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7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit in:

Norbert Hirschauer, Oliver Mußhoff

Modernes Agrarmanagement, page 440 - 481

Betriebswirtschaftliche Analyse- und Planungsverfahren

3. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4743-9, ISBN online: 978-3-8006-4457-5, https://doi.org/10.15358/9783800644575_440

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7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 431 einer bestimmten Verteilung ziehen, indem man auf der Tastatur die Taste F9 drückt. Mit jedem Tasten-druck wird eine neue Zufallszahl generiert. Die erzeugten Zufallszahlen könnte man als Werte manuellaufzeichnen. Dies ist aber sehr aufwändig. Einfacher wird es durch die Programmierung von Makros, mitdenen man die wiederholte Erzeugung von Zufallszahlen und ihre anschließende Aufzeichnung automati-sieren kann. Alternativ zur Programmierung eines MS-EXCEL-Makros kann man auch kommerziell erhält-liche Hilfsprogramme, wie z.B. das MS-EXCEL-Add-In @RISK von Palisade, nutzen. 7.6 Entscheidungsfindung unter UnsicherheitIn Abschnitt 7.5 haben wir gezeigt, wie man die Unsicherheit einer Zielgröße quantifizieren kann. Im Fol-genden erläutern wir zunächst, warum die Berücksichtigung der Streuung auch für risikoneutrale Ent-scheider bedeutsam sein kann (Punkt 7.6.1). Anschließend werden Ansätze zur Berücksichtigung von Un-sicherheit behandelt, die zwar weder die Risikoeinstellung des Entscheiders noch Wahrscheinlichkeitenverarbeiten, aber aufgrund ihrer geringen rechentechnischen Anforderungen oft in der Praxis zur Anwen-dung kommen und deshalb als pragmatisch bezeichnet werden (Punkt 7.6.2). In Punkt 7.6.3 beschreibenwir die wichtigsten Entscheidungskalküle unter Risiko: das Konzept der stochastischen Dominanz, dasErwartungsnutzenprinzip und das Erwartungswert-Varianz-Kriterium. In Punkt 7.6.4 werden Ansätze an-gesprochen, die Entscheidungsunterstützung in Ungewissheitssituationen geben sollen. 7.6.1 Zur Notwendigkeit der Berücksichtigung von Unsicherheit bei RisikoneutralitätDie Notwendigkeit der Berücksichtigung von Risiko bei der Entscheidungsfindung ist offensichtlich,wenn ein Entscheider risikoavers ist. Es geht dann darum, den Tradeoff zwischen dem erwarteten Ein-kommen und dem Risiko zu bestimmen. Man muss bspw. die Frage beantworten, ob der individuelleNutzen einer Risikoreduzierung die Kosten des hierfür erforderlichen Risikomanagementinstrumentsdeckt. Für einen risikoneutralen Entscheider stellt sich diese Frage nicht. Er wählt - unabhängig vondem damit verbundenen Einkommensrisiko - die Handlungsalternative, die das Erwartungseinkommenmaximiert. Allerdings müssen auch risikoneutrale Entscheider vielfach statistische Sachverhalte be-rücksichtigen, da sie sonst nicht die richtigen Erwartungswerte von Zufallsvariablen finden. Bereits inPunkt 7.5.2 haben wir auf den Fehler hingewiesen, den man bspw. bei Vernachlässigung eines Trendsmachen würde.Obwohl es nicht auf den ersten Blick offensichtlich ist, kann auch die Vernachlässigung der Streuung zu einer fehlerhaften Erwartungswertbildung führen. Eine nicht-lineare funktionale Abhängigkeiteiner Erfolgsgröße (abhängigen Variable) von einer erfolgsbestimmenden Größe (unabhängigen Vari-able) führt unter Unsicherheit ganz allgemein dazu, dass man den Erwartungswert der abhängigen Un-sicherheitsgröße nicht einfach ausgehend vom Erwartungswert der unabhängigen Unsicherheitsgrößeberechnen kann. Hierfür gibt es viele praktische Beispiele. So kann man Überschüsse an Arbeit und anausschließlich innerbetrieblich verwertbarem Futter in aller Regel schlecht oder gar nicht verwerten,während eine Unterschreitung des erforderlichen Umfangs zu einer vollen Leistungsminderung führt.Diesen Sachverhalt kann man auch alternativ formulieren: Nicht-lineare funktionale Abhängigkeiten er-geben sich immer dann, wenn zwei multiplikativ verknüpfte erfolgsbestimmende Größen, wie z.B. dieArbeitsmenge und die Arbeitsproduktivität, miteinander korreliert sind. Auch die Kartoffelerlöse hän-gen nicht linear von den Kartoffelerträgen ab, weil diese eine (negative) Korrelation mit den Kartoffel-preisen aufweisen. Dieses Beispiel wird im Folgenden ausführlicher angesprochen. Ein anderes Beispielsind Lieferverträge, deren Ausgestaltung ebenfalls häufig zu einer negativen Korrelation zwischen Er-trägen und Preisen führen. Die Erlöswirkung dieser Korrelation, die wir im Folgenden aufgrund der Be-deutung von Lieferverträgen in der Landwirtschaft ebenfalls näher anschauen, bezeichnen wir als Er-lösasymmetrie. 432 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Erwartungswert multiplikativ verknüpfter ZufallsvariablenDer Erwartungswert einer unsicheren Zielgröße (z.B. Kartoffelerlös), die sich aus zwei multiplikativ ver-knüpften Zufallsvariablen ergibt (z.B. Kartoffelertrag und -preis), hängt nicht nur von deren Erwartungs-werten, sondern auch von der Kovarianz ab. Es gilt allgemein:ܧ(ܼ)= ܧ(ܺ௞) ∙ ܧ( ௟ܺ) + ܥ݋ݒ(ܺ௞; ௟ܺ) (7-68)= ߤ௞ ∙ ߤ௟ + ߪ௞ ∙ ߪ௟ ∙ ߩ௞;௟Ein Blick auf diese Formel verdeutlicht einige bedeutsame Sachverhalte:1. Der Erwartungswert des Produktes zweier multiplikativ verknüpfter, negativ korrelierter Zufalls-variablen ܺ௞ (z.B. Kartoffelertrag) und ௟ܺ (z.B. Kartoffelpreis) ist umso geringer, je stärker die bei-den Zufallsvariablen c.p. schwanken. Aus diesem Grund wird auch ein risikoneutraler EntscheiderHandlungsalternativen, bei denen multiplikativ verknüpfte und negativ korrelierte Einflussgrößenweniger stark streuen, bevorzugen. Das hat nichts mit Risikoaversion zu tun. Bei zwei multiplikativverknüpften, positiv korrelierten Zufallsvariablen ܺ௞ und ௟ܺ ergibt sich ein entgegengesetzter Ef-fekt. Dies hat wiederum nichts mit Risikosuche zu tun.2. Der Erwartungswert des Produktes zweier multiplikativ verknüpfter, negativ korrelierter Zufallsvari-ablen ܺ௞ und ௟ܺ ist umso geringer, je ausgeprägter die negative Korrelation c.p. ist. Aus diesem Grundwird auch ein risikoneutraler Entscheider Handlungsalternativen, bei denen multiplikativ verknüpfteEinflussgrößen weniger stark negativ korreliert sind, bevorzugen. Bei zwei multiplikativ verknüpften,positiv korrelierten Zufallsvariablen ergibt sich ein entgegengesetzter Effekt.Schauen wir uns der Anschaulichkeit halber ein Beispiel aus der Speisekartoffelproduktion an. In Spalte 1und 2 von Tab. 7-31 sind die Kartoffelerträge und -preise angezeigt, die bayerische Betriebe laut der Bayeri-schen Landesanstalt für Landwirtschaft in den Jahren 1992 bis 2002 durchschnittlich erzielt haben. In Spal-te 3 finden sich die Erlöse und in Spalte 4 die Deckungsbeiträge, die sich bei Annahme von variablen Kos-ten in Höhe von 1 800 €/ha in den jeweiligen Jahre ergeben. Über die betrachteten Jahre hinweg wurdeein durchschnittlicher Erlös von 2 861 €/ha und ein durchschnittlicher Deckungsbeitrag von1 061 €/ha erzielt. Wenn man, wie wir das hier tun, von Trends in den Erträgen und Preisen abstrahiert,können dieseMittelwerte als Erwartungswerte interpretiert werden. Tab. 7-31: Erträge, Preise, Erlöse und Deckungsbeiträge in der SpeisekartoffelproduktionJahr Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4Ertrag(dt/ha) Preis(€/dt) Erlös(€/ha) Deckungsbeitrag a)(€/ha)1992 350,90 4,32 1 516 –2841993 401,70 5,06 2 033 2331994 332,70 19,90 6 622 4 8221995 285,60 9,92 2 832 1 0321996 441,70 3,30 1 456 –3441997 390,80 7,18 2 805 1 0051998 400,00 12,47 4 988 3 1881999 327,40 5,69 1 863 632000 441,80 4,05 1 789 –112001 274,58 11,32 3 108 1 3082002 350,00 7,03 2 461 661 Mittelwert 363,38 8,20 2 861 1 061a) Die Werte wurden bei Annahme von variablen Kosten der Speisekartoffelproduktion in Höhe von1 800 €/ha berechnet. 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 433 Exakt zum gleichen Ergebnis kommt man unter Vernachlässigung der erwartungstreuen Schätzung auseiner Stichprobe (vgl. Punkt 7.4.2), wenn man auf Gleichung (7-68) zurückgreift: Der durchschnittliche Er-trag liegt bei 363,38 dt/ha und der durchschnittliche Preis bei 8,20 €/dt. Die Korrelation beträgt −0,47,die Standardabweichung der Erträge liegt bei 54,23 dt/ha und die Standardabweichung der Preise beläuftsich auf 4,70 €/dt. Dies ergibt eine Kovarianz zwischen Ertrag und Preis von −119,72. Für den durch-schnittlichen Erlös gilt damit: 2 861 €/ha (= 363,38 ∙ 8,20 − 119,72). Demgegenüber käme man mit einer einfachen Überschlagsrechnung der Form „durchschnittlicher Ertrag mal durchschnittlicher Preis“fälschlicherweise zu dem Ergebnis, dass der durchschnittliche Erlös 2 981 €/ha (= 363,38 ∙ 8,20) und derdurchschnittliche Deckungsbeitrag 1 181 €/ha beträgt. Der tatsächliche Deckungsbeitrag liegt damit119,72 €/ha bzw. 10,1% unter dem Deckungsbeitrag gemäß Überschlagsrechnung. Die Anwendung einereinfachen Überschlagsrechnung kann also durchaus zu Fehlentscheidungen führen. Dies wäre z.B. der Fall,wenn bei der Anbauentscheidung der Deckungsbeitrag einer Konkurrenzfrucht bei 1 100 €/ha liegt undmit dem überschätzen Kartoffeldeckungsbeitrag verglichen wird. ErlösasymmetrieEin Spezialfall eines Zusammenhangs zwischen streuenden Erträgen und Preisen, der bei der Erwartungs-wertbildung berücksichtigt werden muss, ergibt sich bei Lieferverträgen, mit denen Landwirte häufig zutun haben: Sie verkaufen vor der Ernte über Lieferverträge z.B. ihre Weizenernte an den Landhändler undihren Silomais an eine Biogasanlage oder ihre Mastschweine an den Schlachthof. Besondere Schwierigkei-ten ergeben sich für landwirtschaftliche Betriebe bei der Erzeugung von Produkten, die hohen Ertrags-schwankungen unterliegen und deren Absatz ausschließlich über Lieferverträge mit fest vereinbartenLiefermengen erfolgt. Ein klassisches Beispiel ist der Zuckerrübenanbau. Bei den gängigen Konditionen vonLieferverträgen ergibt sich eine Erlösasymmetrie: Überlieferte Mengen können vielfach nur zu einem ge-ringeren Preis abgesetzt werden. Bei einer Unterlieferung kommt es dagegen auch im günstigsten Fall zueiner vollen Erlösminderung. Im ungünstigen Fall müssen bei Nichterfüllung von Lieferverträgen sogarkostenträchtige Deckungskäufe getätigt oder Schadensersatzzahlungen geleistet werden.Wir betrachten beispielhaft einen realen Betrieb im Weserbergland, der auf Ackerflächen mit durch-schnittlich 75 Bodenpunkten und einer mittleren Jahresniederschlagsmenge von ca. 775 mm wirtschaftetund Zuckerrüben ohne Beregnung erzeugt. Wir unterstellen, dass dem Betrieb im Jahr 2009 ein Vertragangeboten wurde, der ihn dazu verpflichtet, im Jahr 2010 eine bestimmte Zuckermenge für 150 €/t aneine Biogasanlage zu liefern. Der erwartete Deckungsbeitrag des von der Rübenproduktion verdrängtenWinterweizens betrage 975 €/ha. Nun stellt sich die Frage, ob der Betriebsleiter den angebotenen Liefer-vertrag annehmen sollte.Um den zu erwartenden Deckungsbeitrag der Rübenproduktion zu bestimmen, wurden die Zuckererträgeerfasst, die im Beispielbetrieb in den Jahren 1999 bis 2009 erzielt wurden (siehe Tab. 7-32, Spalte 1). ImMittel wurde ein Zuckerertrag von 12,31 t/ha erreicht. Die Kosten der Zuckerrübenproduktion (ein-schließlich aller Arbeitserledigungskosten) werden mit 1 000 €/ha angenommen.In Deutschland sind die Zuckererträge in den letzten Jahren bedingt durch den züchterisch-technischenFortschritt um etwa 1,5% pro Jahr angestiegen. Der Mittelwert der Ertragszeitreihe in Spalte 1 liefert alsokeine vernünftige Planannahme für das zukünftig zu erwartende Ertragsniveau. In Spalte 2 sind deshalbdie trendbereinigten, auf das Jahr 2010 normierten und den Züchtungsfortschritt berücksichtigenden Zu-ckererträge angezeigt. Der daraus abzuleitende mittlere trendbereinigte Zuckerertrag in Höhe von13,41 t/ha gibt das zu erwartende Zuckerertragsniveau für das Jahr 2010 an. Unterstellt man, dass derLandwirt seine Anbauentscheidung an diesem Niveau ausrichtet, so wird er je liefervertraglich festgeleg-ter Tonne Zucker 0,075 ha (= 1/13,41) Rüben anbauen.Onno Überleg kommt mit einer einfachen Überschlagsrechnung der Form „erwarteter Ertrag mal ver-traglicher Abnahmepreis“ auf einen erwarteten Erlös der Industrierübenproduktion von 2 012 €/ha 434 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement (= 13,41 ∙ 150). Er meint dementsprechend, dass der erwartete Rübendeckungsbeitrag 1 012 €/ha betra-ge und dass die Industrierübenproduktion rentabler sei als der Weizen mit seinem Deckungsbeitrag vonannahmegemäß 975 €/ha. Tab. 7-32: Zuckererträge (in t/ha) und Erlöse sowie Deckungsbeiträge (in €/ha) in der Rübenproduktion eines Beispielbetriebs imWeserberglandSpalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4Zuckerertrag TrendbereinigterZuckerertrag