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14. Spezielle reelle Funktionen in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 373 - 409

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_373

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Kapitel14 Spezielle reelle Funktionen Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen 14.1 Polynome Eine besonders einfache und bedeutende Klasse von reellen Funktionen sind die sogenannten Polynome, die auch als ganz-rationale Funktionen bezeichnet werden. Wie sich im weiteren Verlauf dieses Lehrbuches noch mehrfach zeigen wird, besitzen Polynome viele gute mathematische Eigenschaften und sind deshalb besonders leicht analytisch handhabbar. Darüber hinaus zeichnen sich Polynome durch eine große Flexibilität aus und es gibt verschiedene Möglichkeiten, deutlich kompliziertere Funktionen durch Polynome beliebig gut zu approximieren (siehe hierzu den Abschnitt 17.1 und das Kapitel 27). Polynome spielen aber nicht nur in der Analysis, sondern auch in der linearen Algebra eine zentrale Rolle. Zum Beispiel sind viele Eigenschaften einer Matrix durch die Eigenschaften ihres sogenannten charakteristischen Polynoms festgelegt (siehe hierzu Definition 10.5 in Abschnitt 10.1). Definition 14.1 (Polynom n-ten Grades) Eine reelle Funktion p : D ⊆ R −→ R mit p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 = n∑ k=0 akx k (14.1) und a0, a1, . . . , an ∈ R, n ∈ N0 sowie an = 0 heißt Polynom (ganz-rationale Funktion) n-ten Grades. Die reellen Zahlen a0, a1, . . . , an ∈ R werden als Koeffizienten und an wird als Leitkoeffizient des Polynoms bezeichnet. Gilt an = 1, dann heißt das Polynom normiert. Der höchste Exponent n des Polynoms wird Grad des Polynoms genannt und mit Grad(p) := n bezeichnet. Bei einem Polynom sind alle Exponenten Zahlen aus N0. Polynome können daher prinzipiell auf ganz R definiert werden. Wenn als Definitionsbereich eines Polynoms ganz R zugelassen sein soll, verzichtet man oft auch auf die explizite Angabe des Definitionsbereichs D und gibt lediglich die Zuordnungsvorschrift an. Ein Polynom, das nur aus einem Glied besteht, d. h. von der Form p(x) = akxk ist mit k ∈ N0 und ak = 0, wird als Monom k-ten Grades und ein Polynom mit a0 = a1 = . . . = an = 0 wird als Nullpolynom bezeichnet. Das heißt, das Nullpolynom ist die konstante Funktion p(x) = 0 für alle x ∈ R. Dem Nullpolynom wird der Grad −∞ zugewiesen (vgl. Abbildung 14.1, rechts). Für Polynome mit einem der Grade n = 0, 1, 2, 3 und 4 existieren eigene Bezeichnungen. Genauer gilt: • n = 0 führt zu konstanten Funktionen (z. B. p(x) = −1) • n = 1 führt zu affin-linearen Funktionen (z. B. p(x) = 2x + 3) • n = 2 führt zu quadratischen Funktionen (z. B. p(x) = −3x2 + 52x − 1) • n = 3 führt zu kubischen Funktionen (z. B. p(x) = 17x3+ x2 + 13x + 12 ) • n = 4 führt zu quartischen Funktionen (z. B. p(x) = −5x4 + x3 − 16x2 + 4x + 37 ) Ferner wird in einem Polynom der Form (14.1) der Koeffizient a0 Absolutglied und die Monome a1x, a2x2, a3x3 und a4x 4 werden lineares, quadratisches, kubisches bzw. quartisches Glied genannt. Beispiel 14.2 (Polynome) a) Die reelle Funktion p : R −→ R, p(x) = 12x5 − 3x4 + 92x3 − 12x2 − 4x + 132 ist ein Polynom 5-ten Grades mit dem Leitkoeffizienten 12 und den weiteren Koeffizienten −3, 92 ,− 12 ,−4 und 132 (vgl. Abbildung 14.1, links). b) Die reelle Funktion q : R −→ R, q(x) = x3 −x2 + 5x+3 ist ein normiertes Polynom dritten Grades mit dem Leitkoeffizient 1 und den weiteren drei Koeffizienten −1, 5 und 3 (vgl. Abbildung 14.1, links). Eigenschaften von Polynomen Polynome besitzen viele wünschenswerte Eigenschaften. Eine dieser Eigenschaften ist, dass die Summe, die Differenz und das Produkt zweier Polynome p1 und p2 wieder ein Polynom liefern. Genauer gilt: Sind p1 und p2 zwei Polynome vom Grad n bzw. m mit n ≤ m, dann sind auch die reellen Funktionen p1 + p2, p1 − p2 und p1p2 wieder Polynome und für deren Grad gilt Grad(p1 + p2) ≤ m, Grad(p1 − p2) ≤ m bzw. Grad(p1p2) = n+m. Für n < m gilt sogar Grad(p1 +p2) = Grad(p1 −p2) = m. 370 Kapitel 1414.1 Polynome −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −30 −20 −10 10 20 30 p(x) q(x) x0 −3 −2 −1 1 2 3 −10 −5 5 10 x1 x2x3x4 Abb. 14.1: Polynome p(x) = 12 x5 − 3x4 + 92 x3 − 12 x2 − 4x + 132 und q(x) = x3 − x2 + 5x + 3 (links) und Monome p(x) = xn für n = 0, 1, 2, 3, 4 (rechts) In Beispiel 13.27a) und b) wurde ferner bereits gezeigt, dass ein Polynom mit ausschließlich geraden Exponenten gerade, d. h. achsensymmetrisch zur Ordinate, und ein Polynom mit ausschließlich ungeraden Exponenten ungerade, d. h. punktsymmetrisch zum Ursprung (0, 0), ist. Der folgende Satz besagt, dass ein Polynom n-ten Grades durch seine n + 1 Koeffizienten bereits eindeutig bestimmt ist: Satz 14.3 (Eindeutigkeitssatz für Polynome) Es seien p(x) = ∑nk=0 akxk und q(x) = ∑n k=0 bkx k zwei Polynome n-ten Grades. Dann gilt p(x) = q(x) für alle x ∈ R genau dann, wenn ak = bk für alle k = 0, 1, . . . , n gilt. Beweis: Aus ak = bk für alle k = 0, 1, . . . , n erhält man unmittelbar, dass p(x) = q(x) für alle x ∈ R gilt. Umgekehrt folgt aus p(x) = q(x) für alle x ∈ R für x = 0 sofort a0 = b0. Nach Kürzung von x = 0 liefert dies insbesondere a1 + a2x + . . . + anxn−1 = b1 + b2x + . . . + bnxn−1 für alle x = 0. Da jedoch x = 0 betragsmäßig beliebig klein sein kann, impliziert dies auch a1 = b1 usw. Beispiel 14.4 (Anwendung des Eindeutigkeitssatzes) a) Die beiden Polynome p(x) = x4 +3x2 +7x+2 und q(x) = cx4 + (3d + e)x3 + 3x2 + f x + g stimmen genau dann überein, wenn c = 1, 3d+e = 0, f = 7 und g = 2 gilt. b) Für das Polynom p(x) = x3 + ax2 + bx + c gelte p(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) für alle x ∈ R mit x0, x1, x2 ∈ R. Durch Ausmultiplizieren der rechten Seite und Koeffizientenvergleich erhält man, dass für die Koeffizienten a, b und c a = −(x0 + x1 + x2), b = x0x1 + x1x2 + x0x2 und c = −x0x1x2 gelten muss. Ein Polynom 0-ten Grades ist eine konstante und deshalb auf ganz R eine beschränkte Funktion. Ein auf ganz R definiertes Polynom p(x) = anxn+an−1xn−1+. . .+a2x2+a1x+a0 vom Grad n ≥ 1 ist jedoch offensichtlich stets eine unbeschränkte Funktion (vgl. auch Abbildung 14.1) und wegen p(x) = anxn ( a0 anxn + a1 anxn−1 + . . .+ an−1 anx + 1 ) 371 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen n gerade n ungerade an positiv p rechts und links nach oben unbeschränkt p rechts nach oben und links nach unten unbeschränkt an negativ p rechts und links nach unten unbeschränkt p rechts nach unten und links nach oben unbeschränkt Tabelle 14.1: Verhalten des Graphen eines Polynoms p : R −→ R für betragsmäßig große x-Werte in Abhängigkeit des Leitkoeffizienten an und des Grades n −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −50 −40 −30 −20 −10 10 20 30 40 50 1 2 x5 p(x) −3 −2 −1 1 2 3 4 −50 −40 −30 −20 −10 10 20 30 40 50 − 4 5 x4 p(x) Abb. 14.2: Polynom p(x) = 12 x5 − 3x4 + 92 x3 − 12 x2 − 4x + 132 und Monom 12 x5 (links) sowie Polynom p(x) = − 45 x4 + 2x3 + 9 2 x 2 + 3x + 10 und Monom − 45 x4 (rechts) für an = 0 nähert sich der Graph von p für betragsmäßig große x-Werte dem Graphen des Monoms anxn an. Das heißt, es gilt lim |x|→∞ ∣∣ ∣∣ p(x) anxn − 1 ∣ ∣∣ ∣ = 0 und die grundsätzliche Gestalt des Graphen von p ist somit für betragsmäßig große x-Werte durch das Vorzeichen des Leitkoeffizienten an und durch den Grad des Polynoms (d. h. insbesondere dadurch, ob n gerade oder ungerade ist) bestimmt. Die Tabelle 14.1 gibt das Verhalten des Graphen eines Polynoms p : R −→ R für betragsmäßig große x-Werte in Abhängigkeit des Leitkoeffizienten an und des Grades n an (vgl. auch Abbildung 14.2). Polynomdivision In einigen Anwendungen ist es hilfreich oder sogar erforderlich, ein Polynom p durch ein anderes Polynom q mit 0 ≤ Grad(q) ≤ Grad(p) zu dividieren. Das dazu benötigte Rechenverfahren wird als Polynomdivision bezeichnet und liefert eine eindeutige Zerlegung der Form p(x) q(x) = h(x)+ r(x) q(x) mit einem Polynom h und einem sogenannten Restpolynom r . Genauer gilt: Satz 14.5 (Polynomdivision) Es seien p und q zwei Polynome mit 0 ≤ Grad(q) ≤ Grad(p). Dann besitzt p(x) q(x) die eindeutige Darstellung p(x) q(x) = h(x)+ r(x) q(x) , (14.2) wobei h und r Polynome mit Grad(h) = Grad(p) − Grad(q) bzw. Grad(r) < Grad(q) sind. 372 Kapitel 1414.1 Polynome Beweis: Die Polynome p und q seien gegeben durch p(x) :=∑n k=0 akxk und q(x) := ∑m k=0 bkxk mit n ≥ m und an, bm = 0. Dann gilt p(x) q(x) = an bm xn−m + p1(x) q(x) mit dem Polynom p1(x) := p(x)− anbm xn−mq(x), welches einen kleineren Grad als p besitzt, da sich der Term anxn herauskürzt. Gilt Grad(p1) < Grad(q), dann ist die Division mit Rest bereits beendet. Andernfalls, d. h. wenn p1(x) = ckxk + ck−1xk−1 + . . . + c1x + c0 mit ck = 0 und k ≥ Grad(q) gilt, wiederholt man den Rechenschritt für p1(x) q(x) und erhält p(x) q(x) = an bm xn−m + ck bm xk−m + p2(x) q(x) mit p2(x) := p1(x) − ckbm xk−mq(x) usw. Auf diese Weise resultiert nach endlich vielen Schritten die Darstellung (14.2) und durch Koeffizientenvergleich erhält man, dass diese Darstellung auch eindeutig ist. Ein wichtiger Spezialfall der Polynomdivision liegt vor, wenn ein Polynom p mit dem Grad n durch ein Polynom der Form x−x0, d. h. einen sogenannten Linearfaktor, dividiert wird. Das folgende Beispiel zeigt, dass die Polynomdivision völlig analog zur Division zweier ganzer Zahlen mit Rest erfolgt: Beispiel 14.6 (Polynomdivision) a) Das Polynom p(x) = x5 +x4 +x3 +x2 +x+1 soll durch das Polynom q(x) = x3 + 1 dividiert werden. Durch Polynomdivision erhält man ( x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) : (x3 + 1) = x2 + x + 1 − x5 − x2 x4 + x3 + x − x4 − x x3 + 1 − x3 − 1 0 Das heißt, bei der Division von p durch q bleibt kein Rest und für das Restpolynom gilt somit r(x) = 0. b) Das Polynom p(x) = 12x4 + x3 − 5x2 + 4x− 5 soll durch das Polynom q(x) = 3x2 + x − 2 dividiert werden. Durch Polynomdivision erhält man ( 12x4 + x3 − 5x2 + 4x − 5) : (3x2 + x − 2)= 4x2 − x + 43 + 2 3 x − 73 3x2 + x − 2 − 12x4 − 4x3 + 8x2 − 3x3 + 3x2 + 4x 3x3 + x2 − 2x 4x2 + 2x − 5 − 4x2 − 43 x + 83 2 3 x − 73 Das heißt, bei der Division von p durch q bleibt ein Rest, und das Restpolynom ist gegeben durch r(x) = 23x − 73 . Nullstellen von Polynomen Es sei pn ein Polynom vom Grad n ≥ 1. Dann folgt mit Satz 14.5, dass eine reelle Zahl x1 genau dann eine Nullstelle von pn ist, wenn es ein Polynom pn−1 vom Grad n− 1 mit der Eigenschaft pn(x) = (x − x1)pn−1(x) gibt. Mit anderen Worten: ein x1 ∈ R ist genau dann eine Nullstelle des Polynoms pn, wenn pn ohne Rest durch den Linearfaktor x− x1 dividiert werden kann. Das Resultat der Polynomdivision ist dann ein Polynom vom Grad n− 1. Der Linearfaktor x − x1 kann jedoch durchaus mehrfach in pn vorkommen. Nämlich dann, wenn auch pn−1(x1) = 0 gilt und deshalb pn−1 von der Form pn−1(x) = (x − x1)pn−2(x) ist. Man bezeichnet daher allgemein ein x1 ∈ R als Nullstelle oder Wurzel der Ordnung (Vielfachheit) k des Polynoms pn, wenn der Linearfaktor x−x1 genau k-mal in pn aufgeht. Das heißt, wenn es ein Polynom pn−k vom Grad n − k mit der Eigenschaft pn(x) = (x − x1)kpn−k(x) und pn−k(x1) = 0 (14.3) gibt. Da jedoch jede weitere Nullstelle x2 = x1 von pn offensichtlich auch eine Nullstelle des Polynoms pn−k sein muss, erhält man analog pn−k(x) = (x − x2)lpn−k−l (x), wobei l die Vielfachheit von x2 und pn−k−l ein Polynom vom Grad n − k − l mit pn−k−l (x2) = 0 ist usw. Diese Überlegungen führen zum folgenden Faktorisierungssatz für Polynome: 373 