4. Bewertung II: Große Vorhaben in:

Horst Hanusch

Nutzen-Kosten-Analyse, page 36 - 68

3. Edition 2011, ISBN print: 978-3-8006-3412-5, ISBN online: 978-3-8006-4475-9, https://doi.org/10.15358/9783800644759_36

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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4. Bewertung II: Große Vorhaben 4.1 Grundannahmen Die Verfahren des kardinalen und des ordinalen Bewertungsansatzes wollen wir in diesem Kapitel im Kontext eines allgemeinen Marktgleichgewichts entwickeln. Dieses ist an rigide Prämissen geknüpft. Solche betreffen sowohl die Eigenschaften der betrachteten Güter- und Faktormärkte als auch die sonstigen konstituierenden Merkmale einer Volkswirtschaft. Folgende Voraussetzungen müssen im Einzelnen erfüllt sein: Die privaten Haushalte verfolgen das Ziel der Nutzenmaximierung, die Unternehmen streben nach maximalem Gewinn. Alle Güter- und Faktormärkte sind durch Preisflexibilität und vollkommene Konkurrenz bei den Anbietern und Nachfragern gekennzeichnet, das heißt die Marktteilnehmer verhalten sich als Mengenanpasser und es herrscht freier Marktzugang. AlleMärkte in der betrachteten Volkswirtschaft befinden sich imGleichgewicht. Dies bedeutet, dass auf allenMärkten die angebotenenMengen den nachgefragten entsprechen. Auf den Gütermärkten herrscht somitMarkträumung, auf dem Arbeitsmarkt Vollbeschäftigung. In der Volkswirtschaft existieren keine Produktionsprozesse, die steigende Skalenerträge aufweisen. Die Preise, die sich auf den Güter- und Faktormärkten durch das Zusammenspiel von Angebot und Nachfrage ergeben, sind weder durch Steuern auf das Einkommen, den Gewinn, den Umsatz oder ähnliche Bemessungsgrundlagen noch durch Subventionen oder andere administrative Regulierungen verzerrt. Der Staat soll seine Vorhaben vielmehr durch Gebühren als einer Form der Preise oder durch ein System von Kopfsteuern finanzieren, die in der Steuerlehre als wirkungsneutrale Zwangsabgaben gelten. Es wird zudem von der Existenz externer Effekte und öffentlicher Güter abgesehen. Außenwirtschaftliche Einflüsse haben ebenfalls keine Auswirkungen auf die inländischen Märkte. Wir betrachten also im Wesentlichen eine geschlossene Volkswirtschaft. In der Realität freilich sind die meisten dieser Annahmen nicht aufrechtzuerhalten. Wir werden sie daher später zumindest teilweise wieder aufheben. In diesem Kapitel wollen wir weiterhin unterstellen, dass ein Projekt der öffentlichen Hand Preisänderungen zur Folge hat. Diese können sowohl das betrachtete staatliche Angebot selbst als auch Produkte auf anderen Märkten der Volkswirtschaft betreffen. Wir analysieren also im Folgenden die Wohlfahrtswirkungen, die von großen Projekten des öffentlichen Sektors ausgehen. 4. Bewertung II: Große Vorhaben 23 Für den Beginn der Analyse bietet es sich an, von einer Situation auszugehen; in der die Konsummöglichkeiten der Haushalte durch gegebene Preise und durch ein vorgegebenes Geldeinkommen gekennzeichnet sind. Wird in dieser Ausgangslage ein großes öffentliches Projekt realisiert, so wird dies die Güterpreise auf einigenMärkten und eventuell auch die Einkommen der betroffenenHaushalte verändern. Diese passen sich in ihren Konsumentscheidungen den neuen Güterpreisen und den neuen Einkommen an: Sie realisieren neue Konsummengen. Diese individuellen Änderungen im Verbrauch gilt es zu bewerten. 4.2 Konsumentenrente und Zahlungsbereitschaft Der kardinale Bewertungsansatz sieht vor, alle individuellen Nutzenänderungen zu quantifizieren, die von projektbedingten Preis- undMengenbewegungen ausgehen. Er stützt sich dabei auf zwei Verfahrenskonzepte, das der Konsumentenrente und das der Zahlungsbereitschaft. Beide wollen wir zunächst in graphischer und dann in analytischer Form ableiten [Marshall 1920, Hicks 1946]. Graphische Ableitung Im Schaubild 2 ist eine Situation aufgezeichnet, in der es nur zwei Güter und einen Haushalt als Entscheidungseinheit gibt. Die Gerade AB im oberen Teil des Schaubildes sei die Budgetgerade des Haushalts vor der Durchführung eines öffentlichen Projekts. Ihre Steigung ist betragsmäßig durch das Preisverhältnis der beiden Güter bestimmt, während ihre Lage vom Einkommen des Haushalts determiniert wird. Das Nutzenniveau des Haushalts wird durch die Indifferenzkurve u1 zum Ausdruck gebracht. Wählt der Haushalt in dieser Ausgangslage sein nutzenmaximierendes Güterbündel, so wird er von Gut l die Menge 11x nachfragen. Diese Beziehung lässt sich in ein Preis-Mengen-Diagramm übertragen, wie es im mittleren Teil des Schaubildes dargestellt ist. Zum Preis 11p konsumiert der Haushalt Menge 1 1x und verwirklicht den Punkt E. Betrachten wir nun den Fall, dass sich durch ein öffentliches Projekt der Preis des Gutes l von 11p auf 2 1p senkt, während der Preis des Gutes 2 sowie das Einkommen des Haushalts konstant bleiben. Als Folge dieser Preissenkung dreht sich die Budgetgerade um den Punkt A nach rechts oben. Der Haushalt wird in der neuen Situation die Mengen 21x und 2 2x nachfragen, denn sie entsprechen jetzt seinem optimalen Konsumplan. Im Preis-Mengen-Diagramm bedeutet dies, dass der Punkt F die neue Optimalsituation des Haushalts wiedergibt. Weitere Preisvariationen beimGut l liefern immittleren Teil des Schaubildes alle hierzu gehörigen Preis-Mengen-Kombinationen. Die Verbindung dieser Punkte ergibt dann die Nachfragekurve des Haushalts für das betrachtete Gut. Sie stellt den Zusammenhang her zwischen dessen nachgefragterMenge 1x und seinem Preis 1p und wird formal =1 1 1x x (p ) (5) A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse24 geschrieben. Diese Abhängigkeit gilt allerdings nur unter der Voraussetzung, dass das Geldeinkommen des Haushalts und die Preise aller anderen Güter konstant bleiben. Man bezeichnet die obige Beziehung auch als normale oder Marshall‘scheNachfragekurve. Solche Nachfragekurven gibt es für jedenHaushalt und für jedes Gut. Aus der Nachfragekurve 1N für das Gut l können wir entnehmen, dass der betrachtete Konsument zum Preis 11p die Menge 1 1x kauft. Würde der Preis des Gutes nicht 11p , sondern beispielsweise 3 1p Geldeinheiten betragen, dann möchte er davon viel weniger, nämlich nur eine Mengeneinheit nachfragen. Dieser in Geldeinheiten ausgedrückte Betrag entspricht seiner marginalen Zahlungsbereitschaft für die erste Mengeneinheit des von ihm nachgefragten Gutes. Für jede hinzukommendeMengeneinheit erhält man seine entsprechende Zahlungsbereitschaft als Punkt auf der Nachfragekurve. Die Nachfragekurve lässt sich somit auch als Kurve der marginalen Zahlungsbereitschaften eines Individuums interpretieren. Wir können aus unserem Schaubild weiterhin entnehmen, dass der Konsument zum gegebenen Marktpreis 11p keineswegs die 3 1p Geldeinheiten für die erste Mengeneinheit tatsächlich bezahlen muss, sondern eben nur den Marktpreis 1 1p . Entsprechendes gilt auch für die nachfolgenden Mengeneinheiten bis zur Optimalmenge 11x . Die Gesamtheit aller geldmäßigen „Einsparungen“, die der Konsument beim Kauf von 11x Mengeneinheiten verzeichnen kann, wird Konsumentenrente genannt. Immittleren Diagramm ist sie durch die Fläche GE 11p zum Ausdruck gebracht. Betrachtenwir nun die Auswirkungen einer projektinduzierten Preisänderung auf die Konsumentenrente. Vor Durchführung des Projekts ergibt sich eine Konsumentenrente, die durch die Fläche I dargestellt wird. Bewirkt ein Projekt eine Preissenkung von 11p auf 2 1p , so entspricht die Konsumentenrente nunmehr den Flächen I, II und III. Der Zuwachs an Konsumentenrente wird also durch die Flächen II und III im mittleren Teil des Schaubildes ausgedrückt. Wenn wir noch einmal zum oberen Teil des Schaubildes 2 zurückgehen, so sehen wir, dass der Haushalt durch die Preissenkung auf eine höhere Indifferenzkurve gelangt. Er kann also ein höheres Nutzenniveau als zuvor realisieren. Dabei entspricht das ursprüngliche, niedrigere Nutzenniveau 1u der ursprünglichen Konsumentenrente und das höhere Nutzenniveau 2u der neuen Konsumentenrente. Die projektinduzierte Nutzenänderung eines Konsumenten lässt sich demnach durch die Änderung seiner Konsumentenrente messen. Auf eben diese Weise sind Änderungen bei den Konsumentenrenten auch für alle anderen von einem Projekt betroffenenHaushalte und für sämtliche tangierten Gütermärkte zu ermitteln. Im Allgemeinen werden Preisänderungen beim Gut l die Nachfragekurve für das Gut 2 nach rechts oder nach links verschieben. In dem in Schaubild 2 dargestellten Fall führt die Preissenkung für Gut l zu einer geringerenNachfrage nach Gut 2, was sich im unteren Teil als Verschiebung von 2N nach ′2N ausdrückt. Bei der Bewertung von Projektwirkungen mit Hilfe der Konsumentenrente braucht man diesen Gesichtspunkt allerdings nicht zu berücksichtigen. Der Grund hierfür ist, dass eine substitutive oder auch komplementäre Beziehung 4. Bewertung II: Große Vorhaben 25 • • 2x 1xB C A 1 2x 2 2x 1 1x 2 1x 2u 1u Markt 1 • 1x G 3 1p E F 1 1p 2 1p 1p 1 1x 2 1x0 1 1N I II III IV V Markt 1 2p 2x 2 2x 1 2x Markt 2 1 2p 2N ' 2N VI Schaubild 2: Konsumentenrente und Zahlungsbereitschaft A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse26 zwischen