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11. Folgen in:

Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 273 - 302

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_273

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Teil III Folgen und Reihen Kapitel11 Folgen Kapitel 11 Folgen 11.1 Folgenbegriff Einer der bedeutendsten Begriffe der Mathematik ist der Begriff der Folge. Folgen spielen bei der mathematischen Beschreibung der Unendlichkeit und der mathematischen Analyse von Funktionen eine zentrale Rolle. Darüber hinaus lassen sich in vielen wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen die betrachteten Größen nicht exakt ausdrücken, sondern nur mit beliebiger Genauigkeit durch eine Folge approximieren. Folgen sind daher eines der wichtigsten Hilfsmittel der Analysis und damit insbesondere auch der mathematischen Ökonomie. Viele Grundbegriffe der Analysis wie z. B. die Begriffe Grenzwert, Konvergenz, Divergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Integrierbarkeit basieren auf dem Folgenbegriff. Definition Formal ist eine Folge reeller Zahlen nichts anderes als eine reellwertige Funktion a, deren Definitionsbereich eine Teilmenge von N0 ist und deren Funktionswerte a(n) ∈ R mit an bezeichnet werden: Definition 11.1 (Folge) Eine reellwertige Funktion a : D −→ R, n %→ an := a(n) mit D ⊆ N0 heißt Folge und die reellen Zahlen an werden als die Folgenglieder der Folge a bezeichnet. Folgt bei einer Folge auf eine positive Zahl stets eine negative Zahl und auf eine negative Zahl stets eine positive Zahl, dann heißt die Folge alternierend. Für eine Folge schreibt man (an)n∈D oder auch kurz (an). Das n-te Folgenglied an gibt den Wert der Folge (an)n∈D an der Stelle n ∈ D an, wobei die Menge D als Indexmenge der Folge a und die natürliche Zahl n ∈ D als Index des Folgenglieds an bezeichnet wird. Eine Folge (an)n∈D ist durch ihre Folgenglieder an ∈ R festgelegt. Im Falle einer unendlichen Indexmenge D (z. B. N oder N0) wird eine Folge manchmal genauer auch als unendliche Folge bezeichnet. Analog spricht man bei einer endlichen Indexmenge D auch von einer endlichen Folge. Für die Analysis sind jedoch vor allem unendliche Folgen von Bedeutung und in vielen Fällen gilt D = N oder D = N0. Daher werden hier alle Definitionen und Sätze für Folgen mit der Indexmenge N0 formuliert. Die Definitionen und Sätze besitzen jedoch auch für alle unendlichen Teilmengen vonN0 als Indexmenge Gültigkeit. Eine endliche Folge (an)n∈D kann vollständig spezifiziert werden, indem alle Folgenglieder explizit angegeben werden. Bei einer unendlichen Folge (an)n∈N0 ist dies jedoch nicht möglich. In einem solchen Fall muss das funktionale Bildungsgesetz der Folge angegeben werden, wie es z. B. bei der Folge (an)n∈N0 mit an := 1 4 (n+ (−1)n n) für alle n ∈ N0 der Fall ist. Bei dieser Folge sind die ersten sechs Folgenglieder gegeben durch 0, 0, 1, 0, 2, 0, 3, . . . Beispiel 11.2 (Explizite Definition von Folgen) a) Die Folge (an)n∈N mit an := 1n für alle n ∈ N, d. h. die Folge 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , . . . , wird als harmonische Folge bezeichnet. Sie hat ihren Namen aus der Musik. Denn denkt man sich einen Ton mit der Wellenlänge λ, dann bilden die sechs Töne mit der Wellenlänge λ, λ2 , λ 3 , λ 4 , λ 5 , λ 6 einen Dur- Akkord und klingen somit zusammen „harmonisch“ (vgl. Abbildung 11.1, links). b) Die Folge (an)n∈N mit an := (−1)n+1 1n für alle n ∈ N, d. h. die Folge 1,−1 2 , 1 3 ,−1 4 , 1 5 ,−1 6 , . . . , heißt alternierende harmonische Folge (vgl. Abbildung 11.1, rechts). c) Die Folge (an)n∈N0 mit an := 2n für alle n ∈ N0 ist gegeben durch 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . (vgl. Abbildung 11.2, links). 268 Kapitel 1111.1 Folgenbegriff 0 4 8 12 16 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 5 10 15 20 −1.2 −0.8 −0.4 0 0.4 0.8 1.2 Abb. 11.1: Harmonische Folge (an)n∈N mit an = 1n (links) und alternierende harmonische Folge (an)n∈N mit an = (−1)n+1 1n (rechts) 0 2 4 6 8 10 0 100 200 300 400 500 5 10 15 20 −3 −2 −1 0 1 2 3 Abb. 11.2: Folgen (an)n∈N0 mit an = 2n (links) und an = (−1)n 4n 2+2n+1 2n2+3 (rechts) d) Die Folge (an)n∈N0 mit an := (−1)n 4n 2+2n+1 2n2+3 für alle n ∈ N0 ist gegeben durch 1 3 ,−7 5 , 21 11 ,−43 21 , 73 35 ,−111 53 , . . . (vgl. Abbildung 11.2, rechts). Explizite und rekursive Definition Bei Folgen unterscheidet man zwischen expliziter und rekursiver Definition: a) Bei der expliziten Definition einer Folge (an)n∈N0 werden die Folgenglieder an explizit als Funktion von n ∈ N0 angegeben. Dies ist z. B. bei den Folgen in Beispiel 11.2 der Fall. 269 Kapitel 11 Folgen b) Dagegen werden bei der rekursiven Definition die Folgenglieder an einer Folge (an)n∈N0 implizit angegeben, indem explizit die ersten m Werte der Folge sowie der funktionale Zusammenhang zwischen an und den m vorhergehenden Folgengliedern an−1, . . . , an−m angegeben wird. Die ersten m Folgenglieder heißen dann Startwerte und der funktionale Zusammenhang zwischen an und den m vorhergehenden Folgengliedern wird als Rekursionsvorschrift bezeichnet. Siehe dazu Beispiel 11.3. Viele Folgen können sowohl explizit als auch rekursiv definiert werden. Zum Beispiel kann die Folge 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . explizit durch an := n für alle n ∈ N0 oder rekursiv durch a0 := 0 und an+1 := an+1 für alle n ∈ N0 definiert werden. Oft lässt sich jedoch eine Folge wesentlich einfacher durch eine Rekursionsvorschrift beschreiben als explizit durch eine Funktion des Indexes n. Es gibt jedoch auch Folgen, für die nur eine explizite oder nur eine rekursive Definition existiert oder sogar weder eine explizite noch eine rekursive Definition bekannt ist. Beispiel 11.3 (Rekursive Definition von Folgen) a) Die Folge (an)n∈N0 mit an := 12 ( 1 + 1 an−1 ) für alle n ∈ N und dem Startwert a0 = 2 ist gegeben durch 2, 3 4 , 7 6 , 13 14 , 27 26 , . . . (vgl. Abbildung 11.3, links). Dagegen liefert der Startwert a0 = 1 die konstante Folge 1, 1, 1, 1, 1, . . . b) Die Folge der Fibonacci-Zahlen (an)n∈N0 ist durch die Rekursionsvorschrift an := an−1 + an−2 für alle n ≥ 2 und die beiden Startwerte a0 = 0 und a1 = 1 definiert. Diese Vorschrift liefert die Folge 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . (vgl. Abbildung 11.3, rechts). Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist eine der bekanntesten Folgen, die sich wesentlich einfacher rekursiv als explizit beschreiben lässt. Sie ist nach dem italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa (1180–1241), der auch Fibonacci genannt wurde, benannt. Fibonacci hat die Folge der Fibonacci-Zahlen zur Beschreibung und Analyse des Wachstums einer Kaninchenpopulation eingesetzt. Mit der Formel von Moivre-Binet, an := 1√ 5 (( 1 +√5 2 )n − ( 1 −√5 2 )n) für alle n ∈ N0, lässt sich die Folge der Fibonacci-Zahlen auch explizit beschreiben. Sie ist nach den beiden französischen Mathematikern Abraham de Moivre (1667– 1754) und Jacques Philippe Marie Binet (1786–1856) benannt, die dieses explizite Bildungsgesetz für die Fibonacci-Folge unabhängig voneinander entdeckt haben. Im Rahmen ökonomischer Modelle ergeben sich oft auf ganz natürliche Weise rekursiv definierte Folgen. Das bekannte Cobweb-Modell ist ein Beispiel hierfür: Beispiel 11.4 (Cobweb-Modell) Das berühmte Cobweb-Modell (engl. für Spinnennetz- Modell) ist ein ökonomisches Modell zur Erklärung der Oszillation (d. h. Schwankung) des Marktpreises eines Wirtschaftsguts um einen Marktgleichgewichtspreis. Es wurde insbesondere als theoretische Erklärung für den sogenannten Schweinezyklus diskutiert. Das Cobweb-Modell geht auf den bekannten britischen Ökonomen Nicholas Kaldor (1908–1986) zurück. Im Cobweb-Modell wird angenommen, dass ausgehend von einem Anfangspreis p0 das Gut zu verschiedenen diskreten Zeitpunkten n ∈ N zu eventuell unterschiedlichen Preisen pn gehandelt wird. Dabei wer- 270 Kapitel 1111.1 Folgenbegriff 0 4 8 12 16 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 2 4 6 8 10 12 0 20 40 60 80 100 120 140 Abb. 11.3: Folge (an)n∈N0 mit an = 12 ( 1 + 1an−1 ) für n ∈ N und Startwert a0 = 2 (links) und Folge (an)n∈N0 der Fibonacci-Zahlen (rechts) den bezüglich der funktionalen Abhängigkeit der Angebots- und Nachfragemenge vom Preis pn und der Beziehung zwischen Angebots- und Nachfragemenge die folgenden Annahmen getroffen: 1) Die Angebotsmenge zum Zeitpunkt n ∈ N ist abhängig vom alten Preis pn−1 und gegeben durch A(pn−1) :=apn−1+b mit a >0 und b∈R. (11.1) 2) Die Nachfragemenge zum Zeitpunkt n ∈ N ist abhängig vom aktuellen Preis pn und gegeben durch N(pn) := c − dpn mit d > 0 und c ∈ R. (11.2) 3) Zu jedem Zeitpunkt n ∈ N stellt sich ein Gleichgewicht zwischen Angebot und Nachfrage ein. Das heißt, es gilt A(pn−1) = N(pn) für alle n ∈ N. (11.3) Das Cobweb-Modell unterstellt somit ein verzögertes Handeln der Anbieter, welche ihre Produktionsmengenplanung am Preis der Vorperiode ausrichten. Dies führt dazu, dass die Gleichgewichtspreise pn mit der Eigenschaft (11.3) entweder mit zunehmender, konstanter oder A(p0) = N(p1) 5 A(p1) = N(p2) 0 p0 p2 p4 4.5 p3 p1 Angebot Nachfrage Oszillieren der Gleichgewichtspreise pn auch abnehmender Amplitude oszillieren. Denn ist z. B. der Anfangspreis p0 so tief, dass die Nachfrage das Angebot übersteigt, dann führt dies zu einer Preiserhöhung. Dies hat jedoch zur Folge, dass die Anbieter die Produk- 271 Kapitel 11 Folgen tionsmenge erhöhen, was zu einer Abnahme der Nachfrage und damit einer Verringerung des Angebotspreises führt usw. Durch Einsetzen von (11.1) und (11.2) in die Gleichgewichtsbedingung (11.3) erhält man für die Gleichgewichtspreise die Rekursionsvorschrift pn = c − b d − a d pn−1 für alle n ∈ N. Durch die Wahl des Anfangspreises p0 wird aufgrund dieser Rekursionsvorschrift die gesamte Entwicklung der Gleichgewichtspreise und der Gleichgewichtsmengen festgelegt. Insbesondere stimmen für den Anfangspreis p0 := c − b a + d die Gleichgewichtspreise pn und die resultierenden Gleichgewichtsmengen A(pn−1) = N(pn) = ac + bd a + d zu allen Zeitpunkten n ∈ N überein. Man kann ferner zeigen, dass die Folge (pn)n∈N0 der Gleichgewichtspreise auch explizit durch pn = c − b a + d + ( −a d )n ( p0 − c − b a + d ) für alle n ∈ N0 angegeben werden kann. Die obige Abbildung veranschaulicht die Entwicklung der ersten fünf Gleichgewichtspreise im Cobweb-Modell für a = 1, b = 0,5, c = 10,625 und d = 1,25. Man erkennt, wie sich durch das Einpendeln von Angebot und Nachfrage eine spinnennetzartige Spirale bildet. 