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Michael Merz, Mario V. Wüthrich

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, page 1 - 14

Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen

1. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4482-7, ISBN online: 978-3-8006-4483-4, https://doi.org/10.15358/9783800644834_1

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Zum Inhalt:    Mathematische Grundlagen  Lineare Algebra  Matrizentheorie  Folgen und Reihen  Reellwertige Funktionen  in  einer und mehreren Vari‐ ablen  Differential‐ und Integralrechnung  Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen  Numerische Verfahren    Die  Mathematikausbildung  spielt  eine  zentrale  Rolle  im  wirtschaftswissenschaftlichen Studium, da sie die metho‐ dischen  Grundlagen  für  zahlreiche  Vorlesungen  liefert.  Wo Optimierungsprobleme auftreten,  ist die Mathematik  gefordert, und Wirtschaften heißt letztlich, Optimierungs‐ probleme zu lösen.  So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist,  so schwer  tun sich die Studierenden mit mathematischen  Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Stu‐ dierenden  bei  ihrem  aktuellen  Wissensstand  abzuholen  und  vorsichtig  an  den  Stoff  heranzuführen. Diesem Ziel  verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen inte‐ ressanten Bei spielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdo‐ ten  und  einem  modernen  mehrfarbigen  Design  in  die  zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches  Wirtschaftsstudium  ein,  ohne  dabei  auf  mathematische  Klarheit  sowie die notwendige  Formalität und  Stringenz  zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein  wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirt‐ schaftswissenschaftlicher Problemstellungen.      Zu den Autoren:    Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Ma‐ thematik  und  Statistik  in  den  Wirtschaftswissenschaften  an der Universität Hamburg.  Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Depart‐ ment für Mathematik der ETH Zürich.  Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen von Prof. Dr. Michael Merz und Prof. Dr. Mario V. Wüthrich Verlag Franz Vahlen München Für unsere Eltern, Anja, Alessia und Luisa Vorwort Vorwort Vorwort Zielsetzung Das Werk Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Die Essentials ist eine ausführliche, anschauliche, anwendungsorientierte und dennoch präzise Darstellung der mathematischen Grundlagen für ein erfolgreiches wirtschaftswissenschaftliches Bachelor- und Masterstudium. Es versteht sich als Lehrbuch, welches angehende Wirtschaftswissenschaftler im Studium und darüber hinaus auch in ihrem späteren Berufsleben begleitet. Insbesondere soll es den Studierenden einen Weg in die Gedankenwelt der Mathematik aufzeigen, welcher sie dazu befähigt, auftretende ökonomische Probleme mathematisch erfassen, analysieren und nach Möglichkeit auch lösen zu können. Vermittlung mathematischer Grundlagen Die Mathematik besitzt nicht nur für die Natur- und Ingenieurwissenschaften, sondern auch für die Wirtschaftswissenschaften eine große Bedeutung. Viele betriebs- und volkswirtschaftliche Problemstellungen werden in zunehmendem Maße im Rahmen mathematischer und statistischer Modelle und Konzepte untersucht. Ein großer Teil der modernen Wirtschaftswissenschaften basiert daher auf der soliden Beherrschung mathematischer Methoden und Denkweisen. Für die ökonomische Theorie und weite Bereiche der angewandten Wirtschaftswissenschaften, wie z.B. Finanzwirtschaft, Spieltheorie, Marketing, Haushaltstheorie, Risikomanagement, Controlling, Arbeitsmarkttheorie oder Produktionsplanung, wird neben der linearen Algebra und der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren Variablen auch ein grundlegendes Verständnis multivariater Optimierungsprobleme mit oder ohne Nebenbedingungen benötigt. Aus diesem Grund ist die mathematische Grundlagenausbildung in den Lehrplänen wirtschaftswissenschaftlicher Studiengänge an Universitäten und Fachhochschulen fest verankert. Das vorliegende Lehrbuch trägt dieser Situation in jeder Hinsicht Rechnung und deckt mit seinen 29 Kapiteln die in wirtschaftswissenschaftlichen Bachelor- und Masterstudiengängen benötigten mathematischen Grundlagen ab. Darüber hinaus haben wir eine Darstellung gewählt, die es ermöglicht, es auch als verlässliches Nachschlagewerk für Studium und Beruf zu nutzen. Vermittlung des mathematischen