch verhalten sich diese drei Funktionen an der Stelle x0 = 0 völlig unterschiedlich. Denn mit Folgerung 18.3 (oder Folgerung 18.7) erhält man, dass f1 und f2 an der Stelle x0 = 0 eine globale – und damit insbesondere auch eine lokale – Minimal- bzw. Maximalstelle besitzen. Für die Funktion f3 erhält man dagegen mit Satz 18.2c) oder mit Satz 18.6b), dass sie an der Stelle x0 keine lokale – und damit insbesondere auch keine globale – Extremalstelle besitzt (vgl. Abbildung 18.5). 519 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R Mit dem Vorzeichenkriterium für die erste Ableitung f ′ (d. h. Satz 18.2 und Folgerung 18.3) und dem Kriterium für höhere Ableitungen f (n) (d. h. Satz 18.6, Folgerung 18.7 und Folgerung 18.8) stehen zwei unterschiedliche hinreichende Bedingungen für lokale bzw. globale Extremalstellen zur Verfügung. Vorausgesetzt die zu untersuchende Funktion f ist ausreichend oft differenzierbar und ihre höheren Ableitungen sind nicht zu kompliziert, wird jedoch in wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen das Kriterium für höhere Ableitungen vorgezogen. Vor allem die Folgerung 18.8 ist trotz der Tatsache, dass sie in manchen Fällen keine Aussage erlaubt, sehr praktikabel. Dies hat vor allem die beiden folgenden Gründe: 1) Die Folgerung 18.8 kann ohne Probleme auch auf kompliziertere Optimierungsprobleme mit mehreren unabhängigen Variablen verallgemeinert werden (siehe Satz 24.3 in Abschnitt 24.2). 2) In ökonomischen Modellen trifft man lieber Annahmen über das Krümmungsverhalten einer reellen Funktion und damit über die zweite Ableitung f ′′ als über das Vorzeichen der ersten Ableitung f ′. Wie jedoch aus dem Beispiel 18.5 ersichtlich wird, kann es im Fall einer komplexen zweiten Ableitung einfacher sein, anstelle mit Folgerung 18.8 mit dem Vorzeichenkriterium für die erste Ableitung f ′ (d. h. mit Satz 18.2 und Folgerung 18.3) zu arbeiten. Beispiel 18.9 (Hinreichende Bedingungen für Extrema) a) Die reelle Funktion f : [−2π, 2π ] −→ R, x %→ f (x) = x + 2 sin(x) ist beliebig oft stetig differenzierbar und besitzt die beiden ersten Ableitungen f ′(x) = 1 + 2 cos(x) und f ′′(x) = −2 sin(x). Durch Lösen der Gleichung f ′(x) = 0 erhält man die vier stationären Stellen x1 = −4 3 π, x2 = −2 3 π, x3 = 2 3 π und x4 = 4 3 π. Wegen f ′′(x1) < 0, f ′′(x2) > 0, f ′′(x3) < 0 und f ′′(x4) > 0 erhält man mit Folgerung 18.8, dass es sich bei x1 und x3 um lokale Maximalstellen und bei x2 und x4 um lokale Minimalstellen von f handelt. Da für die beiden Randstellen x = ±2π f (−2π) < min {f (x2), f (x4)} bzw. f (2π) > max {f (x1), f (x3)} gilt, ist die Randstelle x = −2π die globale Minimalstelle und die Randstelle x = 2π die globale Maximalstelle von f . Das heißt, f besitzt das globale Minimum f (−2π) = −2π und das globale Maximum f (2π) = 2π (vgl. Abbildung 18.6, links). b) Die reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = x4 − 2x3 + 2x − 1 ist beliebig oft stetig differenzierbar und besitzt die drei ersten Ableitungen f ′(x) = 4x3 − 6x2 + 2, f ′′(x) = 12x2 − 12x und f ′′′(x) = 24x − 12. Durch Probieren erhält man für die Gleichung f ′(x) = 0 die doppelte Lösung x1 = 1 und mit einer anschließenden Polynomdivision durch (x − 1)2 (vgl. Abschnitt 14.1) erhält man für f ′ die Darstellung f ′(x) = 4 (x + 12 ) (x − 1)2 (alternativ kann zur numerischen Lösung der Gleichung f ′(x) = 0 auch das Newton-Verfahren aus Abschnitt 26.4 herangezogen werden). Das heißt, f besitzt die beiden stationären Stellen x1 = 1 und x2 = −1 2 . Wegen f ′′(x1) = 0 und f ′′′(x1) = 0 bzw. f ′′(x2) > 0 erhält man mit Satz 18.6, dass die Funktion f an der Stelle x1 keine lokale Extremalstelle besitzt und es sich bei x2 um eine lokale Minimalstelle von f handelt. Folglich ist f (x2) = − 2716 ein lokales Minimum von f . Eine weitergehende Untersuchung zeigt, dass x2 sogar eine globale Minimalstelle von f ist. Ferner gilt lim x→−∞ f (x) = ∞ und limx→∞ f (x) = ∞. Das heißt, f besitzt keine globale Maximalstelle (vgl. Abbildung 18.6, rechts). 520 Kapitel 1818.