den Gütern l und 2 implizit bereits in der Nachfragekurve für das Gut l enthalten ist. Insofern werden Nachfrageänderungen für das Gut 2 schon in der Änderung der Konsumentenrente für das Gut l erfasst. Ein alternatives Maß zur Konsumentenrente erhält man, wenn man auf die Veränderung dermaximalen Zahlungsbereitschaft von Haushalten abstellt. Sie ist definiert als Fläche unter der Nachfragekurve zwischen der Abszisse und der zum jeweiligenMarktpreis nachgefragten Gütermenge. In unserem Beispiel umfasst somit die maximale Zahlungsbereitschaft ohne das öffentliche Projekt die Flächen I, II und IV. Bei dessen Durchführung entspricht die Änderung der maximalen Zahlungsbereitschaft den Flächen III und V, abzüglich der Fläche VI, die die Änderung dermaximalen Zahlungsbereitschaft für Gut 2 angibt und hier im Unterschied zur Konsumentenrente mitberücksichtigt werden muss, da das Maß der Zahlungsbereitschaft bekanntlich auf Mengenänderungen abstellt. Analytische Ableitung Im Folgenden werden wir den kardinalen Nutzenansatz auch formal ableiten [Hotelling 1936, Boadway 1974, Hesse 1980]. Hierzu unterstellen wir wie in Abschnitt 3.2, dass die Nutzenfunktion eines beliebigen Haushalts = 1 nu u(x ,...,x ) (2) lautet, wobei ix für die Menge des Gutes i (i = l, …, n) steht, die der Haushalt konsumiert. Ferner nehmen wir an, dass der Haushalt über ein vorgegebenes Geldeinkommen y verfügt, das er vollständig für Käufe von Konsumgütern verwendet. Werden die Güterpreise mit ip (i = l, …, n) bezeichnet, so folgt als Einkommensrestriktion = =∑ n i i i 1 y p x . (6) Wir unterstellen weiterhin, dass der Haushalt durch die Wahl eines entsprechenden Konsumgüterbündels seinen Nutzen zu maximieren sucht. Formal ist hierzu der Lagrange-Ansatz = 1 nL u(x ,...,x ) + λ = ( $ −& # % " ∑ n i i i 1 y p x zu bilden. Die Maximierung dieser Funktion liefert λ ∂ − = ∂ i i u p 0 x oder (7) λ ∂ = ∂ i i u 1 x p . (7’) Hierin ist λ der Grenznutzen des Einkommens für den Haushalt. Die Bedingungen zweiter Ordnung für ein Nutzenmaximum werden als erfüllt angenommen. 4. Bewertung II: Große Vorhaben 27 Aus den Optimalitätsbedingungen (7) und der Budgetbeschränkung (6) lassen sich die optimalen Verbrauchsmengen eines jeden Gutes entnehmen. Diese hängen von den geltenden Güterpreisen ip und dem individuellen Geldeinkommen y ab, =i i 1 nx x (p ,...,p ,y). (8) Benutzt man anstelle von Einzelpreisen den Preisvektor = 1 np (p ,...,p ) , dann lassen sich die Gleichungen (8) einfacher schreiben als =i ix x (p,y). (8’) Die Gleichungen (8) sind die allgemeinenNachfragefunktionen nach einzelnen Gütern i. Aus ihnen lässt sich ablesen, welcheMenge des Gut von dem betrachteten Haushalt im Nutzenmaximum konsumiert wird. Die normalen oderMarshall‘schenNachfragefunktionen erhält man, wennman in (8) allein den Preis des Gutes i variiert, die Preise aller anderen Güter und das Geldeinkommen aber konstant hält, =i i ix x (p ). (5) Entsprechend lässt sich auch der Grenznutzen des Einkommens für einenHaushalt bestimmen. Verhält jener sich nutzenmaximierend, dann ist der Grenznutzen des Einkommens nach Gleichung (7’) eine Funktion der konsumierten Gütermenge, die wiederum nach Gleichung (8) sowohl von den Preisen aller Güter als auch von dem individuellen Einkommen abhängt. Damit ist auch der Grenznutzen des Einkommens im Optimum eine Funktion der Güterpreise und des Einkommens, λ λ= (p,y). (9) Die im Nutzenmaximum nachgefragten Gütermengen lassen sich nunmehr wieder in die Nutzenfunktion (2) einsetzen. Auf diese Weise erhält man die indirekte Nutzenfunktion = 1 nv(p,y) u[x (p,y),...,x (p,y)]. (10) Sie bringt das maximale Nutzenniveau zumAusdruck, das ein Haushalt erreichen kann, wenn der Preisvektor p gilt und der Haushalt ein Einkommen in Höhe von y besitzt. Die partiellen Ableitungen der indirekten Nutzenfunktion liefern λ ∂ = − ∂ i i v x p und (11) λ ∂ = ∂ v . y (12) Zur Herleitung dieser beiden Gleichungen sei auf die mikroökonomische Literatur verwiesen [z.B. Varian 2004]. Ändern sich nun infolge eines öffentlichen Projekts einige Güterpreise und eventuell auch das Einkommen unseres Haushalts, so wird dieser gemäß der A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse28 Nachfragefunktionen (8) seine Konsumentscheidungen dem geänderten Umfeld anpassen; er wird neue Konsummengen realisieren. Gleichzeitig wird dies, wie uns die indirekte Nutzenfunktion (10) lehrt, mit einer Änderung seines Nutzenniveaus einhergehen. Für diese gilt = ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∑ n i i 1 i v v dv dp dy. p y Berücksichtigt man die Beziehungen (11) und (12), so lässt sich die obige Gleichung umformen zu λ λ = = − +∑ n i i i 1 dv x (p,y)dp dy. (13) Für die Nutzen-Kosten-Analyse bildet diese Gleichung den grundlegenden Ansatzpunkt, um Nutzenänderungen zu messen. Wir betrachten dazu eine diskrete Änderung der Preise und eventuell auch des Einkommens, die durch den Übergang vom ursprünglichen Zustand =1 1 1Q (p ,y ) zum neuen Zustand =2 2 2Q (p ,y ) beschrieben werden kann. Dann gelangt der Haushalt von seinem alten Nutzenniveau 1v zu einem neuen Nutzenniveau 2v . Die Nutzenänderung Δv , die damit verbunden ist, lässt sich angeben als λ = ( $ Δ = − = = − −& # % " ∑' ' n 2 1 i i i 1c c v v v dv x dp dy . (14) An dieser Stelle allerdings steht das Konzept der Konsumentenrente vor einem schwerwiegenden Problem [Takayama 1984]. Zum einen ist der Grenznutzen des Geldes nicht bekannt, zum anderen beschreibt das obige Integral ein sogenanntes Linienintegral, dessen Wert im Allgemeinen vom Integrationspfad abhängt. Der Integrationspfad, der hier abgekürzt im Symbol c zum Ausdruck kommt, gibt nämlich an, auf welchemWege der Übergang von der alten Preis- Einkommenssituation 1Q zur neuen Situation 2Q erfolgt. Wenden wir uns zunächst dem Pfadabhängigkeitsproblem zu. Das Pfadabhängigkeitsproblem Dieses Problem lässt sich am besten anhand einer Grafik verdeutlichen. Schaubild 3 zeigt im linken und rechten Diagrammdie Nachfragekurven eines Haushalts für zwei Güter, die in einer substitutiven Beziehung zueinander stehen. Die ursprüngliche Situation sei wieder durch die Preise 11p und 1 2p charakterisiert. Entsprechend der Nachfragekurven 1N und 2N betragen die zugehörigen Konsummengen 11x und. 1 2x . Wird in dieser Situation ein öffentliches Projekt durchgeführt, so kommt es auf den betrachteten Gütermärkten zu Preis- und Mengenbewegungen. Dabei können sich zwei mögliche Wirkungsabläufe einstellen. Im ersten Fall könnte das Projekt zunächst allein den Preis des Gutes l von 11p auf 2 1p senken. Der Konsument wird hierauf mit einer Ausweitung seine Nachfrage nach Gut l von 11x auf 2 1x reagieren. Da die Güter l und 2 in einer substitutiven 4. Bewertung II: Große Vorhaben 29 Beziehung zueinander stehen, bewirkt die Preissenkung beim Gut l zugleich auch eine Linksverschiebung der Nachfragekurve für das Gut 2, nehmen wir an, von 2N nach ′2N . Sodann möge das Projekt zu einer Preissenkung für das Gut 2 von 12p auf 2 2p führen. Es kommt auf beide Märkten zu neuen Gleichgewichtssituationen, die in den Diagrammen des Schaubildes 3 durch die Punkte B und G gekennzeichnet sind. Im zweiten Fall könnte es ebenso passieren, dass das Projekt zunächst auf den Preis 2p und danach erst auf den Preis 1p einwirkt. Ein entsprechender Wirkungsablauf führt hier gleichfalls zu neuen Gleichgewichten auf den Gütermärkten, die durch die Punkte C und F bestimmt sind. Welche Werte ergeben sich im einen und im anderen Fall für die Konsumentenrente des Haushalts? Man kann leicht erkennen, dass in den beiden Fällen die jeweilige Höhe der Konsumentenrente unterschiedlich ausfällt. Für den ersten Fall entspricht sie den Flächen +1 2 1 21 1 2 2p ABp p HGp . Im zweiten Fall erhält man +1 2 1 21 1 2 2p DCp p EFp . Beide Summen stimmen augenscheinlich nicht überein. Dies bedeutet, dass die Konsumentenrente in ihrer Höhe davon abhängt, auf welcheWeise sich die Preise ändern. Eine Charakterisierung der Zustände auf Gütermärktenmit und ohne ein öffentliches Projekt reicht somit zur Bestimmung der hervorgerufenen Nutzenänderung allein nicht aus. Das numerischeMaß der Konsumentenrente hängt vielmehr auch von dem Weg ab, den die Anpassungsvorgänge jeweils nehmen und der in der Gleichung (14) durch den Integrationspfad c angegeben Schaubild 3: Pfadunabhängigkeitsproblem 2p 2x 2 2x 1 2x 1 2p A 1p 1 1x 2 1x 1x B C D F G EH 0 0 1 1p 2 1p 2 2p 1N ' 1N 2N ' 2N A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse30 wird. Man bezeichnet diesen Zusammenhang daher als das Problem der Pfadabhängigkeit. Nun lassen sich gemäß einem Satz aus der Analysis Bedingungen angeben, unter denen diese Schwierigkeit nicht auftritt, das Integral (14) also vom Integrationspfad unabhängig ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Matrix der Hicks’schen Substitutionsterme symmetrisch ist, ∂ ∂∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ j ji i i j j i x xx x x x , p y p y ≠ =i j, i, j 1,...,n Dafür wiederum ist eine monoton wachsende, streng quasi konkave und zweimal stetig differenzierbare Nutzenfunktion u hinreichend, eine Annahme, die in der Konsumtheorie zur