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15. Stetige Funktionen in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 410 - 438

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_410

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Kapitel15 Stetige Funktionen Kapitel 15 Stetige Funktionen 15.1 Stetigkeit B. Bolzano auf einer Briefmarke Das Konzept der Stetigkeit spielt in der gesamten Analysis und ihren zahlreichen Anwendungsgebieten in den Natur-, Ingenieurund Wirtschaftswissenschaften eine zentrale Rolle. Der Begriff der Stetigkeit wurde erstmals Anfang des 19. Jahrhunderts von den Mathematikern Augustin Louis Cauchy (1789–1857) und Bernard Bolzano (1781–1848) unabhängig voneinander eingeführt und studiert. Anschaulich formuliert bezeichneten Cauchy und Bolzano eine Funktion f (x) als stetig, falls „kleine Änderungen“ bei der unabhängigen Variablen x auch nur „kleine Veränderungen“ beim Funktionswert f (x) zur Folge haben. Das heißt, wenn aus x ≈ x0 auch f (x) ≈ f (x0) folgt. Eine Funktion, die diese Eigenschaft nicht aufweist, also nicht stetig ist, wurde von ihnen als unstetig bezeichnet. Speziell für wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen ist der Stetigkeitsbegriff von großer Bedeutung. Denn das Konzept der Stetigkeit drückt die Vorstellung von einem „kontinuierlichen“ Zusammenhang zwischen zwei ökonomischen Größen aus und ist daher für die Untersuchung vieler wirtschaftswissenschaftlicher Fragestellungen von Interesse. Denn wie sich zeigen wird, sind die meisten in den Wirtschaftswissenschaften verwendeten Funktionen stetig. Zum Beispiel wird man in aller Regel bei der Untersuchung der Nachfrage nach einem bestimmten Wirtschaftsgut in Abhängigkeit vom Preis des Gutes erwarten, dass sich bei einer kontinuierlichen Veränderung des Preises die Nachfrage ebenfalls kontinuierlich verändert und nicht sprunghaft eine viel kleinere oder größere Nachfrage resultiert. Völlig analog erwartet man von zwei Optionen auf das gleiche Wertpapier mit etwas unterschiedlichen Laufzeiten, aber sonst gleichen Ausstattungsmerkmalen, dass diese auf dem Finanzmarkt auch einen ähnlichen Preis erzielen. Weierstraß-Institut in Berlin Obwohl der Stetigkeitsbegriff eine anschauliche Eigenschaft einer reellen Funktion darstellt, ist es erst Ende des 19. Jahrhunderts dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß (1815–1897) gelungen, eine exakte Definition für den Stetigkeitsbegriff zu formulieren. Diese Definition ist in der Analysis mittlerweile als ε-δ-Kriterium bekannt. Definition 15.1 (ε-δ-Kriterium für Stetigkeit) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle Funktion und x0 ∈ D ein Häufungspunkt der nichtleeren Menge D. Dann heißt f stetig an der Stelle x0, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass |f (x0)− f (x)| < ε (15.1) für alle x ∈ D mit |x0 − x| < δ gilt. Andernfalls sagt man, dass f an der Stelle x0 unstetig ist und x0 wird als Unstetigkeitsstelle von f bezeichnet. Ist x0 ∈ D kein Häufungspunkt von D, dann heißt f ebenfalls stetig an der Stelle x0. Die Funktion f heißt stetig auf E ⊆ D, falls f an allen Stellen x0 ∈ E stetig ist. Gilt sogar E = D, dann wird f als stetige Funktion oder einfach als stetig bezeichnet. Das ε-δ-Kriterium für die Stetigkeit einer reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R an einer Stelle x0 ∈ D besagt somit, dass sich zu jedem vorgegebenen ε > 0 die Funktionswerte f (x0) und f (x) weniger als ε unterscheiden, wenn x nur hinreichend nahe bei x0 liegt. Da sich jedoch mit diesem Kriterium die Untersuchung einer reellen Funktion auf Stetigkeit schnell sehr kompliziert gestaltet, wird bei Stetigkeitsbetrachtungen meistens nicht das ε-δ-Kriterium, sondern das dazu äquivalente, aber deutlich praktikablere, Folgenkriterium verwendet: Definition 15.2 (Folgenkriterium für Stetigkeit) Es sei f : D⊆R−→R eine reelle Funktion und x0 ∈ D. Dann heißt f an der Stelle x0 stetig, falls x0 kein Häufungspunkt der Menge D ist oder falls x0 ein Häufungspunkt der Menge D ist und die Funktion f für x → x0 gegen den Grenzwert f (x0) konvergiert, d. h. wenn lim x→x0 f (x) = f (x0) (15.2) gilt. Andernfalls sagt man, dass f an der Stelle x0 unstetig ist, und x0 wird in diesem Fall als Unstetigkeitsstelle von f bezeichnet. Die Funktion f heißt stetig auf der Menge E ⊆ D, falls f an allen Stellen x0 ∈ E stetig ist. Gilt sogar E = D, dann wird f als stetige Funktion oder einfach kurz als stetig bezeichnet. 408 Kapitel 1515.1 Stetigkeit l f (x) x0 f (x0) f (x0) + ε f (x0) − ε x0 + δx0 − δ l f (x) x0 l f (x0) f (x0) + ε f (x0) − ε x0 + δx0 − δ Abb. 15.1: Veranschaulichung des ε-δ-Kriteriums anhand einer an der Stelle x0 stetigen Funktion f (links) und einer nicht stetigen (unstetigen) Funktion f (rechts) Das Folgenkriterium besagt, dass eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R an einem Häufungspunkt x0 ∈ D genau dann stetig ist, wenn zwei Funktionswerte f (x0) und f (x) mit x ∈ D beliebig nahe beieinander liegen, wenn der Abstand zwischen den beiden Urbildern x0 und x nur hinreichend klein ist. Das Folgenkriterium basiert auf dem in Abschnitt 13.10 eingeführten Konvergenzbegriff für reelle Funktionen. Aus den Rechenregeln für konvergente Funktionen (vgl. Satz 13.41) lassen sich daher leicht Regeln für stetige Funktionen ableiten (siehe Abschnitt 15.5). Die Aussage des Folgenkriteriums ist in Abbildung 15.2 veranschaulicht. Links ist eine an der Stelle x0 ∈ D stetige Funktion dargestellt. Man erkennt, dass sich die Funktionswerte f (xn) für xn → x0 beliebig genau f (x0) annähern und schließlich gegen f (x0) konvergieren. Dies gilt jedoch nicht für die rechte Funktion f . Es ist zu erkennen, dass sich bei dieser Funktion die Funktionswerte f (xn) für xn > x0 nicht beliebig genau f (x0) annähern. Das heißt insbesondere, dass die Funktionswerte f (xn) für xn → x0 nicht gegen f (x0) konvergieren und somit die Funktion f an der Stelle x0 nicht stetig ist. Ist x0 ∈ D kein Häufungspunkt, sondern ein isolierter Punkt von D (vgl. Definition 13.38), dann ist f an der Stelle x0 per Definition stetig. Es ist jedoch zu beachten, dass eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R gemäß Definition 15.2 nur dann an einer Stelle x0 stetig oder unstetig sein kann, wenn f an der Stelle x0 auch tatsächlich definiert ist, d. h. wenn x0 ∈ D gilt. Für x0 ∈ D stellt sich die Frage nach Stetigkeit oder Unstetigkeit nicht, da außerhalb des Definitionsbereichs D einer reellen Funktion f der Stetigkeitsbegriff nicht definiert ist. Dies hat zur Konsequenz, dass eine reelle Funktion f durchaus stetig sein kann, obwohl ihr Graph nicht zusammenhängend ist, da er einen oder mehrere Sprünge aufweist. Dies ist dann der Fall, wenn der Graph der Funktion f nur dort Sprünge aufweist, an denen f nicht definiert und ansonsten zusammenhängend ist. Diese Sprungstellen sind dann gemäß Definition 15.2 auch keine Unstetigkeitsstellen, da sie nicht zum Definitionsbereich gehören. Zum Beispiel wäre die Funktion f : D ⊆ R −→ R in Abbildung 15.2, rechts trotz ihrer Sprungstelle bei x0 stetig, wenn x0 nicht zum Definitionsbereich D gehören würde. Dies bedeutet insbesondere, dass die häufig in Schulmathematikbüchern zu findende anschauliche Interpretation von stetigen Funktionen als genau diejenigen Funktionen, die einen zusammenhängenden Graphen ohne Sprünge besitzen und deren Graph daher ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann, im Allgemeinen nicht richtig ist. Diese Veranschaulichung von stetigen Funktionen ist im Allgemeinen nur für stetige Funktionen f : D ⊆ R −→ R gültig, die auf einem zusammenhängenden Definitionsbe- 409 Kapitel 15 Stetige Funktionen l l f (x) x0 f (x0) f (xn) xn l l llll l l l lll lllllll l llllll l l f (x) x0 f (x0) l f (xn) xn l l llll l l l lll lllllll l lllll Abb. 15.2: Veranschaulichung des Folgenkriteriums anhand einer an der Stelle x0 ∈ D stetigen Funktion f : D ⊆ R −→ R (links) und einer an der Stelle x0 nicht stetigen (unstetigen) Funktion f (rechts) reich D, d. h. auf einem Intervall, definiert sind. In einem solchen Fall besitzt der Definitionsbereich D keine Lücken, in denen Sprünge auftreten könnten. Entsprechend dem Folgenkriterium 15.2 ist eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R in einem Häufungspunkt x0 ∈ D genau dann stetig, wenn lim x→x0 f (x) = f ( lim x→x0 x ) gilt, also wenn die Reihenfolge von lim x→x0 und f vertauscht werden darf. Mit der Substitution x = x0 + x erhält man somit, dass eine Funktion f in einem Häufungspunkt x0 ∈ D genau dann stetig ist, wenn lim x→0 f (x0 + x) = f (x0) gilt. Diese Schreibweise wird sich in Abschnitt 16.2 bei der Betrachtung von sogenannten Differenzenquotienten als nützlich erweisen. Beispiel 15.3 (Stetigkeit von reellen Funktionen) a) Die Betragsfunktion f : R −→ R, x %→ f (x) = |x| := { x für x ≥ 0 −x für x < 0 ist stetig. Denn sind x0 ∈ R und ε > 0 beliebig gewählt, dann folgt mit der Dreiecksungleichung (3.5) |f (x0)− f (x)| = ||x0| − |x|| ≤ |x0 − x| < ε für alle |x0 − x| < δ, falls δ := ε gewählt wird. Das heißt, die Betragsfunktion genügt für alle x0 ∈ R der Definition 15.1 und ist damit stetig. Da der Definitionsbereich von f zusammenhängend ist, impliziert dies, dass auch der Graph von f zusammenhängend ist (vgl. Abbildung 15.3, links). b) Betrachtet wird die reelle Funktion f : [−1,∞) −→ R, (15.3) x %→ f (x) = {√ x+1−1 x für x ∈ [−1,∞) \ {0} 1 2 für x = 0 . Für x0 ∈ [−1,∞) \ {0} folgt dann mit den Rechenregeln für die Grenzwerte konvergenter Funktionen (vgl. Satz 13.41) lim x→x0 f (x) = lim x→x0 √ x + 1 − 1 x = √ lim x→x0 x + 1 − 1 lim x→x0 x = √ x0 + 1 − 1 x0 = f (x0). 