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema − 2π − π π 2π −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 f (x) x1 x2 x3 x4 l l l l l l −1.5 −1 −0.5 0.5 1 2 −2 −1 1 2 3 4 5 6 f (x) l l x2 x1 Abb. 18.6: Reelle Funktion f : [−2π, 2π ] −→ R, x %→ f (x) = x + 2 sin(x) mit lokalen Extremalstellen bei x1 = − 43π , x2 = − 23π , x3 = 23π und x4 = 43π sowie globalen Extremalstellen bei x = −2π und x = 2π (links) und reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = x4 − 2x3 + 2x − 1 mit einer globalen Minimalstelle bei x2 = − 12 (rechts) Das folgende Beispiel zeigt, wie die obigen Ergebnisse zielführend bei der Untersuchung wirtschaftswissenschaftlicher Fragestellungen eingesetzt werden können: Beispiel 18.10 (Absicherung gegen Zins- änderungsrisiken) In Beispiel 16.36 wurde bereits erläutert, dass der Endwert und der Barwert In(p) = n∑ t=0 Kt (1 + p)n−t bzw. I0(p) = n∑ t=0 Kt (1 + p)−t einer Investition I mit den erwarteten positiven Auszahlungen K0, . . . , Kn zu den Zeitpunkten t = 0, . . . , n und einem Zinssatz p > 0 einem Zinsänderungsrisiko unterliegen. Dabei wurde insbesondere gezeigt, dass sich eine Änderung des Zinssatzes p um p auf den Endwert In(p) und den Barwert I0(p) unterschiedlich auswirkt. Im Risikomanagement stellt sich daher unmittelbar die Frage, ob es möglich ist, die anfängliche – vor Eintritt einer Zinsänderung p stattgefundene – Wertentwicklung trotz der eingetretenen Zinsänderung zu sichern. Zur Analyse dieser Frage wird der Wert der Investition I zu einem beliebigen Zeitpunkt s ∈ [0, n] unter dem anfänglichen Zinssatz p0 > 0 zum Zeitpunkt t = 0, d. h. Is(p0) = n∑ t=0 Kt (1 + p0)s−t , mit dem Wert der Investition I zum gleichen Zeitpunkt s bei einer sofortigen einmaligen Zinsänderung um p im Zeitpunkt t = 0, d. h. Is(p0 + p) = n∑ t=0 Kt (1 + p0 + p)s−t , verglichen. Es stellt sich dann die Frage, ob es zum Zeitpunkt s möglich ist, dass für Zinsänderungen eines bestimmten Ausmaßes p stets Is(p0 + p) ≥ Is(p0) gilt. Denn in einem solchen Fall wäre sichergestellt, dass zumindest zum Zeitpunkt s für Änderungen des anfänglichen Zinssatzes p0 in einem bestimmten Umfang p 521 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R der Wert der Investition trotz Zinsänderung mindestens so hoch ist wie unter dem anfänglich gegebenen Zinssatz p0. Mit anderen Worten: Es ist ein Zeitpunkt s ∈ [0, n] gesucht, zu dem der Wert der Investition I als Funktion des Zinssatzes p betrachtet, d. h. die reelle Funktion Is : (0,∞) −→ R, p %→ Is(p), eine lokale oder sogar globale Minimalstelle bei p = p0 besitzt. Zur Bestimmung eines solchen Zeitpunktes s ∈ [0, n] wird die erste Ableitung von Is(p) nach p an der Stelle p0 betrachtet und gleich Null gesetzt. Man erhält dann 0=I ′s (p0) = 1 1 + p0 n∑ t=0 (s−t)Kt (1+p0)s−t = s(1 + p0)s−1 n∑ t=0 Kt (1 + p0)−t − (1+p0)s−1 n∑ t=0 tKt (1+p0)−t (18.12) und durch Auflösen dieser Gleichung nach s resultiert s = n∑ t=0 tKt (1 + p0)−t n∑ t=0 Kt (1 + p0)−t = n∑ t=0 tKt (1 + p0)−t I0(p0) = D(p0) (vgl. (16.25) und (16.29)). Das heißt, Is(p) besitzt bei p0 eine stationäre Stelle, wenn der Zeitpunkt s gleich der Duration D(p0) ist. Zur weiteren Untersuchung, ob es sich bei der stationären Stelle p0 auch tatsächlich um eine lokale Minimalstelle von Is(p)mit s = D(p0) handelt, wird die zweite Ableitung von Is(p) nach p an der Stelle p0 betrachtet. Die zweite Ableitung ist gegeben durch I ′′s (p0) = n∑ t=0 (s − t)(s − t − 1)Kt (1 + p0)s−t (1 + p0)2 (vgl. auch (16.24) und (16.26)). Daraus folgt, dass auch die hinreichende Bedingung I ′′s (p0) > 0 an der Stelle s = D(p0) erfüllt ist. Denn es gilt I ′′D(p0)(p0)= 1 (1+p0)2 n∑ t=0 (D(p0)−t)2 Kt (1+p0)D(p0)−t − 1 (1+p0)2 n∑ t=0 (D(p0)−t) Kt (1+p0)D(p0)−t = 1 (1+p0)2 n∑ t=0 (D(p0)−t)2 Kt (1+p0)D(p0)−t > 0, wobei die letzte Gleichung unmittelbar aus (18.12) folgt. Mit Folgerung 18.8a) erhält man somit, dass p0 eine lokale Minimalstelle von Is(p) ist, wenn s = D(p0) gilt. Da jedoch Is(p) für s = D(p0) außer p0 keine weiteren stationären Stellen besitzt, hat die Wertfunktion Is(p) zum Zeitpunkt s = D(p0) an der Stelle p0 sogar eine globale Minimalstelle und damit die Investition I mindestens den Wert Is(p0). Dieser Sachverhalt wird im Risikomanagement zur Absicherung gegen das Zinsänderungsrisiko bezüglich einer einmaligen Zinsänderung um p zum Zeitpunkt t = 0 verwendet, in dem Investitionen mit der „richtigen“ Duration gewählt werden. Fasst man den Wert Is(p0) als Untergrenze eines (nach oben unbegrenzten) Fensters auf, das sich um den Zeitpunkt D(p0) befindet, gelangt man zum Begriff des Durationsfensters einer Investition (vgl. Abbildung 18.7). 