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen Satz 14.7 (Faktorisierungssatz über R für reelle Polynome) Es sei p ein Polynom n-ten Grades mit n ≥ 1 und x1, . . . , xr seien die verschiedenen reellen Nullstellen von p mit der jeweiligen Vielfachheit l1, . . . , lr . Dann besitzt p die Faktorisierung p(x)=(x − x1)l1(x − x2)l2 · · · (x − xr)lr q(x), (14.4) wobei q ein Polynom vom Grad n−∑ri=1 li ist, das keine reellen Nullstellen besitzt. Insbesondere gilt, dass p höchstens n Nullstellen besitzt. Beweis: Durch wiederholte Anwendung von (14.3) erhält man die Faktorisierung (14.4). Die Behauptung, dass p höchstens n Nullstellen besitzt, folgt aus der Tatsache, dass für die Anzahl der Nullstellen ∑r i=1 li = n− Grad(q) ≤ n gilt. Beispiel 14.8 (Anwendung des Faktorisierungssatzes über R) a) Das Polynom p(x) = x5 − 5x4 + 14x3 − 22x2 + 17x − 5 = (x − 1)3(x2 − 2x + 5) besitzt bei x1 = 1 eine dreifache Nullstelle und sonst keine weiteren reellen Nullstellen. Denn das Restpolynom q(x) = (x2 − 2x + 5) besitzt wegen (x2 − 2x + 5) = (x − 1)2 + 4 > 0 für alle x ∈ R keine reellen Nullstellen (vgl. Abbildung 14.3, links). b) Das Polynom p(x) = (x − 1)2(x + 4)3(x − 17) (x2 +1)(x2 +x+4) besitzt die zweifache Nullstelle x1 = 1, die 3-fache Nullstelle x2 = −4, die einfache Nullstelle x3 = 17 und sonst keine weiteren Nullstellen in R. Denn das Restpolynom q(x) = (x2+1) (x2 +x+4) besitzt wegen (x2 +1)(x2 +x+4) > 0 für alle x ∈ R keine reellen Nullstellen. Der Faktorisierungssatz 14.7 bezieht sich ausschließlich auf die reellen Nullstellen eines Polynoms p. Denn das Restpolynom q besitzt für ∑r i=1 li < n nur noch komplexe Nullstellen und kann nicht weiter in Faktoren (x− xi)li mit xi ∈ R zerlegt werden. Die Nullstellen eines Polynoms p(x) = anxn+ an−1xn−1+ . . .+a2x2+a1x+a0 vom Grad n ≥ 1 mit an = 0 sind jedoch nichts anderes als die Lösungen der algebraischen Gleichung anx n + an−1xn−1 + . . .+ a2x2 + a1x + a0 = 0. Mit dem Fundamentalsatz der Algebra 4.2 folgt daher, dass über der Menge C der komplexen Zahlen das Polynom p genau n (nicht notwendigerweise verschiedene) Nullstellen besitzt. Das heißt, wenn auch komplexe Nullstellen zugelassen werden, dann gilt für reelle Polynome der folgende Faktorisierungssatz: Satz 14.9 (Faktorisierungssatz über C für reelle Polynome) Es sei p ein Polynom n-ten Grades mit n ≥ 1 und x1, . . . , xr seien die verschiedenen komplexen Nullstellen von p mit der jeweiligen Vielfachheit l1, . . . , lr . Dann besitzt p die Faktorisierung p(x) = an(x − x1)l1(x − x2)l2 · · · (x − xr)lr , (14.5) wobei ∑r i=1 li = n gilt. Beweis: Siehe Ausführungen vor Satz 14.9. Beispiel 14.10 (Anwendung des Faktorisierungssatzes über C) a) Das Polynom p(x) = x2 +1 besitzt über R die Faktorisierung p(x) = x2 + 1 und über C die Faktorisierung p(x) = (x − i)(x + i) (vgl. Beispiel 4.3a). b) Das Polynom p(x) = x4 +1 besitzt über R die Faktorisierung p(x) = (x2 +√2x + 1)(x2 −√2x + 1) und über C die Faktorisierung (vgl. Beispiel 4.8c) und Abbildung 14.3, rechts) p(x) = ( x − 1√ 2 (−1 + i) )( x − 1√ 2 (−1 − i) ) · ( x − 1√ 2 (1 + i) )( x − 1√ 2 (1 − i) ) . c) Das Polynom p(x) = x5−5x4+17x3−13x2 besitzt über R die Faktorisierung p(x) = x2(x − 1)(x2 − 4x+13) und über C die Faktorisierung (vgl. Beispiel 4.8d)) p(z) = z2(z− 1)(z− 2 − 3i)(z− 2 + 3i). Das folgende Beispiel zeigt eine wirtschaftswissenschaftliche Anwendung von Polynomen: 374 Kapitel 1414.1 Polynome 1 2 −4 −2 0 2 4 l x1 p(x) −2 −1 0 1 2 4 8 12 16 p(x) Abb. 14.3: Polynome p(x) = x5 − 5x4 + 14x3 − 22x2 + 17x − 5 (links) und p(x) = x4 + 1 (rechts) Beispiel 14.11 (Cournotscher Punkt) Betrachtet wird ein Unternehmen, das der einzige Anbieter eines bestimmten Gutes ist (sog. Monopolist). Aufgrund dieser privilegierten Marktsituation (sog. Angebotsmonopol) muss das Unternehmen bei seiner Preisgestaltung nur auf die Nachfrage Rücksicht nehmen und nicht auch noch auf andere Wettbewerber. Das Unternehmen kann daher den Verkaufspreis gewinnmaximierend festsetzen und muss dabei lediglich berücksichtigen, dass ein höherer Preis p zu einem Rückgang der Nachfrage x am Markt führt, da bei einem höheren Preis in der Regel weniger Kunden bereit und in der Lage sind, diesen Preis zu bezahlen. A.-A. Cournot Das Gewinnmaximum eines Monopolisten wird nach dem französischen Mathematiker und Wirtschaftstheoretiker Antoine-Augustin Cournot (1801–1877) sehr oft auch als Cournotscher Punkt bezeichnet. Cournot war einer der Ersten, die den großen Nutzen der Analysis – insbesondere der Differential- und Integralrechnung – bei der Untersuchung wirtschaftswissenschaftlicher Fragestellungen erkannten. Er gilt deshalb als einer der Mitbegründer der mathematischen Wirtschaftstheorie. Im Folgenden wird angenommen, dass die Gesamtkosten des Monopolisten in Abhängigkeit der Nachfrage x ≥ 0 durch die quadratische Kostenfunktion k(x) = a1x + a2x2 mit den Konstanten a1, a2 > 0 gegeben sind und der Preis in Abhängigkeit von der Nachfrage x durch die Preis- Absatz-Funktion p(x) = b0 − b1x für 0 ≤ x ≤ b0 b1 mit den Konstanten b0 > 0 und b1 > 0 beschrieben werde. Für den Umsatz u und den Gewinn g erhält man somit die Funktionen u(x) = p(x)x = b0x − b1x2 bzw. g(x) = u(x)− k(x) = (b0 − a1)x − (b1 + a2)x2 für 0 ≤ x ≤ b0 b1 . Beim Umsatz u und Gewinn g handelt es sich somit jeweils um eine quadratische Funktion der Nachfrage x mit einem negativen Koeffizienten −b1 bzw. −(b1 + a2) vor dem quadratischen Term x2. Der Graph von u und g ist daher jeweils Teil einer nach unten ge- 375 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen öffneten Parabel und die Stelle des Gewinnmaximums (Cournotscher Punkt) bzw. des Umsatzmaximums ist durch den Scheitel des Graphen von g bzw. u gegeben. Mit (4.15) erhält man somit, dass für b0 > a1 das Gewinnmaximum bzw. das Umsatzmaximum in den Punkten ( b0 − a1 2(b1 + a2) , (b0 − a1)2 4(b1 + a2) ) bzw. ( b0 2b1 , b20 4b1 ) liegt. Im Falle von b0 ≤ a1 gilt für den Gewinn g(x) ≤ 0 für alle x ≥ 0 und der Monopolist besitzt dann keinen Anreiz zu produzieren. Die Abbildung 14.4 zeigt die Kostenfunktion k(x), die Preis-Absatz-Funktion p(x), die Umsatzfunktion u(x) und die Gewinnfunktion g(x) für b0 = 9, a1 = a2 = b1 = 1. Der maximale Gewinn wird bei der Nachfrage x0 = 2 erzielt und beträgt g(x0) = 8. Der maximale Umsatz resultiert dagegen erst bei x1 = 4,5 und beträgt u(x1) = 20,25. Allerdings ist der Gewinn dann negativ und das Unternehmen macht Verlust, da die Kosten den Umsatz übersteigen. Der zur gewinnmaximalen Nachfrage gehörende Preis beträgt p(2) = 7. Für das Gewinnmaximum (Cournotscher Punkt) ist es typisch, dass es vor dem Umsatzmaximum erreicht wird. 1 2 3 4 5 6 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 l l x0 x1 g(x) p(x) k (x) u (x) Cournotscher Punkt Abb. 14.4: Kostenfunktion k(x), Preis-Absatz-Funktion p(x), Umsatzfunktion u(x) und Gewinnfunktion g(x) eines Monopolisten für b0 = 9, a1 = a2 = b1 = 1 14.2 Rationale Funktionen Im letzten Abschnitt wurde mit den Polynomen (ganzrationalen Funktionen) p(x) = ∑nk=0 akxk die einfachste Klasse von reellen Funktionen betrachtet. Polynome sind aufgrund ihrer einfachen „Bauart“ und ihrer guten mathematischen Eigenschaften in gewisser Weise die Grundfunktionen für die gesamte Analysis. Polynome besitzen ferner die oftmals sehr hilfreiche Eigenschaft, dass Summen, Differenzen und Produkte von Polynomen wieder Polynome sind. Dies gilt jedoch im Allgemeinen nicht für den Quotienten von Polynomen. Diese Beobachtung führt zu der allgemeineren Klasse der rationalen Funktionen. Definition 14.12 (Rationale Funktion) Es seien p1(x) = n∑ k=0 akx k und p2(x) = m∑ k=0 bkx k zwei Polynome n-ten bzw. m-ten Grades. Dann heißt die reelle Funktion q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) : = p1(x) p2(x) = n∑ k=0 akx k m∑ k=0 bkxk 376 Kapitel 1414.2 Rationale Funktionen mit D = {x ∈ R : p2(x) = 0} rationale Funktion. Im Falle von Grad(p2) = 0, d. h. falls p2(x) = b0 = 0 für alle x ∈ R gilt, ist q ein Polynom (ganz-rationale Funktion). Gilt Grad(p2) > 0, dann heißt q gebrochenrationale Funktion, die für Grad(p2) > Grad(p1) ≥ 0 auch genauer als echt-gebrochen-rationale bzw. für 0 < Grad(p2) ≤ Grad(p1) als unecht-gebrochen-rationale Funktion bezeichnet wird. Polynome sind somit spezielle rationale Funktionen p1(x) p2(x) mit konstantem Nennerpolynom p2(x) = b0 = 0. Dies ist der Grund, weshalb Polynome auch ganz-rationale Funktionen genannt werden. Als Quotient zweier Polynome sind rationale Funktionen p1(x) p2(x) im Allgemeinen nicht auf der gesamten Menge R definiert, sondern auf der Menge R mit Ausnahme der endlich vielen Nullstellen des Nennerpolynoms p2(x) (vgl. Beispiele 14.13 und 14.16). In Beispiel 13.27c) wurde bereits gezeigt, dass eine rationale Funktion q mit ausschließlich geraden (ungeraden) Exponenten im Zähler und Nenner gerade und damit achsensymmetrisch zur Ordinate ist. Für eine rationale Funktion q mit ausschließlich geraden (ungeraden) Exponenten im Zähler und −3 −2 −1 1 2 3 −12 −8 −4 4 8 12 q(x) −2 −1 0 1 2 3 4 5 10 15 q(x) Abb. 14.5: Rationale Funktionen q(x) = 1x (links) und q(x) = 1(x−1)2 (rechts) ausschließlich ungeraden (geraden) Exponenten im Nenner wurde dagegen nachgewiesen, dass sie ungerade und damit punktsymmetrisch zum Ursprung (0, 0) ist. Beispiel 14.13 (Einfache echt-gebrochenrationale Funktionen) a) Die einfachste echt-gebrochen-rationale Funktion ist q : R \ {0} −→ R, q(x) = 1 x . Sie ist eine ungerade Funktion und damit punktsymmetrisch zum Ursprung (0, 0). Ihr Graph heißt Hyperbel (vgl. Abbildung 14.5, links). b) Die rationale Funktion q : R \ {1} −→ R, q(x) = 1 (x−1)2 ist echt-gebrochen-rational. Sie ist achsensymmetrisch zur senkrechten Geraden durch x = 1 (vgl. Abbildung 14.5, rechts). Rationale Funktionen treten in vielen wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen auf ganz natürliche Weise auf. Sind z. B. durch k(x), u(x) und g(x) die polynomiale Kostenfunktion, die polynomiale Umsatzfunktion und die polynomiale Gewinnfunktion eines Unternehmens gegeben, dann sind die Stückkostenfunktion, die Stückumsatzfunktion und die Stückgewinnfunktion durch die gebrochenrationalen Funktionen k(x) x , u(x) x und g(x) x gegeben. 377 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen Beispiel 14.14 (Stückkosten-, Stückumsatz- und Stückgewinnfunktion) Betrachtet wird ein Unternehmen mit folgender Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktion in Abhängigkeit von der Nachfrage x (vgl. auch Beispiel 14.11): k(x) = 1 5 x3 − x2 + 2x + 8 u(x) = −x2 + 9x g(x) = u(x)− k(x) = −1 5 x3 + 7x − 8 Die zugehörige Stückkosten-, Stückumsatz- bzw. Stückgewinnfunktion erhält man, indem die Kosten, der Umsatz und der Gewinn auf die Nachfrage x bezogen werden: k(x) x = 1 5x 3 − x2 + 2x + 8 x = 1 5 x2 − x + 2 + 8 x u(x) x = −x 2 + 9x x = −x + 9 g(x) x = − 1 5x 3 + 7x − 8 x = −1 5 x2 + 7 − 8 x Die Funktionen k(x) x , u(x) x und g(x) x geben die durchschnittlichen Kosten, den durchschnittlichen Umsatz bzw. den durchschnittlichen Gewinn pro abgesetzter Produktionseinheit an (vgl. Abbildung 14.6). 1 2 3 4 5 6 −10 −5 0 5 10 15 20 25 k(x) u(x) g(x) 1 2 3 4 5 6 −10 −5 0 5 10 15 20 25 k(x) x u(x) x g(x) x Abb. 14.6: Die Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktion k(x), u(x) bzw. g(x) (links) sowie die Stückkosten-, Stückumsatz- und Stückgewinnfunktion k(x)x , u(x) x bzw. g(x) x (rechts) Eigenschaften von rationalen Funktionen Der folgende Satz besagt, dass das Vielfache, die Summe, die Differenz, das Produkt und der Quotient von rationalen Funktionen wieder rationale Funktionen sind: Satz 14.15 (Rechenoperationen bei rationalen Funktionen) Es seien q1 : D1 ⊆ R −→ R und q2 : D2 ⊆ R −→ R zwei rationale Funktionen und α ∈ R. Dann sind a) (αq1) : D1 −→ R, x %→ αq1(x), b) (q1 + q2) : D1 ∩D2 −→ R, x %→ q1(x)+ q2(x), c) (q1 − q2) : D1 ∩D2 −→ R, x %→ q1(x)− q2(x), d) (q1 · q2) : D1 ∩D2 −→ R, x %→ q1(x) · q2(x) und e) ( q1 q2 ) : D −→ R, x %→ q1(x) q2(x) mit D := D1 ∩ (D2 \ {x ∈ D2 : q2(x) = 0}) rationale Funktionen. 