410 Kapitel 1515.1 Stetigkeit −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 f (x) = |x| − 1 − 1 2 0 1 2 1 1 3 1 2 f (x) l l l l l l l l … … Abb. 15.3: Die stetige Betragsfunktion f : R −→ R, x %→ f (x) = |x| (links) und die unstetige reelle Funktion f : [−1, 1] −→ R mit f (x) = 1 k+1 für alle 1 k+1 < |x| ≤ 1k mit k ∈ N und f (0) = 0 (rechts) Die Funktion f genügt somit an jeder Stelle x0 ∈ [−1,∞)\{0} der Definition 15.2. In Beispiel 13.42b) wurde ferner lim x→0 f (x) = 1 2 , d. h. limx→0 f (x) = f (0), gezeigt. Die Funktion f ist also auch an der Stelle x0 = 0 stetig und daher insgesamt eine stetige Funktion. Zu beachten ist jedoch, dass die Funktion f an der Stelle x0 = 0 nicht stetig wäre, wenn in (15.3) zum Beispiel f (0) = 13 anstelle von f (0) = 12 definiert worden wäre (vgl. dazu auch Abbildung 13.19, rechts). c) Betrachtet wird die reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = ⎧ ⎨ ⎩ x2− 14 x− 12 für x = 12 2 für x = 12 . (15.4) Für x0 = 12 folgt dann mit den Rechenregeln für die Grenzwerte konvergenter Funktionen (vgl. Satz 13.41) lim x→x0 f (x)= lim x→x0 x2 − 14 x − 12 = ( lim x→x0 x )2 − 14 lim x→x0 x − 12 = x 2 0 − 14 x0 − 12 =f (x0). Das heißt, f ist an jeder Stelle x0 = 12 stetig. Da jedoch in Beispiel 13.42d) lim x→ 12 f (x) = 1 gezeigt wurde und somit limx→x0 f (x) = f (x0) für x0 = 12 gilt, ist f an der Stelle x0 = 12 nicht stetig. Damit ist f insgesamt keine stetige Funktion. Die Funktion f wäre dagegen stetig, wenn in (15.4) nicht f ( 12 ) = 2, sondern f ( 12 ) = 1 definiert worden wäre (vgl. dazu auch Abbildung 13.20, rechts). Die folgenden zwei Beispiele sind weniger von praktischer Bedeutung. Sie sollen vielmehr verdeutlichen, dass der durch die Definition 15.2 exakt festgelegte Stetigkeitsbegriff weit über die menschliche Anschauung hinausreicht. Mit anderen Worten, das Folgenkriterium lässt sich selbst dann anwenden, wenn die betrachtete Funktion zu komplex ist, als dass ihr Graph noch (vollständig) gezeichnet werden könnte: 411 Kapitel 15 Stetige Funktionen Beispiel 15.4 (Stetigkeit von reellen Funktionen) a) Die reelle Funktion f : [−1, 1] −→ R, x %→ f (x) = { 1 k+1 für 1 k+1 < |x| ≤ 1k mit k ∈ N 0 für x = 0 soll auf Stetigkeit an der Stelle x0 = 0 untersucht werden. Wegen 0 ≤ f (x) ≤ |x| für alle x ∈ [−1, 1] und lim x→0 |x| = 0 folgt lim x→0 f (x) = 0. Das heißt, es gilt lim x→x0 f (x) = f (x0) für x0 = 0 und f ist somit an der Stelle x0 = 0 stetig. Der Graph von f besteht aus zur x-Achse parallelen Geradenstücken, die für |x| → 0 immer kürzer werden und sich immer mehr der x-Achse annähern. Die Funktion f ist an allen Stellen x ∈ [−1, 1] mit |x| = 1 k+1 für alle k ∈ N stetig. Das Verhalten der Funktion f lässt sich jedoch in unmittelbarer Umgebung von x = 0 anschaulich nur noch sehr unvollkommen erfassen (vgl. Abbildung 15.3, rechts). b) Die nach Peter Gustav Dirichlet (1805–1859) benannte Dirichlet-Funktion (Dirichletsche Sprungfunktion) f : [0, 1] −→ R, x %→f (x)= { 1; x ∈ Q 0; x ∈ R \Q P. G. Dirichlet (vgl. Beispiel 6.23) ist an jeder Stelle x ∈ [0, 1] unstetig. Denn sind x0 ∈ [0, 1] und 0 < ε < 1 beliebig vorgegeben, dann gibt es kein δ > 0, so dass |f (x0)−f (x)| < ε für alle x ∈ [0, 1] mit |x0 − x| < δ gilt. Folglich ist lim x→x0 f (x) = f (x0). Dies ist eine unmittelbare Folge der Tatsache, dass im Intervall (x0 − δ, x0 + δ) stets unendlich viele rationale und irrationale Zahlen liegen. Die Dirichlet-Funktion ist das wohl bekannteste Beispiel einer reellen Funktion, die an keiner Stelle ihres Definitionsbereichs stetig ist. 15.2 Einseitige Stetigkeit Mit Hilfe des Begriffs des einseitigen Grenzwerts reeller Funktionen (vgl. Abschnitt 13.10) kann völlig analog zur Stetigkeit auch der Begriff der einseitigen Stetigkeit definiert werden. Da in den Wirtschaftswissenschaften auch reelle Funktionen auftreten, die nicht an allen Stellen ihres Definitionsbereichs stetig sind, ist dieser etwas schwächere Stetigkeitsbegriff für einige ökonomische Fragestellungen von Relevanz. Definition 15.5 (Folgenkriterium (einseitige Stetigkeit)) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle Funktion und x0 ∈D. Dann gilt: a) Die Funktion f heißt an der Stelle x0 linksseitig stetig, falls x0 kein Häufungspunkt der Menge D−x0 :={x < x0 : x ∈ D} ist oder falls x0 ein Häufungspunkt der MengeD−x0 sowie die Funktion f für x ↑ x0 linksseitig konvergent ist und den linksseitigen Grenzwert f (x0) besitzt, d. h. lim x↑x0 f (x) = f (x0) bzw. lim x→x−0 f (x) = f (x0) gilt. Andernfalls sagt man, dass f an der Stelle x0 linksseitig unstetig ist und x0 wird in diesem Fall als linksseitige Unstetigkeitsstelle von f bezeichnet. Die Funktion f heißt linksseitig stetig auf E ⊆ D, falls f an allen Stellen x0 ∈ E linksseitig stetig ist. Gilt sogar E = D, dann wird f als linksseitig stetige Funktion oder einfach kurz als linksseitig stetig bezeichnet. b) Die Funktion f heißt an der Stelle x0 rechtsseitig stetig, falls x0 kein Häufungspunkt der Menge D+x0 := {x > x0 : x ∈ D} ist oder falls x0 ein Häufungspunkt der Menge D+x0 sowie die Funktion f für x ↓ x0 rechtsseitig konvergent ist und den rechtsseitigen Grenzwert f (x0) besitzt, d. h. lim x↓x0 f (x) = f (x0) bzw. lim x→x+0 f (x) = f (x0) gilt. Andernfalls sagt man, dass f an der Stelle x0 rechtsseitig unstetig ist und x0 wird in diesem Fall als rechtsseitige Unstetigkeitsstelle von f bezeichnet. 412 Kapitel 1515.2 Einseitige Stetigkeit Die Funktion f heißt rechtsseitig stetig auf E ⊆ D, falls f an allen Stellen x0 ∈ E rechtsseitig stetig ist. Gilt sogar E = D, dann wird f als rechtsseitig stetige Funktion oder einfach kurz als rechtsseitig stetig bezeichnet. Eine auf einem Intervall I ⊆ R definierte reelle Funktion f : I ⊆ R −→ R ist stetig, wenn f an allen inneren Stellen von I stetig sowie am linken Randpunkt von I rechtsseitig und am rechten Randpunkt von I linksseitig stetig ist, falls diese Randpunkte zum Intervall I gehören. Zwischen einseitiger Stetigkeit und Stetigkeit besteht ein einfacher Zusammenhang: Satz 15.6 (Zusammenhang zwischen einseitiger Stetigkeit und Stetigkeit) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle Funktion. Dann ist f genau dann stetig an der Stelle x0 ∈ D, falls f an der Stelle x0 links- und rechtsseitig stetig ist. Beweis: Die Aussage folgt unmittelbar aus den Definitionen 15.2 und 15.5 sowie dem Satz 13.45. Beispiel 15.7 (Einseitige Stetigkeit von reellen Funktionen) a) Betrachtet wird die reelle Funktion f : (0,∞) −→ R, x %→ f (x) = { 3 x für 0 < x ≤ 3 x − 1 für x > 3 . Sie ist an jeder Stelle x0 = 3 ihres Definitionsbereichs stetig. Denn für x0 ∈ (0, 3) folgt mit Satz 13.41e) lim x→x0 f (x) = lim x→x0 3 x = 3 x0 = f (x0) und für x0 ∈ (3,∞) erhält man mit Satz 13.41b) lim x→x0 f (x) = lim x→x0 (x − 1) = x0 − 1 = f (x0). Das heißt, f ist stetig auf (0,∞)\{3}. Für die Stelle x0 = 3 gilt dagegen lim x↑3 f (x) = lim x↑3 3 x = 1 = f (3) und lim x↓3 f (x) = lim x↓3 x − 1 = 2 = f (3) (vgl. Beispiel 13.46b)). Die Funktion f ist somit an der Stelle x0 = 3 linksseitig stetig, aber nicht rechtsseitig stetig. Gemäß Satz 15.6 ist f damit an der Stelle x0 = 3 auch nicht stetig (vgl. Abbildung 13.23, rechts). b) Die Abbildung 15.4, links zeigt den Graphen einer reellen Funktion f : [0,∞) −→ R, die an der Stelle x0 = 4 rechtsseitig, aber nicht linksseitig stetig ist. Denn es gilt lim x↓4 f (x) = 5 = f (4) und lim x↑4 f (x) = 7 4 = f (4). Die Funktion f ist somit an der Stelle x0 = 4 nicht stetig. An den Stellen x0 = 2 und x0 = 6 ist die Funktion f jedoch weder rechtsseitig noch linksseitig stetig. Denn es gilt lim x↓2 f (x) = lim x↑2 f (x) = 2 = 1 = f (2) bzw. lim x↓6 f (x) = lim x↑6 f (x) = −∞ = 3 = f (6). Bis auf die drei Stellen x0 = 2, 4 und 6 ist die Funktion f an allen Stellen des Definitionsbereichs stetig. Das folgende Beispiel ist für die Statistik und Ökonometrie von großer Bedeutung: Beispiel 15.8 (Empirische Verteilungsfunktion) Die einseitige Stetigkeit spielt in der Statistik und Ökonometrie eine wichtige Rolle. Sind h1, . . . , hk >0 die relativen Häufigkeiten der Merkmalsausprägungen x1 < . . . < xk einer Stichprobe y1, . . . , yn, dann wird die Funktion 413 Kapitel 15 Stetige Funktionen 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 0 1 2 3 4 5 f(x) l l l l l l −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 H(x) l l l l l l l l l l Abb. 15.4: Reelle Funktion f : [0,∞) −→ R mit den drei Unstetigkeitsstellen x0 = 2, 4 und 6 (links) und eine empirische Verteilungsfunktion H : R −→ R (rechts) h : R −→ R, x %→ h(x) := { hi falls x = xi für i = 1, . . . , k 0 sonst als (relative) Häufigkeitsfunktion der Stichprobe y1,. . . ,yn bezeichnet und die kumulierte (relative) Häufigkeitsfunktion H : R −→ R, x %→ H(x) := ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 0 falls x < x1∑i j=1 hj falls xi ≤ x < xi+1 1 falls x ≥ xk heißt empirische Verteilungsfunktion der Stichprobe y1, . . . , yn. Die empirische Verteilungsfunktion gibt für die verschiedenen Merkmalsausprägungen xi die kumulierten (relativen) Häufigkeiten an und ist offensichtlich an den Stellen x1, . . . , xk nicht stetig, aber wenigstens rechtsseitig stetig. Denn es gilt für alle xi mit i = 1, . . . , k lim x↓xi H(x) = H(xi). 15.3 Unstetigkeitsstellen und ihre Klassifikation Damit eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R an der Stelle x0 ∈ D als stetig bezeichnet wird, muss gemäß dem Folgenkriterium 15.2 gelten a) x0 ist ein isolierter Punkt von D oder b) x0 ist ein Häufungspunkt von D mit den beiden zusätzlichen Eigenschaften: 1) Die Funktion f ist an der Stelle x0 konvergent, d. h. der Grenzwert lim x→x0 f (x) existiert. 