Beschreibung des Verhaltens eines repräsentativen Konsumenten üblich ist. Unter dieser Voraussetzung stellt die Pfadabhängigkeit kein Hindernis mehr für die Quantifizierung von Nutzenänderungen dar und man darf imWeiteren von der Eindeutigkeit des in (14) definiertenWohlfahrtsmaßes ausgehen. Damit ist allerdings noch keineswegs die Frage beantwortet, welchenWert dieses Maß denn annehmen wird. Um die Integration auch tatsächlich durchführen zu können, ist die Kenntnis des Grenznutzens des Einkommens notwendig, der insbesondere noch von den Preisen und dem Einkommen abhängt. Formal hat man nach Bedingungen zu suchen, unter denen esmöglich ist, die Funktion λ (p, y) aus dem Integral herauszuziehen. In der Literatur behilft man sich an dieser Stelle gerne mit der Annahme, der Grenznutzen des Einkommens sei konstant [Marshall 1920, Samuelson 1942]. Auch wir wollen hier von dieser Annahme ausgehen. Später werden wir ihre Implikationen für die Bewertung von Projektwirkungen detailliert untersuchen. Unter der obigen Annahme kann man Gleichung (14) umformen zu λ = Δ = − + Δ∑' n i i i 1c v x dp y, (15) wobei Δ = ' c y dy die Einkommensänderung des Haushalts bezeichnet. Letztere ergibt sich aus der Differenz zwischen der Ausgabensumme im neuen Nutzenmaximum 2v , und der Ausgabensumme im alten Maximum 1v , Δ = −∑ ∑2 2 1 1i i i i i i y p x p x . Wie man sieht, wird auf der rechten Seite der Gleichung (15) nun getrennt zwischen der Summe der projektinduzierten Veränderungen der Konsumentenrente und der Einkommensänderung Δy. Der konstante Grenznutzen des 4. Bewertung II: Große Vorhaben 31 Einkommens dient hier als „conversion unit“ zwischen dem Nutzen und seinem monetären Äquivalent, der Konsumentenrente. Nimmt man das Einkommen und alle Preise bis auf einen als konstant an, gilt etwa = =idp dy 0 für =i {2,...,n}, dann lässt sich (15) darstellen als Fläche unter der normalen (Marshall’schen) Nachfragekurve: Δ = ' 1 1 2 1 p 1 1 1 p v x (p )dp . x In Schaubild 2 entspricht sie den Flächen II und III. Alternativ zur Konsumentenrente lassen sich projektinduzierte Nutzenänderungen auch über diemaximale Zahlungsbereitschaft eines Haushalts bewerten. Um dieses Verfahren herzuleiten, gehen wir noch einmal zur Budgetbeschränkung unseres Haushalts in Gleichung (6) zurück. Das totale Differential dieser Funktion ergibt = = = +∑ ∑ n n i i i i i 1 i 1 dy p dx x dp . Setzt man obige Beziehung in Gleichung (15) ein, so kann man die dortigen Einkommens- und Preisänderungen in Mengenänderungen überführen, und man erhält als Maß zur Bewertung von individuellen Nutzenänderungen λ = Δ = ∑' n i i i 1c v p dx . (16) Die Gleichung (16) stellt nicht mehr auf die Konsumentenrente, sondern auf das Konzept der maximalen Zahlungsbereitschaft als Bewertungsmaßstab ab. Dafür erhält man im angegebenen Spezialfall einer Preisänderung nur von Gut l λ Δ = +' ' 2 1 1 2 1 2 1 2 x x 1 1 2 2 x x v p dx p dx . Dieser Ausdruck stimmt in Schaubild 2 mit den Flächen III und V abzüglich VI überein. In der Literatur haben sich zwei Vorschläge herauskristallisiert, wie man die Konstanz des Grenznutzens des Einkommens interpretieren sollte. In neuerer Zeit kam noch eine dritte Auffassung hinzu, auf die wir in Abschnitt 4.7 eigens eingehen werden. Nach herkömmlicher Interpretation kann ein konstanter Grenznutzen des Einkommens zum einen bedeuten, dass dieser allein von dem Einkommen, nicht aber von den Preisen einzelner Güter beeinflusst wird, λ λ= 0(p,y) (y). (17) Zum andern wird damit die Vorstellung verbunden, er hänge allein vom Preis eines einzigen Gutes ab, etwa dem eines Numeraire-Guts n, A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse32 λ λ= 1 n(p,y) (p ). (17’) Die letzte Bedingung freilich kann als äußerst unrealistisch gelten, denn sie setzt eine in diesem Gut additiv-separable Nutzenfunktion voraus. Daher wollen wir uns nur auf den ersten Fall konzentrieren. Er wiederum impliziert, dass die Nutzenmaximierung eines Haushalts zu homothetischen Nachfragefunktionen führt. Solche Funktionen sind dadurch gekennzeichnet, dass ihre Einkommenselastizität den Wert eins hat, die Nachfrage nach den einzelnen Gütern also proportional zum Einkommen verläuft, ∂ = ∂ i i yx 1, y x =i 1,...,n. (18) Die allgemeinen Bedingungen für die Pfadunabhängigkeit reduzieren sich unter dieser Voraussetzung zu ∂∂ = ∂ ∂ ji j i xx , p p ≠i j, =j 1,...,n. (19) Diese Bedingung verlangt, dass die Kreuzpreisableitungen der allgemeinen Nachfragefunktionen ix (p,y) für alle Güterpaare identisch sind. Homothetische Nachfragefunktionen können diesen Anspruch stets erfüllen [Takayama 1984]. In der Regel wird man freilich nicht von der Voraussetzung (17) ausgehen können. Daher ist dieMarshall’sche Konsumentenrente nur um den Preis ihrer empirischen Irrelevanz überhaupt definiert [Samuelson 1942] und stellt letztlich ein inexaktes Maß dar, um Nutzenänderungen monetär zu quantifizieren. Gleiches gilt auch für das Konzept der Zahlungsbereitschaft. Aggregation von Konsumentenrenten Bisher hatten wir die projektinduzierte Änderung der Konsumentenrente lediglich für einen beliebigen Haushalt untersucht. Um darüber hinaus zu einer gesamtwirtschaftlichen Bewertung zu gelangen, müssen die Konsumentenrenten aller Haushalte, die von einem Projekt positiv oder negativ betroffen sind, in die Untersuchung einbezogen werden. Der kardinale Bewertungsansatz geht zu diesemZweck von einer Bergsonschen Wohlfahrtsfunktion aus, = 1 mW W(v ,...,v ). (20) Nach dieser Funktion basiert die Wohlfahrt der Gesamtgesellschaft auf den Nutzenniveaus kv der einzelnen Haushalte =k(k 1,...,m). Die Nutzenniveaus wiederum sind von den Güterpreisen ip und den individuellen Geldeinkommen ky abhängig. Das vollständige Differential dieser Wohlfahrtsfunktion gibt die Wohlfahrts- änderung für eine Gesellschaft wieder und stellt damit der Nutzen-Kosten- Analyse das gewünschte aggregierte Bewertungsmaß bereit, 4. Bewertung II: Große Vorhaben 33 = ∂ = ∂ ∑ m k k 1 k W dW dv . v (21) Darin lassen sich die Veränderungen der individuellen Nutzenniveaus kdv mit Hilfe der Gleichung (13) bestimmen. Versieht man dort alle Größen mit einem Index k, um die Zuordnung zu den einzelnen Haushalten auszudrücken, so erhält man λ = = ∂ = − ∂ ∑ ∑ m n k k ik i k 1 i 1k W dW (dy x dp ). v Die gesamte Änderung der sozialen Wohlfahrt ΔW die durch ein öffentliches Projekt bewirkt wird, ist schließlich bestimmt durch λ ∂ Δ = − = = − ∂ ∑ ∑' ' 2 1 k k ik i k ikc c W W W W dW (dy x dp ). v (22) Hierin stellt der mit dem Faktor ∂ ∂ k W v gewichtete individuelle Grenznutzen des Einkommens λk den sozialen Grenznutzen des Einkommens von Person k dar. Die Erfassung einer gesamtwirtschaftlichen Wohlfahrtsänderung setzt folglich voraus, dass diese Größe für alle Haushalte bekannt ist. Im dem Zusammenhang steht man freilich vor zwei gravierenden Problemen: Als erstes lässt sich der soziale Grenznutzen des Einkommens nicht eindeutig bestimmen, da dieser davon abhängt, welche individuelle Nutzenfunktionman wählt, um die Präferenzen eines Konsumenten zu repräsentieren. Betrachten wir hierzu noch einmal die Optimalitätsbedingungen (7’), λ ∂ = ∂ k k ik i u 1 . x p Wenn man anstelle der Nutzenfunktion ku (x) die Nutzenfunktion ! ku (x) = +k k ka b u (x) zugrunde legt – ein solches Vorgehen ist nach Gleichung (4) im Rahmen der kardinalen Nutzentheorie erlaubt –, dann erhält man als neuen Ausdruck λ λ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ! ! k k k k k ik i ik i u 1 u 1 b b . x p x p Wie man sieht, ist in obiger Gleichung der Grenznutzen des Einkommens für verschiedeneHaushalte zusätzlich von einermultiplikativen Größe kb abhängig. Diese muss für alle Haushalte identisch sein, damit man den Nutzen einzelner Haushalte miteinander vergleichen kann. Das Konzept der Konsumentenrente verlangt also neben der Kardinalität des Nutzens auch dessen interpersonelle Vergleichbarkeit. Mit dieser Feststellung sind jedoch noch nicht alle Schwierigkeiten aus dem Weg geräumt. Als zweiter großer Problemkreis bleibt zu klären, mit welcher Gewichtung die Nutzenniveaus einzelner Individuen in die soziale Wohlfahrt eingehen sollen. Es gilt somit, den Faktor ∂ ∂ k W v zu bestimmen und damit eine Antwort zu finden auf die Frage, ob A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse34 – Veränderungen der individuellenNutzenniveaus gleichgewichtig die soziale Wohlfahrt beeinflussen ∂ ∂ =k( W v 1 für alle k), – niedrige Nutzenniveaus mit einem höheren Gewicht zum Tragen kommen oder umgekehrt – höhere Nutzenniveaus eine geringere Wohlfahrtswirkung zeigen sollen. Letztlich ist es also notwendig, die sozialeWohlfahrtsfunktionW zu spezifizieren, beispielsweise in der häufig verwendeten additiven Form =∑ k k W v . Erst danach ist man in der Lage, die gesamtwirtschaftlichen Wirkungen eines Projekts mit Hilfe des Konzepts der Konsumentenrente quantitativ zu bestimmen. Wer indessen, so müssen wir uns fragen, könnte im Rahmen der Nutzen- Kosten-Analyse eine solche Spezifizierung vornehmen? Sicherlich nicht der Analytiker, dessen Urteil über dieWertvorstellungen in einer Gesellschaft nicht interessieren.Wenn überhaupt, dann hat die Festlegung