18.4 Notwendige Bedingung für Wendepunkte Neben den Monotonieeigenschaften einer reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R liefert auch das Krümmungsverhalten, d. h. die Konvexitäts- und Konkavitätseigenschaften auf Teilintervallen I ⊆ D, wichtige Informationen über den Verlauf des Graphen. Man ist daher auch an der Identifizierung der Stellen x0 ∈ D einer Funktion f interessiert, an denen sich das Krümmungsverhalten und damit die Wachstumsgeschwindigkeit von „beschleunigt“ (progressiv) zu „verzögert“ (degressiv) oder umgekehrt verändert. Ein Punkt auf dem Graphen von f an einer solchen Stelle x0 wird als Wendepunkt oder Sattelpunkt (Terrassenpunkt) bezeichnet, falls zusätzlich f ′(x0) = 0 gilt: 522 Kapitel 1818.4 Notwendige Bedingung für Wendepunkte D(p0) t = nt = 0 l l In(p0) I0(p0) l l In(p0 − Δp) I0(p0 − Δp) l lI0(p0 + Δp) In(p0 + Δp)Wert Zeit erwarteter Wertverlauf mögliche Wertverläufte Abb. 18.7: Erwarteter Wertverlauf und andere mögliche Wertverläufe einer Investition I im Zeitintervall [0, n] und ihr Durationsfenster Definition 18.11 (Wendepunkt und Sattelpunkt) Eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R besitzt an der Stelle x0 ∈ D einen Wendepunkt, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass f auf [x0 − ε, x0] streng konvex (bzw. streng konkav) und auf [x0, x0 + ε] streng konkav (bzw. streng konvex) ist. Ist die Funktion f an der Stelle x0 zusätzlich differenzierbar mit f ′(x0) = 0, dann sagt man, dass f an der Stelle x0 einen Sattel- oder Terrassenpunkt besitzt. In Abschnitt 16.7 wurde bereits gezeigt, dass sich die Krümmungseigenschaften einer zweimal differenzierbaren Funktion f : D ⊆ R −→ R mit Hilfe der Monotonieeigenschaften ihrer ersten Ableitung f ′ (vgl. Satz 16.33) oder dem Vorzeichen ihrer zweiten Ableitung f ′′ (vgl. Satz 16.34) beschreiben lassen. Es ist daher nicht verwunderlich, dass – analog zu Minima und Maxima – auch für Wendepunkte im Inneren des Definitionsbereiches einer zweimal differenzierbaren Funktion f : D ⊆ R −→ R mit Hilfe der Differentialrechnung notwendige und hinreichende Bedingungen ermittelt werden können. Eine notwendige Bedingung lautet wie folgt: Satz 18.12 (Notwendige Bedingung für Wendepunkte) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle Funktion mit einem Wendepunkt an der Stelle x0 ∈ D. Ferner gebe es ein ε > 0, so dass f auf dem Intervall (x0−ε, x0+ε) zweimal differenzierbar ist. Dann gilt f ′′(x0) = 0. (18.13) Beweis: Es sei angenommen, dass die Funktion f auf dem Teilintervall [x0−ε, x0] streng konvex und auf dem Teilintervall [x0, x0+ε] streng konkav ist. Mit Satz 16.33 folgt dann, dass f ′ auf (x0 − ε, x0) streng monoton wachsend und auf (x0, x0 + ε) streng monoton fallend ist. Das heißt, f ′ besitzt an der Stelle x0 ein lokales Maximum und mit dem Kriterium von Fermat (vgl. Satz 16.24) folgt daher f ′′(x0) = 0. Im Fall einer auf [x0−ε, x0] streng konkaven und auf [x0, x0+ε] streng konvexen Funktion f verläuft der Beweis völlig analog. Der Satz 18.12 ist das Analogon zum Kriterium von Fermat (vgl. Satz 16.24) für Extremalstellen. Die Bedingung (18.13), d. h. dass die erste Ableitung f ′ an der Stelle x0 eine stationäre Stelle besitzt, ist auch dieses Mal wieder nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung. Dieser Sachverhalt wird bereits am Beispiel der zweimal differenzierbaren Funktion f (x) = x4 deutlich. Für diese Funktion gilt 523 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R f ′′(x) = 12x2 und damit insbesondere f ′′(x0) = 0 für x0 = 0. Das heißt, die Stelle x0 ist zwar eine Nullstelle der zweiten Ableitung f ′′, die Funktion f ist aber auf ganz R streng konvex und