Formalismus Während fehlende Kenntnisse bezüglich der mathematischen Notation und Symbolik bei der Anwendung von wirtschaftswissenschaftlichen Theorien und Konzepten häufig nicht so sehr ins Gewicht fallen, erschweren sie oftmals die Aneignung neuen Wissens erheblich. Aus diesem Grund ist es eine weitere wichtige Zielsetzung dieses Lehrbuches, die Studierenden auch beim Erlernen des mathematischen Formalismus zu unterstützen, der für das Verständnis ökonomischer Literatur unerlässlich ist. Besonderheiten Das Lehrbuch Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Die Einführung mit vielen ökonomischen Beispielen hebt sich in mehrerer Hinsicht von vielen anderen Lehrbüchern zur Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler ab. Brücke zwischen Schule und Hochschule Die Erfahrungen in den letzten Jahren zeigen, dass viele Studierende mit unzureichenden mathematischen Grundkenntnissen ein wirtschaftswissenschafliches Studium aufnehmen. Die Gründe hierfür sind vielfältig. Neben den unterschiedlichen Lehrplänen in den einzelnen Bundesländern, den verschiedenen Schwerpunktsetzungen in den Schulen, der oftmals mehrere Jahre zurückliegenden Schulzeit sind hier natürlich vor allem auch die großen Unterschiede in der Leistungsfähigkeit der einzelnen Studierenden als Grund zu nennen. Aber selbst Studierende mit guten Schulnoten im Fach Mathematik haben häufig erhebliche Schwierigkeiten, den hohen mathematischen Anforderungen speziell in den ersten beiden Studienjahren gerecht zu werden. Probleme ergeben sich auch durch den Wechsel der Unterrichtsform sowie durch den im Vergleich zum Schulunterricht größeren Schwierigkeitsgrad, das deutlich erhöhte Tempo und den stärkeren Formalismus. Das vorliegende Lehrbuch trägt dieser Tatsache durch seinen ersten Teil Mathematische Grundlagen Rechnung, in dem wichtige Grundlagen und Themengebiete aus der Schulmathematik, wie z.B. Aussagenlogik, mathematische Beweisführung, Mengenlehre, Zahlenbereiche, Gleichungen, Ungleichungen, Trigonometrie, Kombinatorik, Relationen und VIII Vorwort Abbildungen, in einem an das Hochschulniveau angepassten Formalismus wiederholt werden. Auf diese Weise wird eine tragfähige Verbindung („Brücke“) zwischen Schule und Hochschule geschaffen, und auch Studierende mit zu Beginn ihres Studiums eher geringen mathematischen Vorkenntnissen erhalten die Chance, die darauf aufbauende mathematische Grundausbildung mit Erfolg zu absolvieren. Alles so einfach wie möglich, aber nicht einfacher Bekanntlich fällt vielen Studierenden in wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen das Fach Mathematik nicht leicht. Dies hat zur Folge, dass in vielen Lehrbüchern die mathematischen Aussagen und Methoden zwar didaktisch gut aufbereitet werden, aber die Voraussetzungen, unter denen die Aussagen gelten bzw. unter denen die Methoden zur Anwendung kommen können, zu Gunsten einer stark vereinfachten Darstellung nicht genau präzisiert werden. In der ökonomischen Theorie und in der wirtschaftswissenschaftlichen Praxis zeigt sich jedoch immer wieder, dass zur Vermeidung von Fehlentscheidungen die genaue Kenntnis der benötigten Voraussetzungen mindestens genauso wichtig ist wie das Verständnis der herangezogenen mathematischen Aussagen und Methoden. Aus diesem Grund haben wir uns in dem vorliegenden Lehrbuch ganz bewusst dafür entschieden, bei der Formulierung von mathematischen Sätzen und Methoden stets präzise anzugeben, welche Voraussetzungen ihnen zugrunde liegen. Aufgrund unserer Lehrerfahrung sind wir auch der Überzeugung, dass eine ausschließlich intuitive Rechtfertigung von mathematischen Aussagen und ihre Veranschaulichung anhand von Beispielen nicht immer ausreichend und es für Studierende auf Dauer nicht sehr befriedigend ist, wenn sie nur Sachverhalte und Rezepte vermittelt bekommen. Daher sollte auch in mathematischen Lehrveranstaltungen für Wirtschaftswissenschaftler der eine oder andere Beweis geführt werden. Neben einem Mehr an Verständnis und Erfüllung führt dies bei den Studierenden auch zu einem gewissen Gespür für die inneren Zusammenhänge mathematischer Resultate und Methoden. Darüber hinaus können Beweise auch als willkommene Wiederholung und Lernkontrolle für bereits Gelerntes aufgefasst werden, in denen aus bekannten mathematischen Resultaten und neuen Definitionen weitere mathematische Aussagen abgeleitet werden. Wir haben daher versucht, für die einfacheren mathematischen Resultate möglichst gut nachvollziehbare