a) Erlös b) Deckungsbeitrag c)1999 12,00 14,14 2 039 1 0392000 11,96 13,87 2 029 1 0292001 9,65 11,03 1 655 6552002 9,61 10,83 1 624 6242003 11,91 13,22 1 983 9832004 12,96 14,17 2 040 1 0402005 14,08 15,17 2 078 1 0782006 11,48 12,18 1 827 8272007 12,10 12,65 1 897 8972008 12,06 12,43 1 864 8642009 17,61 17,87 2 179 1 179 Mittelwert 12,31 13,41 1 929 929a) Die Werte wurden bei einer unterstellten Steigerung des Ertragsniveaus von 1,5% p.a. berechnet.b) Die Werte wurden unter der Annahme berechnet, dass ein Ertrag von mehr als 13,41 t/ha zu einerÜberlieferung führt, für die nur 25% des Lieferpreises von 150 €/t Zucker erzielt werden können.c) Die Werte wurden bei Annahme von variablen Kosten in Höhe von 1 000 €/ha berechnet.Su Sidenkt gibt nach kurzem Überlegen zu bedenken, dass Onno bei seinen Berechnungen die Preisasym-metrie und die dadurch verursachte Korrelation zwischen Ertrag und Preis vernachlässigt hat. Sie berück-sichtigt, dass für überlieferte Zuckermengen nur ein Preis in Höhe von 37,5 €/t (= 25% des vertraglichenLieferpreises von 150 €/t) erzielt werden kann. Sie beachtet auch, dass Unterlieferungen zwar nicht mitDeckungskäufen verbunden sind, aber zu „regulären“ Erlösminderungen führen. Der im Mittel erzieltePreis liegt also nicht bei 150 €/t, sondern nur bei 144,86 €/t Zucker. Außerdem beträgt die Kovarianzzwischen Erträgen und Preisen −14,38. Unter Rückgriff auf Gleichung (7-68) kommt Su zu einem erwarte-ten Rübenerlös von 1 929 €/ha (= 13,41 ∙ 144,86 − 14,38). Zum gleichen Ergebnis kommt man, wennman den Erlös und den Deckungsbeitrag des Produktionsverfahrens „Industrierüben“ für jedes zurücklie-gende Jahr berechnet und anschließend den mittleren Erlös und den mittleren Deckungsbeitrag be-stimmt (vgl. Spalte 3 und 4 der Tab. 7-32). Das tatsächlich für das Jahr 2010 zu erwartende Erlösniveauliegt damit 4,1% unter dem Erlös, den man mit der einfachen Überschlagsrechnung herleiten würde. Dertatsächliche erwartete Deckungsbeitrag liegt mit 929 €/ha sogar 8,2% unter dem Deckungsbeitrag gemäßÜberschlagsrechnung. Da der erwartete Weizendeckungsbeitrag bei 975 €/ha liegt, sollte der Lieferver-trag nicht angenommen werden.Das Problem verstärkt sich, wenn eine Nichterfüllung der vereinbarten Liefermenge damit verbunden ist, dass Deckungskäufe getätigt oder Strafzahlungen geleistet werden müssen. Unterstelltman pro unterlieferter Tonne Zucker Strafzahlungen in Höhe von 100 €, beträgt der erwartete Deckungs-beitrag der Industrierübenproduktion nur 855 €. Dies sind 15,6% weniger als der Deckungsbeitrag, zudemman fälschlicherweise bei der einfachen Überschlagsrechnung kommen würde. 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 435 In Tab. 7-33 wird dieWirkung des Asymmetrieeffekts in verschiedenen Betrieben untersucht. Nebendem bereits betrachteten Betrieb im Weserbergland (Spalte 1) sind die Ergebnisse für einen Durch-schnittsbetrieb im Naturraum Braunschweiger Land (Spalte 2) und für einen Beispielbetrieb im Havelland(Spalte 3) dargestellt. Die Standortbedingungen im Naturraum Braunschweiger Land sind mit denen desBeispielbetriebs im Weserbergland vergleichbar. Der Beispielbetrieb im Havelland wirtschaftet auf einemschwächeren Standort (durchschnittlich etwa 40 Bodenpunkte und 550 mm Jahresniederschlagsmenge).Grundlage der Berechnungen bilden wieder die Zuckererträge der Jahre 1999 bis 2009. In allen drei Fäl-len wird unterstellt, dass der Landwirt seine Rübenanbaufläche auf der Grundlage des für 2010 erwarte-ten Zuckerertrags auf die eingegangene Lieferverpflichtung abstimmt. Tab. 7-33: Vergleich des Asymmetrieeffekts in unterschiedlichen BetriebenSpalte 1 Spalte 2 Spalte 3BeispielbetriebimWeserbergland DurchschnittsbetriebBraunschweiger Land Beispielbetriebim HavellandMittlerer Zuckerertrag über die Jahre1999 bis 2009 in t/ha 12,31 10,59 8,71Erwartetes Zuckerertragsniveau für2010 in t/ha (= unterstellte vertraglicheLiefermenge je ha) 13,41 11,57 9,47Variationskoeffizient dertrendbereinigten Zuckererträge 0,15 0,08 0,22Variable Kosten der Rübenproduktionin €/ha 1 000 1 000 850Überschlägig auf Grundlage des verein-barten Lieferpreises von 150 €/t Zuckerberechneter Deckungsbeitrag in €/ha 1 012 735 570Tatsächlich erwarteter Lieferpreisin €/t a) 144,86(138,40) 146,78(143,38) 143,05(131,53)Kovarianz zwischen Erträgen undPreisen a) –14,38(–1,79) –2,82(0,97) –17,48(–17,53)Tatsächlich erwarteter Deckungsbeitragin €/ha a) 929(855) 695(659) 487(413)Fehlschätzung des Deckungsbeitragsin % 8,2(15,6) 5,4(10,3) 14,6(27,6)a) Die Werte wurden unter der Annahme berechnet, dass für überlieferte Mengen nur 25% des Liefer-preises von 150 €/t Zucker erzielt werden können. Die in Klammern angezeigten Werte ergeben sichbei zusätzlicher Annahme von Strafzahlungen in Höhe von 100 € pro unterlieferter Tonne Zucker.Aus Tab. 7-33 wird deutlich, dass der Fehler einer einfachen Deckungsbeitragsvergleichsrechnung umso höher ist, je stärker die Zuckererträge schwanken. Dies hat drei wichtige Konsequenzen fürlandwirtschaftliche Entscheidungsträger: • Nutzt man anstelle eigener Betriebsdaten die Daten von Vergleichsbetrieben, um eine „plausible“ Durch-schnittsbetrachtung durchzuführen, wird der Asymmetrieeffekt unterschätzt. Dies liegt daran, dass ho-rizontal gemittelte Zuckererträge geglättet sind und weniger stark schwanken als die einzelbetriebli-chen Erträge. Die Nutzung eines auf „belastbaren“ Vergleichsdaten basierenden Durchschnittsbetriebsstellt also nur vermeintlich eine bessere Daten- und Planungsgrundlage für die eigene Entscheidung dar. • Für den Beispielbetrieb auf dem schwächeren Standort im Havelland ergibt sich aufgrund der höhe-ren natürlichen Ertragsschwankungen ein stärkerer Asymmetrieeffekt. Der Fehler, den man durch dieVernachlässigung der Ertragsstreuung bei einer einfachen Überschlagsrechnung macht, fällt an 436 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement solchen Standorten höher aus. Wenn man mit einer einfachen Überschlagsrechnung den Deckungs-beitrag bestimmt, der über einen Liefervertrag mit Strafzahlungen in Höhe von 100 € pro unterliefer-ter Tonne Zucker in der Zuckerrübenproduktion erzielt wird, dann verschätzt man sich beim Brand-enburger Betrieb um 27,6%. Das sind mehr als 150 €/ha und damit keine Peanuts! • Wegen der unterschiedlich starken Wirkung der Asymmetrie kann ein „guter“ Vertrag am ertrags-stabilen Standort ein „schlechter“ Vertrag am Standort mit hoher Ertragsvariabilität sein. Ob ein Lie-fervertrag am eigenen Standort attraktiv ist, kann man nur herausfinden, wenn man die individuelleErtragsvariabilität explizit berücksichtigt. 7.6.2 Pragmatische Ansätze zur Berücksichtigung des RisikosBei den sog. pragmatischen Ansätzen zur Berücksichtigung des Risikos handelt es sich um Varianten-rechnungen, die zusätzlich zu der auf Erwartungswerten beruhenden deterministischen Planungsrech-nung durchgeführt werden. Sie werden mit dem Attribut „pragmatisch“ versehen, da sie methodisch ge-sehen wiederholte einwertige Planungsrechnungen darstellen und dementsprechend leicht umzusetzensind. Die pragmatischen Ansätze tragen zwar über Variantenrechnungen der Tatsache Rechnung, dassunterschiedliche zukünftige Umweltzustände eintreten können. Sie weisen aber den Nachteil auf, dasssie nicht berücksichtigen, mit welcher Wahrscheinlichkeit der eine oder andere Umweltzustand eintritt.Das heißt, die Höhe des Risikos, das mit verschiedenen Handlungsalternativen verbunden ist, wird nichtvollständig erfasst. Dementsprechend kann für risikoaverse Entscheider modellendogen auch keineHandlungsempfehlung abgeleitet werden. Trotz dieser Kritik werden die pragmatischen Ansätze in derPraxis stark genutzt, um mit einfachen Mitteln einen ersten Eindruck vom Risiko einer Entscheidung zugewinnen. Sensitivitätsanalysen und Berechnung kritischer WerteBei Sensitivitätsanalysen wird - ausgehend vom deterministischen Planungsmodell - die Höhe einereinzelnen Zufallsvariable (z.B. Ertrag oder Produktpreis) variiert und untersucht, wie stark sich dieZielgröße (z.B. Gesamtdeckungsbeitrag oder Kapitalwert) c.p. verändert. Ganz eng damit verwandt istdie Berechnung kritischer Werte. Hier sucht man - wiederum ausgehend vom deterministischen Pla-nungsmodell - für eine Zufallsvariable nach dem Wert, bei dem die Rentabilitätsschwelle c.p. unter-oder überschritten werden würde. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von Break-Even-Analysen (vgl. Punkt 2.4.4). So ließe sich bei einer Investition in einen Milchviehstall bspw. eine kriti-sche Schwelle für den unsicheren Milchpreis berechnen, bei der der Kapitalwert der Investition c.p. ge-rade Null werden würde.Bei der Investitionsplanung haben wir gesehen, dass bei bestimmten Zufallsvariablen die kritischen Werteals eigenständige Entscheidungskalküle benutzt werden. So stellt der interne Zinsfuß einer Investitionnichts anderes als den kritischen Preis des eingesetzten Kapitals dar, oberhalb dessen der Kapitalwert un-ter Null fallen würde (vgl. Punkt 6.3.3b). Analog entspricht die Eigenkapitalrendite dem kritischen Preisdes eingesetzten Eigenkapitals, oberhalb dessen das Eigenkapital nicht in dem betrachteten Investitions-vorhaben eingesetzt werden sollte (vgl. Punkt 6.3.3e). Die auch als Pay-Back-Periode bezeichnete Amor-tisationsdauer ist das Ergebnis einer Break-Even-Analyse, die sich auf die Einflussgröße „Nutzungsdauereiner Investition“ bezieht. Die Amortisationsdauer bezeichnet den Mindestzeitraum, über den die Investi-tionsrückflüsse generiert werden müssen, damit die Rentabilitätsschwelle erreicht und der Kapitalwertpositiv wird.Welchen handlungsorientierten Aussagegehalt haben die Ergebnisse von Sensitivitäts- und Break-Even-Analysen? Klar ist, dass der Unternehmer auf die Einflussgrößen besonders achten muss, auf derenVariation die relevante Erfolgsgröße besonders stark reagiert. Insbesondere aus Break-Even-Analysen 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 437 werden aber gelegentlich vorschnelle Rückschlüsse auf das Risiko unternehmerischer Handlungsalterna-tiven gezogen. Dies ist dann der Fall, wenn man automatisch impliziert, dass ein großer Abstand des kriti-schen Wertes vom Erwartungswert - also bspw. ein 30% unter dem erwarteten Milchpreis liegender kriti-scher Milchpreis - aufgrund des „großen Puffers“ ein geringeres Risiko darstellt als ein „kleiner Puffer“.Dies muss nicht immer richtig sein. Die Wahrscheinlichkeiten, mit der identische prozentuale Abweichun-gen zu erwarten sind, können ja bei verschiedenen Zufallsvariablen sehr unterschiedlich sein. Dies wirdbei Break-Even-Analysen nicht berücksichtigt. Da Rückzahlungen umso unsicherer sind, je weiter sie inder Zukunft liegen, wird die Länge der Pay-Back-Periode als erstes Indiz für die Höhe des Risikos aufge-fasst. Auch hier gilt, dass dies nicht immer richtig sein muss. In Abhängigkeit vom jeweiligen Geschäftsfeldkann das Risiko kurzfristiger Investitionsvorhaben auch durchaus höher sein als das Risiko von Investiti-onen mit einer langen Amortisationsdauer. SzenarienanalysenAuch Szenarienanalysen stellen Variantenrechnungen dar. Im Unterschied zu Sensitivitäts- und Break-Even-Analysen wird bei der Szenarienanalyse aber nicht nur der Wert einer Zufallsvariable verändert.Vielmehr werden die Werte mehrerer Zufallsvariablen gleichzeitig variiert, und zwar in einer zueinanderpassenden Weise. Man berücksichtigt also bspw. den Sachverhalt, dass es aufgrund von Angebot undNachfrage tendenziell zu einem Ansteigen (Absinken) der Kartoffelpreise kommt, wenn die Kartoffeler-träge gering (hoch) sind. Die Annahme eines schlechteren Ertrags ohne gleichzeitige Variation des Preises- wie man dies bspw. bei einer Sensitivitätsanalyse machen würde - wäre keine plausible zukünftige Um-weltsituation.Mit dieser offensichtlichen Notwendigkeit zur gemeinsamen und konsistenten Variation verschiedenerUnsicherheitsgrößen gehen Szenarienanalysen einen deutlichen Schritt weiter als Sensitivitäts- undBreak-Even-Analysen. Sie beruhen aber nur auf einer überschaubaren Anzahl in sich konsistenter Eventualentwicklungen. Um die Bandbreite möglicher Entwicklungen einschätzen zu können, wird man imAllgemeinen neben dem deterministischen, auf Erwartungswerten beruhenden Planungsmodell ein posi-tives und ein negatives Extremszenario entwickeln. Man spricht in diesem Zusammenhang auch vonTrend-, Best-Case- und Worst-Case-Szenario. Der Begriff „Szenarienanalyse“ ist vor allem außerhalb desunternehmerischen Entscheidungsfelds im Zusammenhang mit der Einschätzung globaler Umweltrisikenbekannt geworden. Eine der bekanntesten Szenarienanalysen dürfte der Bericht