besitzt damit an der Stelle x0 = 0 keinen Wendepunkt (vgl. Abbildung 18.5, links). Bei der Betrachtung des Beweises von Satz 18.12 wird ersichtlich, dass bei einer zweimal differenzierbaren Funktion f mit einem Wendepunkt an der Stelle x0 die „Änderungsgeschwindigkeit“ der Funktion f – ausgedrückt durch ihre erste Ableitung f ′ – an der Stelle x0 ein lokales Minimum oder Maximum besitzen muss (vgl. dazu auch die Abbildungen 18.8 und 18.9, links). Diese Beobachtung führt im nächsten Abschnitt zu einer einfachen hinreichenden Bedingung für Wendepunkte (siehe Satz 18.14). Stellen x0 im Inneren des Definitionsbereiches D einer zweimal differenzierbaren Funktion f : D ⊆ R −→ R mit der Eigenschaft f ′′(x0) = 0 sind somit Kandidaten für Wendepunkte. Existieren Stellen x0 ∈ D, an denen f nicht zweimal differenzierbar ist, dann müssen diese gesondert darauf untersucht werden, ob dort ein Wendepunkt vorliegt oder nicht. Beispiel 18.13 (Notwendige Bedingung für Wendepunkte) Die beiden zweimal differenzierbaren Funktionen f1(x) = x3 − 6x2 + 9x und f2(x) = (x − 1)3 + 1 1 2 3 4 −3 −2 −1 1 2 3 4 f1(x) x0 f1′(x) l −1 1 2 3 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 f2(x) f2′(x) x0 l Abb. 18.8: Reelle Funktion f1(x) = x3 − 6x2 + 9x mit einem Wendepunkt an der Stelle x0 = 2 (links) und reelle Funktion f2(x) = (x − 1)3 + 1 mit einem Sattelpunkt an der Stelle x0 = 1 (rechts) besitzen die ersten beiden Ableitungen f ′1(x) = 3x2 − 12x+9 und f ′′1 (x) = 6x−12 sowie f ′2(x) = 3x2 −6x+ 3 und f ′′2 (x) = 6x − 6. Es gilt somit f ′′1 (2) = 0 bzw. f ′′2 (1) = 0. Folglich besitzen die Funktionen f1 und f2 an der Stelle x0 = 2 bzw. x0 = 1 möglicherweise jeweils einen Wendepunkt. Wegen f ′2(1) = 0 handelt es sich im Fall eines Wendepunktes an der Stelle x0 = 1 sogar um einen Sattelpunkt der Funktion f2. Die ersten Ableitungen f ′1 und f ′ 2 besitzen an der Stelle x0 = 2 bzw. x0 = 1 jeweils ein lokales Minimum (vgl. Abbildung 18.8). 18.5 Hinreichende Bedingungen für Wendepunkte Wie im letzten Abschnitt bereits erläutert wurde, wird noch eine hinreichende Bedingung benötigt, die es ermöglicht, zu unterscheiden, welche stationäre Stelle der ersten Ableitung f ′ einer zweimal differenzierbaren Funktion f tatsächlich ein Wendepunkt ist und welche nicht. Der folgende Satz stellt eine solche hinreichende Bedingung bereit. Er basiert auf der Tatsache, dass das Krümmungsverhalten einer zweimal differenzierbaren Funktion sehr einfach durch die zweite Ableitung charakterisiert werden kann. 524 Kapitel 1818.5 Hinreichende Bedingungen für Wendepunkte Satz 18.14 (Hinreichende Bedingung für Wendepunkte – Version I) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle Funktion und x0 ∈ D. Ferner gebe es ein ε > 0, so dass f auf dem Intervall (x0−ε, x0+ε) zweimal differenzierbar ist mit f ′′(x0) = 0. a) Gibt es ein 0 < δ < ε, so dass f ′′(x) > 0 (bzw. f ′′(x) < 0) für alle x ∈ (x0 − δ, x0) und f ′′(x0) < 0 (bzw. f ′′(x0) > 0) für alle x ∈ (x0, x0 +δ) gilt, dann besitzt f in x0 einen Wendepunkt. b) Gibt es ein 0 < δ < ε, so dass f ′′(x) < 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) mit x = x0 oder f ′′(x) > 0 für alle x ∈ (x0 −δ, x0 +δ) mit x = x0 gilt, dann besitzt f in x0 keinen Wendepunkt. Beweis: Zu a): Es sei angenommen, dass f ′′(x) > 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0) und f ′′(x0) < 0 für alle x ∈ (x0, x0 + δ) gilt. Dann folgt mit Satz 16.34c) und d), dass f auf [x0 −δ, x0] streng konvex und auf [x0, x0 +δ] streng konkav ist. Das heißt, x0 ist ein Wendepunkt von f . Im Fall von f ′′(x) < 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0) und f ′′(x0) > 0 für alle x ∈ (x0, x0 + δ) verläuft der Beweis völlig analog. Zu b): Ist f ′′(x) < 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) mit x = x0 oder f ′′(x) > 0 für alle x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) mit x = x0, dann folgt mit Satz 16.34c) und d), dass f auf [x0 −δ, x0 +δ] streng konvex bzw. streng konkav ist. Folglich ist x0 kein Wendepunkt von f . Der Satz 18.14 ist das Analogon zum Satz 18.2 für Extremalstellen. Einfach ausgedrückt besagt er: Wechselt die zweite Ableitung f ′′ beim Übergang über eine stationäre Stelle x0 der ersten Ableitung f ′ das Vorzeichen, dann handelt es sich bei x0 zum einen um eine lokale Extremalstelle von f ′ (vgl. Satz 18.2) und zum anderen um eine Wendestelle von f (vgl. Satz 18.14). Dieser Sachverhalt wird auch im folgenden Beispiel noch einmal deutlich. Beispiel 18.15 (Hinreichende Bedingung für Wendepunkte) Die reelle Funktion f : [−2π, 2π ] −→ R, x %→ f (x) = x + 2 sin(x) besitzt die beiden ersten Ableitungen f ′(x) = 1 + 2 cos(x) und f ′′(x) = −2 sin(x). Es gilt f ′′(x) = 0 für x0 = −π , x1 = 0 und x2 = π . Die erste Ableitung f ′ besitzt somit die drei stationären Stellen x0, x1 und x2. Wegen f ′′(x) { < 0 für x ∈ (−2π,−π) und x ∈ (0, π) > 0 für x ∈ (−π, 0) und x ∈ (π, 2π) folgt mit Satz 18.14a), dass die Funktion f an den drei Stellen x0, x1 und x2 jeweils einen Wendepunkt besitzt. Da jedoch f ′(xi) = 0 für i = 0, 1, 2 gilt, ist keiner dieser drei Wendepunkte ein Terrassenpunkt. Die erste Ableitung von f besitzt an den Stellen x0 und x2 ein lokales Minimum und an der Stelle x1 ein lokales Maximum (vgl. Abbildung 18.9, links). Der folgende Satz 18.16 gibt eine weitere hinreichende Bedingung dafür an, dass eine stationäre Stelle x0 der ersten Ableitung f ′ ein Wendepunkt ist. Diese hinreichende Bedingung ist häufig einfacher anzuwenden als Satz 18.14. Allerdings muss f nun im Gegensatz zu Satz 18.14 in einer Umgebung von x0 mindestens dreimal stetig differenzierbar sein. Satz 18.16 (Hinreichende Bedingung für Wendepunkte – Version II) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle Funktion und x0 ∈ D. Ferner gebe es ein ε > 0, so dass f auf dem Intervall (x0 − ε, x0 + ε) n-mal stetig differenzierbar ist mit n ≥ 3 und es gelte f ′′(x0) = f ′′′(x0) = . . . = f (n−1)(x0) = 0 sowie f (n)(x0) = 0. (18.14) a) Ist n ungerade, dann besitzt f an der Stelle x0 einen Wendepunkt. b) Ist n gerade, dann besitzt f an der Stelle x0 keinen Wendepunkt. Beweis: Zu a): Im Folgenden sei f (n)(x0) < 0 angenommen. Aufgrund der Voraussetzungen kann der Satz von Taylor angewendet werden. Mit der Lagrangeschen Restgliedformel erhält man dann mit (18.14) für ein beliebiges x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) f (x) = f (x0)+ f ′(x0)(x − x0) + f (n)(x0 + λ(x − x0)) (x − x0) n n! (18.15) für ein λ ∈ (0, 1) (vgl. Satz 17.5). Da f (n) an der Stelle x0 nach Voraussetzung stetig ist, gibt es wegen f (n)(x0) < 0 ein 525 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R 0 < δ < ε mit f (n)(x) < 0 für alle x ∈ (x0 −δ, x0 +δ). Wegen λ ∈ (0, 1) gilt daher f (n)(x0 + λ(x − x0)) < 0 (18.16) für alle x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Für ein ungerades n gilt (x − x0)n n! { < 0 für x < x0 > 0 für x > x0 und zusammen mit (18.15) und (18.16) folgt daraus f (x) { > f (x0)+ f ′(x0)(x − x0) für x ∈ (x0 − δ, x0) < f (x0)+ f ′(x0)(x − x0) für x ∈ (x0, x0 + δ) . Da jedoch g(x) := f (x0)+f ′(x0)(x−x0) gerade die Tangente an f im Punkt (x0, f (x0)) ist, bedeutet dies, dass f auf [x0 − δ, x0] streng konvex und auf [x0, x0 +δ] streng konkav ist. Das heißt, x0 ist ein Wendepunkt von f . Für den Fall f (n)(x0) > 0 verläuft der Beweis völlig analog. Zu b): Es sei wieder f (n)(x0) < 0 angenommen. Ist nun n gerade, dann gilt (x−x0) n n! > 0 für alle x = x0. Zusammen mit (18.15) und (18.16) folgt deshalb f (x) < f (x0)+f ′(x0)(x−x0) für alle x ∈ (x0−δ, x0+δ) mit x = x0. Folglich ist f auf [x0−δ, x0+δ] streng konkav und damit x0 keine Wendestelle von f . Für den Fall f (n)(x0) > 0 verläuft der Beweis völlig analog. Oftmals gilt bereits für die dritte Ableitung von f , dass diese von Null verschieden ist. Aus diesem Grund wird der wichtige Spezialfall n = 3 noch einmal explizit formuliert: Folgerung 18.17 (Hinreichende Bed. für Wendepunkte – Version II für n = 3) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine dreimal stetig differenzierbare Funktion mit x0 ∈ D und f ′′(x0) = 0 sowie f ′′′(x0) = 0, (18.17) dann besitzt f an der Stelle x0 einen Wendepunkt. Beweis: Die Aussage folgt unmittelbar aus Satz 18.16 für n = 3. Der Satz 18.16 