einerWohlfahrtsfunktion im politischen Raum zu erfolgen. Dabei aber bleibt offen, ob im konkreten Fall sich überhaupt jemand findet, der bereit ist, dem Analytiker eine derartige Vorgabe zumachen. Nicht zuletzt aus diesemGrunde verzichtet die traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse auf die explizite Behandlung von Verteilungsfragen und behilft sich mit der Annahme, die bestehende Verteilung der Einkommen auf die Haushalte sei optimal. Sie geht damit zugleich von der Vorstellung aus, dass Änderungen in der personalen Verteilung keinerleiWohlfahrtswirkungen zeigen. Erst die erweiterte Nutzen-Kosten-Analyse wird sichmit den hier angeschnittenen Fragen auseinandersetzen. Unter der Voraussetzung einer optimalen personalen Einkommensverteilung ist der soziale Grenznutzen des Einkommens für alle Individuen identisch, λ λ μ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ 1 m 1 m W W ... . v v (23) Damit kann Gleichung (22) umformuliert werden zu μ = = = Δ = −∑ ∑∑' ' m m n k ik i k 1 k 1 i 1c c W/ dy x dp . (24) Weiterhin sei = Δ = ∑' m k k 1c Y dy der Gesamtbetrag aller projektinduzierten Einkommensänderungen. Kehrt man im zweiten Term auf der rechten Seite der Gleichung (24) die Reihenfolge der Summation um, so kann man schreiben = =∑∑ ∑∑ ∑ik ik i k i i k i x x X , 4. Bewertung II: Große Vorhaben 35 wobei iX dieMarktnachfragefunktion für die einzelnen Güter i bezeichnet. Die Gleichung (24) vereinfacht sich nunmehr zu μΔ = − + Δ' i i c W/ X dp Y. (25) In dieser Gleichung haben wir jetzt ein Bewertungsmaß zur Hand, das in monetären Größen den Gesamtbetrag angibt, um den sich die gesellschaftliche Wohlfahrt ändert, wenn die öffentliche Hand ein Projekt durchführt. Die Wohlfahrtsänderung setzt sich dabei aus der gesamtwirtschaftlichen Einkommensänderung und den Änderungen der Konsumentenrenten zusammen, die als Flächen unter den Marktnachfragekurven für alle von einem Projekt tangierten Güter gemessen werden. Hierbei fungiert μ analog zu λ wieder als „conversion unit“ zwischen gesellschaftlichem Nutzen und Geld. Will man die Wohlfahrtswirkungen eines Projekts nicht über Änderungen der Konsumentenrenten ∑ ∑ ik ii k( x dp ), sondern anhand von Zahlungsbereitschaften ∑ ∑ i iki k( p dx ) monetär erfassen, so kannman dies, analog zu (25), mit Hilfe der Gleichung μ = = Δ = ∑∑' m n i ik k 1 i 1c W/ pdx (26) erreichen. Fasst man auch hier wieder die individuellen Nachfrageänderungen nach den einzelnen Gütern zusammen, =∑i ij j dX dx , so erhält man als endgültigen Ausdruck für die Zahlungsbereitschaften der Individuen μ = Δ = ∑' n i i i 1c W/ pdX . (27) Das Problem der empirischen Relevanz indessen büßt auch in demZusammenhang seine Bedeutung nicht ein.Weder für die Konsumentenrente noch für die Zahlungsbereitschaft als Ausdruck einer gesellschaftlichen Wohlfahrtsänderung lässt sich ohne die Einführung äußerst gravierender Restriktionen, die in der Realität freilich kaum erfüllt sein dürften, ein exakter monetärer Betrag angeben. 4.3 Äquivalenzvariation Ordinale oder paretianische Bewertungskonzepte erlauben den Verzicht auf eine kardinale Nutzenmessung. Die beiden wesentlichen Verfahren, die zum ordinalen Bewertungsansatz zählen, sind die Äquivalenz- und die Kompensationsvariation. Diese sind allgemein zu charakterisieren als gewisse Kompensationszahlungen, die die von einem öffentlichen Projekt benachteiligten Personen erhalten und den davon begünstigten abverlangt werden, so dass sich das Nutzenniveau keiner Person ändert. Dabei unterscheiden sich beide Verfahren A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse36 lediglich darin, dass die Äquivalenzvariation das neue, die Kompensationsvariation das alte Nutzenniveau zumMaßstab nimmt. Durch einfache Aggregation der jeweiligen Kompensationsbeträge lässt sich dann nach dem Kaldor-Hicks- Kriterium jeweils feststellen, ob ein Projekt gesellschaftlich erwünscht ist oder nicht. Darauf sind wir bereits in Kapitel 3 kurz eingegangen. Hier nun wollen wir beide Variationsformen imDetail behandeln. Unsere Ableitung soll wieder in graphischer und in analytischer Form erfolgen. Beginnenwir unsere Betrachtung mit der Äquivalenzvariation. Äquivalenzvariationen (EV) stellen wie gesagt monetäre Beträge dar, um die das Einkommen jedes von einem öffentlichen Projekt betroffenen Haushalts erhöht oder gesenkt werden müsste, damit dieser auch ohne das Projekt jenes Nutzenniveau realisieren könnte, das er mit ihm erreicht. Mit dem uns bislang zur Verfügung stehenden Instrumentarium der indirekten Nutzenfunktion könnte man die äquivalente Variation also definieren als = +2 2 1 1v(p ,y ) v(p ,y EV), (28) wobei EV lediglich implizit bestimmt ist. Wenn ein Haushalt also aufgrund eines öffentlichen Vorhabens auf ein höheres Nutzenniveau gelangt, so hat seine Äquivalenzvariation einen positiven Wert. Sie entspricht dann jener Geldsumme, um die man sein ursprüngliches Einkommen zu erhöhen hätte, damit er auch ohne das Projekt auf das neue Nutzenniveau käme. Im Fall einer Nutzensenkung weist die Äquivalenzvariation hingegen ein negatives Vorzeichen auf. Um die jeweiligen Beträge auch in expliziter Form angeben zu können, benötigen wir allerdings ein anderes formales Instrumentarium, das wir im Folgenden entwickeln wollen. Dazu mag eine Grafik nützlich sein. Graphische Ableitung In Schaubild 4 ist die Äquivalenzvariation graphisch veranschaulicht. Betrachten wir hierzu einen Haushalt, der zwei Güter l und 2 nachfragt und dafür sein gesamtes Einkommen ausgibt, also wieder der Budgetrestriktion = +1 1 2 2y p x p x unterliegt. Da hier lediglich relative Preise interessieren, dürfen wir das Gut 2 als „Numeraire“ behandeln und seinen Preis 2p gleich eins setzen. Wir nehmen weiterhin an, der Haushalt verfüge vor Durchführung des Projekts über ein Einkommen in Höhe von 1y . Seine Budgetbeschränkung gibt dann im Schaubild die Gerade 1y A wieder. In dieser Situation erreicht der Haushalt ein Nutzenniveau, das durch die Indifferenzkurve 1u ausgedrückt wird. In dieser Ausgangslage soll ein öffentliches Projekt durchgeführt werden, das etwa den Preis für das Gut l senkt sowie das Einkommen des Haushalts reduziert. Grafisch stellt sich die Einkommensänderung als Übergang von 1y zu 2y dar, während die Preissenkung die Steigung der Budgetgeraden verändert. Für den Haushalt gilt jetzt als neue Budgetgerade 2y D , wodurch er auf die höhere Indifferenzkurve 2u gelangt. Die Äquivalenzvariation fragt nun nach dem hypothetischen Einkommensbetrag, den ein Haushalt erhalten müsste, damit er das neue Nutzenniveau auch 4. Bewertung II: Große Vorhaben 37 dann realisieren könnte, wenn die öffentliche Hand auf das geplante Projekt verzichten würde. Dieser Betrag ist offensichtlich durch die Differenz −2 1e y gegeben. Denn bei einem Einkommen von 2e erreicht der Haushalt gerade das Nutzenniveau 2u , das er auch bei einer Durchführung des Projekts hätte. Die Einkommensdifferenz −2 1e y misst folglich die Äquivalenzvariation EV für den betrachteten Haushalt. Wichtig ist in dem Zusammenhang der Hinweis, dass die Äquivalenzvariation mit Hilfe jener relativen Preise bestimmt wird, die man in einer Volkswirtschaft vorfindet, wenn das öffentliche Projekt nicht durchgeführt wird. Dagegen stellt sie im Nutzenbereich auf jenes Niveau ab, das ein Haushalt mit dem Projekt realisieren kann. Analytische Ableitung Bei der formalen Ableitung der Konsumentenrente haben wir versucht, das maximale Nutzenniveau zu finden, auf das ein Haushalt gelangen kann, wenn ihm ein bestimmter Preisvektor und ein bestimmtes Einkommen vorgegeben sind. Hier nun wollen wir den umgekehrten Weg gehen und nach den minimalen Ausgaben fragen, die ein Haushalt tätigen muss, um bei gegebenen Preisen ein bestimmtes Nutzenniveau u zu erreichen. Wir haben es also hier mit dem zur Nutzenmaximierung dualen Problem der Ausgabenminimierung zu tun [Boadway/Bruce 1984], das sich auch in Form der so genannten Ausgabenfunktion e (p, u) = min {px|u (x) ≥ u, xi ≥ 0, i = l, …, n} anschreiben lässt. Schaubild 4: Äquivalenz- und Kompensationsvariation 1y 2y 2x 1xA CB D0 • • • • 1e 2e 1u 2u 1 2 3 4 A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse38 Der Lagrange-Ansatz für dieses Minimierungsproblem lautet [ ]λ = = + −∑ n i i 1 n i 1 L p x u u(x ,...,x ) . Die Bedingungen erster Ordnung ergeben sich als λ ∂ − = ∂ i i u p 0. x (29) Darin ist λ der Lagrange-Multiplikator. Es sei auch hier angenommen, dass die Bedingungen zweiter Ordnung erfüllt sind. Aus diesen Optimalitätsbedingungen lassen sich die ausgabenminimierenden Verbrauchsmengen Kix des Haushalts gewinnen. Diese sind offensichtlich abhängig von dem herrschenden Preisvektor und dem Nutzenniveau, das es zu erreichen gilt, =K Ki ix x (p,u). (30) Als Lösung des Problems der Ausgabenminimierung erhalten wir also wiederumNachfragefunktionen. Diese sind freilich strikt von jenen zu unterscheiden, die aus dem Ansatz der Nutzenmaximierung hervorgehen. Dort wird das Einkommen des Haushalts als konstant angesehen. Preisänderungen bewirken in jenem Konzept also Änderungen des Nutzenniveaus, die wiederum in der indirekten Nutzenfunktion ihren