378 Kapitel 1414.2 Rationale Funktionen Beweis: Es seien p11, p12, p21, p22 Polynome und q1 := p11 p12 , q2 := p21p22 zwei rationale Funktionen. Dann gilt αq1(x) = α p11(x) p12(x) , q1(x)+ q2(x) = p11(x)p22(x)+ p21(x)p12(x) p12(x)p22(x) , q1(x)− q2(x) = p11(x)p22(x)− p21(x)p12(x) p12(x)p22(x) , q1(x) · q2(x) = p11(x)p21(x) p12(x)p22(x) und q1(x) q2(x) = p11(x)p22(x) p12(x)p21(x) . Das heißt, die reellen Funktionen αq1, q1+q2, q1−q2, q1q2 und q1 q2 können jeweils als Quotienten zweier Polynome dargestellt werden. Es handelt sich somit um rationale Funktionen. Beispiel 14.16 (Unecht-gebrochen-rationale Funktionen) a) Die rationale Funktion q : R\{−1,−2, 1, 2}−→R, q(x) = − 13 x6−2x4+3x2+1 (x2−1)(x2−4) ist unecht-gebrochen-rational. Sie ist eine gerade Funktion und damit achsensymmetrisch zur Ordinate (vgl. Abbildung 14.7, links). −8 −4 4 8 −40 −20 20 40 q(x) −8 −4 4 8 −40 −20 20 40 q(x) Abb. 14.7: Rationale Funktionen q(x) = − 1 3 x 6−2x4+3x2+1 (x2−1)(x2−4) (links) und q(x) = − 12 x4+4x2−2 x(x2−1) (rechts) b) Die rationale Funktion q : R \ {−1, 0, 1} −→ R, q(x) = − 12 x4+4x2−2 x(x2−1) ist unecht-gebrochen-rational. Sie ist eine ungerade Funktion und damit punktsymmetrisch zum Ursprung (0, 0) (vgl. Abbildung 14.7, rechts). Euklidischer Algorithmus für Polynome Ist q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) := p1(x) p2(x) eine rationale Funktion und x0 eine k- und l-fache Nullstelle von p1 bzw. p2, dann erhält man für q mit dem Faktorisierungssatz 14.7 die Darstellung q(x) = (x − x0) kg1(x) (x − x0)lg2(x) = (x − x0) k−l g1(x) g2(x) , wobei g1 und g2 Polynome mit Grad(p1)−k bzw. Grad(p2)−l sind. Das heißt, bei einer rationalen Funktion q = p1 p2 kann durch Kürzen der gemeinsamen Nullstellen von Zähler und Nenner stets erreicht werden, dass Zähler und Nenner von q keine gemeinsamen Nullstellen mehr besitzen (vgl. Beispiel 14.17a)). Mit Satz 14.5 erhält man, dass eine rationale Funktion q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) := p1(x) p2(x) durch Polynomdivision stets eindeutig in eine Summe q(x) = p(x)+ r(x) p2(x) 379 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen bestehend aus einem Polynom (ganz-rationale Funktion) p und einer echt-gebrochen-rationalen Funktion r p2 zerlegt werden kann (vgl. Beispiel 14.17b)). Beispiel 14.17 (Kürzen und Zerlegen von rationalen Funktionen) a) Die Polynome im Zähler und Nenner der gebrochenrationalen Funktion q(x) = x 4 − 2x3 + x2 x2 − 1 besitzen die gemeinsame Nullstelle x0 = 1. Durch Kürzen erreicht man, dass Zähler und Nenner von q keine gemeinsame Nullstelle mehr besitzen: q(x) = x 4 − 2x3 + x2 x2 − 1 = (x − 1)2x2 (x − 1)(x + 1) = (x − 1)2−1 x 2 x + 1 = (x − 1)x2 x + 1 b) Für die gebrochen-rationale Funktion q(x) = 2x 6 + 2 x4 − 5x2 + 4 erhält man mit Polynomdivision die eindeutige Zerlegung ( 2x6 + 2 ) : (x4 − 5x2 + 4) − 2x6 + 10x4 − 8x2 10x4 − 8x2 + 2 − 10x4 + 50x2 − 40 4x2 − 38 = 2x2 + 10 + 42x 2 − 38 x4 − 5x2 + 4 . Das heißt, die rationale Funktion lässt sich eindeutig in die ganz-rationale Funktion p(x) = 2x2 + 10 und die echt-gebrochen-rationale Funktion r(x) p2(x) = 42x2−38 x4−5x2+4 zerlegen. Ein Polynom d heißt Teiler eines Polynoms p, wenn es ein weiteres Polynom p0 mit p(x) = d(x)p0(x) gibt. Für rationale Funktionen q = p1 p2 ist es z. B. oftmals für die Bestimmung des Definitionsbereiches oder für Grenzwertbetrachtungen notwendig, die gemeinsamen Teiler der Polynome p1 und p2 zu kürzen. Hierfür ist der folgende Satz hilfreich: Satz 14.18 (Gemeinsamer Teiler von Polynomen) Es seien p1 und p2 zwei Polynome mit Grad(p1) ≥ Grad(p2) ≥ 0 und es gelte p1(x) p2(x) = h(x)+ r(x) p2(x) , wobei h und r zwei Polynome sind. Dann ist ein Polynom d genau dann ein gemeinsamer Teiler von p1 und p2, wenn d ein gemeinsamer Teiler von r und p2 ist. Beweis: Das Polynom d sei ein gemeinsamer Teiler von p1 und p2, dann gibt es zwei Polynome p0 und q0 mit p1(x) = d(x)p0(x) bzw. p2(x) = d(x)q0(x). Daraus folgt jedoch r(x) = p1(x)− h(x)p2(x) = d(x)(p0(x)− h(x)q0(x)). Das heißt, d ist auch ein Teiler von r . Sei umgekehrt das Polynom d ein gemeinsamer Teiler von r und p2, dann gibt es zwei Polynome r0 und q0 mit r(x) = d(x)r0(x) bzw. p2(x) = d(x)q0(x) und es gilt p1(x) = p2(x)h(x)+ r(x) = d(x)(q0(x)h(x)+ r0(x)). Das heißt, d ist auch ein Teiler von p1. Papyrusfragment von „Die Elemente“, Euklids Hauptwerk Der Satz 14.18 besagt, dass mittels Polynomdivision (vgl. Abschnitt 14.1) die Bestimmung der gemeinsamen Teiler zweier Polynome p und q auf die Bestimmung der gemeinsamen Teiler zweier Polynome r und q kleineren Grades reduziert werden kann. Durch diesen Reduktionsschritt kann – nach eventuell mehrfacher Wiederholung – der dem Grad nach größte gemeinsame Teiler der beiden Polynome p und q bestimmt und anschließend gekürzt werden. Dieses Vorgehen wird nach dem griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria (ca. 360–280 v. Chr.) als euklidischer Algorithmus für Polynome bezeichnet (vgl. Beispiel 14.19). Beispiel 14.19 (Anwendung euklidischer Algorithmus) Die gebrochen-rationale Funktion q(x) = x 4 − 2x3 − 2x2 − 2x − 3 x4 − 3x3 − 7x2 + 15x + 18 380 Kapitel 1414.2 Rationale Funktionen kann mit dem euklidischen Algorithmus auf eine gekürzte Bruchdarstellung gebracht werden, indem die gemeinsamen Teiler der Polynome p1(x) = x4−2x3−2x2−2x−3 und p2(x) = x4−3x3−7x2+15x+18 bestimmt werden. Durch wiederholte Polynomdivision erhält man: p1(x) p2(x) =1+ r(x) p2(x) mit r(x)=x3+5x2−17x−21, p2(x) r(x) =x−8+ r1(x) r(x) mit r1(x)=50(x2−2x−3) und r(x) r1(x) = 1 50 (x+7) Somit ist r1(x) = 50(x2−2x−3) der größte gemeinsame Teiler von r und r1. Mit Satz 14.18 folgt, dass r1 auch der größte gemeinsame Teiler von p2 und r sowie von p1 und p2 ist. Durch Kürzen von x2 −2x−3 erhält man schließlich die gebrochen-rationale Funktion q(x) = x 2 + 1 (x + 2)(x − 3) mit dem Definitionsbereich D = R \ {−2, 3}. Partialbruchzerlegung Aus den obigen Ausführungen ist bereits bekannt, dass jede rationale Funktion q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) = p1(x) p2(x) eindeutig in die Form q(x) = p(x)+ r(x) p2(x) zerlegt werden kann, wobei p ein Polynom (ganz-rationale Funktion) und r p2 eine echt-gebrochen-rationale Funktion ist. Das heißt, es gilt Grad(p2) > Grad(r). Mit anderen Worten: Jede rationale Funktion kann in einen einfachen Teil, nämlich ein Polynom, und einen nicht so einfachen Teil, nämlich eine echt-gebrochen-rationale Funktion, zerlegt werden. Für viele Anwendungen, wie z. B. die Integration rationaler Funktionen in Abschnitt 19.8, ist es von entscheidender Bedeutung, eine echt-gebrochen-rationale Funktion in eine Summe einfacherer Ausdrücke, die sogenannten Partialbrüche, zerlegen zu können. Der folgende Satz besagt, dass dies grundsätzlich möglich ist, und er gibt Auskunft darüber, wie eine solche Partialbruchzerlegung einer echt-gebrochenrationalen Funktion aussieht: Satz 14.20 (Partialbruchzerlegung) Es sei q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) = p1(x) p2(x) eine echt-gebrochen-rationale Funktion (d. h. Grad(p2) > Grad(p1)) und das Nennerpolynom p2 besitze die Faktorisierung p2(x) = an(x − x1)l1 · · · (x − xr)lr (x2 + c1x + d1)m1 · · · (x2 + csx + ds)ms , wobei xi ∈ R paarweise verschiedene Nullstellen der Vielfachheit li sind und die quadratischen Polynome x2+ cix + di für i = 1, . . . , s keine reellen Nullstellen besitzen. Dann lässt sich q auf genau eine Weise als Summe der Form q(x) = a11 x − x1 + a12 (x − x1)2 + . . .+ a1l1 (x − x1)l1 + . . . . . . + ar1 x − xr + ar2 (x − xr)2 + . . .+ arlr (x − xr)lr + α11x + β11 x2 + c1x + d1 + α12x + β12 (x2 + c1x + d1)2 + . . . + α1m1x + β1m1 (x2 + c1x + d1)m1 + . . . . . . (14.6) + αs1x + βs1 x2 + csx + ds + αs2x + βs2 (x2 + csx + ds)2 + . . . + αsms x + βsms (x2 + csx + ds)ms = r∑ i=1 li∑ j=1 aij (x − xi)j + s∑ i=1 mi∑ j=1 αij x + βij (x2 + cix + di)j mit reellen Zahlen aij , αij , βij , ci , di ∈ R darstellen. Beweis: Siehe z. B. Heuser [25], Seiten 403–404. Die Zerlegung (14.6) wird als die Partialbruchzerlegung der echt-gebrochen-rationalen Funktion q bezeichnet und die Ausdrücke aij (x − xi)j und αij x + βij (x2 + cix + di)j (14.7) auf der rechten Seite von (14.6) heißen Partialbrüche 1. Art bzw. Partialbrüche 2. Art. Wie bereits erwähnt ist die Partialbruchzerlegung z. B. ein wichtiges Hilfsmittel für die Integration rationaler Funktionen (siehe Abschnitt 19.8). 381 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen Werden als Nullstellen des Polynoms p2 in Satz 14.20 auch komplexe Zahlen zugelassen, dann kann eine echt-gebrochen-rationale Funktion sogar in Partialbrüche ausschließlich der einfachen Form aij (x−xi )j zerlegt werden (vgl. z. B. Heuser [25]). Die explizite Partialbruchzerlegung einer echt-gebrochenrationalen Funktion q = p1 p2 mit Grad(p2) > Grad(p1) erfolgt in den folgenden drei Schritten: 1. Faktorisierung: Berechnung der reellen Nullstellen des Nennerpolynoms p2 und Bestimmung seiner Faktorisierung p2(x) = an(x − x1)l1 · · · (x − xr)lr (x2 + c1x + d1)m1 · · · (x2 + csx + ds)ms mit paarweise verschiedenen Nullstellen xi ∈ R der Vielfachheit li und quadratischen Polynomen x2 + cix + di , die keine reellen Nullstellen besitzen. Das heißt, in diesem Schritt werden die Koeffizienten ci, di, an bestimmt. 2. Partialbruchansatz: Die echt-gebrochen-rationale Funktion q = p1 p2 wird als Summe der Partialbrüche (14.7) mit den noch unbekannten Koeffizienten aij , αij , βij dargestellt. Auf diese Weise resultiert die Gleichung p1(x) p2(x) = r∑ i=1 li∑ j=1 aij (x − xi)j + s∑ i=1 mi∑ j=1 αij x + βij (x2 + cix + di)j . (14.8) 3. Koeffizientenvergleich und/oder Einsetzmethode: Die rechte Seite von (14.8) wird auf den gemeinsamen Nenner p2 gebracht. Anschließend werden die Zählerpolynome auf der linken und auf der rechten Seite miteinander verglichen. Auf diese Weise resultiert durch Koeffizientenvergleich oder Einsetzen spezieller x-Werte (etwa der Nullstellen xi von p2 oder anderen bequem zu berechnenden Werte) ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten aij , αij , βij des Partialbruchansatzes (14.8). Wie das folgende Beispiel 14.21c) zeigt, führt bei der Partialbruchzerlegung einer echt-gebrochen-rationalen Funktion in manchen Fällen eine Kombination aus Koeffizientenvergleich und Einsetzmethode am schnellsten zum Ziel. Beispiel 14.21 (Partialbruchzerlegung) a) Betrachtet wird die echt-gebrochen-rationale Funktion q(x) = p1(x) p2(x) = 1 (x − 1)(x − 2)(x − 3) . 1. Faktorisierung: Das Nennerpolynom p2 ist bereits faktorisiert. Die Faktorisierung (x−1)(x−2)(x−3) ist Ausgangspunkt für die Partialbruchzerlegung. 2. Partialbruchansatz: Gemäß Satz 14.20 besitzt q die Zerlegung p1(x) p2(x) = a11 x − 1 + a21 x − 2 + a31 x − 3 (14.9) mit noch zu bestimmenden Koeffizienten a11, a21, a31. 