11.2 Arithmetische und geometrische Folgen Die arithmetische und die geometrische Folge sind für viele wirtschaftswissenschaftliche Problemstellungen von Bedeutung: Definition 11.5 (Arithmetische und geometrische Folge) Eine Folge (an)n∈N0 heißt a) arithmetisch, wenn die Differenz zweier aufeinander folgender Folgenglieder an und an+1 für alle n ∈ N0 konstant ist, d. h. wenn an+1−an = d für alle n ∈ N0 und ein geeignetes d ∈ R gilt, und b) geometrisch, wenn der Quotient zweier aufeinander folgender Folgenglieder an und an+1 für alle n ∈ N0 konstant ist, d. h. wenn an+1 an = q für alle n ∈ N0 und ein geeignetes q ∈ R \ {0} gilt. Eine arithmetische Folge (an)n∈N0 erfüllt die Rekursionsvorschrift an+1 = an + d für alle n ∈ N0 und ein d ∈ R. Das heißt, eine arithmetische Folge liegt vor, wenn sukzessive eine Konstante d ∈ R addiert wird. Sie besitzt die explizite Darstellung an+1 = an + d = (an−1 + d)+ d = . . . = a0 + (n+ 1)d (11.4) und ihr Name ist durch die Eigenschaft an = (an + d)+ (an − d) 2 = an+1 + an−1 2 für alle n ∈ N motiviert. Das heißt, bei einer arithmetischen Folge (an)n∈N0 ist das n-te Folgenglied an das arithmetische Mittel seiner beiden benachbarten Folgenglieder an−1 und an+1. Eine geometrische Folge (an)n∈N0 erfüllt die Rekursionsvorschrift an+1 = qan für alle n ∈ N0 und ein q ∈ R\{0}. Das heißt, eine geometrische Folge liegt vor, wenn sukzessive mit einer Konstanten q ∈ R multipliziert wird. Sie besitzt die explizite Darstellung an+1 = qan = q(qan−1) = . . . = qn+1a0 (11.5) und ihre Bezeichnung ist durch an = √ (anq) ( an 1 q ) = √an+1an−1 für n ∈ N motiviert, falls an ≥ 0 für alle n ∈ N0 gilt. Das heißt, bei einer geometrischen Folge (an)n∈N0 mit an ≥ 0 ist das n-te Folgenglied an das geometrische Mittel seiner beiden benachbarten Folgenglieder an−1 und an+1. Geometrische Folgen werden zur Beschreibung von Wachstumsprozessen mit einem konstanten Wachstumsfaktor q mit 272 Kapitel 1111.3 Beschränkte und monotone Folgen |q| > 1 und zur Modellierung von Schrumpfungsprozessen mit einem konstanten Schrumpfungsfaktor q mit |q| < 1 eingesetzt. Beispiel 11.6 (Arithmetische und geometrische Folgen) a) Die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen 1, 3, 5, 7, 9, 11, . . . ist eine arithmetische Folge. Denn sie ist durch (an)n∈N0 mit an := 2(n+ 1)− 1 gegeben und es gilt d=an+1 − an=2(n+ 2)− 1 − (2(n+ 1)− 1)=2. b) Die Folge der Dreierpotenzen 1, 3, 9, 27, 81, 243, . . . ist eine geometrische Folge. Denn sie ist gegeben durch (an)n∈N0 mit an := 3n und es gilt q = an+1 an = 3 n+1 3n = 3. In der Finanzierung und in der Investitionsrechnung treten geometrische Folgen häufig bei der Berechnung von Zinseszinsen für ein gegebenes Kapital auf: Beispiel 11.7 (Diskrete Zinseszinsrechnung) Gegeben sei ein Anleger, der sein Startkapital K0 in eine festverzinsliche Anleihe mit dem Zinssatz p > 0 investiert (z. B. p = 3%). Bezeichnet Kn das Kapital nach n Jahren und werden die Zinsen in den Folgejahren ebenfalls zum Jahresende mit dem Zinssatz p verzinst (d. h. unter Berücksichtigung von Zinseszinsen), dann berechnet sich das Kapital in den nachfolgenden Jahren n = 1, 2, 3, . . . gemäß K1 = K0 (1 + p) K2 = K1 (1 + p) = K0 (1 + p)2 K3 = K2 (1 + p) = K0 (1 + p)3 ... Das heißt, allgemein gilt für das Kapital zum Zeitpunkt n ∈ N0 Kn = K0 (1 + p)n (11.6) und die Kapitalbeträge K0,K1,K2, . . . bilden eine geometrische Folge (Kn)n∈N0 . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 50 100 150 200 250 Kn Entwicklung des Kapitals Kn als geometrische Folge (Kn)n∈N0 Die Abbildung rechts veranschaulicht die Entwicklung der Kapitalbeträge (Kn)n∈N0 für K0 = 100€ und p=3%. 11.3 Beschränkte und monotone Folgen Für viele wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen sind beschränkte und monotone Folgen von besonderer Bedeutung. Beschränkte Folgen Die Beschränktheit einer Folge ist wie folgt definiert: Definition 11.8 (Beschränkte Folge) Eine Folge (an)n∈N0 heißt beschränkt, falls eine geeignete Schranke c ∈ R existiert mit |an| ≤ c für alle n ∈ N0. Gilt an ≥ c für alle n ∈ N0 und eine geeignete untere Schranke c ∈ R oder an ≤ c für alle n ∈ N0 und eine geeignete obere Schranke c ∈ R, dann heißt (an)n∈N0 nach unten bzw. nach oben beschränkt. Eine nicht beschränkte Folge wird unbeschränkt genannt. 273 Kapitel 11 Folgen Für eine nach oben (unten) beschränkte Folge existieren unendlich viele obere (untere) Schranken. In vielen Anwendungen interessiert man sich jedoch bei einer nach oben oder unten beschränkten Folge für die kleinste obere bzw. die größte untere Schranke. Dies führt zu den Begriffen Supremum und Infimum einer Folge: Definition 11.9 (Supremum und Infimum einer Folge) a) Eine obere Schranke c ∈ R einer nach oben beschränkten Folge (an)n∈N0 heißt kleinste obere Schranke oder Supremum der Folge (an)n∈N0 , falls es keine weitere obere Schranke c′ von (an)n∈N0 mit c′ < c gibt. Für diese obere Schranke c schreibt man supn∈N0 an. b) Eine untere Schranke c ∈ R einer nach unten beschränkten Folge (an)n∈N0 heißt größte untere Schranke oder Infimum der Folge (an)n∈N0 , falls es keine weitere untere Schranke c′ von (an)n∈N0 mit c′ > c gibt. Für diese untere Schranke c schreibt man infn∈N0 an. c) Für eine nach oben unbeschränkte Folge (an)n∈N0 definiert man das sogenannte uneigentliche Supremum durch supn∈N0 an := ∞ und für eine nach unten unbeschränkte Folge (an)n∈N0 das sogenannte uneigentliche Infimum durch infn∈N0 an := −∞. Ein Supremum oder Infimum ist stets eindeutig. Denn besitzt eine Folge (an)n∈N0 z. B. die beiden Suprema c und d, dann folgt mit der Definition 11.9a), dass sowohl c ≤ d als auch d ≤ c und damit c = d gelten muss. Analog zeigt man auch die Eindeutigkeit des Infimums. Monotone Folgen Bei monotonen Folgen wird zwischen (streng) monoton wachsenden und (streng) monoton fallenden Folgen unterschieden: Definition 11.10 (Monotone Folge) a) Eine Folge (an)n∈N0 heißt monoton wachsend, falls an ≤ an+1 für alle n ∈ N0, und streng monoton wachsend, falls an < an+1 für alle n ∈ N0 gilt. b) Eine Folge (an)n∈N0 heißt monoton fallend, falls an ≥ an+1 für alle n ∈ N0, und streng monoton fallend, falls an > an+1 für alle n ∈ N0 gilt. Eine Folge (an)n∈N0 muss ihr Infimum oder Supremum nicht annehmen. Das heißt, es ist durchaus möglich, dass eine Folge (an)n∈N0 das Infimum c und/oder das Supremum d besitzt, aber keines der Folgenglieder von (an)n∈N0 gleich dem Wert c oder d ist (siehe hierzu Beispiel 11.11a) und d)). Beispiel 11.11 (Monotonie und Beschränktheit bei Folgen) a) Die harmonische Folge (an)n∈N mit an := 1n für alle n ∈ N, d. h. die Folge 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 , . . . , ist streng monoton fallend und beschränkt. Eine untere und obere Schranke ist z. B. −1 bzw. 2. Weiter gilt infn∈N an = 0 und supn∈N an = 1 (vgl. Abbildung 11.1, links). b) Die Folge (an)n∈N0 mit an := 2n für alle n ∈ N0, d. h. die Folge 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . , ist streng monoton wachsend, nach unten beschränkt und nach oben unbeschränkt. Eine untere Schranke ist z. B. 12 . Weiter gilt infn∈N0 an = 1 und supn∈N0 an = ∞ (vgl. Abbildung 11.2, links). c) Die Folge (an)n∈N0 mit an := (−1)nn2 für alle n ∈ N0, d. h. die Folge 0,−1, 4,−9, 16,−25, . . . , ist alternierend und damit nicht monoton. Weiter ist die Folge unbeschränkt und es gilt infn∈N0 an = −∞ sowie supn∈N0 an = ∞ (vgl. Abbildung 11.4, links). d) Für die Folge (an)n∈N0 mit an := 2n 2−2n+1 n2−n+1 für alle n ∈ N0, d. h. für die Folge 1, 1, 5 3 , 13 7 , 25 13 , 41 21 , . . . , gilt an = 2n 2 − 2n+ 1 n2 − n+ 1 = 2(n2 − n+ 1)− 1 n2 − n+ 1 = 2 − 1 n2 − n+ 1 . 