des Club of Rome „DieGrenzen des Wachstums“ gewesen sein, der bereits 1972 auf riskante Umweltentwicklungen hinwies. Beisimulationsbasierten Verfahren (vgl. Punkt 7.5.3) werden im Unterschied zu Szenarienanalysen nicht nurdrei, sondern viele konsistente Eventualentwicklungen durchkalkuliert, die in Form von Zufallsziehungenaus Verteilungen gewonnen werden. Subjektive Risikoabschläge oder -zuschlägeAuch die sog. subjektiven Risikoabschläge und Risikozuschläge stellen eine weitere Unterart von Vari-antenrechnungen dar. Der risikoaverse Entscheider rechnet hier sein Planungsmodell mit schlechteren Planannahmen durch, indem er ad-hoc auf der (unsicheren) Leistungsseite Abschläge und auf der (unsi-cheren) Kostenseite Zuschläge vornimmt. Man kann subjektive Risikoabschläge und -zuschläge auch alsVersuch interpretieren, die Höhe des mit einer Entscheidung verbundenen Risikos ganz ohne Statistik undWahrscheinlichkeitsrechnung zu erfassen und zusammen mit der eigenen Risikoeinstellung endogen ineinem Planungsmodell zu berücksichtigen. Nach dieser Sicht variiert der Entscheider nicht einfach ad hoceinzelne Werte oder versucht, die denkbare Bandbreite der Entwicklung abzudecken. Vielmehr nimmt ersystematisch umso höhere Risikoabschläge bei den Leistungen und Risikozuschläge bei den Kosten vor, jehöher er subjektiv das Risiko solcher Abweichungen einschätzt und je stärker risikoavers er ist. Wenn ihmdies konsistent gelingen würde, würde die Summe der Risikozuschläge und -abschläge seine individuelle 438 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Risikoprämie ergeben und er hätte das für sein Risiko und seine Risikoeinstellung zutreffende Sicher-heitsäquivalent berechnet. Anders gesagt: Er hätte die zweidimensionale Zielsetzung „Erfolgsstreben“ und„Sicherheitsstreben“ in eine eindimensionale Zielsetzung überführt. Die Vorgehensweise, mit subjektivenRisikoabschlägen zu arbeiten, kann demzufolge mit der qualitativen Risikoeinschätzung in Verbindunggebracht werden. Die systematische Herleitung von Scores (vgl. Abschnitt 7.3) bietet eine erste Hilfestel-lung für die schwierige Aufgabe der subjektiven Einschätzung der Risikohöhe.Während es schwierig ist, subjektive Risikoabschläge und -zuschläge richtig zu bemessen, liegt ihr großerVorteil in der Einfachheit ihrer Verarbeitung. Methodisch gesehen landet man ja wieder - ganz ohne Statis-tik und Wahrscheinlichkeitsrechnung - bei einer einwertigen Planungsrechnung. Der große Nachteil derVorgehensweise ist, dass sie dem Entscheider keine Verteilungsinformationen liefert und damit wenig Ent-scheidungsunterstützung bereitstellt. Der Versuch, die Höhe des Risikos zu messen, wird gar nicht unter-nommen. Vielmehr soll der Entscheider im Kopf für alle relevanten Zufallsvariablen subjektive Wahr-scheinlichkeiten bilden, ggf. Korrelationen berücksichtigen und dann entsprechend der subjektiven Risiko-einstellung geeignete Zu- und Abschläge vornehmen. Möglicherweise ist er damit aber überfordert, so dasses zu Inkonsistenzen kommt. So könnte es bspw. sein, dass er beim gleichen Problem und beim gleichen In-formationsstand morgens andere Risikoabschläge und -zuschläge vornimmt als abends. Mit anderen Wor-ten: Obwohl das Arbeiten mit subjektiven Risikoabschlägen und -zuschlägen in der Praxis weit verbreitetist, stellen sie vielfach keine adäquate Lösung eines Planungsproblems unter Unsicherheit bereit. Wir be-schreiben deshalb in den folgenden Abschnitten, wie systematische Entscheidungsunterstützung unter Ri-siko mit Hilfe formaler Planungsmodelle aussehen kann. Chance-Constrained-ProgrammingAbschließend sei darauf hingewiesen, dass es auch Kombinationen zwischen ad-hoc Risikoabschlägenund der Nutzung von Verteilungsinformationen gibt. Bei der linearen Programmierung werden imRahmen des sog. Chance-Constrained-Programming (CCP) spezifische subjektive Risikoabschlägevorgenommen. Ausgangspunkt sind Verteilungsinformationen bzgl. der zur Verfügung stehenden Pro-duktionskapazitäten, wie z.B. der Zahl der Feldarbeitstage und damit der Arbeitsstunden. CCP fordertbei der Optimierung des Zielfunktionswertes, dass eine Kapazitätsgrenze mit einer gewissen Wahr-scheinlichkeit eingehalten werden muss. Technisch wird dazu das sog. deterministische Äquivalent der Wahrscheinlichkeitsrestriktion bestimmt. Oftmals wird dabei von einer Normalverteilung für dieunsichere Kapazität ausgegangen. Wenn eine Kapazität gemäß diesem deterministischen Äquivalentbspw. mit 95%iger Sicherheit eingehalten werden soll, wird anstelle des Erwartungswertes (Wert des50%-Quantils) der Wert des 5%-Quantils als Restriktion genutzt und anschließend das LP-Problem mitder veränderten Kapazitätsrestriktion gerechnet. Dies entspricht einem subjektiven, verteilungsbezo-genen Risikoabschlag bei der Kapazitätsannahme. Wenn bspw. die Zahl der Feldarbeitsstunden in ei-nem bestimmten Zeitraum als normalverteilt angenommen wird und einen Erwartungswert von 100sowie eine Standardabweichung von 20 hat, dann würde im Rahmen des CCP z.B. das 5%-Quantil inHöhe von 67 Feldarbeitsstunden (= −1,65 ∙ 20 + 100; vgl. Gleichung (7-50)) als Restriktion bei der Be-stimmung des optimalen Produktionsprogramms verwendet werden. 7.6.3 Entscheidungskalküle unter RisikoIm Folgenden werden Entscheidungskalküle beschrieben, die - im Unterschied zu den bisher angespro-chenen Ansätzen - die Verteilungsinformationen von Zufallsvariablen und die Risikoeinstellung vonEntscheidungsträgern berücksichtigen. Ganz allgemein wird ein rationaler Entscheider die Handlungs-alternative ܪܣ௦ (ݏ = 1, 2, … , ܵ) wählen, die den maximalen Präferenzwert ߶(ܪܣ௦) liefert (vgl. Ab-schnitt 2.2): 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 439 maxு஺ೞ ߶(ܪܣ௦) (7-69)Im Folgenden wird zunächst das Konzept der stochastischen Dominanz beschrieben, das in bestimmtenSituationen eine Entscheidungsfindung ohne die genaue Kenntnis der Risikoeinstellung erlaubt. Mit demErwartungsnutzenprinzip und dem Erwartungswert-Varianz-Kriterium werden weiterhin Entschei-dungskalküle erläutert, mit denen der Präferenzwert von Handlungsalternativen unter Berücksichtigungvon Risiko bestimmt werden kann. Dabei werden sowohl die Risikoeinstellungen als auch Verteilungsin-formationen verarbeitet. Außerdem beschreiben wir, wie man die Risikoeinstellung von Entscheidernquantifizieren kann.Zur Veranschaulichung greifen wir auf das bereits in Abb. 7-1 beschriebene Entscheidungsproblem zu-rück. Es geht darum, zwischen drei Betriebsorganisationen ܪܣ௦ (ݏ = 1, 2, 3) zu wählen, die in Abhängig-keit von drei unsicheren Niederschlagsverläufen ௝ܺ (݆ = 1, 2, 3) zu einem unterschiedlichen Wert für dieZielgröße ܼ௦;௝, die dem Gewinn entspricht, führen.Zur Erinnerung haben wir in den Spalten 1 bis 3 von Tab. 7-34 die Ergebnismatrix noch einmal darge-stellt. In den Spalten 4 und 5 sind die gemäß Gleichung (7-6) bestimmte Varianz des Gewinns bzw. dergemäß Gleichung (7-1) berechnete Erwartungswert der jeweiligen Handlungsalternative angezeigt. EinBlick auf diese beiden Spalten zeigt, dass die Auswahl zwischen den betrachteten Handlungsalternati-ven nicht trivial ist, da mit zunehmendem Risiko auch der Erwartungswert des Gewinns steigt. Für ei-nen risikoaversen Entscheider ergibt sich also ein Zielkonflikt. Deshalb sind in den Spalten 6 und 7 diebeiden Entscheidungskalküle „Erwartungsnutzenprinzip“ (EU-Prinzip) und „Erwartungswert-Varianz-Kriterium“ (EV-Kriterium) angezeigt. Tab. 7-34: Vergleich unterschiedlicher Betriebsorganisationen mit Hilfe verschiedener Entscheidungskalküle unter Risiko a) Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5 Spalte 6 Spalte 7Ergebnismatrix mit denErgebniswerten ܼ௦;௝ b) StatistischeKennzahlen EntscheidungskalküleNiederschlag ଵܺ:Niedrig ܺଶ:Mittel ܺଷ:Hoch Varianz Erwar-tungswert b) EU(ߣ = 0,3) EV b)(ߣ = 0,3)ܪܣଵ: Viel Weizen 12 20 28 31,36 19,20 3,10 14,50ܪܣଶ: Viel Roggen 16 18 21 3,00 18,00 3,98 17,55ܪܣଷ: Verpachtung 16 16 16 0,00 16,00 3,35 16,00Wahrscheinlichkeit ௝ܲ 0,3 0,5 0,2a) Zur Veranschaulichung der Vorgehensweise haben wir das EV-Kriterium für unser einfaches Entschei-dungsproblem mit aufgenommen. Wie wir später sehen werden (vgl. Punkt 7.6.3c), sind aber die An-wendungsvoraussetzungen für das EV-Kriterium hier nicht gegeben.b) Angaben in T€. a) Das Konzept der stochastischen DominanzAnders als bei den pragmatischen Risikoansätzen berücksichtigt man beim Konzept der stochastischenDominanz nicht nur verschiedene Umweltzustände, sondern auch die Wahrscheinlichkeiten, mit der dieseeintreten. Gleichzeitig geht man aber weiterhin davon aus, dass die individuelle Risikoeinstellung des Ent-scheiders nicht (genau) bekannt ist.Das Konzept der stochastischen Dominanz beruht auf zwei einfachen Schritten: Zunächst wird fürjede der betrachteten Handlungsalternativen das Risiko der relevanten Zielgröße in Form der Ver-teilungsfunktion ausgewiesen, die als Risikoprofil bezeichnet wird. Dann wird geprüft, ob auf der Grund- 440 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement lage des Risikoprofils auch ohne genaue Kenntnis der Risikoeinstellung eindeutige Handlungsempfeh-lungen gegeben werden können. Dies ist für risikoaverse Entscheider möglich, wenn eine Handlungs-alternative das gleiche Risiko, aber eine höhere Einkommenserwartung hat als eine andere, oder wenneine Alternative ein geringeres Risiko und eine mindestens gleich hohe Einkommenserwartung hat alseine andere (vgl. auch Abb. 2-4). Abb. 7-32: Die verschiedenen Grade stochastischer Dominanz Abb. 7-32 verdeutlicht grafisch den Sachverhalt anhand von zwei Handlungsalternativen ܪܣଵ und ܪܣଶ,die sich gegenseitig ausschließen und deren Verteilungsfunktionen ܨଵ = ܨ[ܼ(ܪܣଵ)] und ܨଶ = ܨ[ܼ(ܪܣଶ)]unterschiedlich zueinander liegen: • Absolute stochastische Dominanz (absolute stochastic dominance) ermöglicht eine eindeutige Hand-lungsempfehlung. ܪܣଶ ist absolut dominant gegenüber ܪܣଵ, wenn das schlechteste Ergebnis von ܪܣଶmindestens so gut ist wie das beste Ergebnis von ܪܣଵ (vgl. Abb. 7-32a). Beispielsweise ist das Werfeneines Spezialwürfels, der nur gerade Augenzahlen zwischen 6 und 16 hat, absolut dominant gegenüberder Verwendung eines normalen Würfels mit Augenzahlen zwischen 1 und 6. Jeder Entscheider, der ei-ne hohe gegenüber einer niedrigen Augenzahl präferiert, würde ganz unabhängig von seiner individuel-len Risikoeinstellung die absolut dominante Alternative vorziehen. In Tab. 7-34 ist die Handlungsaltera) Absolute stochastische Dominanz b) Stochastische Dominanz 1. Grades c) Stochastische Dominanz 2. Grades d) Praxisrelevante Situationܨ(ܼ) ܼ 1 ܨଵ ܨଶ 0,5 Fläche B Fläche A ܨ(ܼ) ܼ 1 ܨଵ ܨଶ0,5 Fläche B Fläche A ܨ(ܼ) ܼ 1 ܨଵ ܨଶ0,5 ܨ(ܼ) ܼ 1 ܨଵ ܨଶ0,5 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 441 native „viel Roggen“ absolut stochastisch dominant gegenüber der Handlungsalternative „Verpachtung“.Mit dem Konzept der absoluten stochastischen Dominanz ist allerdings noch nicht die Frage zu beant-worten, ob die Handlungsalternative „viel Weizen“ gegenüber der Handlungsalternative „viel Roggen“oder der Handlungsalternative „Verpachtung“ vorzuziehen ist. • Stochastische Dominanz 1. Grades (first degree stochastic dominance) wird in Anlehnung an dieenglische Bezeichnung auch einfach mit FSD abgekürzt. ܪܣଶ weist FSD gegenüber ܪܣଵ auf, wenndie Verteilungsfunktion ܨଶ - bildlich gesprochen - rechts von ܨଵ liegt und sich die Verteilungsfunkti-onen nicht schneiden (vgl. Abb. 7-32b). Ein Beispiel ist die Augenzahlensumme beim Werfen von zweiWürfeln (ܪܣଶ) im Vergleich zum Werfen von einemWürfel (ܪܣଵ). Zwar wird mit zwei Würfelnnicht in jedem Fall eine höhere Augenzahl erzielt. Aber für jede beliebige Augenzahl zwischen 1 und12 ist die Wahrscheinlichkeit, eine höhere Augenzahl zu erzielen, mit zwei Würfeln größer als beieinem Würfel. Jeder Entscheider, der eine hohe gegenüber einer niedrigen Augenzahl präferiert,würde unabhängig von seiner individuellen Risikoeinstellung die 1. Grades stochastisch dominanteAlternative ܪܣଶ wählen, d.h. lieber zwei als einen Würfel verwenden. Ob die in Tab. 7-34 beschrie-bene Handlungsalternative „viel Weizen“ den Handlungsalternativen „viel Roggen“ und „Verpachtung“überlegen ist, kann unter Rückgriff auf FSD nicht gesagt werden. Allerdings gilt, dass das, was abso-lut stochastisch dominant ist, auch stochastisch dominant ersten Grades ist (Handlungsalternative„viel Roggen“ vs. Handlungsalternative „Verpachtung“). • Stochastische Dominanz 2. Grades (second degree stochastic dominance) wird oftmals einfachmit SSD abgekürzt. ܪܣଶ weist SSD gegenüber ܪܣଵ auf, wenn sich - bildlich gesprochen - die Vertei-lungsfunktionen der beiden Handlungsalternativen so