Ausdruck finden. Hier nun wird das Nutzenniveau als konstant betrachtet. Demzufolge führen Preisänderungen zu Änderungen der Ausgabensumme, die erforderlich ist, um ein bestimmtes Nutzenniveau zu erreichen. Die Nachfragefunktionen Kix (p,u) bezeichnet man in der Literatur als kompensierte oderHicks’sche Nachfragefunktionen, da sie unter der Voraussetzung eines konstanten Nutzenniveaus abgeleitet werden. Mit Hilfe der kompensierten Nachfragefunktionen kann man nun leicht die oben definierte Ausgabenfunktion e(p,u) eines Haushalts bestimmen, = =∑ n K i i i 1 e(p,u) p x (p,u). (31) Die Ausgabenfunktion gibt also das minimale Einkommen an, über das ein Haushalt verfügen muss, um das Nutzenniveau u bei einem gegebenen Preisvektor p realisieren zu können. Über die partiellen Ableitungen der Ausgabenfunktion nach den Preisen ip erhält man wieder die kompensierten Nachfragefunktionen [Varian 2004], ∂ = ∂ K i i e(p,u) x (p,u). p (32) Damit steht uns das theoretische Rüstzeug zur formalen Darstellung der Äquivalenzvariation zur Verfügung.Wennwir uns erinnern, misst die Äquivalenzvariation das Einkommen, das notwendig ist, damit ein Konsument auch ohne ein staatliches Projekt das gleiche Nutzenniveau erreicht, wie mit dem Projekt. Mit Hilfe der Ausgabenfunktion können wir für die minimalen Ausgaben, 4. Bewertung II: Große Vorhaben 39 die bei dem alten Preisvektor 1p das Nutzenniveau 2u garantiert, 1 2e(p ,u ) schreiben. In Schaubild 4 entspricht es 2e . Und das minimale Einkommen, das bei Preisen 1p das Nutzenniveau 1u garantiert, lautet entsprechend 1 1e(p ,u ). Folglich ergibt sich die Äquivalenzvariation aus der Differenz = −1 2 1 1EV e(p ,u ) e(p ,u ). (33) Da aber das minimale Einkommen, um bei Preisen 1p das Nutzenniveau 1u zu erreichen, gerade dem Einkommen entspricht, das ein Haushalt ohne das Projekt gehabt hat: =1 1 1e(p ,u ) y , vereinfacht sich (33) zu = −1 2 1EV e(p ,u ) y . (34) Interpretation Ebenso wie die Konsumentenrente als Fläche unter der Marshall’schen Nachfragekurve lässt sich die Äquivalenzvariation als Fläche unter der Hicks’schen Nachfragefunktion interpretieren. Dazu setzen wir Δ −2 1y : y y und berücksichtigen des Weiteren, dass =2 2 2y e(p ,u ) gilt. Damit lässt sich (34) umformen zu = − + Δ1 2 2 2EV e(p ,u ) e(p ,u ) y. (35) Da die Ausgabenfunktion e zwischen dem alten 1(p ) und dem neuen Preisvektor 2(p ) einen stetigen Verlauf aufweist, kann man die Äquivalenzvariation auch ausdrücken als = ∂ = + Δ ∂ ∑' 1 2 p n i i 1 ip e(p,u2) EV dp y. p Unter Verwendung der Gleichung (32) und des umgekehrten Integrationspfades erhalten wir schließlich = = − + Δ∑' 2 1 p n K 2 i i i 1p EV x (p,u )dp y. (36) Die Äquivalenzvariation umfasst demnach Änderungen der Konsumentenrente unter den kompensierten Nachfragefunktionen K 2ix (p,u ) sowie Einkommens- änderungen. Sie lässt sich auf diese Weise für jeden Haushalt angeben, unabhängig davon, wie viele Güter von Preisänderungen und wie viele Haushalte von Einkommensänderungen betroffen sind. A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse40 Betrachten wir nunmehr Schaubild 5. Darin ist die Äquivalenzvariation unter der Voraussetzung dargestellt, dass sich als Folge eines öffentlichen Projekts lediglich der Preis des Gutes 1 von 11p auf 2 1p reduziert, während alle anderen Preise und das Einkommen konstant bleiben. Die ursprüngliche Situation des Haushalts ist im oberen Teil des Schaubildes durch den Punkt l gekennzeichnet. Zum Preis 11p fragt der Haushalt von Gut 1 die Menge 11x nach. Im unteren Teil des Schaubildes ergibt sich für ihn der Punkt A als Optimallösung. Infolge der Preissenkung von 11p auf 2 1p wählt nun der Haushalt ein neues Konsumgüterbündel, das oben durch den Punkt 2 dargestellt ist. Zum neuen Preis 21p gehört jetzt die Verbrauchsmenge 2 1x . Diese Kombination entspricht unten dem Optimalpunkt B. Erhöht man in der Schaubild 5: Äquivalenz- und Kompensationsvariation I 2x 1x A C B D 0 • • • • 1e 2e 1u 2u 1 2 3 4 y 3 1x 4 1x 1 1x 2 1x 1x •• •• 0 )y,p(x1 )u,p(x 1K1 )u,p(x 2K1 3 1x 4 1x 1 1x 2 1x 2 1p 1 1p 1p α β 4. Bewertung II: Große Vorhaben 41 ursprünglichen Situation das Einkommen des Haushalts gerade um den Betrag der Äquivalenzvariation, so dass dieser sein neues Nutzenniveau auch ohne das Projekt erreichen könnte, dann kommt man zum Punkt 4 im oberen und zu Punkt D im unteren Diagramm. Die zugehörige Nachfragemenge beträgt 41x . Die Gerade durch die Punkte A und B verkörpert nunmehr die normale Nachfragekurve 1u (p,y), jene durch die Punkte D und B aber kennzeichnet die kompensierte Nachfragekurve K 21x (p,u ). Handelt es sich beim Gut l um ein normales Gut, dann verläuft die kompensierte Nachfragekurve bei anfänglichen Preissenkungen bis zum neuen Optimalpunkt B rechts von derMarshall’schen Kurve, bei weiteren Preissenkungen hingegen links davon. Beide Nachfragekurven schneiden sich im Punkt B, der durch jene Preis-Mengen-Kombination charakterisiert ist, die sich infolge eines öffentlichen Vorhabens einstellt. Wir können also festhalten, dass die Äquivalenzvariation mit der Fläche unter der kompensierten Nachfragefunktion zum Nutzenniveau 2u identisch ist und in dem angegebenen Spezialfall zu = − ' 2 1 1 1 p K 2 1 1 p EV x (p,u )dp (36’) wird. Existenz und Eindeutigkeit Fragen wir uns zum Abschluss noch, ob dieses Maß stets wohldefiniert und eindeutig ist. Tatsächlich lässt sich zeigen, dass diesmal im Unterschied zur Konsumentenrente weder das Problem der Pfadabhängigkeit auftritt noch irgendwelche Annahmen an den Grenznutzen des Einkommens gemacht werden müssen. Hierzu gehen wir am besten von der Gleichung =Ki ix (p,u) x (p,e(p,u)) (37) aus, die eine Identität der Hicks’schen Nachfrage beim Nutzenniveau u mit der Marshall’schen Nachfrage postuliert, sofern letztere auf dem minimalen Einkommen basiert, das gerade das Nutzenniveau u sichert. Diese Gleichung können wir nach jp , j ≠ i, differenzieren und erhalten ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ K i i i j j j x (p,u) x (p,y) x (p,y) e(p,u) . p p y p Bedenkt man weiterhin, dass ∂ ∂ je p nach Gleichung (32) und unter Beachtung von (37) mit jx gleichgesetzt werden kann, dann erhält man durch einfaches Umformen ∂ ∂ = − ∂ ∂ i i ij j j x (p,y) x (p,y) S x . p y (38) Dieser Ausdruck wird Slutsky-Gleichung genannt. Die Nachfrageänderung, die aufgrund einer Variation des Preises jp eintritt, setzt sich darin aus zwei Effekten zusammen: einem Einkommens- und einem Substitutionseffekt. A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse42 In der obigen Gleichung gibt der zweite Term auf der rechten Seite den Einkommenseffekt an. Dieser lässt sich, wenn wir zum Schaubild 5 zurückkehren, als Übergang von der ursprünglichen Indifferenzkurve 1u zur neuen Indifferenzkurve 2u oder, genauer, als Bewegung von Punkt l zu Punkt 4 charakterisieren. Hervorgebracht wird ein solcher Einkommenseffekt durch den Umstand, dass sich immer dann, wenn der Preis für ein Gut sinkt, die Kaufkraft eines Konsumenten erhöht. Mit ikS oder ∂ ∂ K i jx / p bezeichnet man den Substitutionseffekt einer Preisänderung. Er misst die Änderungen der Nachfrage für das Gut i unter der Voraussetzung, dass der betrachtete Haushalt auf der gleichen Indifferenzkurve verbleibt. In Schaubild 5 veranschaulicht ihn die Bewegung von Punkt 4 nach Punkt 2. Während man über das Vorzeichen des Einkommenseffektes in der Regel keine Aussage machen kann, ist der Substitutionseffekt bei normalen Gütern immer positiv. Die Bedingungen für Pfadunabhängigkeit lauten ∂ ∂∂ ∂ + = + ∂ ∂ ∂ ∂ j ji i i j j i x xx x x x . p y p y Im Lichte der Slutsky-Gleichung (38) verlangen sie, dass die auftretenden Substitutionseffekte symmetrisch sind, =ik kiS S . Diese Forderung aber ist für kompensierte Nachfragefunktionen immer erfüllt [Varian 2004]. Folglich lässt sich die Äquivalenzvariation pfadunabhängig ermitteln. Dafür ist auch die Annahme eines konstanten Grenznutzens des Einkommens nicht erforderlich, da das Einkommen gar kein Argument in kompensierten Nachfragefunktionen darstellt. Die Integration über diese Funktionen, wie sie in (36) vorzunehmen ist, ist daher stets möglich und eindeutig bestimmt. Aggregation von Äquivalenzvariationen Die Anwendung des Kaldor-Hicks-Kriteriums setzt, wie wir an anderer Stelle bereits ausführten, die Aggregation der individuell ermittelten Kompensationszahlungen voraus. Die Gewinner eines Projekts weisen positive, die Verlierer hingegen negative Werte ihrer Äquivalenzvariation auf. Diese positiven und negativen Beträge lassen sich ohne Schwierigkeiten summieren; es sind vor allem keine interpersonellen Nutzenvergleiche notwendig. Versieht man die individuellen Äquivalenzvariationen mit einem Index =k(k 1,...,m), um die Zuordnung zu den einzelnen Haushalten kenntlich zu machen, dann können unter der Bedingung = >∑ m k k 1 EV 0 (39) die Gewinner eines Projekts nicht nur die Verlierer entschädigen, sondern sie erhalten darüber hinaus noch einen Nutzenzuwachs. Nach demKaldor-Hicks- 4. Bewertung II: Große Vorhaben 43 Kriterium führt ein Projekt in diesem Falle zu einer Steigerung der gesellschaftlichen Wohlfahrt. Es bietet sich freilich in diesem Zusammenhang eine pragmatischere Lösung an. Setzt man nämlich die individuellen Äquivalenzbeträge gemäß Gleichung (36) in die Bedingung (39) ein, dann erhält man = = = = = − + Δ∑ ∑ ∑ ∑' 2 1 pm m n m K k ik i k k 1 k 1 i 1 k 1p EV x dp y . Vertauscht man weiterhin auf der rechten Seite dieser Gleichung Summation und Integration, so ergibt sich = = = = = − + Δ∑ ∑∑ ∑' 2 1 pm n m m K k ik i k k 1 i 1 k 1 k 1p EV x dp y . Bezeichnet man zudem mit Δ = Δ∑ k k Y y die Summe aller projektinduzierten Einkommensänderungen und =∑K Ki ik k X x die kompensiertenMarktnachfragefunktionen, dann erhält man schließlich als Bedingung dafür, dass bei einem öffentlichen Projekt die Vorteile überwiegen, das Kriterium = = = − + Δ >∑ ∑' 2 1 pm n K 2 k i i k 1 i 1p EV X (p,u )dp Y 0. (40) Man muss bei diesem Bewertungsmaß nicht mehr einzeln die kompensierten Nachfragefunktionen für jeden Haushalt und für jedes Gut ermitteln, sondern es reicht die Kenntnis der kompensierten Marktnachfragefunktionen. Weiterhin benötigt man die Wirkung des Projekts auf das gesamtwirtschaftliche Einkommensniveau. 