274 Kapitel 1111.3 Beschränkte und monotone Folgen 2 4 6 8 −100 −50 0 50 100 0 2 4 6 8 0 0.5 1 1.5 2 Abb. 11.4: Folgen (an)n∈N0 mit an = (−1)nn2 (links) und an = 2n 2−2n+1 n2−n+1 (rechts) Daraus ist ersichtlich, dass die Folge monoton wachsend und beschränkt ist. Eine untere und obere Schranke ist z. B. 0 bzw. 3. Weiter gilt infn∈N0 an = 1 und supn∈N0 an = 2 (vgl. Abbildung 11.4, rechts). Beispiel 11.12 (Monotonie und Beschränktheit bei Folgen) a) Für eine arithmetische Folge (an)n∈N0 gibt es ein d ∈ R, so dass an+1 = a0 + (n+ 1)d für alle n ∈ N0 gilt (vgl. (11.4)). Das heißt, eine arithmetische Folge ist streng monoton wachsend für d > 0, streng monoton fallend für d < 0 und konstant a0 (und damit insbesondere beschränkt) für d = 0. b) Für eine geometrische Folge (an)n∈N0 gibt es ein q ∈ R, so dass an+1 = a0qn+1 für alle n ∈ N0 gilt (vgl. (11.5)). Das heißt, eine geometrische Folge mit a0 > 0 ist streng monoton wachsend für q > 1, konstant a0 für q = 1, streng monoton fallend für q ∈ (0, 1), konstant 0 für q = 0 und alternierend für q < 0. Für a0 < 0 gelten analoge Aussagen, wobei dann jedoch die geometrische Folge für q > 1 streng monoton fallend und für q ∈ (0, 1) streng monoton wachsend ist. c) Die Folge (an)n∈N sei definiert durch an := ( 1 + 1 n )n für alle n ∈ N. Das heißt, es gelte: 2, 9 4 , 64 27 , 625 256 , 7776 3125 , . . . Diese Werte legen die Vermutung nahe, dass durch 1 und 3 eine untere bzw. eine obere Schranke der Folge (an)n∈N gegeben ist. Es gilt offensichtlich 1+ 1n > 1 für alle n ∈ N. Dies impliziert an = ( 1 + 1 n )n > 1 für alle n ∈ N. Das heißt, der Wert 1 ist tatsächlich eine untere Schranke der Folge (an)n∈N. Mit dem Binomischen Lehrsatz (siehe Satz 5.12) erhält man weiter, dass an= ( 1+ 1 n )n = n∑ k=0 ( n k ) 1n−k ( 1 n )k =1+ n∑ k=1 ( n k ) 1 nk 275 Kapitel 11 Folgen 0 10 20 30 40 50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 2 4 6 8 10 12 14 0 2 4 6 8 10 12 14 o q=4 o q=3 o q=2 Abb. 11.5: Folge (an)n∈N mit an = ( 1 + 1n )n (links) und Folge (an)n∈N0 mit an = q n n! für q = 2, 3, 4 (rechts) gilt. Für die Summanden der rechten Summe gilt ( n k ) 1 nk = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1) k! 1 nk = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1) nk 1 k! ≤ 1 k! . Damit folgt für die Folgenglieder von (an)n∈N an = 1 + n∑ k=1 ( n k ) 1 nk ≤ 1 + n∑ k=1 1 k! ≤ 1 + n∑ k=1 1 2k−1 = 1 + n−1∑ k=0 ( 1 2 )k . Mit der Summenformel für geometrische Folgen n−1∑ k=0 qk = 1 − q n 1 − q (siehe Satz 12.5b) in Abschnitt 12.3) erhält man daraus schließlich an ≤ 1 + n−1∑ k=0 ( 1 2 )k = 1 + 1 − ( 1 2 )n 1 − 12 = 1 + 2 ( 1 − ( 1 2 )n) ≤ 1 + 2 = 3 für alle n ∈ N. Das heißt, der Wert 3 ist tatsächlich eine obere Schranke der Folge (an)n∈N. Die Abbildung 11.5 legt die Vermutung nahe, dass die kleinste obere Schranke (d. h. das Supremum) von (an)n∈N nahe bei 2,7 liegt. Für beschränkte, nichtleere Mengen M ⊆ R sind die Begriffe Supremum (d. h. die kleinste obere Schranke für die Elemente von M) und Infimum (d. h. die größte untere Schranke für die Elemente von M) völlig analog zu Folgen definiert: Definition 11.13 (Supremum und Infimum einer Menge) a) Ein Wert c ∈ R heißt Supremum einer nach oben beschränkten nichtleeren Menge M⊆R, falls m≤c für alle m ∈ M gilt und es kein c′ ∈ R gibt mit c′ 0 ein n0 ∈ N0 gibt, so dass |an − a| < ε für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 gilt. Man schreibt dann lim n→∞ an = a oder an → a für n → ∞. Eine konvergente Folge (an)n∈N0 mit dem Grenzwert a = 0 wird als Nullfolge bezeichnet und eine Folge, die nicht konvergiert, heißt divergent. Für eine reelle Zahl a und ein ε > 0 wird das offene Intervall (a − ε, a + ε) := {y ∈ R : |y − a| < ε} als ε-Umgebung von a bezeichnet. Eine Folge (an)n∈N0 konvergiert somit genau dann gegen einen Grenzwert a, wenn in jeder ε-Umgebung (a− ε, a+ ε) von a fast alle Folgenglieder von (an)n∈N0 liegen. Das heißt, nur endlich viele Folgenglieder von (an)n∈N0 liegen außerhalb des offenen Intervalls (a− ε, a+ ε). Mit anderen Worten: Für ein ε > 0 liegen ab einem hinreichend großen Index n0 ∈ N alle Folgenglieder an mit n ≥ n0 innerhalb der ε-Umgebung (a− ε, a+ ε) von a (vgl. Abbildung 11.6). a ana2an−1a0 a3 a4 a1 a+ εa− ε ) ( Abb. 11.6: ε-Umgebung Eindeutigkeit von Grenzwerten Es entspricht der Anschauung, dass jede konvergente Folge nur einen Grenzwert besitzt. Der folgende Satz besagt, dass dies tatsächlich zutrifft und damit der Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig ist. Satz 11.15 (Eindeutigkeit des Grenzwertes einer Folge) Der Grenzwert einer konvergenten Folge (an)n∈N0 ist eindeutig. Beweis: Es sei angenommen, dass die Folge (an)n∈N0 die beiden Grenzwerte a und b mit a = b besitzt. Weiter sei ε := 14 |b−a|, dann existiert wegen lim n→∞ an = a und limn→∞ an = b ein n0 ∈ N mit |an−a| < ε für alle n ≥ n0 sowie ein n1 ∈ N mit |an − b| < ε für alle n ≥ n1. Ist nun m := max {n0, n1}, dann folgt zusammen mit der Dreiecksungleichung (3.4) der Widerspruch |b − a| = |b − am + am − a| ≤ |b − am| + |am − a| < 2ε = 1 2 |b − a|. Der obige Satz besagt, dass eine Folge höchstens einen Grenzwert besitzt. Es ist aber auch möglich, dass eine Folge nicht konvergent ist, d. h. keinen Grenzwert besitzt. Bevor jedoch notwendige und hinreichende Bedingungen für 277 Kapitel 11 Folgen die Existenz eines Grenzwertes sowie Hilfsmittel zum expliziten Nachweis der Konvergenz einer Folge vorgestellt werden, soll das Konzept der Konvergenz an einigen Beispielen veranschaulicht werden. Dabei zeigt sich, dass der Nachweis der Konvergenz einer Folge anhand der Definition und ohne weitere Hilfsmittel bereits für einfache Folgen oft mit relativ viel Aufwand verbunden ist. Beispiel 11.16 (Konvergenz bei Folgen) a) Eine konstante Folge (an)n∈N0 mit an := c ∈ R für alle n ∈ N0 konvergiert gegen c. Denn es gilt |an − c| = 0 < ε für jedes ε > 0 und alle n ∈ N0, kurz: lim n→∞ an = c. b) Die harmonische Folge (an)n∈N mit an := 1n für alle n ∈ N ist eine Nullfolge, d. h. sie konvergiert gegen 0. Denn zu jedem ε > 0 existiert ein n0 ∈ N mit n0 > 1 ε . Dies impliziert jedoch |an − 0| = ∣∣∣∣ 1 n ∣∣∣∣ ≤ 1 n0 < ε für alle n ≥ n0, kurz: lim n→∞ 1 n = 0. Die harmonische Folge ( 1 n )n∈N ist der Prototyp einer Nullfolge (vgl. Abbildung 11.1, links). c) Die geometrische Folge (an)n∈N0 mit an := qn für alle n ∈ N0 und |q| < 1 ist eine Nullfolge. Mit der Ungleichung von Bernoulli (vgl. (1.22)) folgt 1 |qn| = ( 1 |q| )n = ( 1+ 1 − |q||q| )n ≥1+n ( 1 − |q| |q| ) . Dies impliziert jedoch für alle n ∈ N0 |an − 0| = |qn| ≤ 1 1 + n ( 1−|q| |q| ) = |q||q| + n(1 − |q|) ≤ |q| n(1 − |q|) . Für jedes ε > 0 gibt es ein n0 ∈ N mit n0 > |q|ε(1−|q|) . Daraus folgt |an − 0| ≤ |q| 1 − |q| 1 n ≤ |q| 1 − |q| 1 n0 < ε für alle n ≥ n0. Kurz: lim n→∞ q n = 0. Mit Beispiel 11.16c) erhält man für das Cobweb-Modell aus Beispiel 11.4 das folgende Resultat: Beispiel 11.17 (Cobweb-Modell) Im Cobweb-Modell gilt für den Gleichgewichtspreis pn = c − b a + d + ( −a d )n ( p0 − c − b a + d ) für alle n ∈ N0 (vgl. Beispiel 11.4). Das heißt, im Falle des Anfangspreises p0 = c−ba+d ist die Folge (pn)n∈N0 der Gleichgewichtspreise konstant gleich c−b a+d . Im Falle von p0 = c−ba+d ist die Folge (pn)n∈N0 der Gleichgewichtspreise nicht konstant. Gilt zusätzlich a < d , dann konvergiert die Folge ((− a d )n) n∈N0 gegen 0 (vgl. Beispiel 11.16c)) und damit konvergiert auch die Folge der Gleichgewichtspreise (pn)n∈N0 gegen den Grenzwert c−b a+d , kurz: lim n→∞pn = c−b a+d . Notwendige Bedingung für Konvergenz Der folgende Satz liefert eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge: Satz 11.18 (Notwendige Bedingung für Konvergenz) Eine konvergente Folge (an)n∈N0 ist beschränkt. Beweis: Es sei (an)n∈N0 eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a ∈ R. Dann gibt es ein n0 ∈ N0, so dass |an−a| < 1 für alle n ≥ n0 gilt. Zusammen mit der Dreiecksungleichung (3.4) impliziert dies |an| = |an − a + a| ≤ |an − a| + |a| < 1 + |a| für alle n ≥ n0. Es gilt somit |an| ≤ max{|a1|, . . . , |an0−1|, 1+|a|} für alle n ∈ N0, d. h. (an)n∈N0 ist beschränkt. Beispiel 11.19 (Notwendige Bedingung für Konvergenz) Die Folge (an)n∈N mit an := n √ n! ist divergent. Denn wäre (an)n∈N konvergent, dann würde aus Satz 11.18 folgen, dass (an)n∈N beschränkt ist. Dies würde jedoch auch be- 278 Kapitel 1111.4 Konvergente und divergente Folgen deuten, dass eine Konstante c ∈ R existiert, so dass n √ n! ≤ c bzw. c n n! ≥ 1 für alle n ∈ N gilt. Dies steht jedoch im Widerspruch zu der Tatsache, dass ( cn n! ) n∈N eine Nullfolge ist und damit lim n→∞ cn n! = 0 gilt (siehe hierzu Beispiel 11.24a)). Die Folge (an)n∈N ist somit divergent. Uneigentliche Grenzwerte Bei unbeschränkten Folgen, wie z. B. (2n)n∈N0 aus Beispiel 11.11b) sagt man auch, dass sie gegen ∞ divergieren, bestimmt divergent sind, oder auch, dass sie den uneigentlichen Grenzwert ∞ besitzen. Divergente Folgen, wie z. B.( (−1)nn2) n∈N0 aus Beispiel 11.11c), heißen dagegen unbestimmt divergent. Diese Bezeichnungen werden durch die folgende Definition präzisiert: Definition 11.20 (Uneigentlicher Grenzwert einer Folge) Eine Folge (an)n∈N0 heißt bestimmt divergent gegen ∞ oder −∞, wenn für alle a ∈ R ein n0 ∈ N0 existiert, 2 4 6 8 10 −1200 −800 −400 0 400 800 1200 0 4 8 12 16 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Abb. 11.7: Folgen (an)n∈N0 mit an = (−2)n (links) und an = 5 + 2n+1 (rechts) so dass an ≥ a bzw. an ≤ a für alle n ≥ n0 gilt. Man schreibt dann lim n→∞ an = ∞ oder an → ∞ für n → ∞ bzw. lim n→∞ an = −∞ oder an → −∞ für n → ∞ und sagt, dass die Folge (an)n∈N0 den uneigentlichen Grenzwert ∞ bzw. −∞ besitzt. Divergente Folgen, die nicht bestimmt divergent sind, heißen unbestimmt divergent. Man sollte vermeiden, bei bestimmt divergenten Folgen (an)n∈N0 davon zu sprechen, dass sie gegen ∞ oder −∞ konvergieren. Von Konvergenz sollte man nur sprechen, wenn sich die Folge einer wohlbestimmten endlichen Zahl a beliebig genau annähert. Eine monoton wachsende oder eine monoton fallende Folge divergiert offensichtlich genau dann gegen ∞ bzw. −∞, wenn sie unbeschränkt ist. 279 Kapitel 11 Folgen Beispiel 11.21 (Unbestimmt divergente Folge) Die Folge (an)n∈N0 mit an := (−2)n für alle n ∈ N0 ist nicht beschränkt und damit nach Satz 11.18 auch nicht konvergent. Es gilt infn∈N0 an = −∞ und supn∈N0 an =∞. Da es jedoch kein n0 ∈ N0 gibt, so dass an ≥ 0 oder an ≤ 0 für alle n ≥ n0 gilt, divergiert die Folge weder gegen −∞ noch gegen ∞. Die Folge (an)n∈N0 ist somit unbestimmt divergent (vgl. Abbildung 11.7, links). 