schneiden, dass die Fläche zwischen den bei-den Verteilungsfunktionen unterhalb des Schnittpunktes (Fläche A) größer oder gleich der Flächeoberhalb des Schnittpunktes (Fläche B) ist (vgl. Abb. 7-32c). Um mit Hilfe von SSD eine Handlungs-empfehlung zu geben, muss Risikoaversion unterstellt werden. Man muss allerdings nicht wissen,wie stark risikoavers der Entscheider ist. Jeder Entscheider, der die konfligierenden Ziele „Ein-kommen“ und „Sicherheit“ verfolgt, würde die 2. Grades stochastisch dominante Alternative ܪܣଶwählen. Ausgehend vom Schnittpunkt lässt sich dies leicht nachvollziehen: Bis zum Schnittpunktdominiert die Verteilung ܨଶ die Verteilung ܨଵ. Rechts vom Schnittpunkt ist es gerade umgekehrt. Einrisikoaverser Entscheider gewichtet Nachteile von ܪܣଵ gegenüber ܪܣଶ im unteren Bereich (d.h. dashöhere Risiko von ܪܣଵ für schlechte Ergebnisse) subjektiv stärker als Vorteile von ܪܣଵ gegenüberܪܣଶ im oberen Bereich (d.h. die höhere Chance von ܪܣଵ für gute Ergebnisse). Solange die Fläche Agrößer oder gleich der Fläche B ist, ist die Entscheidung eindeutig: ܪܣଶ dominiert ܪܣଵ. Es gilt wie-der, dass das, was absolut stochastisch dominant oder stochastisch dominant ersten Grades ist,auch stochastisch dominant zweiten Grades ist. • Praxisrelevante Entscheidungssituationen, in denen es z.B. um die Wahl zwischen unterschied-lich kostenträchtigen Risikomanagementmaßnahmen geht, können i.d.R. nicht durch SSD unter-stützt werden. Anders gesagt: Die diskriminierende Kraft des Konzepts der stochastischen Domi-nanz ist häufig gering. Das gilt bspw. für die Wahl zwischen den ersten beiden der in Tab. 7-34 be-schriebenen Handlungsalternativen. Ein anderes Beispiel ist der Vergleich zwischen einer Betriebs-organisation mit und ohne Versicherung. Im Vergleich zur Situation ohne Versicherung (ܪܣଶ) re-duziert der Abschluss einer Versicherung (ܪܣଵ) das Risiko. Gleichzeitig sinkt mit dem Abschlusseiner Versicherung der Erwartungswert der Zielgröße, da man in eine (nicht subventionierte) Ver-sicherung immer mehr einzahlt als man im Mittel herausbekommt. Damit ist - bildlich gespro-chen - die Fläche B größer als die Fläche A (vgl. Abb. 7-32d). Um in diesem Fall eine eindeutigeHandlungsempfehlung geben zu können, müsste man wissen, wie stark risikoavers der Entschei-der ist. Anders gesagt: Es müsste bekannt sein, wie viel höher aus seiner Sicht die Vorteile im obe-ren Bereich der Verteilung ܨଶ (ohne Versicherung) sein müssen, damit diese die subjektiv stärkergewichteten Nachteile im unteren Bereich kompensieren. Wenn für einen Entscheider die Nach- 442 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement teile im unteren Bereich nicht durch die Vorteile im oberen Bereich kompensiert werden, dannsollte er eine risikoreduzierende Maßnahme ergreifen.Das Konzept der stochastischen Dominanz hat insbesondere Anwendungspotenzial, wenn die Zielgrößennicht normalverteilt sind (inkl. nicht-parametrischer Verteilungen). Sind die Zielgrößen normalverteilt,kann man durch den einfachen Vergleich von Erwartungswert und Varianz die dominierende (risikoeffizi-entere) Handlungsalternative identifizieren. Das heißt, das Konzept der stochastischen Dominanz ist bei normalverteilten Zufallsvariablen recht einfach: • Absolute Dominanz gibt es bei normalverteilten Zufallsvariablen nicht, da die Normalverteilung imGegensatz zu den in Abb. 7-32a) dargestellten Verteilungen links- und rechtsseitig offen ist. • Die Tatsache, dass die Normalverteilung rechts und links offen ist, hat auch Konsequenzen für die sto-chastische Dominanz 1. Grades. Im Gegensatz zu der Darstellung in Abb. 7-32b) ist FSD bei normal-verteilten Zufallsvariablen nur dann gegeben, wenn beide Alternativen die gleiche Varianz aufweisen:ܸ(ܼ(ܪܣଶ)) = ܸ(ܼ(ܪܣଵ)). Bei ungleichen Varianzen käme es immer zu einem Schnittpunkt der Vertei-lungsfunktionen und damit zur Situation c) oder d). Bei gleicher Varianz ist die rechts liegende Vertei-lung ܨଶ dominierend, da sie einen höheren Erwartungswert als ܨଵ hat: ܧ(ܼ(ܪܣଶ)) > ܧ(ܼ(ܪܣଵ)). DieEntscheidung zwischen zwei Alternativen mit gleichem Risiko, aber unterschiedlicher Einkommens-erwartung ist einfach. • Im Gegensatz zu den in Abb. 7-32c) dargestellten Verteilungen bedeutet stochastische Dominanz2. Grades bei normalverteilten Zufallsvariablen zwingend, dass die dominierende Verteilung ܨଶ eine ge-ringere Varianz bei gleichem oder höherem Erwartungswert aufweist als die dominierte Verteilung ܨଵ.Es gilt also: ܸ(ܼ(ܪܣଶ)) < ܸ(ܼ(ܪܣଵ)) und ܧ(ܼ(ܪܣଶ)) ≥ ܧ(ܼ(ܪܣଵ)). Die Entscheidung ist wiederumtrivial: Jeder risikoaverse Entscheider zieht die Alternative mit dem geringeren Risiko und der mindes-tens gleich hohen Einkommenserwartung vor. • Analog zu dem in Abb. 7-32d) dargestellten Sachverhalt gibt es bei zwei normalverteilten Alternati-ven, von denen eine einen höheren Erwartungswert und eine höhere Varianz hat, immer einen Über-schneidungsbereich und die Fläche A ist kleiner als Fläche B. Man kann dann ohne Kenntnis der indi-viduellen Risikoeinstellung nicht zwischen den Handlungsalternativen diskriminieren.Bei normalverteilten Zufallsvariablen bringt das Konzept der stochastischen Dominanz nicht mehr als derschnelle Vergleich der Parameter „Erwartungswert“ und „Varianz“, wie dies z.B. beim „Mean-Preserving-Spread“ gemacht wird - einem Kriterium, das ausgehend von gleichen Erwartungswerten eine Auswahl-entscheidung anhand der Streuung vornimmt. Es unterscheidet sich also gar nicht von dem bereits be-kannten allgemeinen Dominanzkonzept (vgl. Abschnitt 2.2). Es sind aber Fälle denkbar, in denen der Vergleich der Parameter „Erwartungswert“ und „Varianz“ zu kurz greifen würde. Dies ist bei nicht nor-malverteilten Zufallsvariablen der Fall, da deren Risiko nicht einfach mit Hilfe der Varianz beurteilt wer-den kann. Hier kann das spezifische stochastische Dominanzprinzip eine Hilfestellung für die Auswahl dereffizienteren Handlungsalternative bieten. Denken Sie zwecks Intuition noch einmal an die Wahl zwischender zweiten und dritten Handlungsalternative aus dem in Tab. 7-34 dargestellten Beispiel. Oder denkenSie an eine Entscheidung zwischen einem sicheren Betrag von 500 € (ܪܣଵ) und einer Münzwurf-Lotterie(ܪܣଶ), bei der Sie mit jeweils 50%iger Wahrscheinlichkeit 500 € (bei „Kopf“) oder 600 € (bei „Zahl“) er-halten. Der schnelle Blick auf Erwartungswert und Varianz würde nicht zu einer eindeutigen Handlungs-empfehlung führen, da der höhere Erwartungswert mit einer höheren Varianz verbunden ist. Dagegenkäme man mit Hilfe der absoluten stochastischen Dominanz zu einer eindeutigen und richtigen Entschei-dung zugunsten der Handlungsalternative 2. Darüber hinaus bietet die „Betrachtung des Verhältnisses derFlächen A und B“ bei nicht normalverteilten Zufallsvariablen den Vorteil, dass das nicht hinreichend überdie Varianz erfassbare Risiko, das mit den verschiedenen Handlungsalternativen verbunden ist, in einerKenngröße erfasst werden kann. 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 443 b) Das Erwartungsnutzen-Prinzip GrundlagenDer Ausgangspunkt der folgenden Überlegungen ist das Erwartungswert-Kriterium, das auch als Bayes-Regel oder einfach als ߤ-Regel bezeichnet wird. Das Erwartungswert-Kriterium ist zwar sehr leichtanzuwenden, stellt aber eigentlich noch gar kein Kriterium zur Entscheidung unter Risiko dar, da es dieStreuung der Ergebnisse sowie die Risikoeinstellung des Entscheiders nicht berücksichtigt. Nach demErwartungswert-Kriterium sollte die Handlungsalternative ܪܣ௦ gewählt werden, die den höchsten Er-wartungswert der unsicheren Zielgröße ܼ(ܪܣ௦) = ܼ௦ aufweist. Formal gesehen wird also für zustands-diskrete Zufallsvariablen die folgende Präferenzfunktion unterstellt: maxு஺ೞ ߶(ܪܣ௦) = maxு஺ೞ ܧ[ܼ(ܪܣ௦)] = maxு஺ೞ ܧ(ܼ௦) = maxு஺ೞ ቌ෍ܼ௦;௝ ∙ ௝ܲ௃௝ୀଵ ቍ ,mit ෍ ௝ܲ௃௝ୀଵ = 1 (7-70)Von den in Tab. 7-34 betrachteten Alternativen sollte gemäß Erwartungswert-Kriterium (Spalte 5) dieHandlungsalternative „viel Weizen“ gewählt werden. Um mit Hilfe des Erwartungswert-Kriteriums zueiner Entscheidung zu kommen, müsste man in einem nachgelagerten Schritt prüfen, bei welcher Hand-lungsalternative der erwartete Gewinn die Risikoprämie am stärksten überdeckt. Die Entscheidungsvor-bereitung würde also auf zwei Stufen basieren: (1) Kalkulation des erwarteten Gewinns und(2) ergänzende Erwägungen, in welche die Risikoeinstellung mit eingeht.Da der Erwartungswert offensichtlich unbefriedigend ist, um Entscheidungen unter Risiko zu unterstüt-zen, wird vielfach auf den Erwartungsnutzen zurückgegriffen, der auch als Von-Neumann-Morgenstern-oder Bernoulli-Nutzen bezeichnet wird. Das Erwartungsnutzen-Prinzip (EU-Prinzip; expected utilityprinciple) berücksichtigt sowohl das Risiko der unsicheren Zielgröße als auch die Risikoeinstellung desEntscheidungsträgers. Zum leichteren Verständnis erklären wir das EU-Prinzip und seine Annahmen indrei Schritten. Schritt A: Der Ausgangspunkt ist die Annahme, dass wir es mit einem Entscheider zu tun haben, der diefolgenden, unmittelbar einleuchtenden und gemeinhin als vernünftig empfundenen Grundannahmenfür rationales Verhalten - man spricht in diesem Zusammenhang auch von Rationalitätsaxiomen - er-füllt:1. Vollständigkeit: Der Entscheider kann Handlungsalternativen ordinal ordnen. Beim Vergleich zweierAlternativen kann er also eindeutig sagen, welche er präferiert (ܪܣଵ ≻ ܪܣଶ oder ܪܣଵ ≺ ܪܣଶ) oder ober indifferent ist (ܪܣଵ ∼ ܪܣଶ).2. Transitivität: Die Präferenzordnung für verschiedene Handlungsalternativen ist widerspruchsfrei.Wenn ܪܣଵ ≻ ܪܣଶ und ܪܣଶ ≻ ܪܣଷ, dann hat der Entscheider auch die Präferenz: ܪܣଵ ≻ ܪܣଷ.3. Unabhängigkeit: Die Rangfolge von Alternativen wird nicht verändert, wenn sie mit einer drittenHandlungsalternative gemischt werden. Wenn ܪܣଵ ≻ ܪܣଶ, dann gilt: ݓ ∙ ܪܣଵ + (1 − ݓ) ∙ ܪܣଷ ≻ ݓ ∙ܪܣଶ + (1 − ݓ) ∙ ܪܣଷ. Dabei kennzeichnet ݓ einen Gewichtungsfaktor zwischen Null und Eins(0 ≤ ݓ ≤ 1).4. Kontinuität: Wenn ܪܣଵ ≻ ܪܣଶ und ܪܣଶ ≻ ܪܣଷ, dann gibt es eine Mischung zwischen der bestenAlternative 1 und der schlechtesten Alternative 3, die den gleichen Nutzen wie die Alternative 2 auf-weist: ݓ ∙ ܪܣଵ + (1 − ݓ) ∙ ܪܣଷ ∼ ܪܣଶ, mit 0 ≤ ݓ ≤ 1. Schritt B: Ein rationaler Entscheider, der das Ziel Gewinnmaximierung hat und keines dieser Axiome ver-letzt, kann für verschiedene Einkommensniveaus eine streng monoton steigende eindimensionale Präfe-renz- bzw. Nutzenfunktion ܷ(ܼ) angeben, die jedem möglichen Ergebnis einen kardinalen Nutzenwert zu-ordnet. Streng monoton steigend bedeutet, dass der Nutzen mit dem Einkommen steigt. Ein höheres Ein-kommen wird also grundsätzlich einem niedrigeren Einkommen vorgezogen. Kardinal bedeutet hier, dass 444 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement der Nutzen auf einer Intervallskala gemessen wird, deren Maßeinheit und Nullpunkt beliebig festgelegt wer-den können. Damit entspricht einem bestimmten Ergebnis ܼ௦;௝ kein fester Nutzenwert ܷ(ܼ௦;௝), sondern mankönnte dem Ergebnis ebenso gut den Nutzenwert ܷ∗൫ܼ௦;௝൯ = ߙ + ߚ ∙ ܷ൫ܼ௦;௝൯, mit ߚ > 0, zuordnen. Es gilt:ܪܣଵ ≺ ܪܣଶ ⇔ ܷ[ܼ(ܪܣଵ)] < ܷ[ܼ(ܪܣଶ)] (7-71)Abb. 7-33 verdeutlicht, dass der Verlauf der Nutzenfunktion konkav, linear oder konvex sein kann. Dergrundsätzliche Verlauf sowie das Ausmaß der Krümmung der Nutzenfunktion sind vom individuellen Ent-scheider abhängig. Eine konkav verlaufende Nutzenfunktion entspricht einem abnehmenden Grenz-nutzen. Dies bedeutet, dass eine zusätzliche Einheit Einkommen mit zunehmendem Einkommensniveauimmer weniger an Zusatznutzen stiftet. Demgegenüber bedeutet ein linearer (konvexer) Verlauf, dass derNutzenzuwachs bei zunehmendem Einkommensniveau gleich bleibt (immer höher wird). Abb. 7-33: Konkave, lineare und konvexe Nutzenfunktionen Schritt C: Nun wird die Nutzenfunktion des jeweiligen Entscheiders mit der Verteilungsinformation derZielgröße verknüpft. Ein Entscheider, der über die Ergebnismenge einer unsicheren Zielgröße ܼ einestreng monoton steigende Nutzenfunktion ܷ(ܼ) definiert hat, muss - um rational zu sein - denErwartungswert seines Nutzens (= Erwartungsnutzen) maximieren. Die Präferenzfunktion ߶(ܪܣ௦)entspricht also dem Erwartungsnutzen einer Handlungsalternative ܧ[ܷ(ܼ௦)]. Formal gesehen hat dasEntscheidungsproblem für zustandsdiskrete Zufallsvariablen damit folgende Form: maxு஺ೞ ߶(ܪܣ௦) = maxு஺ೞ ܧ[ܷ(ܼ௦)] = maxு஺ೞ ቌ෍ܷ(ܼ௦;௝) ∙ ௝ܲ௃௝ୀଵ ቍ ,mit ෍ ௝ܲ௃௝ୀଵ = 1 (7-72)Anders ausgedrückt: Ausgehend von der Nutzenfunktion berechnet man für jede Handlungsalternativeܪܣ௦ die Summe der mit den jeweiligen Eintrittswahrscheinlichkeiten ௝ܲ gewichteten Nutzen der einzelnenErgebniswerte ܷ(ܼ௦;௝). Dadurch werden unsichere Handlungsalternativen in eine für den rationalen Ent-scheider eindeutige Rangordnung