2) Der Grenzwert stimmt mit f (x0) überein, d. h. es gilt lim x→x0 f (x) = f (x0). Ist keine der beiden Bedingungen a) oder b) erfüllt, dann handelt es sich bei x0 ∈ D um eine Unstetigkeitsstelle von f . Bei einer reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R lassen sich für einen Häufungspunkt x0 ∈ D die folgenden vier wichtigen Fälle von Unstetigkeitsstellen unterscheiden: Fall 1: Die Funktion f : D ⊆ R −→ R sei an der Stelle x0 ∈ D definiert und der Grenzwert lim x→x0 f (x) =: c existiere, aber sei von f (x0) verschieden. Dann wird x0 als hebbare Unstetigkeitsstelle von f bezeichnet, da die Unstetigkeitsstelle verschwindet, wenn der Funktionswert von f an der Stelle 414 Kapitel 1515.3 Unstetigkeitsstellen und ihre Klassifikation −1 1 2 −1 1 2 l f (x) x0 f ~(x) l 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 x0 f (x) s = 1 l l Abb. 15.5: Reelle Funktion f (x) = x 2− 14 x− 12 für x = 12 und f (x) = 2 für x = 12 mit hebbarer Unstetigkeitsstelle bei x0 = 12 (links) sowie reelle Funktion f (x) = 3x für 0 < x ≤ 3 und f (x) = x− 1 für x > 3 mit nicht hebbarer Unstetigkeitsstelle bei x0 = 3 (rechts) x0 von f (x0) zu c umdefiniert wird. Die dadurch resultierende neue Funktion f̃ : D ⊆ R −→ R, x %→ f̃ (x) := { f (x) für x = x0 c für x = x0 ist in x0 stetig und für ihre Restriktion auf die Menge D\{x0} gilt offensichtlich f̃|D\{x0}(x) = f (x) für alle x ∈ D \ {x0}. Zum Beispiel besitzt die Funktion f in Beispiel 15.3c) bei x0 = 12 eine hebbare Unstetigkeitsstelle. Denn wird f ( 1 2 ) := 1 definiert, dann ist f auch an der Stelle x0 = 12 stetig (vgl. Abbildung 15.5, links). Fall 2: Die Funktion f : D ⊆ R −→ R sei an der Stelle x0 ∈D definiert und die einseitigen Grenzwerte lim x↓x0 f (x)=:c und lim x↑x0 f (x) =: d existieren, aber seien voneinander verschieden. Das heißt, der Grenzwert lim x→x0 f (x) existiere nicht. Dann ist x0 eine nicht hebbare Unstetigkeitsstelle und wird als Sprungstelle von f mit der endlichen Sprungweite s := |c − d| bezeichnet. Zum Beispiel besitzt die Funktion f in Beispiel 15.7a) bei x0 = 3 eine nicht hebbare Unstetigkeitsstelle, da dort der links- und rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen. Die Unstetigkeitsstelle bei x0 kann daher auch nicht durch eine geeignete Definition von f (x0) zum Verschwinden gebracht werden (vgl. Abbildung 15.5, rechts). Die Fälle 1 und 2 werden zusammenfassend als Unstetigkeitsstellen 1. Art bezeichnet. Fall 3: Die Funktion f : D ⊆ R −→ R sei an der Stelle x0 ∈ D definiert und für x ↓ x0 oder x ↑ x0 bestimmt divergent gegen ∞ oder −∞. Das heißt, mindestens einer der beiden einseitigen Grenzwerte lim x↓x0 f (x) und lim x↑x0 f (x) existiere nur im uneigentlichen Sinne. In diesem Fall wird x0 als Polstelle von f bezeichnet (vgl. auch Definition 13.49). Zum Beispiel gilt für die einseitigen Grenzwerte der Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = { 1 für x ≤ 0 ln(x) für x > 0 an der Stelle x0 = 0 lim x↓0 f (x) = lim x↓0 ln(x) = −∞ und lim x↑0 f (x) = lim x↑0 1 = 1. Folglich existiert an der Stelle x0 = 0 der rechtsseitige Grenzwert von f im uneigentlichen Sinne und der linksseitige Grenzwert im eigentlichen Sinne. Bei x0 = 0 handelt es sich somit um eine Polstelle von f (vgl. Abbildung 15.6, links). 415 Kapitel 15 Stetige Funktionen −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 l f (x) x0 −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 f (x) x0 l Abb. 15.6: Reelle Funktion f (x) = 1 für x ≤ 0 und f (x) = ln(x) für x > 0 mit Polstelle bei x0 = 0 (links) sowie reelle Funktion f (x) = sin ( 1 x ) für x = 0 und f (x) = 0 für x = 0 mit oszillatorischer Unstetigkeitsstelle bei x0 = 0 (rechts) Fall 4: Die Funktion f : D ⊆ R −→ R sei an der Stelle x0 ∈ D definiert und für x ↓ x0 oder x ↑ x0 unbestimmt divergent. Das heißt, mindestens einer der beiden einseitigen Grenzwerte lim x↓x0 f (x) und lim x↑x0 f (x) existiere weder im eigentlichen noch im uneigentlichen Sinne. In diesem Fall wird x0 als oszillatorische Unstetigkeitsstelle von f bezeichnet (vgl. auch Definition 13.49). Zum Beispiel oszillieren bei der Funktion f in Beispiel 13.51b) die Funktionswerte für x ↓ 0 und x ↑ 0 ständig zwischen −1 und 1. Die Funktion f ist somit für x ↓ 0 und x ↑ 0 unbestimmt divergent. Folglich besitzt f an der Stelle x0 = 0 eine oszillatorische Unstetigkeitsstelle (vgl. Abbildung 15.6, rechts). Die Fälle 3 und 4 werden unter der Bezeichnung Unstetigkeitsstellen 2. Art oder auch wesentliche Unstetigkeiten zusammengefasst. 15.4 Stetig hebbare Definitionslücken Allgemeine reelle Funktionen In manchen Fällen ist es möglich den Definitionsbereich einer reellen Funktion f : D ⊆ R −→ R um einen Punkt x0 ∈ D zu erweitern, so dass die dadurch resultierende Funktion f̃ mit dem erweiterten Definitionsbereich D∪{x0} an der Stelle x0 stetig ist und auf D mit der ursprünglichen Funktion f übereinstimmt. Eine solche Funktion f̃ wird als stetige Fortsetzung von f auf D ∪ {x0} bezeichnet: Definition 15.9 (Stetige Fortsetzung einer reellen Funktion) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine reelle Funktion und x0 ∈ D ein Häufungspunkt von D. Dann heißt f in x0 stetig fortsetzbar, falls eine Funktion f̃ : D∪{x0} ⊆ R −→ R existiert, die auf D mit f übereinstimmt und in x0 stetig ist. Die Funktion f̃ wird dann als stetige Fortsetzung von f auf D∪{x0} und die Stelle x0 als hebbare Definitionslücke bezeichnet. Offensichtlich ist eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R in x0 ∈ D genau dann stetig fortsetzbar, wenn f für x → x0 konvergiert, d. h. wenn der Grenzwert lim x→x0 f (x) existiert. Die stetige Fortsetzung von f auf D ∪ {x0} ist dann eindeutig festgelegt durch f̃ : D ∪ {x0} ⊆ R −→ R, f̃ (x)= ⎧ ⎨ ⎩ f (x) für x ∈ D lim x→x0 f (x) für x = x0 . Anstelle von stetig fortsetzbar sagt man häufig auch, dass eine Funktion f in x0 stetig hebbar oder stetig ergänzbar ist. 416 Kapitel 1515.4 Stetig hebbare Definitionslücken −1 0 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 l f ~(x) x0 −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 f ~(x) x0 l Abb. 15.7: Stetige Fortsetzung f̃ von f : R\{0} −→ R, x %→ √ x+1−1 x aufR (links) und stetige Fortsetzung f̃ von f : R\{0} −→ R, x %→ x sin ( 1 x ) auf R (rechts) Beispiel 15.10 (Stetige Fortsetzung reeller Funktionen) a) Die Funktion f : R\{0} −→ R, x %→ √ x+1−1 x ist an der Stelle x0 = 0 nicht definiert. In Beispiel 13.42b) wurde jedoch gezeigt, dass lim x→0 f (x) = lim x→0 √ x + 1 − 1 x = 1 2 gilt. Das heißt, f konvergiert für x → 0 gegen den Grenzwert 12 und besitzt somit die stetige Fortsetzung f̃ : R−→R, x %→ f̃ (x)= {√ x+1−1 x für x ∈ R \ {0} 1 2 für x = 0 (vgl. Abbildung 15.7, links). b) Die Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ x sin ( 1 x ) ist an der Stelle x0 = 0 nicht definiert. In Beispiel 13.42f) wurde jedoch gezeigt, dass lim x→0 f (x) = lim x→0 x sin ( 1 x ) = 0 gilt. Folglich konvergiert f für x → 0 gegen den Grenzwert 0 und besitzt somit eine stetige Fortsetzung f̃ auf R. Diese ist gegeben durch f̃ :R−→R, x %→ f̃ (x)= { x sin ( 1 x ) für x∈R \ {0} 0 für x=0 (vgl. Abbildung 15.7, rechts). c) Die Funktion f : R \ {−2} −→ R, x %→ 1 (x+2)2 ist an der Stelle x0 = −2 nicht definiert und wegen lim x0→−2 1 (x + 2)2 = ∞ konvergiert f für x → −2 nicht. Das heißt, f ist in x0 = −2 nicht stetig fortsetzbar und besitzt damit keine stetige Fortsetzung f̃ auf R (vgl. Beispiel 13.42c) und Abbildung 13.20, links). Rationale Funktionen Stetig hebbare Definitionslücken treten sehr häufig bei rationalen Funktionen auf. Denn ist q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) = p1(x) p2(x) eine rationale Funktion mit dem Definitionsbereich D = {x ∈ R : p2(x) = 0} und ist x0 ∈ D eine k-fache Nullstelle des Zählerpolynoms p1 sowie eine l-fache Null- 417 Kapitel 15 Stetige Funktionen stelle von p2, dann besitzt q die Darstellung q(x) = (x − x0) kg1(x) (x − x0)lg2(x) = (x − x0) k−l g1(x) g2(x) . Dabei sind g1 und g2 Polynome mit der Eigenschaft g1(x0) =0 bzw. g2(x0) = 0 (vgl. (14.19)). Bezüglich der stetigen Fortsetzbarkeit einer rationalen Funktion q sind somit die folgenden drei Fälle zu unterscheiden: Fall 1: Für l > k gilt lim x→x0 |q(x)| = ∞. Also konvergiert q für x → x0 nicht und ist somit in x0 nicht stetig fortsetzbar (vgl. Beispiel 15.11a)). Die Stelle x0 ist in diesem Fall eine (l−k)-fache Polstelle von q (vgl. auch Abschnitt 14.2). Fall 2: Für l = k folgt wegen der Stetigkeit von Polynomen (vgl. Satz 15.16b)) und mit den Rechenregeln für stetige Funktionen (vgl. Satz 15.13) lim x→x0 q(x) = lim x→x0 g1(x) lim x→x0 g2(x) = g1(x0) g2(x0) . Das heißt, q konvergiert für x → x0 und ist somit in x0 stetig fortsetzbar bzw. x0 eine hebbare Definitionslücke. Die stetige Fortsetzung von q auf die Menge D∪{x0} ist gegeben durch q̃ : D ∪ {x0} ⊆ R −→ R, x %→ q̃(x) = { q(x) für x ∈ D g1(x0) g2(x0) für x = x0 (15.5) (vgl. Beispiel 15.11a)). Fall 3: Für k > l folgt wegen der Stetigkeit von Polynomen (vgl. Satz 15.16b)) und mit den Rechenregeln für stetige Funktionen (vgl. Satz 15.13) lim x→x0 q(x) = lim x→x0 (x − x0)k−l · lim x→x0 g1(x) lim x→x0 g2(x) = 0. Folglich konvergiert q für x → x0, und q ist somit in x0 stetig fortsetzbar bzw. x0 eine hebbare Definitionslücke. Die stetige Fortsetzung von q auf der Menge D∪{x0} ist gegeben durch q̃ : D ∪ {x0} ⊆ R −→ R, x %→ q̃(x) = { q(x) für x ∈ D 0 für x = x0 (15.6) (vgl. Beispiel 15.11b)). Beispiel 15.11 (Stetige Fortsetzung rationaler Funktionen) a) Betrachtet wird die rationale Funktion q : R \ {−1, 1} −→ R, x %→ 2x 3 + 8x2 + 10x + 4 3x3 + 3x2 − 3x − 3 . Die rationale Funktion q besitzt die Darstellung q(x) = 2x 3 + 8x2 + 10x + 4 3x3 + 3x2 − 3x − 3 = 2(x + 1) 2(x + 2) 3(x + 1)2(x − 1) = 2x + 4 3x − 3 . Das heißt, es gilt lim x→−1 q(x) = −1 3 und lim x→1 |q(x)| = ∞. Die rationale Funktion q ist somit in x0 = −1 stetig fortsetzbar und x0 eine hebbare Definitionslücke. Dagegen konvergiert für x → 1 die rationale Funktion q nicht und q ist in x0 = 1 nicht stetig fortsetzbar. Daher ist nur eine stetige Fortsetzung von q auf der Menge R\{1} möglich (vgl. Abbildung 15.8, links). b) Betrachtet wird die rationale Funktion q : R \ {1} −→ R, x %→ x 3 − 2x2 + x x − 1 . Sie besitzt die Darstellung q(x) = x 3 − 2x2 + x x − 1 = (x − 1) 2 x − 1 x = (x − 1)x = x2 − x. Es gilt somit lim x→1 q(x) = 0 und die rationale Funktion q ist daher in x0 = 1 stetig fortsetzbar und x0 eine hebbare Definitionslücke (vgl. Abbildung 15.8, rechts). 