und die Folgerung 18.17 sind die Analoga zu Satz 18.6 bzw. Folgerung 18.8 für Extremalstellen. Beispiel 18.18 (Hinreichende Bedingungen für Wendepunkte) Für die beiden zweimal differenzierbaren Funktionen f1 und f2 aus Beispiel 18.13 gilt f ′′′1 (2) = 6 = 0 und f ′′′2 (1) = 6 = 0. Mit Folgerung 18.17 erhält man somit, dass die Funktion f1 an der Stelle x0 = 2 und die Funktion f2 an der Stelle x0 = 1 jeweils einen Wendepunkt besitzen. Wegen f ′2(1) = 0 ist die Stelle x0 = 1 sogar ein Sattelpunkt der Funktion f2 (vgl. Abbildung 18.8). Im folgenden Beispiel werden Folgerung 18.8a) und Folgerung 18.17 zur Bestimmung der Extremal- und Wendepunkte der sogenannten Gauß-Verteilung – auch Normalverteilung genannt – eingesetzt. Die Gauß-Verteilung besitzt z. B. für die Wahrscheinlichkeitstheorie, die Statistik, das Risikomanagement, die Finanzwirtschaft und viele ökonomische Theorien eine große Bedeutung. Beispiel 18.19 (Extremal- und Wendepunkte der Gauß-Verteilung) C. F. Gauß auf einem Zehnmarkschein Die Gauß-Verteilung ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777– 1855) benannt. Sie besitzt die sogenannte Dichtefunktion f : R −→ R, x %→ f (x) = 1 σ √ 2π e − (x−μ)2 2σ2 , Dichte der Standardnormalverteilung auf einem Zehnmarkschein wobei die Konstanten μ ∈ R und σ > 0 den sogenannten Erwartungswert bzw. die sogenannte Standardabweichung der Gauß-Verteilung bezeichnen. Für μ = 0 und σ = 1 erhält man als Spezialfall die Dichtefunktion der sogenannten Standardnormalverteilung. Die ersten drei Ableitungen der Dichtefunktion f sind gegeben durch: f ′(x) = − 1 σ 3 √ 2π · (x − μ)e− (x−μ) 2 2σ2 f ′′(x) = − 1 σ 3 √ 2π · ( 1 − (x − μ) 2 σ 2 ) e − (x−μ)2 2σ2 f ′′′(x) = 1 σ 5 √ 2π (x − μ) ( 3 − (x − μ) 2 σ 2 ) e − (x−μ)2 2σ2 526 Kapitel 1818.6 Kurvendiskussion Die Gleichung f ′(x) = 0 besitzt als einzige Lösung x0 = μ und wegen f ′′(x0) = − 1 σ 3 √ 2π < 0 besitzt f an dieser stationären Stelle ein lokales Maximum (vgl. Folgerung 18.8a)). Da x0 die einzige stationäre Stelle von f ist und lim x→−∞ f (x) = limx→∞ f (x) = 0 gilt, folgt, dass bei x0 = μ sogar das globale Maximum von f liegt und f (x0) = 1σ√2π beträgt. Ferner kann f kein (lokales oder globales) Minimum haben. Die Gleichung f ′′(x) = 0 besitzt die beiden Lösungen x1 = μ− σ und x2 = μ+ σ und wegen f ′′′(x1) = −f ′′′(x2) = 2 σ 4 √ 2πe = 0 erhält man mit Folgerung 18.17, dass f an den beiden Stellen x1 und x2 jeweils einen Wendepunkt besitzt. Da f (x1) = f (x2) = 1σ√2πe gilt, besitzen die beiden Wendepunkte von f die Koordinaten (vgl. Abbildung 18.9, rechts) ( μ− σ, 1 σ √ 2πe ) bzw. ( μ+ σ, 1 σ √ 2πe ) . − 2π − π π 2π −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 f (x) f ′(x) x0 x1 x2 l l l l l l −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.2 0.3 0.4 f (x) l l l x0x1 x2 Abb. 18.9: Reelle Funktion f : [−2π, 2π ] −→ R, x %→ f (x) = x + 2 sin(x) mit Wendepunkten an den Stellen x0 = −π , x1 = 0 und x2 = π (links) und Dichtefunktion f : R −→ R, x %→ f (x) = 1 σ √ 2π e − (x−μ)2 2σ2 mit Wendepunkten an den Stellen x1 = μ− σ und x2 = μ+ σ für μ = 2 und σ = 1 (rechts) 18.6 Kurvendiskussion Um einen vollständigen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften einer reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R zu erhalten, ist es zweckdienlich, den Verlauf des Graphen von f mit Hilfe der bisher entwickelten analytischen Hilfsmittel zu untersuchen und anschließend ein Schaubild des Graphen zu zeichnen. Ein solches Vorgehen wird als Kurvendiskussion bezeichnet und umfasst je nach vorliegender reeller Funktion f in der Regel die Untersuchung von f bezüglich der folgenen Eigenschaften: 1) Symmetrie (vgl. Abschnitt 13.6) 2) Periodizität (vgl. Abschnitt 13.6) 3) Unstetigkeitsstellen (vgl. Abschnitt 15.3) 4) Polstellen, Asymptoten und Näherungskurven (vgl. Abschnitte 14.2 und 13.12) 5) Nullstellen (vgl. Abschnitt 13.9) 6) Monotonie (vgl. Abschnitt 13.3) 7) Krümmungsverhalten (vgl. Abschnitt 13.4) 8) Extrema (vgl. Abschnitte 13.7 und 13.8) 9) Wendepunkte (vgl. Abschnitt 18.4) 527 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R Mit Hilfe von Computern