gebracht. Zu betonen ist in diesem Zusammenhang, dass ein konkaverVerlauf der Nutzenfunktion ܷ(ܼ) einen risikoaversen, ein linearer Verlauf einen risikoneutralen und einkonvexer Verlauf einen risikofreudigen Entscheider widerspiegelt. Man bezeichnet die Nutzenfunktiondeswegen auch als Risikonutzenfunktion. Das Konzept der RisikonutzenfunktionDie Tatsache, dass der Verlauf der Nutzenfunktion die Risikoeinstellung abbildet und deshalb oftmalsauch als Risikonutzenfunktion bezeichnet wird, mag auf den ersten Blick erstaunlich wirken, da es sich umeine eindimensionale Funktion handelt, die nur eine unabhängige Variable, nämlich das Einkommen, aufa) Konkave Nutzenfunktion ܼ b) Lineare Nutzenfunktionܷ(ܼ) ܷ(ܼ) ܷ(ܼ) ܼ ܼ c) Konvexe Nutzenfunktion 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 445 weist (vgl. Abb. 7-33). Auch wenn der axiomatische Beweis, dass die Risikonutzenfunktion die Risiko-einstellung widerspiegelt, der weiterführenden entscheidungstheoretischen Spezialliteratur überlassenbleiben muss, wollen wir nachstehend etwas Intuition schaffen. Abb. 7-34 verdeutlicht den Sachverhaltdurch den Vergleich einer sicheren und einer unsicheren Handlungsalternative. Dabei wird auf die konka-ve Risikonutzenfunktion Bezug genommen, die den relevanten Fall eines risikoaversen Entscheiders ab-bildet. Abb. 7-34: Risikonutzenfunktion, Erwartungsnutzen und Sicherheitsäquivalent a) a) Sichere Handlungsalternative 1 mit ܧ(ܼଵ) = ܼ଴; unsichere Handlungsalternative 2 mit zwei gleich-wahrscheinlichen Ergebnissen ܼି und ܼା sowie ܧ(ܼଶ) = ܼ଴.Wir betrachten folgende Ausgangssituation: Eine Handlungsalternative 1 liefert ein sicheres Einkom-men in Höhe des in Abb. 7-34 mit ܼ଴ bezeichneten Wertes. Damit gilt für den Erwartungswert vonHandlungsalternative 1: ܧ(ܼଵ) = ܼ଴. Bei Handlungsalternative 2 ist das Einkommen dagegen einebinomial verteilte Zufallsvariable. Mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit ܲ(ܼି) = ܲ(ܼା) = 0,5 könnendie beiden Ergebnisse ܼି und ܼା eintreten, die vom Erwartungswert der Handlungsalternative 1jeweils gleich weit entfernt sind. Damit hat auch die Alternative 2 einen Erwartungswert vonܧ(ܼଶ) = ܼ଴. Es gilt: ܧ(ܼଵ) = ܧ(ܼଶ) = ܼ଴.Der Erwartungsnutzen der sicheren Alternative 1 ist direkt über die Risikonutzenfunktion abzulesen. Erentspricht dem Nutzen des sicheren Ergebnisses ܧ[ܷ(ܼଵ)] = ܷ(ܼ଴). Der Erwartungsnutzen von Alternati-ve 2 entspricht dagegen der Summe der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Nutzenwerteder beiden möglichen Ausprägungen: ܧ[ܷ(ܼଶ)] = 0,5 ∙ ܷ(ܼି) + 0,5 ∙ ܷ(ܼା). Da im Beispiel beide Ein-trittswahrscheinlichkeiten gleich sind, ist der Erwartungsnutzen grafisch genau in der Mitte zwischen denauf der Ordinate mit ܷ(ܼା) und ܷ(ܼି) gekennzeichneten Punkten abzulesen. Alternativ kann man auchdie Punkte A und B verbinden und die daraus resultierende Strecke im Verhältnis der Eintrittswahr- ܼܼ଴ ܷ(ܼ) ܼି ܷ(ܼା) ܼା ܷ(ܼି) ܧ[ܷ(ܼଶ)] = ܷ(ܵÄ) ܵÄܴܲ ∆ܷା ∆ܷି ܧ[ܷ(ܼଵ)] = ܷ(ܼ଴) A B C 446 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement scheinlichkeiten teilen. Der Punkt C, der im vorliegenden Beispiel die Strecke halbiert, hat die Koordinatenܼ଴ = ܧ(ܼଶ) und ܧ[ܷ(ܼଶ)].Bei einer konkaven Nutzenfunktion - eine Annahme, die letztlich dem Gossenschen Gesetz (vgl.Punkt 4.4.2a) entspricht - ist der Erwartungsnutzen einer unsicheren Alternative immer geringer als derErwartungsnutzen einer sicheren Alternative mit dem gleichen Erwartungswert. In unserem Fall gilt:ܧ[ܷ(ܼଶ)] < ܧ[ܷ(ܼଵ)]. Die Intuition hierfür wird in Abb. 7-34 sichtbar: Zum einen ergibt sich bei der unsi-cheren gegenüber der sicheren Handlungsalternative ein Nutzengewinn ∆ܷା, wenn die Ausprägung überdem Erwartungswert liegt. Zum anderen ergibt sich ein Nutzenverlust ∆ܷି, wenn die andere Ausprägungin gleichem Abstand unter dem Erwartungswert liegt. Der Nutzengewinn ∆ܷା ist wegen des konkavenFunktionsverlaufs geringer als der Nutzenverlust ∆ܷି. Dies gilt umso mehr, je konkaver die Risikonutzen-funktion an der relevanten Stelle ist.Die Beziehung zwischen dem Erwartungsnutzen einer sicheren und einer unsicheren Alternative kannauch mit Hilfe der Risikoprämie ܴܲ und des Sicherheitsäquivalents ܵÄ beschrieben werden. Wiebereits in Punkt 7.2.1b) erklärt wurde, ist das Sicherheitsäquivalent der sichere Betrag, der für einen risi-koaversen Entscheider denselben Nutzen stiftet wie eine unsichere Alternative mit einem bestimmtenErwartungswert und einer bestimmten Streuung. Die Risikoprämie ihrerseits ist die Differenz zwischendem Erwartungswert der unsicheren Alternative und dem Sicherheitsäquivalent. Die Risikoprämie lässtsich auch als der Betrag verstehen, der von einem risikoaversen Entscheider subjektiv gefordert wird, umdas Risiko einer unsicheren Alternative zu übernehmen. Man könnte die Risikoprämie damit als „subjektivempfundene Risikokosten“ oder als Zahlungsbereitschaft für eine Risikomanagementmaßnahme, wie z.B.eine Versicherung, verstehen, die Sicherheit herstellt. Formal gilt folgender Zusammenhang:ܵÄ = ܧ(ܼ) − ܴܲ (7-73)Ausgehend von dem nach Gleichung (7-72) berechneten Erwartungsnutzen einer unsicheren Alterna-tive erhält man das Sicherheitsäquivalent, indem man über die Umkehrfunktion der Risikonutzenfunk-tion das Argument des Erwartungsnutzens bestimmt. Anders ausgedrückt: Der Erwartungsnutzen ei-ner unsicheren Alternative entspricht dem Nutzen des Sicherheitsäquivalents (vgl. auch Abb. 7-34).Der Vergleich der Sicherheitsäquivalente von Alternativen muss damit zur gleichen Rangordnung wieder Vergleich ihrer Erwartungsnutzen führen. Zu beachten ist, dass sich der Nutzen des Erwartungs-wertes - bis auf den Spezialfall der Risikoneutralität und damit einer linearen Nutzenfunktion - vomNutzen des Sicherheitsäquivalents unterscheidet. Bei einer konkaven Risikonutzenfunktion, d.h. beiRisikoaversion, ist der Nutzen des Sicherheitsäquivalents immer kleiner als der Nutzen des Erwar-tungswertes. Es gilt:ܧ[ܷ(ܼ)] = ܷ(ܵÄ) = ܷ[ܧ(ܼ) − ܴܲ] < ܷ[ܧ(ܼ)] (7-74)Die Risikoprämie ist ein Maß für die Risikoeinstellung. Sie kann sich für unterschiedliche Punkte auf derRisikonutzenfunktion und damit für verschiedene Werte für das (End)Vermögen unterscheiden. Die Risi-koprämie an einer bestimmten Stelle ܼ beschreibt deshalb die Risikoeinstellung eines Entscheiders nochnicht vollständig. Hier setzen der absolute und der relative Risikoaversionskoeffizient an, die die Risiko-einstellung eines Entscheiders jeweils als Funktion vom Vermögen beschreiben.Wir wissen, dass - grafisch gesprochen - die Risikoaversion umso stärker ist, je konkaver die Risiko-nutzenfunktion ist. Formal bedeutet dies, dass der Grad der Risikoaversion durch die zweite Ableitung derRisikonutzenfunktion nach dem Gesamtvermögen gemessen werden kann, die die Veränderung der Stei-gung der Risikonutzenfunktion beschreibt. Die Division der zweiten Ableitung der Risikonutzenfunktiondurch die erste Ableitung ermöglicht eine Normierung der Risikoaversion. Multipliziert man das Ergebnismit dem Faktor −1, erhält man das sog. Arrow-Pratt-Maß für die absolute Risikoaversion ܴܣ௔௕௦:ܴܣ௔௕௦ = −݀ଶܷ/ܼ݀ଶܷ݀/ܼ݀ (7-75) 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 447 Die absolute Risikoaversion wird also quantifiziert, indemman die negative Veränderung der Steigung derRisikonutzenfunktion im Verhältnis zur Steigung selbst misst.Den relativen Risikoaversionskoeffizienten ܴܣ௥௘௟ erhält man, indem man den absoluten Risikoaversi-onskoeffizienten ܴܣ௔௕௦ mit dem jeweiligen Niveau des Gesamtvermögens multipliziert:ܴܣ௥௘௟ = ܴܣ௔௕௦ ∙ ܼ (7-76)Bei einer konkaven Risikonutzenfunktion ist sowohl der absolute als auch der relative Risikoaversions-koeffizient positiv. Der gebräuchlichere der beiden Koeffizienten ist der absolute Risikoaversionskoeffi-zient.Mit Blick auf den Zusammenhang zwischen dem Vermögensstand des Entscheiders und seiner Risikoein-stellung unterscheidet man zwischen abnehmender, konstanter und zunehmender Risikoaversion. Ist dieerste Ableitung des Risikoaversionskoeffizienten nach der Zielgröße gleich Null, so handelt es sich um ei-ne konstante Risikoaversion. Ist die erste Ableitung des Risikoaversionskoeffizienten kleiner (größer) alsNull, so liegt eine abnehmende (zunehmende) Risikoaversion vor. Dies gilt sowohl für die absolute alsauch für die relative Risikoaversion. Konstante absolute Risikoaversion bedeutet, dass man unabhängig vom Gesamtvermögen immerdenselben absoluten Betrag in eine risikobehaftetet Anlage bindet. Ein Beispiel ist ein Entscheider, derbei einem Vermögen von 100 000 € einen Betrag von 30 000 € für die Durchführung einer riskantenInvestition einsetzt und bei einem Vermögen von 500 000 € ebenfalls 30 000 € riskant investiert. Einekonstante absolute Risikoaversion bedeutet zwangsläufig eine zunehmende relative Risikoaversion, da mit steigendem Einkommen ein zunehmend geringerer relativer Anteil des Vermögens riskantangelegt wird. Abnehmende absolute Risikoaversion bedeutet dagegen, dass man mit zunehmendem Gesamtver-mögen bereit ist, einen zunehmend höheren absoluten Betrag in risikobehafteten Anlagen zu binden.Ein Beispiel ist ein Entscheider, der bei einem Vermögen von 100 000 € bereit ist, einen Betrag von30 000 € für die Durchführung einer riskanten Investition einzusetzen, und bei einem Vermögen von500 000 € einen Betrag von 100 000 € riskant investieren würde. Je nach der Stärke der Abnahme derabsoluten Risikoaversion kommt es zu einer abnehmenden, konstanten oder zunehmenden relativen Risikoaversion. In dem gewählten Zahlenbeispiel ergibt sich eine zunehmende relative Risiko-aversion, weil das Vermögen mit dem Faktor 5 von 100 000 € auf 500 000 € angestiegen ist, währendder für die riskante Anlage eingesetzte Betrag sich nur um den Faktor 3,33 von 30 000 € auf 100 000 €erhöht hat. Eine konstante relative Risikoaversion hätte sich ergeben, wenn der für die riskante Anlageeingesetzte absolute Betrag ebenfalls um den Faktor 5 auf 150 000 € angestiegen wäre. Wäre die Ab-nahme der absoluten Risikoaversion noch stärker, würde sich eine abnehmende relative Risikoaversionergeben, da der Entscheider bereit wäre, einen zunehmend höheren relativen Anteil seines Vermögensin der riskanten Anlage zu binden.Tab. 7-35 listet die wichtigsten Formen von Risikonutzenfunktionen auf und beschreibt, welche Art ri-sikoaverser Einstellungen die jeweilige Funktionsform impliziert. Die Annahme, dass die Risikoaversion realer Entscheider mit steigendem Vermögen sinkt oder allenfalls konstant bleibt, scheint plau-sibel. Damit stellt die quadratische Risikonutzenfunktion keine realistische Annahme dar. Wenn Ent-scheider eine konstante absolute Risikoaversion haben, wie dies bei einer exponentiellen Risiko-nutzenfunktion der Fall ist, ist die Risikoprämie konstant. In diesem Fall ergibt sich der technische Vor-teil, dass das Niveau des Gesamtvermögens keine Rolle bei der Bewertung des Nutzens einer riskantenHandlungsalternative spielt. Man kann sich deshalb beim Vergleich verschiedener Alternativen auf Nut-zenänderungen beschränken. Insbesondere aufgrund dieses Vorteils unterstellt man bei der Ableitungvon Entscheidungshilfen unter Berücksichtigung von Unsicherheit oftmals a priori eine exponentielleRisikonutzenfunktion. 448 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Tab. 7-35: Eigenschaften verschiedener Risikonutzenfunktionen risikoaverser EntscheiderFunktion Absolute Risikoaversion ܴܣ௔௕௦ Relative Risikoaversion ܴܣ௥௘௟1 ܷ(ܼ) = ߙ − ߚ ∙ ݁ିఒ∙௓,mit ߚ, ߣ > 0(exponentielle Risikonutzen-funktion) ߣ(constant absolute riskaversion; CARA) ߣ ∙ ܼ(increasing relative riskaversion; IRRA)2 ܷ(ܼ) = ܼଵିఏ/(1 − ߠ),mit ܼ, ߠ > 0 und ߠ ≠ 1(Potenz-Risikonutzenfunktion) ߠ/ܼ(decreasing absolute riskaversion; DARA) ߠ(constant relative riskaversion; CRRA)3 ܷ(ܼ) = ߙ − ߚ ∙ ln (ܼ),mit ܼ > 0 und ߚ < 0(logarithmische Risikonutzen-funktion) 1/ܼ(decreasing absolute riskaversion; DARA) 1(constant relative riskaversion; CRRA)4 ܷ(ܼ) = ߙ + ߚ ∙ ܼ − ߛ ∙ ܼଶ,mit ܼ < ߚ/(2 ∙ ߛ) und ߚ, ߛ > 0(quadratische Risikonutzen-funktion) 2 ∙ ߛߚ − 2 ∙ ߛ ∙ ܼ(increasing absolute riskaversion; IARA) 2 ∙ ߛߚ − 2 ∙ ߛ ∙ ܼ ∙ ܼ(increasing relative riskaversion; IRRA) Beispiel 7-8EU-Prinzip - optimale BetriebsorganisationWir bleiben bei unserer Frage nach der optimalen Betriebsorganisation mit drei Handlungsalternativen (vgl.Tab. 7-34): eine Betriebsorganisation mit viel Weizen (ܪܣଵ), eine mit viel Roggen (ܪܣଶ) und die Verpach-tung des Betriebs (ܪܣଷ). Für den Betriebsleiter unterstellen wir eine exponentielle Risikonutzenfunktion:ܷ(ܼ) = ߙ − ߚ ∙ ݁ିఒ∙௓ (7-77)Wir wählen ߙ = 5, ߚ = 200 und ߣ = 0,3. Die Risikoaversion wird über den Koeffizienten ߣ ausgedrückt. Jegrößer ߣ ist, desto ausgeprägter ist die unterstellte Risikoaversion. Während die Spezifikation von ߣ dieRangfolge der Alternativen beeinflusst, wird durch die Wahl der Koeffizienten ߙ und ߚ nur das Nutzen-niveau verschoben.In den Spalten 1 bis 3 der Tab. 7-36 sind die Nutzenwerte ausgewiesen, die unter Maßgabe dieser Risikonut-zenfunktion für die Ergebnismatrix von Tab. 7-34 berechnet wurden. Eine derartige Matrix, in der die Er-gebniswerte durch die Nutzenwerte ersetzt sind, wird auch allgemein als Entscheidungsmatrix bezeichnet. Tab. 7-36: Vergleich unterschiedlicher Betriebsorganisationen nach dem EU-Prinzip a)Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5 Spalte 6 Spalte 7 Spalte 8Entscheidungsmatrix mitden Nutzenwerten ܷ(ܼ௦;௝) Erwartu ngswertܧ( ܼ ௦)(T€ ) Erwartu ngsnutzen ܧ[ܷ(ܼ ௦) ] Sicherh eits- äquival entܵÄ ௦ (T€) Risikop rämie ܴ ௦ܲ(T€ ) Nutzen des Erwartu ngswertesܷ [ܧ(Z ௦)] Niederschlag ଵܺ:Niedrig ܺଶ:Mittel ܺଷ:Hochܪܣଵ: Viel Weizen -0,46 4,50 4,96 19,20 3,10 15,53 3,67 4,37ܪܣଶ: Viel Roggen 3,35 4,10 4,63 18,00 3,98 17,60 0,40 4,10ܪܣଷ: Verpachtung 3,35 3,35 3,35 16,00 3,35 16,00 0,00 3,35Wahrscheinlichkeit ௝ܲ 0,3 0,5 0,2a) Es wird eine exponentielle Risikonutzenfunktion der Form ܷ(ܼ) = 5 − 200 ∙ ݁ି଴,ଷ∙௓ unterstellt. 