418 Kapitel 1515.5 Eigenschaften stetiger Funktionen −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 q~(x) x0l −3 −2 −1 1 2 3 4−1 1 2 3 4 5 6 7 8 q~(x) lx0 Abb. 15.8: Stetige Fortsetzung q̃ der rationalen Funktion q : R \ {−1, 1} −→ R, x %→ 2x3+8x2+10x+4 3x3+3x2−3x−3 auf R \ {1} (links) und der rationalen Funktion q : R \ {1} −→ R, x %→ x3−2x2+x x−1 auf R (rechts) 15.5 Eigenschaften stetiger Funktionen In diesem Abschnitt werden vier Sätze bereitgestellt, die für das Arbeiten mit stetigen Funktionen sehr nützlich sind. Rechenregeln für stetige Funktionen Der folgende Satz ist für viele Anwendungen und Beweise ein wichtiges Hilfsmittel. Er besagt, dass eine an der Stelle x0 ∈ D stetige Funktion f : D ⊆ R −→ R mit der Eigenschaft f (x0) = 0 auch in unmittelbarer Umgebung von x0 keine Nullstelle besitzt: Satz 15.12 (Verhalten einer stetigen Funktion in unmittelbarer Umgebung) Es sei f : D ⊆ R −→ R eine an der Stelle x0 ∈ D stetige reelle Funktion mit f (x0) = 0. Dann gibt es eine Umgebung (x0 − δ, x0 + δ) von x0 mit δ > 0, so dass f (x) = 0 für alle x ∈ D ∩ (x0 − δ, x0 + δ) gilt. Beweis: Es sei ε := |f (x0)| > 0. Dann folgt aus der Stetigkeit von f in x0, dass es ein δ > 0 gibt, so dass |f (x0)− f (x)| < ε = |f (x0)| für alle x ∈ D mit |x0 − x| < δ gilt. Zusammen mit (3.5) impliziert dies |f (x0)| − |f (x)| ≤ |f (x0)− f (x)| < ε = |f (x0)| also |f (x)| > 0 für alle x ∈ D ∩ (x0 − δ, x0 + δ). Mit Hilfe des Folgenkriteriums 15.2 können reelle Funktionen oftmals sehr einfach auf Stetigkeit untersucht werden. Insbesondere lässt sich mit dem Folgenkriterium und den Rechenregeln für Grenzwerte konvergenter reeller Funktionen (vgl. Satz 13.41) der folgende Satz beweisen. Er besagt, dass Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen wieder stetig sind. Damit lässt sich wiederum zeigen, dass eine ganze Reihe von reellen Funktionen stetig sind. Satz 15.13 (Rechenregeln für stetige Funktionen) Es seien f : D ⊆ R −→ R und g : D ⊆ R −→ R zwei reelle Funktionen, die an der Stelle x0 ∈ D stetig sind, und α ∈ R. Dann sind die Funktionen f + g, f − g, fg, αf ebenfalls an der Stelle x0 stetig. Gilt zusätzlich g(x0) = 0, dann ist auch die Funktion f g an der Stelle x0 stetig. 419 Kapitel 15 Stetige Funktionen Beweis: Es sei x0 ∈ D. Gemäß den Voraussetzungen gilt lim x→x0 f (x) = f (x0) und lim x→x0 g(x) = g(x0). Mit Satz 13.41a)– d) folgt somit: lim x→x0 (f + g)(x) = lim x→x0 f (x)+ lim x→x0 g(x) = f (x0)+ g(x0) = (f + g)(x0) lim x→x0 (f − g)(x) = lim x→x0 f (x)− lim x→x0 g(x) = f (x0)− g(x0) = (f − g)(x0) lim x→x0 (fg)(x) = lim x→x0 f (x) lim x→x0 g(x) = f (x0)g(x0) = (fg)(x0) lim x→x0 (αf )(x) = α lim x→x0 f (x) = αf (x0) = (αf )(x0) Das heißt, die Funktionen f + g, f − g, fg und αf sind an der Stelle x0 stetig. Gilt zusätzlich g(x0) = 0, dann folgt mit Satz 13.41e) und Satz 15.12 lim x→x0 ( f g ) (x) = lim x→x0 f (x) lim x→x0 g(x) = f (x0) g(x0) = ( f g ) (x0). Die Funktion f g ist daher ebenfalls an der Stelle x0 stetig. Wie sich in Abschnitt 15.6 zeigen wird, besitzt der Satz 15.13 weitreichende Konsequenzen. Denn mit seiner Hilfe lässt sich für verschiedene Klassen von Funktionen, wie z. B. Polynome und rationale Funktionen, sehr einfach deren Stetigkeit nachweisen. Stetigkeit von Kompositionen Ein weiteres zentrales Ergebnis für den Nachweis der Stetigkeit einer großen Anzahl von Funktionen ist die folgende Stetigkeitsaussage für die Komposition (Verknüpfung) stetiger Funktionen: Satz 15.14 (Stetigkeit von Kompositionen) Es seien f : Df ⊆ R −→ R und g : Dg ⊆ R −→ R zwei reelle Funktionen mit g(Dg) ⊆ Df . Weiter sei g an der Stelle x0 ∈ Dg und f an der Stelle y0 = g(x0) stetig. Dann ist auch die Komposition f ◦ g : Dg ⊆ R −→ R an der Stelle x0 stetig. Beweis: Gemäß den Voraussetzungen gilt lim x→x0 g(x) = g(x0) und lim y→y0 f (y) = f (y0). Daraus folgt lim x→x0 (f ◦ g)(x) = lim x→x0 f (g(x)) = lim g(x)→g(x0) f (g(x)) = f (g(x0)) = (f ◦ g)(x0). Das heißt, die verknüpfte Funktion f ◦ g ist an der Stelle x0 stetig. Stetigkeit von Umkehrfunktionen Der folgende Satz sagt aus, dass die Umkehrfunktion einer streng monotonen Funktion f : I ⊆ R −→ R auf einem beliebigen Intervall I ebenfalls eine stetige Funktion ist. Mit Hilfe dieses Resultats wird im Abschnitt 15.6 für trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen die Stetigkeit ihrer Umkehrfunktion nachgewiesen. Satz 15.15 (Stetigkeit der Umkehrfunktion) Es sei f : I ⊆ R −→ R eine streng monotone reelle Funktion auf einem beliebigen Intervall I . Dann gilt: a) Die Umkehrfunktion f −1 : f (I) −→ R ist stetig. b) Ist f stetig, dann ist f (I) ein Intervall. Beweis: Aufgrund der strengen Monotonie von f existiert gemäß Satz 13.10 die Umkehrfunktion f−1 : f (I) −→ R. Dabei kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit f als streng monoton wachsend angenommen werden. Denn andernfalls könnte f einfach durch −f ersetzt werden. Ferner kann angenommen werden, dass I ein offenes Intervall ist. Denn wäre a ∈ I ein Endpunkt von I , z. B. der linke Endpunkt, dann könnte f auf (−∞, a] streng monoton wachsend erweitert werden, z. B. durch eine steigende Gerade, die in a den Wert f (a) annimmt. Zu a): Es sei nun y0 ∈ f (I) beliebig mit y0 = f (x0) und ε > 0 sei so gewählt, dass [x0 − ε, x0 + ε] ⊆ I gilt. Aus der Monotonie von f folgt, dass die Urbilder x = f−1(y) von Werten y aus dem Intervall (f (x0 − ε), f (x0 + ε)) stets im Intervall (x0 − ε, x0 + ε) liegen. Für δ := min {|f (x0 − ε)− f (x0)|, |f (x0 + ε)− f (x0)|} gilt somit |f−1(y0)− f−1(y)| = |x0 − x| < ε für alle |y0 − y| < δ. Dies bedeutet jedoch, dass f−1 an der Stelle y0 stetig ist. Da y0 ∈ f (I) beliebig gewählt war, ist f−1 : f (I) −→ R stetig. Zu b): Die Menge f (I) ist genau dann ein Intervall, wenn mit zwei beliebigen Punkten y1, y2 ∈ f (I) mit y1 ≤ y2 auch jeder zwischen ihnen liegende Punkt y ∈ [y1, y2] zu f (I) gehört, d. h. [y1, y2] ⊆ f (I) gilt. Sind nun y1 = f (x1) und y2 = f (x2) zwei beliebige Punkte aus f (I) mit y1 ≤ y2, dann folgt mit dem Zwischenwertsatz 15.28, dass zu jedem y ∈ [y1, y2] ein x ∈ [x1, x2] mit y = f (x) existiert und somit y ∈ f (I) gilt. 420 Kapitel 1515.6 Stetigkeit spezieller Funktionen Mit Hilfe der drei Sätze 15.13, 15.14 und 15.15 wird im folgenden Abschnitt 15.6 nachgewiesen, dass alle elementaren Funktionen stetig sind. Unter elementaren Funktionen versteht man Funktionen, die sich aus Polynomen, rationalen Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen sowie deren Umkehrfunktionen – sofern sie existieren – durch die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Komposition in endlich vielen Schritten erzeugen lassen. 15.6 Stetigkeit spezieller Funktionen Polynome und rationale Funktionen Der folgende Satz besagt, dass Monome, Polynome und rationale Funktionen stetig sind: Satz 15.16 (Monome, Polynome und rationale Funktionen sind stetig) Ist f : D ⊆ R −→ R ein Monom, Polynom oder eine rationale Funktion, dann ist f stetig. Beweis: Monom: Es sei x0 ∈ R beliebig gewählt. Mit Satz 15.13 folgt aus der Stetigkeit der reellen Funktion g : R −→ R, x %→ x (Identität) an der Stelle x0, dass auch reelle Funktionen −3 −2 −1 0 1 2 3 1 2 3 4 5 6 h(x) −3 −2 −1 1 2 3 −20 −10 10 20 30 40 50 f (x) Abb. 15.9: Stetige reelle Funktion h : R −→ R, x %→ |x2 − 3| (links) und stetige reelle Funktion f : R \ { −√3,−1 } −→ R, x %→ 1100 · x 4−2 x2+2√3x+3 · x3+x−2 x+1 − x3 + |x − 5| (rechts) der Form f (x) = αxn = α∏nk=0 g(x), d. h. Monome, an der Stelle x0 stetig sind. Polynom: Es sei x0 ∈ R beliebig gewählt. Mit Aussage a) und Satz 15.13 folgt, dass Polynome p als Summen von Monomen (vgl. Definition 14.1) an der Stelle x0 stetig sind. Rationale Funktion: Es sei x0 ∈ D beliebig gewählt. Mit Aussage b) und Satz 15.13 folgt, dass rationale Funktionen q als Quotienten zweier Polynome (vgl. Definition 14.12) an der Stelle x0 stetig sind. Beispiel 15.17 (Stetigkeit von reellen Funktionen) a) Die reelle Funktion h : R −→ R, x %→ |x2 − 3| ist stetig. Denn sie ist die Komposition h(x) = (f ◦ g)(x) der stetigen Funktionen f (y) = |y| (vgl. Beispiel 15.3a)) und g(x) = x2 − 3. Mit Satz 15.14 folgt somit die Stetigkeit der Funktion h (vgl. Abbildung 15.9, links). b) Die reelle Funktion f : R \ {−√3,−1} −→ R, x %→ 1 100 · x 4 − 2 x2 + 2√3x + 3 · x3 + x − 2 x + 1 −x 3+|x−5| ist stetig. Denn sie ergibt sich durch Multiplikation und Addition von stetigen Funktionen. Mit Satz 15.13 folgt daher die Stetigkeit der Funktion f (vgl. Abbildung 15.9, rechts). 