Beweise und für die komplizierteren Aussagen zumindest geeignete Literaturhinweise anzugeben. Um jedoch den ergänzenden Charakter von Beweisen auszudrücken und auch um die Aufmerksamkeit der Studierenden nicht allzu stark zu beanspruchen, sind Beweise durch ein kleineres Schriftbild optisch vom Rest des Buches abgetrennt. Ansprechende Gestaltung und klare Strukturierung Zusammen mit dem Verlag Vahlen haben wir versucht, das Buch optisch und inhaltlich so zu gestalten, dass man gerne damit arbeitet. Neben einem ansprechenden Layout und vielen mehrfarbigen Abbildungen und Skizzen, dienen hierzu auch die verschiedenfarbigen Boxen für Definitionen (grün), mathematische Sätze (rot) und Beispiele (blau). Auf diese Weise lassen sich die klassischen Strukturelemente eines mathematischen Lehrbuches auf einen Blick unterscheiden, und sie werden vom restlichen Buchtext mit den Motivationen und Erläuterungen hervorgehoben. Zusammen mit der Kennzeichnung des Beweises eines mathematischen Satzes durch das Symbol fördert dies die Übersichtlichkeit und unterstreicht die klare Strukturierung des Lehrstoffes in Definition, Satz, Beweis und Beispiel. Ausführliche Motivation und viele (ökonomische) Beispiele Bei der Einführung neuer Konzepte und Methoden wird stets zuerst die zugrunde liegende mathematische Problemstellung erläutert und – sofern angebracht – der Zusammenhang zu ökonomischen Fragestellungen hergestellt. Neben einer Vielzahl von reinen Rechenbeispielen, die vor allem zur Verdeutlichung der mathematischen Definitionen und Resultate sowie zur Erlangung gewisser Rechenfertigkeiten dienen, sind in diesem Lehrbuch auch viele interessante ökonomische Anwendungen zu finden, welche die hohe Praxisrelevanz der behandelten Themen belegen. Zum Beispiel sind in diesem Buch wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen aus den Bereichen Tauschwirtschaft, Portfoliomanagement, Hedging, Input-Output-Analyse, Produktionsrechnung, Markentreue, Wirtschaftsentwicklung, Rating von Unternehmen, Einkommensteuer, Entscheidungstheorie, Abschreibung, Statistik, komparativ-statische Analyse, Finanzmathematik, Risikomanagement, Haushaltstheorie, Lagerhaltung, Optimierung von Transport-, Verschnitt- und Mischproblemen usw. zu finden. IX Vorwort Mathematik ist spannend und macht Spaß Vor der Mathematik braucht man keine Angst zu haben! Die Mathematik ist auch keine graue Theorie, deren Erlernen ausschließlich langweilig und mühsam ist. Sie ist vielmehr eine lebendige Wissenschaft und die Beschäftigung mit ihr kann durchaus spannend und überraschend sein sowie eine Menge Spaß machen. Zum Beleg dieser – für manche vielleicht etwas gewagten – Behauptung sind neben einer Vielzahl von ökonomischen Beispielen auch viele historische Anmerkungen, kurze Anekdoten und überraschende Ergebnisse in diesem Buch zu finden. Hierzu zählen unter anderem das Beispiel von den drei Freunden im Gefängnis, das Beispiel von Anna und Bernd, das Barbier-Paradoxon, Hilberts Hotel, das Geburtstagsparadoxon, der Satz vom Fußball, der $25.000.000.000 Eigenvektor von Google, die 37%- Regel und das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte. Darüber hinaus wird der aufmerksame Leser zum Beispiel auch auf den kürzesten Witz der Welt, die schönste Formel, die berühmteste Gleichung sowie auf eine Auswahl der bedeutendsten mathematischen Sätze stoßen. Unterstützung von Dozenten Aus unserer langjährigen Erfahrung als Hochschullehrer wissen wir, wie dankbar Studierende speziell in Mathematik- Vorlesungen Abbildungen und Bilder aufnehmen. Daher stellen wir Dozenten gerne alle Abbildungen und Bilder unseres Buches zur Verfügung. Darüber hinaus unterstützen wir den Einsatz dieses Buches in der Lehre mit einem mittels LATEX erzeugten PDF-Foliensatz. Für die Zusendung dieser Lehrmaterialien genügt eine kurze E-Mail an michael.merz@wiso.uni-hamburg.de unter Nennung der geplanten Vorlesung sowie der Lehreinrichtung. Zusammen mit dem Verlag Vahlen haben wir in den letzten drei Jahren viel Zeit und Energie aufgewendet, um ein Lehrbuch zu erstellen, dass die Lehre bestmöglich unterstützt. Wir würden uns daher sehr freuen, wenn Sie unser Lehrbuch in Ihren Lehrveranstaltungen einsetzen und Ihren Studierenden empfehlen. Behandelte Themen Dieses Lehrbuch bietet eine umfassende Darstellung des Faches Mathematik, wie es in den ersten beiden Semestern an Hochschulen in wirtschaftswissenschaftlichen Studiengängen unterrichtet wird. Es ist dabei in zehn Teile