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 449 Abb. 7-35: Zusammenhang zwischen Erwartungswert, Erwartungsnutzen, Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie für Handlungsalternative 2 „viel Roggen“ In Spalte 5 ist der Erwartungsnutzen der drei betrachteten Handlungsalternativen gemäß Glei-chung (7-72) berechnet. Im Gegensatz zum Erwartungswert-Kriterium (vgl. Spalte 4) sollte gemäß EU-Prinzip nicht die Handlungsalternative „viel Weizen“, sondern die Handlungsalternative „viel Roggen“ rea-lisiert werden. Den zweithöchsten Erwartungsnutzen liefert die Handlungsalternative „Verpachtung“. EinVergleich der Spalte 5 und der Spalte 8 zeigt, dass der Nutzen des Erwartungswertes kein Entscheidungs-kriterium sein kann. Es käme ja zu einer falschen Rangordnung.Allerdings bestätigt ein Blick auf Spalte 6, dass der Vergleich der Sicherheitsäquivalente der Alternativenzur gleichen Rangordnung wie der Vergleich der Erwartungsnutzen führt. Das Sicherheitsäquivalent lässtsich mit Hilfe der Umkehrfunktion der Risikonutzenfunktion berechnen. Für die hier unterstellte Risiko-nutzenfunktion ܷ(ܼ) = ߙ − ߚ ∙ ݁ିఒ∙௓ lautet die Umkehrfunktion:ܼ(ܷ) = −ln ൬ߙ − ܷߚ ൰ ∙ 1ߣ (7-78)Berechnet man nun den Wert der Umkehrfunktion an der Stelle des Erwartungsnutzens, erhält man dasSicherheitsäquivalent:ܼ(ܧ[ܷ(ܼ)]) = −lnቆߙ − ܧ[ܷ(ܼ)]ߚ ቇ ∙ 1ߣ = ܵÄ (7-79) ܼଶ in T€ ܷ(ܼଶ) ܷ൫ܼଶ;ଵ൯ = 3,35 ܼ ଶ;ଵ=1 6,00 ܧ[ܷ(ܼଶ)] = 3,98ܷ൫ܼଶ;ଶ൯ = ܷ[ܧ(ܼଶ)] = 4,10 ܷ൫ܼଶ;ଷ൯ = 4,63 ܵÄ ଶ=1 7,60 ܼ ଶ;ଶ=ܧ (ܼ ଶ)=1 8,00 ܼ ଶ;ଷ=2 1,00 ܴ ଶܲ 450 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Durch diese Invertierung der Risikonutzenfunktion kann man den Erwartungsnutzen in ein monetäresMaß zurückübersetzen. In Abb. 7-35 sind die Zusammenhänge zwischen Erwartungswert, Erwartungs-nutzen, Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie für ܪܣଶ grafisch veranschaulicht.Ende des Beispiels Anwendungen des EU-PrinzipsBei diskreten Zufallsvariablen ist die Berechnung des Erwartungsnutzens nach Gleichung (7-72) möglich.Allerdings steigt der Rechenaufwand mit der Zahl der Ausprägungen der Zufallsvariablen an, da für jedeeinzelne Ausprägung der Nutzenwert bestimmt werden muss. Wenn es sich bei der Zielgröße um eine zustandsstetige Zufallsvariable ࢆ mit bekannter Dichtefunktion ࢌ(ࢆ) handelt, ist der Erwartungs-nutzen wie folgt zu berechnen: ܧ[ܷ(ܼ)] = න [ܷ(ܼ) ∙ ݂(ܼ)]ܼ݀ାஶିஶ (7-80)Setzt man in Gleichung (7-80) z.B. eine quadratische Risikonutzenfunktion ܷ(ܼ) = ߙ + ߚ ∙ ܼ − ߛ ∙ ܼଶ mitߙ = 0, ߚ = 1 und ߛ = 0,0001 ein und geht von einer Normalverteilung für die Zielgröße ܼ mit ߤ = 5 undߪ = 10 (vgl. Gleichung (7-40)) aus, ergibt sich für den Erwartungsnutzen: ܧ[ܷ(ܼ)] = න ቈ(ܼ − 0,0001 ∙ ܼଶ) ∙ ቆ 1√2 ∙ ߨ ∙ 10 ∙ ݁൤ିభమ∙ቀೋషఱభబ ቁమ൨ቇ቉ ܼ݀ାஶିஶ = 4,9875 (7-81)Der Erwartungsnutzen ܧ[ܷ(ܼ)] beträgt 4,9875. Das in Gleichung (7-81) definierte Integral kann man auchnumerisch lösen, indem man im Rahmen einer stochastischen Simulation eine hinreichend große Anzahlvon Zufallszahlen aus der für die Zielgröße unterstellten Normalverteilung generiert, diese Zufallszahlenjeweils in die Risikonutzenfunktion einsetzt und anschließend den Mittelwert der einzelnen Nutzenwertebestimmt.Wir haben bereits gesehen, dass der Vergleich der Erwartungsnutzen von verschiedenen Handlungsalter-nativen zur gleichen Rangordnung führt wie der Vergleich der Sicherheitsäquivalente. Insbesondere beiriskanten Investitionen spricht man deshalb auch vom Sicherheitsäquivalentverfahren und vom Risk-Adjusted-Discount-Rate-Verfahren. Beide lassen sich prinzipiell als alternative Darstellungsformen desEU-Prinzips verstehen: • Beim Sicherheitsäquivalentverfahren werden von den zukünftig erwarteten Investitionsrück-flüssen Risikoabschläge und damit Risikoprämien gemäß der subjektiven Risikonutzenfunktion desjeweiligen Entscheiders vorgenommen. Da das Investitionsrisiko bereits durch die Reduzierung derzukünftigen Investitionsrückflüsse berücksichtigt wird, kann zur Diskontierung der Sicherheits-äquivalente die Verzinsung einer risikolosen Anlage, d.h. der sog. risikolose Zinssatz, verwendetwerden. • Beim Risk-Adjusted-Discount-Rate-Verfahren wird ein risikoangepasster Zinssatz in Abhängigkeitvon der subjektiven Risikoeinschätzung und der Risikoaversion des Entscheiders bestimmt. Er wirddaher auf die tatsächlich erwarteten Investitionsrückflüsse angewendet, ohne dass diese vorher umeine Risikoprämie bereinigt werden. Durch die Erhöhung des Zinssatzes im Rahmen des Risk-Adjusted-Discount-Rate-Verfahrens kommt es zu einer umso stärkeren zusätzlichen Entwertung dererwarteten Investitionsrückflüsse, je weiter diese in der Zukunft liegen. Das Risk-Adjusted-Discount-Rate-Verfahren entspricht also einer über die Jahre zunehmenden Risikoprämie. Dies ist plausibel, damit zunehmendem Prognosezeitraum die Unsicherheit zunimmt. 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 451 Das Sicherheitsäquivalentverfahren und das Risk-Adjusted-Discount-Rate-Verfahren kommen zur glei-chen Präferenzordnung wie das EU-Prinzip, wenn bei beiden Verfahren die Risikoprämien konsistentmit der Risikonutzenfunktion und den erwarteten zukünftigen Verteilungen gewählt werden. DieseKonsistenz herzustellen ist allerdings nicht trivial. In der praktischen Planung werden Sicherheitsäqui-valent- und Risk-Adjusted-Discount-Rate-Verfahren deshalb vielfach losgelöst von der Risikonutzen-funktion angewendet. Anders ausgedrückt: Es wird gar nicht versucht, eine Aussage darüber zu treffen,welcher Risikonutzenfunktion und welchen zukünftigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine be-stimmte Verminderung der Investitionsrückflüsse oder eine bestimmte Erhöhung des Zinssatzes ent-spricht. Geht man so vor, nimmt man de facto wieder ad-hoc Risikoabschläge oder -zuschläge vor (vgl.Punkt 7.6.2). Probleme und Grenzen bei der Anwendung des EU-PrinzipsBislang haben wir von objektiven Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsvariablen gesprochen, wenn wirsie durch eine statistische Analyse aus Daten gewonnen hatten oder die Wahrscheinlichkeiten qua De-sign bekannt waren. Den Begriff „subjektive Wahrscheinlichkeiten“ haben wir dagegen verwendet,wenn zuvor subjektive Einschätzungen von Experten erfragt wurden. Vielfach findet man aber denVerweis, dass es gar keine objektiven Wahrscheinlichkeiten gibt. Diese Aussage beruht auf einer en-gen Definition des Wortes „objektiv“. Wie ist das gemeint? Bei einem Würfel kann man nur dann davonausgehen, dass sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 eine Eins ergibt, wenn man subjektiv an-nimmt, dass es sich um einen perfekt symmetrischen Würfel handelt. Tatsächlich könnte der Würfelaber eben auch nur annähernd symmetrisch sein. Relative Häufigkeiten, wie sie zum Beispiel durch dasTesten des Würfels gewonnen werden können, sind dagegen objektiv, d.h. direkt beweisbar. Sie sindaber keine Wahrscheinlichkeiten. Beim Schluss von einer relativen Häufigkeit auf die unbekannteGrundgesamtheit kann man zwar intersubjektive Nachvollziehbarkeit herstellen, indem man darlegt,welches Datenmaterial man mit welchen statistischen Verfahren behandelt hat, um zu seinen Annah-men zu kommen. Die Auswahl des Datenmaterials - wie z.B. bei einer Analyse von Preiszeitreihen dieWahl der Länge der Zeitreihe und des Zeitintervalls zwischen den Messpunkten - bleibt aber subjektiv.Nach dieser Sichtweise gäbe es also nur subjektive Wahrscheinlichkeiten. Um dies zu betonen, sprichtman anstelle vom (objektiven) EU-Prinzip vom subjektiven EU-Prinzip. Die Welt wird so abgebildet,wie sie sich dem Entscheider darstellt. Trotz dieser konkurrierenden Begriffsverwendung bleiben wirbei der in Abschnitt 7.1 dargestellten begrifflichen Einordnung und verwenden das Wort „objektiv“,wenn Wahrscheinlichkeiten nach anerkannten statistischen Methoden aus Daten abgeleitet werden undsowohl die Datenbasis als auch die Methoden intersubjektiv nachvollziehbar gemacht werden.Das EU-Prinzip gilt in der Literatur als die rationale Entscheidungsregel (normative Benchmark). Aus derempirischen Forschung heraus gibt es allerdings auch mehrere Einwände gegen das EU-Prinzip. Diesebeziehen sich zum einen auf die Diskrepanz zwischen dem tatsächlichen Entscheidungsverhalten und denaxiomatischen Anforderungen der Erwartungsnutzentheorie. Zum anderen geht es um die Operationa-lisierbarkeit des Konzepts in der empirischen Forschung: • In der Realität ist z.B. eine sog. Verlustaversion (loss aversion) zu beobachten. Was bedeutet das?Nach der normativen Erwartungsnutzentheorie bewerten Entscheider ein bestimmtes Endvermö-gen nur nach seiner Höhe. Vielfach ist aber zu beobachten, dass für reale Entscheider relevant ist,wie das Endvermögen zustande gekommen ist, d.h. sie werten Vermögensänderungen. Anders ge-sagt: Der Wert ist vom Framing der Situation bzw. den Rahmenbedingungen in Bezug auf einen Referenzpunkt abhängig, der häufig dem Status quo entspricht. Der empfundene Nutzenverlust einerEinkommensreduzierung um 20 (z.B. durch eine Reduzierung von 100 auf 80) ist demnach be-tragsmäßig größer als der empfundene Nutzenzuwachs einer Einkommenserhöhung um 20 (durcheine Einkommenserhöhung von 80 auf 100). Mit Blick auf Entscheidungen unter Risiko versuchtman diesem Sachverhalt im Rahmen der Prospect-Theorie durch die Definition spezifischer Wert- 452 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement funktionen Rechnung zu tragen. Dabei wird der „Wert“ eines Ergebnisses von dessen Lage relativ zueinem kontextabhängigen und damit beweglichen Referenzpunkt abhängig gemacht. Offen bleibt indiesem Zusammenhang zunächst die Frage, ob es sich um eine deskriptive Beschreibung eines be-grenzt rationalen Entscheidungsverhaltens handelt oder ob daraus auch eine normative Entschei-dungstheorie abzuleiten ist. Letzteres würde bedeuten, dass man die Verlustaversion als gegebenePräferenz der Entscheidungsträger akzeptiert und versucht, davon ausgehend optimale Entschei-dungen herbeizuführen. • Aus dem Bereich der empirischen Forschung wird auch darauf verwiesen, dass die zuverlässige Bestimmung der „richtigen“ Risikonutzenfunktion nicht möglich sei. Dies bezieht sich sowohl aufdie Form (exponentiell, quadratisch etc.) als auch auf die Parameter der Risikonutzenfunktion. Siemüssen ja zum jeweiligen Entscheider passen. Dies schränkt die Operationalisierbarkeit des EU-Prinzips als Entscheidungskriterium ein. c) Das Erwartungswert-Varianz-KriteriumUm den mit der Anwendung des EU-Prinzips verbundenen Aufwand zu verringern, wurde nach einem einfacheren Instrument zur Entscheidungsunterstützung gesucht, das zur gleichen Präferenzordnungführt. Ein solches Instrument hat man mit dem Erwartungswert-Varianz-Kriterium (EV-Kriterium), dasauch als Erwartungswert-Standardabweichung-Kriterium (ߤ- ߪ-Kriterium) bezeichnet wird, gefunden.Der große Vorteil dieses Kriteriums ist, dass es nicht auf die Gesamtverteilung, sondern - wie der Nameschon sagt - nur auf die Verteilungsparameter „Erwartungswert“ und „Varianz“ zurückgreifen muss. DerNachteil des EV-Kriteriums ist, dass es nur unter bestimmten Bedingungen zur gleichen Präferenzordnungwie das EU-Prinzip führt. Anwendungsvoraussetzungen Das EV-Kriterium führt bei zwei Konstellationen zur gleichen Präferenzordnungwie das EU-Prinzip:1. Es ist anwendbar, wenn die Risikoeinstellung des Entscheiders durch eine exponentielle Risiko-nutzenfunktion beschrieben wird und die Ergebnisse der Handlungsalternativen