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13. Eigenschaften reeller Funktionen in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 330 - 372

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_330

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Teil IV Reelle Funktionen Kapitel13 Eigenschaften reeller Funktionen Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen 13.1 Reelle Funktionen C. Hermite Vom französischen Mathematiker Charles Hermite (1822–1901) ist folgendes Zitat überliefert: „Ich glaube, dass die Zahlen und die analytischen Funktionen nicht ein beliebiges Produkt unseres Geistes sind; ich denke, dass es sie außerhalb von uns gibt, mit der gleichen Notwendigkeit wie die Dinge der objektiven Wirklichkeit, und dass wir sie finden oder sie entdecken und sie erforschen wie die Physiker, die Chemiker und die Zoologen.“ In Abschnitt 6.6 wurden bereits ganz allgemein Abbildungen f : M −→ N mit beliebigen Definitions- und Wertebereichen M bzw. N betrachtet. In diesem Kapitel steht nun mit den reellwertigen Funktionen einer reellen Variablen, den sogenannten reellen Funktionen, eine spezielle Klasse von Abbildungen im Mittelpunkt. Diese Funktionsklasse zeichnet sich dadurch aus, dass der Definitionsbereich M = D eine Teilmenge der Menge R der reellen Zahlen ist und der Wertebereich durch R gegeben ist: Definition 13.1 (Reelle Funktion) Eine Funktion f : D −→ R mit D ⊆ R wird als reellwertige Funktion einer reellen Variablen oder als reelle Funktion bezeichnet. Reelle Funktionen werden in der Regel durch eine Funktionsgleichung y = f (x) beschrieben. Das heißt, es wird die funktionale Beziehung zwischen der unabhängigen Variablen x und der abhängigen Variablen y angegeben. 13.2 Rechenoperationen für reelle Funktionen Der folgende Satz besagt, dass die Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sowie die Maximums- und Minimumsbildung bei reellen Funktionen f und g punktweise definiert werden und dabei jeweils wieder eine reelle Funktion resultiert: Satz 13.2 (Rechenoperationen bei reellen Funktionen) Es seien f : Df −→ R und g : Dg −→ R zwei reelle Funktionen mit Df ∩Dg = ∅ und α ∈ R. Dann sind auch a) (αf ) : Df −→ R, x %→ (αf )(x) := αf (x), b) (f + g) : Df ∩Dg −→ R, x %→ f (x)+ g(x), c) (f − g) : Df ∩Dg −→ R, x %→ f (x)− g(x), d) (f · g) : Df ∩Dg −→ R, x %→ f (x) · g(x), e) ( f g ) : D −→ R, x %→ f (x) g(x) mit D := Df ∩ Dg \ { x ∈ Dg : g(x) = 0 } , f) max {f, g} :Df ∩Dg−→R, x %→max {f (x), g(x)} und g) min {f, g} :Df ∩Dg−→R, x %→ min {f (x), g(x)} reelle Funktionen. Beweis: Die Aussagen sind unmittelbar einleuchtend. Das folgende Beispiel zeigt den expliziten Umgang mit Rechenoperationen bei reellen Funktionen: Beispiel 13.3 (Rechenoperationen bei reellen Funktionen) Gegeben seien die beiden reellen Funktionen f : R+ −→ R, x %→ x − 5√x und g : [−3, 3] −→ R, x %→ √ 9 − x2. Dann sind auch a) (2f ) : R+ −→ R, x %→ 2x − 10√x, b) (f + g) : [0, 3] −→ R, x %→ x − 5√x +√9 − x2, c) (f − g) : [0, 3] −→ R, x %→ x − 5√x −√9 − x2, d) (f ·g) : [0, 3] −→ R, x %→ x√9 − x2−5√9x − x3, e) ( f g ) : [0, 3) −→ R, x %→ x−5 √ x√ 9−x2 , f) max {f, g} : [0, 3] −→ R, x %→ √9 − x2 und g) min {f, g} : [0, 3] −→ R, x %→ x − 5√x reelle Funktionen (vgl. Abbildung 13.1, links). 328 Kapitel 1313.2 Rechenoperationen für reelle Funktionen −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 f(x) − 1.5 f (x) g(x) (f + g)(x) (f − g)(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 (5,25) (4,14) l l g(x) u(x) k(x) Abb. 13.1: Reelle Funktionen f (x) = x− 5√x, g(x) = √ 9 − x2, − 32f (x), (f + g)(x) und (f − g)(x) (links) sowie Umsatzfunktion u(a) = −(a − 5)2 + 25, Kostenfunktion k(a) = 2 + 2a und Gewinnfunktion g(a) = −(a − 4)2 + 14 einer Einproduktunternehmung (rechts) Das nächste Beispiel zeigt, dass bereits bei der Berechnung der Gewinn- und Umsatzfunktion eines Unternehmens Rechenoperationen für reelle Funktionen benötigt werden: Beispiel 13.4 (Gewinn- und Umsatzfunktion einer Einproduktunternehmung) Betrachtet wird ein Unternehmen, das nur ein Produkt produziert. Es wird angenommen, dass der funktionale Zusammenhang zwischen seinem Absatz a und Preis p durch die Preis-Absatz-Funktion a(p) := s − q · p mit s, q > 0 und 0 ≤ p ≤ s q beschrieben wird. Das heißt, der Wert s = a(0) ist die sogenannte Sättigungsgrenze und der Absatz a bewegt sich zwischen 0 und s. Der Wert q gibt die Verringerung des Absatzes a an, wenn der Preis p um eine Geldeinheit steigt. Weiter sei angenommen, dass die Produktionskosten in Abhängigkeit vom Absatz a durch die Kostenfunktion k(a) := c + d · a gegeben sind, wobei c ≥ 0 die Fixkosten und d > 0 die variablen Stückkosten pro Einheit bezeichnen. Der Preis p in Abhängigkeit vom Absatz a ∈ [0, s] wird durch die Umkehrfunktion p(a) := a−1(p) = 1 q (s − a) der Preis-Absatz-Funktion a(p) beschrieben. Damit erhält man für den Umsatz u und den Gewinn g in Abhängigkeit vom Absatz a die beiden quadratischen Funktionen u(a) = p(a)a = 1 q (s − a)a = − 1 q a2 + s q a bzw. g(a) = u(a)− k(a) = − 1 q a2 + s q a − c − da = − 1 q a2 + ( s q − d ) a − c. Speziell für s = 10, c = 2, d = 2 und q = 1 resultieren die folgenden konkreten Umsatz-, Kosten- und Gewinnfunktionen u(a) = −a2 + 10a, k(a) = 2 + 2a und g(a) = −a2 + 8a − 2. Mit quadratischer Ergänzung erhält man für die Umsatzund Gewinnfunktion die Normalform u(a) = −a2 + 10a = −(a − 5)2 + 25 bzw. g(a) = −a2 + 8a − 2 = −(a − 4)2 + 14. 329 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen Das heißt, der Scheitel der Umsatz- und Gewinnfunktion ist gegeben durch (5, 25) bzw. (4, 14). Die Abbildung 13.1, rechts zeigt die Graphen der Umsatz-, Kosten und Gewinnfunktion. Man erkennt, die Kostenfunktion k(a) ist eine ansteigende affin-lineare Funktion, der Umsatz u(a) ist steigend zwischen 0 und 5 und fallend zwischen 5 und 10 und die Gewinnfunktion g(a) ist steigend zwischen 0 und 4 und fallend zwischen 4 und 10. Der maximale Umsatz wird somit bei einem Absatz von a = 5 und der maximale Gewinn bei einem Absatz von a = 4 Einheiten erzielt. Dieser Absatz resultiert bei einem Preis von p(5) = 5 bzw. p(4) = 6 Geldeinheiten. 13.3 Beschränktheit und Monotonie In diesem Abschnitt werden mit der Beschränktheit und der Monotonie zwei mögliche Eigenschaften reeller Funktionen betrachtet. Beschränktheit Für verschiedene Fragestellungen ist es von Interesse, ob eine gegebene reelle Funktion beliebig kleine oder große Werte annehmen kann oder nicht. Dies führt zum Begriff der Beschränktheit einer reellen Funktion f , der analog zum Beschränktheitsbegriff für Folgen definiert ist (vgl. Definition 11.8): Definition 13.5 (Beschränkte reelle Funktion) Eine reelle Funktion f : D −→ R heißt auf A ⊆ D nach unten (oben) beschränkt, falls f (x) ≥ c (bzw. f (x) ≤ c) für ein c ∈ R und alle x ∈ A gilt. Die Funktion f wird als beschränkt auf A ⊆ D bezeichnet, falls |f (x)| ≤ c für ein c ∈ R und alle x ∈ A erfüllt ist. Ist f auf A ⊆ D nicht nach unten (oben) beschränkt, dann heißt f nach unten (oben) unbeschränkt auf A ⊆ D. Eine reelle Funktion f : D −→ R ist somit genau dann beschränkt, wenn f (x) ∈ [−c, c] für alle x ∈ D und ein c ∈ R gilt. Ein solcher Wert c heißt Schranke von f . Analog wird ein Wert c mit f (x) ≤ c oder f (x) ≥ c für alle x ∈ D als obere Schranke bzw. untere Schranke von f bezeichnet. Schranken sind offensichtlich nicht eindeutig. Beispiel 13.6 (Beschränktheit bei reellen Funktionen) a) Die affin-lineare Funktion f : (−∞, 3] −→ R, x %→ 2x + 5 ist nach unten unbeschränkt und nach oben z. B. durch die obere Schranke c = 11 beschränkt. b) Die quadratische Funktion f : [−3, 3] −→ R, x %→ −x2 + 20 ist nach unten z. B. durch die untere Schranke c = 11 und nach oben z. B. durch die obere Schranke c = 20 beschränkt. Monotonie Für weiterführende Untersuchungen reeller Funktionen ist die Eigenschaft der Monotonie von Bedeutung, welche ebenfalls analog zum Monotoniebegriff für Folgen definiert ist (vgl. Definition 11.10). Viele in den Wirtschaftswissenschaften betrachtete funktionale Zusammenhänge sind monoton. Beispielsweise verringert sich in der Regel die Nachfrage nach einem bestimmten Wirtschaftsgut, wenn der Preis für dieses Gut steigt, und im berühmten Black-Scholes-Modell zur Bewertung europäischer Optionen erhöht sich der Preis für eine sogenannte Call-Option, wenn der Marktzins in die Höhe geht (vgl. Beispiel 22.4c) in Abschnitt 22.1). Definition 13.7 (Monotone reelle Funktion) a) Eine reelle Funktion f : D −→ R heißt auf A ⊆ R monoton wachsend, falls f (x1) ≤ f (x2) für alle x1, x2 ∈ A mit x1 < x2, und streng monoton wachsend auf A, falls f (x1) < f (x2) für alle x1, x2 ∈ A mit x1 < x2. Gilt dabei A = D, dann wird f kurz als (streng) monoton wachsend bezeichnet. b) Eine reelle Funktion f :D −→ R heißt auf A ⊆ R monoton fallend, falls f (x1) ≥ f (x2) für alle x1, x2 ∈ A mit x1 < x2, und streng monoton fallend auf A, falls f (x1) > f (x2) für alle x1, x2 ∈ A mit x1 < x2. Gilt dabei A = D, dann wird f kurz als (streng) monoton fallend bezeichnet. 330 Kapitel 1313.3 Beschränktheit und Monotonie Der Graph einer monoton wachsenden reellen Funktion f ist somit für wachsendes x ansteigend oder zumindest nicht fallend und der Graph einer monoton fallenden reellen Funktion ist für wachsendes x fallend oder zumindest nicht ansteigend (siehe Abbildung 13.2). Eine reelle Funktion f ist offensichtlich genau dann (streng) monoton wachsend, wenn die reelle Funktion −f (streng) monoton fallend ist und umgekehrt. Der folgende Satz besagt, dass bei der Komposition von zwei reellen Funktionen die Monotonieeigenschaften erhalten bleiben: Satz 13.8 (Monotonieerhaltung bei Komposition) Es seien f : Df −→ R und g : Dg −→ R reelle Funktionen mit g(Dg) ⊆ Df . Dann gilt: a) Sind f und g (streng) monoton wachsend, dann ist auch f ◦ g (streng) monoton wachsend. b) Sind f und g (streng) monoton fallend, dann ist auch f ◦ g (streng) monoton fallend. Beweis: Zu a): Die reellen Funktionen f und g seien monoton wachsend. Dann gilt g(x1) ≤ g(x2) und damit auch (f ◦ g)(x1) = f (g(x1)) ≤ f (g(x2)) = (f ◦ g)(x2) für alle x1, x2 ∈ Dg mit x1 < x2. Das heißt, die Komposition f ◦g ist monoton wachsend. 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 l f (x) 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 f (x) 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 f (x) 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 f (x) Abb. 13.2: Reelle Funktionen mit unterschiedlichem Monotonieverhalten Im Falle streng monoton wachsender reeller Funktionen f und g gilt g(x1) < g(x2) und damit insbesondere auch (f ◦g)(x1) = f (g(x1)) < f (g(x2)) = (f ◦ g)(x2) für alle x1, x2 ∈ Dg mit x1 < x2. Die Komposition f ◦g ist somit streng monoton wachsend. Zu b): Zeigt man analog zu Teil a). Beispiel 13.9 (Monotonie bei reellen Funktionen) a) Abbildung 13.2 zeigt den Graphen einer monoton wachsenden reellen Funktion (links oben), einer streng monoton wachsenden reellen Funktion (rechts oben), einer monoton fallenden reellen Funktion (links unten) und einer streng monoton fallenden reellen Funktion (rechts unten). b) Abbildung 13.3 zeigt den Graphen einer reellen Funktion f , die auf den Intervallen (−∞, a] und [b,∞) streng monoton steigend und auf dem Intervall [a, b] streng monoton fallend ist. Die reelle Funktion ist jedoch auf jedem endlichen Intervall [c, d] ⊆ R beschränkt. c) Die reelle Funktion f : D −→ R+, x %→ f (x) = cxd mit c > 0 und D := R+ für d ≥ 0 bzw. D := {x ∈ R | x > 0} für d < 0 wird z. B. in der Mikro- 331 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen f (x) −1 1 2 3 4 −20 −10 10 20 30 a b Abb. 13.3: Reelle Funktion mit wechselndem Monotonieverhalten und Makroökonomie sehr häufig als Produktionsund Nutzenfunktion eingesetzt. Speziell für c = 1 und d = 3, 12 ,− 12 erhält man die drei reellen Funktionen f1 : D−→R+, x %→ x3, f2 : D−→R+, x %→ √x und f3 : D −→ R+, x %→ 1√ x . Offensichtlich gilt: f1(x1) < f1(x2) für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 f2(x1) < f2(x2) für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 f3(x1) > f3(x2) für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 Das heißt, die reellen Funktionen f1 und f2 sind streng monoton wachsend und f3 ist streng monoton fallend. Eine streng monotone reelle Funktion f : D −→ f (D) besitzt die vorteilhafte Eigenschaft, dass sie stets eine Umkehrfunktion f −1 besitzt: Satz 13.10 (Umkehrbarkeit streng monotoner reeller Funktionen) Ist f : D −→ f (D) eine streng monotone reelle Funktion, dann ist f umkehrbar. Beweis: Wenn f streng monoton wachsend ist, dann gilt f (x1) < f (x2) für x1 < x2. Das