untergliedert. Neben dem „Standardstoff“ der mathematischen Grundausbildung werden auch eine Reihe von Themen behandelt, welche den Studierenden häufig erst in höheren Semestern oder in der beruflichen Praxis begegnen. Hierzu zählen zum Beispiel die Themengebiete komplexe Zahlen, Mächtigkeit von Mengen, orthogonale Projektionen, Eigenwerttheorie, Quadratische Formen, Landau-Symbole, Fixpunktsätze, Potenzreihen, Riemann-Stieltjes-Integral, Taylor-Formel in einer oder mehreren Variablen, mehrfache Riemann-Integrale, Parameterintegrale, Einhüllendensätze, Optimierung unter Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen, lineare Optimierung, numerische Lösung von Gleichungen, Polynominterpolation, Spline-Interpolation und numerische Integration. Dieses Buch ist daher auch nach der mathematischen Grundausbildung ein verlässlicher Begleiter in Studium und Beruf. Danksagungen Unseren herzlichen Dank möchten wir allen Kollegen, Mitarbeitern und Studierenden aussprechen, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Lehrbuches beigetragen haben. An erster Stelle sind hier unsere Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter, Frau Dipl.-Kffr. Nataliya Chukhrova, Frau Dipl.- Übers. Angelika Ruiz, Frau Dipl.-Math. Anne Thomas, Herr Dipl.-Math. Sebastian Happ, Herr Dipl.-Kfm. Jochen Heberle und Herr Dipl.-Vw. Arne Johannssen zu nennen. Sie alle haben das Korrekturlesen unseres Manuskriptes stets mit viel Freude und Engagement übernommen. Zu großem Dank sind wir aber auch einer Reihe von motivierten Studierenden verpflichtet, die das Manuskript sehr genau gelesen und dabei eine Vielzahl von Verbesserungen und didaktischen Hinweisen in den Entstehungsprozess eingebracht haben. Beteiligt waren hierbei Frau Eva Elena Ernst, Frau Elisabeth Hufnagel, Frau Laura Prill, Herr Manuel Ernst, Herr Chris Huber, Herr Nicolas Iderhoff und Herr Sören Pannier. Unser besonderer Dank gilt auch Herrn Philipp Rohde, der neben seiner Tätigkeit als Korrekturleser die Erstellung eines guten Dutzend aufwendiger LATEX-Grafiken übernommen hat, und Herrn Aidin Miri Lavasani, der für sein sorgfältiges Korrekturlesen selbst nach langem Zureden partout keine Entlohung für seine Arbeit entgegennehmen wollte. Nicht zu vergessen ist auch Herr Torsten Frese, der durch seine große Hilfsbereitschaft sowie viele kleinere und größere Freundschaftsdienste zum Gelingen dieses Buches beigetragen hat. X Vorwort Schließlich gilt unser Dank Herrn Dennis Brunotte, der mit seiner beeindruckenden Sachkenntnis als Lektor dieses Buchprojekt während der kompletten Entstehungsphase begleitet hat sowie Dr. Jonathan Beck vom Verlag Vahlen für die Bereitschaft, ein mehrfarbiges Mathematikbuch zu verlegen. Eine Bitte der Autoren Für Hinweise und Anregungen – insbesondere aus dem Kreis der Studierenden – sind wir stets sehr dankbar. Sie sind eine wichtige Voraussetzung und wichtige Hilfe für die permanente Verbesserung dieses Lehrbuches. Wir wünschen Ihnen nun in Ihrem Studium mit diesem Buch viel Freude und Erfolg! Hamburg und Zürich, im Herbst 2012 Michael Merz, Mario V. Wüthrich XI Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Teil I Mathematische Grundlagen 1 1. Aussagenlogik und mathematische Beweisführung 3 1.1 Was ist Mathematik? . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Axiom, Definition und mathematischer Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Aussageformen und Quantoren . . . . . . . . 16 1.5 Vermutung, Satz, Lemma, Folgerung und Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Mathematische Beweisführung . . . . . . . . 21 1.7 Vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . 25 2. Mengenlehre 31 2.1 Mengen und Elemente . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Rechnen mit Mengenoperationen . . . . . . 37 2.4 Mengenoperationen für beliebig viele Mengen und Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Partitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Zahlenbereiche und Rechengesetze 43 3.1 Aufbau des Zahlensystems . . . . . . . . . . . 44 3.2 Zahlenbereiche N und N0 . . . . . . . . . . . 44 3.3 Zahlenbereiche R, R+ und R . . . . . . . . . 45 3.4 Zahlenbereiche Z, Q und I . . . . . . . . . . . 49 3.5 Dezimal- und Dualsystem . . . . . . . . . . . 51 3.6 Zahlenbereich C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.7 Mächtigkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . 63 4. Terme, Gleichungen und Ungleichungen 69 4.1 Konstanten, Parameter, Variablen und Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3 Algebraische Gleichungen . . . . . . . . . . . 73 4.4 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . 76 4.5 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.6 Indizierung, Summen und Produkte . . . . . 83 5. Trigonometrie und Kombinatorik 87 5.1 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6. Kartesische Produkte, Relationen und Abbildungen 105 6.1 Kartesische Produkte . . . . . . . . . . . . . . 106 6.2 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.3 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . 112 6.4 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.5 Präferenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.6 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.7 Injektivität, Surjektivität und Bijektivität . 123 6.8 Komposition von Abbildungen . . . . . . . . 124 6.9 Umkehrabbildungen . . . . . . . . . . . . . . . 127 Teil II Lineare Algebra 133 7. Euklidischer Raum Rn und Vektoren 135 7.1 Ursprung der linearen Algebra . . . . . . . . 136 7.2 Lineare Algebra in den Wirtschaftswissenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.3 Euklidischer Raum Rn . . . . . . . . . . . . . 137 7.4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . 141 7.5 Euklidisches Skalarprodukt und euklidische Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.6 Orthogonalität und Winkel . . . . . . . . . . . 146 7.7 Linearkombinationen und konvexe Mengen 150 7.8 Lineare Unterräume und Erzeugendensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.9 Lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . 155 7.10 Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . 161 7.11 Orthonormalisierungsverfahren von Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.12 Orthogonale Komplemente und orthogonale Projektionen . . . . . . . . . . . . 166 8. Lineare Abbildungen und Matrizen 173 8.1 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . 174 8.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 8.3 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 182 8.4 Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen, Matrizen und linearen Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . 183 XIV Inhaltsverzeichnis 8.5 Matrizenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.6 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.7 Inverse Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.8 Symmetrische und orthogonale Matrizen . 201 8.9 Spur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.10 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 9. Lineare Gleichungssysteme und Gauß-Algorithmus 221 9.1 Eigenschaften linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.2 Elementare Zeilenumformungen und Zeilenstufenform . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.3 Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.4 Matrizengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 230 9.5 Bestimmung der Inversen mittels Gauß- Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.6 Bestimmung des Rangs mittels Gauß- Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 10. Eigenwerttheorie und Quadratische Formen 235 10.1 Eigenwerttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 10.2 Power-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 10.3 Ähnliche Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . 248 10.4 Diagonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . 249 10.5 Trigonalisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10.6 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . 256 10.7 Definitheitseigenschaften . . . . . . . . . . . . 259 Teil III Folgen und Reihen 265 11. Folgen 267 11.1 Folgenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 11.2 Arithmetische und geometrische Folgen . . 272 11.3 Beschränkte und monotone Folgen . . . . . 273 11.4 Konvergente und divergente Folgen . . . . . 277 11.5 Majoranten- und Monotoniekriterium . . . 280 11.6 Häufungspunkte und Teilfolgen . . . . . . . 281 11.7 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 11.8 Rechenregeln für konvergente Folgen . . . 287 12. Reihen 297 12.1 Reihenbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 12.2 Konvergente und divergente Reihen . . . . 299 12.3 Arithmetische und geometrische Reihen . 300 12.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . 305 12.5 Rechenregeln für konvergente Reihen . . . 311 12.6 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . 313 12.7 Kriterien für absolute Konvergenz . . . . . . 315 12.8 Doppelreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 12.9 Produkte von Reihen . . . . . . . . . . . . . . . 321 Teil IV Reelle Funktionen 325 13. Eigenschaften reeller Funktionen 327 13.1 Reelle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 328 13.2 Rechenoperationen für reelle Funktionen . 328 13.3 Beschränktheit und Monotonie . . . . . . . . 330 13.4 Konvexität und Konkavität . . . . . . . . . . . 333 13.5 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 13.6 Symmetrische und periodische Funktionen 341 13.7 Infimum und Supremum . . . . . . . . . . . . 345 13.8 Minimum und Maximum . . . . . . . . . . . . 347 13.9 c-Stellen und Nullstellen . . . . . . . . . . . . 350 13.10 Grenzwerte von reellen Funktionen . . . . . 351 13.11 Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 13.12 Asymptoten und Näherungskurven . . . . . 366 14. Spezielle reelle Funktionen 369 14.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 14.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 376 14.3 Algebraische und transzendente Funktionen 386 14.4 Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 14.5 Exponential- und Logarithmusfunktion . . 390 14.6 Allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 14.7 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . 398 15. Stetige Funktionen 407 15.1 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 15.2 Einseitige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 412 15.3 Unstetigkeitsstellen und ihre Klassifikation 414 15.4 Stetig hebbare Definitionslücken . . . . . . . 416 XV Inhaltsverzeichnis 15.5 Eigenschaften stetiger Funktionen . . . . . . 419 15.6 Stetigkeit spezieller Funktionen . . . . . . . 421 15.7 Satz vom Minimum und Maximum . . . . . 425 15.8 Nullstellensatz und Zwischenwertsatz . . . 427 15.9 Fixpunktsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 15.10 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . 433 Teil V Differentialrechnung und Optimierung in R 437 16. Differenzierbare Funktionen 439 16.1 Tangentenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . 440 16.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 441 16.3 Weierstraßsche Zerlegungsformel . . . . . . 445 16.4 Eigenschaften differenzierbarer Funktionen 446 16.5 Differenzierbarkeit elementarer Funktionen 452 16.6 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . 458 16.7 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . 462 16.8 Regeln von L’Hôspital . . . . . . . . . . . . . . 472 16.9 Änderungsraten und Elastizitäten . . . . . . 479 17. Taylor-Formel und Potenzreihen 487 17.1 Taylor-Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 17.2 Taylor-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 17.3 Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 17.4 Potenzreihen und Konvergenzradius . . . . 500 17.5 Quotienten- und Wurzelkriterium für Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503 17.6 Rechenregeln für Potenzreihen . . . . . . . . 505 17.7 Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 18. Optimierung und Kurvendiskussion in R 511 18.1 Optimierung und ökonomisches Prinzip . . 512 18.2 Notwendige Bedingung für Extrema . . . . 512 18.3 Hinreichende Bedingungen für Extrema . . 515 18.4 Notwendige Bedingung für Wendepunkte 522 18.5 Hinreichende Bedingungen für Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 18.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 Teil VI Integralrechnung in R 533 19. Riemann-Integral 535 19.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 19.2 Riemann-Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . 536 19.3 Eigenschaften von Riemann-Integralen . . 547 19.4 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 19.5 Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . 552 19.6 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 19.7 Berechnung von Riemann-Integralen . . . . 560 19.8 Integration spezieller Funktionsklassen . . 572 19.9 Flächeninhalt zwischen zwei Graphen . . . 577 19.10 Uneigentliches Riemann-Integral . . . . . . 578 19.11 Integration von Potenzreihen . . . . . . . . . 595 20. Riemann-Stieltjes-Integral 597 20.1 Riemann-Stieltjes-Integrierbarkeit . . . . . . 