4.4 Kompensationsvariation Das zweite ordinale Bewertungskonzept gründet auf der Kompensationsvariation. Kompensationsvariationen stellen diejenigen Beträge dar, um die man die Einkommen der von einem öffentlichen Projekt Betroffenen erhöhen oder senkenmüsste, damit sie jene Nutzenniveaus, die sie ohne das Projekt besaßen, weiterhin beibehalten könnten. Diese Variationsform orientiert sich also an dem Nutzenniveau 1u das ein Haushalt ursprünglich hatte. Nimmt man wieder die indirekte Nutzenfunktion zu Hilfe, lässt sich die Kompensationsvariation zunächst wie folgt definieren: = −1 1 2 2v(p ,y ) v(p ,y CV) (41) A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse44 Gelangt der Haushalt auf ein höheres Nutzenniveau, so erhält seine Kompensationsvariation ein positives Vorzeichen. Sie entspricht in diesem Fall dem maximalen Geldbetrag, auf den der Haushalt verzichten könnte, wenn das Vorhaben auch tatsächlich realisiert wird. Im Fall einer projektinduzierten Nutzensenkung weist die Kompensationsvariation ein negatives Vorzeichen auf. Sie umfasst dann den Betrag, den der Haushalt erhalten müsste, damit das geplante Projekt für ihn selbst akzeptabel wird. Graphische Ableitung, Im Beispiel des Schaubildes 4 ist die Kompensationsvariation durch die Differenz −2 1y e gegeben. Man erhält sie durch Parallelverschiebung der neuer Budgetgeraden 2y D an die alte Indifferenzkurve 1u . Wichtig ist in dem Zusammenhang der Hinweis, dass die Steigung bei der Budgetgeraden durch das Verhältnis der relativen Preise bestimmt ist, das sich infolge eines Projekt einstellt. Während also die Äquivalenzvariation mit Hilfe der relativen Preise, die ohne öffentliches Projekt gelten (Preisvektor 1p ), und bezogen auf das neue Nutzenniveau 2u ermittelt wird, dienen der Kompensationsvariation die relativen Preise, die sich mit dem Projekt einstellen (neuer Preisvektor 2p ), und das alte Nutzenniveau 1u als Referenzgrößen. Analytische Ableitung Auch die Kompensationsvariation CV lässt sich in analytischer Formmit Hilfe der Ausgabenfunktion ableiten. Sie entspricht der Differenz zwischen dem Haushaltseinkommen =2 2 2e(p ,y ) y , das infolge eines Projekts erzielt werden kann und bei Preisen 2p das Nutzenniveau 2u gewährleistet, und denAusgaben e, die erforderlich sind, um das alte Nutzenniveau 1u zu erreichen, wenn der neue Preisvektor 2p gilt, = −2 2 1CV y e(p ,u ). (42) Ebenso wie für die Äquivalenzvariation in Gleichung (34) dürfen wir auch für die Kompensationsvariation schreiben = − + Δ1 1 2 1CV e(p ,u ) e(p ,u ) y. (42’) Analog zu Gleichung (36) erhalten wir sodann = ∂ = + Δ ∂ ∑' 1 2 p 1n i i 1 ip e(p,u ) CV dp y. p Eine entsprechende Umformung, verbunden mit der Umkehrung des Integrationspfades, ergibt schließlich = = − +Δ∑' 2 1 p n K 1 i i i 1p CV x (p,u )dp y. (43) 4. Bewertung II: Große Vorhaben 45 Im Gegensatz zur Äquivalenz- verwendet die Kompensationsvariation also Nachfragefunktionen, die auf das Nutzenniveau 1u abstellen, das heißt auf jenes, welches ein Haushalt auch ohne ein öffentliches Projekt erreicht. Weil auch sie auf kompensierte Nachfragefunktionen zurückgreift, kann sie ebenso wie die Äquivalenzvariation pfadunabhängig und damit eindeutig bestimmt werden. Betrachten wir zur Illustration den Spezialfall, dass ein Projekt nur den Preis des Gutes l verändert, während alle übrigen Preise und die individuellen Geldeinkommen konstant bleiben. Der Ausdruck (44) vereinfacht sich dann zu = − ' 2 1 1 1 p K 1 i 1 p CV x (p,u )dp . Analog zur Darstellung der Äquivalenzvariation in Schaubild 5 erhalten wir nunmehr als monetären Betrag für die Kompensationsvariation die Differenz − 1y e auf der Ordinate des oberen Diagramms. Im unteren Teil des Schaubildes stellt dementsprechend die Gerade durch die Punkte A und C die kompensierte Nachfragekurve K 11x (p,u ) des betrachteten Haushalts dar, also jene Nachfragekurve, die sich auf das Nutzenniveau 1u bezieht. Man erhält somit die Kompensationsvariation als Fläche unter der Nachfragekurve K 11x (p,u ) , und zwar zwischen dem alten und dem neuen Preis des Gutes l. In Schaubild 5 wird sie durch die Fläche 1 21 1p ACp wiedergegeben. Wie man sieht, ist der Betrag für die Äquivalenzvariation größer als der entsprechende Zuwachs an Konsumentenrente und dieser wiederum übersteigt die entsprechende Kompensationsvariation. Diese Aussage gilt allerdings nur für normale Güter. Aggregation von Kompensationsvariationen Kompensationsvariationen lassen sich ebensowie Äquivalenzvariationen ohne weiteres für alle betroffenen Haushalte aufaddieren. Dabei überwiegen bei einem Projekt die positiven Effekte, wenn das Kriterium = = = − +Δ >∑ ∑' 2 1 pm n K 1 k i i k 1 i 1p CV X (p,u )dp Y 0 (44) erfüllt ist. Der Index k dient auch hier wieder zur Kennzeichnung der einzelnen Haushalte. Ist die Summe der Kompensationsvariationen für alle Haushalte größer als null, so vermag das betrachtete Projekt die gesellschaftliche Wohlfahrt zu erhöhen. Verglichen mit der Äquivalenzvariation ist das Verfahren der Kompensationsvariation allerdings mit einem entscheidenden Mangel behaftet. Man kommt mit ihm zu keinem eindeutigen Ergebnis, sobaldman unterschiedliche Projekte gegenüberstellen möchte. Kehren wir, um dies zu erläutern nochmals zum Schaubild 5 zurück. Nehmen wir an, wir befänden uns in einer Ausgangsposition, die durch den Punkt l gekennzeichnet ist. In dieser Situation stehen zwei Projekte A und B A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse46 zur Entscheidung an. Das Projekt A soll nur auf das Einkommen des Haushalts wirken und dieses um den Betrag −2e y erhöhen. Unser Haushalt kann folglich mit ihm das Güterbündel 4 erreichen. Das Projekt B hingegen soll allein den Preis des Gutes l von 11p auf 2 1p senken. Als neues Optimum für den Haushalt erhalten wir dann den Punkt 2. Als Kompensationsvariation für das Vorhaben A ergibt sich = −A 2CV e y. Für das Projekt B hingegen folgt = −B 1CV y e . Obwohl beide Projekte dazu führen, dass der Haushalt das Nutzenniveau erreicht, fällt die Kompensationsvariation für das Projekt A größer aus als für das Projekt B. Die Ursache für dieses Phänomen liegt darin begründet, dass die Kompensationsvariation die Wirkungen von Projekten mit Hilfe des Preisvektors vergleicht, der sich mit deren Durchführung einstellt. Für unterschiedliche Projekte aber weichen die Preisvektoren in der Regel voneinander ab. Die Kompensationsvariation besitzt daher für deren Gegenüberstellung keinen einheitlichen Bezugspunkt mehr. Die Äquivalenzvariation hingegen vermeidet diesen Defekt, weil sie stets auf der Basis des Preisvektors argumentiert, der ohne das öffentliche Projekt bereits vorhanden ist. Da der Vergleich von alternativen Projekten eine der zentralen Aufgabenstellungen der Nutzen-Kosten-Analyse ist, sollte man bei der Bewertung von Projektwirkungen auf die Kompensationsvariation möglichst verzichten. Im Rahmen des ordinalen Wohlfahrtskonzeptes kommt dafür vornehmlich die Äquivalenzvariation in Frage. 