421 Kapitel 15 Stetige Funktionen Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen Der folgende Satz besagt, dass Exponential-, Logarithmusund Potenzfunktionen stetig sind: Satz 15.18 (Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktionen sind stetig) Ist f : D ⊆ R −→ R eine Exponential-, Logarithmusoder Potenzfunktion, dann ist f stetig. Beweis: Exponentialfunktion: Es sei x0 ∈ D = R beliebig gewählt und f : R −→ R, x %→ ax mit a ∈ R+. Dann folgt mit Satz 13.41g) lim x→x0 f (x) = lim x→x0 ax = alimx→x0 x = ax0 = f (x0) (vgl. Definition 14.37). Somit ist f an der Stelle x0 stetig. Logarithmusfunktion: Die Logarithmusfunktion loga ist die Umkehrfunktion der streng monotonen Exponentialfunktion f (x) = ax (vgl. Definition 14.40). Mit Satz 15.15 folgt daher, dass loga stetig ist. Potenzfunktion: Es sei f : D⊆R−→R, x %→xc mit D = R+ für c ≥ 0 und D = R+ \ {0} für c < 0. Ferner sei x0 ∈ D beliebig gewählt. Dann folgt mit Satz 13.41f) lim x→x0 f (x) = lim x→x0 xc = ( lim x→x0 x )c = xc0 = f (x0) (vgl. Definition 14.27). Also ist f an der Stelle x0 stetig. 0 1 2 3 4 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 f (x) 1 2 3 4 −2 0 2 4 6 f (x) Abb. 15.10: Stetige reelle Funktion f : (0,∞) −→ R, x %→ √ (x + 3)5−ex+ ln(x) x+3 (links) und stetige reelle Funktion f : (1,∞) −→ R −→ R, x %→ ∣∣ ∣ 4 ln(x−1) x2+3 ∣∣ ∣ (x − 2)+ 2 3√2x + 5 (rechts) Beispiel 15.19 (Stetigkeit von reellen Funktionen) a) Die reelle Funktion f : (0,∞) −→ R, x %→ √ (x + 3)5 − ex + ln(x) x + 3 ist stetig. Denn sie ergibt sich durch Komposition, Addition, Subtraktion und Division stetiger Funktionen. Mit den beiden Sätzen 15.13 und 15.14 folgt somit die Stetigkeit der Funktion f (vgl. Abbildung 15.10, links). b) Analog zu Beispiel a) folgt, dass die reelle Funktion f : (1,∞) −→ R, x %→ ∣∣∣∣ 4 ln(x − 1) x2 + 3 ∣∣∣∣ (x − 2)+ 2 3 √ 2x + 5 stetig ist (vgl. Abbildung 15.10, rechts). Trigonometrische Funktionen und Arcusfunktionen Der folgende Satz besagt, dass die trigonometrischen Funktionen Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion stetig sind. 422 Kapitel 1515.6 Stetigkeit spezieller Funktionen Satz 15.20 (Trigonometrische Funktionen sind stetig) Die Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion sind stetig, Beweis: Sinusfunktion: Es sei x0 ∈ R beliebig gewählt. Mit der trigonometrischen Identität sin(x)− sin(x0) = 2 cos ( x + x0 2 ) sin ( x − x0 2 ) (vgl. Satz 5.2d)), Satz 13.41c) und lim y→0 sin(y) = 0 folgt lim x→x0 sin(x)=sin(x0)+2 lim x→x0 cos ( x+x0 2 ) lim x→x0 sin ( x−x0 2 ) =sin(x0). Das heißt, sin ist an der Stelle x0 stetig. Kosinusfunktion: Die Stetigkeit von cos folgt unmittelbar mit der Aussage a) und der Identität cos(x) = sin (x + π2 ) für alle x ∈ R (siehe Satz 5.1e)). Tangens- und Kotangensfunktion: Es gilt per Definition tan(x) = sin(x)cos(x) für alle x = (2k + 1) π2 mit k ∈ Z und cot(x) = cos(x)sin(x) für alle x = kπ mit k ∈ Z (vgl. Definition 14.46). Zusammen mit Satz 15.13 folgt somit aus den Aussagen a) und b) die Stetigkeit von tan und cot. 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 f(x) −3 −2 −1 1 2 3 −0.5 0.5 1 1.5 2 l f(x) Abb. 15.11: Stetige reelle Funktion f : (0,∞) −→ R, x %→ √ x5+6x+sin4(x)−sin(x2) √√ 0,05e4x+cos2(3x4+1)x2 (links) und stetige reelle Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ x arctan ( 1 x ) + sin(x) (rechts) Die Arcusfunktionen sind als Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen ebenfalls stetig: Satz 15.21 (Stetigkeit der Arcusfunktionen) Die Arcussinus-, Arcuskosinus-, Arcustangens- und Arcuskotangens-Funktion sind stetig. Beweis: Die Arcusfunktionen arcsin, arccos, arctan und arccot sind die Umkehrfunktionen der Restriktionen der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan bzw. cot auf den Teilintervallen[− π2 , π2 ] , [0, π ] , (− π2 , π2 ) bzw. (0, π) (vgl. Definition 14.47). Da jedoch die trigonometrischen Funktionen auf diesen Teilintervallen jeweils streng monoton sind, folgt mit Satz 15.15 die Stetigkeit der Arcusfunktionen. Beispiel 15.22 (Stetigkeit von reellen Funktionen) a) Die reelle Funktion f : (0,∞)−→R, x %→ √ x5+6x+sin4(x)−sin(x2) √√ 0,05e4x+cos2(3x4+1)x2 ist stetig. Denn sie ergibt sich durch Komposition, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division stetiger Funktionen. Mit Satz 15.13 und Satz 15.14 folgt somit die Stetigkeit der Funktion f (vgl. Abbildung 15.11, links). 423 Kapitel 15 Stetige Funktionen b) Analog zu Beispiel a) folgt, dass die reelle Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ x arctan ( 1 x ) + sin(x) stetig ist (vgl. Abbildung 15.11, rechts). Stückweise stetige Funktionen Oftmals ist es nicht möglich, den funktionalen Zusammenhang y = f (x) zwischen zwei Variablen x und y für alle möglichen Realisierungen von x durch ein und dieselbe Funktionsvorschrift f zu beschreiben. In solchen Fällen werden zur Beschreibung des funktionalen Zusammenhangs y = f (x) reelle Funktionen f : [a, b] −→ R herangezogen, die in einzelnen Teilintervallen [x0, x1), [x1, x2), . . . , [xn−2, xn−1), [xn−1, xn] ⊆ [a, b] mit x0 := a und xn := b durch unterschiedliche Funktionsvorschriften fi festgelegt sind. Das heißt, es werden dann abschnittsweise definierte reelle Funktionen der Bauart f : [a, b] −→ R, x %→ ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎩ f1(x) für x0 ≤ x < x1 f2(x) für x1 ≤ x < x2 ... fn(x) für xn−1 ≤ x ≤ xn mit x0 := a und xn := b verwendet. Sehr häufig werden dabei die Funktionen f1, . . . , fn so gewählt, dass sie stetig sind. Die Funktion f wird dann als stückweise stetig bezeichnet, da sie höchstens an den endlich vielen Verbindungsstellen x1, . . . , xn unstetig ist. Die Funktion f ist genau dann stetig, wenn sie auch in den Verbindungsstellen x1, . . . , xn−1 stetig ist. Beispiel 15.23 (Stückweise stetige Funktion) Die abschnittsweise definierte Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = ⎧ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ e2x+3 falls x < − 32 − 136 x x2+1 falls − 32 ≤ x < 4 2 ln ( 5 2 + x ) falls x ≥ 4 ist auf der Menge (−∞,− 32 )∪ (− 32 , 4 )∪ (4,∞) stetig. Es ist daher lediglich noch die Stetigkeit von f an den Verbindungsstellen x1 = − 32 und x2 = 4 zu untersuchen. Aus lim x↑− 32 f (x) = lim x↑− 32 e2x+3 = 1 = f ( −3 2 ) und lim x↑4 f (x) = lim x↑4 − 136 x x2 + 1 = − 26 51 = f (4) folgt, dass die reelle Funktion f an der Verbindungsstelle x1 = − 32 stetig und an der Verbindungsstelle x2 = 4 unstetig ist. Folglich ist f zwar nicht stetig, aber wenigstens abschnittsweise stetig (vgl. Abbildung 15.12, links). Die Einkommensteuer ist ein bekanntes Beispiel für das Vorkommen stückweise stetiger Funktionen in den Wirtschaftswissenschaften: Beispiel 15.24 (Einkommensteuer) In Deutschland wird die Einkommensteuer s(x) (in €) in Abhängigkeit vom zu versteuernden Einkommen x (in €) berechnet. Gemäß §52 Abs. 41 des Einkommensteuergesetzes erfolgte dies für den Veranlagungszeitraum 2010 anhand der abschnittsweise definierten Tariffunktion s : R+ −→ R, x %→ s(x) mit s(x) := ⎧ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 0 für 0 ≤ x < 8.005 ( 912,17 x−8.00510.000 + 1.400 ) für 8.005 ≤ x ≤ 13.469 · x−8.00510.000 ( 228,74 x−13.46910.000 + 2.397 ) für 13.469 < x ≤ 52.881 · x−13.46910.000 + 1.038 0,42x − 8.172 für 52.881 < x ≤ 250.730 0,45x − 15.694 für x > 250.730 Durch die Verwendung einer abschnittsweise definierten Tariffunktion zur Berechnung der Steuerschuld s(x) soll 424 Kapitel 1515.7 Satz vom Minimum und Maximum Steuergerechtigkeit erreicht werden. Es werden hierbei die folgenden fünf Zonen unterschieden: Zone 1: Grundfreibetrag für x ∈ [0, 8.005) Zone 2: (untere) Progressionszone für x ∈ [8.005, 13.469] Zone 3: (obere) Progressionszone für x ∈ (13.469, 52.881] Zone 4: (untere) Proportionalzone für x ∈ (52.881, 250.730] Zone 5: (obere) Proportionalzone für x ∈ (250.730,∞) Da es sich bei den Funktionsvorschriften in den einzelnen Zonen jeweils um eine stetige Funktion handelt, ist die Tariffunktion s bis auf die vier Verbindungsstellen x1 = 8.005, x2 = 13.469, x3 = 52.881 und x4 = 250.730 stetig. Für die einseitigen Grenzwerte an den Verbindungsstellen x1, x2, x3 und x4 gilt: lim x↑8.005 s(x) = 0 = s(8.005) lim x↓13.469 s(x) = 1.038 = s(13.469) = 1.037,29 lim x↓52.881 s(x) = 14.038,02 = s(52.881) = 14.038,09 lim x↓250.730 s(x) = 97.134,5 = s(250.730) = 97.134,6 Die Tariffunktion s besitzt somit an den drei Verbindungstellen x2 = 13.469, x3 = 52.881 und x4 = 250.730 −4 −2 2 4 6 8 10 −2 −1 1 2 3 4 5 6 l l f (x) l 0 100000 200000 300000 0 50000 100000 s(x) Abb. 15.12: Abschnittsweise definierte reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) mit f (x) = e2x+3 für x < − 32 , f (x) = − 136 x x2+1 für − 32 ≤ x < 4 und ln ( 5 2 + x ) für x ≥ 4 (links) und abschnittsweise definierte Tariffunktion s : R+ −→ R, x %→ s(x) mit ihren fünf verschiedenen Zonen (rechts) kleine Sprünge und ist daher an diesen Stellen nicht stetig. Diese Sprünge entstehen durch Rundung, wobei die Art der Rundung durch das Einkommensteuergesetz genau festgelegt wird. Die Tariffunktion s ist daher nur abschnittsweise stetig, aber nicht stetig (vgl. Abbildung 15.12, rechts). 15.7 Satz vom Minimum und Maximum In vielen ökonomischen Fragestellungen sind reelle Funktionen wie z. B. Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktionen auf K. Weierstraß war Schüler des Theodorianums in Paderborn globale Minimal- und Maximalstellen zu untersuchen. Es stellt sich daher unmittelbar die Frage, welche Funktionen überhaupt ein globales Minimum und Maximum besitzen. Eine der vielen bemerkenswerten Eigenschaften stetiger Funktionen ist, dass sie auf abgeschlossenen und beschränkten 425 Kapitel 15 Stetige Funktionen Intervallen beschränkt sind und stets ein globales Maximum und Minimum besitzen. Diese Eigenschaft stetiger Funktionen ist als Satz vom Minimum und Maximum oder Extremalwertsatz bekannt. Da dieses Resultat jedoch erstmals von dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß (1815–1897) bewiesen wurde, wird es häufig auch als Satz von Weierstraß bezeichnet: Satz 15.25 (Satz vom Minimum und Maximum) Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a, b] definierte stetige reelle Funktion f : [a, b] ⊆ R −→ R ist beschränkt und nimmt ihr globales Minimum und Maximum an. Das heißt, es gibt eine globale Minimalstelle x1 ∈ [a, b] und eine globale Maximalstelle x2 ∈ [a, b], so dass für alle x ∈ [a, b] gilt f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2). Beweis: f ist beschränkt: Es sei angenommen, dass f nach oben unbeschränkt ist. Dann gibt es eine Folge (xn)n∈N0 mit xn ∈ [a, b] und f (xn) > n für alle n ∈ N0. Da jedoch die Folge (xn)n∈N0 wegen xn ∈ [a, b] beschränkt ist, besitzt sie nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (vgl. Satz 11.31) eine konvergente Teilfolge (xnk )k∈N0 , deren Grenzwert mit x ∈ [a, b] bezeichnet sei. Aufgrund der Stetigkeit von f gilt somit limk→∞ f (xnk ) = f (x). Dies ist jedoch ein Widerspruch zu f (xnk ) > nk für alle k ∈ N0 und die Funktion f ist folglich nach oben beschränkt. Die Beschränktheit von f nach unten zeigt man völlig analog. Existenz globaler Extremalstellen: Da die Menge {f (x) : x ∈ [a, b]} ⊆ R nach obigen Überlegungen beschränkt ist, besitzt sie das Supremum supx∈[a,b] f (x) =: s. Somit gibt es zu jedem n ∈ N ein xn ∈ [a, b] mit s − 1n < f (xn) ≤ s und für diese Folge (xn)n∈N0 gilt per Konstruktion lim n→∞ f (xn) = s. (15.7) Die beschränkte Folge (xn)n∈N0 besitzt nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (vgl. Satz 11.31) eine konvergente Teilfolge (xnk )k∈N0 , deren Grenzwert wieder mit x ∈ [a, b] bezeichnet sei. Wegen der Stetigkeit von f folgt dann limk→∞ f (xnk ) = f (x) und zusammen mit (15.7) impliziert dies f (x) = s. Das heißt, dass x ∈ [a, b] die globale Maximalstelle von f und s das globale Maximum von f ist. Die Existenz des globalen Minimums von f lässt sich völlig analog nachweisen. Für die Gültigkeit des Satzes vom Minimum und Maximum ist es wichtig, dass a) der Definitionsbereich abgeschlossen, b) der Definitionsbereich beschränkt und c) die Funktion f stetig ist (vgl. Beispiel 15.26b)). Unter diesen drei Voraussetzungen liefert er für stetige reelle Funktionen eine hinreichende Bedingung für die Existenz von globalen Extremalstellen. Die drei Voraussetzungen a)-c) sind jedoch nicht unbedingt notwendig. Das heißt, auch bei nichtstetigen reellen Funktionen oder reellen Funktionen, die nicht auf abgeschlossenen oder beschränkten Intervallen definiert sind, können – müssen aber nicht – globale Extremalwerte existieren. Es ist jedoch zu beachten, dass der Satz vom Minimum und Maximum lediglich eine Existenzaussage für globale Extremalwerte trifft. Er gibt keine Auskunft darüber, wie die globalen Extremalstellen einer stetigen reellen Funktion f : [a, b] ⊆ R −→ R ermittelt werden können oder ob die globalen Extremalstellen eindeutig sind. Für die explizite Berechnung der Extremalstellen werden in der Regel Hilfsmittel aus der Differentialrechnung benötigt (siehe hierzu Abschnitt 18.1). Dennoch ist der Satz vom Minimum und Maximum von großer theoretischer Bedeutung. Zum Beispiel ist er ein wichtiges Hilfsmittel beim Beweis des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung (siehe Abschnitt 16.7). Beispiel 15.26 (Satz vom Minimum und Maximum) a) Die stetige Funktion f : [0, 2π ] −→ R, x %→ f (x) = sin(x) auf dem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [0, 2π ] besitzt die globale Maximalstelle x1 = π2 und die globale Minimalstelle x2 = 32π . Das globale Maximum und Minimum beträgt f (x1) = 1 bzw. f (x2) = −1 (vgl. Abbildung 15.13, links). b) Betrachtet wird die reelle Funktion f : I −→ R, x %→ f (x) = 1 x2 . Ist der Definitionsbereich von f durch das beschränkte, aber nicht abgeschlossene Intervall I = (0, 1] gegeben, dann ist f zwar stetig, aber nach oben unbeschränkt und besitzt somit kein globales Maximum. Ist der Definitionsbereich von f durch das abgeschlossene, aber nicht beschränkte Intervall I = [1,∞) gegeben, dann ist f zwar beschränkt und stetig, aber die Funktion f besitzt dennoch kein globales Minimum. Ist der Definitionsbereich von f durch das abgeschlossene und beschränkte Intervall I = [−1, 1] gegeben, wobei f (x) = 1 x2 für x ∈ [−1, 1] \ {0} und f (x) = 1 für x = 0 gelte, dann ist f nicht stetig und nach oben unbeschränkt. Die Funktion f besitzt somit kein 426 Kapitel 1515.8 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz π 2 π 3π 2 2π −1 −0.5 0 0.5 1 f (x)l l −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 f (x) l Abb. 15.13: Reelle Funktion f (x) = sin(x) (links) und reelle Funktion f (x) = 1 x2 (rechts) globales Maximum (vgl. Abbildung 15.13, rechts). Diese drei Fälle zeigen, dass nur alle drei Voraussetzungen zusammen, nämlich die Abgeschlossenheit und Beschränktheit von I sowie die Stetigkeit von f , die Existenz eines globalen Minimums und Maximums sicherstellen. 15.8 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz Gedenktafel am ehemaligen Wohnhaus von B. Bolzano in Prag Eine weitere besondere Eigenschaft stetiger reeller Funktionen, die auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall definiert sind, ist die Gültigkeit des Nullstellensatzes. Der Nullstellensatz besagt, dass eine stetige Funktion f : [a, b] −→ R mit der Eigenschaft f (a) < 0 und f (b) > 0 bzw. f (a) > 0 und f (b) < 0 mindestens eine Nullstelle im offenen Intervall (a, b) besitzt. Dieses Resultat wurde erstmals im Jahre 1817 von dem böhmischen Mathematiker Bernard Bolzano (1781–1848) bewiesen. Satz 15.27 (Nullstellensatz) Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a, b] definierte stetige reelle Funktion f : [a, b] ⊆ R −→ R mit der Eigenschaft f (a)f (b) < 0 besitzt mindestens eine Stelle x0 ∈ (a, b) mit f (x0) = 0. Beweis: Aus f (a) · f (b) < 0 folgt f (a) < 0 und f (b) > 0 oder f (a) > 0 und f (b) < 0. Im Folgenden kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit f (a) < 0 und f (b) > 0 angenommen werden (andernfalls wird einfach f durch −f ersetzt), und für den Beweis wird das Intervallschachtelungsprinzip verwendet. Dazu sei [a0, b0] := [a, b] und [an+1, bn+1] := { [an,mn] falls f (mn) ≥ 0 [mn, bn] falls f (mn) < 0 für alle n ∈ N0, wobei mn := an+bn2 die Mitte des Intervalls [an, bn] ist. Für die so definierte Folge von Intervallen ([an, bn])n∈N0 gilt offensichtlich . . . [an+2, bn+2] ⊂ [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn] ⊂ . . . . . . ⊂ [a1, b1] ⊂ [a0, b0] ⊂ R, bn − an = 2−n(b − a) für alle n ∈ N0 und somit insbesondere lim n→∞(bn − an) = 0. Durch ([an, bn])n∈N0 ist daher eine Intervallschachtelung gegeben und es gibt ein x0 ∈ [a, b] mit lim n→∞ an = x0 = limn→∞ bn. 427 Kapitel 15 Stetige Funktionen a b 0 f (x) l ll lll x0 a0 b0 = b1a1 = a2 b2 = b3a3 a −1 1 2 3 b −15 −10 −5 5 10 l c l l l f (x) x0 x1 x2 x3 Abb. 15.14: Intervallschachtelung ([an, bn])n∈N0 mit x0 ∈ ⋂∞ n=0[an, bn] (links) und stetige Funktion f [a, b] −→ R mit globalen Maximal- und Minimalstellen x0 bzw. x3, einer Nullstelle x1 und einer c-Stelle x2 (rechts) Da jedoch f nach Voraussetzung stetig ist, impliziert dies lim n→∞ f (an) = f (x0) = limn→∞ f (bn). Aufgrund der speziellen Konstruktion der Intervalle [an, bn] gilt f (an) < 0 und f (bn) ≥ 0 für alle n ∈ N0 (vgl. Abbildung 15.14, links). Mit dem Vergleichssatz 11.41 folgt daher f (x0) = lim n→∞ f (an) ≤ 0 und f (x0) = limn→∞ f (bn) ≥ 0. Folglich muss f (x0) = 0 gelten und wegen f (a) = 0 sowie f (b) = 0 impliziert dies x0 ∈ (a, b). Analog zum Satz vom Minimum und Maximum (vgl. Satz 15.25) macht auch der Nullstellensatz leider nur eine reine Existenzaussage. Die Bedeutung des Nullstellsatzes liegt darin begründet, dass er für eine stetige reelle Funktion f : [a, b] ⊆ R −→ R mit f (a) · f (b) < 0 die Existenz mindestens einer reellen Nullstelle sicherstellt, auch wenn diese nicht ohne weitere Hilfsmittel berechnet werden kann (vgl. Beispiel 15.29 und Abbildung 15.14). Für die explizite Berechnung von Nullstellen müssen in der Regel weitere Hilfsmittel herangezogen werden. Je nach Eigenschaften der Funktion f kommen hierfür zum Beispiel die a-b-c-Formel für quadratische Gleichungen (siehe Abschnitt 4.4) oder das Newton-Verfahren (siehe Abschnitt 26.4) in Frage. Aus dem Nullstellensatz folgt beispielsweise, dass ein Polynom ungeraden Grades p(x) = ∑2n+1k=0 akxk mit a2n+1 > 0 mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. Denn für Polynome ungeraden Grades gilt offensichtlich lim x→∞p(x) = ∞ und limx→−∞p(x) = −∞. Das heißt, man kann reelle Zahlen a, b ∈ R mit p(a)·p(b) < 0 finden, so dass es gemäß dem Nullstellensatz ein x0 ∈ (a, b) mit p(x0) = 0 gibt. Ein Polynom geraden Grades p(x) =∑2n k=0 akx k mit a2n = 0 muss jedoch keine reelle Nullstelle besitzen, wie bereits das einfache Beispiel p(x) = x2 + 1 mit p(x) ≥ 1 für alle x ∈ R zeigt (vgl. hierzu auch Abschnitt 4.3). Der Nullstellensatz kann problemlos zum folgenden Zwischenwertsatz verallgemeinert werden, der sich auf beliebige c-Stellen bezieht. Er besagt, dass eine stetige reelle Funktion f : [a, b] −→ R jeden Wert c zwischen ihrem Minimum minx∈[a,b] f (x) und ihrem Maximum maxx∈[a,b] f (x) annimmt (vgl. Abbildung 15.14): Satz 15.28 (Zwischenwertsatz) Eine auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a,b] definierte stetige reelle Funktion f : [a,b] ⊆ R −→ R besitzt zu jedem c ∈ [ min x∈[a,b] f (x), max x∈[a,b] f (x)] mindestens ein x0 ∈[a, b] mit f (x0)=c. 428 Kapitel 1515.8 