11.5 Majoranten- und Monotoniekriterium Ein oftmals nützliches Hilfsmittel beim Nachweis der Konvergenz einer Folge ist das Majorantenkriterium. Ist die Folge (bn)n∈N0 eine sogenannte Majorante der Folge (an − a)n∈N0 , d. h. gilt |an − a| ≤ |bn| für alle n ≥ n0, dann besagt das Majorantenkriterium, dass die Konvergenz von (bn)n∈N0 gegen 0 die Konvergenz von (an−a)n∈N0 gegen 0 und damit insbesondere die Konvergenz von (an)n∈N0 gegen a impliziert: Satz 11.22 (Majorantenkriterium für Folgen) Es seien (an)n∈N0 eine Folge und (bn)n∈N0 eine Nullfolge mit der Eigenschaft |an − a| ≤ |bn| für alle n ≥ n0 und ein a ∈ R. Dann konvergiert die Folge (an)n∈N0 gegen a. Beweis: Es sei (bn)n∈N0 eine Nullfolge mit der Eigenschaft|an − a| ≤ |bn| für alle n ≥ n0 und ein a ∈ R. Es gibt daher zu jedem ε > 0 ein m0 ∈ N, so dass |bn| < ε für alle n ≥ m0 gilt. Dies impliziert jedoch unmittelbar |an − a| ≤ |bn| < ε für alle n ≥ max {n0, m0}. Das heißt, die Folge (an)n∈N0 konvergiert gegen a. Die Folge ((−1)n)n∈N0 ist gegeben durch 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . . und somit beschränkt, aber offensichtlich nicht konvergent. Das heißt, eine beschränkte Folge muss nicht zwangsläufig konvergieren und die Umkehrung des Satzes 11.18 gilt somit im Allgemeinen nicht. Der folgende Satz besagt jedoch, dass wenigstens für beschränkte Folgen, die zusätzlich monoton sind, die Umkehrung gilt. Der Satz liefert damit eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer monotonen Folge. Satz 11.23 (Monotoniekriterium für beschränkte Folgen) a) Eine monoton wachsende Folge (an)n∈N0 konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. Sie konvergiert dann gegen ihr Supremum supn∈N0 an. b) Eine monoton fallende Folge (an)n∈N0 konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. Sie konvergiert dann gegen ihr Infimum infn∈N0 an. Beweis: Zu a): Es sei angenommen, dass die Folge (an)n∈N0 konvergent ist. Dann folgt aus Satz 11.18, dass die Folge auch beschränkt ist. Die Folge (an)n∈N0 sei nun monoton wachsend und nach oben beschränkt. Aus der Monotonie folgt unmittelbar a0 ≤ an für alle n ∈ N0. Das heißt, (an)n∈N0 ist auch nach unten beschränkt. Es sei nun c ∈ R das Supremum der beschränkten Folge (an)n∈N0 . Angenommen, es gelte |c− an| = c− an ≥ ε für alle n ∈ N0 und ein ε > 0. Dann wäre auch c′ := c− 12 ε eine obere Schranke. Wegen c′ < c wäre dies jedoch ein Widerspruch zur Tatsache, dass c als Supremum von (an)n∈N0 die kleinste obere Schranke ist. Es gibt somit ein n0 ∈ N0 mit c−an0 < ε. Da jedoch (an)n∈N0 monoton steigend ist, impliziert dies c−an < ε für alle n ≥ n0. Also ist c der Grenzwert der Folge (an)n∈N0 und die Folge konvergiert somit gegen ihr Supremum. Zu b): Erhält man durch Betrachtung der Folge (−an)n∈N0 und Anwendung der Aussage a). Beispiel 11.24 (Anwendung Majoranten- und Monotoniekriterium) a) Die Folge (an)n∈N0 mit an := q n n! für alle n ∈ N0 und q ∈ R ist eine Nullfolge. Denn ist n0 ∈ N mit |q| n0 ≤ 12 , dann folgt für alle n ≥ n0 |an − 0| = |q n| n! = |q| n |q|n−1 (n− 1)! ≤ 1 2 |q|n−1 (n− 1)! . . . ≤ ( 1 2 )n−n0 |q|n0 n0! = |2q|n0 n0!︸ ︷︷ ︸ =:c ( 1 2 )n =c ( 1 2 )n . 280 Kapitel 1111.6 Häufungspunkte und Teilfolgen Da die geometrische Folge ( (1/2)n ) n∈N0 eine Nullfolge ist (vgl. Beispiel 11.16c)), ist auch die Folge (bn)n∈N0 mit bn := c ( 1 2 )n eine Nullfolge. Mit dem Majorantenkriterium (vgl. Satz 11.22) folgt daher, dass die Folge (an)n∈N0 gegen 0 konvergiert. Dieses Ergebnis besagt insbesondere, dass die Fakultät n! = n(n−1) · · · 2 ·1 schneller mit n anwächst als die Potenzen qn für ein beliebiges q ∈ R (siehe Abbildung 11.5, rechts). b) Die Folge (an)n∈N0 mit an := 5 + 2n+1 für alle n ∈ N0 ist streng monoton fallend, nach unten beschränkt und besitzt das Infimum 5. Mit dem Monotoniekriterium für beschränkte Folgen (vgl. Satz 11.23b)) folgt somit, dass die Folge (an)n∈N0 gegen den Grenzwert 5 konvergiert (vgl. Abbildung 11.7, rechts). c) Die Folge (an)n∈N mit an := n√n für alle n ∈ N konvergiert gegen den Grenzwert 1. Zum Nachweis dieser Behauptung sei (cn)n∈N mit cn := n√n−1 ≥ 0 für alle n ∈ N. Dann folgt mit dem Binomischen Lehrsatz (5.11) für alle n ≥ 2 n = (cn + 1)n = n∑ k=0 ( n k ) ckn ≥ 1 + ncn + ( n 2 ) c2n ≥ 1 + ( n 2 ) c2n = 1 + n(n− 1) 2 c2n. Dies impliziert unmittelbar n− 1 ≥ n(n− 1) 2 c2n. Nach Division durch n−1 sowie Multiplikation mit 2 n erhält man daraus c2n ≤ 2 n bzw. |cn − 0| ≤ √ 2 n . Da (√ 2 n ) n∈N offensichtlich eine Nullfolge ist (vgl. Beispiel 11.16b)), folgt mit dem Majorantenkriterium (vgl. Satz 11.22), dass (cn)n∈N gegen 0 konvergiert. Wegen cn = n√n− 1 für alle n ∈ N impliziert dies jedoch, dass ( n √ n)n∈N gegen 1 konvergiert, also lim n→∞ n √ n = 1 gilt. 11.6 Häufungspunkte und Teilfolgen Häufungspunkt und Teilfolge sind zwei weitere wichtige Begriffe der Analysis. Häufungspunkte Eine reelle Zahl a wird als Häufungspunkt einer Folge (an)n∈N0 bezeichnet, wenn unendlich viele Folgenglieder an beliebig nahe beim Wert a liegen: Definition 11.25 (Häufungspunkt einer Folge) Eine reelle Zahl a ∈ R heißt Häufungspunkt der Folge (an)n∈N0 , wenn es zu jedem ε > 0 und jedem n0 ∈ N0 ein m > n0 gibt, so dass |am − a| < ε gilt. Eine Zahl a ∈ R ist somit genau dann ein Häufungspunkt der Folge (an)n∈N0 , wenn für jedes ε > 0 unendlich viele Folgenglieder in der ε-Umgebung (a−ε, a+ε) von a liegen. Ist a der Grenzwert einer konvergenten Folge (an)n∈N0 , dann liegen in jeder ε-Umgebung (a − ε, a + ε) sogar fast alle (d. h. alle bis auf endlich viele) Folgenglieder. Der Grenzwert a einer konvergenten Folge (an)n∈N0 ist damit stets auch ein Häufungspunkt der Folge. Ist (an)n∈N0 eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a, dann ist a auch der einzige Häufungspunkt der Folge. Denn würde (an)n∈N0 noch einen weiteren Häufungspunkt b ∈ R mit a = b besitzen, dann würden unendlich viele Folgenglieder von (an)n∈N0 beliebig nahe sowohl bei a als auch bei b liegen. Dies steht jedoch im Widerspruch dazu, dass in jeder ε-Umgebung (a − ε, a + ε) von a alle bis auf endlich viele Folgenglieder von (an)n∈N0 liegen. Die Umkehrung dieser Aussage gilt jedoch nicht. Das heißt, eine Folge mit genau einem Häufungspunkt muss nicht zwingend konvergent sein, wie das Beispiel 11.26b) zeigt: Beispiel 11.26 (Häufungspunkte) a) Die Folge (an)n∈N0 mit an := (−1)n für alle n ∈ N0 hat die beiden Häufungspunkte −1 und 1. Denn ist ε > 0 und n ∈ N0 ungerade, dann gilt |−1 − (−1)n| = 0 < ε. Für gerade n ∈ N0 gilt analog |1 − (−1)n| = 0 < ε (vgl. Abbildung 11.8, links). 281 Kapitel 11 Folgen 10 20 30 40 50 −2 −1 0 1 2 0 10 30 50 70 90 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Folge (a n) Teilfolge (a 2n) Teilfolge (a n2) Abb. 11.8: Folge (an)n∈N0 mit an = (−1)n (links) und Folge (an)n∈N mit an = 1n sowie ihre Teilfolgen (a2n)n∈N und (an2 )n∈N (rechts) b) Die Folge (an)n∈N0 mit an := n für n ∈ N0 gerade und an := 1n für n ∈ N0 ungerade besitzt den Häufungspunkt 0. Denn ist ε > 0, dann gilt für alle ungeraden n ∈ N0 mit n > 1ε |an − 0| = 1 n < ε. Für gerade n ∈ N0, d. h. für n = 2m mit m ∈ N0, gilt dagegen lim m→∞ a2m = ∞. Das heißt, die Folge (an)n∈N0 ist divergent. Teilfolgen Der Begriff Teilfolge einer Folge ist wie folgt definiert: Definition 11.27 (Teilfolge) Es sei (an)n∈N0 eine beliebige Folge und (nk)k∈N0 eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen nk ∈ N0. Dann heißt die Folge (ank )k∈N0 = (an0 , an1 , an2 , . . .) Teilfolge der Folge (an)n∈N0 . Bei einer Teilfolge (ank )k∈N0 handelt es sich somit um eine „Ausdünnung“ einer gegebenen Folge (an)n∈N0 , die ganz einfach dadurch entsteht, dass gewisse Folgenglieder von (an)n∈N0 entfernt werden. Beispiel 11.28 (Teilfolgen) a) Die Folgen a0, a3, a5, a7, . . . und a2, a4, a6, a8, . . . sind Teilfolgen der Folge (an)n∈N0 . b) Die harmonische Folge (an)n∈N mit an := 1n für alle n ∈ N besitzt z. B. die beiden Teilfolgen 1 2 , 1 4 , 1 6 , . . . , 1 2n , . . . und 1, 1 4 , 1 9 , 1 16 , . . . , 1 n2 , . . . Diese Teilfolgen von (an)n∈N lassen sich auch kürzer als (a2n)n∈N bzw. (an2 )n∈N schreiben (vgl. Abbildung 11.8, rechts). Ist eine Folge (an)n∈N0 monoton, beschränkt oder konvergent, dann überträgt sich dies auf jede ihrer Teilfolgen (ank )k∈N0 . Insbesondere folgt unmittelbar aus der Konvergenzdefinition für Folgen, dass limn→∞ an = a auch limk→∞ ank = a für jede Teilfolge (ank )k∈N0 impliziert. Das heißt, jede Teilfolge (ank )k∈N0 einer konvergenten Folge (an)n∈N0 konvergiert ge- 282 Kapitel 1111.6 Häufungspunkte und Teilfolgen gen