heißt, es gibt zu jedem Element y des Wertebereiches f (D) genau ein x ∈ D mit y = f (x) und die Funktion f ist damit bijektiv bzw. gemäß Definition 6.32 auch umkehrbar. Für eine streng monoton fallende Funktion f verläuft der Beweis völlig analog. Bei einer auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall definierten reellen Funktion besteht zwischen Monotonie und Beschränktheit der folgende Zusammenhang: Satz 13.11 (Monotonie impliziert Beschränktheit) Es sei f : [a, b] −→ R eine monotone reelle Funktion. Dann ist f beschränkt. Beweis: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei die Funktion f monoton wachsend. Dann gilt f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) für alle x ∈ [a, b] und damit |f (x)| ≤ c für c := max {|f (a)|, |f (b)|} und alle x ∈ [a, b]. Wie der folgende Satz zeigt, besitzt eine streng monotone reelle Funktion f dieselben Monotonieeigenschaften wie ihre Umkehrfunktion f −1: 332 Kapitel 1313.4 Konvexität und Konkavität Satz 13.12 (Monotonieeigenschaften der Umkehrfunktion) Es sei f : D −→ f (D) eine streng monoton wachsende (fallende) reelle Funktion. Dann ist auch die Umkehrfunktion f −1 : f (D) −→ R streng monoton wachsend (fallend). Beweis: Aus Satz 13.10 folgt, dass f umkehrbar ist und damit eine Umkehrfunktion f−1 : f (D) −→ R besitzt. Ist f streng monoton wachsend, dann gilt y1 := f (x1) < f (x2) =: y2 für alle x1, x2 ∈ D mit x1 < x2. Dies impliziert f−1(y1) = x1 < x2 = f−1(y2) und damit insbesondere, dass auch f−1 streng monoton wachsend ist. Für eine streng monoton fallende Funktion f verläuft der Beweis völlig analog. Beispiel 13.13 (Monotonie bei Umkehrfunktionen) Die Abbildung 13.4 zeigt links den Graphen der streng monoton wachsenden reellen Funktion f : R+ −→ R+, x %→ x2 und ihrer streng monoton wachsenden Umkehrfunktion f −1 : R+ −→ R+, x %→ √x sowie rechts den Graphen der streng monoton fallenden reellen Funktion f : R+ −→ (−∞, 0], x %→ −x3 und ihrer streng monoton fallenden Umkehrfunktion f −1 : (−∞, 0] −→ R+, x %→ 3√−x. 0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 f −1(x) f (x) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 f −1(x) f (x) Abb. 13.4: Streng monoton wachsende reelle Funktion f : R+ −→ R+, x %→ x2 mit Umkehrfunktion f−1 : R+ −→ R+, x %→ √x (links) und streng monoton fallende reelle Funktion f : R+ −→ (−∞, 0], x %→ −x3 mit Umkehrfunktion f−1 : (−∞, 0] −→ R+, x %→ 3√−x (rechts) 13.4 Konvexität und Konkavität J. L. Jensen Neben den Eigenschaften Beschränktheit und Monotonie (vgl. Abschnitt 13.3) liefert auch das Krümmungsverhalten, d. h. die Geschwindigkeit, mit der eine Funktion wächst oder fällt, wertvolle Informationen über den Verlauf des Graphen einer reellen Funktion. Vergleicht man z. B. den Graphen der beiden Funktionen f und f −1 im linken Teil der Abbildung 13.4, dann stellt man zwar fest, dass beide Graphen jeweils zu einer streng monoton wachsenden Funktion gehören, das Wachstum bei diesen beiden Funktionen aber sehr unterschiedlich verläuft. Denn während der Graph der Funktion f ein beschleunigtes (progressives) Wachstum aufweist, besitzt der Graph der Umkehrfunktion lediglich ein verzögertes (degressives) Wachstum. Im ersten Fall spricht man von einer konvexen und im zweiten Fall von einer konkaven Funktion. Diese beiden Bezeichnungen wurden 1905 vom dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen (1859–1925) eingeführt und sind seitdem sehr gebräuchlich. 333 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) f(x1) f(x2) x1 x2 f(λx1 + (1 − λ)x2) λx1 + (1 − λ)x2 λf(x 1) + (1 − λ)f(x 2 ) l l l 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) f(x1) f(x2) x1 x2 f(λx1 + (1 − λ)x2) λx1 + (1 − λ)x2 λf(x1) + (1 − λ)f(x2 ) l l l Abb. 13.5: Graph einer konvexen Funktion (links) und Graph einer konkaven Funktion (rechts) Definition 13.14 (Konvexe und konkave Funktion) Es sei f : D −→ R eine reelle Funktion und I ⊆ D ein Intervall. Dann gilt: a) Die Funktion f heißt konvex auf I , falls f (λx1+(1−λ)x2)≤λf (x1)+(1−λ)f (x2) (13.1) für alle x1, x2 ∈ I mit x1 = x2 und λ ∈ (0, 1) gilt, und streng konvex auf I , falls in (13.1) die strikte Ungleichung < erfüllt ist. b) Die Funktion f heißt konkav auf I , falls f (λx1+(1−λ)x2)≥λf (x1)+(1−λ)f (x2) (13.2) für alle x1, x2 ∈ I mit x1 = x2 und λ ∈ (0, 1) gilt, und streng konkav auf I , falls in (13.2) die strikte Ungleichung > erfüllt ist. Gilt zusätzlich I = D, dann sagt man, dass f (streng) konvex bzw. (streng) konkav ist. Ist die Funktion f : D −→ R konvex (konkav), dann bedeutet dies anschaulich, dass der Funktionswert f (λx1 + (1 − λ)x2) einer beliebigen Konvexkombination λx1 + (1 − λ)x2 mit x1, x2 ∈ D stets unterhalb (oberhalb) oder auf der Verbindungsgeraden (Sehne) y = λf (x1) + (1 − λ)f (x2) mit λ ∈ [0, 1] der beiden Punkte (x1, f (x1)) und (x2, f (x2)) liegt (siehe hierzu Abbildung 13.5). Darüber hinaus ist aus der Definition 13.14 unmittelbar ersichtlich, dass eine Funktion f : D −→ R genau dann (streng) konkav ist, wenn die Funktion −f (streng) konvex ist und umgekehrt. Weiter kann man zeigen, dass bei einer konvexen Funktion f : D −→ R der Graph von f stets so gewölbt ist, dass die Punktmenge {(x, y) : x ∈ D und y ≥ f (x)} oberhalb des Graphen, der sogenannte Epigraph, eine konvexe Menge ist. Dagegen ist bei einer konkaven Funktion f : D −→ R der Graph so gewölbt, dass die Punktmenge {(x, y) : x ∈ D und y ≤ f (x)} unterhalb des Graphen, der sogenannte Hypograph oder Subgraph, eine konvexe Menge ist. Die Abbildung 13.6 zeigt den Graphen einer streng monoton wachsenden konvexen Funktion f1 (links oben), einer streng monoton wachsenden konkaven Funktion f2 (rechts oben), einer streng monoton fallenden konvexen Funktion f3 (links unten) und einer streng monoton fallenden konkaven Funktion f4 (rechts unten). Es ist zu erkennen, dass konvexe Funktionen linksgekrümmt und konkave Funktionen rechtsgekrümmt sind. Aus diesem Grund werden konvexe Funktionen auch als linksgekrümmt und konkave Funktionen als rechtsgekrümmt bezeichnet. 334 Kapitel 1313.4 Konvexität und Konkavität 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 f1(x) 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 f2(x) 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 f3(x) 0 1 2 0 1 2 3 4 5 6 f4(x) Abb. 13.6: Graph einer streng monoton wachsenden bzw. fallenden konvexen Funktion f1 bzw. f3 (links) und Graph einer streng monoton wachsenden bzw. fallenden konkaven Funktion f2 bzw. f4 (rechts) Konvexe und konkave Funktionen sind in vielen ökonomischen Modellen von großer Bedeutung. Sie spielen z. B. in der Entscheidungs- und Nutzentheorie (vgl. z. B. Laux [41]), in der Spieltheorie (siehe z. B. Neumann-Morgenstern [50] und Holler-Illing [27]) und in der konvexen Optimierung (vgl. z. B. Alt [2] und Papageorgiou [53]) eine wichtige Rolle. Vor allem die Tatsache, dass ein lokales Minimum (Maximum) bei einer konvexen (konkaven) Funktion auch gleichzeitig das globale Minimum (Maximum) ist (vgl. Satz 13.35), besitzt für die nichtlineare Optimierung eine große Bedeutung. Beispiel 13.15 (Krümmungseigenschaften der Potenzfunktion) Die Potenzfunktion f : D −→ R, x %→ axb mit a > 0 und b ∈ R \ {0} besitzt je nach Wahl von b unterschiedliche Monotonie- und Krümmungseigenschaften und ist damit je nach Wahl von b zur Untersuchung verschiedener ökonomischer Problemstellungen geeignet: a) Es sei b < 0 und D := (0,∞). Die Potenzfunktion f ist dann eine streng monoton fallende und streng konvexe Funktion. Diese Funktion wird z. B. zur Beschreibung der Abhängigkeit des Absatzes y = f (x) = axb vom Produktpreis oder Einkommen x eingesetzt (sog. Preis-Absatz-Funktion bzw. Engel-Funktion für geringerwertige Produkte). b) Es sei b ∈ (0, 1) und D := R+. Die Potenzfunktion f ist dann eine streng monoton wachsende und streng konkave Funktion. Man sagt, dass die Funktion ein unterproportionales (degressives) Wachstum besitzt. Diese Funktion wird z. B. zur Beschreibung der Abhängigkeit des Absatzes y = f (x) = axb vom Werbemitteleinsatz oder Einkommen x verwendet (sog. Werbung-Absatz-Funktion bzw. Engel-Funktion für normale Produkte). c) Es sei b = 1 und D := R+. Die Potenzfunktion f ist dann linear und streng monoton wachsend. Man spricht daher von proportionalem Wachstum mit der Proportionalitätskonstanten a. Diese Funktion wird z. B. zur Beschreibung der Abhängigkeit der variablen Kosten y = f (x) = ax von der Produktionsmenge x eingesetzt (sog. Kostenfunktion). d) Es sei b > 1 und D := R+. Die Potenzfunktion f ist dann streng monoton wachsend und streng konvex. Man spricht deshalb von überproportionalem (progressivem) Wachstum. Diese Funktion wird z. B. zur Beschreibung der Abhängigkeit der Angebotsmenge y = f (x) = axb vom Produktpreis x verwendet (sog. Angebots-Preis-Funktion). 335 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 f (x) = 2 x f (x) = 2 x f (x) = 2x f (x) = x3 Abb. 13.7: Graph der Potenzfunktion f (x) = axb mit a = 2 und b = − 12 (blau), a = 2 und b = 12 (grün), a = 2 und b = 1 (schwarz) sowie a = 1 und b = 32 (rot) Im Folgenden wird anhand zweier einfacher Beispiele gezeigt, wie explizit nachgewiesen werden kann, dass eine gegebene Funktion streng konvex bzw. streng konkav ist: Beispiel 13.16 (Expliziter Nachweis von Krümmungseigenschaften) a) Die quadratische Funktion f1 : R −→ R, x %→ f1(x) = x2 ist streng konvex. Denn für x, y ∈ R mit x = y und λ ∈ (0, 1) gilt (λx + (1 − λ)y)2 = λ2x2 + 2λ(1 − λ)xy + (1 − λ)2y2 = λx2 + (1 − λ)y2 − λ(1 − λ)(x − y)2 < λx2 + (1 − λ)y2. (13.3) Das heißt, die quadratische Funktion f1 ist streng konvex (vgl. Abbildung 13.8, links). b) Die Quadratwurzelfunktion f2 : R+ −→ R, x %→ f2(x) = √x ist streng konkav. Denn aus (13.3) folgt durch Einsetzen von √ x, √ y mit x, y ∈ R+ und x = y für λ ∈ (0, 1) (λ √ x + (1 − λ)√y)2 < λx + (1 − λ)y. Da f2 streng monoton wachsend ist, folgt durch Anwendung von f2 auf beiden Seiten dieser Ungleichung λ √ x + (1 − λ)√y < √λx + (1 − λ)y. Das heißt, die Quadratwurzelfunktion f2 ist streng konkav (vgl. Abbildung 13.8, rechts). Das Beispiel 13.16 deutet bereits an, dass die Untersuchung einer reellen Funktion auf Konvexität oder Konkavität nur anhand der Definition 13.14 schnell etwas mühsam werden kann. In Abschnitt 16.17 wird sich jedoch zeigen, dass die Krümmungseigenschaften einer reellen Funktion oft sehr einfach mit Hilfe der Differentialrechnung untersucht werden können. Eigenschaften konvexer und konkaver Funktionen Der folgende Satz 13.17a) besagt, dass bei einer Linearkombination von ausschließlich konvexen oder ausschließlich konkaven Funktionen die Krümmungseigenschaft erhalten bleibt. Gemäß Satz 13.17b) gilt dies jedoch nicht für die Maximums- und die Minimumsfunktion. Denn die Maxi- 336 Kapitel 1313.4 Konvexität und Konkavität −3 −2 −1 0 1 2 3 2 4 6 8 f1(x) 0 1 2 3 0 1 2 f2(x) Abb. 13.8: Streng konvexe Funktion f1 : R −→ R, x %→ f1(x) = x2 (links) und streng konkave Funktion f2 : R+ −→ R, x %→ f2(x) = √ x (rechts) mumsfunktion bewahrt lediglich bei konvexen und die Minimumsfunktion nur bei konkaven Funktionen die Krümmungseigenschaft: Satz 13.17 (Rechenoperationen bei konvexen und konkaven Funktionen) Es seien If , Ig ⊆ R zwei Intervalle mit If ∩Ig = ∅. Dann gilt: a) Jede Linearkombination αf + βg : If ∩ Ig −→ R, x %→ (αf + βg)(x) = αf (x)+ βg(x) zweier konvexer (konkaver) Funktionen f : If −→ R und g : Ig −→ R mit α, β ≥ 0 ist eine konvexe (konkave) Funktion. Im Falle strenger Konvexität (Konkavität) von f und g sowie α, β > 0 ist αf +βg sogar streng konvex (konkav). b) Die Maximumsfunktion max : If ∩ Ig −→ R, x %→ max {f, g} (x) = max {f (x), g(x)} zweier (streng) konvexer Funktionen f : If −→ R und g : Ig −→ R ist (streng) konvex und die Minimumsfunktion min : If ∩ Ig −→ R, x %→ min {f, g} (x) = min {f (x), g(x)} zweier (streng) konkaver Funktionen f : If −→ R und g : Ig −→ R ist (streng) konkav. Beweis: Zu a): Die beiden reellen Funktionen f und g seien konvex. Dann folgt für alle x1, x2 ∈ If ∩ Ig mit x1 = x2 und λ ∈ (0, 1) (αf + βg)(λx1 + (1 − λ)x2) = αf (λx1 + (1 − λ)x2)+ βg(λx1 + (1 − λ)x2) ≤ α(λf (x1)+ (1 − λ)f (x2))+ β(λg(x1)+ (1 − λ)g(x2)) = λ(αf (x1)+ βg(x1))+ (1 − λ)(αf (x2)+ βg(x2)) = λ(αf + βg)(x1)+ (1 − λ)(αf + βg)(x2). (13.4) Das heißt, αf +βg ist konvex. Im Falle streng konvexer Funktionen f und g sowie α, β > 0 gilt in (13.4) sogar die strenge Ungleichung und damit strenge Konvexität. Für die (strenge) Konkavität verläuft der Beweis völlig analog. Zu b): Der Beweis verläuft analog zu Aussage a). Durch wiederholte Anwendung von Satz 13.17a) erhält man, dass jede Linearkombination α1f1 + . . .