ist es mittlerweile sehr einfach, in kürzester Zeit für eine reelle Funktion f ein Schaubild des Graphen und eine Tabelle mit beliebig vielen Funktionswerten zu erstellen, die einen Überblick über die Funktion geben. Eine Kurvendiskussion liefert jedoch tiefere Einblicke und wertvolle zusätzliche Informationen über die mit Hilfe der Funktion beschriebenen funktionalen und ökonomischen Zusammenhänge. Das folgende Beispiel zeigt das konkrete Vorgehen bei einer Kurvendiskussion anhand einer gebrochen-rationalen Funktion: Beispiel 18.20 (Kurvendiskussion bei einer gebrochen-rationalen Funktion) Untersucht wird im Folgenden die gebrochen-rationale Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ x 4 − 5x2 + 2 2x3 . 1) Symmetrie: Es gilt offensichtlich −f (−x) = f (x) für alle x ∈ R \ {0}. Das heißt, die Funktion f ist eine ungerade Funktion und damit punktsymmetrisch zum Urspung (0, 0). 2) Periodizität: Es gibt offensichtlich kein T = 0, für das f (x) = f (x+kT ) für alle k ∈ Z und x ∈ R\{0} gilt. Die Funktion f ist somit nicht periodisch. 3) Unstetigkeitsstellen: Die Funktion f ist als gebrochen-rationale Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig und besitzt somit keine Unstetigkeitsstellen. 4) Polstellen, Näherungskurven und Asymptoten: Da x = 0 eine Nullstelle des Nenners, aber nicht des Zählers von f ist, handelt es sich bei x = 0 um eine nicht hebbare Polstelle von f . Genauer gilt lim x↓0 f (x) = ∞ und lim x↑0 f (x) = −∞. Ferner lässt sich die Funktion umschreiben zu f (x) = 1 2 x − 5x 2 − 2 2x3 . Wegen lim|x|→∞ 5x 2−2 2x3 = 0 folgt daraus, dass die Funktion die asymptotische Näherungskurve h(x) = 12x besitzt. 5) Nullstellen: Substituiert man u = x2 im Zähler der Funktionsgleichung von f , dann erhält man die Gleichung u2 − 5u+ 2 = 0. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (4.8) führt dies zu den Lösungen u1 = 5 − √ 17 2 > 0 und u2 = 5 + √ 17 2 > 0, woraus sich durch Resubstitution von u für f die folgenden vier Nullstellen ergeben x1 = − √ 5 +√17 2 , x2 = − √ 5 −√17 2 , x3 = √ 5 −√17 2 und x4 = √ 5 +√17 2 . 6) Monotonie: Die erste Ableitung von f ist gegeben durch f ′(x) = x 4 + 5x2 − 6 2x4 für alle x = 0. Substituiert man u = x2 im Zähler der Funktionsgleichung von f ′, dann erhält man die Gleichung u2 + 5u− 6 = 0. Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (4.8) führt dies zu den beiden Lösungen u1 = −6 und u2 = 1. Durch Resubstitution erhält man aus der Lösung u2 = 1 die beiden stationären Stellen (d. h. Nullstellen von f ′) x5 = −1 und x6 = 1. Es gilt f ′(x) < 0 für alle x ∈ (x5, 0) ∪ (0, x6) und f ′(x) > 0 für alle x ∈ (−∞, x5)∪(x6,∞). Folglich ist die Funktion auf den beiden Intervallen (−1, 0) und (0, 1) jeweils streng monoton fallend und auf den beiden Intervallen (−∞,−1) und (1,∞) jeweils streng monoton wachsend. 7) Krümmungsverhalten: Die zweite Ableitung von f ist gegeben durch f ′′(x) = 12 − 5x 2 x5 für alle x = 0. Man erhält für den Zähler von f ′′ die beiden Nullstellen x7 = − √ 12 5 und x8 = √ 12 5 . 528 Kapitel 1818.6 Kurvendiskussion −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 l ll l f (x) h(x) l l l l −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 f ″(x) f ′(x) Abb. 18.10: Reelle Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ x4−5x2+2 2x3 (links) und ihre ersten beiden Ableitungen (rechts) Es gilt f ′′(x) > 0 für alle (−∞, x7) ∪ (0, x8) und f ′′(x) < 0 für alle (x7, 0) ∪ (x8,∞). Das heißt, die Funktion f ist auf den beiden Intervallen ( −∞,− √ 12 5 ) und ( 0, √ 12 5 ) jeweils streng konvex und auf den beiden Intervallen ( − √ 12 5 , 0 ) und (√ 12 5 ,∞ ) jeweils streng konkav. 8) Extrema: Aus der Untersuchung der Monotonieeigenschaften von f ist bereits bekannt, dass f die beiden stationären Stellen x5 = −1 und x6 = 1 besitzt. Wegen f ′′(x5) = −7 und f ′′(x6) = 7 handelt es sich dabei um eine lokale Maximal- bzw. um eine lokale Minimalstelle. Da jedoch lim x→−∞ f (x) = −∞ und lim x→∞ f (x) = ∞ gilt, besitzt f keine globalen Extrema. 