denselben Grenzwert a = limn→∞ an. Zum Beispiel gilt für die harmonische Folge ( 1 n ) n∈N und ihre beiden Teilfolgen (a2n)n∈N bzw. (an2 )n∈N: lim n→∞ 1 n = lim n→∞ 1 2n = lim n→∞ 1 n2 = 0 Analog gilt, dass jede Teilfolge einer bestimmt divergenten Folge wieder bestimmt divergent ist. Zwischen Häufungspunkten und Teilfolgen einer Folge besteht der folgende Zusammenhang: Satz 11.29 (Zusammenhang Häufungspunkt und Teilfolge) Eine reelle Zahl a ∈ R ist genau dann ein Häufungspunkt der Folge (an)n∈N0 , wenn a der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge (ank )k∈N0 von (an)n∈N0 ist. Beweis: Es sei a ein Häufungspunkt der Folge (an)n∈N0 . Dann kann eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N0 von (an)n∈N0 mit dem Grenzwert a wie folgt konstruiert werden: Setze an0 := a0 und wähle für alle k ∈ N eine natürliche Zahl nk > nk−1 mit |ank − a| < 1k . Die so konstruierte Teilfolge (ank )k∈N0 besitzt nach dem Majorantenkriterium für Folgen (vgl. Satz 11.22) den Grenzwert a, da ( 1 k ) k∈N eine Nullfolge ist. Umgekehrt sei nun a der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge (ank )k∈N0 von (an)n∈N0 . Dann gibt es zu jedem ε > 0 ein m ∈ N0, so dass |ank −a| < ε für alle nk > m gilt. Dies bedeutet jedoch auch, dass a ein Häufungspunkt der Folge (an)n∈N0 ist. Beispiel 11.30 (Zusammenhang Häufungspunkt und Teilfolge) Die Folge (an)n∈N0 mit an := (−1)n für alle n ∈ N0 hat die beiden Häufungspunkte −1 und 1 (vgl. Beispiel 11.26a)). Aus Satz 11.29 folgt somit, dass −1 und 1 die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen von (an)n∈N0 sind. Zwei solche konvergente Teilfolgen sind z. B. (a2k+1)k∈N0 bzw. (a2k)k∈N0 . Satz von Bolzano-Weierstraß Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist benannt nach dem böhmischen Mathematiker Bernard Bolzano (1781–1848) und dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß (1815–1897). B. Bolzano Er besagt, dass jede beschränkte Folge (an)n∈N0 mindestens einen Häufungspunkt und damit auch mindestens eine konvergente Teilfolge besitzt. Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist ein wichtiger Satz der Analysis. Er ist hilfreich beim Beweis einer ganzen Reihe wichtiger Resultate, wie z. B. dem Konvergenzkriterium von Cauchy (siehe Satz 11.37) und dem Satz vom Minimum und Maximum (siehe Satz 15.25). Der Satz von Bolzano-Weierstraß wird aber auch in der Ökonomie bei der Betrachtung verschiedener Gleichgewichtsmodelle zum Beweis der Existenz eines Gleichgewichtszustandes benötigt. Ein bekanntes K. Weierstraß Beispiel hierfür ist die Existenz einer sogenannten Pareto-optimalen Allokation bei der Verteilung eines knappen Gutes. Der Begriff Pareto-Optimum (Pareto-Effizienz, Pareto-Menge) ist benannt nach dem italienischen Ökonomen und Soziologen Vilfredo Federico Pareto (1848–1923) und bezeichnet einen Zustand, in dem kein Individuum besser gestellt werden kann, ohne zugleich ein anderes Individuum schlechter zu stellen. Ein Wechsel hin zu einer nach Maßgabe dieses Kriteriums besseren Verteilung des knappen Gutes wird als Pareto-Optimierung bezeichnet und die Menge der durch Pareto-Optimierung erreichbaren Zustände heißt Pareto-Optimum (für mehr Details siehe z. B. Ingersoll [30] und Bewley [3]). Satz 11.31 (Satz von Bolzano-Weierstraß) Jede beschränkte Folge (an)n∈N0 besitzt eine konvergente Teilfolge bzw. einen Häufungspunkt. Beweis: Die Folge (an)n∈N0 sei beschränkt. Dann existiert ein c > 0 mit |an| ≤ c für alle n ∈ N0. Das heißt, alle Folgenglieder an liegen im Intervall [−c, c]. Durch Halbierung dieses Intervalls erhält man die beiden Teilintervalle [−c, 0] und [0, c], wobei mindestens eines der beiden Teilintervalle unend- 283 Kapitel 11 Folgen lich viele Folgenglieder enthält. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei dies das Teilintervall [0, c]. Für die Halbierung dieses Intervalls in die beiden Teilintervalle [ 0, c2 ] und [ c 2 , c ] gilt dann eine analoge Aussage. Durch fortgesetzte Intervallhalbierung resultiert auf diese Weise eine Intervallschachtelung mit der Eigenschaft, dass jeweils mindestens eines der beiden Intervalle unendlich viele Folgenglieder enthält. Das heißt, es resultieren Intervalle [u0, v0] := [−c, c], [u1, v1], [u2, v2], . . . mit der Eigenschaft un ≤ ak ≤ vn für unendlich viele k ∈ N0 und jedes n ∈ N0. Da die Folge (un)n∈N0 der Untergrenzen beschränkt und monoton wachsend und die Folge (vn)n∈N0 der Obergrenzen beschränkt und monoton fallend ist, konvergieren gemäß Satz 11.23 beide Folgen. Für ihren Grenzwert gilt dabei a := lim n→∞ un = limn→∞ vn, da durch den fortgesetzten Halbierungsprozess die Intervalle [un, vn] beliebig klein werden. Dies impliziert unmittelbar, dass es für jedes ε > 0 ein n mit a− ε < un < vn < a+ ε gibt. Es gilt somit a− ε < ak < a+ ε bzw. |a− ak | < ε für unendlich viele k ∈ N0. Das heißt, der Wert a ist ein Häufungspunkt der Folge (an)n∈N0 . Mit Satz 11.29 folgt schließlich, dass (an)n∈N0 eine konvergente Teilfolge mit dem Grenzwert a besitzt. Das Beispiel 11.26b) zeigt, dass die Existenz genau eines Häufungspunktes keine Konvergenz impliziert. Der Grund hierfür ist, dass die Folge trotz genau eines Häufungspunktes noch unbeschränkt sein kann. Gemäß dem Satz 11.18 kann die Folge dann aber nicht konvergent sein. Der folgende Satz zeigt jedoch, dass bei zusätzlicher Beschränktheit der Folge, 2 4 6 8 10 −1 −0.5 0 0.5 1 1 3 5 7 9 −6 −4 −2 0 2 4 6 Abb. 11.9: Folge ( (−1)n 11+n ) n∈N0 (links) und Folge ( (−1)n5 + 1n ) n∈N (rechts) diese auch konvergent ist. Der Satz liefert damit eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Folge: Satz 11.32 (Notwendige und hinreichende Bedingung für Konvergenz) Eine Folge (an)n∈N0 ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist und genau einen Häufungspunkt besitzt. Beweis: Die Folge (an)n∈N0 sei konvergent mit dem Grenzwert a. Dann ist a der einzige Häufungspunkt von (an)n∈N0 (vgl. Ausführung nach Definition 11.25) und aus Satz 11.18 folgt, dass (an)n∈N0 auch beschränkt ist. Die Folge (an)n∈N0 sei nun umgekehrt beschränkt und besitze genau einen Häufungspunkt. Da (an)n∈N0 beschränkt ist, kann analog zum Beweis von Satz 11.31 wieder eine fortgesetzte Intervallhalbierung durchgeführt werden. Da jedoch die Folge nur einen Häufungspunkt besitzt, resultiert bei jedem Halbierungsschritt genau ein Intervall, das unendlich viele Folgenglieder enthält. Weiter erhält man analog zum Beweis von Satz 11.31, dass es ein a ∈ R gibt, so dass |ak − a| < ε für unendlich viele k ∈ N0 gilt. Zusammen mit der Tatsache, dass bei jedem Halbierungsschritt nur eines der beiden Intervalle unendlich viele Folgenglieder enthält, impliziert dies, dass es zu jedem ε > 0 ein n0 ∈ N0 mit |ak − a| < ε für alle k ≥ n0 gibt. Das heißt, die Folge (an)n∈N0 ist konvergent. 284 Kapitel 1111.6 Häufungspunkte und Teilfolgen Beispiel 11.33 (Häufungspunkte und Konvergenz) a) Die Folge (an)n∈N0 mit an := (−1)n 11+n für alle n ∈ N0 ist beschränkt. Aus dem Satz von Bolzano- Weierstraß folgt somit, dass die Folge mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Die Folge (an)n∈N0 ist jedoch nicht monoton. Dennoch besitzt sie nur den Häufungspunkt 0. Die Folge ist somit konvergent mit dem Grenzwert 0, kurz: limn→∞(−1)n 1n+1 = 0 (vgl. Abbildung 11.9, links). b) Die Folge (an)n∈N mit an := (−1)n5+ 1n für alle n ∈ N ist beschränkt. Der Satz von Bolzano-Weierstraß impliziert somit, dass die Folge mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Die Folge (an)n∈N0 ist jedoch nicht monoton und besitzt die beiden Häufungspunkte −5 und 5. Das heißt, die Folge (an)n∈N0 ist nicht konvergent, aber es existieren Teilfolgen von (an)n∈N, die gegen −5 bzw. 5 konvergieren (vgl. Abbildung 11.9, rechts). Limes inferior und Limes superior Der Satz von Bolzano-Weierstraß (vgl. Satz 11.31) besagt, dass jede beschränkte Folge (an)n∈N0 mindestens einen Häufungspunkt besitzt. Ist die Folge (an)n∈N0 zusätzlich konver- 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 lim n→∞ infan lim n→∞ sup an Abb. 11.10: Eine Folge (an)n∈N0 mit Limes superior und Limes inferior. Wegen lim infn→∞ an = lim supn→∞ an ist die Folge (an)n∈N0 nichtkonvergent gent, dann besitzt sie genau einen Häufungspunkt (vgl. Satz 11.32) und dieser stimmt mit dem Grenzwert überein. Ist die beschränkte Folge (an)n∈N0 jedoch nicht konvergent, dann besitzt sie mehr als einen Häufungspunkt. Diese Beobachtung motiviert die beiden Begriffe Limes inferior und Limes superior: Definition 11.34 (Limes inferior und Limes superior einer Folge) Es sei (an)n∈N0 eine beschränkte Folge. Dann wird der kleinste Häufungspunkt Limes inferior und der größte Häufungspunkt Limes superior von (an)n∈N0 genannt und mit lim infn→∞ an bzw. lim supn→∞ an bezeichnet. Für die Häufungspunkte a einer Folge (an)n∈N0 gilt stets lim inf n→∞ an ≤ a ≤ lim supn→∞ an und eine Folge (an)n∈N0 ist genau dann konvergent mit dem Grenzwert a, wenn lim inf n→∞ an = a = lim supn→∞ an gilt (vgl. Abbildung 11.10). 