normalverteilt sind.2. Es ist anwendbar, wenn die Risikoeinstellung des Entscheiders durch eine quadratische Risikonutzen-funktion beschrieben wird. Dies gilt unabhängig von der Verteilung.Bei einer exponentiellen Risikonutzenfunktion und normalverteilten Ergebnissen führt die folgendePräferenzfunktion zur gleichen Reihenfolge von Handlungsalternativen wie die Maximierung des Erwar-tungsnutzens:߶(ܪܣ) = ܵÄ = ܧ(ܼ) − ܴܲ (7-82)= ߤ − 0,5 ∙ ߣ ∙ ߪଶDabei hat die exponentielle Risikonutzenfunktion die Form ܷ(ܼ) = −݁ିఒ∙௓. Hier entspricht der Präfe-renzwert dem Sicherheitsäquivalent der jeweiligen Handlungsalternative. Dieser hängt vom Erwartungs-wert ߤ sowie von dem durch die Varianz ߪଶ gemessenen Risiko der Zielgröße und dem Risikoaversions-koeffizienten ߣ ab. Bei ߣ > 0 werden Handlungsalternativen bevorzugt, die c.p. mit einer geringeren Va-rianz verbunden sind (risikoaverse Entscheider). Die Risikoprämie entspricht dem 0,5fachen der mit demRisikoaversionskoeffizienten ߣ gewichteten Varianz. Diejenige Handlungsalternative, die zum maximalenPräferenzwert führt, ist optimal.Unterstellt man keine exponentielle, sondern eine quadratische Risikonutzenfunktion der Formܷ(ܼ) = ܼ − ߛ ∙ ܼଶ, so führt die folgende Präferenzfunktion zur gleichen Reihenfolge von Handlungsalter-nativen wie die Maximierung des Erwartungsnutzens, und zwar unabhängig von der Verteilung derZufallsvariablen: 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 453 ߶(ܪܣ) = ܧ(ܼ) − ܴܲ (7-83)= ߤ − ߛ ∙ ߤଶ − ߛ ∙ ߪଶAuch in Gleichung (7-83) ist der Präferenzwert nur vom hier mit ߛ bezeichneten Risikoaversionskoeffi-zienten sowie vom Erwartungswert der Zielgröße ߤ und ihrer Varianz ߪଶ abhängig.Die Anwendung des EV-Kriteriums bringt die Gefahr von Fehlentscheidungen mit sich, wenn dieZielgröße zweier Handlungsalternativen nicht normalverteilt ist und man von einer exponentiellen Risi-konutzenfunktion ausgeht. So können zwei Dreiecksverteilungen bei übereinstimmendem Erwartungs-wert und identischer Varianz eine unterschiedliche Schiefe aufweisen (vgl. Abb. 7-22), die risikoaversenEntscheidern mit exponentieller Risikonutzenfunktion nicht egal ist und die über das Erwartungsnutzen-prinzip korrekt berücksichtigt wird. Wird dagegen unzulässigerweise auf das EV-Kriterium zurückgegrif-fen, würden beide Dreiecksverteilungen zum gleichen Präferenzwert führen. Beispiel 7-9EV-Kriterium - Wahl zwischen sicherer Zahlung und Teilnahme an einer Münzwurf-LotterieDie Schwierigkeiten, die mit der Anwendung des EV-Kriteriums verbunden sein können, wenn bei Vorlie-gen einer exponentiellen Risikonutzenfunktion die Zielgröße nicht normalverteilt ist, sei durch das bereitsbekannte Beispiel mit dem Glücksspiel verdeutlicht (vgl. Punkt 7.6.3a): Sie haben die Wahl zwischen einersicheren Zahlung von 500 € (ܪܣଵ) und der Teilnahme an einer Münzwurf-Lotterie (ܪܣଶ), in der Sie bei„Kopf“ 500 € und bei „Zahl“ 600 € bekommen. Wir wissen bereits, dass hier das Konzept der absolutenstochastischen Dominanz zur Anwendung kommen kann. Sie stellen sich bei Spielteilnahme unabhängigvom tatsächlichen Umweltzustand niemals schlechter als bei Nichtteilnahme. Deshalb ist Ihnen auch egal,dass der Rückfluss aus der Spielteilnahme unsicher ist, d.h. Sie präferieren die Handlungsalternative„Spielteilnahme“ unabhängig von Ihrer Risikoeinstellung.Wie sieht es nun bei Anwendung des EU-Prinzips und des EV-Kriteriums aus? Im oberen Zeilenblock derTab. 7-37 ist der Erwartungsnutzen beider Handlungsalternativen berechnet. Dies erfolgt einmal gemäßeiner exponentiellen Risikonutzenfunktion der Form ܷ(ܼ) = −݁ି଴,ଶ∙௓ und einmal gemäß einer quadrati-schen Risikonutzenfunktion der Form ܷ(ܼ) = ܼ − 0,0001 ∙ ܼଶ. Diese beiden Risikonutzenfunktionenkönnten zwei unterschiedliche Entscheider repräsentieren. Tab. 7-37: Probleme des EV-Kriteriums bei einer nicht normalverteilten ZielgrößeSpalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4Sichere Zahlungܲ(500) = 1 Unsichere Lotterieܲ(500) = 0,5; ܲ(600) = 0,5ExponentielleRisikonutzen-funktion a) QuadratischeRisikonutzen-funktion b) ExponentielleRisikonutzen-funktion a) QuadratischeRisikonutzen-funktion b)1 EU-Prinzip −3,72 ∙ 10ିସସ 475 −1,86 ∙ 10ିସସ 519,52 Korrekte Rangfolge 2 2 1 13 EV-Kriterium 500 475 300 519,54 Approximierte Rangfolge 1 2 2 1a) Exponentielle Risikonutzenfunktion der Form ܷ(ܼ) = −݁ି଴,ଶ∙௓.b) Quadratische Risikonutzenfunktion der Form ܷ(ܼ) = ܼ − 0,0001 ∙ ܼଶ.Bei der Anwendung des EU-Prinzips ergibt sich für beide Entscheider das schon mit Hilfe des Konzeptsder stochastischen Dominanz abgeleitete richtige Ergebnis: Die unsichere Alternative ist unabhängig vonder unterstellten Risikonutzenfunktion vorzuziehen, da ihr Erwartungsnutzen höher ist (vgl. oberer Zei- 454 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement lenblock der Tab. 7-37). Die Ergebnisse des Konzepts der stochastischen Dominanz und der Erwartungs-nutzentheorie sind also konsistent.Im unteren Zeilenblock ist zum Vergleich der Präferenzwert gemäß EV-Kriterium angezeigt. Bei der Be-rechnung des Präferenzwertes wird berücksichtigt, dass der Erwartungswert der Handlungsalternative„sichere Zahlung“ bei 500 € und der Handlungsalternative „Spielteilnahme“ gemäß Gleichung (7-4) bei550 € liegt. Die Varianz beläuft sich bei der ersten Handlungsalternative auf 0 und bei der zweiten Hand-lungsalternative gemäß Gleichung (7-6) auf 2 500. Bei der quadratischen Risikonutzenfunktion wird Glei-chung (7-83) angewendet. Im Ergebnis bleibt die unsichere Alternative überlegen. Bei der exponentiellenRisikonutzenfunktion wird auf Gleichung (7-82) zurückgegriffen. Gemäß EV-Kriterium käme dann die of-fensichtlich unterlegene sichere Handlungsalternative auf Rang 1. Das EV-Kriterium verstößt in diesemFall also gegen das Konzept der stochastischen Dominanz und das Erwartungsnutzenprinzip.Ende des Beispiels Wenn wir an unser Beispiel mit der Betriebsorganisation (vgl. Tab. 7-34) zurückdenken, erkennen wir,dass wir es dort nicht mit einer Normalverteilung, sondern mit einer diskreten unsymmetrischen Ergeb-nisverteilung zu tun hatten. Aus Gründen der Anschaulichkeit haben wir das EV-Kriterium mit einerunterstellten exponentiellen Risikonutzenfunktion angewendet, obwohl wir es nicht hätten anwendendürfen. Bei einem Risikoaversionskoeffizienten in Höhe von ߣ = 0,3 ergab sich für Handlungsalternative„viel Roggen“ trotzdem der maximale Präferenzwert und damit die gleiche Rangfolge wie beim EU-Prinzip. Das war ein Zufall! Bei ߣ = 1,5 ergäben sich bei Anwendung des EV-Kriteriums bspw. die Präfe-renzwerte ߶(ܪܣଵ) = −4,32, ߶(ܪܣଶ) = 15,75 und ߶(ܪܣଷ) = 16,00. Damit käme man fälschlicherweise,d.h. in Abweichung vom EU-Prinzip, zu der Schlussfolgerung, dass die Handlungsalternative „Verpachtung“vorzuziehen sei. Tatsächlich ist auch bei ߣ = 1,5 die Handlungsalternative 2 zu präferieren. Es gilt:ܧ[ܷ(ܼଵ)] = 4,99999909, ܧ[ܷ(ܼଶ)] = 5,00000000 und ܧ[ܷ(ܼଷ)] = 4,99999999. Das Konzept der Risikoeffizienzlinie bei vielen HandlungsalternativenDie Risikoeffizienzlinie (vgl. Abb. 7-3) bezeichnet die bestmöglichen Kombinationen von Erwartungs-einkommen und Risiko, die dem Entscheider zur Verfügung stehen. Effiziente Lösungen liefern im Ver-gleich zu ineffizienten Lösungen bei gleichem Risiko einen höheren Erwartungswert oder liefern beieinem geringeren Risiko den gleichen Erwartungswert. Die Risikoeffizienzlinie ist vor allem dann vonInteresse, wenn man es mit sehr vielen (oder gar unendlich vielen) Entscheidungsalternativen zu tun hat.Ein Beispiel hierfür ist die Identifizierung des Sets an risikoeffizienten Lösungen aus dem sehr viel größe-ren Set an möglichen Lösungen bei der Bestimmung des Produktionsprogramms.Betrachten wir zur Verdeutlichung einen einfachen Marktfruchtbetrieb, der bei einperiodigem Planungs-horizont eine gegebene Ackerfläche ̅ݔி௟ = 100 ha so auf die Produktionsverfahren „Weizen“ und „Raps“aufteilen möchte, dass sein gewinn- und risikoabhängiger Nutzen maximiert wird. Eine Nichtnutzung vonFläche kommt für den Betriebsleiter nicht in Betracht, d.h. die gesamte zur Verfügung stehende Flächemuss für die Weizen- und/oder Rapsproduktion genutzt werden. Ackerfläche ist der einzige knappe Pro-duktionsfaktor, den wir in diesem einfachen Beispiel berücksichtigen. Die Deckungsbeiträge des Weizensund des Rapses sind unsicher. Auf der Grundlage einer Zeitreihenanalyse (vgl. Punkt 7.5.2) wurde ermit-telt, dass die Deckungsbeiträge beider Produktionsverfahren normalverteilt sind. Der erwartete De-ckungsbeitrag des Weizens beträgt 1 000 €/ha und die Standardabweichung liegt bei 400 €/ha. Der er-wartete Deckungsbeitrag des Rapses beläuft sich dagegen auf 1 250 €/ha und seine Standardabweichungauf 500 €/ha. Die Korrelation zwischen den Deckungsbeiträgen der beiden Produktionsverfahren ist mit0,5 positiv. Das bedeutet, dass in Jahren mit hohen Weizendeckungsbeiträgen auch tendenziell ein hoherRapsdeckungsbeitrag zu erwarten ist und vice versa. Dies ist darin begründet, dass sich Witterungsein-flüsse auf die Erträge der beiden betrachteten pflanzlichen Produktionsverfahren ähnlich auswirken. 5 1 13 23 82 _M uß ho ff - Bg 15 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 455 Da wir es mit additiv verknüpften und normalverteilten Zufallsvariablen zu tun haben, ist der Erwar-tungswert ܧ(ܩܦܤ) = ߤீ஽஻ und die Varianz ܸ(ܩܦܤ) = ߪீ஽஻ଶ des Gesamtdeckungsbeitrags unter Rückgriffauf Gleichung (7-61) und (7-63) wie folgt zu berechnen:ߤீ஽஻ = ߤௐ௘ ∙ ݑௐ௘ + ߤோ௔ ∙ ݑோ௔ (7-84)ߪீ஽஻ଶ = ݑௐ௘ଶ ∙ ߪௐ௘ଶ + ݑோ௔ଶ ∙ ߪோ௔ଶ + 2 ∙ ݑௐ௘ ∙ ݑோ௔ ∙ ߪௐ௘ ∙ ߪோ௔ ∙ ߩௐ௘;ோ௔ (7-85)Dabei kennzeichnet ݑௐ௘ den Anbauumfang für Weizen und ݑோ௔ den Anbauumfang für Raps. Die Symboleߤௐ௘ und ߤோ௔ beschreiben die erwarteten Deckungsbeiträge, ߪௐ௘ und ߪோ௔ die Standardabweichungen derDeckungsbeiträge für beide Produktionsverfahren sowie ߩௐ௘;ோ௔ die Korrelation zwischen den Deckungs-beiträgen beider Verfahren. Der Gesamtdeckungsbeitrag ist ebenfalls normalverteilt.In unserem Einfachbeispiel, in dem wir es nur mit zwei additiv verknüpften und normalverteilten Zufalls-variablen und einer Kapazitätsrestriktion zu tun haben, kann die Umhüllende des Lösungsmöglichkeiten-raums und damit die Risikoeffizienzlinie einfach bestimmt werden. Man muss zur Bestimmung der gang-baren Programme lediglich den Weizenumfang ݑௐ௘ systematisch variieren und die jeweils nicht mit Wei-zen bewirtschaftete Ackerfläche für die Rapsproduktion nutzen. Für jedes Programm kann dann derErwartungswert sowie die Varianz und - davon abgeleitet - die Standardabweichung des Gesamt-deckungsbeitrags gemäß Gleichung (7-84) und (7-85) berechnet werden.In Abb. 7-36 sind die Kombinationen von erwartetem Gesamtdeckungsbeitrag und Standardabweichungder verschiedenen Produktionsprogramme dargestellt. Neben dem zunächst unterstellen Korrelations-koeffizienten ߩௐ௘;ோ௔ = 0,5 wurde zusätzlich mit ߩௐ௘;ோ௔ = −1, ߩௐ௘;ோ௔ = 0 und ߩௐ௘;ோ௔ = 1 gearbeitet. DieseVariantenrechnungen werden durchgeführt, um die grundsätzlichen Auswirkungen des Korrelationskoef-fizienten auf den Verlauf der Risikoeffizienzlinie zu verdeutlichen. Abb. 7-36: Erwartungswert und Standardabweichung eines Portfolios mit zwei Komponenten (T€) a) a) Die gestrichelten Linien kennzeichnen risikoineffiziente Bereiche. ߤீ஽஻ 0 Risikoeffizienzlinie bei ߩௐ௘;ோ௔ = −1 10 20 30 40 50 60 90 100 110 120 130 ߪீ஽஻ E DCB Risikoeffizienzlinie bei ߩௐ௘;ோ௔ = 0 Risikoeffizienzlinie bei ߩௐ௘;ோ௔ = 0,5Risikoeffizienzlinie bei ߩௐ௘;ோ௔ = 1 A 100 ha Raps 100 ha Weizen61 13 23 82 _M uß ho ff - Bg 16 456 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Wir weisen zwei Punkte der Umhüllenden des Lösungsmöglichkeitenraums explizit aus: das gesamtde-ckungsbeitragsmaximale und das risikominimale Produktionsprogramm. In unserem einfachen Beispielwissen wir sofort, dass der Anbau von 100 ha Raps das gesamtdeckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm darstellt, das zu einem Erwartungswert für den Gesamtdeckungsbeitrag von 125 000 €führt. Das gesamtdeckungsbeitragsmaximale Produktionsproprogramm hat eine Standardabweichungvon 50 000 € und ist in Abb. 7-36 mit dem Punkt A gekennzeichnet.Für Onno Überleg ist auch das risikominimale Produktionsprogramm (Minimum-Varianz-Portfolio)schon offensichtlich. Er argumentiert, dass die Weizenproduktion weniger riskant sei als die Rapsproduk-tion. Außerdem sei die Korrelation zwischen dem Weizen- und Rapsdeckungsbeitrag positiv, so dass esdurch die Mischung beider Produktionsverfahren zu keinem risikoreduzierenden Effekt kommen könne.Wenn die Fläche voll ausgelastet werden muss, dann solle ein risikominimierender Entscheider also100 ha Weizen umsetzen. Su Sidenkt wirft nach kurzem Überlegen ein, dass diese