4.5 Approximation der Äquivalenzvariation durch Taylor-Reihen Bisher habenwir die Äquivalenzvariation als Fläche unter einer kompensierten Nachfragekurve erfasst, die auf Märkten in der Regel nicht beobachtbar sind. Dies ist aus pragmatischer Sicht ein entscheidender Nachteil dieses Maßes. In diesem Abschnitt wenden wir uns daher einem Verfahren zu, mit dem es möglich ist, die Äquivalenzvariation über Taylor-Reihen zu approximieren. Dieses Verfahren hat den großen Vorzug, dass man bei seiner empirischen Umsetzungmit Daten aus normalenNachfragefunktionen auskommt [Boadway/ Bruce 1984]. Betrachten wir zunächst noch einmal die Definition der Äquivalenzvariation = − + Δ1 2 2 2EV e(p ,u ) e(p ,u ) y. (34) Da hierin alle Einkommensänderungen, ausgedrückt durch den Term Δy, direkt messbar sind, bereitet ihre Erfassung keine allzu großen Schwierigkeiten. Wir dürfen sie daher fürs erste beiseitelassen. Aufschluss über die Differenz −1 2 2 2e(p ,u ) e(p ,u ) erhalten wir, indem wir den Funktionswert 1 2e(p ,u ) durch eine Taylor-Entwicklung an der Stelle 2 2(p ,u ) 4. Bewertung II: Große Vorhaben 47 näherungsweise bestimmen. Die Taylor-Entwicklung wollen wir nur bis zur zweiten Ordnung verfolgen. Für die gewünschte Approximation erhalten wir ∂ = + Δ ∂ ∑ 2 2 1 2 2 2 i i i e(p ,u ) e(p ,u ) e(p ,u ) p p ∂ + Δ Δ ∂ ∂ ∑∑ 2 2 2 i j i j i j e(p ,u )1 p p 2 p p +R. (46) Darin ist Δ = −2 1i i ip p p und das Symbol R steht für alle Terme höherer Ordnung. Der Ausdruck (46) lässt sich noch weiter vereinfachen. Der Gleichung (32) können wir entnehmen, dass ∂ = ∂ 2 2 K 2 2 i i e(p ,u ) x (p ,u ) p und ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ 2 2 2 K 2 2 i i j j e(p ,u ) x (p ,u ) p p p gilt. Weiterhin ergibt sich aus der Slutsky-Gleichung (38) ∂ = ∂ K 2 2 2 2i ij j x (p ,u ) S (p ,u ). p Setzenwir nun diese Beziehungen in die Näherungsformel für die Äquivalenzvariation ein und lassen wir dabei den Restterm R weg, so erhalten wir = − Δ∑ K 2 2i i i EV x (p ,u ) p − Δ Δ∑∑ 2 2ij i j i j 1 S (p ,u ) p p 2 +Δy. (47) Wie man sieht, treten in dieser Näherungsgleichung für die Äquivalenzvariation sowohl kompensierte Nachfragefunktionen als auch Substitutionseffekte auf. Diese lassen sich eliminieren, wenn man bedenkt, dass die minimalen Ausgaben zur Erreichung des Nutzenniveaus 2u beim Preisvektor 2p gerade dem Einkommen 2y entsprechen. Es gilt folglich = =K 2 2 2 2 2 2 2i i ix (p ,u ) x (p ,e(p ,u )) x (p ,y ). Weiterhin lässt sich nach der Slutsky-Gleichung (38) der Substitutionseffekt schreiben als ∂ ∂ = + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 i i ij j j x (p ,y ) x (p ,y ) S (p ,u ) x . p y Wir haben es jetzt in beiden Fällen nur nochmit normalenNachfragefunktionen zu tun. A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse48 Wenn die Äquivalenzvariation durch eine Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung näherungsweise erfasst wird, reicht zu ihrer numerischen Bestimmung die ausschließliche Verwendung normaler Nachfragekurven aus. Der Analytiker ist dann nicht mehr auf die Kenntnis kompensierter Nachfragefunktionen angewiesen. Abschließend sollten wir allerdings nicht versäumen, auf einen wichtigen Kritikpunkt hinzuweisen. Approximationen der obigen Form weisen unter Umständen so große Fehler auf, dass man sie nicht mehr länger als Wohlfahrtsindikator charakterisieren kann. Begründet liegt dies vor allem in der Art, wie genau man die Taylor-Entwicklung berechnet. Würde man den Rechengang nicht nach der zweiten, sondern erst nach der dritten oder einer noch höheren Stufe beenden, so ließe sich der Fehler immer mehr verringern. Der Restterm R kann allenfalls theoretisch, bei einem Taylor-Polynom der Ordnung ∞ zum Verschwinden gebracht werden. Der empirische Wert des fraglichen Wohlfahrtsindikators hängt daher maßgeblich davon ab, an welcher Stelle die Approximation aufhört. 4.6 Bewertung über die „money-metric utility“ In jüngerer Zeit ist zu den bisher vorgestellten Bewertungsverfahren ein weiteres Konzept hinzugekommen, das auf der von Samuelson [1974] propagierten „money-metric utility“ oder geldmetrischen Nutzenfunktion basiert [McKenzie 1983, McKenzie/Pearce 1976 und 1982]. Wenden wir uns daher zunächst der Geldmetrik zu. Diese lässt sich sehr eingängig unter Verwendung der Ausgabenfunktion und der indirekten Nutzenfunktion formulieren. Dazu wird in der Ausgabenfunktion e(p,u) das Nutzenniveau u durch die Funktion des indirekten Nutzens v(q,y) ersetzt. Die dadurch generierte Funktion M(p,q,y) := e(p,v(q,y)), (48) die in der Literatur auch recht treffend als indirekte Kompensationsfunktion bezeichnet wird [Varian 2004], stellt dann die besagte Geldmetrik dar. Sie gibt an, wie viel Einkommen eine Person bei Preisen p benötigen würde, um genauso gut gestellt zu sein, wie bei den Preisen q und dem Einkommen y. Gibt man einen Referenzpreisvektor p vor, wird die indirekte Nutzenfunktion nur noch vom indirekten Nutzen bestimmt. Sie wächst streng monoton mit v und ist somit nichts anderes als eine monotone Transformation von v, also selbst wieder eine indirekte Nutzenfunktion, die prinzipiell die gleichen Präferenzen wie v zu repräsentieren vermag. Die damit verbundene Transformation von v, die in der Wahl von M zum Ausdruck kommt, hat jedoch zwei sehr angenehme Eigenschaften, die wir uns später zur Messung von Nutzenveränderungen zunutze machen können: Unmittelbar einsichtig ist, dass das Einkommen, das einer Person bei Preisen p den gleichen Nutzen einbringt, wie das Einkommen y bei gleichen Preisen q = p, gerade dem Einkommen y entspricht: 4. Bewertung II: Große Vorhaben 49 =M(p,q,y) y, für =q p. (49) In diesem speziellen Fall erhält man daraus für den Grenznutzen des Einkommens λ ∂ = = ∂ M (q,y) 1, y für =q p (50) und für dessen partielle Ableitungen der Ordnung r λ∂ = ∂ r r 0,y = ∞r 1,..., . (51) Nutzenänderungen, die aus Einkommensänderungen resultieren, können somit durch die Einkommensänderungen selbst gemessen werden. Damit kann das Problem des unbekannten Grenznutzen des Geldes umgangen werden. Zu beachten ist jedoch, dass die Geldmetrik M die Eigenschaften (50) und (51) nur besitzt, falls der Referenzpreisvektor p durchgängig gilt. Kommen wir nun zur eigentlichen Fragestellung, zur Messung der Nutzendifferenz Δ = −2 2 1 1v v(p ,y ) v(p ,y ), die durch den projektbedingten Übergang von einer Preis-Einkommenssituation 1 1(p ,y ) zur Situation 2 2(p ,y ) entsteht. Mit der Geldmetrik M gemessen wird Δv zu Δ = −2 2 1 1M M(p,p ,y ) M(p,p ,y ). (52) An dieser Stelle sollten wir kurz darauf hinweisen, dass die früher schon behandelten Maße der Äquivalenzvariation und der Kompensationsvariation als Spezialfälle der Geldmetrik M zu interpretieren sind. Um dies zu zeigen, hat man lediglich den Referenzpreisvektor p geeignet zuwählen:Wir können = 1p p oder = 2p p setzen und erhalten im ersten Fall die Äquivalenzvariation = −1 2 2 1 1 1EV M(p ,p ,y ) M(p ,p ,y ) = −1 2 2 1M(p ,p ,y ) y ; (53) im zweiten Fall die Kompensationsvariation = −2 2 2 2 1 1CV M(p ,p ,y ) M(p ,p ,y ) = −2 2 1 1y M(p ,p ,y ). (54) Kehren wir zur Geldmetrik M zurück, deren Referenzpreisvektor p im Unter schied zur Äquivalenzvariation und Kompensationsvariation keinerlei Restriktionen unterliegt. Die Nutzendifferenz in (52) lässt sich in der Form der Geldmetrik analog zu (14) als Linienintegral = ∂ ∂ Δ = = + ∂ ∂ ∑' ' ' n i i 1 ic c c M M M dM dp dy p y (55) schreiben. Unter Verwendung von (50) ergibt sich schließlich der Ausdruck A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse50 λ = Δ = − + Δ∑' n i i i 1c M x dp y, (56) mit Δ = ' c y dy. Der Ausdruck (56) ist das Maß für die Nutzenänderung, die ein öffentliches Projekt bei einem privaten Haushalt hervorbringt. Zu diesem seien zwei Hinweise angebracht. Zum einen ist es mit Hilfe der Gleichung (56) möglich, Nutzenänderungen pfadunabhängig zu ermitteln. Denn die Pfadunabhängigkeitsbedingungen reduzieren sich hier, analog zur Äquivalenzvariation, auf die Symmetrie der Substitutionsterme in der Slutsky- Gleichung, =ij jiS S , ≠ =i j, i, j 1,...,n. Da diese Bedingung für jede Nachfragefunktion erfüllt ist, kann der Ausdruck (56) eindeutig bestimmt werden. Zum zweiten ist in der Gleichung (56) der Grenznutzen des Einkommensλ explizit enthalten. Dieser kann beliebig groß werden, da er ja nur bezüglich des Referenzpreisvektors p normiert wurde. Für öffentliche Projekte, die Preis- änderungen hervorrufen, lassen sich daher keine allgemeinen Aussagen über Nutzenänderungenmachen. Letztere sind nurmit Hilfe numerischerMethoden erfassbar. Um diese Aufgabe zu lösen, benutzen wir eine Taylor-Entwicklung der Geldmetrik an der Stelle 1 1(p ,y ) und versuchen, von hier aus auf den Wert an der Stelle 2 2(p ,y ) zu schließen. Es ergibt sich allgemein ∂ ∂ Δ = Δ + Δ ∂ ∂ ∑ i i i M M M p y p y (57) ∂ + Δ Δ ∂ ∂ ∑∑ 2 i j i j i j 1 M p p 2 p p ∂ + Δ Δ ∂ ∂ ∑ 2 i i i 1 M p y 2 p y ∂ + Δ ∂ 2 2 2 1 M ( y) 2 y +R, wobei alle Ableitungen an der Stelle 1 1(p ,y ) zu nehmen sind. Der Einfachheit halber haben wir uns auf eine Approximation zweiter Ordnung beschränkt; R steht wieder für alle Terme höherer Ordnung. Mit Hilfe dieser Taylor-Entwicklung sind wir in der Lage, für jede Preis- und Einkommensänderung, die infolge eines öffentlichen Projekts eintritt, die ent- 4. Bewertung II: Große Vorhaben 51 sprechende Nutzenänderung in monetärer Form zu berechnen. Wir greifen hierzu auf die Beziehung (11) zurück, können mit ihrer Hilfe die obigen Ableitungen näher bestimmen und erhalten an der Stelle 1 1(p ,y ) . λ ∂ = − = − ∂ i i i M x x ; p λ ∂ = = ∂ M 1; y λ λ ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 i i i i i M x x ; p y p y y λ λ ∂∂ ∂ ∂ ∂ = − − = − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ji i i i i j j j j xM x x x x . p p p p p y Wenn wir diese Ausdrücke wiederum in die Gleichung (57) einsetzen, so können wir die Nutzenänderung Δv schließlich angeben als Δ = − Δ + Δ∑ i i i M x p y (58) ( $∂ ∂ − + Δ Δ& # ∂ ∂& #% " ∑∑ i ii i j i j j 1 x x x p p 2 p y ∂ − Δ Δ ∂ ∑ i i i 1 x p y. 2 y Da es uns lediglich auf eine approximative Bestimmung ankommt, haben wir in dieser Gleichung den Restterm R weggelassen. Sämtliche Terme der Taylor-Entwicklung sind durch Differentiation