285 Kapitel 11 Folgen M. Pasch Die Begriffe Limes inferior und Limes superior wurden erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) erwähnt. Die dafür am häufigsten verwendete Schreibweise lim inf n→∞ an bzw. lim supn→∞ an geht jedoch auf den deutschen Mathematiker Moritz Pasch (1843–1930) zurück. Daneben benutzt man für den Limes inferior und den Limes superior häufig auch die von dem deutschen Mathematiker Alfred Pringsheim (1850–1941), dem Schwiegervater des deutschen Literatur-Nobelpreisträgers Thomas Mann (1875–1955), vorgeschlagene Notation lim n→∞ an bzw. lim n→∞an. Beispiel 11.35 (Limes superior und Limes inferior) a) Die Folge ((−1)n)n∈N0 besitzt die beiden Häufungspunkte −1 und 1. Das heißt, es gilt lim infn→∞ an = −1 und lim supn→∞ an = 1. b) Die Folge ( (−1)n(1 + 1 n ) ) n∈N besitzt ebenfalls die beiden Häufungspunkte −1 und 1. Das heißt, es gilt wieder lim infn→∞ an = −1 und lim supn→∞ an = 1. 11.7 Cauchy-Folgen Konvergente Folgen (an)n∈N0 besitzen eine bemerkenswerte Verdichtungseigenschaft. Denn besitzt eine konvergente Folge (an)n∈N0 den Grenzwert a, dann gibt es für jedes ε > 0 ein n0 ∈ N0, so dass |an − a| < ε 2 für alle n ≥ n0 gilt. Für zwei Folgenglieder an und am mit n,m ≥ n0 erhält man somit mit der Dreiecksungleichung (3.4) die Abschätzung |am − an| ≤ |am − a| + |a − an| < ε 2 + ε 2 = ε. (11.7) Das heißt, zwei Folgenglieder an und am liegen beliebig dicht beieinander, wenn die Indizes n und m nur hinreichend groß sind. A. L. Cauchy Eine Folge mit der Verdichtungseigenschaft (11.7) wird nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy (1789–1857) als Cauchy-Folge bezeichnet. Neben der Bezeichnung als Cauchy-Folge ist jedoch auch noch die Bezeichnung Fundamental-Folge sehr gebräuchlich. Cauchy-Folgen sind von grundlegender Bedeutung für den Aufbau der Analysis. Definition 11.36 (Cauchy-Folge) Eine Folge (an)n∈N0 heißt Cauchy-Folge, wenn für jedes ε > 0 ein n0 ∈ N0 existiert, so dass für alle n,m ≥ n0 gilt |am − an| < ε. Durch (11.7) ist gezeigt, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchy-Folge ist. Von großer Bedeutung ist, dass auch die Umkehrung dieser Aussage gilt. Das heißt, es gilt der folgende Satz, welcher auch als Konvergenzkriterium von Cauchy bekannt ist: Satz 11.37 (Konvergenzkriterium von Cauchy) Eine Folge (an)n∈N0 konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Beweis: Der erste Teil der Behauptung folgt unmittelbar aus (11.7). Es sei nun umgekehrt (an)n∈N0 eine Cauchy-Folge. Dann gibt es für jedes ε > 0 ein n0 ∈ N0, so dass |am − an| < ε für alle n,m ≥ n0 gilt. Speziell für n = n0 folgt somit |am| − |an0 | ≤ |am − an0 | < ε bzw. |am| < |an0 | + ε für alle m ≥ n0. Das heißt, es gilt |am| ≤ max {|a0|, |a1|, . . . , |an−1|, |an0 | + ε } für allem ∈ N0. Die Folge (an)n∈N0 ist somit beschränkt und mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß (vgl. Satz 11.31) folgt, dass (an)n∈N0 eine konvergente Teilfolge (ank )k∈N0 mit dem Grenzwert a besitzt. Folglich gibt es für jedes ε′ > 0 ein nk0 ∈ N0 286 Kapitel 1111.8 Rechenregeln für konvergente Folgen mit |ank −a| < ε′ für alle nk ≥ nk0 . Da (an)n∈N0 eine Cauchy- Folge ist, existiert jedoch auch ein n0 ≥ nk0 mit |am−an| < ε′ für alle m, n ≥ n0. Somit folgt mit der Dreiecksungleichung (3.4) für n, nk ≥ n0 |an − a| ≤ |an − ank | + |ank − a| < ε′ + ε′ = 2ε′. Mit ε := 2ε′ erhält man schließlich |an−a| < ε für alle n ≥ n0. Das heißt, (an)n∈N0 konvergiert gegen den Grenzwert a. 11.8 Rechenregeln für konvergente Folgen In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie mit konvergenten und bestimmt divergenten Folgen gerechnet werden kann. Es werden insbesondere einige Rechenregeln für Grenzwerte bereitgestellt, die für das Rechnen mit konvergenten Folgen unentbehrlich sind. Für zwei beliebige Folgen (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 können die mathematischen Operationen Addition, Subtraktion, skalare Multiplikation, Multiplikation, Division und Potenzierung eingeführt werden. Dabei gilt: (an+bn)n∈N0 besitzt die Glieder a0+b0, a1+b1, a2+b2, . . . (an−bn)n∈N0 besitzt die Glieder a0−b0, a1−b1, a2−b2, . . . (can)n∈N0 besitzt die Glieder ca0, ca1, ca2, . . . (anbn)n∈N0 besitzt die Glieder a0b0, a1b1, a2b2, . . .( an bn ) n∈N0 besitzt die Glieder a0 b0 , a1 b1 , a2 b2 , . . . ( acn ) n∈N0 besitzt die Glieder a c 0, a c 1, a c 2, . . . (can )n∈N0 besitzt die Glieder c a0 , ca1 , ca2 , . . . In den letzten drei Fällen wurde vorausgesetzt, dass die Folgenglieder an bn , acn bzw. c an auch definiert sind. Durch wiederholte Anwendung dieser Operationen können bereits recht komplizierte Folgen resultieren. Rechenregeln für Grenzwerte Die beiden folgenden Sätze fassen die wichtigsten Rechenregeln für Grenzwerte konvergenter Folgen zusammen. Der erste Satz bezieht sich speziell auf Nullfolgen: Satz 11.38 (Rechenregeln für Grenzwerte von Nullfolgen) Die Folgen (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 seien Nullfolgen und die Folge (cn)n∈N0 sei beschränkt. Dann gilt: a) Die Folge (an+bn)n∈N0 ist eine Nullfolge. Das heißt, es gilt lim n→∞(an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn = 0. b) Die Folge (ancn)n∈N0 ist eine Nullfolge. Das heißt, es gilt lim n→∞(ancn) = limn→∞ an limn→∞ cn = 0. Beweis: Zu a): Für jedes ε > 0 gibt es zwei Indizes n0, n1 ∈ N0, so dass |an − 0| < ε für alle n ≥ n0 und |bn − 0| < ε für alle n ≥ n1 gilt. Mit der Dreiecksungleichung (3.4) folgt somit |(an + bn)− 0| ≤ |an| + |bn| < 2ε für alle n ≥ max {n0, n1}. Die Folge (an + bn)n∈N0 ist somit konvergent und besitzt den Grenzwert 0. Zu b): Es gibt ein c ∈ R mit |cn| ≤ c für alle n ∈ N0 und für jedes ε > 0 gibt es ein n0 ∈ N0, so dass |an − 0| < ε für alle n ≥ n0 gilt. Daraus folgt |ancn| = |an||cn| < cε für alle n ≥ n0, d. h. die Folge (ancn)n∈N0 ist konvergent mit dem Grenzwert 0. Mit Hilfe des obigen Satzes lassen sich eine Reihe wichtiger Regeln für das Rechnen mit (allgemeinen) konvergenten Folgen herleiten: Satz 11.39 (Rechenregeln für Grenzwerte konvergenter Folgen) Die Folgen (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 seien konvergent mit dem Grenzwert lim n→∞ an = a bzw. limn→∞ bn = b. Dann sind auch die Folgen (an + bn)n∈N0 , (an − bn)n∈N0 , (anbn)n∈N0 und (can)n∈N0 für c ∈ R konvergent und besitzen den Grenzwert: 287 Kapitel 11 Folgen a) lim n→∞(an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn = a + b b) lim n→∞(an − bn) = limn→∞ an − limn→∞ bn = a − b c) lim n→∞(anbn) = limn→∞ an limn→∞ bn = ab d) lim n→∞ can = c limn→∞ an = ca Unter zusätzlichen Annahmen sind auch die Folgen( an bn ) n∈N0 , ( acn ) n∈N0 und (c an )n∈N0 konvergent. Genauer gilt: e) lim n→∞ an bn = limn→∞ anlim n→∞ bn = a b , falls bn = 0 für alle n ∈ N0 und b = 0 gilt. f) lim n→∞ a c n = ( lim n→∞ an )c = ac, falls an > 0 für alle n ∈ N0 sowie a > 0 und c ∈ R gilt. g) lim n→∞ c an = c ( lim n→∞ an ) = ca , falls c > 0 gilt. Beweis: Zu a): Die Folgen (an − a)n∈N0 und (bn − b)n∈N0 sind Nullfolgen. Aus Teil a) des Satzes 11.38 folgt somit, dass ((an − a)+ (bn − b))n∈N0 = (an + bn − (a + b))n∈N0 ebenfalls eine Nullfolge ist. Dies ist jedoch äquivalent dazu, dass (an+bn)n∈N0 eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a+b ist. Zu b): Folgt aus Aussage a). Zu c): Da (an − a)n∈N0 und (bn − b)n∈N0 Nullfolgen sind und (bn)n∈N0 als konvergente Folge beschränkt ist (vgl. Satz 11.18), folgt mit Satz 11.38b), dass ((an − a)bn)n∈N0 und (a(bn − b))n∈N0 Nullfolgen sind. Wegen anbn − ab = (an − a)bn + a(bn − b) für alle n ∈ N0 impliziert dies, dass auch (anbn − ab)n∈N0 eine Nullfolge ist. Die Folge (anbn)n∈N0 ist somit konvergent und besitzt den Grenzwert ab. Zu d): Setzt man bn := c für alle n ∈ N0, dann folgt unmittelbar aus Teil c), dass (can)n∈N0 eine konvergente Folge mit Grenzwert ca ist. Zu e): Es gibt ein n0 ∈ N0 mit |bn| > |b|2 bzw. |bbn| > b 2 2 für alle n ≥ n0. Dies impliziert ∣∣∣∣ 1 bn − 1 b ∣∣∣∣= ∣∣∣∣ b − bn bbn ∣∣∣∣= 1 |bbn| |bn − b| < 2 b2 |bn − b|. (11.8) Da (bn−b)n∈N0 eine Nullfolge ist, folgt mit Satz 11.38b), dass auch ( 2 b2 |bn − b| ) n∈N0 eine Nullfolge ist. Aus (11.8) folgt daher, dass ( 1 bn − 1 b ) n∈N0 ebenfalls eine Nullfolge ist. Das heißt, ( 1 bn ) n∈N0 ist konvergent mit dem Grenzwert 1 b . Mit Teil c) folgt somit schließlich, dass ( an bn ) n∈N0 = ( an 1 bn ) n∈N0 konvergent ist mit dem Grenzwert a b . Zu f) und g): Für den nicht schwierigen, jedoch etwas umfangreicheren Beweis siehe z. B. Heuser [25], Seiten 164–166. Bei der Anwendung des Satzes 11.39 ist zu beachten, dass die Gleichungen von rechts nach links gelesen werden müssen: Existieren die beiden Grenzwerte lim n→∞ an und limn→∞ bn, dann existiert z. B. auch der Grenzwert lim n→∞(an + bn) und es gilt lim n→∞(an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn. Die beiden Sätze 11.38 und 11.39 zeigen, dass mit den Grenzwerten konvergenter Folgen wie mit gewöhnlichen Zahlen gerechnet werden kann. Diese Ergebnisse werden in Abschnitt 13.10 auf Grenzwerte reeller Funktionen übertragen. Die dadurch resultierenden Rechenregeln für Grenzwerte reeller Funktionen erweisen sich dann in der Differential- und Integralrechnung bei der Untersuchung von Funktionseigenschaften wie Stetigkeit (siehe Kapitel 15), Differenzierbarkeit (siehe Kapitel 16) und Integrierbarkeit (siehe Kapitel 19 und 20) als unentbehrliche Hilfsmittel. Das folgende Beispiel zeigt, wie mit den obigen Rechenregeln auch für kompliziertere konvergente Folgen leicht deren Grenzwert berechnet werden kann. Beispiel 11.40 (Rechenregeln für Grenzwerte konvergenter Folgen) a) Gegeben sei die Folge (an)n∈N0 mit an := 3n 2 + 2n+ 1 5n2 + 4n+ 2 für alle n ∈ N0. Nach Kürzen von n2 erhält man mit Satz 11.39 lim n→∞ an = lim n→∞ ( 3 + 2 n + 1 n2 ) lim n→∞ ( 5 + 4 n + 2 n2 ) = 3 + lim n→∞ 2 n + lim n→∞ 1 n2 5 + lim n→∞ 4 n + lim n→∞ 2 n2 = 3 5 . Das heißt, die Folge (an)n∈N0 ist konvergent mit dem Grenzwert 35 (vgl. Abbildung 11.11, links). 