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz Beweis: Gilt minx∈[a,b] f (x) = maxx∈[a,b] f (x), dann ist die Funktion f konstant und die Behauptung damit richtig. Es sei daher minx∈[a,b] f (x) < maxx∈[a,b] f (x) und c ∈ (minx∈[a,b] f (x),maxx∈[a,b] f (x) ) . Für die stetige Funktion g : [a, b] −→ R, x %→ g(x) := f (x)− c gilt dann g ( arg min x∈[a,b] f (x) ) < 0 und g ( arg max x∈[a,b] f (x) ) > 0. Das heißt, die Funktion g erfüllt die Voraussetzungen des Nullstellensatzes 15.27 und es existiert somit ein x0 ∈ (a, b) mit g(x0) = f (x0)− c = 0 bzw. f (x0) = c. Der Zwischenwertsatz 15.28 ist ein wichtiges Werkzeug der Analysis beim Beweis vieler mathematischer Aussagen. Er ist jedoch auch bei der Untersuchung verschiedener wirtschaftswissenschaftlicher Fragestellungen ein wichtiges Hilfsmittel und wird in vielen ökonomischen Theorien zum Beweis der Existenz eines Gleichgewichts, wie z. B. von Angebot und Nachfrage, Verhaltensstrategien von rationalen Spielern oder Ähnlichem benötigt (vgl. Beispiel 15.30b)). Bei Betrachtung der Aussage des Zwischenwertsatzes könnte man den Eindruck erhalten, dass er für stetige reelle Funktionen f : [a, b] −→ R charakterisierend ist. Das heißt, dass er ausschließlich für stetige reelle Funktionen gilt. Diese Vermutung ist jedoch falsch. Zum Beispiel ist die reelle Funktion f : [0, 1] −→ R, x %→ f (x) = { x für rationale x ∈ [0, 1] 1 − x für irrationale x ∈ [0, 1] nur an der Stelle x = 12 stetig und erfüllt somit die Voraussetzungen des Zwischenwertsatzes nicht. Dennoch nimmt sie jeden Wert zwischen f (0) = 0 und f (1) = 1 an. Man kann jedoch zeigen, dass monotone reelle Funktionen f : [a, b]→R, die dem Zwischenwertsatz genügen, stets auch stetig sind (vgl. z. B. Storch-Wiebe [65], Seite 249). Beispiel 15.29 (Nullstellen- und Zwischenwertsatz) Die Gleichung 2x − 5e−x(1 + x2) = 0 kann nicht analytisch gelöst werden. Dennoch lässt sich mit Hilfe des Nullstellensatzes leicht nachweisen, dass sie im Intervall (0, 2) mindestens eine Lösung besitzt. Denn für die stetige reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) := 2x − 5e−x(1 + x2) gilt f (0) = −5 < 0 und f (2) = 4 − 25/e2 > 0. Somit besitzt die Restriktion f|[0,2] von f auf das abgeschlossene und beschränkte Intervall [0, 2] gemäß dem Nullstellensatz mindestens eine Nullstelle x0 im offenen Intervall (0, 2). Mit dem Zwischenwertsatz folgt, dass f|[0,2] jeden Wert zwischen −5 und 4 − 25/e2 annimmt. Wie man aus Abbildung 15.15, links erkennen kann, handelt es sich bei x1 = 0 um die globale Minimal- und bei x2 = 2 um die globale Maximalstelle von f|[0,2]. Das folgende Beispiel zeigt, wie der Zwischenwertsatz bei der Beantwortung ökonomischer Fragestellungen eingesetzt werden kann: Beispiel 15.30 (Existenz von Gleichgewichtspreisen) Betrachtet wird ein Markt für ein bestimmtes Wirtschaftsgut. Für dieses Wirtschaftsgut sei die konkrete Angebots- und Nachfragefunktion A(p) bzw. N(p) in Abhängigkeit vom Preis p des Wirtschaftsgutes nicht bekannt. Es gelte jedoch, dass das Angebot und die Nachfrage stetig vom Preis p abhängen. Weiter sei bekannt, dass bei einem Preis von p = 0 das Angebot gleich 0 und die Nachfrage sehr groß ist und umgekehrt bei einem sehr hohen Preis p das Angebot sehr groß und die Nachfrage gleich 0 ist. Mit dem Zwischenwertsatz folgt dann, dass es einen Preis p0 gibt, für den Angebot und Nachfrage im Gleichgewicht sind, d. h. für den A(p0) = N(p0) gilt. Denn die Stetigkeit der Angebots- und Nachfragefunktion A(p) und N(p) impliziert die Stetigkeit der Funktion f : [0, p] −→ R, x %→ f (p) := A(p)−N(p). Mit dem Zwischenwertsatz folgt somit, dass es zu jedem c ∈ [f (0), f (p)] = [−N(0), A(p)] ein p0 ∈ [0, p] mit f (p0) = c gibt. Wegen N(0) > 0 und A(p) > 0 gibt es insbesondere ein p0 ∈ [0, p] mit f (p0) = 0. Also ist p0 ein Gleichgewichtspreis mit der Gleichgewichtseigenschaft A(p0) = N(p0) (vgl. Abbildung 15.15, rechts). 429 Kapitel 15 Stetige Funktionen 1 2 3 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 f (x) l x0 x2x1 ll 0 p 0 N(p) A(p) l p0 Abb. 15.15: Reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = 2x − 5e−x(1 + x2) mit Nullstelle bei x0 (links) und Existenz des Gleichgewichtspreises p0 bei stetiger Angebots- und Nachfragefunktion A(p) bzw. N(p) (rechts) 15.9 Fixpunktsätze Allgemeiner Fixpunktsatz Bei der Untersuchung verschiedener ökonomischer und spieltheoretischer Fragestellungen bezüglich der Existenz von dynamischen Gleichgewichten wird man mit sogenannten Fixpunktgleichungen konfrontiert. Dabei handelt es sich um Gleichungen der Form x = f (x), (15.8) wobei f : I −→ I eine Funktion ist, die ihren Definitionsbereich, d. h. das Intervall I ⊆ R, wieder in sich abbildet. Eine solche Abbildung wird oft auch als Selbstabbildung bezeichnet, und ein dynamisches Gleichgewicht ist ein x ∈ I , für das x = f (x) (15.9) gilt. Ein dynamisches Gleichgewicht x ∈ I besitzt somit die Eigenschaft, dass es sich durch Anwendung der Funktionsvorschrift f nicht verändert. Allgemein heißt ein Wert x mit der Eigenschaft (15.9) Fixpunkt der Funktion f : I −→ I , da ein solcher Wert durch f auf sich selbst abgebildet, d. h. fixiert, wird. Somit ist ein Fixpunkt x einer reellen Funktion f die Schnittstelle von f mit der Geraden (ersten Winkelhalbierenden) y = x (vgl. Abbildung 15.16, links). Mit Hilfe eines geeigneten Funktionsgraphen lässt sich leicht veranschaulichen, dass jede stetige reelle Funktion f : [a, b] −→ [a, b] auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a, b] stets mindestens einen Fixpunkt besitzen muss (vgl. Abbildung 15.16, rechts). Mit Hilfe des Nullstellensatzes lässt sich diese Existenzaussage für Fixpunkte auch leicht formal beweisen: Satz 15.31 (Allgemeiner Fixpunktsatz) Es sei f [a, b] : −→ [a, b] eine stetige reelle Funktion. Dann besitzt f mindestens einen Fixpunkt. Beweis: Wenn f (a) = a oder f (b) = b gilt, dann ist nichts mehr zu zeigen. Da ferner nach Voraussetzung f (a), f (b) ∈ [a, b] gelten muss, kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit f (a) > a und f (b) < b angenommen werden. Damit erhält man für die stetige Funktion g : [a, b] −→ R, x %→ g(x) := x−f (x), dass g(a) = a−f (a) < 0 und g(b) = b−f (b) > 0 gilt. Mit dem Nullstellensatz 15.27 folgt somit, dass es ein x ∈ (a, b) mit g(x) = 0, also mit f (x) = x, geben muss. Fixpunktsatz von Banach Für eine stetige reelle Funktion f : I −→ I ist es in vielen Fällen möglich, eine Lösung der Fixpunktgleichung (15.8) 430 Kapitel 1515.9 Fixpunktsätze l x f (x) y = x a b a b l f (x) x f (x) y = x Abb. 15.16: Stetige reelle Funktion f mit Fixpunkt x (links) und stetige reelle Funktion f [a, b] −→ [a, b] mit Fixpunkt x (rechts) durch eine sogenannte Fixpunktiteration zu berechnen. Dazu wählt man einen Startwert x0 ∈ I und berechnet mittels der Rekursionsvorschrift xn+1 = f (xn) für alle n ∈ N0 (15.10) eine Iterationsfolge (xn)n∈N0 von Werten in der Hoffnung, dass diese Folge schnell gegen einen Fixpunkt x von f , d. h. gegen einen Wert mit der Eigenschaft (15.9), konvergiert (vgl. Abbildung 15.17, links). S. Banach auf einer polnischen Briefmarke Der folgende, nach dem polnischen Mathematiker Stefan Banach (1892–1945) benannte Fixpunktsatz von Banach liefert eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Fixpunktiteration (15.10) gegen einen Fixpunkt x von f . Der Fixpunktsatz von Banach ist damit ein sehr nützliches Hilfsmittel der Analysis, der auch viele Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften besitzt. Neben einer reinen Existenz- und Eindeutigkeitsaussage für Fixpunktprobleme besagt er auch, wie der Fixpunkt x von f bei Vorliegen gewisser Voraussetzungen durch die Fixpunktiteration xn+1 = f (xn) iterativ berechnet und der nach n Iterationen noch bestehende Approximationsfehler |xn − x| nach oben abgeschätzt werden kann. Satz 15.32 (Fixpunktsatz von Banach) Es sei f : I −→ I eine reelle Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall I ⊆ R, für die |f (x)− f (y)| ≤ q|x − y| (15.11) für alle x, y ∈ I und ein festes q < 1 gilt. Dann besitzt f genau einen Fixpunkt x ∈ I und die Iterationsfolge (xn)n∈N0 , definiert durch xn+1 := f (xn), konvergiert gegen x für jeden beliebigen Startwert x0 ∈ I . Dabei gelten die sogenannten a priori und a posteriori Fehlerabschätzungen |xn − x| ≤ q n 1 − q |x1 − x0| bzw. |xn − x| ≤ 1 1 − q |xn+1 − xn| (15.12) für alle n ∈ N0. Beweis: Es sei x0 ∈ I und (xn)n∈N0 mit xn+1 := f (xn) für alle n ∈ N0. Dann folgt mit (15.11) |xn+1 − xn| = |f (xn)− f (xn−1)| ≤ q|xn − xn−1| für alle n ∈ N0 und damit sukzessive für alle n ∈ N0 |xn+1 − xn| ≤ q|xn − xn−1| ≤ q2|xn−1 − xn−2| ≤ . . . ≤ qn|x1 − x0|. (15.13) 431 Kapitel 15 Stetige Funktionen Mit der Dreiecksungleichung (3.4) folgt ferner |xn+k − xn| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ k∑ l=1 (xn+l − xn+l−1) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ k∑ l=1 |xn+l − xn+l−1|. Zusammen mit (15.13) und der geometrischen Summenformel (12.1) erhält man somit |xn+k − xn| ≤ ( k∑ l=1 qn+l−1 ) |x1 − x0| = qn ( k−1∑ l=0 ql ) |x1 − x0| = qn 1 − q k 1 − q |x1 − x0| ≤ qn 1 − q |x1 − x0| (15.14) für alle k ∈ N0. Dabei wird die rechte Seite von (15.14) beliebig klein, wenn n ∈ N0 nur hinreichend groß gewählt wird. Aus der Abschätzung (15.14) folgt somit, dass (xn)n∈N0 eine Cauchy- Folge ist und daher auch gegen einen Grenzwert x konvergiert (vgl. Satz 11.37). Wegen xn ∈ I und der Abgeschlossenheit von I muss dieser Grenzwert x ebenfalls in I liegen. Beim Grenzwert x handelt es sich um einen Fixpunkt von f . Denn wegen lim n→∞ xn = x gilt |x − f (x)| = |x − xn + xn − f (x)| ≤ |x − xn| + |xn − f (x)| = |x − xn| + |f (xn−1)− f (x)| ≤ |x − xn| + q|xn−1 − x| −→ 0 für n → ∞. x0 x1x2 x3x4x l f (x) y = x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 l x f (x) y = x Abb. 15.17: Konvergenz der Iterationsfolge (xn)n∈N0 mit xn+1 = f (xn) gegen den Fixpunkt x (links) und Fixpunkt x der reellen Funktion f (x) = 14 x3 + 15 (rechts) Es gilt somit x = f (x). Der Grenzwert x ist ferner der einzige Fixpunkt von f . Denn wäre x ein weiterer Fixpunkt von f , dann würde mit (15.11) der Widerspruch |x − x| = |f (x)− f (x)| ≤ q|x − x| < |x − x| resultieren. Die a priori Abschätzung in (15.12) folgt unmittelbar aus (15.14) für k → ∞. Für n = 0 folgt aus der a priori Abschätzung |x0 − x| ≤ 1 1 − q |x1 − x0|. Da jedoch der Startwert x0 nach Belieben aus I gewählt werden kann, bedeutet dies für ein beliebiges x ∈ I anstelle von x0 |x − x| ≤ 1 1 − q |f (x)− x|. Wählt man nun schließlich x = xn, dann folgt daraus die a posteriori Abschätzung in (15.12). Eine reelle Funktion f : I −→ I mit der Eigenschaft (15.11) für alle x, y ∈ I ⊆ R heißt Kontraktion auf I mit der Kontraktionskonstante q. Kontraktionen mit einer Kontraktionskonstanten q < 1 sind Spezialfälle von sogenannten Lipschitz-stetigen Funktionen (vgl. hierzu Seite 550). Die Kontraktionseigenschaft (15.11) besagt, dass die Funktionswerte f (x) und f (y) stets dichter zusammenliegen als ihre Urbilder x und y. Der Graph von f steigt somit langsamer an als die erste Winkelhalbierende y = x und schneidet 432 Kapitel 1515.10 Gleichmäßige Stetigkeit sie deshalb zwangsläufig in genau einer Stelle (vgl. Abbildung 15.17). Eine andere Veranschaulichung des Fixpunktsatzes von Banach erhält man, wenn man sich eine Landkarte vorstellt, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Wird diese Karte als Kontraktion der Umgebung aufgefasst, so gibt es genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt. Die a priori Abschätzung in (15.12) liefert eine Abschätzung des Fehlers xn − x durch die ersten beiden Folgenglieder x0 und x1. Die a posteriori Abschätzung in (15.12) liefert dagegen eine Abschätzung von xn−x durch die beiden zuletzt bestimmten Folgenglieder xn und xn+1. Der Fixpunktsatz von Banach ist stark verallgemeinerungsfähig auf andere Definitionsbereiche. Er spielt vor allem in der numerischen Mathematik eine wichtige Rolle und die meisten Iterationsverfahren zur numerischen Lösung von Gleichungen lassen sich auf ihn zurückführen. Dies gilt insbesondere für das Newton-Verfahren (vgl. Abschnitt 26.4), dem wohl wichtigsten numerischen Verfahren zur Lösung von Gleichungen. Beispiel 15.33 (Fixpunktsatz von Banach) Es sei die Gleichung 2x = 1 2 x3 + 2 5 im Intervall I = [0, 1] zu lösen. Mit der reellen Funktion f : [0, 1] −→ R, x %→ f (x) = 1 4 x3 + 1 5 ist diese Gleichung äquivalent zur Fixpunktgleichung x = f (x). Ferner gilt |f (x)− f (y)| = ∣∣ ∣∣ 1 4 x3 + 1 5 − ( 1 4 y3 + 1 5 )∣∣∣ ∣ = ∣ ∣∣ ∣ 1 4 x3 − 1 4 y3 ∣∣ ∣∣ = 1 4 |x3 − y3| für alle x, y ∈ [0, 1]. Da jedoch die reelle Funktion g(x) = x3 eine Kontraktion auf [0, 1] mit der Kontraktionskonstanten q = 1 ist, impliziert dies |f (x)− f (y)| = 1 4 |x3 − y3| ≤ 1 4 · 1 · |x − y| für alle x, y ∈ [0, 1]. Das heißt, die Funktion f ist eine Kontraktion mit der Kontraktionskonstanten q = 14 < 1 und erfüllt die Voraussetzungen des Fixpunktsatzes von Banach (vgl. Satz 15.32). Die Funktion f besitzt somit genau einen Fixpunkt x ∈ [0, 1]. Wählt man den Startwert x0 = 0, dann erhält man mit der Fixpunktiteration xn+1 = f (xn) sukzessive die folgenden Werte: x0 x1 x2 x3 x4 . . . x∞ 0 0,2000000 0,2020000 0,2020606 0,2020625 . . . 0,2020625 Die Fixpunktiteration liefert also bereits nach vier Iterationen die auf sieben Nachkommastellen genaue Lösung x = 0,2020625 (vgl. Abbildung 15.17, rechts). Mit der a priori und der a posteriori Abschätzung (15.12) erhält man z. B. für x3, d. h. dem Näherungswert nach der dritten Iteration, die Fehlerabschätzungen |x3 − x| ≤ ( 1 4 )3 1 − 14 |x1 − x0| = 0,00417 bzw. |x3 − x| ≤ 1 1 − 14 |x4 − x3| = 8,08 · 10−5. 15.10 Gleichmäßige Stetigkeit In diesem Abschnitt wird mit dem Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit eine Verschärfung des Stetigkeitskonzepts bereitgestellt, die in gewissen Beweisen sehr hilfreich ist. Zum Beispiel wird es zum Beweis der Aussage benötigt, dass stetige Funktionen stets Riemann-integrierbar sind (vgl. Satz 19.4). Gemäß dem ε-δ-Kriterium wird eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R als stetig bezeichnet, wenn es zu jedem x0 ∈ D und ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass |f (x0)− f (x)| < ε für alle x ∈ D mit |x0−x| < δ gilt (vgl. Definition 15.1). Im Allgemeinen hängt jedoch δ nicht nur von ε, sondern auch von der Stelle x0 ∈ D ab. Das heißt, für verschiedene Stellen x0 sind die δ > 0 in aller Regel verschieden, selbst dann, wenn die ε > 0 gleich sind. Ein Beispiel hierfür ist die Funktion f : (0, 1] −→ R, x %→ 1 x , bei der für ein gegebenes ε > 0 das δ > 0 um so kleiner gewählt werden muss, je näher x0 beim Wert 0 liegt (vgl. Beispiel 15.36b)). Auf der anderen Seite gibt es viele Funktionen, bei denen δ > 0 so gewählt werden kann, dass es von ε > 0 abhängt, aber nicht von x0. Die einfachsten nicht konstanten Funktionen, bei denen dies der Fall ist, sind affin-lineare Funktionen 433 Kapitel 15 Stetige Funktionen f (x) = ax + b. Denn ist a = 0 und ε > 0, dann gilt |f (x0)− f (x)| = |ax0 − ax| = |a| · |x0 − x| < ε für alle x0, x ∈ R mit |x0 − x| < ε|a| =: δ. Folglich ist δ unabhängig von x0 und die Abschätzung |f (x0)−f (x)| < ε gilt somit unabhängig von x0 ∈R, solange nur |x0−x|<δ= ε|a| erfüllt ist. Diese Unabhängigkeit von δ bzgl. der Stelle x0 wird als gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion f bezeichnet: Definition 15.34 (Gleichmäßige Stetigkeit) Eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R heißt gleichmäßig stetig auf E ⊆ D, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so dass |f (x)− f (y)| < ε für alle x, y ∈ E mit |x − y| < δ gilt. Ist die Funktion f auf ganz D gleichmäßig stetig, dann wird sie als gleichmäßig stetige Funktion bezeichnet. Offensichtlich ist jede gleichmäßig stetige Funktion auch stetig. Wie jedoch das Beispiel 15.36b) zeigt, gilt die Umkehrung dieser Aussage nicht. Umso bemerkenswerter ist daher der folgende Satz, der für stetige reelle Funktionen gilt, die auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall definiert sind: Satz 15.35 (Gleichmäßige Stetigkeit auf abgeschlossenen Intervallen) Eine stetige reelle Funktion f : [a, b] −→ R auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a, b] ist gleichmäßig stetig. Beweis: Angenommen, die Funktion f : [a, b] ⊆ R −→ R ist nicht gleichmäßig stetig. Dann existiert ein ε > 0, so dass es zu jedem n ∈ N zwei reelle Werte xn, x′n ∈ [a, b] mit |xn − x′n| < 1 n und |f (xn)− f (x′n)| ≥ ε gibt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß (vgl. Satz 11.31) besitzt die dadurch festgelegte beschränkte Folge (xn)n∈N eine konvergente Teilfolge (xnk )k∈N und mit dem Vergleichssatz (vgl. Satz 11.41) erhält man, dass für ihren Grenzwert limk→∞ xnk = x0 die Ungleichungen a ≤ x0 ≤ b gelten. Wegen |xnk − x′nk | < 1nk für alle k ∈ N besitzt aber auch die Teilfolge (x′nk )k∈N der anderen beschränkten Folge (x′n)n∈N den Grenzwert x0. Zusammen mit den Rechenregeln für Grenzwerte konvergenter Funktionen (vgl. Satz 13.41b)) und dem Folgenkriterium erhält man lim k→∞(f (xnk )− f (x ′ nk )) = lim k→∞ f (xnk )− limk→∞ f (x ′ nk ) = f (x0)− f (x0) = 0. Dies ist jedoch ein Widerspruch zu |f (xnk )− f (x′nk )| ≥ ε für alle k ∈ N. Also ist die Annahme falsch und f somit gleichmäßig stetig. Gemäß dem letzten Satz ist jede stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [a, b] gleichmä- ßig stetig. Wie Teil a) des folgenden Beispiels zeigt, gibt es jedoch auch stetige Funktionen auf unbeschränkten Intervallen, die gleichmäßig stetig sind: Beispiel 15.36 (Gleichmäßige Stetigkeit) a) Die Funktion f : R+ −→ R, x %→ √x ist gleichmäßig stetig. Zum Nachweis dieser Aussage sei ε > 0 beliebig vorgegeben. Da die Restriktion f|[0,1] : [0, 1] −→ R, x %→ √x als stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall [0, 1] gemäß Satz 15.35 sogar gleichmäßig stetig ist, gibt es ein δ1 > 0, so dass |√x − √y| < ε für alle x, y ∈ [0, 1] mit |x − y| < δ1 gilt. Ist nun δ = min {δ1, ε}, dann folgt weiter |√x − √y| < ε für alle x, y ∈ R+ mit |x − y| < δ. Falls nämlich x, y ∈ [0, 1] gilt, folgt dies aus der ersten Abschätzung. Im anderen Fall gilt x>1 oder y>1 und somit |√x −√y| ≤ |√x +√y| · |√x −√y| = |x − y| < δ ≤ ε. Damit ist gezeigt, dass die Funktion f gleichmäßig stetig ist. Insbesondere ist f auf dem Intervall (1,∞) eine Kontraktion (vgl. Abbildung 15.18, links). b) Die Funktion f : (0, 1] −→ R, x %→ 1 x ist zwar stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. Denn wäre f gleichmäßig stetig, dann gäbe es insbesondere zu ε = 1 ein δ > 0, so dass |f (x) − f (y)| < 1 für alle x, y ∈ (0, 1] mit |x − y| < δ gilt. Es gibt jedoch offensichtlich ein n ∈ N mit ∣∣ ∣∣ 1 n − 1 2n ∣ ∣∣ ∣ = ∣∣ ∣∣ 1 2n ∣ ∣∣ ∣ < δ und ∣ ∣∣ ∣f ( 1 n ) − f ( 1 2n )∣∣∣ ∣ = |n− 2n| = n ≥ 1. Die Funktion f ist also nicht gleichmäßig stetig (vgl. Abbildung 15.18, rechts). 434 Kapitel 1515.10 Gleichmäßige Stetigkeit 0 1 2 0 0.5 1 1.5 f (x) δ δ δ δ ε1 ε2 ε3 ε4 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 f (x) δ δ δ δ ε1 ε2 ε3 ε4 Abb.15.18: GleichmäßigstetigeFunktionf : R+ −→ R, x %→ √x (links)undnichtgleichmäßigstetigeFunktionf : R+\{0} −→ R, x %→ 1x (rechts) 435

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.