+ αnfn von endlich 337 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen vielen konvexen (konkaven) Funktionen f1, . . . , fn und mit α1, . . . , αn ≥ 0 wieder eine konvexe (konkave) Funktion ist. Analog folgt mit Satz 13.17b), dass jedes Maximum max {f1, . . . , fn} von endlich vielen (streng) konvexen und jedes Minimum min {f1, . . . , fn} von endlich vielen (streng) konkaven Funktionen f1, . . . , fn wieder eine (streng) konvexe bzw. (streng) konkave Funktion ist (vgl. Beispiel 13.18a) und b)). Der Satz 13.17a) besagt insbesondere, dass die Summe (streng) konvexer oder (streng) konkaver Funktionen wieder (streng) konvex bzw. (streng) konkav ist. Dies trifft jedoch im Allgemeinen nicht für Differenzen, Produkte und Quotienten von konvexen (konkaven) Funktionen zu, wie das folgende Beispiel 13.18c) zeigt: Beispiel 13.18 (Rechenoperationen bei konvexen und konkaven Funktionen) a) Die Exponentialfunktion exp : R −→ R, x %→ ex ist streng konvex und die natürliche Logarithmusfunktion ln : (0,∞) −→ R, x %→ ln(x) ist streng konkav. Damit ist jedoch ln : (0,∞) −→ R, x %→ − ln(x) streng konvex und mit Satz 13.17a) folgt somit, dass die Linearkombination f : (0,∞) −→ R, −2 −1 1 2 −2 2 4 6 8 10 ln(x) e x 1.5 e x − ln(x) 0 1 2 3 0 5 10 15 20 x2 + 2 e x x3 max(x2 + 2, x3, e x) −3 −2 −1 1 2 3 −10 −5 5 10 x − x x2 x2 + x − x2 − 1 x Abb. 13.9: Erhaltung der Konvexität bei Linearkombination (links) und Maximumsbildung (Mitte) sowie Verlust der Konvexität bei Differenzen, Produkten und Quotienten (rechts) x %→ 32 ex − ln(x) streng konvex ist (vgl. Abbildung 13.9, links). b) Die reellen Funktionen f1 : R+ −→ R, x %→ x2+2, f2 : R+ −→ R, x %→ x3 und f3 : R+ −→ R, x %→ ex sind streng konvex. Mit Satz 13.17b) folgt somit, dass die Maximumsfunktion f : R+ −→ R, x %→ max {x2 + 2, x3, ex} streng konvex ist (vgl. Abbildung 13.9, Mitte). c) Die reellen Funktionen f1 : R −→ R, x %→ x, f2 : R −→ R, x %→ −x, f3 : R −→ R, x %→ x2+x und f4 : R −→ R, x %→ x2 sind konvex (f3 und f4 sind sogar streng konvex). Die Differenz von f1 und f3 und das Produkt von f1 und f2, d. h. die Funktion f5 : R −→ R, x %→ −x2, sind jedoch streng konkav und der Quotient von f2 und f4, d. h. die Funktion f6 : R \ {0} −→ R, x %→ − 1x , ist streng konvex auf (−∞, 0) und streng konkav auf (0,∞) (vgl. Abbildung 13.9, rechts). Der folgende Satz besagt, dass die Komposition f ◦ g einer streng monoton wachsenden (fallenden) konvexen Funktion f mit einer konvexen (konkaven) Funktion g wieder konvex ist: 338 Kapitel 1313.4 Konvexität und Konkavität Satz 13.19 (Komposition konvexer Funktionen) Es seien If und Ig Intervalle und f : If −→ R und g : Ig −→ R zwei reelle Funktionen mit g(Ig) ⊆ If . Dann gilt: a) Ist g (streng) konvex und f konvex und (streng) monoton wachsend, dann ist f ◦ g (streng) konvex. b) Ist g (streng) konkav und f konvex und (streng) monoton fallend, dann ist f ◦ g (streng) konvex. Beweis: Zu a): Es sei x1, x2 ∈ Ig und λ ∈ (0, 1). Ferner sei angenommen, dass g konvex und f konvex und monoton wachsend ist. Dann folgt f (g(λx1 + (1 − λ)x2)) ≤ f (λg(x1)+ (1 − λ)g(x2)) ≤ λf (g(x1))+ (1 − λ)f (g(x2)). Das heißt, die Komposition f ◦g ist konvex. Im Falle einer streng konvexen Funktion g und einer konvexen und streng monoton wachsenden Funktion f gilt sogar die strenge Ungleichung und damit strenge Konvexität für f ◦ g. Zu b): Der Beweis verläuft analog zur Aussage a). 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 g(x) f (x) f (g(x)) 0 1 2 3 4 0 2 4 6 8 f (x) g(x) f (g(x)) Abb. 13.10: Streng konvexe Komposition (f ◦g)(x) = x− 12 von f (x) = 1x und g(x) = x 1 2 (links) sowie streng konvexe Komposition (f ◦ g)(x) = x− 32 von f (x) = x3 und g(x) = x− 12 (rechts) Beispiel 13.20 (Krümmungseigenschaften bei Kompositionen) a) Die Wurzelfunktion g : (0,∞) −→ R, x %→ x 1n ist konkav für n = 1 und streng konkav für n = 2, 3, . . .. Die reelle Funktion f : (0,∞) −→ R, x %→ 1 x ist streng monoton fallend und streng konvex. Mit Satz 13.19b) folgt somit, dass die Komposition f ◦ g : (0,∞) −→ R, x %→ x− 1n für n = 1 konvex und für n = 2, 3, . . . streng konvex ist (vgl. Abbildung 13.10, links). b) Die reelle Funktion g : (0,∞) −→ R, x %→ x− 1 n ist nach Teil a) für n = 1 konvex und für n = 2, 3, . . . streng konvex. Die Potenzfunktion f : R+ −→ R, x %→ xm mit m = 1, 2, . . . ist streng monoton wachsend und konvex. Mit Satz 13.19a) folgt somit, dass die Komposition f ◦ g : (0,∞) −→ R, x %→ x− mn für n = 1 konvex und für n = 2, 3, . . . streng konvex ist (vgl. Abbildung 13.10, rechts). 339 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen 13.5 Ungleichungen Mit der Jensenschen Ungleichung und der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel stehen in diesem Abschnitt drei der wichtigsten Ungleichungen im Mittelpunkt. Jensensche Ungleichung Poststempel mit der Jensenschen Ungleichung Die berühmte Jensensche Ungleichung für konvexe und konkave Funktionen ist nach dem dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen (1859–1925) benannt. Diese Ungleichung wurde 1906 von Jensen bewiesen und sie besagt, dass der Funktionswert einer konvexen (konkaven) Funktion in einer Konvexkombination von Werten x1, . . . , xn nicht größer (kleiner) als die Konvexkombination der zugehörigen Funktionswerte f (x1), . . . , f (x2) ist. Aufgrund ihrer Allgemeinheit ist die Jensensche Ungleichung die Grundlage vieler bedeutender Ungleichungen. Satz 13.21 (Jensensche Ungleichung) Es seien I ⊆ R ein Intervall, f : I −→ R eine reelle Funktion und für n ∈ N seien x1, . . . , xn ∈ I und λ1, . . . , λn > 0 mit ∑n i=1 λi = 1. Dann gilt: a) Ist f konvex, dann gilt f ( n∑ i=1 λixi ) ≤ n∑ i=1 λif (xi). (13.5) Für eine streng konvexe Funktion f und n ≥ 2 gilt sogar die strikte Ungleichung. b) Ist f konkav, dann gilt f ( n∑ i=1 λixi ) ≥ n∑ i=1 λif (xi). (13.6) Für eine streng konkave Funktion f und n ≥ 2 gilt sogar die strikte Ungleichung. Beweis: Zu a): Der Beweis erfolgt mittels vollständiger Induktion. Induktionsanfang: Für n = 1 ist λ1 = 1 und man erhält die wahre Aussage f (x1) = f (x1). Induktionsschritt: Es seien λ := ∑ni=1 λi und x := ∑n i=1 λi λ xi . Dann gilt ∑n+1 i=1 λixi = λx+λn+1xn+1 und λ+λn+1 = 1. Ferner werde angenommen, dass (13.5) für ein beliebiges n ∈ N wahr ist. Mit der Konvexität von f und der Induktionsannahme folgt dann f ( n+1∑ i=1 λixi ) = f (λx + λn+1xn+1) ≤ λf (x)+ λn+1f (xn+1) ≤ λ n∑ i=1 λi λ f (xi)+ λn+1f (xn+1) = n+1∑ i=1 λif (xi). Für eine streng konvexe Funktion und n ≥ 2 verläuft der Beweis analog. Zu b): Da für eine konkave Funktion f die Funktion −f konvex ist, gilt für konkave Funktionen die Jensensche Ungleichung in umgekehrter Richtung. Ursprünglich wurde die Jensensche Ungleichung von Jensen unter etwas schwächeren Voraussetzungen bewiesen, was eine deutlich aufwendigere Herleitung zur Folge hatte. Für λ1 = . . . = λn = 1n erhält man aus der Jensenschen Ungleichung (13.5)-(13.6) für konvexe und konkave reelle Funktionen den wichtigen Spezialfall f ( 1 n n∑ i=1 xi ) ≤ 1 n n∑ i=1 f (xi) bzw. f ( 1 n n∑ i=1 xi ) ≥ 1 n n∑ i=1 f (xi). Ungleichung vom (gewichteten) arithm. und geom. Mittel A. L. Cauchy auf einer französischen Sonderbriefmarke Mit Hilfe der Jensenschen Ungleichung lassen sich viele weitere wichtige Ungleichungen beweisen. Zum Beispiel lässt sich sehr leicht die Gültigkeit der Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel nachweisen. Sie besagt, dass das gewichtete arithmetische Mittel ∑n i=1 λixi unter schwachen Voraussetzungen mindestens so groß wie das gewichtete geometrische Mittel∏n i=1 x λi i ist. Die Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel wurde vermutlich erstmals 1821 von Augustin Louis Cauchy (1789–1857) bewiesen. 340 Kapitel 1313.6 Symmetrische und periodische Funktionen Sie erlaubt es, ein Produkt gegen eine Summe abzuschätzen und zählt ebenfalls zu den bedeutendsten Ungleichungen der Mathematik. Folgerung 13.22 (Ungleichung vom gewichteten arithm. und geom. Mittel) Für reelle Zahlen x1, . . . , xn ≥ 0 und λ1, . . . , λn > 0 mit∑n i=1 λi = 1 gilt n∏ i=1 x λi i ≤ n∑ i=1 λixi . (13.7) Beweis: Ist xi=0 für mindestens ein i=1, . . . , n, dann ist die Ungleichung offensichtlich erfüllt. Es sei daher ohne Beschränkung der Allgemeinheit angenommen, dass x1, . . . ,xn>0 gilt. Da die Logarithmusfunktion ln : (0,∞) −→ R, x %→ ln(x) streng konkav ist, erhält man mit der Jensenschen Ungleichung (13.6) und den Rechenregeln für den Logarithmus (vgl. Satz 14.35b) und c)) ln ( n∑ i=1 λixi ) ≥ n∑ i=1 λi ln(xi) = ln ( n∏ i=1 x λi i ) . Da die Logarithmusfunktion (streng) monoton wachsend ist, impliziert dies ∑n i=1 λixi ≥ ∏n i=1 x λi i und damit die Behauptung. Für λ1 = . . . = λn = 1n erhält man aus (13.7) die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel: n∏ i=1 x 1 n i = n √√√ √ n∏ i=1 xi ≤ 1 n n∑ i=1 xi (13.8) Sie besitzt die folgende geometrische Implikation: Ein Rechteck mit den Seitenlängen x1, x2 ≥ 0 besitzt den Umfang 2(x1 +x2) und den Flächeninhalt x1x2. Ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt besitzt die Seitenlänge √ x1x2 und damit den Umfang 4 √ x1x2. Für n = 2 folgt jedoch aus der Ungleichung (13.8) √ x1x2 ≤ 1 2 (x1 + x2) bzw. 4√x1x2 ≤ 2(x1 + x2). Das heißt, alle Rechtecke mit dem Flächeninhalt x1x2 besitzen einen Umfang von mindestens 4 √ x1x2, wobei das Quadrat den minimialen Umfang 4 √ x1x2 aufweist. Analog folgt mit der Ungleichung (13.8) für den Fall n = 3, dass unter allen Quadern mit gleichem Volumen der Würfel die kleinste Gesamtkantenlänge besitzt. Die Ungleichung (13.8) verallgemeinert diese geometrische Interpretation auf n Dimensionen. Gilt x1, . . . , xn > 0, dann können in (13.7) und (13.8) die reellen Zahlen xi durch 1xi ersetzt werden. Es resultiert dann die (gewichtete) Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel: n∏ i=1 x λi i ≥ 1 ∑n i=1 λi xi bzw. n √√√√ n∏ i=1 xi ≥ n∑n i=1 1 xi . Eine weitere Ungleichung erhält man aus (13.7) mit x1 := ap und x2 := bq sowie λ1 := 1p > 0 und λ2 := 1q > 0, wobei a, b ≥ 0 und 1 p + 1 q = 1 gilt. Die dadurch resultierende Ungleichung ab ≤ 1 p ap + 1 q bq heißt Youngsche-Ungleichung und ist nach dem englischen Mathematiker William Henry Young (1863–1942) benannt. 13.6 Symmetrische und periodische Funktionen In Abschnitt 13.3 wurden mit der Beschränktheit und Monotonie bereits zwei wichtige Eigenschaften untersucht, die reelle Funktionen besitzen können. Diese beiden Eigenschaften vermitteln häufig bereits einen (groben) Eindruck über den Verlauf des Graphen einer reellen Funktion. Für viele wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen sind jedoch eine Reihe weiterer möglicher Eigenschaften reeller Funktionen von Bedeutung. Zum Beispiel sind bei einer betrachteten reellen Funktion f : D −→ R oftmals eventuell vorhandene Symmetrie- und Periodizitätseigenschaften von Interesse. Denn das Vorhandensein solcher Eigenschaften vereinfacht die Untersuchung des Verlaufes des Graphen einer reellen Funktion häufig erheblich. Achsensymmetrie und Punktsymmetrie Bei den Symmetrieeigenschaften einer reellen Funktion unterscheidet man zwischen Achsen- und Punktsymmetrie: 341 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen Definition 13.23 (Achsensymmetrie und Punktsymmetrie) Es sei f : D −→ R eine reelle Funktion. Dann gilt: a) f heißt achsensymmetrisch bzgl. der senkrechten Geraden an der Stelle a, wenn f (a − x) = f (a + x) für alle x mit a ± x ∈ D gilt. b) f heißt punktsymmetrisch bzgl. dem Punkt (a, b), wenn f (a − x)− b = b − f (a + x) für alle x mit a ± x ∈ D gilt. Bei einer zur Geraden x = a achsensymmetrischen oder zum Punkt (a, b) punktsymmetrischen reellen Funktion f genügt bereits die Kenntnis ihres Verlaufes für x ≥ a, um sie vollständig beschreiben zu können. Beispiel 13.24 (Achsen- und Punktsymmetrie bei reellen Funktionen) a) Die quadratische Funktion p : R −→ R, x %→ x2 − 4x + 3 ist achsensymmetrisch zur senkrechten Geraden durch x = 2. Denn es gilt p(2 − x) = (2 − x)2 − 4(2 − x)+ 3 = x2 − 4x + 4 − 8 + 4x + 3 = (2 + x)2 − 4(2 + x)+ 3 = p(2 + x) (vgl. Abbildung 13.11, links). b) Das Polynom p : R −→ R, x %→ x5 + 2 ist punktsymmetrisch zum Punkt (0, 2). Denn es gilt p(−x)− 2 = (−x)5 + 2 − 2 = 2 − (x5 + 2) = 2 − p(x) (vgl. Abbildung 13.11, Mitte). c) Das Polynom p : R −→ R, x %→ x5 − 5x4 + 14x3−22x2+17x−5 ist punktsymmetrisch zum Punkt (1, 0). Denn mit der Faktorisierung p(x) = (x−1)3 (x2 − 2x + 5) (vgl. Beispiel 14.8a)) erhält man p (1−x)=((1−x)−1)3 ((1 − x)2 − 2(1 − x)+ 5) =−x3(x2 − 2x + 1 + 2x − 2 + 5) =−((1+x)−1)3((1 + x)2 − 2(1 + x)+5) =−p (1 + x) (vgl. Abbildung 13.11, rechts). Reelle Funktionen f : D −→ R, die speziell zur Ordinate (d. h. zur senkrechten Geraden an der Stelle x = 0) achsensymmetrisch sind, genügen der Bedingung f (−x) = f (x) für alle x mit ±x ∈ D. Sie werden auch als gerade Funktionen bezeichnet, da Polynomep (vgl. Definition 14.1) mit ausschließlich geraden Exponenten achsenymmetrisch zur Ordinate sind (vgl. Beispiel 14.1a)). Dagegen genügen reelle Funktionen f : D −→ R, die zum Urspung (0, 0) punktsymmetrisch sind, der Bedingung f (−x) = −f (x) für alle x mit ±x ∈ D. Sie werden als ungerade Funktionen bezeichnet, da alle Polynome p(x) mit ausschließlich ungeraden Exponenten punktsymmetrisch zum Urspung (0, 0) sind (vgl. Beispiel 13.27b)). Beispiel 13.25 (Gerade und ungerade Funktionen) a) Monome der Form p(x) = x2n mit n ∈ N0 sind gerade und Monome der Form q(x) = x2n+1 mit n ∈ N0 sind ungerade Funktionen. Denn es gilt p(−x) = (−x)2n = (−1)2nx2n = x2n = p(x) und q(−x) = (−x)2n+1 = −(−1)2nx2n+1 = −x2n+1 = −q(x) (vgl. Abbildung 13.12, oben links und oben rechts). b) Reelle Funktionen f : R \ {0} −→ R, x %→ 1 x2n mit n ∈ N sind gerade und reelle Funktionen g : R \ {0} −→ R, x %→ 1 x2n+1 mit n ∈ N0 sind ungerade Funktionen. Denn es gilt f (−x) = 1 (−x)2n = 1 (−1)2nx2n = 1 x2n = f (x) und g(−x) = 1 (−x)2n+1 = 1 −(−1)2nx2n+1 = − 1 x2n+1 = −g(x). (vgl. Abbildung 13.12, unten links und unten rechts). Für das Rechnen mit geraden und ungeraden Funktionen gilt der folgende Satz: Satz 13.26 (Rechenoperationen bei geraden und ungeraden Funktionen) Es seien g1 : Dg1 −→R und g2 : Dg2 −→R zwei gerade reelle Funktionen sowie u1 : Du1 −→ R und u2 : Du2 −→ R zwei ungerade reelle Funktionen. Dann gilt: 342 Kapitel 1313.6 Symmetrische und periodische Funktionen −1 1 2 3 4 5 −2 2 4 6 8 x = 2 p(x) −2 −1 1 2 −30 −15 15 30 p(x) l (0,2) 1 2 −4 −2 0 2 4 p(x) l (1,0) Abb. 13.11: Polynomp(x) = x2−4x+3 (links), Polynomp(x) = x5+2 (Mitte) und Polynomp(x) = x5−5x4+14x3−22x2+17x−5 (rechts) x0 −2 −1 0 1 2 10 20 x2 x4 x6 x −2 −1 1 2 −20 −10 10 20 x3 x5 −2 −1 0 1 2 10 20 1 x2 1 x4 1 x6 1 x −2 −1 1 2 −20 −10 10 20 1 x3 1 x5 Abb. 13.12: Monome p(x) = xn für n = 0, 2, 4, 6 (links oben), Monome q(x) = xn für n = 1, 3, 5 (rechts oben), reelle Funktionen f (x) = 1 xn für n = 2, 4, 6 (links unten) und reelle Funktionen g(x) = 1 xn für n = 1, 3, 5 (rechts unten) 343 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen a) (g1 + g2) : Dg1 ∩Dg2 −→ R ist eine gerade reelle Funktion. b) (u1+u2) : Du1 ∩Du2 −→ R ist eine ungerade reelle Funktion. c) (g1 · g2) : Dg1 ∩ Dg2 −→ R ist eine gerade reelle Funktion. d) (u1 · u2) : Du1 ∩ Du2 −→ R ist eine gerade reelle Funktion. e) (g1 · u1) : Dg1 ∩Du1 −→ R ist eine ungerade reelle Funktion. f) ( g1 g2 ) : Dg1 ∩Dg2 \ { x ∈ Dg2 : g2(x) = 0 } −→ R ist eine gerade reelle Funktion. g) ( u1 u2 ) : Du1 ∩Du2 \ { x ∈ Du2 : u2(x) = 0 } −→ R ist eine gerade reelle Funktion. h) ( g1 u1 ) : Dg1 ∩Du1 \ { x ∈ Du1 : u1(x) = 0 } −→ R ist eine ungerade reelle Funktion. Beweis: Zu a): Sind g1 und g2 gerade Funktionen, dann gilt (g1 + g2)(−x) = g1(−x)+ g2(−x) = g1(x)+ g2(x) = (g1 + g2)(x) für alle x mit ±x ∈ Dg1 ∩Dg2 . Das heißt, g1+g2 ist eine gerade Funktion. Zu b): Sind u1 und u2 ungerade Funktionen, dann gilt (u1 + u2)(−x) = u1(−x)+ u2(−x) = −u1(x)− u2(x) = −(u1 + u2)(x) für alle x mit ±x ∈ Du1 ∩ Du2 . Das heißt, u1 + u2 ist eine ungerade reelle Funktion. Der Beweis der Aussagen c)–h) erfolgt völlig analog. Beispiel 13.27 (Rechnen mit geraden und ungeraden Funktionen) a) Polynome der Form p(x) = a0 + a2x2 + a4x4 + . . .+ a2nx2n mit n ∈ N0 sind gerade Funktionen, da es sich bei ihnen um eine Summe von Monomen mit geraden Exponenten handelt, welche gerade Funktionen sind (siehe Beispiel 13.25a)). Mit Satz 13.26a) folgt daher, dass Polynome mit ausschließlich geraden Exponenten gerade sind (vgl. Abbildung 13.13, links oben). b) Polynome der Form p(x) = a1x + a3x3 + . . .+ a2n+1x2n+1 mit n ∈ N0 sind ungerade Funktionen, da es sich bei ihnen um eine Summe von Monomen mit ungeraden Exponenten handelt, welche ungerade Funktionen sind (siehe Beispiel 13.25a)). Mit Satz 13.26b) folgt daher, dass Polynome mit ausschließlich ungeraden Exponenten ungerade sind (vgl. Abbildung 13.13, rechts oben). c) Mit den Beispielen a) und b) und Satz 13.26f), g) und h) erhält man, dass f : D ⊆ R −→ R, x %→ f (x) = a0 + a2x 2 + a4x4 + . . .+ a2kx2k a0 + a2x2 + a4x4 + . . .+ a2nx2n und f : D ⊆ R −→ R, x %→ f (x) = a1x + a3x 3 + . . .+ a2k+1x2k+1 a1x + a3x3 + . . .+ a2n+1x2n+1 mit k, n ∈ N0 gerade und f : D ⊆ R −→ R, x %→ f (x) = a0 + a2x 2 + a4x4 + . . .+ a2kx2k a1x + a3x3 + . . .+ a2n+1x2n+1 mit k, n ∈ N0 ungerade reelle Funktionen sind (vgl. Abbildung 13.13, unten links bzw. unten rechts). Periodizität Eine weitere bei reellen Funktionen oftmals anzutreffende Eigenschaft ist die Periodizität. Periodische Funktionen sind in wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen vor allem dann von Interesse, wenn ökonomische Größen, die bestimmten saisonalen Einflüssen unterliegen, in Abhängigkeit von der Zeit betrachtet werden. Zum Beispiel ist häufig zu beobachten, dass der Umsatz einer Unternehmung, die Arbeitslosenzahl oder auch der Preis für ein Produkt eine mehr oder weniger starke Saisonkomponente aufweisen. Vor allem die bekannteste Klasse periodischer Funktionen, die sogenannten trigonometrischen Funktionen (siehe hierzu Abschnitt 14.7), spielen in der Prognoserechnung bei der Beschreibung saisonaler Effekte eine bedeutende Rolle. 344 Kapitel 1313.7 Infimum und Supremum −3 −2 −1 1 2 3 −6 −4 −2 2 4 6 p(x) −3 −2 −1 1 2 3 −10 −5 5 10 p(x) −10 −5 5 10 −40 −20 20 40 p(x) −10 −5 5 10 −40 −20 20 40 p(x) Abb. 13.13: Polynom p(x) = − 12 x4 + 4x2 − 2 (links oben), Polynom p(x) = − 14 x5 + 2x3 − 12 x (rechts oben), reelle Funktion f (x) = − 1 3 x 6−2x4+3x2+1 (x2−1)(x2−4) (links unten) und reelle Funktion f (x) = − 12 x4+4x2−2 x(x2−1) (rechts unten) Der Begriff Periodizität ist wie folgt definiert: Definition 13.28 (Periodizität) Eine reelle Funktion f : D −→ R heißt periodisch mit der Periode T = 0 oder T -periodisch, wenn gilt a) x ∈ D ⇒ x + kT ∈ D für alle k ∈ Z und b) f (x) = f (x + kT ) für alle k ∈ Z und x ∈ D. Eine T -periodische Funktion f besitzt offensichtlich die Eigenschaft, dass ihre Zuordnungsvorschrift bereits durch die Funktionswerte f (x) auf einem beliebigen Intervall [x1, x1 + T ) ⊆ D vollständig festgelegt ist. Aus der Definition 13.28 folgt weiter, dass eine mit den Perioden T1 und T2 periodische Funktion auch periodisch ist mit der Periode T1 + T2. Beispiel 13.29 (Periodische Funktionen) a) Die reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = { x−2k für x∈[2k, 2k + 1) und k∈Z 2(k+1)−x für x∈[2k + 1, 2k + 2) und k∈Z ist achsensymmetrisch zur Ordinate und periodisch mit der Periode T = 2. Denn es gilt f (x) = f (−x) für alle x ∈ R sowie f (x) = f (x + 2k) für alle x ∈ R und k ∈ Z (vgl. Abbildung 13.14). b) Die Sinusfunktion sin : R −→ R, x %→ sin(x) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0, 0) und periodisch mit der Periode 2π . Denn es gilt − sin(−x) = sin(x) für alle x ∈ R sowie sin(x) = sin(x + 2kπ) für alle x ∈ R und k ∈ Z (vgl. Abschnitt 14.7 und Abbildung 13.14). 13.7 Infimum und Supremum Reelle Funktionen werden in den Wirtschaftswissenschaften häufig zur Quantifizierung von Kosten, Absatzmengen, Gewinnen, Nutzen, Risiken usw. in Abhängigkeit einer steuerbaren Variablen eingesetzt. Je nach zu untersuchender ökonomischer Fragestellung interessiert man sich dann häufig für das Maximum (Maximierungsproblem) oder Minimum (Minimierungsproblem) der betrachteten Funktion und dafür, welche Werte der steuerbaren Variablen diese Werte angenommen werden. 345 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 1 f (x) T l l − 3π − 2π − π π 2π 3π −1 1 sin(x) T l l Abb. 13.14: Reelle Funktion f (x) = x − 2k für x ∈ [2k, 2k + 1) und f (x) = 2(k + 1)− x für x ∈ [2k + 1, 2k + 2) (oben) und reelle Funktion f (x) = sin(x) (unten) Es ist jedoch auch möglich, dass eine betrachtete reelle Funktion kein Maximum und/oder Minimum besitzt. In solchen Fällen interessiert man sich dann oft für einen Wert, der über bzw. unter allen Funktionswerten liegt. Weil es jedoch im Allgemeinen mehrere solche Werte geben kann, wird dann der kleinste bzw. der größte dieser Werte gewählt. Dieses Vorgehen wird durch die Begriffe Supremum und Infimum einer reellen Funktion präzisiert, welche völlig analog zu den entsprechenden Begriffen bei Folgen definiert sind (vgl. Definition 11.9): Definition 13.30 (Infimum und Supremum einer reellen Funktion) Es seien f : D −→ R eine reelle Funktion, U ⊆ D eine nichtleere Teilmenge von D und f|U : U −→ R, x %→ f (x) die Restriktion von f auf U . Dann gilt: a) Ist f|U nach oben beschränkt, dann heißt eine obere Schranke c ∈ R von f|U kleinste obere Schranke oder Supremum von f auf U , falls es keine weitere obere Schranke c′ von f|U mit c′ < c gibt. Für diese obere Schranke c schreibt man c = supx∈U f (x). Ist U = D so sagt man, dass die Funktion f das Supremum supx∈D f (x) besitzt. b) Ist f|U nach unten beschränkt, dann heißt eine untere Schranke c ∈ R von f|U größte untere Schranke oder Infimum von f auf U , falls es keine weitere untere Schranke c′ von f|U mit c′ > c gibt. Für diese untere Schranke c schreibt man c = infx∈U f (x). Ist U = D so sagt man, dass die Funktion f das Infimum infx∈D f (x) besitzt. c) Ist f|U nach oben unbeschränkt, dann definiert man das sogenannte uneigentliche Supremum von f auf U durch supx∈U f (x) := ∞ und ist f|U nach unten unbeschränkt, so ist das sogenannte uneigentliche Infimum von f auf U durch infx∈U f (x) := −∞ definiert. Mit der Definition 13.30c) erhält man, dass in der MengeR = R∪ {−∞,∞} der erweiterten reellen Zahlen jede Funktion f : D −→ R ein Supremum und ein Infimum besitzt. Ein Supremum oder Infimum ist stets eindeutig. Denn besitzt eine reelle Funktion f auf der Menge U z. B. die beiden Suprema c und d, dann folgt mit der Definition 13.30a), dass sowohl c ≤ d als auch d ≤ c und somit c = d gelten muss. Analog zeigt man auch die Eindeutigkeit des Infimums. 346 Kapitel 1313.8 Minimum und Maximum 13.8 Minimum und Maximum In der Definition 13.30 wird nicht gefordert, dass das Infimum infx∈U f (x) und das Supremum supx∈U f (x) einer reellen Funktion f : D −→ R auf einer Teilmenge U ⊆ D zum Bildbereich f (U) gehören müssen. Mit anderen Worten: Eine reelle Funktion f muss ihr Infimum oder Supremum auf einer Menge U nicht annehmen. Werden jedoch diese Werte von der reellen Funktion f tatsächlich angenommen, dann spricht man anstelle von Infimum und Supremum von globalem Minimum bzw. globalem Maximum von f . Globales Minimum und globales Maximum Das globale Minimum und das globale Maximum einer reellen Funktion f : D −→ R auf einer Teilmenge U ⊆ D sind wie folgt definiert: Definition 13.31 (Globales Minimum und Maximum einer reellen Funktion) Für eine reelle Funktion f : D −→ R und U ⊆ D gilt: a) Ein x0 ∈ U mit f (x) ≤ f (x0) für alle x ∈ U wird als globale (absolute) Maximalstelle und der zugehörige Funktionswert f (x0) als globales (absolutes) Maximum von f auf U bezeichnet. Für f (x0) schreibt man dann maxx∈U f (x). Ist U = D so sagt man, dass die Funktion f das globale (absolute) Maximum maxx∈D f (x) besitzt. b) Ein x0 ∈ U mit f (x0) ≤ f (x) für alle x ∈ U wird als globale (absolute) Minimalstelle und der zugehörige Funktionswert f (x0) als globales (absolutes) Minimum von f auf U bezeichnet. Für f (x0) schreibt man dann minx∈U f (x). Ist so U = D sagt man, dass die Funktion f das globale (absolute) Minimum minx∈D f (x) besitzt. Aus der Definition 13.31 folgt, dass für ein globales Maximum f (x0) und ein globales Minimum f (x1) einer reellen Funktion f : D −→ R auf einer Teilmenge U ⊆ D stets f (x0) = max x∈U f (x) = sup x∈U f (x) und f (x1) = min x∈U f (x) = inf x∈U f (x) gilt. Mit anderen Worten: Bei einem globalen Maximum (Minimum) einer reellen Funktion f : D −→ R auf einer Teilmenge U ⊆ D handelt es sich um ein Supremum (Infimum), welches von f auf der Teilmenge U auch tatsächlich angenommen wird (vgl. Beispiel 13.32). Die globale Maximal- und Minimalstelle x0 bzw. x1 einer Funktion f : D −→ R auf einer Teilmenge U ⊆ D werden oft zusammenfassend als globale Extremalstellen oder globale Optimalstellen von f auf U bezeichnet. Analog werden das zugehörige globale Maximum und Minimum f (x0) bzw. f (x1) unter der Bezeichnung globale Extremalwerte oder globale Optimalwerte von f auf U zusammengefasst. Beispiel 13.32 (Globales Minimum und Maximum reeller Funktionen) a) Die quadratische Funktion f : [−1,1]−→R, x %→x2 besitzt offensichtlich eine globale Minimalstelle in x = 0 und eine globale Maximalstelle in x = −1 und x = 1. Das heißt, es gilt f (0) = min x∈[−1,1] f (x) = 0 und f (−1) = f (1) = max x∈[−1,1] f (x) = 1 (vgl. Abbildung 13.15, links). Wird jedoch der Definitionsbereich von f auf das offene Intervall (−1, 1) eingeschränkt, indem die Restriktion f|(−1,1) : (−1, 1) −→ R, x %→ x2 betrachtet wird, dann bleibt zwar das globale Minimum an der Stelle x = 0 erhalten, aber ein globales Maximum existiert nicht mehr. Denn es gilt f (x) < 1 für alle x ∈ (−1, 1) und die Funktionswerte von f|(−1,1) kommen dem Wert 1 beliebig nahe, aber es gilt niemals f (x) = 1 für ein x ∈ (−1, 1). Das heißt, f|(−1,1) besitzt als Supremum den Wert supx∈(−1,1) f (x) = 1, aber kein globales Maximum. Für „sup“ darf somit nicht „max“ gesetzt werden. 