9) Wendepunkte: Aus der Untersuchung der Krümmungseigenschaften von f ist bereits bekannt, dass f ′′ die beiden Nullstellen x7 = − √ 12 5 und x8 = √ 12 5 besitzt. Wegen f ′′′(x7) = 0 und f ′′′(x8) = 0 handelt es sich dabei um Wendestellen. Da jedoch f ′(x7) = 0 und f ′(x8) = 0 gilt, sind diese beiden Wendestellen keine Sattelpunkte. Das folgende Beispiel zeigt die Kurvendiskussion bei einer trigonometrischen Funktion. Beispiel 18.21 (Kurvendiskussion bei einer trigonometrischen Funktion) Untersucht wird im Folgenden die trigonometrische Funktion f : R −→ R, x %→ cos3(x)+ sin3(x). a) Symmetrie: Es gilt weder f (x) = f (−x) noch −f (−x) = f (x) für alle x ∈ R. Das heißt, die Funktion f ist weder eine gerade noch eine ungerade Funktion. b) Periodizität: Aus der 2π -Periodizität der Sinus- und Kosinusfunktion folgt f (x) = f (x + 2πk) für alle k ∈ Z und x ∈ R. Das heißt, die Funktion f ist ebenfalls periodisch mit der Periode T = 2π . Aus diesem Grund genügt es, bei den nachfolgenden Betrachtungen das Intervall [0, 2π) zu untersuchen, da sich daraus unmittelbar die Eigenschaften von f auf den Intervallen [2kπ, 2(k + 1)π) mit k ∈ Z \ {0} ableiten lassen. c) Unstetigkeitsstellen: Die Funktion f ist als Produkt und Summe der Sinus- und Kosinusfunktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig und besitzt somit keine Unstetigkeitsstellen. 529 Kapitel 18 Optimierung und Kurvendiskussion in R 4) Polstellen, Näherungskurven und Asymptoten: Die Funktion f besitzt keine Polstellen, Asymptoten oder Näherungskurven. 5) Nullstellen: Es gilt f (x) = 0 genau dann, wenn cos3(x) = − sin3(x) und damit cos(x) = − sin(x) gilt. Das heißt, auf dem Intervall [0, 2π) besitzt f die beiden Nullstellen x1 = 3 4 π und x2 = 7 4 π. 6) Monotonie: Die erste Ableitung von f ist gegeben durch f ′(x) = 3 cos2(x)(− sin(x))+ 3 sin2(x) cos(x) = 3 sin(x) cos(x)(sin(x)− cos(x)). Folglich besitzt die Funktion f die stationären Stellen x3 = 0, x4 = π 4 , x5 = π 2 , x6 = π, x7 = 5π 4 und x8 = 3π 2 . (18.18) Für das Vorzeichen von f ′ gilt: x (0,x4) (x4,x5) (x5,x6) (x6,x7) (x7,x8) (x8,2π) f ′(x) < 0 > 0 < 0 > 0 < 0 > 0 Die Funktion f ist somit auf den Intervallen (0, x4), (x5, x6) und (x7, x8) streng monoton fallend und auf den Intervallen (x4, x5), (x6, x7) und (x8, 2π) streng monoton wachsend. 7) Krümmungsverhalten: Die zweite Ableitung von f ist gegeben durch f ′′(x) = 3 cos2(x)(sin(x)− cos(x)) − 3 sin2(x)(sin(x)− cos(x)) + 3 sin(x) cos(x)(cos(x)+ sin(x)) = 3(sin(x)+ cos(x))(3 sin(x) cos(x)− 1). Folglich ist f ′′(x) = 0 genau dann erfüllt, wenn sin(x) = − cos(x) oder sin(x) cos(x) = 13 gilt. Während die erste Gleichung für x1 und x2 erfüllt ist, erhält man durch Lösen der zweiten Gleichung (z. B. mittels des Newton-Verfahrens in Abschnitt 26.4) die Werte x9 = 0,11614π, x10 = 0,38386π, x11 = x9 + π und x12 = x10 + π. (18.19) Für das Vorzeichen von f ′′ gilt: x [ 0, x9) (x9, x10) (x10, x1) (x1, x9 + π) f ′′(x) < 0 > 0 < 0 > 0 x (x9 + π, x10 + π) (x10 + π, x2) (x2, 2π) f ′′(x) < 0 > 0 < 0 Die Funktion f ist somit auf den Intervallen (x9, x10), (x1, x9 + π) und (x10 + π, x2) jeweils streng konvex und auf den Intervallen [0, x9), (x10, x1), (x9 + π, x10 + π) und (x2, 2π) jeweils streng konkav. 8) Extrema: Aus der Untersuchung der Monotonieeigenschaften von f ist bereits bekannt, dass f die stationären Stellen (18.18) besitzt. Aus dem Vorzeichenwechsel von f ′ ist ersichtlich, dass es sich bei allen diesen stationären Stellen um Extremalstellen handelt: x 0 x4 x5 x6 x7 x8 f (x) 1 1√ 2 1 −1 − 1√ 2 −1 Typ Max. Min. Max. Min. Max. Min. global lokal global global lokal global 9) Wendepunkte: Aus der Untersuchung der Krümmungseigenschaften von f ist bekannt, dass f ′′ die Nullstellen (18.19) besitzt und aus dem Vorzeichenwechsel von f ′′ ist ersichtlich, dass f an allen diesen Stellen einen Wendepunkt aufweist. 530 Kapitel 1818.6 Kurvendiskussion π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π −1 .5 0 .5 1 f (x) l l l l l l l l l l l l π 4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 f ′(x) f ″(x) Abb. 18.11: Reelle Funktion f : R −→ R, x %→ cos3(x)+ sin3(x) (links) und ihre ersten beiden Ableitungen (rechts) 531

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.