von normalen Nachfragekurven zu gewinnen. Diese müssen in der Ausgangsituation beobachtet werden, in der noch keinerlei Preis- oder Einkommensänderungen stattgefunden haben. Genau diese Forderung entspricht aber dem ureigensten Anliegen der Nutzen- Kosten-Analyse. Dort nämlich hat man die Evaluierung von Projekte und damit auch die monetäre Erfassung von Nutzenänderungen im Stadium der Planung vorzunehmen, zu einem Zeitpunkt also, wo die Projekte noch gar nicht existieren. Der Analytiker befindet sich somit realiter exakt in jener Lage, von der das Konzept der „money-metric utility“ ausgeht. Allerdings kann er mit diesem Ansatz die Bewertung nur in approximativer Form durchführen. Auch die gesamtwirtschaftliche Bewertung von Projektwirkungen mit Hilfe der „money-metric utility“ folgt daher nicht dem kardinalen Pfad. Wie man sich leicht verdeutlichen kann (Gleichung 51), ist die Approximation über die Gleichung (57) identisch mit einer Approximation der Äquivalenzvariation. Die Aggregation von „money-metric utilities“ kann also analog zu der von Äquivalenzvariationen erfolgen. A. Traditionelle Nutzen-Kosten-Analyse52 4.7 Fazit Wir haben in diesem Kapitel eine Reihe von Verfahren kennen gelernt, um die allokativen Wirkungen von öffentlichen Vorhaben wohlfahrtsökonomisch zu bewerten. Versuchen wir zum Schluss, zusammenfassend die Vor- und Nachteile der einzelnen Konzepte noch einmal zu verdeutlichen. Die Konzepte der Konsumentenrente und der Zahlungsbereitschaft können für sich sicherlich verbuchen, dass sie direkt die Wohlfahrtswirkungen angeben, die mit einem öffentlichen Projekt einhergehen. Das Problem des unbekannten Grenznutzens des Einkommens kann bei ihnen allerdings verhindern, dass man operationale Ergebnisse erzielt. Äquivalenz- und Kompensationsvariationen hingegen, die beiden grundlegenden ordinalen Bewertungsmaße, ermöglichen es, den gesellschaftlichen Wohlfahrtseffekt öffentlicher Vorhaben eindeutig zu ermitteln. Für diesen Vorzug ist aber ein hoher Preis zu zahlen. Man muss auf kompensierte Nachfragefunktionen zurückgreifen, die auf Märkten nicht direkt zu beobachten sind. Diese entziehen sich der unmittelbaren ökonometrischen Schätzung. Erst ihre Approximation über Taylor-Entwicklungen macht sie einer empirischen Erfassung zugänglich. Da die Kompensationsvariation ihre Aussagen auf der Grundlage jenes Preisvektors ableitet, der sich infolge eines öffentlichen Projekts einstellt, ergeben sich für diesen Ansatz ebenfalls Eindeutigkeitsprobleme, sobald es um den Vergleich mehrerer Alternativprojekte geht. In einer solchen Entscheidungssituation sollte die Nutzen-Kosten-Analyse daher auf sie möglichst verzichten. Die Äquivalenzist dann der Kompensationsvariation zweifelsohne vorzuziehen. Im Unterschied zur Kompensations- und Äquivalenzvariation ist die moneymetric utility nicht auf einen bestimmten Referenzpreisvektor festgelegt. Insofern ist diesesMaß von einer größeren Allgemeinheit als die beiden erstgenannten ordinalenMaße. Der so entstandene Freiheitsgradwird vonMcKenzie/Pearce geschickt dazu benutzt, das Problem des unbekannten Grenznutzens des Geldes zu umgehen. Der Grenznutzen des Geldes kann daher in Taylor-Entwicklungen durch Größen ersetzt werden, die allesamt empirischen Gehalt besitzen. Auch wenn der Analytiker bei der Geldmetrik in der Wahl des Referenzpreisvektors völlig frei ist, wird er in der Praxis doch in der Regel auf den vergleichsweise einfach zu beobachtenden Preisvektor im status quo, also ohne das öffentliche Projekt, zurückgreifen. Die money-metric utility geht dann in die Äquivalenzvariation über und lässt sich ebenfalls mittels einer Taylor- Entwicklung in der Praxis anwenden. Alles in allem ist es letztlich dem Analytiker überlassen, welches der obigen Verfahren er seiner Bewertung zugrunde legt. Denn aus der Sicht der Praxis der Nutzen-Kosten-Analyse sind die angeschnittenen Probleme, so gravierend sie auch unter theoretischen Gesichtspunkten erscheinen mögen, mehr oder weniger esoterischer Natur. Im konkreten Bewertungsprozeß nämlich ist die Nutzen-Kosten-Analyse auf ökonometrisch geschätzte Nachfragekurven angewiesen. Solche Schätzungen aber sind unausweichlich mit Fehlern behaftet, 4. Bewertung II: Große Vorhaben 53 die von erheblicher Bedeutung sein dürften. Im Vergleich dazu müssen die vorgetragenen theoretischen Einwände gegen das eine oder das andere Verfahren verblassen. Literatur zu Kapitel 4 Ahlheim, M., M. Rose: Alte und neue Maße individueller Steuerlasten, Finanzarchiv 42 (1984), S.274-349. Ahlheim, M., G. Wagenhals: Exakte Wohlfahrtsmaße in der Nutzen-Kosten-Analyse, ZWS 108 (1988), S.169-193. Boadway, Robin W.: The welfare foundations of cost-benefit analysis. Economic Journal, 84 (1974), S.926-939. Boadway, Robin W. und Neil Bruce: Welfare Economics. 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Bewertung III: Kleine Vorhaben Der überwiegende Teil der öffentlichen Vorhaben ist von so geringer gesamtwirtschaftlicher Bedeutung, dass sie auf die geltenden Marktpreise keinen wesentlichen Einfluss haben. Man spricht in dem Zusammenhang von kleinen Projekten. Wenn beispielsweise eine Gemeinde ein Hallenbad errichtet, dann sind die Auswirkungen dieses Projekts auf die betreffende Region beschränkt. Auf dieMarktpreise aber, die sich über Angebot undNachfrage in der gesamten Volkswirtschaft bilden, wird dies keinenmessbaren Einfluss ausüben.Was sich allerdings ändert, ist dasmengenmäßige Angebot an Freizeitmöglichkeiten auf lokaler Ebene. Unter pragmatischen Gesichtspunkten resultiert aus diesemUmstand der große Vorteil, dass der Analytiker im Bewertungsansatz nicht länger auf Preisänderungen Rücksicht nehmen muss. In das Bewertungskalkül gehen nunmehr lediglich Mengenänderungen ein, die auch für kleine Projekte beobachtbar sind. Als Verfahren zur Bewertung der Wohlfahrtswirkungen von kleinen öffentlichen Vorhaben bietet sich demzufolge das Konzept der Zahlungsbereitschaft an. Im Folgenden wird angenommen, dass das besagte Projekt ein zusätzliches Angebot auf demMarkt l schafft und auf den übrigenMärkten 2,…, n lediglich mengenmäßige Veränderungen auftreten, ohne dass dort die Preise tangiert würden. Betrachten wir hierzu nochmals das Schaubild 2 in Abschnitt 4.2, wobei diesmal die Nachfragekurven 1N und 2N sowie die Mengen 1X und 2X alsMarktnachfrage zu interpretieren sind. Die Gütermengen seien daher nachfolgendmit Großbuchstaben bezeichnet. Wieman erkennt, erhöht sich auf dem Markt l der Output von 11X auf 2 1X wodurch sich die Marktnachfrage von Punkt E zu Punkt F bewegt. Dies geht auf demMarkt 2 mit einer Nachfragereduktion von 12X auf 2 2X einher, bedingt durch die Verschiebung der Nachfragekurve von 2N nach ′2N . Diemit einem kleinen öffentlichen Projekt einhergehendeWohlfahrtsänderung bemisst sich nach diesem Konzept als μ = = Δ = = + = + Δ∑ ∑ ∑' ' ' ' 2 2 1 1 1 1 1 1 x xn n i i i 1 i i 1 1 i i i i 2 i 2c cx x W pdX p dX p dX p dX p X . (59) Neben dem oben aufgezeigten hat die Bewertungssituation bei kleinen Projekten noch den weiteren Vorteil, dass in ihr das Problem der Pfadabhängigkeit keine Rolle mehr spielt. Man muss allerdings weiterhin von einem kardinalen Nutzenkonzept und von der Möglichkeit interpersoneller Nutzenvergleiche ausgehen. In den Änderungen vonmaximalen Zahlungsbereitschaften erhalten wir somit einen Wohlfahrtsindikator, mit dem sich sowohl die positiven wie auch die

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References

Zusammenfassung

Die erste Wahl: Nutzen-Kosten-Analyse

Nach dem Haushaltsgrundsätzegesetz sind für alle finanzwirksamen Maßnahmen der öffentlichen Verwaltung angemessene Wirtschaftlichkeitsuntersuchungen durchzuführen. Als umfassendste gesamtwirtschaftliche Untersuchungsmethodik stellt die Nutzen-Kosten-Analyse innerhalb der Finanzwissenschaft nach wie vor das Instrument der ersten Wahl dar. Durch die gute Eignung für die Bewertung von Umwelteffekten konnten in den letzten Jahren Nutzen-Kosten-Analysen weiterhin an Bedeutung gewinnen. Der Gesetzgeber verlieh dem Instrument zudem ein entscheidendes Gewicht im Bereich des medizinischen Fortschritts. Durch die Gründung des Instituts für Qualität und Wirtschaftlichkeit im Gesundheitswesen (IQWiG) und dessen weitgehende Verpflichtung, neue Arzneimittel hinsichtlich des Kosten-Nutzen-Verhält-nisses zu prüfen, müssen sich alle namhaften forschenden Arzneimittelhersteller mit der Methodik intensiv auseinandersetzen. Neben der eigentlichen Nutzen-Kosten-Analyse enthält das Buch auch Kapitel über die Kostenwirtschaftlichkeitsanalyse sowie die Nutzwertanalyse. Bei allen Verfahren beschreibt das Buch die jeweiligen Stärken und Schwächen, Unterschiede und die spezifischen Möglichkeiten in der Anwendung. Praktische Beispiele zeigen die Anwendung, insbesondere im Gesundheits- und Umweltbereich. Das Buch ist in erster Linie ein Lehrtext für den Unterricht an Universitäten. Es hilft jedoch auch Experten in Politik und Verwaltung, sich mit modernen Entscheidungsmethoden vertraut zu machen.

Der Autor

Prof. Dr. Horst Hanusch ist emeritierter Professor für Volkswirtschaftslehre an der Universität Augsburg.