598 20.2 Eigenschaften von Riemann-Stieltjes- Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 20.3 Reelle Funktionen von beschränkter Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 20.4 Existenzresultate für Riemann-Stieltjes- Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 20.5 Berechnung von Riemann-Stieltjes- Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 Teil VII Differential- und Integralrechnung im Rn 617 21. Folgen, Reihen und reellwertige Funktionen im Rn 619 21.1 Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . 620 21.2 Topologische Grundbegriffe . . . . . . . . . . 625 21.3 Reellwertige Funktionen in n Variablen . . 629 21.4 Spezielle reellwertige Funktionen in n Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 21.5 Eigenschaften von reellwertigen Funktionen in n Variablen . . . . . . . . . . . 639 21.6 Grenzwerte von reellwertigen Funktionen in n Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 21.7 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 644 XVI Inhaltsverzeichnis 22. Differentialrechnung im Rn 651 22.1 Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . 652 22.2 Höhere partielle Ableitungen . . . . . . . . . 660 22.3 Totale Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . 664 22.4 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . 673 22.5 Partielle Änderungsraten und partielle Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 22.6 Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 679 22.7 Taylor-Formel und Mittelwertsatz . . . . . . 684 23. Riemann-Integral im Rn 691 23.1 Riemann-Integrierbarkeit im Rn . . . . . . . 692 23.2 Eigenschaften von mehrfachen Riemann- Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 23.3 Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 23.4 Mehrfache Riemann-Integrale über Normalbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701 23.5 Parameterintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . 702 Teil VIII Optimierung im Rn 705 24. Nichtlineare Optimierung im Rn 707 24.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 24.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen . . . 708 24.3 Optimierung unter Gleichheitsnebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 24.4 Wertfunktionen und Einhüllendensatz . . . 740 24.5 Optimierung unter Ungleichheitsnebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745 24.6 Optimierung unter Gleichheits- und Ungleichheitsnebenbedingungen . . . . . . . 753 25. Lineare Optimierung 759 25.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 25.2 Graphische Lösung linearer Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762 25.3 Standardform eines linearen Optimierungsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764 25.4 Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 771 25.5 Sonderfälle bei der Anwendung des Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . 779 25.6 Phase I und Phase II des Simplex- Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 25.7 Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 25.8 Dualer Simplex-Algorithmus . . . . . . . . . 792 Teil IX Numerische Verfahren 795 26. Intervallhalbierungs-, Regula-falsi- und Newton-Verfahren 797 26.1 Numerische Lösung von Gleichungen . . . 798 26.2 Intervallhalbierungsverfahren . . . . . . . . . 799 26.3 Regula-falsi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . 801 26.4 Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 804 26.5 Sekantenverfahren und vereinfachtes Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 808 27. Polynominterpolation 813 27.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 27.2 Lagrangesches Interpolationspolynom . . . 816 27.3 Newtonsches Interpolationspolynom . . . . 817 27.4 Interpolationsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . 821 27.5 Tschebyscheff-Stützstellen . . . . . . . . . . . 822 28. Spline-Interpolation 825 28.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826 28.2 Lineare Splinefunktion . . . . . . . . . . . . . 828 28.3 Quadratische Splinefunktion . . . . . . . . . 829 28.4 Kubische Splinefunktion . . . . . . . . . . . . 831 29. Numerische Integration 839 29.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 29.2 Rechteckformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 29.3 Tangentenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 29.4 Newton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . . . . 844 29.5 Zusammengesetzte Newton-Cotes-Formeln 849 Teil X Anhang 853 A. Mathematische Symbole 855 B. Griechisches Alphabet 861 C. Namensverzeichnis 863 D. Literaturverzeichnis 867 Sachverzeichnis 871 XVII