347 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 ll l f(x) −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −15 −10 −5 5 10 15 f(x) l l l Abb. 13.15: Reelle Funktionen f : R −→ R, x %→ x2 (links) und f : R \ {0} −→ R, x %→ 1x (rechts) b) Für die reelle Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ 1 x gilt (vgl. Abbildung 13.15, rechts): sup x∈R\{0} f (x) = ∞ und inf x∈R\{0} f (x) = −∞ sup x∈[ 12 ,∞) f (x) = max x∈[ 12 ,∞) f (x) = f ( 12 ) = 2 und inf x∈[ 12 ,∞) f (x) = 0 sup x∈( 12 ,2] f (x) = 2 und inf x∈( 12 ,2] f (x) = min x∈( 12 ,2] f (x) = f (2) = 12 sup x∈[ 12 ,2] f (x) = max x∈[ 12 ,2] f (x) = f ( 12 ) = 2 inf x∈[ 12 ,2] f (x) = min x∈[ 12 ,2] f (x) = f (2) = 12 sup x∈(−2,0) f (x)=− 12 und infx∈(−2,0) f (x)=−∞ sup x∈[−2,0) f (x)= max x∈[−2,0) f (x)=f (−2)=− 12 und inf x∈[−2,0) f (x) = −∞ inf x∈(−∞,−2] f (x)= min x∈(−∞,−2] f (x)=f (−2)=− 12 sup x∈(−∞,−2) f (x)=0 und inf x∈(−∞,−2) f (x)=− 12 Lokales Minimum und lokales Maximum Neben Supremum und Infimum sowie globalem Maximum und Minimum einer reellen Funktion f : D −→ R unterscheidet man noch zwischen lokalem Maximum und lokalem Minimum von f . Während ein globales Maximum oder Minimum auf einer Teilmenge U ⊆ D den größten bzw. kleinsten Funktionswert einer reellen Funktion f auf der Menge U darstellt, wird mit lokalem Maximum und lokalem Minimum lediglich der größte bzw. der kleinste Funktionswert von f in einer lokalen Umgebung bezeichnet. Dieser Sachverhalt wird durch die folgende Definition präzisiert: Definition 13.33 (Lokales Minimum und Maximum einer reellen Funktion) Für eine reelle Funktion f : D −→ R gilt: a) Ein x0 ∈ D mit f (x) ≤ f (x0) für alle x ∈ D ∩ (x0 − ε, x0 + ε) und ein geeignetes ε > 0 wird als lokale (relative) Maximalstelle und der zugehörige Funktionswert f (x0) als lokales (relatives) Maximum von f bezeichnet. Für f (x0) schreibt man dann maxx∈D∩(x0−ε,x0+ε) f (x). 348 Kapitel 1313.8 Minimum und Maximum 1 2 3 4 5 6 7 −3 −2 −1 0 1 2 3 a l l x 0 l l x 1 l x 2 l x 3 l x 4 l x 5 f(x) b Abb. 13.16: Reelle Funktion f : [a, b] −→ R mit lokalen (globalen) Minima und Maxima b) Ein x0 ∈ D mit f (x0) ≤ f (x) für alle x ∈ D ∩ (x0 − ε, x0 + ε) und ein geeignetes ε > 0 wird als lokale (relative) Minimalstelle und der zugehörige Funktionswert f (x0) als lokales (relatives) Minimum von f bezeichnet. Für f (x0) schreibt man dann minx∈D∩(x0−ε,x0+ε) f (x). Für (globale und lokale) Maxima und Minima wird oft der Sammelbegriff Extremal- oder Optimalwerte verwendet. Analog werden (globale und lokale) Maximal- und Minimalstellen häufig zusammenfassend als Extremal- oder Optimalstellen bezeichnet. Eine reelle Funktion f kann mehrere lokale und globale Minimal- und Maximalstellen besitzen. Sie kann auch mehrere lokale Minima und Maxima aufweisen, aber höchstens ein globales Minimum und höchstens ein globales Maximum besitzen. Eine lokale Maximal- oder Minimalstelle ist im Allgemeinen keine globale Maximal- bzw. Minimalstelle. Umgekehrt ist jedoch eine globale Maximal- oder Minimalstelle stets auch eine lokale Maximal- bzw. Minimalstelle (vgl. Beispiel 13.34). Beispiel 13.34 (Minima und Maxima einer reellen Funktion) Die Abbildung 13.16 zeigt den Graphen einer reellen Funktion f : [a, b] −→ R. Die Funktion f besitzt offensichtlich die globale (und damit auch lokale) Maximalund Minimalstelle x0 bzw. x3, die lokalen Maximalstellen x2, x4 und b sowie die lokalen Minimalstellen a, x1 und x5. Wie bereits erwähnt, ist ein lokales Maximum (Minimum) einer reellen Funktion f : D−→R im Allgemeinen kein globales Maximum (Minimum). Für konvexe (konkave) Funktionen gilt dies jedoch nicht, wie der folgende Satz zeigt: Satz 13.35 (Globale Extremalwerte bei konvexen und konkaven Funktionen) Es sei f : I −→ R eine reelle Funktion auf einem Intervall I ⊆ R. Ist f konvex, dann ist ein lokales Minimum auch das globale Minimum, und ist f konkav, dann ist ein lokales Maximum auch das globale Maximum. Beweis: Es sei f : I −→ R eine konvexe Funktion mit einer lokalen Minimalstelle x0 ∈ I . Ferner sei angenommen, dass x0 nicht die globale Minimalstelle von f auf I ist und somit ein x1 ∈ I mit f (x1) < f (x0) existiert. Zusammen mit der Konvexität von f impliziert dies für jedes λ ∈ (0, 1) f (λx0 + (1 − λ)x1) ≤ λf (x0)+ (1 − λ)f (x1) < λf (x0)+ (1 − λ)f (x0) = f (x0). Es gibt somit in jeder Umgebung von x0 Werte x = λx0 + (1− λ)x1 ∈ I mit f (x) < f (x0). Das heißt, x0 ist keine lokale Mi- 349 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen nimalstelle von f . Dies ist jedoch ein Widerspruch zur Voraussetzung und x0 ist somit auch die globale Minimalstelle von f . Für eine lokale Maximalstelle einer konkaven Funktion verläuft der Beweis analog. Dieses Ergebnis besitzt für die Optimierung von reellen Funktionen eine große Bedeutung. Denn es stellt sicher, dass ein lokales Minimum (Maximum) einer konvexen (konkaven) Funktion f bereits das globale Minimum (Maximum) der Funktion ist. In vielen Optimierungsproblemen führt diese besondere Eigenschaft konvexer (konkaver) Funktionen zu einer erheblichen Erleichterung bei der Bestimmung des globalen Minimums (Maximums). 13.9 c-Stellen und Nullstellen Viele ökonomische Problemstellungen können auf Gleichungen der Form f (x) = c (13.9) mit einer geeigneten reellen Funktion f : D −→ R und einer reellen Zahl c ∈ R zurückgeführt werden. Gesucht sind dann alle Lösungen xc ∈ D dieser Gleichung. Sie werden als c- Stellen bzw. speziell für c = 0 als Nullstellen der Funktion f bezeichnet: Definition 13.36 (c-Stellen und Nullstellen) Es sei f : D −→ R eine reelle Funktion. Dann wird ein xc ∈ D mit f (xc) = c als c-Stelle und speziell ein x0 ∈ D mit f (x0) = 0 als Nullstelle von f bezeichnet. Anschaulich ist ein xc ∈ D genau dann eine c-Stelle von f , wenn der Graph von f an der Stelle xc die horizontale Gerade y = c schneidet oder berührt. Speziell für den Fall c = 0 bedeutet dies, dass x0 ∈ D genau dann eine Nullstelle von f ist, wenn der Graph von f die x-Achse an der Stelle x0 schneidet oder berührt. Man sagt dann häufig auch, dass f in x0 verschwindet (vgl. Abbildung 13.17). Eine Gleichung der Bauart (13.9) kann stets in die äquivalente Form g(x) = 0 mit der reellen Funktion g : D −→ R, x %→ g(x) := f (x) − c gebracht werden. Offensichtlich ist ein x0 ∈ D genau dann eine Nullstelle von g, wenn x0 eine c- Stelle von f ist. Es genügt daher, sich mit der Bestimmung von Nullstellen reeller Funktionen zu beschäftigen. Bei Nullstellen unterscheidet man häufig zwischen einfachen und mehrfachen Nullstellen. Man sagt, eine reelle Funktion f : D −→ R besitzt in x0 ∈ D eine einfache Nullstelle, falls es eine Funktion g : D ⊆ R −→ R mit den Eigenschaften g(x0) = 0 und f (x) = (x−x0)g(x) für alle x ∈ D gibt. Existieren dagegen eine natürliche Zahl k ≥ 2 und eine Funktion g : D −→ R mit g(x0) = 0 und f (x) = (x − x0)kg(x) für alle x ∈ D, dann sagt man, dass f in x0 ∈ D eine mehrfache Nullstelle der Ordnung k oder k-fache Nullstelle besitzt (vgl. Abbildung 13.17 und Seite 373). Beispiel 13.37 (c-Werte und Nullstellen) Die Abbildung 13.17, links zeigt den Graphen einer reellen Funktion f : [a, b] −→ R mit zwei verschiedenen c1-Stellen x ′c1 und x ′′ c1 , einer c2-Stelle xc2 und einer Nullstelle x0. Die Abbildung 13.17, rechts zeigt den Graphen der reellen Funktion f : [a, b] −→ R, x %→ f (x) = 1 10 x6 + 2 5 x5 − 3 10 x4 − 8 5 x3 + 11 10 x2 + 6 5 x − 9 10 . Wegen f (x) = 110 (x+3)2(x+1)(x−1)3 besitzt f an der Stelle x0 = −3 eine zweifache Nullstelle, an der Stelle x1 = −1 eine einfache Nullstelle und an der Stelle x2 = 1 eine dreifache Nullstelle. Eines der wichtigsten Themengebiete der Analysis ist die Berechnung der Nullstellen einer reellen Funktion f . Dies ist vor allem dadurch bedingt, dass – wie sich mit dem Kriterium von Fermat in Abschnitt 16.7 noch zeigen wird – die beiden auf den ersten Blick völlig verschieden erscheinenden Problemstellungen a) Bestimmung von Nullstellen und b) Ermittlung von Extremalstellen, sehr eng miteinander zusammenhängen. In vielen Fällen kann bereits mit Hilfe des sogenannten Nullstellensatzes (siehe Abschnitt 15.8) auf die Existenz von Nullstellen geschlossen werden. Der Nullstellensatz liefert jedoch nur eine reine Existenzaussage und gibt keine Auskunft dar- über, wie die Nullstellen einer reellen Funktion berechnet werden können. Je nach reeller Funktion f kann es schwer oder sogar unmöglich sein, die Nullstellen von f explizit zu bestimmen, 350 Kapitel 1313.10 Grenzwerte von reellen Funktionen a b c2 c1 xc2 xc1′xc1″ ll l l x0 f (x) a b f (x) l l l x0 x1 x2 Abb. 13.17: Reelle Funktion f : [a, b] −→ R mit zwei c1-Stellen, einer c2-Stelle und einer Nullstelle (links) und reelle Funktion f : [a, b] −→ R, x %→ a(x − x0)2(x − x1)(x − x2)3 mit einer zweifachen Nullstelle bei x0, einer einfachen Nullstelle bei x1 und einer dreifachen Nullstelle bei x2 (rechts) d. h. die Gleichung f (x) = 0 analytisch nach der Variablen x aufzulösen. In solchen Fällen müssen dann die Nullstellen mit Hilfe von numerischen Verfahren, wie z. B. dem Intervallhalbierungsverfahren (siehe Abschnitt 26.2), dem Regula-falsi-Verfahren (siehe Abschnitt 26.3), dem Newton- Verfahren (siehe Abschnitt 26.4) oder einem geeigneten Fixpunktverfahren (siehe Abschnitt 15.9), bestimmt werden. 13.10 Grenzwerte von reellen Funktionen In diesem Abschnitt werden die in Abschnitt 11.4 für Folgen eingeführten Begriffe Konvergenz, Divergenz und Grenzwert (Limes) auf reelle Funktionen übertragen. Der Konvergenzbegriff für reelle Funktionen ist in der gesamten Analysis ein unentbehrliches Hilfsmittel. Zum Beispiel basiert die gesamte Differential- und Integralrechnung auf dem Konvergenzbegriff für reelle Funktionen, da die Konzepte Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit einer reellen Funktion mit Hilfe des Konvergenzbegriffes definiert werden. Der tschechische Mathematiker Bernard Bolzano (1781– 1848) und der französische Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) waren die Ersten, die den Konvergenz- B. Bolzano begriff für reelle Funktionen konsequent angewandt und damit insbesondere die sogenannte Infinitesimalrechnung (d. h. die Differential- und die Integralrechnung) auf ein solides und widerspruchsfreies Fundament gestellt haben. Völlig analog zu Folgen sagt man, dass eine reelle Funktion f : D −→ R an der Stelle x0 konvergiert, wenn sich bei Annäherung der unabhängigen Variablen x an die Stelle x0 die zugehörigen Funktionswerte f (x) von f beliebig genau einem Wert a ∈ R annähern. Der Wert a wird dann als Grenzwert (Limes) von f an der Stelle x0 bezeichnet. Besitzt die reelle Funktion f an der Stelle x0 dagegen keinen solchen Grenzwert, dann sagt man, dass sie an der Stelle x0 divergiert. Häufungspunkte einer Menge Um den Konvergenzbegriff für reelle Funktionen formulieren zu können, wird der Begriff des Häufungspunktes einer Menge D ⊆ R benötigt. Dieser Begriff ist völlig analog zum 351 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen Begriff des Häufungspunktes einer Folge definiert (vgl. Abschnitt 11.6): Definition 13.38 (Häufungspunkt einer Menge) Eine reelle Zahl x0 ∈ R heißt Häufungspunkt der Menge D ⊆ R, wenn zu jedem ε > 0 unendlich viele x ∈ D mit |x − x0| < ε existieren. Ist x0 kein Häufungspunkt der Menge D, aber gilt x0 ∈ D, dann wird x0 als isolierter Punkt der Menge D bezeichnet. Anschaulich ist ein Häufungspunkt x0 einer Menge D ⊆ R eine reelle Zahl, in deren unmittelbarer Nähe unendlich viele Elemente x ausD liegen. Mit anderen Worten: Für jedes ε>0 enthält die zugehörige ε-Umgebung von x0, d. h. das offene Intervall (x0 − ε, x0 + ε), unendlich viele Elemente aus D. Aus der Definition 13.38 folgt somit, dass eine reelle Zahl x0 ∈ R genau dann Häufungspunkt einer Menge D ⊆ R ist, wenn es eine Folge (xn)n∈N0 ⊆ D gibt, die gegen die