288 Kapitel 1111.8 Rechenregeln für konvergente Folgen b) Gegeben sei die Folge (an)n∈N0 mit an := 3n 3 + 15 2n2 + 33n+ 27 für alle n ∈ N0. Nach Kürzen von n2 erhält man lim n→∞ an = limn→∞ ( 3n+ 15 n2 ) ( 2 + 33 n + 27 n2 ) = ∞. Die Folge (an)n∈N0 ist somit bestimmt divergent und besitzt den uneigentlichen Grenzwert ∞ (vgl. Abbildung 11.11, rechts). c) Gegeben sei die Folge (an)n∈N mit an := 3 n+1 + 2n 3n + 2 + 2n+ 1 n2 + ( 4 5 )n n n+ 1 für alle n ∈ N. Man erhält mit Satz 11.39 lim n→∞ an = limn→∞ 3n+1 + 2n 3n + 2 + limn→∞ 2n+ 1 n2 + lim n→∞ ( 4 5 )n n n+ 1 = 3 + lim n→∞ ( 2 3 )n 1 + lim n→∞ 2 3n + lim n→∞ 2 n + lim n→∞ 1 n2 1 + lim n→∞ ( 4 5 )n 1 1 + lim n→∞ 1 n = 3 + 0 + 0 = 3. 0 10 20 30 40 50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50 60 Abb. 11.11: Folgen (an)n∈N0 mit an = 3n 2+2n+1 5n2+4n+2 (links) und an = 3n3+15 2n2+33n+27 (rechts) Das heißt, die Folge (an)n∈N ist konvergent mit dem Grenzwert 3 (vgl. Abbildung 11.12, links). d) Gegeben sei die Folge (an)n∈N0 mit an := √ n2 + 1 − √ n2 − 2n+ 1 für alle n ∈ N0. Durch Erweitern erhält man für die Folgenglieder von (an)n∈N0 an = (√ n2 + 1 − √ n2 − 2n+ 1 ) · √ n2 + 1 +√n2 − 2n+ 1√ n2 + 1 +√n2 − 2n+ 1 = (n 2 + 1)− (n2 − 2n+ 1)√ n2 + 1 +√n2 − 2n+ 1 = 2n√ n2 + 1 +√n2 − 2n+ 1 . Nach Kürzen von n erhält man mit Satz 11.39 lim n→∞ an = 2 lim n→∞ (√ 1 + 1 n2 + √ 1 − 2 n + 1 n2 ) = 2√ 1 + lim n→∞ 1 n2 + √ 1 − lim n→∞ 2 n + lim n→∞ 1 n2 = 1. Die Folge (an)n∈N0 ist somit konvergent mit dem Grenzwert 1 (vgl. Abbildung 11.12, rechts). 289 Kapitel 11 Folgen 0 10 20 30 40 50 0 1 2 3 4 5 6 0 10 20 30 40 50 0 0.5 1 1.5 2 Abb. 11.12: Folge (an)n∈N mit an = 3 n+1+2n 3n+2 + 2n+1n2 + ( 4 5 )n n n+1 (links) und Folge (an)n∈N0 mit an = √ n2 + 1 − √ n2 − 2n+ 1 (rechts) Vergleichssatz Der sogenannte Vergleichssatz besagt, dass die Limesbildung die (schwachen) Ungleichungen≤ und≥ erhält. Er lautet wie folgt: Satz 11.41 (Vergleichssatz) Die Folgen (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 mit an ≤ bn für alle n ≥ n0 mit n0 ∈ N0 seien konvergent mit dem Grenzwert lim n→∞ an = a bzw. limn→∞ bn = b. Dann gilt a ≤ b. Beweis: Für jedes ε > 0 gibt es zwei Indizes n1, n2 ≥ n0 mit |an−a| < ε für alle n ≥ n1 und |bn−b| < ε für alle n ≥ n2. Es gilt somit a−ε < an und bn < b+ε für alle n ≥ max {n1, n2}. Angenommen, es gelte nun a > b und es sei ε := a−b2 > 0. Dann gilt 2ε = a − b bzw. b + ε = a − ε und man erhält bn < b + ε = a − ε < an für alle n ≥ max {n1, n2}. Dies steht jedoch im Widerspruch zur Voraussetzung an ≤ bn für alle n ≥ n0. Es gilt somit a ≤ b. Es ist jedoch zu beachten, dass die Limesbildung im Allgemeinen nicht die strikten Ungleichungen < und > erhält. Zum Beispiel gilt für die Folgen (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 mit an := 0 bzw. bn := 1n die strikte Ungleichung an < bn für alle n ∈ N0. Für die Grenzwerte dieser beiden Folgen gilt jedoch lim n→∞ an = limn→∞ bn = 0. Aus den Beweisen dieses Abschnittes wird ersichtlich, weshalb der Teil der Analysis, der sich mit dem Beweis von Grenzwertaussagen beschäftigt, oftmals etwas salopp als Epsilontik bezeichnet wird. Denn viele Beweise beginnen mit den Worten „Für jedes ε > 0 gibt es ein ...“ (vgl. z. B. die Beweise der Sätze 11.38 und 11.41). K. Weierstraß Diese Beobachtung erkärt auch, weshalb unter Mathematikern die Aussage „Es sei ε < 0.“ als kürzester Witz der Welt gilt. Die Epsilontik geht auf den deutschen Mathematiker Karl Weierstraß (1815–1897) zurück, der den Grenzwertbegriff erstmals auf ein stabiles mathematisches Fundament stellte und damit wesentlich zur logisch korrekten Fundierung der Analysis beitrug. 290 Kapitel 1111.8 Rechenregeln für konvergente Folgen Bestimmt divergente Folgen Aufgrund der Sätze 11.38 und 11.39 kann mit Grenzwerten konvergenter Folgen wie mit gewöhnlichen Zahlen gerechnet werden. Die Symbole −∞ und ∞ sind jedoch keine Zahlen und infolgedessen kann mit ihnen auch nicht gerechnet werden. Beim Umgang mit den uneigentlichen Grenzwerten ∞ und −∞ ist daher Vorsicht geboten. Gleichungen wie z. B. a +∞ = ∞, ∞+∞ = ∞ usw. sind daher lediglich als intuitive Schreibweisen für Aussagen über bestimmt divergente Folgen zu verstehen. So bedeutet z. B. die Schreibweise a+∞ = ∞, dass für den Grenzwert der beiden Folgen (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 mit lim n→∞ an = a und lim n→∞ bn = ∞ lim n→∞(an + bn) = ∞ gilt. Es seien (an)n∈N0 , (bn)n∈N0 , (cn)n∈N0 , (dn)n∈N0 , (en)n∈N0 und (fn)n∈N0 Folgen mit den Eigenschaften lim n→∞ an = a, limn→∞ bn = ∞, limn→∞ cn = ∞, lim n→∞ dn = −∞, limn→∞ en = −∞ bzw. limn→∞ fn = 0 und a ∈ R \ {0}, dann sind für das Rechnen mit bestimmt divergenten Folgen die in Tabelle 11.1 aufgeführten Schreibweisen gebräuchlich. Den Ausdrücken ±∞ · 0, ∞−∞, ±∞±∞ , (±∞) 0, 1±∞ und a 0 hingegen kann jedoch kein bestimmter Sinn zugeschrieben werden. Sie werden deshalb als unbestimmte Ausdrücke bezeichnet. Sind z. B. (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 zwei Folgen mit lim n→∞ an = 0 bzw. lim n→∞ bn = ∞, dann kann die Folge (anbn)n∈N0 je nach Beschaffenheit von (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 gegen eine reelle Zahl konvergieren, gegen −∞ oder ∞ divergieren oder auch gar keinen (eigentlichen oder uneigentlichen) Grenzwert besitzen (vgl. Beispiel 11.42). Schreibweise Bedeutung a +∞ = ∞ lim n→∞(an + bn) = ∞ a −∞ = −∞ lim n→∞(an + dn) = −∞ a · ∞ = ∞ lim n→∞(anbn) = ∞ für a > 0 a · ∞ = −∞ lim n→∞(anbn) = −∞ für a < 0 a · (−∞) = −∞ lim n→∞(andn) = −∞ für a > 0 a · (−∞) = ∞ lim n→∞(andn) = ∞ für a < 0 0 ∞ = 0 limn→∞ fn bn = 0 0 −∞ = 0 limn→∞ fn dn = 0 ∞+∞ = ∞ lim n→∞(bn + cn) = ∞ −∞−∞ = −∞ lim n→∞(dn + en) = −∞ ∞ ·∞ = ∞ lim n→∞(bncn) = ∞ ∞ · (−∞) = −∞ lim n→∞(bndn) = −∞ −∞ · (−∞) = ∞ lim n→∞(dnen) = ∞ Tabelle 11.1: Schreibweisen für das Rechnen mit bestimmt divergenten Folgen Beispiel 11.42 (Grenzwerte und uneigentliche Grenzwerte) Gegeben seien zwei Folgen (an)n∈N0 und (bn)n∈N0 mit lim n→∞ an = 0 bzw. limn→∞ bn = ∞. a) Es gelte an := 1n+1 und bn := n für alle n ∈ N0. Dann ist die Folge (anbn)n∈N0 konvergent und besitzt den Grenzwert lim n→∞ anbn = 1. b) Es gelte an := 1n+1 und bn := n2 für alle n ∈ N0. Dann ist die Folge (anbn)n∈N0 bestimmt divergent und besitzt den uneigentlichen Grenzwert lim n→∞ anbn=∞. c) Es gelte an := 1(n+1)2 und bn := n für alle n ∈ N0. Dann ist die Folge (anbn)n∈N0 konvergent und besitzt den Grenzwert lim n→∞ anbn = 0. d) Es gelte an := − 1n+1 und bn := n2 für alle n ∈N0. Dann ist die Folge (anbn)n∈N0 bestimmt divergent und hat den uneigentlichen Grenzwert lim n→∞anbn=−∞. e) Es gelte an := (−1)nn+1 und bn := n für alle n ∈ N0. Dann ist die Folge (anbn)n∈N0 weder konvergent noch bestimmt divergent und besitzt daher keinen (uneigentlichen) Grenzwert, aber die beiden Häufungspunkte −1 und 1. 291 Kapitel 11 Folgen Eulersche Zahl e In diesem Abschnitt wird noch einmal die Folge (an)n∈N = (( 1 + 1 n )n) n∈N (11.9) betrachtet. Diese Folge ist für viele Anwendungsgebiete, insbesondere in den Wirtschaftswissenschaften, von zentraler Bedeutung. Im Beispiel 11.12c) wurde bereits gezeigt, dass die Folge (11.9) beschränkt ist. Der folgende Satz besagt, dass sie sogar konvergiert: Satz 11.43 (Existenz des Grenzwertes von Folge (11.9)) Die Folge (( 1 + 1 n )n) n∈N ist konvergent. Beweis: Im Beispiel 11.12c) wurde gezeigt, dass die Folge (an)n∈N nach unten durch 1 und nach oben durch 3 beschränkt ist. Aufgrund des Satzes 11.23 genügt es daher zu zeigen, dass die Folge (an)n∈N monoton ist. Man erhält für alle n ≥ 2 an an−1 = ( 1 + 1 n )n ( 1 + 1 n−1 )n−1 = ( n+ 1 n )n ( n− 1 n )n−1 = ( n2 − 1 n2 )n n n− 1 = ( 1 − 1 n2 )n n n− 1 . Zusammen mit der Ungleichung von Bernoulli (1.22) folgt daraus weiter an an−1 = ( 1 − 1 n2 )n n n− 1 ≥ ( 1 + n (−1 n2 )) n n− 1 = n− 1 n n n− 1 = 1. Es gilt somit an ≥ an−1 für alle n ≥ 2. Dies bedeutet jedoch, dass die Folge (an)n∈N monoton wachsend und damit insbesondere konvergent ist. Der Grenzwert der Folge (11.9) gehört zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik. Er spielt im Zusammenhang mit der Beschreibung der verschiedensten Wachstums- und Schrumpfungsprozesse in vielen natur- und wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen sowie in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik eine bedeutende Rolle (siehe auch die beiden Beispiele 11.46 und 11.47). Aufgrund seiner großen Bedeutung hat der Grenzwert der Folge (11.9) ein eigenes Symbol und einen eigenen Namen erhalten: Definition 11.44 (Eulersche Zahl e) Der Grenzwert der Folge (( 1 + 1 n )n) n∈N, d. h. e := lim n→∞ ( 1 + 1 n )n , (11.10) wird als Eulersche Zahl bezeichnet. L. Euler auf einem schweizerischen 10-Frankenschein Der Buchstabe e wurde als Symbol für den Grenzwert der Folge (11.9) erstmals 1736 von dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) in seinem Werk „Mechanica“ verwendet. Es ist jedoch nicht bekannt, ob er dies in Anspielung an seinen eigenen Namen tat oder ob er diese Wahl in Anlehnung an die Exponentialfunktion getroffen hat, deren Basis die Eulersche Zahl e ist. Die Exponentialfunktion wird deshalb häufig auch einfach kurz als e-Funktion bezeichnet (siehe Abschnitt 14.5). Neben dem Symbol e gehen noch viele andere mathematische Symbole, wie z. B. π, i, ∑ und f (x), auf Euler zurück. Darüber hinaus war Euler auch ein außergewöhnlich produktiver Mathematiker, von dem insgesamt 866 Publikationen bekannt sind. Aufgrund seiner Arbeiten wird Euler von vielen Mathematikern als der eigentliche Begründer der Analysis angesehen. Die Eulersche Zahl e ist mathematisch eine nur „schwer fassbare Zahl“ in dem Sinne, dass sie nicht algebraisch, son- C. Hermite dern transzendent ist. Dies bedeutet, dass die Eulersche Zahl e nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung anx n+an−1xn−1+. . .