3. Einsetzmethode: Die rechte Seite von (14.9) wird auf den gemeinsamen Nenner p2 gebracht und durch einen anschließenden Vergleich der Zählerpolynome auf der rechten und linken Seite erhält man 1 = a11(x − 2)(x − 3)+ a21(x − 1)(x − 3) + a31(x − 1)(x − 2). (14.10) Werden die Werte x1 = 1, x2 = 2 und x3 = 3 nacheinander in die linke und rechte Seite von (14.10) eingesetzt, erhält man die Werte a11 = 1 2 , a21 = −1 und a31 = 1 2 . Die rationale Funktion q besitzt somit die Partialbruchzerlegung q(x) = 1 2(x − 1) − 1 x − 2 + 1 2(x − 3) . b) Betrachtet wird die echt-gebrochen-rationale Funktion q(x) = p1(x) p2(x) = x 2 + x + 1 (x − 1)3(x − 2) . 1. Faktorisierung: Das Nennerpolynom p2 ist bereits faktorisiert. Die Faktorisierung (x − 1)3(x − 2) ist Ausgangspunkt für die Partialbruchzerlegung. 382 Kapitel 1414.2 Rationale Funktionen 2. Partialbruchansatz: Gemäß Satz 14.20 besitzt q die Zerlegung p1(x) p2(x) = a11 x − 1 + a12 (x − 1)2 + a13 (x − 1)3 + a21 x − 2 (14.11) mit noch zu bestimmenden Koeffizienten a11, a12, a13, a21. 3. Koeffizientenvergleich: Die rechte Seite von (14.11) wird auf den gemeinsamen Nenner p2 gebracht und durch einen anschließenden Vergleich der Zählerpolynome auf der rechten und linken Seite erhält man x2+x+1 = a11(x−1)2(x−2)+a12(x−1)(x−2) + a13(x−2)+a21(x−1)3. (14.12) Zusammenfassen der Monome gleichen Grades auf der rechten Seite von (14.12) liefert x2+x+1=x3(a11+a21)+x2(−4a11 + a12 − 3a21) + x(5a11 − 3a12 + a13 + 3a21) − 2a11 + 2a12 − 2a13 − a21. (14.13) Ein Vergleich der Koeffizienten auf der linken und rechten Seite von (14.13) liefert für die vier Unbekannten a11, a12, a13, a21 das lineare Gleichungssystem: a11 + a21 = 0 −4a11 + a12 − 3a21 = 1 5a11 − 3a12 + a13 + 3a21 = 1 −2a11 + 2a12 − 2a13 − a21 = 1 Durch Lösen dieses linearen Gleichungssystems erhält man die Werte a11 = −7, a12 = −6, a13 = −3 und a21 = 7. Die rationale Funktion q besitzt somit die Partialbruchzerlegung x2 + x + 1 (x − 1)3(x − 2) = − 7 x − 1 − 6 (x − 1)2 − 3 (x − 1)3 + 7 x − 2 . c) Betrachtet wird die echt-gebrochen-rationale Funktion q(x) = p1(x) p2(x) = x 3 − 10x2 + 7x − 3 x4 + 2x3 − 2x2 − 6x + 5 . 1. Faktorisierung: Das Nennerpolynom p2 besitzt die Nullstelle x1 = 1 und die Polynomdivision p2(x)(x−1) liefert ein Polynom dritten Grades, das ebenfalls x1 = 1 als Nullstelle besitzt. Das heißt, x1 = 1 ist mindestens eine doppelte Nullstelle von p2. Die Polynomdivision p2(x) (x−1)2 liefert x4 + 2x3 − 2x2 − 6x + 5 = (x − 1)2(x2 + 4x + 5). (14.14) Durch Anwendung der a-b-c Formel (4.8) erhält man, dass das quadratische Polynom x2+4x+5 keine reellen Nullstellen besitzt. Damit ist die Faktorisierung (14.14) Ausgangspunkt für die Partialbruchzerlegung. 2. Partialbruchansatz: Gemäß Satz 14.20 besitzt q die Zerlegung x3 − 10x2 + 7x − 3 x4 + 2x3 − 2x2 − 6x + 5 = a11 x − 1 + a12 (x − 1)2 + α11x + β11 x2 + 4x + 5 (14.15) mit noch zu bestimmenden Koeffizienten a11, a12, α11, β11. 3. Koeffizientenvergleich und Einsetzmethode: Die rechte Seite von (14.15) wird auf den gemeinsamen Nenner p2 gebracht und durch einen anschließenden Vergleich der Zählerpolynome auf der rechten und linken Seite erhält man x3−10x2+7x−3 = a11(x − 1)(x2 + 4x + 5) + a12(x2 + 4x + 5) (14.16) + (α11x + β11)(x − 1)2. Einsetzen von x1 = 1 in die linke und rechte Seite von (14.16) liefert −5 = 10a12 bzw. a12 = − 12 . Durch Einsetzen von a12 = − 12 in (14.16) und Subtraktion von − 12 (x2 + 4x + 5) erhält man x3 − 19 2 x2 + 9x − 1 2 = a11(x − 1)(x2 + 4x + 5) + (α11x + β11)(x − 1)2 (14.17) 383 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen und Zusammenfassen der Monome gleichen Grades auf der rechten Seite von (14.17) liefert x3 − 19 2 x2 + 9x − 1 2 = (a11 + α11)x3 + (3a11 − 2α11 + β11)x2 + (a11 + α11 − 2β11)x + β11 − 5a11. (14.18) Ein Vergleich der Koeffizienten auf der linken und rechten Seite von (14.18) liefert für die drei Unbekannten a11, α11, β11 das lineare Gleichungssystem: a11 + α11 = 1 3a11 − 2α11 + β11 = −19 2 a11 + α11 − 2β11 = 9 β11 − 5a11 = −1 2 Durch Lösen dieses linearen Gleichungssystems erhält man die Werte a11 = − 7 10 , α11 = 17 10 und β11 = −4. Die rationale Funktion q besitzt somit die Partialbruchzerlegung x3 − 10x2 + 7x − 3 x4 + 2x3 − 2x2 − 6x + 5 = − 7 10(x − 1) − 1 2(x − 1)2 + 17 10x − 4 x2 + 4x + 5 . Definitionsbereich Eine rationale Funktion q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) = p1(x) p2(x) mit dem Definitionsbereich D = {x ∈ R : p2(x) = 0} ist erst dann endgültig festgelegt, wenn ihr maximal möglicher Definitionsbereich bestimmt worden ist. Dazu ist es jedoch notwendig, die Nullstellen des Zähler- und des Nennerpolynoms p1 bzw. p2 zu ermitteln. Im Folgenden sei angenommen, dass x0 ∈ R eine Nullstelle des Zählerpolynoms p1 der Vielfachheit k ∈ N0 und eine Nullstelle des Nennerpolynoms p2 der Vielfachheit l ∈ N0 ist. Das heißt, im Falle von p1(x0) = 0 oder p2(x0) = 0 gilt k = 0 bzw. l = 0. Dann erhält man mit dem Faktorisierungssatz 14.7 und durch anschließendes Kürzen für die rationale Funktion q die Darstellung q(x) = (x − x0) kg1(x) (x − x0)lg2(x) = (x − x0) k−l g1(x) g2(x) , (14.19) wobei g1 und g2 Polynome sind, für die g1(x0) = 0 und g2(x0) = 0 gilt. Aus dieser Darstellung ist unmittelbar ersichtlich, dass für die Stelle x0 die folgenden drei Fälle zu unterscheiden sind: 1) Für l > k besitzt q eine Polstelle in x0. Denn dann gilt lim x→x0 |q(x)| = ∞. Der Wert x0 wird oft genauer auch als (l−k)-fache Polstelle von q bezeichnet und q besitzt die vertikale Asymptote x = x0 (vgl. Abschnitt 13.12). In diesem Fall kann der Definitionsbereich D von q nicht um die Stelle x0 erweitert werden. 2) Für l = k definiert man – motiviert durch die Darstellung (14.19) – q(x0) := g1(x0) g2(x0) und der Definitionsbereich D von q kann um die Stelle x0 erweitert werden (vgl. auch (15.5) und Beispiel 15.11a)). 3) Für k > l definiert man – ebenfalls motiviert durch die Darstellung (14.19) – q(x0) := 0. Das heißt, der Definitionsbereich D von q kann wieder um die Stelle x0 erweitert werden (vgl. auch (15.6) und Beispiel 15.11b)) und x0 ist dann eine (k− l)-fache Nullstelle von q. Mit anderen Worten: Ist die Vielfachheit einer Stelle x0 ∈ R als Nullstelle des Zählerpolynoms p1 einer rationalen Funktion q = p1 p2 gleich groß oder größer als ihre Vielfachheit als Nullstelle des Nennerpolynoms p2, dann kann der Definitionsbereich D von q um die Stelle x0 erweitert werden. Ist dagegen die Vielfachheit von x0 als Nullstelle des Zählerpolynoms p1 echt kleiner als ihre Vielfachheit als Nullstelle des Nennerpolynoms p2, dann kann der Definitionsbereich D von q nicht um die Stelle x0 erweitert werden. Der Wert x0 ist dann eine Polstelle und x = x0 eine vertikale Asymptote von q. 384 Kapitel 1414.2 Rationale Funktionen Asymptoten und Näherungskurven Oftmals liefert die Untersuchung einer rationalen Funktion q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) = p1(x) p2(x) auf vertikale und horizontale Asymptoten sowie Näherungskurven mit relativ wenig Aufwand einen guten Einblick bezüglich des Kurvenverlaufes von q. Weiter oben wurde bereits erläutert, dass eine rationale Funktion q an der Stelle x0 genau dann die vertikale Asymptote x = x0 besitzt, wenn die Vielfachheit von x0 als Nullstelle von p1 kleiner ist als von p2. Gemäß Abschnitt 13.12 wird eine reelle Funktion h als Näherungskurve der rationalen Funktion q für |x| → ∞ bezeichnet, falls lim |x|→∞ |q(x)− h(x)| = 0 (14.20) gilt. Für eine echt-gebrochen-rationale Funktion q = p1 p2 , d. h. eine rationale Funktion q = p1 p2 mit Grad(p2) > Grad(p1), gilt jedoch lim |x|→∞ q(x) = 0 (14.21) (dies ist offensichtlich, wenn man Zähler- und Nennerpolynom p1 bzw. p2 durch das Monom xn mit der höchsten Potenz dividiert; vgl. dazu auch Beispiel 14.23a)). Das heißt, eine echt-gebrochen-rationale Funktion besitzt stets die Näherungskurve (horizontale Asymptote) h(x) = 0. Ist q = p1 p2 dagegen eine unecht-gebrochen-rationale Funktion, d. h. eine rationale Funktion q = p1 p2 mit Grad(p1) ≥ Grad(p2), dann folgt mit Satz 14.5, dass q durch Polynomdivision wie folgt zerlegt werden kann q(x) = h(x)+ r(x) p2(x) , (14.22) wobei h und r Polynome mit Grad(h) = Grad(p1) − Grad(p2) und Grad(r) < Grad(p2) sind. Folglich ist r(x) p2(x) eine echt-gebrochen-rationale Funktion und es gilt daher analog zu (14.21) lim |x|→∞ r(x) p2(x) = 0. Zusammen mit (14.22) impliziert dies jedoch (14.20) und somit insbesondere, dass sich die Funktion q für betragsmäßig große x wie das Polynom h verhält. Das heißt, der ganz-rationale Anteil h(x) einer rationalen Funktion q(x) = p1(x) p2(x) = h(x) + r(x) p2(x) ist eine Näherungkurve von q. Damit ist der folgende Satz bewiesen: Satz 14.22 (Existenz von Näherungskurven für rationale Funktionen) Es sei q : D ⊆ R −→ R, x %→ q(x) eine rationale Funktion. Dann gilt: a) Ist q eine echt-gebrochen-rationale Funktion, dann besitzt q die horizontale Asymptote h(x) = 0 für |x| → ∞. b) Ist q eine unecht-gebrochen-rationale Funktion und q(x) = h(x)+ r(x) p2(x) ihre durch Polynomdivision resultierende Zerlegung, dann besitzt q die Näherungskurve h(x) für |x| → ∞. Beweis: Siehe Ausführungen unmittelbar vor Satz 14.22. Für eine rationale Funktion q(x) = p1(x) p2(x) = ∑n k=0 akxk∑m k=0 bkxk mit an, bm = 0 sind die vier wichtigsten Fälle von Näherungskurven h(x) für |x| → ∞ gegeben durch: 1) Gilt n < m, dann besitzt q die horizontale Asymptote h(x) = 0 (vgl. Beispiel 14.23a)). 2) Gilt n = m, dann besitzt q die horizontale Asymptote h(x) = an bn (vgl. Beispiel 14.23b)). 3) Gilt n = m + 1, dann besitzt q eine lineare Näherungskurve (schiefe Asymptote) h(x) = ax + b mit a = an bm (vgl. Beispiel 14.24a)). 4) Gilt n = m+ 2, dann besitzt q eine quadratische Näherungskurve h(x) = ax2 + bx+ c (vgl. Beispiel 14.24b)). Für horizontale Asymptoten bei einer echt-gebrochenrationalen und einer unecht-gebrochen-rationalen Funktion siehe das folgende Beispiel: Beispiel 14.23 (Horizontale Asymptoten bei einer rationalen Funktion) a) Für die echt-gebrochen-rationale Funktion f (x) = 3x−5 4x2+3x−7 gilt lim |x|→∞ f (x) = lim |x|→∞ 3x − 5 4x2 + 3x − 7 = lim |x|→∞ 3 x − 5 x2 4 + 3 x − 7 x2 = 0. Das heißt, f besitzt die horizontale Asymptote h(x) = 0 (vgl. Abbildung 14.8, links). 385 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen −10 −5 5 10 −10 −5 5 10 f (x) h(x) = 0 −15 −10 −5 5 10 15 −15 −10 −5 5 10 15 f (x) h(x) = 2 Abb. 14.8: Rationale Funktionenf (x) = 3x−5 4x2+3x−7 mit horizontaler Asymptoteh(x) = 0 (links) undf (x) = 2x2+1 x2−x−6 mit horizontaler Asymptote h(x) = 2 (rechts) b) Für die unecht-gebrochen-rationale Funktion f (x) = 2x2+1 x2−x−6 gilt lim |x|→∞ f (x) = lim |x|→∞ 2x2 + 1 x2 − x − 6 = lim |x|→∞ 2 + 1 x2 1 − 1 x − 6 x2 = 2. Folglich besitzt f die horizontale Asymptote h(x) = 2 (vgl. Abbildung 14.8, rechts). Für lineare und quadratische Näherungskurven bei unechtgebrochen-rationalen Funktionen siehe das folgende Beispiel: Beispiel 14.24 (Näherungskurven bei einer rationalen Funktion) a) Für die unecht-gebrochen-rationale Funktion f (x) = x2+3x−4 x−2 erhält man mittels Polynomdivision f (x) = x 2 + 3x − 4 x − 2 = x + 5 + 6 x − 2 . Das heißt, f besitzt die lineare Näherungskurve (schiefe Asymptote) h(x) = x + 5 (vgl. Abbildung 14.9, links). b) Für die unecht-gebrochen-rationale Funktion f (x) = 2x6+2 x4−5x2+4 erhält man mittels Polynomdivision f (x) = 2x 6 + 2 x4 − 5x2 + 4 = 2x 2 + 10 + 42x 2 − 38 x4 − 5x2 + 4 (vgl. Beispiel 14.17b)). Folglich besitzt f die quadratische Näherungskurve h(x) = 2x2 + 10 (vgl. Abbildung 14.9, rechts). 