reelle Zahl x0 konvergiert, d. h. für die lim n→∞ xn = x0 gilt. Bei der Definition 13.38 ist jedoch zu beachten, dass ein Häufungspunkt x0 einer Menge D ein Element der Menge D sein kann, aber auch durchaus außerhalb von D liegen kann (vgl. Beispiel 13.39b)). Im Gegensatz zu einem Häufungspunkt einer Menge D muss ein isolierter Punkt der Menge D auch ein Element von D sein. Beispiel 13.39 (Häufungspunkte von Mengen) a) Die Menge D = [1, 2] besteht ausschließlich aus Häufungspunkten. Denn für alle Elemente x0 ∈ D gilt, dass jede ε-Umgebung (x0−ε, x0+ε) mit ε > 0 unendlich viele Elemente aus D enthält. b) Die Menge D = (1, 2) ∪ 3 besteht bis auf die reelle Zahl 3 ausschließlich aus Häufungspunkten. Denn für alle x0 ∈ (1, 2) gilt wieder, dass jede ε-Umgebung (x0 − ε, x0 + ε) mit ε > 0 unendlich viele Elemente aus D enthält. Die reelle Zahl 3 ist jedoch kein Häufungspunkt, sondern ein isolierter Punkt von D. Denn sie gehört zur Menge D, aber z. B. enthält die Umgebung (2, 4) von x0 = 3 außer 3 keine weiteren Elemente von D. Zu beachten ist, dass auch die reellen Zahlen 1 und 2 Häufungspunkte von D sind, obwohl sie keine Elemente der Menge D sind. c) Die Menge D = Q der rationalen Zahlen besteht ausschließlich aus Häufungspunkten. Denn für jede rationale Zahl x0 gilt, dass jede ε-Umgebung (x0 − ε, x0 + ε) mit ε > 0 unendlich viele rationale Zahlen enthält. Denn ist zum Beispiel p eine beliebige rationale Zahl mit der Eigenschaft x0 < p < x0 + ε, dann ist auch pn := x0 + p−x0n+1 für alle n ∈ N eine rationale Zahl mit pn ∈ (x0 − ε, x0 + ε). Grenzwerte für x → x0 Der Konvergenzbegriff für Folgen wurde bereits in Abschnitt 11.4 eingeführt (vgl. Definition 11.14). Darauf aufbauend wird nun der Konvergenzbegriff für reelle Funktionen definiert. Denn um eine Vorstellung über das Verhalten der Funktionswerte f (x) in der Nähe einer bestimmten Stelle x0 zu erhalten, ist es zweckmäßig, das Verhalten der Bildfolge (f (xn))n∈N für Folgen (xn)n∈N ⊆ D mit xn = x0 für alle n ∈ N und limn→∞ xn = x0 zu untersuchen. Da es sich jedoch bei Bildfolgen (f (xn))n∈N um gewöhnliche Folgen handelt, können dabei glücklicherweise alle Ergebnisse aus Kapitel 11 herangezogen werden. Definition 13.40 (Grenzwert einer reellen Funktion für x → x0) Es sei f : D −→ R eine reelle Funktion und x0 ∈ R ein Häufungspunkt der Menge D. Dann sagt man, dass die Funktion f für x → x0 gegen c ∈ R konvergiert, wenn für jede Folge (xn)n∈N ⊆ D mit xn = x0 für alle n ∈ N und lim n→∞ xn = x0 stets lim n→∞ f (xn) = c (13.10) gilt. Der Wert c wird dann als Grenzwert (Limes) von f für x → x0 bezeichnet und man schreibt lim x→x0 f (x) = c oder f (x) → c für x → x0 oder f (x) x→x0−→ c. Konvergiert die Funktion f für x → x0 nicht, dann sagt man, dass f für x → x0 divergiert oder auch dass der Grenzwert von f für x → x0 nicht existiert. 352 Kapitel 1313.10 Grenzwerte von reellen Funktionen 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.5 1 1.5 2 f (x) l l l l l l llllll l l l l l llll l x0xn f (xn) c llllllllll l l l lllllll Abb. 13.18: Konvergenz der Bildfolgen (f (xn))n∈N0 gegen den Grenzwert c für Folgen (xn)n∈N0 mit limn→∞ xn = x0 Der Grenzwert c einer reellen Funktion f : D −→ R für x → x0 ist der Wert, gegen den die Bildfolge (f (xn))n∈N konvergiert, wenn die Folge der Urbilder (xn)n∈N gegen x0 konvergiert. Mit anderen Worten: Die Funktionswerte f (xn) nähern sich dem Grenzwert c beliebig genau an, wenn die Urbilder xn ∈ D dem Wert x0 beliebig nahe kommen (vgl. Abbildung 13.18). Gemäß Definition 11.14 ist (13.10) äquivalent dazu, dass zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N existiert, so dass |f (xn)−c| < ε für alle n ≥ n0 gilt. Das heißt, eine reelle Funktion f konvergiert für x → x0 genau dann gegen den Grenzwert c, wenn es für jede Folge (xn)n∈N ⊆ D mit xn = x0 für alle n ∈ N und limn→∞ xn = x0 sowie alle ε > 0 ein n0 ∈ N gibt, so dass |f (xn) − c| < ε für n ≥ n0 gilt. Dabei wird durch die Annahme, dass x0 ein Häufungspunkt ist, sichergestellt, dass eine Folge (xn)n∈N ⊆ D mit xn = x0 für alle n ∈ N und limn→∞ xn = x0 existiert. Es ist zu beachten, dass es keine Rolle spielt, welchen Wert die Funktion f an der Stelle x0 annimmt. Der Wert x0 muss nicht einmal zum Definitionsbereich D gehören. Er muss lediglich ein Häufungspunkt von D sein. Entscheidend ist das Verhalten von f in der unmittelbaren Umgebung von x0 (vgl. Beispiele 13.42b), c), e) und f) sowie 13.51b)). Der Grenzwert einer reellen Funktion f für x → x0 existiert nicht in allen Fällen. Wenn er jedoch existiert, dann ist er auch eindeutig. Dies folgt unmittelbar aus dem Eindeutigkeitssatz für die Grenzwerte von Folgen (vgl. Satz 11.15). Aus den Rechenregeln für die Grenzwerte konvergenter Folgen (vgl. Satz 11.38 und Satz 11.39 in Kapitel 11) erhält man unmittelbar die folgenden Rechenregeln für die Grenzwerte reeller Funktionen für x → x0. Diese Rechenregeln sind bei der Untersuchung von reellen Funktionen auf die Eigenschaften Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit ein sehr wichtiges Hilfsmittel. Satz 13.41 (Rechenregeln für Grenzwerte reeller Funktionen für x → x0) Es seien f : Df −→ R und g : Dg −→ R zwei reelle Funktionen und x0 ∈ R sei ein Häufungspunkt der Menge Df ∩Dg . Ferner seien die beiden Funktionen f und g für x → x0 konvergent mit den Grenzwerten c bzw. d. Das heißt, es gelte limx→x0 f (x) = c und limx→x0 g(x) = d. Dann gilt: a) Die Funktion (f + g) : Df ∩ Dg −→ R, x %→ f (x) + g(x) ist konvergent für x → x0 mit dem Grenzwert lim x→x0 (f + g)(x) = lim x→x0 f (x)+ lim x→x0 g(x) = c + d. 353 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen b) Die Funktion (f − g) : Df ∩ Dg −→ R, x %→ f (x) − g(x) ist konvergent für x → x0 mit dem Grenzwert lim x→x0 (f − g)(x) = lim x→x0 f (x)− lim x→x0 g(x) = c − d. c) Die Funktion (f · g) : Df ∩ Dg −→ R, x %→ f (x)·g(x) ist konvergent für x → x0 mit dem Grenzwert lim x→x0 (f · g)(x) = lim x→x0 f (x) · lim x→x0 g(x) = c · d. d) Die Funktion (αf ) : Df −→ R, x %→ α · f (x) mit α ∈ R ist konvergent für x → x0 mit dem Grenzwert lim x→x0 (αf )(x) = α · lim x→x0 f (x) = α · c. e) Ist d = 0 und gibt es ein ε > 0, so dass g(x) = 0 für alle x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) gilt, dann ist die Funktion ( f g ) : D −→ R, x %→ f (x) g(x) mit D := Df ∩ ( Dg \ { x ∈ Dg : g(x) = 0 }) konvergent für x → x0 mit dem Grenzwert lim x→x0 ( f g ) (x) = lim x→x0 f (x) lim x→x0 g(x) = c d . f) Ist f (x) > 0 für alle x ∈ Df , r ∈ R und c > 0, dann ist die Funktion (f r) : Df −→ R, x %→ (f (x))r konvergent für x → x0 mit dem Grenzwert lim x→x0 (f r)(x) = ( lim x→x0 f (x) )r = cr . g) Ist r > 0, dann ist die Funktion (rf ) : Df −→ R, x %→ rf (x) konvergent für x → x0 mit dem Grenzwert lim x→x0 (rf )(x) = r limx→x0 f (x) = rc. h) Ist c = 0 und h : Dh−→R eine beschränkte Funktion, für deren Definitionsbereich Dh die reelle Zahl x0 ein Häufungspunkt ist, dann ist die Funktion (f ·h) : Df ∩ Dh −→ R, x %→ f (x)h(x) konvergent für x → x0 mit dem Grenzwert lim x→x0 (f · h)(x) = 0. Beweis: Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Anwendung der Aussagen von Satz 11.38 und Satz 11.39 auf die Bildfolgen (f (xn))n∈N0 , (g(xn))n∈N0 und (h(xn))n∈N0 . Aufgrund der sehr großen Bedeutung des Konvergenzbegriffes für reelle Funktionen wird im Folgenden eine Reihe von Beispielen betrachtet: Beispiel 13.42 (Grenzwerte bei reellen Funktionen für x → x0) a) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = 2x3/2− √ x x2−15 konvergiert für x → 4. Denn mit den Rechenregeln für konvergente reelle Funktionen erhält man lim x→4 f (x)= lim x→4 2x3/2−√x x2 − 15 = 2 ( lim x→4 x )3/2 −√lim x→4 x ( lim x→4 x )2 − 15 = 16 − 2 16 − 15 = 14. Das heißt, f konvergiert für x → 4 gegen den Grenzwert 14 (vgl. Abbildung 13.19, links). b) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = √ x+1−1 x ist an der Stelle x0 = 0 nicht definiert. Dennoch konvergiert die Funktion f für x → 0. Denn mit den Rechenregeln für konvergente reelle Funktionen erhält man lim x→0 f (x) = lim x→0 √ x + 1 − 1 x = lim x→0 ( √ x + 1 − 1)(√x + 1 + 1) x( √ x + 1 + 1) = lim x→0 x + 1 − 1 x( √ x + 1 + 1) = lim x→0 1√ x + 1 + 1 = 1√ lim x→0 x + 1 + 1 = 1 2 . Das heißt, f konvergiert für x → 0 gegen den Grenzwert 12 (vgl. Abbildung 13.19, rechts). c) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = 1 (x+2)2 ist an der Stelle x0 = −2 nicht definiert und konvergiert für x → −2 nicht. Denn offensichtlich gilt 1 (x + 2)2 → ∞ für x → −2. 354 Kapitel 1313.10 Grenzwerte von reellen Funktionen 1 2 3 4 5 6 7 8 −20 −10 0 10 20 f (x) x0 −1 0 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 l f (x) x0 Abb. 13.19: Reelle Funktionen f (x) = 2x3/2− √ x x2−15 (links) und f (x) = √ x+1−1 x (rechts) Das heißt, f divergiert für x → −2 gegen ∞. Anders ausgedrückt: die Funktion f wächst bei Annäherung an x0 = −2 über alle Schranken (vgl. Abbildung 13.20, links). d) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = ⎧ ⎨ ⎩ x2− 14 x− 12 für x = 12 2 für x = 12 soll auf Konvergenz für x → 12 untersucht werden. Mit den Rechenregeln für konvergente reelle Funktionen erhält man lim x→ 12 f (x) = lim x→ 12 x2 − 14 x − 12 = lim x→ 12 (x − 12 )(x + 12 ) x − 12 = lim x→ 12 ( x + 1 2 ) = lim x→ 12 x + 1 2 = 1. Das heißt, f konvergiert für x → 12 gegen den Grenzwert 1. Wegen f ( 12 ) = 2 stimmt somit der Grenzwert von f für x → 12 nicht mit dem Funktionswert von f an der Stelle x0 = 12 überein (vgl. Abbildung 13.20, rechts). e) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = ( √ x+1−1)(x sin(x)+1) x(x−5)2 ist an der Stelle x0 = 0 nicht definiert. Dennoch konvergiert f für x → 0. Denn mit den Rechenregeln für konvergente reelle Funktionen und Beispiel b) erhält man lim x→0 f (x) = lim x→0 ( √ x + 1 − 1)(x sin(x)+1) x(x − 5)2 = lim x→0 √ x + 1 − 1 x lim x→0 (x sin(x)+1) lim x→0 1 (x−5)2 = lim x→0 √ x + 1 − 1 x ( lim x→0 x lim x→0 sin(x)+ 1 ) · 1( lim x→0 x − 5 )2 = 1 2 · 1 · 1 25 = 1 50 . Das heißt, f konvergiert für x → 0 gegen den Grenzwert 150 (vgl. Abbildung 13.21, links). f) Die Funktion f (x)=x sin ( 1 x ) ist an der Stelle x0 =0 nicht definiert. Dennoch konvergiert f für x → 0. Denn es gilt ∣∣sin ( 1 x )∣∣ ≤ 1 für alle x ∈ R\{0}, d. h. die Funktion sin(x) ist beschränkt, und somit erhält man mit den Rechenregeln für konvergente reelle Funktionen lim x→0 f (x) = lim x→0 x sin ( 1 x ) = 0. Das heißt, f konvergiert für x → 0 gegen den Grenzwert 0 (vgl. Abbildung 13.21, rechts). 355 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen −5 −4 −3 −2 −1 0 1 5 10 15 20 f(x) x0 −1 1 2 −1 1 2 f(x) x0 l l Abb. 13.20: Reelle Funktionen f (x) = 1 (x+2)2 (links) und f (x) = x2− 14 x− 12 für x = 12 und f (x) = 2 für x = 12 (rechts) −1 1 2 3 4 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 f (x) x0 l −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 f (x) x0 l Abb. 13.21: Reelle Funktionen f (x) = ( √ x+1−1)(x sin(x)+1) x(x−5)2 (links) und f (x) = x sin ( 1 x ) (rechts) Im folgenden Beispiel wird gezeigt, dass die reelle Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ sin(x) x für x → 0 gegen den Wert 0 konvergiert: Beispiel 13.43 (Grenzwert von sin(x)/x für x → 0) Die reelle Funktion f : R \ {0} −→ R, x %→ sin(x) x ist an der Stelle x0 = 0 nicht definiert. Dennoch konvergiert f für x → 0. Betrachtet man die Abbildung 13.22, links, dann erkennt man, dass der Flächeninhalt F1(x) des Dreiecks durch die Punkte (0, 0), A und B, der Flächeninhalt F2(x) des Dreiecks durch die Punkte (0, 0), (1, 0) und C sowie der Flächeninhalt F3(x) des durch die Punkte (0, 0), (1, 0) und B festgelegten Kreisausschnitts in Abhängigkeit vom Bogenmaß x ∈ (− π2 , π2 ) durch 356 Kapitel 1313.10 Grenzwerte von reellen Funktionen 0 1 0 1 x cos (x) si n (x ) tan ( x ) l l l l A B C l −8 −4 4 8 −0.5 0.5 1 f (x) x0 Abb. 13.22: Ausschnitt Einheitskreis (links) und reelle Funktion f (x) = sin(x)x (rechts) F1(x) = 1 2 cos(x)| sin(x)|, F2(x) = 1 2 · 1 · | tan(x)| = 1 2 | tan(x)|, F3(x) = |x| 2π · 12 · π = |x| 2 gegeben sind. Dabei gilt offensichtlich F1(x) ≤ F3(x) ≤ F2(x). Nach einer kurzen Umformung erhält man daraus zusammen mit tan(x) = sin(x)cos(x) cos(x) ≤ | sin(x)||x| ≤ 1 cos(x) für alle x ∈ (− π2 , π2 )\ {0}. Wegen | sin(x)||x| = sin(x)x für alle x ∈ (− π2 , π2 ) \ {0} gilt somit sogar cos(x) ≤ sin(x) x ≤ 1 cos(x) für alle x ∈ (− π2 , π2 )\{0}. Zusammen mit limx→0 cos(x) = 1 impliziert dies lim x→0 sin(x) x = 1 (13.11) (vgl. Abbildung 13.22, rechts). Einseitige Grenzwerte Viele reelle Funktionen besitzen eine oder mehrere Stellen x0, an die man sich nur von einer Seite annähern kann. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die Wurzelfunktion f : [0,∞) −→ R, x %→ √x und die Stelle x0 = 0. Da die Wurzelfunktion f für x < 0 nicht definiert ist, kann man sich an die Stelle x0 = 0 nur von rechts annähern. Diese Beobachtung motiviert den Begriff des einseitigen Grenzwertes, der wie folgt definiert ist: Definition 13.44 (Einseitiger Grenzwert reeller Funktionen für x ↓ x0, x ↑ x0) Es seien f : D −→ R eine reelle Funktion und x0 ∈ R. a) Ist x0 ein Häufungspunkt der Menge D−x0 :={x < x0 : x ∈ D}, dann sagt man, dass die Funktion f für x → x0 von links gegen c ∈ R konvergiert, wenn für jede Folge (xn)n∈N ⊆ D mit xn < x0 für alle n ∈ N0 und limn→∞ xn = x0 stets lim n→∞ f (xn) = c (13.12) gilt. Der Wert c wird dann als linksseitiger Grenzwert (Limes) von f für x → x0 bezeichnet und man 357 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen schreibt lim x↑x0 f (x) = c oder lim x→x−0 f (x) = c oder f (x) → c für x ↑ x0. Konvergiert die Funktion f für x → x0 nicht linksseitig, dann sagt man, dass f für x → x0 linksseitig divergiert oder auch, dass der linksseitige Grenzwert von f für x → x0 nicht existiert. b) Ist x0 ein Häufungspunkt der Menge D+x0 :={x > x0 : x ∈ D}, dann sagt man, dass die Funktion f für x → x0 von rechts gegen c ∈ R konvergiert, wenn für jede Folge (xn)n∈N ⊆ D mit xn > x0 für alle n ∈ N0 und limn→∞ xn = x0 stets lim n→∞ f (xn) = c (13.13) gilt. Der Wert c wird dann als rechtsseitiger Grenzwert (Limes) von f für x → x0 bezeichnet und man schreibt lim x↓x0 f (x) = c oder lim x→x+0 f (x) = c oder f (x) → c für x ↓ x0. Konvergiert die Funktion f für x → x0 nicht rechtsseitig, dann sagt man, dass f für x → x0 rechtsseitig divergiert oder auch, dass der rechtsseitige Grenzwert von f für x → x0 nicht existiert. Der linksseitige oder rechtsseitige Grenzwert einer Funktion f für x → x0 ist somit der Wert, dem sich die Funktionswerte f (x) beliebig genau annähern, wenn sich die Urbilder x dem Wert x0 von links bzw. von rechts beliebig genau annähern. Ein linksseitiger oder rechtsseitiger Grenzwert existiert jedoch analog zu beidseitigen Grenzwerten nicht in allen Fällen. Die in Satz 13.41 formulierten Rechenregeln für Grenzwerte reeller Funktionen für x → x0 gelten analog auch für die einseitigen Grenzwertbetrachtungen x ↑ x0 oder x ↓ x0. Analog zu beidseitigen Grenzwerten einer Funktion f für x → x0 folgt aus dem Eindeutigkeitssatz für Grenzwerte von Folgen (vgl. Satz 11.15), dass auch die einseitigen Grenzwerte einer Funktion f für x ↓ x0 und x ↑ x0 eindeutig sind, falls sie existieren. Zwischen einseitiger Konvergenz und (beidseitiger) Konvergenz besteht der folgende Zusammenhang: Satz 13.45 (Zusammenhang einseitige Konvergenz und Konvergenz) Es seien f : D −→ R eine reelle Funktion und x0 ein Häufungspunkt von D, D−x0 und D + x0 . Dann konvergiert f für x → x0 genau dann, wenn f links- und rechtsseitig konvergiert und der links- und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen. In diesem Fall gilt dann lim x→x0 f (x) = lim x↑x0 f (x) = lim x↓x0 f (x). Beweis: Die Aussage folgt unmittelbar aus den beiden Definitionen 13.40 und 13.44. Beispiel 13.46 (Einseitiger Grenzwert reeller Funktionen für x ↓ x0, x ↑ x0) a) Die reelle Funktion f : R+ −→ R, x %→ f (x) =√ x ist rechtsseitig konvergent für x → 0 und besitzt den Grenzwert lim x↓0 f (x) = lim x↓0 √ x = 0 (vgl. Abbildung 13.23, links). b) Die reelle Funktion f : (0,∞) −→ R, x %→ f (x) = { 3 x für 0 < x ≤ 3 x − 1 für x > 3 ist für x → 3 links- und rechtsseitig konvergent. Denn es gilt lim x↑3 f (x) = lim x↑3 3 x = 3 lim x↑3 x = 1 und lim x↓3 f (x) = lim x↓3 (x − 1) = lim x↓3 x − 1 = 2. Aber wegen limx↑3 f (x) = limx↓3 f (x) existiert gemäß Satz 13.45 der (beidseitige) Grenzwert nicht. Mit anderen Worten: Die Funktion ist für x → 3 nicht konvergent (vgl. Abbildung 13.23, rechts). 358 Kapitel 1313.10 Grenzwerte von reellen Funktionen 0 1 2 3 4 0 1 2 x0 f (x) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 x0 f (x) l l Abb. 13.23: Reelle Funktionen f (x) = √x (links) sowie f (x) = 3x für 0 < x ≤ 3 und f (x) = x − 1 für x > 3 (rechts) c) Die reelle Funktion f : R+ −→ R, x %→ f (x) = { 2x2 − 4x + 1 für 0 ≤ x ≤ 3 4x − 5 für x > 3 ist für x → 3 links- und rechtsseitig konvergent. Denn es gilt lim x↑3 f (x) = lim x↑3 (2x2 − 4x + 1) = 2 ( lim x↑3 x )2 − 4 lim x↑3 x + 1 = 7 und lim x↓3 f (x) = lim x↓3 (4x − 5) = 4 lim x↓3 x − 5 = 7. Das heißt, es gilt limx↑3 f (x) = limx↓3 f (x) und gemäß Satz 13.45 existiert somit der (beidseitige) Grenzwert. Mit anderen Worten: Die Funktion ist für x → 3 konvergent (vgl. Abbildung 13.24, links). d) Die reelle Funktion f : R−→R, x %→f (x)= { x−k für k − 12 3 (links) sowie f (x) = x − k für k − 12 < x < k + 12 und k ∈ Z und f (x) = 0 für x = k + 12 und k ∈ Z (rechts) Definition 13.47 (Grenzwert einer reellen Funktion für x → ±∞) Es sei f : D −→ R eine reelle Funktion. a) Ist der Definitionsbereich D nach oben unbeschränkt, dann sagt man, dass die Funktion f für x → ∞ gegen c ∈ R konvergiert, wenn für jede Folge (xn)n∈N ⊆ D mit xn → ∞ für n → ∞ stets lim n→∞ f (xn) = c gilt. Der Wert c wird dann als Grenzwert (Limes) von f für x → ∞ bezeichnet und man schreibt lim x→∞ f (x) = c oder f (x) → c für x → ∞ oder f (x) x→∞−→ c. Konvergiert die Funktion f für x → ∞ nicht, so sagt man, dass f für x → ∞ divergiert oder auch, dass der Grenzwert für x → ∞ nicht existiert. b) Ist der Definitionsbereich D nach unten unbeschränkt, dann sagt man, dass die Funktion f für x → −∞ gegen c ∈ R konvergiert, wenn für jede Folge (xn)n∈N ⊆ D mit xn → −∞ für n → ∞ stets lim n→∞ f (xn) = c gilt. Der Wert c wird dann als Grenzwert (Limes) von f für x → −∞ bezeichnet und man schreibt lim x→−∞ f (x) = c oder f (x) → c für x → −∞ oder f (x) x→−∞−→ c. Konvergiert die Funktion f für x → −∞ nicht, so sagt man, dass f für x → −∞ divergiert oder auch, dass der Grenzwert für x → −∞ nicht existiert. Geometrisch bedeutet z. B. limx→∞ f (x) = c, dass sich der Graph von f mit wachsendem x immer mehr der horizontalen Geraden y = c annähert. Die Funktion f braucht dabei nicht monoton zu sein. Die verschiedenen Rechenregeln in Satz 13.41 gelten analog auch für die Grenzwertbetrachtungen x → ±∞ und der Eindeutigkeitssatz für Grenzwerte von Folgen (vgl. Satz 11.15) stellt sicher, dass die Grenzwerte auch für x → ±∞ eindeutig sind, falls sie existieren. 360 Kapitel 1313.10 Grenzwerte von reellen Funktionen Beispiel 13.48 (Grenzwerte bei reellen Funktionen für x → ±∞) a) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = 2x+1 x2−3x+5 konvergiert für x → ∞. Denn mit den Rechenregeln für konvergente reelle Funktionen erhält man lim x→∞ 2x + 1 x2 − 3x + 5 = limx→∞ x2 ( 2 x + 1 x2 ) x2 ( 1 − 3 x + 5 x2 ) = lim x→∞ 2 x + 1 x2 1 − 3 x + 5 x2 = 0. Das heißt, die reelle Funktion f konvergiert für x → ∞ gegen den Grenzwert 0. Völlig analog zeigt man, dass f für x → −∞ ebenfalls gegen den Grenzwert 0 konvergiert (vgl. Abbildung 13.25, links). b) Die reelle Funktion mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = 2x2+5x+1 3x2−4x+1 konvergiert für x → −∞. Denn mit den Rechenregeln für konvergente reelle Funktionen erhält man lim x→−∞ 2x2 + 5x + 1 3x2 − 4x + 1 = limx→−∞ x2 ( 2 + 5 x + 1 x2 ) x2 ( 3 − 4 x + 1 x2 ) = lim x→−∞ 2 + 5 x + 1 x2 3 − 4 x + 1 x2 = 2 3 . −40 −20 20 40 −0.5 0.5 1 1.5 2 f(x) −100 −50 50 100 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f(x) Abb. 13.25: Reelle Funktionen f (x) = 2x+1 x2−3x+5 (links) und f (x) = 2x2+5x+1 3x2−4x+1 (rechts) Das heißt, die reelle Funktion f konvergiert für x → −∞ gegen den Grenzwert 23 . Völlig analog zeigt man, dass f für x → ∞ ebenfalls gegen den Grenzwert 23 konvergiert (vgl. Abbildung 13.25, rechts). Uneigentliche Grenzwerte Eine reelle Funktion f : D −→ R, die für x → x0, x ↑ x0, x ↓ x0 oder x → ∞, x → −∞ einen Grenzwert c ∈ R besitzt, wird als konvergent, andernfalls als divergent, bezeichnet. Analog zu Folgen kann jedoch auch für reelle Funktionen der Begriff uneigentlicher Grenzwert definiert werden (vgl. Abschitt 11.4). Auf diese Weise erhält man auch bei reellen Funktionen die Unterscheidung zwischen den beiden Divergenzarten bestimmte Divergenz und unbestimmte Divergenz. Zum Beispiel ist die reelle Funktion f : R \ {−2} −→ R, x %→ f (x) = 1 (x+2)2 in Beispiel 13.42c) für x → −2 divergent, wobei die Funktionswerte f (x) bei Annäherung der Urbilder x an die Stelle x0 = −2 über alle Schranken wachsen. Bei dieser Art von Divergenz spricht man von bestimmter Divergenz und sagt, dass f für x → x0 den uneigentlichen Grenzwert ∞ besitzt und x0 = −2 eine Polstelle der Funktion f ist. Dagegen ist die reelle Funktion f : R\{0} −→ R, 361 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen x %→ f (x) = sin ( 1 x ) ebenfalls divergent, allerdings wachsen (fallen) ihre Funktionswerte nicht über (unter) alle Schranken (siehe Beispiel 13.51b)). Bei dieser Art von Divergenz spricht man von unbestimmter Divergenz. Aufbauend auf der Definition für uneigentliche Grenzwerte von Folgen (vgl. Definition 11.20 in Abschitt 11.4) werden die Begriffe bestimmte und unbestimmte Divergenz für reelle Funktionen durch die folgende Definition präzisiert: Definition 13.49 (Uneigentlicher Grenzwert einer reellen Funktion) Es seien f : D −→ R eine reelle Funktion und x0 ein Häufungspunkt der Menge D. Dann heißt die Funktion f für x → x0 bestimmt divergent gegen ∞ (bzw. −∞), wenn für jede Folge (xn)n∈N ⊆ D mit xn = x0 für alle n ∈ N und limn→∞ xn = x0 die Folge (f (xn))n∈N bestimmt divergent ist mit dem uneigentlichen Grenzwert ∞ (bzw. −∞). Man schreibt dann lim x→x0 f (x) = ∞ (−∞) oder f (x) → ∞ (−∞) für x → x0 oder f (x) x→x0−→ ∞ (−∞) und sagt, dass die Funktion f für x → x0 den uneigentlichen Grenzwert ∞ (bzw. −∞) besitzt, und nennt x0 eine Polstelle von f . Eine für x → x0 divergente Funktion, die nicht bestimmt divergent ist, heißt unbestimmt divergent für x → x0. −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 5 10 15 20 f(x) −1 1 2 3 4 5 −20 −15 −10 −5 5 10 15 20 f(x) Abb. 13.26: Reelle Funktion f (x) = 1 x2 mit Polstelle ohne Polwechsel bei x0 = 0 (links) und reelle Funktion f (x) = −2xx2−4 mit Polstelle bei x0 = 2 und Polwechsel von ∞ auf −∞ (rechts) Aus den beiden Definitionen 11.20 und 13.49 lässt sich leicht folgern, dass eine reelle Funktion f : D −→ R genau dann für x → x0 bestimmt divergent ist mit dem uneigentlichen Grenzwert ∞ (bzw. −∞), wenn es zu jedem c > 0 ein δ > 0 gibt, so dass f (x) > c (bzw. f (x) < −c) für alle x ∈ D mit x = x0 und 0 < |x − x0| < δ gilt. Für die einseitigen Grenzwertbetrachtungen x↑x0 und x↓x0 und die asymptotischen Grenzwertbetrachtungen x → ∞ und x → −∞ werden die Begriffe bestimmte und unbestimmte Divergenz sowie uneigentlicher Grenzwert analog definiert. Für diese Grenzwertbetrachtungen sind analoge Schreib- und Sprechweisen üblich. Besitzt eine reelle Funktion f : D −→ R für x ↑ x0 den uneigentlichen Grenzwert ∞ und für x ↓ x0 den uneigentlichen Grenzwert −∞, d. h. gilt lim x↑x0 f (x) = ∞ und lim x↓x0 f (x) = −∞, dann wird x0 als eine Polstelle mit Polwechsel von ∞ auf −∞ bezeichnet. Eine Polstelle mit Polwechsel von −∞ auf ∞ ist analog definiert (vgl. Abbildung 13.26). Es ist jedoch zu beachten, dass der Satz 13.41 mit den verschiedenen Rechenregeln für Grenzwerte reeller Funktionen im Allgemeinen für uneigentliche Grenzwerte keine Gültigkeit besitzt. 362 Kapitel 1313.10 Grenzwerte von reellen Funktionen Beispiel 13.50 (Uneigentliche Grenzwerte bei reellen Funktionen) a) Die reelle Funktion f : R\{0} −→ R, x %→ f (x) = 1 x2 ist für x → 0 bestimmt divergent gegen ∞. Denn es gilt lim x→0 1 x2 = ∞. Das heißt, x0 = 0 ist eine Polstelle von f ohne Polwechsel (vgl. Abbildung 13.26, links). b) Die Funktion f : R \ {−2, 2} −→ R, x %→ f (x) = −2x x2−4 ist für x ↑ 2 (linksseitig) bestimmt divergent gegen ∞ und für x ↓ 2 (rechtsseitig) bestimmt divergent gegen −∞. Denn es gilt lim x↑2 −2x x2 − 4 = ∞ bzw. limx↓2 −2x x2 − 4 = −∞. Das heißt, x0 = 2 ist eine Polstelle von f mit Polwechsel (vgl. Abbildung 13.26, rechts). c) Die reelle Funktion f : R −→ R, x %→ f (x) = −3x2+9 ist für x → −∞ bestimmt divergent gegen −∞. Denn offensichtlich gilt lim x→−∞(−3x 2 + 9) = −∞ (vgl. Abbildung 13.27, links). −5 −4 −3 −2 −1 1 2 −70 −60 −50 −40 −30 −20 −10 10 f(x) −20 −15 −10 −5 5 10 15 20 −20 −15 −10 −5 5 10 15 20 f(x) Abb. 13.27: Reelle Funktion f (x) = −3x2 + 9 (links) und reelle Funktion f (x) = x2−42x (rechts) d) Die reelle Funktion f : R\{0} −→ R, x %→ f (x) = x2−4 2x ist für x → ∞ bestimmt divergent gegen ∞. Denn es gilt lim x→∞ x2 − 4 2x = lim x→∞ ( 1 2 x − 2 x ) = ∞ (vgl. Abbildung 13.27, rechts). Die beiden reellen Funktionen f1 und f2 im folgenden Beispiel 13.51 sind Beispiele für reelle Funktionen, die für x → x0 mit x0 ∈ Z bzw. für x → 0 weder konvergent noch bestimmt divergent sind. Das heißt, diese beiden reellen Funktionen sind an diesen Stellen unbestimmt divergent und somit sind diese Stellen auch keine Polstellen. Darüber hinaus wird sich in Beispiel 13.51b) zeigen, dass sich die reelle Funktion f2 in jeder ε-Umgebung von x0 = 0 dahingehend „chaotisch“ verhält, dass sie für x0 → 0 jeden Wert zwischen −1 und 1 unendlich oft annimmt. 