Chapter Preview

References

Zusammenfassung

"uneingeschränkt zu empfehlen, [...] insbesondere als Einstiegslektüre im Bachelor-Studium". In: Studium, 2013.

So zentral die Rolle der Mathematik in der Ökonomie ist, so schwer tun sich die Studierenden mit mathematischen Methoden und Konzepten. Umso wichtiger ist es, die Studierenden bei ihrem aktuellen Wissensstand abzuholen und vorsichtig an den Stoff heranzuführen. Diesem Ziel verschreibt sich dieses Lehrbuch. Es führt mit vielen interessanten Beispielen aus der Ökonomie, kurzen Anekdoten und einem modernen mehrfarbigen Design in die zentralen mathematischen Methoden für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium ein, ohne dabei auf mathematische Klarheit sowie die notwendige Formalität und Stringenz zu verzichten. Auch nach dem Studium ist dieses Buch ein wertvoller Begleiter bei der mathematischen Lösung wirtschaftswissenschaftlicher Problemstellungen.

Aus dem Inhalt:

* Mathematische Grundlagen

* Lineare Algebra

* Matrizentheorie

* Folgen und Reihen

* Reellwertige Funktionen in einer und mehreren Variablen

* Differential- und Integralrechnung

* Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen

* Numerische Verfahren

Dozenten finden auf der Website zum Buch unter www.vahlen.de zusätzliche Materialien zum Download.

"Indem Sie den Lehrstoff schrittweise aufbereiten und den Leser bei seinem aktuellen Wissenstand abholen, gelingt es ihnen [den Autoren], auch komplexe Zusammenhänge leicht nachvollziehbar zu vermitteln. Geschickt bauen sie immer wieder kurze Anekdoten, historische Ereignisse und überraschende Erkenntnisse in den Text ein". In: Studium, 2013.

Prof. Dr. Michael Merz ist Inhaber des Lehrstuhls für Mathematik und Statistik in den Wirtschaftswissenschaften an der Universität Hamburg. Prof. Dr. Mario V. Wüthrich forscht und lehrt am Department für Mathematik der ETH Zürich.