14.3 Algebraische und transzendente Funktionen In Abschnitt 14.2 wurden rationale Funktionen betrachtet. Diese sind dadurch charakterisiert, dass sie sich durch endlich viele Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen und/oder Divisionen aus einer reellen Variablen x erzeugen lassen. Darüber hinaus gibt es jedoch auch Funktionen, die nicht auf diese einfache Weise aus einer Variablen x erzeugt werden können. Ein Beispiel hierfür ist durch die Umkehrfunktion von f : [0,∞) −→ R, x %→ xn, d. h. also durch die Wurzelfunktion f −1 : [0,∞) −→ R, x %→ n√x, 386 Kapitel 1414.3 Algebraische und transzendente Funktionen −10 −5 5 10 −15 −10 −5 5 10 15 20 f (x) h(x) = x + 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −100 −75 −50 −25 25 50 75 100 f (x) h(x) = 2x2 + 10 Abb. 14.9: Rationale Funktionen f (x) = x2+3x−4 x−2 mit linearer Näherungskurve h(x) = x + 5 (links) und f (x) = 2x 6+2 x4−5x2+4 mit quadratischer Näherungskurve h(x) = 2x2 + 10 (rechts) gegeben. Bei dieser Funktion handelt es sich um keine rationale Funktion. Eine Verallgemeinerung der Klasse der rationalen Funktionen, welche auch solche Wurzelfunktionen umfasst, ist durch die Klasse der algebraischen Funktionen gegebenen. Eine reelle Funktion, die keine algebraische Funktion ist, wird dagegen als transzendente Funktion bezeichnet. Definition 14.25 (Algebraische und transzendente Funktion) Eine reelle Funktion f : D ⊆ R −→ R heißt algebraisch, wenn alle Punkte (x, y) ihres Graphen Graph(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y = f (x) und x ∈ D} einer algebraischen Gleichung der Form pn(x)y n + pn−1(x)yn−1 + . . .+ p1(x)y + p0(x) = 0 (14.23) genügen, wobei p0, p1, . . . , pn beliebige Polynome sind und n ∈ N0 gilt. Andernfalls heißt die reelle Funktion f transzendent. Gemäß der Definition 14.25 besteht somit die Klasse der reellen Funktionen aus zwei disjunkten Mengen, nämlich der Menge der algebraischen Funktionen und der Menge der transzendenten Funktionen. Die Klasse der algebraischen Funktionen ist dabei eine Erweiterung der Klasse der rationalen Funktionen. Denn eine beliebige rationale Funktion y = p1(x) p2(x) für x ∈ R mit den Polynomen p1 und p2 mit p2(x) = 0 lässt sich durch die algebraische Gleichung p2(x)y − p1(x) = 0 (14.24) darstellen. Das heißt, die Klasse der algebraischen Funktionen umfasst die Klasse der rationalen Funktionen, und damit ist insbesondere auch jedes Polynom eine algebraische Funktion. Dies folgt aus der Tatsache, dass jedes Polynom eine rationale Funktion ist oder auch aus (14.24), wenn dort p2(x) = 1 gesetzt wird und damit y = p1(x) resultiert. Nichtrationale algebraische Funktionen werden als irrational algebraisch, irrational oder Wurzelfunktionen bezeichnet. Allgemein gilt, dass jede reelle Funktion algebraisch ist, die sich durch einen formelmäßigen Ausdruck darstellen lässt, der durch endliches Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren, Wurzelziehen oder Potenzieren mit rationalen Exponenten aus einer reellen Variablen x resultiert. Bei einer transzendenten Funktion handelt es sich stets um eine nichtrationale Funktion. Allerdings sind nicht alle nichtrationalen Funktionen transzendent. Zum Beispiel sind Potenzfunktionen mit einem Exponenten r ∈ Q \Z nichtrationale Funktionen, aber sie sind nicht transzendent, sondern (ir- 387 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen rational) algebraisch (siehe auch Abschnitt 14.4). Transzendente Funktionen können oftmals durch sogenannte Potenzreihen dargestellt werden (siehe hierzu Abschnitt 17.4). Für eine Veranschaulichung des hierarchischen Aufbaus der verschiedenen Funktionsklassen siehe Abbildung 14.11. Beispiel 14.26 (Algebraische Funktionen) a) Die reelle Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ n √ 1−x2 x mit ungeradem n ∈ N ist algebraisch. Denn es gilt yn = 1 − x 2 x und damit xyn + x2 − 1 = 0. Das heißt, die Funktion f genügt einer algebraischen Gleichung der Form (14.23) (vgl. Abbildung 14.10, links). b) Auflösen der algebraischen Gleichung y2−2xy−1=0 nach y mit der a-b-c-Formel (4.8) liefert die algebraischen Funktionen f1 : R −→ R, x %→ x + √ 1 + x2 und f2 : R −→ R, x %→ x − √ 1 + x2 (vgl. Abbildung 14.10, rechts). −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 f (x) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 f1(x) f2(x) Abb. 14.10: Algebraische Funktionen f (x) = 3 √ 1−x2 x (links) sowie f1(x) = x + √ 1 + x2 und f2(x) = x − √ 1 + x2 (rechts) c) Die reelle Funktion f : R→R, x %→ (√ x4+1 x2+1 −2 ) 2 3 + x 74 ist eine algebraische Funktion, da die Zuordnungsvorschrift f (x) = (√ x4+1 x2+1 − 2 ) 2 3 + x 74 aus der unabhängigen reellen Variablen x durch endlich viele Additionen, Subtraktionen, Divisionen und Potenzierungen mit rationalen Exponenten resultiert. Für wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen sind die wichtigsten transzendenten Funktionen gegeben durch Potenzfunktionen mit nichtrationalem Exponenten, Exponential- und Logarithmusfunktionen sowie trigonometrischen Funktionen. Diese transzendenten Funktionen sind Gegenstand der folgenden vier Abschnitte 14.4 bis 14.7. 14.4 Potenzfunktionen Eine weitere bedeutende Klasse von reellen Funktionen für die Wirtschaftswissenschaften sind die Potenzfunktionen. Sie werden z. B. zur Beschreibung der verschiedensten ökonomischen Wachstums- und Schrumpfungsprozesse eingesetzt. 388 Kapitel 1414.4 Potenzfunktionen Transzendente Funktionen Algebraische Funktionen Gebrochen − rationale Funktionen Ganz − rationale Funktionen Verknüpfung der unabhängigen Variablen x durch Addition und oder Subtraktion und oder Multiplikation und Division und Potenzieren und oder Radizieren Abb. 14.11: Hierarchischer Aufbau der verschiedenen Funktionsklassen Definition 14.27 (Potenzfunktion) Eine reelle Funktion f : D −→ R, x %→ xc mit D ⊆ R+ für c ≥ 0 und D ⊆ R+ \ {0} für c < 0 wird als Potenzfunktion bezeichnet. Eine Potenzfunktion f : D −→ R, x %→ x nm mit n ∈ Z und m ∈ N genügt der algebraischen Gleichung ym − xn = 0. Das heißt, Potenzfunktionen f (x) = xc mit rationalen Exponenten c sind algebraische und mit c ∈ R \Q transzendente Funktionen. Gilt c ∈ N0, dann kann der Definitionsbereich D der Potenzfunktion auf ganz R erweitert werden und man erhält ein Monom (vgl. Seite 370). Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften von Potenzfunktionen zusammen: Satz 14.28 (Eigenschaften der Potenzfunktion) Für eine Potenzfunktion f : D −→ R, x %→ xc gilt: a) Für c > 0 ist f streng monoton wachsend und es gilt f (x) > 0 für alle x ∈ D mit x = 0 sowie f (0) = 0. Für c < 0 ist f streng monoton fallend und es gilt f (x) > 0 für alle x ∈ D. b) f (x1)f (x2) = f (x1x2) und f (x1)f (x2) = f ( x1 x2 ) für alle x1, x2 ∈ D. c) f besitzt für c = 0 eine Umkehrfunktion. Diese ist gegeben durch f −1 : f (D) −→ R, x %→ x 1c und ist streng monoton wachsend für c > 0 und streng monoton fallend für c < 0. Beweis: Zu a): Es sei c = n m > 0 rational mit m, n ∈ N. Dann gilt f (0) = 0 und f (x) > 0 für alle x ∈ D mit x = 0. Ferner gilt für alle x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇐⇒ xn1 < xn2 ⇐⇒ (xn1 ) 1 m < (xn2 ) 1 m ⇐⇒ x n m 1 < x n m 2 ⇐⇒ xc1 < xc2 . Folglich ist f streng monoton wachsend. Es sei nun c = − n m < 0 rational mit m, n ∈ N. Dann gilt f (x) > 0 für alle x ∈ D und x1 < x2 ⇐⇒ x−11 > x−12 ⇐⇒ (x−11 ) n m > (x−12 ) n m ⇐⇒ x− n m 1 > x − n m 2 ⇐⇒ xc1 > xc2 für alle x1, x2 ∈ D. Das heißt, f ist streng monoton fallend. Zum Beweis der Aussage a) für irrationale c siehe z. B. Heuser [25], Seite 165. Zu b): Für alle x1, x2 ∈ D gilt f (x1)f (x2) = xc1xc2 = (x1x2)c = f (x1x2). 389 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen Analog erhält man für alle x1, x2 ∈ D f (x1) f (x2) = x c 1 xc2 = ( x1 x2 )c = f ( x1 x2 ) . Zu c): Aus Teil a) und Satz 13.10 folgt, dass die Umkehrfunktion von f für c = 0 existiert, und mit Satz 13.12 erhält man weiter, dass diese Umkehrfunktion für c > 0 streng monoton wachsend und für c < 0 streng monoton fallend ist. Wegen (xc) 1 c = (x 1c )c = x für alle x ∈ D ist die Umkehrfunktion von f durch f−1 : f (D) −→ R, x %→ x 1c gegeben. Für n ∈ N definiert man n√x := x 1n für alle x ∈ R+ und bezeichnet n √ x als die n-te Wurzel von x. Mit Satz 14.28c) erhält man, dass die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f : D ⊆ R+ −→ R, x %→ xn mit n ∈ N die n-te Wurzelfunktion g : f (D) −→ R, x %→ n√x ist. Beispiel 14.29 (Potenzfunktionen) Eine Potenzfunktion f : D −→ R, x %→ xc ist für rationale Exponenten, wie z. B. c = 14 , 12 , 1, 2, 4, algebraisch und für irrationale Exponenten, wie z. B. c = −√2,− 1√ 2 , e−1, e, transzendent. Man erkennt aus Abbildung 14.12, dass der Kurvenverlauf von Potenzfunktionen mit irrationalem Exponenten c stark dem Kurvenverlauf von Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 c = 4 c = 1 4 c = 1 2 c = 2 c = 1c = − 2 c = − 1 2 c = e c = e −1 Abb. 14.12: Potenzfunktionen f : D −→ R, x %→ xc für c = 14 , 12 , 1, 2, 4 (algebraische Funktionen) und für c = − √ 2,− 1√ 2 , e−1, e (transzendente Funktionen) ähnelt. Zum Beispiel kann die transzendente Funktion f (x) = xe beliebig genau durch die algebraischen Funktionen g1(x) = x2,7, g2(x) = x2,71, g3(x) = x2,718, g4(x) = x2,7182 usw. approximiert werden. Da die bei der Beschreibung ökonomischer Zusammenhänge zur Anwendung kommenden Potenzfunktionen meistens aus den vorliegenden Daten geschätzt werden müssen, kommt man mit Potenzfunktionen f (x) = xc mit rationalem Exponenten c aus. 14.5 Exponential- und Logarithmusfunktion Exponentialfunktion Analog zu den Potenzfunktionen in Abschnitt 14.4 wird auch die Exponentialfunktion in den Wirtschaftswissenschaften vor allem zur Beschreibung von gleichförmigen Schrumpfungs- und Wachstumsprozessen eingesetzt. Die Exponentialfunktion ist eine transzendente Funktion, die aufgrund ihrer bemerkenswerten analytischen Eigenschaften eine herausragende Bedeutung für die Analysis besitzt. 390 Kapitel 1414.5 Exponential- und Logarithmusfunktion In Abschnitt 11.8 (siehe Satz 11.45) wurde bereits die Identität ex = lim n→∞ ( 1 + x n )n (14.25) für alle x ∈ R nachgewiesen. Diese Identität ist die Grundlage für die Definition der Exponentialfunktion. Definition 14.30 (Exponentialfunktion) Die reelle Funktion exp : R −→ R, x %→ exp(x) mit exp(x) := lim n−→∞ ( 1 + x n )n (14.26) wird als Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet. Der Graph der Exponentialfunktion exp ist dargestellt in Abbildung 14.13, links. Mit (14.25) folgt, dass exp(x) = ex für alle x ∈ R gilt. Die Exponentialfunktion exp wird oft auch als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet, weil durch sie viele Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Natur beschrieben werden können. Sie ist der wichtigste Spezialfall der allgemeinen Exponentialfunktion (vgl. Definition 14.37). Die herausragende Bedeutung der Exponentialfunktion exp beruht auf der Tatsache, dass sie mit ihrer ersten Ableitung übereinstimmt (siehe Satz 16.14c) in Abschnitt 16.5). Sieht man von der Multiplikation mit konstanten Faktoren ab, dann ist die Exponentialfunktion sogar die einzige reelle Funktion mit dieser Eigenschaft. Neben der Folgendarstellung (14.26) besitzt die Exponentialfunktion auch eine Reihendarstellung, die für viele Anwendungen praktikabler ist. In Abschnitt 12.4 (vgl. (12.10)) wurde bereits die Gültigkeit der Gleichung exp(1) = lim n→∞ ( 1 + 1 n )n = ∞∑ k=0 1 k! (14.27) nachgewiesen. In Abschnitt 17.3 wird mit Hilfe der Theorie der Taylor-Reihen gezeigt, dass die Gleichung (14.27) sogar zur für alle x ∈ R geltenden Identität exp(x) = ∞∑ k=0 xk k! (14.28) verallgemeinert werden kann. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften der Exponentialfunktion zusammen. Dazu gehört insbesondere die als Funktionalgleichung der Exponentialfunktion bekannte Gleichung exp(x1 + x2) = exp(x1) exp(x2) für alle x1, x2 ∈ R. Sie kommt in zahlreichen Bereichen wie z. B. der Regressionsanalyse zum Einsatz, um von einer multiplikativen Struktur exp(x1) exp(x2) zu einer additiven Struktur exp(x1 + x2) überzugehen (vgl. z. B. Fahrmeir- Kneib-Lang [14], Seiten 70–71). Satz 14.31 (Eigenschaften der Exponentialfunktion) Für die Exponentialfunktion exp : R−→R, x %→exp(x) gilt: a) exp(x) > 0 für alle x ∈ R und exp(0) = 1 b) exp(x1 + x2) = exp(x1) exp(x2) für alle x1, x2 ∈ R (Funktionalgleichung) c) exp(−x) = 1exp(x) für alle x ∈ R d) (exp(x1)) x2 = exp(x1x2) für alle x1, x2 ∈ R e) exp ist streng monoton wachsend Beweis: Zu a): Wegen xc > 0 für alle x > 0 und c ∈ R (vgl. Satz 14.28a)) gilt auch exp(x) = ex > 0 für alle x ∈ R. Ferner folgt aus der Definition unmittelbar exp(0) = 1. Zu b): Es seien x1, x2 ∈ R. Dann gilt exp(x1 +x2) = ex1+x2 = ex1ex2 = exp(x1) exp(x2). Zu c): Es sei x ∈ R. Dann folgt mit Aussage b) 1 = exp(0) = exp(x − x) = exp(x) exp(−x) und damit insbesondere exp(−x) = 1exp(x) für alle x ∈ R. Zu d): Es seien x1, x2 ∈ R. Dann gilt (exp(x1))x2 = (ex1 )x2 = ex1x2 = exp(x1x2). Zu e): Es seien x1, x2 ∈ R mit x1 < x2. Dann gilt 1 = 1x2−x1 < ex2−x1 bzw. ex1 < ex2 . Das heißt, f ist streng monoton wachsend. Der folgende Satz fasst die wichtigsten asymptotischen Eigenschaften der Exponentialfunktion zusammen: Satz 14.32 (Asymptotische Eigenschaften der Exponentialfunktion) Für die Exponentialfunktion exp : R−→R, x %→exp(x) gilt: a) lim x→∞ exp(x) = ∞ und limx→−∞ exp(x) = 0 b) lim x→∞ exp(x) xn = ∞ für alle n ∈ N 391 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen Beweis: Zu a): Mit der Ungleichung von Bernoulli (1.22) folgt ( 1 + x n )n ≥ 1 + x für alle x > 0 und n ∈ N. Das heißt, es gilt auch exp(x) = ex ≥ 1+x für alle x ≥ 0, und exp(x) wächst für x → ∞ über alle Grenzen. Es gilt somit lim x→∞ exp(x) = ∞. Damit folgt für den zweiten Teil der Aussage lim x→−∞ exp(x) = limx→−∞ e x = lim x→∞ e −x = lim x→∞ 1 ex = 0. Zu b): Für x > 0 und n ∈ N gilt 1 xn ∞∑ k=0 xk k! = ∞∑ k=0 x(k−n) k! ≥ x (n+ 1)! . Mit der Reihendarstellung (14.28) folgt somit für alle n ∈ N lim x→∞ exp(x) xn = lim x→∞ 1 xn ∞∑ k=0 xk k! ≥ limx→∞ x (n+ 1)! = ∞. Beispiel 14.33 (Stetige Verzinsung und logistische Funktion) a) In Beispiel 11.46 wurde gezeigt, dass der Barwert zum Zeitpunkt t = 0 eines Kapitalbetrages Kt zum Zeitpunkt t ≥ 0 bei stetiger Verzinsung in Abhängigkeit vom Zinssatz p > 0 K0(p) = Kte−tp beträgt. −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 ln(x) exp (x) −10 0 10 20 30 1 2 3 4 5 Abb. 14.13: Exponentialfunktion exp : R −→ R, x %→ exp(x) und natürliche Logarithmusfunktion ln : R+ \ {0} −→ R, x %→ ln(x) (links) sowie logistische Funktion f : R −→ R, x %→ a 1+be−cx mit a = 4,5, b = 2 und c = 14 (rechts) Eine Investition I mit den erwarteten Auszahlungsbeträgen K0, . . . , Kn zu den Zeitpunkten t = 0, . . . , n besitzt somit in Abhängigkeit von p bei stetiger Verzinsung den Barwert I0(p) = n∑ t=0 Kte −tp. Der Barwert einer Investition erlaubt es, Investitionen mit unterschiedlichen erwarteten Auszahlungen bezüglich Anzahl, Höhe und Zeitpunkt miteinander zu vergleichen, denn in der Investitionsrechnung wird eine Investition mit höherem Barwert als vorteilhafter betrachtet. b) Die Funktion f : R −→ R, x %→ a 1 + be−cx (14.29) mit a, b, c > 0 heißt logistische Funktion. Sie ist streng monoton wachsend und wird in den Wirtschaftswissenschaften zur Modellierung von Wachstumsprozessen mit einer Sättigungsgrenze a verwendet. Denn aus den Rechenregeln für Grenzwerte 392 Kapitel 1414.5 Exponential- und Logarithmusfunktion reeller Funktionen (vgl. Satz 13.41 und Satz 14.32a)) folgt lim x→∞ a 1 + be−cx = a und limx→−∞ a 1 + be−cx = 0. Aufgrund ihres s-förmigen Graphen wird die logistische Funktion auch als S-Funktion bezeichnet (vgl. Abbildung 14.13, rechts). Logarithmusfunktion Aufgrund ihres streng monotonen Wachstums besitzt die Exponentialfunktion exp eine Umkehrfunktion (vgl. Satz 13.10), welche als Logarithmusfunktion bezeichnet wird. Definition 14.34 (Logarithmusfunktion) Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp:R→R, x %→ exp(x) wird als Logarithmusfunktion bezeichnet und man schreibt ln : R+ \ {0} −→ R, x %→ ln(x). Der Graph der Logarithmusfunktion ln ist dargestellt in Abbildung 14.13, links. Die Logarithmusfunktion wird oft auch natürliche Logarithmusfunktion genannt. Sie ist der wichtigste Spezialfall der allgemeinen Logarithmusfunktion (vgl. Definition 14.40). Es gilt y = ln(x) ⇐⇒ exp(y) = x für alle x ∈ R+ \ {0}. Daraus folgt insbesondere ln(exp(y)) = y für alle y ∈ R und exp(ln(x)) = x für alle x ∈ R+ \ {0}. Da die beiden Funktionen exp und ln jeweils die Umkehrfunktionen zueinander sind, liegen ihre Graphen symmetrisch zur Geraden y = x (vgl. Abschnitt 6.9 und Abbildung 14.13, links). Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften der Logarithmusfunktion zusammen: Satz 14.35 (Eigenschaften der Logarithmusfunktion) Für die Logarithmusfunktion ln : R+ \ {0} −→ R, x %→ ln(x) gilt: a) ln(1) = 0 und ln(x) > 0 für x > 1 und ln(x) < 0 für x ∈ (0, 1) b) ln(x1x2) = ln(x1)+ ln(x2) und ln ( x1 x2 ) = ln(x1)− ln(x2) für alle x1, x2 ∈ R+ \ {0} c) ln ( x x2 1 ) = x2 ln(x1) für alle x1 ∈ R+\{0} und x2 ∈ R d) ln ist streng monoton wachsend Beweis: Zu a): Aus der Äquivalenz exp(y) = x ⇔ y = ln(x) für alle x ∈ R+ \ {0} folgt exp(0) = 1 ⇔ 0 = ln(1) für x = 1. Da die Logarithmusfunktion ln gemäß Aussage d) streng monoton wachsend ist, folgt daraus bereits ln(x) > 0 für x > 1 und ln(x) < 0 für x ∈ (0, 1). Zu b): Mit Satz 14.31b) folgt für alle x1, x2 ∈ R+ \ {0} und y1, y2 ∈ R mit x1 = exp(y1) bzw. x2 = exp(y2) ln(x1x2) = ln (exp(y1) exp(y2)) = ln (exp(y1 + y2)) = y1 + y2 = ln(x1)+ ln(x2). Zusammen mit Aussage c) folgt daraus ln ( x1 x2 ) = ln ( x1x −1 2 ) = ln(x1)+ ln ( x−12 ) = ln(x1)− ln(x2). Zu c): Mit Satz 14.31d) folgt für alle x1 ∈ R+ \ {0} mit x1 = exp(y1) und x2 ∈ R ln ( x x2 1 ) = ln (exp(y1)x2 ) = ln (exp(y1x2)) = y1x2 = x2 ln(x1). Zu d): Mit Satz 14.31e) und Satz 13.12 folgt, dass die Logarithmusfunktion ln streng monoton wachsend ist. Die drei Eigenschaften in Satz 14.35b)–c) werden als Funktionalgleichungen der Logarithmusfunktion bezeichnet. Sie sind zentral für das Rechnen mit Logarithmen, denn sie besagen, dass mittels Logarithmen die Multiplikation in eine Addition, die Division in eine Subtraktion und die Potenzierung in eine Multiplikation verwandelt werden kann. Die drei Funktionalgleichungen in Satz 14.35b)–c) sind zudem die Grundlage für das Rechnen mit Rechenschiebern und das Rechnen mit Logarithmentafeln. Ferner sind auch elektronische Taschenrechner und Computersoftware im Allgemeinen so programmiert, dass sie die Vorteile des Rechnens mit Logarithmen ausnutzen. 393 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 l p′ = ln(1 + p) 1 2 3 4 5 −10 0 10 20 30 f −1(x) Abb. 14.14: Beziehung p′ = ln (1 + p) (links) und f−1 : R+ −→ R, x %→ − 1c ln ( a−x xb ) für a = 4,5, b = 2 und c = 14 (rechts) Beispiel 14.36 (Stetige Verzinsung und logistische Funktion) a) Der Barwert zum Zeitpunkt t = 0 eines Betrages Kt zum Zeitpunkt t ≥ 0 beträgt in Abhängigkeit vom Zinssatz p > 0 bei diskreter Verzinsung K0(p) = Kt (1 + p)−t und in Abhängigkeit vom Zinssatzp′ > 0 bei stetiger Verzinsung K0(p ′) = Kte−tp′ (vgl. Beispiel 11.46). Beide Verzinsungsarten führen zum selben Barwert, wenn zwischen den beiden Zinssätzen p und p′ eine bestimmte Relation besteht. Diese ist unabhängig von t und man erhält sie durch Auflösen der Gleichung (1 + p)−t = e−tp′ nach p′. Es resultiert dann t ln (1 + p) = tp′ bzw. p′ = ln (1 + p) . Zum Beispiel erhält man für p = 10% den Zinssatz p′ = 9,531%. Diese Beziehung ermöglicht es, den Fall stetiger Verzinsung selbst dann anzuwenden, wenn die Zinsen jeweils am Jahresende gutgeschrieben werden. Der Zinssatz p wird effektiver Jahreszins einer Anlage mit stetiger Verzinsung p′ genannt (vgl. Abbildung 14.14, links). b) Betrachtet wird die logistische Funktion (14.29) aus Beispiel 14.33b). Es soll untersucht werden, wann ein bestimmtes Niveau y mit 0 < y < a angenommen wird. Aufgrund ihres streng monotonen Wachstums besitzt die logistische Funktion eine Umkehrfunktion (vgl. Satz 13.10). Durch Auflösen der Gleichung y = a1+be−cx nach x mit Hilfe der Logarithmusfunktion ln und anschließendem Vertauschen der Variablen x und y erhält man mit f −1 : (0,∞) −→ R, x %→ −1 c ln ( a − x xb ) die Umkehrfunktion von (14.29) (vgl. Abbildung 14.14, rechts). 394 Kapitel 1414.6 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion 14.6 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion Allgemeine Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion exp lässt sich zur sogenannten allgemeinen Exponentialfunktion verallgemeinern: Definition 14.37 (Allgemeine Exponentialfunktion) Für ein a > 0 wird die reelle Funktion f : R −→ R, x %→ ax mit ax := exp(x ln(a)) (14.30) als allgemeine Exponentialfunktion oder auch als Exponentialfunktion zur Basis a bezeichnet. Aus der allgemeinen Exponentialfunktion erhält man durch Wahl der speziellen Basis a = e die (natürliche) Exponentialfunktion exp(x) = ex . Wenn von einer Exponentialfunktion ohne Basisangabe die Rede ist, dann ist in der Regel die (natürliche) Exponentialfunktion exp gemeint. Sie ist sowohl in der Analysis als auch in den Wirtschaftswissenschaften die wichtigste Exponentialfunktion. Sämtliche Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion lassen sich aufgrund der Definition (14.30) aus den Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion exp und der natürlichen Logarithmusfunktion ln ableiten. Mit Hilfe von (14.30) können auch kompliziertere Funktionen der Bauart h(x) = f (x)g(x) mit f (x) > 0 auf die natürliche Exponentialfunktion exp und die natürliche Logarithmusfunktion ln zurückgeführt werden, denn aufgrund der Eigenschaften von exp und ln gilt h(x) = exp(g(x) ln(f (x))) für alle x ∈ R mit f (x) > 0. Dieser Sachverhalt wird sich vor allem in der Differential- und Integralrechnung in Kapitel 16 bzw. Kapitel 19 mehrfach als äußerst hilfreich erweisen. Dort wird sich auch zeigen, dass exp und ln sehr einfach differenziert und integriert werden können. Zwischen der Potenzfunktion, der (natürlichen) Logarithmusfunktion und der (natürlichen) Exponentialfunktion besteht offensichtlich der Zusammenhang xc = exp (c ln(x)) für alle c ∈ R und x ∈ R+ \ {0}. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften der Exponentialfunktion zur Basis a > 0 zusammen: Satz 14.38 (Eigenschaften der allgemeinen Exponentialfunktion) Für eine allgemeine Exponentialfunktion f : R −→ R, x %→ ax mit Basis a > 0 gilt: a) f (x) > 0 für alle x ∈ R und f (0) = 1 b) f (x1 + x2) = f (x1)f (x2) für alle x1, x2 ∈ R c) f (−x) = 1 f (x) für alle x ∈ R d) (f (x1)) x2 = f (x1x2) für alle x1, x2 ∈ R e) f ist streng monoton wachsend für a > 1 und streng monoton fallend für a < 1 Beweis: Zu a): Folgt unmittelbar aus Satz 14.31a) und (14.30). Zu b): Mit Satz 14.31b) folgt für alle x1, x2 ∈ R f (x1 + x2) = exp ((x1 + x2) ln(a)) = exp (x1 ln(a)+ x2 ln(a)) = exp (x1 ln(a)) exp (x2 ln(a)) = f (x1)f (x2). Zu c): Mit 14.31c) folgt für alle x ∈ R f (−x) = exp(−x ln(a)) = 1 exp(x ln(a)) = 1 f (x) . Zu d): Mit 14.31d) folgt für alle x1, x2 ∈ R (f (x1)) x2 = (exp(x1 ln(a)))x2 = exp(x1x2 ln(a)) = f (x1x2). Zu e): Es sei a > 1 und x1, x2 ∈ R mit x1 < x2. Dann gilt ln(a) > 0 (vgl. Satz 14.35a)) und aufgrund des streng monotonen Wachstums von exp (vgl. Satz 14.31e)) erhält man somit f (x1) = exp(x1 ln(a)) < exp(x2 ln(a)) = f (x2). Das heißt, f ist für a > 1 streng monoton wachsend. Entsprechend beweist man die Behauptung für a < 1. Dann gilt ln(a) < 0 (vgl. Satz 14.35a)) und es folgt daher für x1 < x2 f (x1) = exp(x1 ln(a)) > exp(x2 ln(a)) = f (x2). Folglich ist f für a < 1 streng monoton fallend. Eine typische wirtschaftswissenschaftliche Anwendung der allgemeinen Exponentialfunktion ist die Bestimmung des Restwertes eines Investitionsgutes mit Hilfe der geometrischdegressiven Abschreibung. 