363 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen Beispiel 13.51 (Unbestimmte Divergenz) a) Die reelle Funktion f1 : R−→R, x %→ f1(x) := .x/ wird als Entier-Funktion bezeichnet, wobei .x/ := max {k ∈ Z : k ≤ x} die nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß (1777–1855) benannte Gaußsche Klammer ist. Die reelle Funktion f1 ordnet einer reellen Zahl x ∈ R die größte ganze Zahl k zu, die kleiner oder gleich x ist. Die Funktion f1 besitzt für x → x0 mit x0 ∈ R \ Z einen Grenzwert, denn für jeden nicht ganzzahligen Wert x0 lässt sich eine ε-Umgebung (x0 − ε, x0 + ε) angeben, so dass f1 in dieser Umgebung konstant ist. Dagegen ist für ganzzahlige Werte x0 ∈ Z die Funktion f1 für x → x0 weder konvergent noch bestimmt divergent. Um dies nachzuweisen, genügt es zu zeigen, dass es eine Folge (xn)n∈N mit xn = x0 für alle n ∈ N und limn→∞ xn = x0 gibt, für die die Bildfolge (f1(xn))n∈N unbestimmt divergent ist. Eine solche Folge ist z. B. gegeben durch (xn)n∈N mit xn = x0 + (− 12 )n für alle n ∈ N. Denn für diese Folge gilt f1(xn) = { x0 für n gerade x0 − 1 für n ungerade . Das heißt, die Bildfolge (f1(xn))n∈N ist weder konvergent noch bestimmt divergent, da sie die beiden −3 −2 −1 1 2 3 −3 −2 −1 1 2 3 ll ll ll ll ll ll x0 f1(x) −1 −0.5 0.5 1 −1 −0.5 0.5 1 f2(x) x0 l Abb. 13.28: Reelle Funktionen f (x) = .x/ (links) und f (x) = sin ( 1 x ) (rechts) Häufungspunkte x0 und x0 − 1 besitzt. Die Funktion ist somit unbestimmt divergent für x → x0 (vgl. Abbildung 13.28, links). b) Die reelle Funktion f2 : R \ {0} −→ R, x %→ f2(x) = sin ( 1 x ) ist an der Stelle x0 = 0 nicht definiert und für x → 0 weder konvergent noch bestimmt divergent. Denn die Werte von f2 oszillieren für x → 0 ständig zwischen −1 und 1, wobei die Scheitel immer dichter aufeinander folgen. Um zu zeigen, dass f2 für x → 0 weder konvergent noch bestimmt divergent ist, genügt es wieder zu zeigen, dass es eine Folge (xn)n∈N mit xn = 0 für alle n ∈ N und lim n→∞ xn = 0 gibt, für die die Bildfolge (f2(xn))n∈N unbestimmt divergent ist. Eine solche Folge ist z. B. gegeben durch (xn)n∈N mit xn = 1π 2 +nπ für alle n ∈ N. Denn für diese Folge gilt f2(xn) = sin (π 2 + nπ ) = { 1 für gerades n −1 für ungerades n . Das heißt, die Bildfolge (f2(xn))n∈N ist weder konvergent noch bestimmt divergent, da sie die beiden Häufungspunkte −1 und 1 besitzt. Die Funktion f2 ist somit unbestimmt divergent für x → 0. Analog kann man zeigen, dass f2 auch jeden anderen Wert aus dem abgeschlossenen Intervall [−1, 1] unendlich oft annimmt (vgl. Abbildung 13.28, rechts). 364 Kapitel 1313.11 Landau-Symbole 13.11 Landau-Symbole E. Landau Die Landau-Symbole o (gelesen „klein o“) und O (gelesen „groß O“) sind nach dem deutschen Mathematiker Edmund Landau (1877–1938) benannt. Zusammen werden sie oftmals auch als O-Notation bezeichnet. In der Analysis dient die O-Notation zur Beschreibung der Schnelligkeit des asymptotischen Verhaltens von reellen Funktionen bei Annäherung an einen endlichen oder auch unendlichen Grenzwert. Die Landau-Symbole sind aber z. B. auch in der Wirtschaftsinformatik und im Operations Research (Unternehmensforschung, Ablauf- und Planungsforschung) zur Analyse und zum Vergleich der Komplexität von Algorithmen und Optimierungsproblemen ein verbreitetes Hilfsmittel. Die Landau-Symbole o und O für die Grenzwertbetrachtung x → x0 sind wie folgt definiert: Definition 13.52 (Landau-Symbole o und O für x → x0) Es seien f : D −→ R und g : D −→ R zwei reelle Funktionen und x0 ∈ R sei ein Häufungspunkt von D. Dann gilt: a) Gibt es eine ε-Umgebung U von x0 mit g(x) = 0 für alle x ∈ U ∩ D \ {x0} und lim x→x0 f (x) g(x) = 0, dann schreibt man f (x) = o (g(x)) für x → x0. b) Gibt es eine ε-Umgebung U von x0 und ein C > 0 mit g(x) = 0 und ∣∣ ∣∣ f (x) g(x) ∣∣ ∣∣ ≤ C für alle x ∈ U ∩ D \ {x0}, dann schreibt man f (x) = O (g(x)) für x → x0. Die Schreibweise f (x) = O (g(x)) für x → x0 bedeutet, dass f (x) betragsmäßig für x → x0 durchC|g(x)| nach oben beschränkt ist. Man sagt dazu „f (x) ist groß O von g(x) für x → x0“. Dagegen bedeutet f (x) = o (g(x)) für x → x0, dass f (x) für x → x0 gegenüber g(x) asymptotisch vernachlässigbar ist. Man sagt dazu „f (x) ist klein o von g(x) für x → x0“ oder auch „f (x) geht schneller gegen Null als g(x) für x → x0“. Aus f (x) = o (g(x)) für x → x0 folgt stets f (x) = O (g(x)) für x → x0. Die Umkehrung gilt jedoch im Allgemeinen nicht. Die Buchstaben o und O sollen dabei an das Wort „Ordnung“ und nicht an die Zahl „Null“ erinnern. Häufig werden auch die Schreibweisen f (x) = h(x)+ o(g(x)) für x → x0 und f (x) = h(x)+O(g(x)) für x → x0 (13.14) verwendet, falls lim x→x0 f (x)−h(x) g(x) = 0 bzw. ∣∣∣ f (x)−h(x) g(x) ∣∣∣ ≤ C für ein C > 0 und alle x ∈ U ∩D \ {x0} gilt. Für die einseitigen Grenzwertbetrachtungen x ↓ x0 und x ↑ x0 sowie die asymptotischen Grenzwertbetrachtungen x → ∞ und x → −∞ werden die Landau-Symbole o und O analog definiert. Aus diesem Grund lässt man die Angabe der Art der Grenzwertbetrachtung auch häufig weg und schreibt dann einfach nur f (x) = o (g(x)) bzw. f (x) = O (g(x)), wenn aus dem konkreten Zusammenhang klar hervorgeht, welche der Grenzwertbetrachtungen x → x0, x ↓ x0, x ↑ x0, x → ∞ und x → −∞ gemeint ist. Wenn dies jedoch nicht der Fall ist, sollte die Art der Grenzwertbetrachtung konkret angegeben werden, da diese für die Gültigkeit der Aussage wesentlich ist. Zum Beispiel gilt 1 x = o ( 1√ x ) für x → ∞, nicht aber für x ↓ 0. Die Landau-Symbole o und O können sinngemäß auch für Grenzwertbetrachtungen n → ∞ bei Folgen (an)n∈N0 verwendet werden. Zum Beispiel bedeutet dann an = o(1), dass (an)n∈N0 eine Nullfolge und an = O(1), dass (an)n∈N0 eine beschränkte Folge ist. Bei Verwendung der Landau-Symbole ist jedoch auch Vorsicht geboten. Denn es handelt sich bei f (x) = o (g(x)) und f (x) = O (g(x)) lediglich um symbolische Schreibweisen. In diesen Gleichungen ist keine der beiden Seiten durch die jeweils andere Seite bestimmt. Zum Beispiel folgt aus f1(x) = O (g(x)) und f2(x) = O (g(x)) nicht, dass f1 und f2 identisch sind. Beispiel 13.53 (Landau-Symbole) a) f(x)=O(1) für x→x0 bedeutet, dass f für x→x0 (d. h. unmittelbar vor und nach x0) betragsmäßig durch eine Konstante C nach oben beschränkt ist. 365 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen b) f (x) = O(√x) für x → x0 bedeutet, dass f für x → x0 (d. h. unmittelbar vor und nach x0) höchstens das gleiche Wachstum aufweist wie die Wurzelfunktion. Mit anderen Worten: Für x → x0 wächst f maximal auf das Doppelte, wenn sich das Argument x vervierfacht. c) f (x) = O(x2) für x → x0 bedeutet, dass f für x → x0 höchstens ein quadratisches Wachstum aufweist. Mit anderen Worten: Für x → x0 wächst f maximal auf das Vierfache, wenn sich das Argument x verdoppelt. d) f (x)=O(ex) für x→x0 bedeutet, dass f für x→x0 höchstens ein exponentielles Wachstum aufweist. e) In Beispiel 13.43 wurde gezeigt, dass ∣∣ sin(x) x ∣∣ ≤ 1 für alle x ∈ (− π2 , π2 ) \ {0} gilt. In der Landau-Notation bedeutet dies sin(x) = O(x) für x → 0 oder sin(x) x = O(1) für x → 0. f) In Beispiel 13.43 wurde gezeigt, dass lim x→0 sin(x) x = 1 gilt. Dies ist äquivalent zu lim x→0 sin(x)− x x = 0. In der Landau-Notation bedeutet dies sin(x)− x = o(x) für x → 0. Dafür schreibt man auch sin(x) = x + o(x) für x → 0 (vgl. (13.14)). g) Ist f (x) = −3x2 + 2x + x ln(x), dann gilt lim x→∞ f (x) x2 = lim x→∞ −3x2 + 2x + x ln(x) x2 = lim x→∞ ( −3 + 2 x + ln(x) x ) = −3 und lim x→∞ f (x) x3 = lim x→∞ ( − 3 x + 2 x2 + ln(x) x2 ) = 0. In der Landau-Notation bedeutet dies f (x) = O(x2) für x → ∞ und f (x) = o(x3) für x → ∞. Dabei wurde berücksichtigt, dass ln(x) = o(xa) = 0 für x → ∞ und alle a > 0 gilt. Dies folgt aus lim x→∞ ln(x) xa = lim x↓0 ln (1/x) 1/xa = lim x↓0 − ln(x) 1/xa = − lim x↓0 xa ln(x) = 0 für a > 0 (vgl. Beispiel 16.40a)). 13.12 Asymptoten und Näherungskurven Bei der Untersuchung reeller Funktionen spielen oftmals Asymptoten und Näherungskurven eine wichtige Rolle. Unter einer Asymptote versteht man dabei eine vertikale oder horizontale Gerade x = x0 bzw. y = c und unter einer Näherungskurve eine reelle Funktion h, die einer gegebenen reellen Funktion f : D −→ R beliebig nahe kommt. Asymptoten und Näherungskurven werden insbesondere im Rahmen von Kurvendiskussionen (siehe Abschnitt 18.6) betrachtet. Definition 13.54 (Asymptoten und Näherungskurven) Es sei f : D −→ R eine reelle Funktion. Dann gilt: a) Ist x0 ein Häufungspunkt von D, dann wird die vertikale Gerade x = x0 als vertikale Asymptote von f für x ↓ x0 oder x ↑ x0 bezeichnet, falls gilt lim x↓x0 f (x) = ∞ (oder −∞) bzw. lim x↑x0 f (x) = ∞ (oder −∞). b) Ist D nach unten oder oben unbeschränkt, dann wird die horizontale Gerade y = c als horizontale Asymptote von f für x → −∞ bzw. für x → ∞ bezeichnet, falls gilt lim x→−∞ f (x) = c bzw. limx→∞ f (x) = c. c) Ist D nach unten oder oben unbeschränkt, dann wird eine reelle Funktion h : D −→ R als Näherungskurve von f für x → −∞ bzw. für x → ∞ bezeichnet, falls gilt lim x→−∞ |f (x)− h(x)| = 0 bzw. lim x→∞ |f (x)− h(x)| = 0. (13.15) Sehr oft handelt es sich bei Näherungskurven h um Polynome∑n k=0 akx k mit an = 0. Im speziellen Falle eines Polynoms 0-ten Grades, d. h. im Falle von h(x) = a0, resultiert eine horizontale Asymptote. Im Falle eines Polynoms ersten Grades, d. h. im Falle einer Geraden h(x) = a0 + a1x, spricht man häufig auch von einer schiefen Asymptote. Näherungskurven in Form von Polynomen besitzen besonders für rationale Funktionen eine große Bedeutung (siehe Seiten 385f.). 366 Kapitel 1313.12 Asymptoten und Näherungskurven Hat eine reelle Funktion f sowohl für x ↓ x0 als auch für x ↑ x0 die vertikale Asymptote x = x0, dann sagt man, dass f die vertikale Asymptote x = x0 für x → x0 besitzt. Analog sagt man, dass f die horizontale Asymptote y = c oder die Näherungskurve h für |x| → ∞ besitzt, falls y = c bzw. h sowohl für x → −∞ als auch für x → ∞ eine horizontale Asymptote bzw. eine Näherungskurve von f ist. Mit Hilfe des Landau-Symbols o lässt sich Gleichung (13.15) auch in der Form f (x) = h(x) + o(1) für x → −∞ bzw. x → ∞ schreiben. Beispiel 13.55 (Asymptoten und Näherungskurven) a) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = 2x + 1 x2 − 3x + 5 besitzt für |x| → ∞ die horizontale Asymptote y = 0 und die reelle Funktion g mit der Zuordnungsvorschrift g(x) = 2x 2 + 5x + 1 3x2 − 4x + 1 besitzt für |x|→∞ die horizontale Asymptote y= 23 . Denn es gilt lim |x|→∞ 2x+1 x2−3x+5 =0 und lim|x|→∞ 2x2+5x+1 3x2−4x+1 = 2 3 (vgl. Beispiel 13.48). −4 −2 2 4 −20 −15 −10 −5 5 10 15 f (x) h(x) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 f (x) h(x) Abb. 13.29: Reelle Funktion f (x) = 4x + 5x − 3 mit vertikaler Asymptote x = 0 und schiefer Asymptote h(x) = 4x − 3 (links) und reelle Funktion f (x) = √ x + 1x mit vertikaler Asymptote x = 0 und Näherungskurve h(x) = √ x (rechts) b) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = 1 x2 besitzt für x → 0 die vertikale Asymptote x = 0 und die reelle Funktion g mit der Zuordnungsvorschrift g(x) = −2x x2−4 besitzt für x → 2 die vertikale Asymptote x = 2. Denn es gilt lim x→0 1 x2 = ∞ und lim x↑2 −2x x2 − 4 = ∞ bzw. limx↓2 −2x x2 − 4 = −∞ (vgl. Beispiel 13.50a) und b)). c) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = 4x + 5 x − 3 besitzt für x → 0 die vertikale Asymptote x = 0 und für |x| → ∞ die Näherungskurve (schiefe Asymptote) h(x) = 4x − 3. Denn es gilt lim x↑0 ( 4x + 5 x − 3 ) = −∞ und lim x↓0 ( 4x + 5 x − 3 ) = ∞ bzw. lim |x|→∞ |f (x)− h(x)| = lim |x|→∞ ∣ ∣∣ ∣ 5 x ∣∣ ∣∣ = 0 (vgl. Abbildung 13.29, links). 367 Kapitel 13 Eigenschaften reeller Funktionen d) Die reelle Funktion f mit der Zuordnungsvorschrift f (x) = √ x + 1 x besitzt für x ↓ 0 die vertikale Asymptote x = 0 und für x → ∞ die Näherungskurve h(x) = √x. Denn es gilt lim x↓0 √ x + 1 x = ∞ bzw. lim x→∞ |f (x)− h(x)| = lim x→∞ ∣∣∣∣∣∣∣ (√ x + 1 x −√x ) (√ x + 1 x +√x ) √ x + 1 x +√x ∣∣∣∣∣∣∣ = lim x→∞ ∣∣∣∣∣∣ 1 x√ x + 1 x +√x ∣∣∣∣∣∣ = 0 (vgl. Abbildung 13.29, rechts). 368

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.