+a1x+a0 =0 beliebigen (endlichen) Grades n mit ausschließlich rationalen Koeffizienten a0, a1, . . . , an resultieren kann. Die Transzendenz der Eulerschen Zahl e wurde erstmals im Jahre 1873 nachgewiesen und ist das wohl berühmteste Resultat des französischen Mathematikers Charles Hermite (1822–1901). 292 Kapitel 1111.8 Rechenregeln für konvergente Folgen Aufbauend auf den Ergebnissen von Hermite gelang es im Jahre 1882 dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann (1852–1939) auch die Transzendenz der Kreiszahl π zu beweisen. F. v. Lindemann Aus diesem Ergebnis folgte auch erstmals ein Beweis für die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises. Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie und besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren. Beschränkt man sich bei dieser Konstruktion nur auf die beiden Hilfsmittel Lineal und Zirkel, dann folgt aus der Transzendenz von π , dass dieses Problem unlösbar ist. Die Quadratur des Kreises gehört zu den populärsten mathematischen Problemen überhaupt. Jahrhunderte lang versuchten sich nicht nur die besten Mathematiker, sondern auch viele Amateur-Mathematiker und Laien vergeblich an einer Lösung dieses Problems. Über die Jahrhunderte hinweg ist der Begriff „Quadratur des Kreises“ in vielen Sprachen zu einer Metapher für eine unlösbare Aufgabe geworden. √ π r = 1 Quadrat und Kreis mit dem gleichen Flächeninhalt π Im Jahre 1874 gelang dem deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845–1918) der Beweis dafür, dass die Menge der transzendenten Zahlen überabzählbar unendlich und die Menge der algebraischen Zahlen nur abzählbar unendlich ist. Das heißt, es gibt viel mehr transzendente als algebraische Zahlen. Aus der Definition von transzendenten Zahlen folgt ferner, dass diese stets irrational sind. Eine transzendente Zahl besitzt somit stets unendlich viele nicht periodische Dezimalstellen. Zum Beispiel gilt für die ersten 20 Nachkommastellen der Eulerschen Zahl e e = 2,71828182845904523536 . . . Bis zum Juli 2010 gelang es mit Hilfe von schnellen Computern, die ersten 1.000.000.000.000 Dezimalstellen der Eulerschen Zahl e zu berechnen. Die Definition 11.44 ist ein gutes Beispiel dafür, dass in der Mathematik viele wichtige Zahlen als Grenzwerte von Folgen definiert sind. Der folgende Satz zeigt, dass die Definition 11.44 auch die wichtige Darstellung ex = lim n→∞ ( 1 + x n )n für alle x ∈ R impliziert. Für x = 1 erhält man daraus wieder (11.10) zurück. Satz 11.45 (Folgendarstellung von ex ) Es gilt für alle x ∈ R ex = lim n→∞ ( 1 + x n )n . (11.11) Beweis: Der Beweis erfolgt in zwei Schritten. 1. Schritt: Es wird gezeigt, dass für jede Nullfolge (an)n∈N0 mit 0 < |an| < 1 gilt lim n→∞(1 + an) 1/an = e. (11.12) Fall 1: Es sei 0 < an < 1 für alle n ∈ N0. Man setzt rn := 1an für alle n ∈ N0 und bezeichnet mit kn ∈ N0 die natürliche Zahl, für die kn ≤ rn < kn + 1 gilt. Dann erhält man ( 1 + 1 kn + 1 )kn < ( 1 + 1 rn )rn < ( 1 + 1 kn )kn+1 bzw. etwas umgeschrieben ( 1 + 1 kn+1 )kn+1 1 + 1 kn+1 < ( 1 + 1 rn )rn < ( 1 + 1 kn )kn ( 1 + 1 kn ) . (11.13) Wegen kn → ∞ für n → ∞ und der Definition 11.44 konvergieren die linke und die rechte Seite von (11.13) gegen e. Es folgt daher lim n→∞ (1 + an) 1/an = lim n→∞ ( 1 + 1 rn )rn = e. (11.14) Damit ist (11.12) für den Fall 0 < an < 1 bewiesen. Fall 2: Es sei −1 < an < 0 für alle n ∈ N0. Man setzt nun rn := − 1an für alle n ∈ N0 und führt diesen Fall auf den Fall 1 zurück. Man erhält (1+an)1/an = ( 1 − 1 rn )−rn = ( rn − 1 rn )−rn = ( rn rn − 1 )rn = ( 1+ 1 rn − 1 )rn = ( 1+ 1 rn − 1 )rn−1( 1+ 1 rn − 1 ) . 293 Kapitel 11 Folgen Mit (11.14) folgt daraus lim n→∞ (1 + an) 1/an = e. Fall 3: Es sei nun (an)n∈N0 eine beliebige Nullfolge mit 0 <|an| < 1. Auch in diesem Fall gilt (11.12). Denn bilden die positiven Folgenglieder von (an)n∈N0 eine Teilfolge ( ank ) k∈N0 , dann konvergiert ( 1 + ank )1/ank für k → ∞ gemäß Fall 1 gegen e. Nach dem Fall 2 gilt dasselbe für die negativen Folgenglieder von (an)n∈N0 . 2. Schritt: Für x = 0 gilt (11.11) offensichtlich. Es kann daher x = 0 angenommen werden. Dann gilt 0 < ∣∣ x n ∣ ∣ < 1 für alle n ≥ n0 und ein hinreichend großes n0 ∈ N0. Weiter sei an := xn für alle n ≥ n0. Dann ist (an)n≥n0 eine Nullfolge mit 0 < |an| < 1 für alle n ≥ n0 und mit dem Ergebnis aus dem 1. Schritt folgt, dass (11.12) für (an)n≥n0 gilt. Man erhält daher schließlich mit (11.12) und Satz 11.39f) lim n→∞ ( 1 + x n )n = lim n→∞(1 + an) x/an = lim n→∞ ( (1 + an)1/an )x = ex . (11.15) Die soeben bewiesene Identität ex = lim n→∞ ( 1 + x n )n ist die Grundlage für die Definition der Exponentialfunktion exp(x) (siehe Definition 14.30 in Abschnitt 14.5). Darüber hinaus existieren noch weitere Darstellungen von ex (siehe Beispiel 17.10a) in Abschnitt 17.3). Die beiden folgenden Beispiele verdeutlichen, wie die Eulersche Zahl e auf natürliche Weise bei der Betrachtung finanzwirtschaftlicher und wahrscheinlichkeitstheoretischer Fragestellungen auftaucht: Beispiel 11.46 (Stetige Zinseszinsrechnung) In Beispiel 11.7 wurde gezeigt, dass bei einem Startkapital K0 und einer jährlichen Verzinsung zum Jahresende mit dem Zinssatz p > 0 nach n ∈ N0 Jahren das Kapital inklusive Zinseszinsen Kn = K0 (1 + p)n beträgt (vgl. (11.6)). Es wird nun der Fall betrachtet, dass die Zinszahlungen nicht erst zum Jahresende erfolgen, sondern bereits unterjährig. Dazu wird jedes Jahr in m gleichlange Zeitintervalle unterteilt und die Zinszahlungen erfolgen bereits innerhalb der einzelnen Jahre am Ende dieser Zeitintervalle. Das heißt, die Zinszahlungen erfolgen zu den n ·m Zeitpunkten { j + l m : j = 0, . . . , n− 1 und l = 1, . . . , m } und der (anteilige) Zinssatz für die korrespondierenden Zeitintervalle ( j + l − 1 m , j + l m ] für j = 0, . . . , n − 1 und l = 1, . . . , m beträgt p m . Das Kapital zum Zeitpunkt n ist dann gegeben durch Kn(m) = K0 ( 1 + p m )nm . Für k := m p folgt m = kp und Kn(m) = K0 [( 1 + 1 k )kp]n = K0 [( 1 + 1 k )k]np . Wächst nun die Anzahl m der unterjährigen Verzinsungen über alle Grenzen, dann konvergiert die Länge des Zeitraumes zwischen zwei hintereinander folgenden Zinszahlungen, d. h. 1 m , gegen 0. Das heißt, es resultiert eine stetige Verzinsung des Startkapitals K0 und der Zinsen. Da aus m → ∞ auch k → ∞ folgt, erhält man mit den Rechenregeln für Grenzwerte konvergenter Folgen (vgl. Satz 11.38) und Satz 11.43, dass das Kapital zum Zeitpunkt n bei stetiger Verzinsung gegeben ist durch Kn = lim m→∞Kn(m) = K0 [ lim m→∞ ( 1 + 1 k )k]np = K0 [ lim k→∞ ( 1 + 1 k )k]np = K0enp. Gilt z. B. konkret K0 = 1000€, n = 20 und p = 5%. Dann erhält man für Kn bei diskreter (jährlicher) Verzinsung 2653,30€ bei stetiger Verzinsung 2718,28€ 294 Kapitel 1111.8 Rechenregeln für konvergente Folgen 0 4 8 12 16 20 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 20 40 60 80 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Abb. 11.13: Entwicklung des Kapitalbetrages Kn mit K0 = 1000€ und p = 5% bei diskreter und stetiger Verzinsung (links), und die Wahrscheinlichkeit für keine Rosine im Muffin in Abhängigkeit von der Anzahl n (rechts) (vgl. Abbildung 11.13, links). Umgekehrt gilt: Ist Kn das Kapital zum Zeitpunkt n, dann ist der zugehörige Barwert (Gegenwartswert, Kapitalwert) K0 zum Zeitpunkt 0 gegeben durch: K0 = Kn (1 + p)−n bei diskreter (jährlicher) Verzinsung K0 = Kne−np bei stetiger Verzinsung Gilt z. B. konkret Kn = 1000€, n = 20 und p = 5%. Dann erhält man für K0: bei diskreter (jährlicher) Verzinsung 376,89€ bei stetiger Verzinsung 367,88€ Beispiel 11.47 (37%-Regel) Der Muffin-Hersteller Moonbucks gibt bei der Produktion seiner Muffins für jeden Muffin eine Rosine in den Teig und mischt den Teig anschließend gut durch. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Produktion von n Muffins ein bestimmter Muffin keine der n Rosinen enthält, beträgt dann (n− 1)n nn = ( n− 1 n )n (siehe hierzu (5.17) und Satz 5.22 in Abschnitt 5.4). Bei der Produktion einer sehr großen Anzahl von Muffins erhält man somit die Wahrscheinlichkeit lim n→∞ ( n− 1 n )n = lim n→∞ ( 1 − 1 n )n = e−1 (vgl. Satz 11.45). Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmter Muffin keine Rosine enthält, beträgt 1 e . Mit anderen Worten: Statistisch betrachtet enthält jeder e-te Muffin keine Rosine. Wegen 1 e ≈ 0,37 ist dieses Ergebnis in der Statistik auch als 37%-Regel bekannt (vgl. Abbildung 11.13, rechts). 295

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References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.