395 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen Beispiel 14.39 (Geometrisch-degressive Abschreibung) Der Wert von Investitionsgütern, wie z. B. Nutzfahrzeugen, Computern, Büroausstattung, Maschinen, verringert sich aufgrund von Alterung, Verschleiß, Preisverfall usw. von Jahr zu Jahr. Um stets den aktuellen Wert des Betriebsvermögens aus der Buchführung ersehen zu können und den Wertverlust durch Abnutzung oder Alterung der Anlagegüter als Kosten buchhalterisch nachvollziehen und kostenrechnerisch in die Preiskalkulation einbeziehen zu können, wird diese Wertverminderung durch eine sogenannte Abschreibung erfasst und unter Beachtung handels- und steuerrechtlicher Besonderheiten als Aufwand in der Gewinnermittlung berücksichtigt. Dabei wird sehr oft angenommen, dass der Wertverlust einen festen Prozentsatz p pro Jahr beträgt. Eine solche Wertabschreibung wird als geometrisch-degressive Abschreibung bezeichnet. Betrachtet man z. B. eine Produktionsmaschine mit dem Anschaffungswert W0 zum Zeitpunkt t = 0 und beträgt der Abschreibungssatz p ∈ (0, 1), dann ist der Restwert W(t) der Produktionsmaschine zum Zeitpunkt 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 W(t) Abb. 14.15: Restwert einer Produktionsmaschine mit Anschaffungswert W0 = 10000€ und Abschreibungssatz p = 20% in Abhängigkeit von der Zeit t t ∈ R+ gegeben durch W(t) = W0 (1 − p)t . Das heißt, der Restwert der Produktionsmaschine in Abhängigkeit vom Zeitpunkt t ∈ R+ wird durch die reelle Funktion W : R+ −→ [0,∞), t %→ W0 (1 − p)t beschrieben. Gilt z. B. W0 = 10000€ und p = 20%, dann ist der auf zwei Nachkommastellen gerundete Restwert der Produktionsmaschine in den Jahren t = 1, 2, 3, 5, 10, 15, 20 durch die Werte in der folgenden Tabelle gegeben (vgl. Abbildung 14.15). t 1 2 3 5 10 15 20 W(t) 8000€ 6400€ 5120€ 3276,8€ 1073,74€ 351,84€ 115,29€ Allgemeine Logarithmusfunktion Analog zur (natürlichen) Exponentialfunktion kann auch die (natürliche) Logarithmusfunktion verallgemeinert werden. Denn für jede Basis a > 0 mit a = 1 ist die allgemeine Exponentialfunktion f (x) = ax = exp(x ln(a)) gemäß Satz 14.38e) streng monoton und somit nach Satz 13.10 auch umkehrbar. Die Umkehrfunktion von f (x) = ax wird als allgemeine Logarithmusfunktion bezeichnet. 396 Kapitel 1414.6 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion Definition 14.40 (Allgemeine Logarithmusfunktion) Die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion f : R −→ R, x %→ ax mit a > 0 und a = 1 wird als allgemeine Logarithmusfunktion oder auch als Logarithmusfunktion zur Basis a bezeichnet und man schreibt loga : R+ \ {0} −→ R, x %→ loga(x). Die Gleichung y = exp(x ln(a)) kann für jedes a > 0 mit a = 1 eindeutig nach x aufgelöst werden. Durch Anwendung der Funktion ln auf beiden Seiten der Gleichung erhält man x = ln(y)ln(a) . Vertauschen der Bezeichnungen x und y liefert dann für die Umkehrfunktion loga(x) von f (x) = ax die explizite Darstellung loga(x) = ln(x) ln(a) (14.31) für alle x ∈ R+ \ {0}. Die beiden wichtigsten Spezialfälle der allgemeinen Logarithmusfunktion erhält man für die Basis a = 10 (dekadische Logarithmusfunktion) und für die Basis a = e (natürliche Logarithmusfunktion). Man schreibt dann in der Regel lg(x) bzw. ln(x). Es gilt: y = loga(x) ⇐⇒ ay = x für alle x ∈ R+ \ {0} Daraus folgt insbesondere loga(a y) = y für alle y ∈ R und aloga (x) = x für alle x ∈ R+ \ {0}. Da die beiden Funktionen ax und loga(x) jeweils die Umkehrfunktion zueinander sind, liegen ihre Graphen symmetrisch zur Geraden y = x (vgl. Abschnitt 6.9 und Abbildung 14.16). Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften der allgemeinen Logarithmusfunktion zusammen: Satz 14.41 (Eigenschaften der allgemeinen Logarithmusfunktion) Für eine allgemeine Logarithmusfunktion loga : R+ \ {0} −→ R, x %→ loga(x) mit a > 0 und a = 1 gilt: a) loga(1) = 0 für alle a > 0 mit a = 1 sowie loga(x) { >0 für x>1 bei a>1 und x∈(0, 1) bei a<1 <0 für x∈(0, 1) bei a>1 und x>1 bei a<1 b) loga(x1x2) = loga(x1) + loga(x2) und loga ( x1 x2 ) = loga(x1)− loga(x2) für alle x1, x2 ∈ R+ \ {0} c) loga ( x x2 1 ) = x2 loga(x1) für alle x1 ∈ R+ \ {0} und x2 ∈ R d) loga ist streng monoton wachsend für a>1 und streng monoton fallend für a < 1 Beweis: Zu a): Mit Satz 14.35a) und (14.31) folgt unmittelbar loga(1) = 0 für alle a > 0 mit a = 1. Ebenfalls unmittelbar mit Satz 14.35a) und (14.31) folgt loga(x) > 0 für x > 1 und loga(x) < 0 für x ∈ (0, 1), falls a > 1 gilt, sowie loga(x) < 0 für x > 1 und loga(x) > 0 für x ∈ (0, 1), falls a < 1 gilt. Zu b): Mit Satz 14.35b) folgt für alle x1, x2 ∈ R+ \ {0} loga(x1x2)= ln(x1x2) ln(a) = ln(x1) ln(a) + ln(x2) ln(a) = loga(x1)+loga(x2). Zusammen mit Aussage c) erhält man daraus loga ( x1 x2 ) = loga ( x1x −1 2 ) = loga(x1)+ loga ( x−12 ) = loga(x1)− loga(x2). Zu c): Mit Satz 14.35c) folgt für alle x1 ∈ R+ \{0} und x2 ∈ R loga ( x x2 1 ) = ln(x x2 1 ) ln(a) = x2 ln(x1) ln(a) = x2 loga(x1). Zu d): Gemäß Satz 14.35a) gilt ln(a) > 0 für a > 1 und ln(a) < 0 für a < 1 und nach Satz 14.35d) ist ln(x) streng monoton wachsend. Dies impliziert, dass loga(x) = ln(x)ln(a) für a > 1 streng monoton wachsend und für a < 1 streng monoton fallend ist. Beispiel 14.42 (Verschiedene Exponential- und Logarithmusfunktionen) Die Exponentialfunktionen f (x) = ax mit den Basen a = 1 2 , 2, 5, 10 besitzen die Logarithmusfunktionen loga(x) mit den Basen a = 12 , 2, 5, 10 als Umkehrfunktionen (vgl. Abbildung 14.16). Wegen ax = exp(x ln(a)) (vgl. (14.30)) und loga(x) = ln(x) ln(a) (vgl. (14.31)) steht hinter jeder allgemeinen Exponentialfunktion die (natürliche) Exponentialfunktion exp bzw. hinter jeder allgemeinen Logarithmusfunktion die natürliche Logarithmusfunktion ln. Zwischen Exponentialfunktionen zu unterschiedlichen Basen a > 0 und b > 0 besteht der Zusammenhang ax = blogb ax = bx logb a für alle x ∈ R. (14.32) 397 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen −6 −4 −2 2 4 6 −6 −4 −2 2 4 6 2x log2(x) 5x log5(x) 10 x log10(x) −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 2x0.5 x log2(x) log1 2 (x) Abb. 14.16: Exponentialfunktionen f (x) = ax und Logarithmusfunktionen loga(x) mit den Basen a = 2, 5, 10 (links) und mit den Basen a = 12 , 2 (rechts) Analog existiert zwischen Logarithmusfunktionen zu unterschiedlichen Basen a > 0 und b > 0 mit a, b = 1 die Beziehung loga x = logb x logb a für alle x ∈ R+ \ {0} . (14.33) Dies folgt aus logb x = logb ( aloga x ) = loga x logb a. Zwei Exponentialfunktionen zu verschiedenen Basen a und b unterscheiden sich somit nur um einen multiplikativen Faktor logb a im Exponenten (vgl. (14.32)), und zwei Logarithmusfunktionen zu verschiedenen Basen a und b unterscheiden sich lediglich um einen multiplikativen Faktor 1 logb a (vgl. (14.33)). Das bedeutet, die Exponentialfunktionen unterscheiden sich untereinander nur in der Skalierung der x-Achse und die Logarithmusfunktionen differieren untereinander lediglich in der Skalierung der y-Achse. Dies hat zur Konsequenz, dass die Graphen aller Exponentialfunktionen bzw. die Graphen aller Logarithmusfunktionen in ihrer Form übereinstimmen (vgl. Abbildung 14.16). 14.7 Trigonometrische Funktionen Eine weitere bedeutende Klasse von transzendenten Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, welche auch als Kreis- oder Winkelfunktionen bezeichnet werden. Die vier wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, Kosinus-, Tangens- und Kotangensfunktion. Sie werden in den Wirtschaftswissenschaften vor allem zur Beschreibung periodischer Zusammenhänge und Effekte verwendet. Sie werden beispielweise in der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sowie in der Prognoserechnung und Ökonometrie häufig zur Beschreibung von Saison- und Konjunkturzyklen eingesetzt. Sinus- und Kosinusfunktion Werden der Sinus sin(x) und der Kosinus cos(x) in Abhängigkeit des Bogenmaßes x ∈ R betrachtet, dann erhält man die Sinus- bzw. die Kosinusfunktion (für die Definition und Eigenschaften des Sinus und Kosinus siehe Abschnitt 5.1). Definition 14.43 (Sinus- und Kosinusfunktion) Die reellen Funktionen sin : R −→ R, x %→ sin(x) und cos : R −→ R, x %→ cos(x) werden als Sinus- bzw. Kosinusfunktion bezeichnet. Für ökonomische Anwendungen sind die Sinus- und die Kosinusfunktion die beiden wichtigsten trigonometrischen Funktionen. Die Abbildung 14.17 zeigt die Graphen der Sinus- und der Kosinusfunktion in Abhängigkeit des Bogen- 398 Kapitel 1414.7 Trigonometrische Funktionen π 2 π 3π 2 2π 5π 2 −1 1 y1y1 y2y2 sin(x) l l l l l l l π 2 π 3π 2 2π 5π 2 −1 1 y1 y1 y2 y2 cos (x) l l l l l l l Abb. 14.17: Zusammenhang zwischen Einheitskreis und Sinusfunktion (oben) bzw. Kosinusfunktion (unten) maßes x. Aus dieser Abbildung (oder mit Satz 5.1e)) erhält man, dass sin ( x + π 2 ) = cos(x) und cos ( x − π 2 ) = sin(x) (14.34) für alle x ∈ R gilt. Das heißt, die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion stimmen bis auf eine Verschiebung um π2 in Richtung der x-Achse überein. Eine Sinusfunktion ist somit nichts anderes als eine um π2 verschobene Kosinusfunktion und umgekehrt. Die wichtigsten Eigenschaften der Sinus- und der Kosinusfunktion ergeben sich unmittelbar aus den Eigenschaften von Sinus bzw. Kosinus. Siehe hierzu vor allem die beiden Sätze 5.1 und 5.2 in Abschnitt 5.1. Aus der 2π -Periodizität des Sinus und Kosinus folgt insbesondere, dass auch die Sinus- und die Kosinusfunktion 2π -periodisch sind (vgl. Abbildung 14.18, links). Ferner ist gemäß Satz 5.1g) der Wert 0 eine Nullstelle von sin und der Wert π2 eine Nullstelle von cos. Alle anderen Nullstellen von sin und cos unterscheiden sich nur um ganzzahlige Vielfache von π (vgl. Abbildung 14.18). In wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen werden häufig Sinus- und Kosinusfunktionen der Form a sin(bx + c) und a cos(bx + c) mit a, b = 0 sowie Kombinationen von ihnen betrachtet. Der Wert a wird dabei als Amplitude bezeichnet und bewirkt eine Streckung (|a| > 1) bzw. Stauchung (|a| < 1) des Graphen in Richtung der y-Achse um den Faktor a. Dagegen führt der Wert b zu einer Streckung (|b| < 1) bzw. Stauchung (|b| > 1) des Graphen in Richtung der x-Achse um den Faktor 1 b und damit zu einer Veränderung der Periode, also der Geschwindigkeit der Schwingung. Der Wert c heißt schließlich Phasenverschiebung. Die Phasenverschiebung gibt die Verschiebung des Graphen in Richtung der x-Achse nach links (c > 0) bzw. nach rechts (c < 0) an (vgl. Beispiele 14.44 und 14.45). Beispiel 14.44 (Einfache Transformationen der Sinusfunktion) Die Graphen der Funktionen 2 sin(x), sin(2x) und sin ( x + π2 ) gehen aus dem Graphen von sin(x) durch Streckung in Richtung der y-Achse um den Faktor 2, durch Stauchung in Richtung der x-Achse um den Faktor 12 bzw. durch Phasenverschiebung in Richtung der x-Achse nach links um π2 hervor (vgl. Abbildung 14.18, rechts). Das folgende Beispiel gibt einen Eindruck, bei welcher Art von wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen Sinusund Kosinusfunktionen zum Einsatz kommen können: 399 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen − 4π − 3π − 2π − π π 2π 3π 4π −1 −0.5 0.5 1 sin(x) cos (x) − π 2 π 2 π 3π 2 2π −2 −1 1 2 sin(x) 2sin(x) sin(2x) sin(x + π 2) Abb. 14.18: Sinus- und Kosinusfunktion sin bzw. cos (links) sowie die trigonometrischen Funktionen sin(x), 2 sin(x), sin(2x) und sin ( x + π2 ) (rechts) Beispiel 14.45 (Periodische Absatzfunktion und Berliner Verfahren) a) Ein Unternehmen für Schwimmanzüge möchte seinen monatlichen Absatz mittels einer Kosinusfunktion der Form f : R+ −→ R, x %→ f (x) = a cos(bx + c)+ d mit a, b, c, d ≥ 0 beschreiben. Diese Kosinusfunktion soll (a) die Periode 12 besitzen und es soll weiter (b) f (x) ∈ [0, 10], (c) f (1) = 0 sowie (d) f (7) = 10 gelten. Wegen cos(0) = cos(2π) folgt aus (a) bx + c = 0 und b(x + 12)+ c = 2π. Folglich muss b = 2π12 = π6 gelten. Mit (c) folgt f (1) = a cos (π 6 + c ) + d = 0 und wegen min y∈R+ cos(y) = cos(π) = −1 impliziert dies zusammen mit (b) π 6 + c = π und − a + d = 0. Es gilt also c = 56π und a = d und somit insbesondere f (x) = a cos ( π 6 x + 5 6 π ) + a. Zusammen mit (d) folgt daraus schließlich f (7) = a cos (2π)+ a = 10 bzw. a = 5. Das heißt, es gilt f (x) = 5 cos ( π 6 x + 5 6 π ) + 5. Der Wert f (x) gibt den Absatz an Schwimmanzügen im Zeitpunkt x an, wobei der Absatz im Zeitpunkt x = 1 (d. h. im Januar) minimal und im Zeitpunkt x = 7 (d. h. im Juli) maximal ist (vgl. Abbildung 14.19, links). b) Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind Bestandteile vieler Saisonbereinigungsverfahren, die zur Beschreibung und Untersuchung ökonomischer Zeitreihen mit ausgeprägter Saisonkomponente bei vielen großen Wirtschaftsforschungsinstituten zum Einsatz kommen. Zum Beispiel wird beim Berliner Verfah- 400 Kapitel 1414.7 Trigonometrische Funktionen ren zur Saisonbereinigung für die abhängige Variable – bis auf nicht zu erklärende zufällige Einflüsse oder Störungen – bei einer Saisonlänge von s ∈ {2, 4, 6, . . .} das Modell f (t) = n∑ k=0 akt k + s/2∑ l=1 ( bl sin ( 2πl s t ) + cl cos ( 2πl s t )) für t ≥ 0 angesetzt. Dabei ist ∑nk=0 aktk die sogenannte glatte Komponente, welche die langfristigen systematischen Veränderungen der Zeitreihe und die mehrjährigen, nicht notwendigerweise regelmäßigen konjunkturbedingten Schwankungen der Zeitreihe beschreiben soll. Die sogenannte Saisonkomponente s/2∑ l=1 ( bl sin ( 2πl s t ) + cl cos ( 2πl s t )) soll dagegen die saisonalen Schwankungen, die sich von Saison zu Saison relativ unverändert wiederholen, abbilden (für mehr Details zum Berliner Verfah- 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 f (x) 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 f (t) Abb. 14.19: Funktionen f (x) = 5 cos ( π 6 x + 56π ) +5 (links) und f (t) = a0+a1t+b1 sin ( π 2 t )+c1 cos ( π 2 t )+b2 sin (πt)+c2 cos (πt) mit a0 = 5,2, a1 = 0,13, b1 = −0,011, b2 = 0, c1 = 0,037 und c2 = 0,027 (rechts) ren siehe z. B. Rinne-Specht [56] und Schlittgen- Streitberg [61]). Zum Beispiel ergibt sich für eine Quartalsreihe (d. h. s = 4) mit einer Trendgeraden (d. h. n = 1) der Ansatz f (t) = a0 + a1t + b1 sin (π 2 t ) + c1 cos (π 2 t ) + b2 sin (πt)+ c2 cos (πt) für t ≥ 0 (vgl. Abbildung 14.19, rechts). Tangens- und Kotangensfunktion Die Tangens- und Kotangensfunktion sind ebenfalls wichtige trigonometrische Funktionen. Allerdings sind sie im Gegensatz zur Sinus- und Kosinusfunktion nicht zur Beschreibung von Saison- und Konjunkturzyklen geeignet, da sie nach oben und unten unbeschränkt sind. Ihre Bedeutung liegt vor allem in ihrem Nutzen für die Differential- und Integralrechnung. Sie sind als Quotienten der Sinus- und der Kosinusfunktion definiert. 401 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen − 2π − π π 2π 3π −10 −5 5 10 cot(x) tan (x) Abb. 14.20: Tangensfunktion tan und Kotangensfunktion cot Definition 14.46 (Tangens- und Kotangensfunktion) Die reellen Funktionen tan : R \ { x ∈ R : x = (2k + 1)π 2 für k ∈ Z } −→ R, x %→ tan(x) := sin(x) cos(x) und cot : R \ {x ∈ R : x = kπ für k ∈ Z} −→ R, x %→ cot(x) := cos(x) sin(x) werden als Tangens- bzw. Kotangensfunktion bezeichnet. Die Tangensfunktion besitzt an den Nullstellen der Kosinusfunktion, d. h. bei x = (2k + 1) π2 für k ∈ Z, und die Kotangensfunktion an den Nullstellen der Sinusfunktion, d. h. bei x = kπ für k ∈ Z, Polstellen. Sie sind damit an diesen Stellen unbeschränkt. Ferner besitzen die trigonometrischen Funktionen sin und tan sowie cos und cot definitionsgemäß jeweils die gleichen Nullstellen (vgl. Abbildung 14.20). Weitere Eigenschaften der Tangens- und Kotangensfunktion lassen sich leicht aus den Eigenschaften der Sinus- und Kosinusfunktion oder auch direkt aus den Eigenschaften des Tangens bzw. Kotangens ableiten. Siehe hierzu auch die beiden Sätze 5.5 und 5.6 in Abschnitt 5.1. Arcus-Funktionen Die vier trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot sind periodisch und damit nicht global, d. h. nicht über dem gesamten Definitionsbereich umkehrbar (invertierbar). Zum Beispiel besitzt die Gleichung sin(x) = 12 unendlich viele Lösungen xk = π6 + 2kπ mit k ∈ Z. Die vier trigonometrischen Funktionen sind jedoch jeweils in gewissen Teilintervallen von R streng monoton und damit sind ihre Restriktionen auf diesen Teilintervallen nach Satz 13.10 auch umkehrbar. Zum Beispiel sind die Sinus- und die Tangensfunktion sin bzw. tan auf den Teilintervallen [ (2k − 1) π 2 , (2k + 1) π 2 ] bzw. ( (2k − 1) π 2 , (2k + 1) π 2 ) (14.35) für jedes k ∈ Z streng monoton und damit ihre Restriktionen auf diesen Teilintervallen auch invertierbar. Eine analoge Aussage gilt für die Kosinus- und die Kotangensfunktion cos bzw. cot auf den Teilintervallen [kπ, (k + 1)π ] bzw. (kπ, (k + 1)π) (14.36) für jedes k ∈ Z. 402 Kapitel 1414.7 Trigonometrische Funktionen Dieser Sachverhalt erlaubt es, für alle k ∈ Z die Umkehrfunktionen der Restriktionen von sin, cos, tan und cot auf die Teilintervalle (14.35) bzw. (14.36) zu definieren. Speziell für k = 0 erhält man aus (14.35) und (14.36) die Teilintervalle [ −π 2 , π 2 ] und ( −π 2 , π 2 ) bzw. [0, π ] und (0, π) . (14.37) Die Umkehrfunktionen der Restriktionen von sin, cos, tan und cot auf diese speziellen Teilintervalle werden als Arcus- Funktionen oder inverse Winkelfunktionen bezeichnet. Definition 14.47 (Arcus-Funktionen) Die Umkehrfunktionen der Restriktionen von sin, cos, tan und cot auf den Teilintervallen [− π2 , π2 ] , [0, π ], (− π2 , π2 ) bzw. (0, π)werden als Arcus-Funktionen oder auch inverse Winkelfunktionen bezeichnet und sind gegeben durch: a) arcsin : [−1, 1] −→ R, x %→ arcsin(x) (Arcussinus-Funktion) b) arccos : [−1, 1] −→ R, x %→ arccos(x) (Arcuskosinus-Funktion) c) arctan : R −→ R, x %→ arctan(x) (Arcustangens-Funktion) d) arccot : R −→ R, x %→ arccot(x) (Arcuskotangens-Funktion) Es gilt y = arcsin(x) ⇐⇒ sin(y) = x für alle x ∈ [−1, 1]. Das heißt, mit Hilfe der Arcus-Funktion arcsin können Gleichungen der Form x = sin(y) für y ∈ [− π2 , π2 ] nach y aufgelöst werden. Eine analoge Aussage gilt für die anderen drei Arcus-Funktionen arccos, arctan und arccot (vgl. Beispiel 14.48). Neben dem Lösen von Gleichungen werden Arcus-Funktionen auch bei der Integration einer ganzen Reihe von gebrochen-rationalen und algebraischen Funktionen benötigt (siehe Abschnitt 19.8). Als Umkehrfunktionen (von Restriktionen) der trigonometrischen Funktionen erhält man den Graphen einer Arcus- Funktion durch Spiegelung des Graphen der entsprechenden trigonometrischen Funktion an der Geraden y = x. Die Bezeichnung „Arcus-Funktion“ leitet sich vom lateinischen Wort „arcus“ (für Bogen) ab und ist dadurch motiviert, dass y = arcsin(x) die Länge des Kreisbogens mit sin(y) = x, y = arccos(x) die Länge des Kreisbogens mit cos(y) = x, y = arctan(x) die Länge des Kreisbogens mit tan(y) = x und y = arccot(x) die Länge des Kreisbogens mit cot(y) = x ist. Dies folgt aus der Definition der Arcus-Funktionen als Umkehrfunktionen (von Restriktionen) der vier trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot. Die Definition 14.47 bezieht sich ausschließlich auf die Restriktionen der trigonometrischen Funktionen auf die Teilintervalle (14.37), also auf die speziellen Teilintervalle (14.35)– (14.36) mit k = 0 (vgl. Abbildung 14.21). Analog können auch für alle anderen k ∈ Z, d. h. für die Restriktionen auf die Teilintervalle (14.35)–(14.36) mit k ∈ Z, Umkehrfunktionen definiert werden. Man erhält dann z. B. für sin und cos arcsink : [−1, 1] −→ R, x %→ arcsink(x) := { kπ + arcsin(x) für k gerade kπ − arcsin(x) für k ungerade bzw. arccosk : [−1, 1]−→R, x %→arccosk(x) := kπ + arccos(x) für k ∈ Z und spricht dann vom k-ten Zweig der Arcussinusbzw. der Arcuskosinus-Funktion. Der 0-te Zweig, d. h. der Fall k = 0 aus Definition 14.47, wird dann als Hauptzweig der Arcussinus- bzw. Arcuskosinus-Funktion bezeichnet. Solange jedoch keine Verwechslungen zu befürchten sind, werden die Hauptzweige einfach kurz Arcussinus- bzw. Arcuskosinus-Funktion genannt. Analoge Aussagen gelten auch für die Umkehrfunktionen der beiden anderen trigonometrischen Funktionen tan und cot. Zwischen arcsin und arccos sowie arctan und arccot bestehen die beiden funktionalen Zusammenhänge arccos(x) = π 2 − arcsin(x) für alle x ∈ [−1, 1] (14.38) arccot(x) = π 2 − arctan(x) für alle x ∈ R (14.39) (vgl. Abbildung 14.21). In älteren Mathematiklehrbüchern ist für die Arcus- Funktionen auch noch die Bezeichnung zyklometrische Funktionen zu finden. 403 Kapitel 14 Spezielle reelle Funktionen −1 −0.5 0.5 1 − π 2 π 2 arcsin (x) −1 −0.5 0 0.5 1 π 2 π arccos (x) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 − π 2 π 2 arctan (x) −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 π 2 π arccot (x) Abb. 14.21: Die Arcus-Funktionen arcsin(x) (links oben), arccos(x) (rechts oben), arctan(x) (links unten) und arccot(x) (rechts unten) Anstelle der Schreibweisen arcsin, arccos, arctan und arccot für die Arcus-Funktionen ist auch immer öfter – vor allem im englischsprachigen Raum und auf Taschenrechnern – die Schreibweise sin−1, cos−1, tan−1 bzw. cot−1 gebräuchlich. Beispiel 14.48 (Anwendung der Arcus-Funktionen) a) Gegeben sei das rechtwinklige Dreieck in Abbildung 14.22 (links) mit den bekannten Seitenlängen a, b, c > 0. Dann können mit den beiden Arcus- Funktionen arcsin und arccos die Winkel α und β berechnet werden. Denn aus sin(α) = b c , cos(α) = a c , sin(β) = a c und cos(β) = b c (vgl. (5.1)–(5.2)) folgt mit den Umkehrfunktionen von sin und cos α = arcsin ( b c ) = arccos (a c ) bzw. β = arcsin (a c ) = arccos ( b c ) (vgl. Abbildung 14.22, links). b) Betrachtet wird das Bademoden-Unternehmen aus Beispiel 14.45a). Für die ermittelte Funktion f : R+ −→ R, x %→ f (x) = 5 cos ( π 6 x + 56π ) + 5 zur Beschreibung der monatlichen Absatzzahlen sollen nun alle Zeitpunkte x ∈ R+ mit f (x) = 5 ermittelt werden. Das heißt, es ist die Gleichung 5 cos ( π 6 x + 5 6 π ) + 5 = 5 bzw. cos ( π 6 x + 5 6 π ) = 0 nach x aufzulösen. Wegen arccos(0) = π2 erhält man mit dem k-ten Zweig der Arcuskosinusfunktion π 6 x + 5 6 π = arccosk(0) = ( k + 1 2 ) π mit k ∈ Z. Auflösen der Gleichung π 6 x + 5 6 π = ( k + 1 2 ) π nach x ∈ R+ liefert x = 6k − 2 mit k ∈ N. Das heißt, es gilt f (x) = 5 für x = 4, 10, 16, 22, . . . (vgl. Abbildung 14.22, rechts). 404 Kapitel 1414.7 Trigonometrische Funktionen α β a b c 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 l l l x x x Abb. 14.22: Rechtwinkliges Dreieck mit Seitenlängen a, b, c > 0 (links) und Funktion f (x) = 5 cos ( π 6 x + 56π ) + 5 sowie x ∈ R+ mit f (x) = 5 (rechts) 405

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.