Argumentation nichtstimmt. Sie versucht das intuitiv wie folgt zu erklären: Natürlich hat man im Idealfall zwei perfekt negativkorrelierte Aktivitäten. In diesem Fall könnte man die Portfolioanteile so wählen, dass der Gesamterfolgrisikolos wird. Praktisch ist dieser Fall nicht relevant, weil es perfekt negative Korrelationen zwischenverschiedenen unternehmerischen Aktivitäten (zumindest im selben Unternehmen) in aller Regel nichtgibt. Aber auch bei einem positiven Korrelationskoeffizienten, der kleiner als Eins ist, kann durch eineMischung der Aktivitäten eine Risikoreduzierung erreicht werden. Die Korrelation zwischen demDeckungsbeitrag eines Hektars Weizen und eines anderen Hektars Weizen am gleichen Standort ist Eins.Zwischen dem Deckungsbeitrag eines Hektars Weizen und dem Deckungsbeitrag eines Hektars Raps istdie Korrelation im Beispiel dagegen nur 0,5. Damit sind die Deckungsbeitragsentwicklungen nicht perfektgleichgerichtet. Hier gibt es also eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass es im Weizenanbau schlecht läuft,während es im Rapsanbau besser läuft und vice versa. Damit ergibt sich durch die Aufnahme des riskante-ren Produktionsverfahrens in das Produktionsprogramm zunächst ein risikoreduzierender Effekt. ObwohlWeizen das risikoärmere Verfahren darstellt, lässt sich die Varianz des Gesamtdeckungsbeitrags beiߩௐ௘;ோ௔ < 1 durch die Mischung beider Verfahren im Vergleich zur Bewirtschaftung der gesamten Flächemit Weizen reduzieren. Letztlich wirkt eine perfekt gleichgerichtete Entwicklung von Deckungsbeiträgen- wie dies beim ausschließlichen Anbau von Weizen der Fall wäre - stärker risikoerhöhend als nur eineteilweise gleichgerichtete Entwicklung.Das risikominimale Produktionsprogramm kann bestimmt werden, indem man in der Gleichung für diePortfoliovarianz (7-85) zunächst ݑோ௔ = ̅ݔி௟ − ݑௐ௘ einsetzt, dann nach ݑௐ௘ ableitet, den sich ergebendenAusdruck gleich Null setzt und schließlich nach ݑௐ௘ umstellt:ݒܽݎ݅ܽ݊ݖ݈݉݅݊݅݉ܽ݁ ܹ݁݅ݖ݂݈݁݊äܿℎ݁ = ̅ݔி௟ ∙ ൫ߪோ௔ଶ − ߪௐ௘ ∙ ߪோ௔ ∙ ߩௐ௘;ோ௔൯ߪௐ௘ଶ + ߪோ௔ଶ − 2 ∙ ߪௐ௘ ∙ ߪோ௔ ∙ ߩௐ௘;ோ௔ (7-86)Die Punkte B, C, D und E in Abb. 7-36 kennzeichnen die risikominimalen Produktionsprogramme bei denunterschiedlichen Korrelationen: • Bei perfekter negativer Korrelation ߩௐ௘;ோ௔ = −1 kann das Risiko durch ein Produktionsprogrammmit 55,56 ha Weizen und 44,44 ha Raps (Punkt B) vollständig eliminiert werden (risikoloses Port-folio). Es liefert einen Gesamtdeckungsbeitrag von 111 110 €. • Bei ߩௐ௘;ோ௔ = 0 besteht das risikominimale Programm aus 60,98 ha Weizen und 39,02 ha Raps(Punkt C). Es liefert einen Erwartungswert von 109 756 € und hat eine Standardabweichung von31 235 €. • Bei ߩௐ௘;ோ௔ = 0,5 besteht das risikominimale Produktionsprogramm aus 71,43 ha Weizen und28,57 ha Raps (Punkt D). Der Erwartungswert beträgt 107 143 € und die Standardabweichung37 796 €. 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 457 • Nur bei perfekter positiver Korrelation ߩௐ௘;ோ௔ = 1 stellt die alleinige Umsetzung des risikoärmerenWeizens das risikominimale Produktionsprogramm dar (Punkt E). Es ergibt sich ein Erwartungswertvon 100 000 € und eine Standardabweichung von 40 000 €.Durch die Darstellung in Abb. 7-36 werden zwei wichtige Sachverhalte klar: Erstens, alle risikoeffizienten Produktionsprogramme liegen oberhalb des risikominimalen Produktionsprogramms. Produk-tionsprogramme mit einem geringeren Erwartungswert als das risikominimale Produktionsprogrammsind risikoineffizient. Letztlich würde bei einer Korrelation von 0,5 kein rational handelnder Entscheiderdie gesamte Anbaufläche mit Weizen bewirtschaften, weil Produktionsprogramme gangbar sind, die beigleichem Risiko einen höheren Erwartungswert liefern. Die risikoineffizienten Produktionsprogrammesind in Abb. 7-36 im Unterschied zu den risikoeffizienten Programmen durch gestrichelte Linien gekenn-zeichnet. Die den Lösungsmöglichkeitenraum nach oben begrenzenden risikoeffizienten Produktionspro-gramme bilden zusammen mit den risikoineffizienten Produktionsprogrammen, die den Lösungsmöglich-keitenraum nach unten begrenzen, die Umhüllende des Lösungsmöglichkeitenraums. Zweitens, der Verlauf der Risikoeffizienzlinie hängt wesentlich von der Korrelation ab, die zwischen den einzelnenPortfoliokomponenten bestehen. Im Beispiel beinhaltet das risikominimale Programm mit zunehmenderKorrelation einen immer höheren Anteil der risikoärmeren Produktionsaktivität „Weizen“. Maximierung des Sicherheitsäquivalents im EV-ModellDie auf der Risikoeffizienzlinie liegenden Betriebsorganisationen sind stochastisch dominant zweitenGrades gegenüber den darunter liegenden Organisationen. Auf der Grundlage der Risikoeffizienzliniekönnen also effiziente Portfolios von ineffizienten Portfolios separiert werden. Alle unterhalb der Risiko-effizienzlinie liegenden Betriebsorganisationen sind ineffizient. Um zwischen den auf der Risikoeffizienz-linie liegenden Betriebsorganisationen die für den jeweiligen Entscheider am besten passende bestimmenzu können, benötigt man Informationen bzgl. seiner Risikoeinstellung. Ein risikoneutraler Entscheiderwürde in dem in Abb. 7-36 dargestellten Beispiel das Gesamtdeckungsbeitragsmaximum wählen und100 ha Raps anbauen. Für einen sehr risikoaversen Entscheider wäre bei einer Korrelation von 0,5 das va-rianzminimale Produktionsprogrammmit 71,43 ha Weizen und 28,57 ha Raps optimal.Bei Kenntnis der individuellen Risikoeinstellung und der Risikoeffizienzlinie ist im EV-Modell die Bestim-mung des optimalen Portfolios möglich, welches das Sicherheitsäquivalent maximiert. Wir nehmen an,dass wir es mit einem risikoaversen Entscheider zu tun haben, dessen Risikopräferenz durch eine expo-nentielle Risikonutzenfunktion beschrieben werden kann. Außerdem wissen wir, dass die Zielgröße hiernormalverteilt ist. Die Funktionsgleichung für die Indifferenzkurve des Entscheiders, deren konzeptio-nelle Bedeutung wir bereits in Punkt 7.2.1b) bei der Beschreibung der Risikoeinstellung kennen gelernthaben, lässt sich unter diesen Annahmen direkt aus Gleichung (7-82) herleiten. Hierzu unterstellen wireinen beliebigen Präferenzwert ߶ത und formen Gleichung (7-82) nach ߤ um:ܵÄതതതത = ߤ − 0,5 ∙ ߣ ∙ ߪଶ ⇔ ߤ = ܵÄതതതത + 0,5 ∙ ߣ ∙ ߪଶ (7-87)Wir unterstellen auch, dass die Entscheidungsvariablen, deren Festlegung letztlich zu unterschiedlichenErwartungswerten ߤ und Streuungen ߪ führt, zustandsstetig variiert werden können und damit unend-lich viele Handlungsalternativen zur Auswahl stehen. Zur Bestimmung der optimalen Handlungsalterna-tive muss zunächst zwischen den dominierenden (= risikoeffizienten) und den dominierten (= risiko-ineffizienten) Lösungen diskriminiert werden. Dabei kommt das Dominanzkonzept zur Anwendung, daswie ein vorgeschalteter Filter wirkt und insbesondere bei einer hohen Zahl an Alternativen eine hohemethodische Bedeutung hat. In ihrer Gesamtheit bilden die risikoeffizienten Lösungen - wie bereits an-gesprochen - die sog. Risikoeffizienzlinie. Um die optimale Lösung zu ermitteln, muss man die Risikoeffizienzlinie mit der Indifferenzkurve in Verbindung bringen. Abb. 7-37 verdeutlicht den Zusammen-hang. 458 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Abb. 7-37: Zusammenhang zwischen Indifferenzkurve und Risikoeffizienzlinie Das optimale Portfolio befindet sich - bildlich gesprochen - an dem Punkt der Risikoeffizienzlinie, der dieam weitesten oben liegende Indifferenzkurve ermöglicht. Die für jeden beliebigen Nutzenwert und damitfür jedes beliebige Sicherheitsäquivalent ohne Weiteres zu ermittelnde Indifferenzkurve wird also solangeparallel nach oben verschoben, bis die Risikoeffizienzlinie gerade tangiert wird. Die Analogie zur Bestim-mung der optimalen speziellen Intensität eines Produktionsfaktors (vgl. Abschnitt 4.2) ist offensichtlich:Die Risikoeffizienzlinie kann als Produktionsfunktion verstanden werden, deren Steigung dem monetärenGrenzertrag einer zusätzlichen Einheit Risiko entspricht. Sie spiegelt die in der jeweiligen Situation erzielbare Entlohnung (= erzielbare Prämie) für die Übernahme von Risiko wider. Alternativ könnte man auchvom „realen Tradeoff zwischen Erwartungseinkommen und Risiko“ sprechen. Die Indifferenzkurve kanndagegen als Kostenkurve verstanden werden, in der das empfundene Risikoleid zum Ausdruck kommt. Siespiegelt die vom jeweiligen Entscheider geforderte Entlohnung (= geforderte Prämie) für die Übernahmevon Risiko wider. Hier könnte man alternativ vom „akzeptierten Tradeoff zwischen Erwartungseinkom-men und Risiko“ sprechen. Das Optimum liegt dort, wo die Steigung der Risikoeffizienzlinie (die erzielbareRisikogrenzprämie) gerade der Steigung der Indifferenzkurve (der geforderten Risikogrenzprämie)entspricht.In unserem Einfachbeispiel mit nur zwei Aktivitäten und einer Kapazität sowie einem bekannten Ri-sikoaversionskoeffizienten ist die Bestimmung des optimalen Portfolios analytisch möglich. Wir betrach-ten einen risikoaversen Entscheider, der folgende Risikonutzenfunktion hat:ܷ(ܩܦܤ) = −݁ିఒ∙ீ஽஻,mit ߣ = 0,00002 (7-88)Nun stellt sich die Frage, welcher Punkt auf der Risikoeffizienzlinie seine Präferenzfunktion maximiert.Unter Rückgriff auf das EV-Kriterium lässt sich das Maximierungsproblem wie folgt fassen:max௨ೈ೐;௨ೃೌܵÄ = max௨ೈ೐;௨ೃೌ(ߤீ஽஻ − 0,5 ∙ ߣ ∙ ߪீ஽஻ଶ ),mit ߣ = 0,00002 (7-89)unter den Nebenbedingungen:ݑௐ௘ + ݑோ௔ = ̅ݔி௟,mit ̅ݔி௟ = 100ݑௐ௘, ݑோ௔ ≥ 0 ߪ ߤ 0 Indifferenzkurvefür ܵÄതതതത ߤ∗ ߪ∗ Indifferenzkurvefür ܵÄതതതത௠௔௫ Risikoeffizienzlinie ܵÄതതതത௠௔௫ ܵÄതതതത 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 459 Das zu maximierende Sicherheitsäquivalent ܵÄ ist eine Funktion des Erwartungswertes ߤீ஽஻ und der Varianzߪீ஽஻ଶ des Gesamtdeckungsbeitrags. Erwartungswert und Varianz des Gesamtdeckungsbeitrags sind ihrerseitsgemäß Gleichung (7-84) und (7-85) Funktionen der Anbauumfänge ݑௐ௘ und ݑோ௔ sowie der erwarteten Einzel-deckungsbeiträge ߤௐ௘ und ߤோ௔ für die beiden relevanten Produktionsverfahren. Aufgrund der bekannten Flä-chenausstattung und der Tatsache, dass es nur zwei Aktivitäten gibt, lässt sich ݑோ௔ als Funktion von ݑௐ௘ aus-drücken: ݑோ௔ = ̅ݔி௟ − ݑௐ௘, so dass das Sicherheitsäquivalent als Funktion derWeizenfläche formuliert werdenkann. Der optimale Weizenanbauumfang ݑௐ௘∗ und damit das optimale Produktionsprogramm kann deshalbbestimmt werden, indem man Gleichung (7-84) und (7-85) sowie ݑோ௔ = ̅ݔி௟ − ݑௐ௘ in Gleichung (7-89) ein-setzt, nach ݑௐ௘ ableitet, den sich ergebenden Ausdruck gleich Null setzt und nach ݑௐ௘ umstellt:ݑௐ௘∗ = ߤோ௔ − ߤௐ௘ − ߣ ∙ ̅ݔி௟ ∙ (ߪோ௔ଶ − ߪௐ௘ ∙ ߪோ௔ ∙ ߩௐ௘;ோ௔)−ߣ ∙ (ߪௐ௘ଶ + ߪோ௔ଶ − 2 ∙ ߪௐ௘ ∙ ߪோ௔ ∙ ߩௐ௘;ோ௔) (7-90)Bei einem Korrelationskoeffizienten ߩௐ௘;ோ௔ = 0,5 und einem Risikoaversionskoeffizienten ߣ = 0,00002 liegtder optimaleWeizenanbauumfang ݑௐ௘∗ bei 11,90 ha. Die verbleibende Ackerfläche von 88,10 ha sollte mit Rapsbewirtschaftet werden. Dabei ergibt sich für den Gesamtdeckungsbeitrag ein Erwartungswert von 122 024€und eine Standardabweichung von 46 611 €. Dies entspricht einem Sicherheitsäquivalent von 100 298 €.Abb. 7-38 illustriert den Sachverhalt. Neben der Indifferenzkurve für ߣ = 0,00002 ist zusätzlich noch dieIndifferenzkurve für ߣ = 0,00004 angezeigt. Abb. 7-38: Risikoeffizienzlinie und Indifferenzkurven für unterschiedliche Risikoeinstellungen (T€) a) a) Die gestrichelte Linie kennzeichnet den risikoineffizienten Bereich.Für ߣ = 0,00004 ist ein Produktionsprogramm mit 41,67 ha Weizen und 58,33 ha Raps optimal, so dassbei einer Standardabweichung von 40 182 € ein Gesamtdeckungsbeitrag in Höhe von 114 583 € erzieltwird. Dies entspricht einem Sicherheitsäquivalent von 82 292 €. Der Vergleich der optimalen Produkti-onsprogramme bei ߣ = 0,00002 und ߣ = 0,00004 verdeutlicht, dass der optimale Anbauumfang des risi- ߤீ஽஻ 0 Indifferenzkurvemit ߣ = 0,00002Risikoeffizienzlinie beiߩௐ௘;ோ௔ = 0,5 Indifferenzkurvemit ߣ = 0,00004 10 20 30 40 50 60 90 100 110 120 130 ߪீ஽஻ 11,90 ha Weizen 41,67 ha Weizen 80 460 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement koärmeren Produktionsverfahrens „Weizen“ umso höher ist, je größer der Risikoaversionskoeffizient ߣist. Für einen gegen unendlich gehenden Risikoaversionskoeffizienten wird das risikominimale Produkti-onsprogramm mit 71,43 ha Weizen und 28,57 ha Raps umgesetzt. Bei einem Risikoaversionskoeffizientenvon kleiner oder gleich 0,00001666 würde im betrachteten Beispiel nur Raps angebaut und somit daserwartungswertmaximale Programm realisiert werden.Wenn mehr als zwei Aktivitäten und/oder mehr als eine Restriktion zu berücksichtigen sind, dannmuss im Rahmen des EV-Kriteriums die Präferenzfunktion mit Hilfe eines quadratischen Optimierungsan-satzes maximiert werden:max௨ೖ ܵÄ = max௨ೖ (ߤீ஽஻ − 0,5 ∙ ߣ ∙ ߪீ஽஻ଶ ) (7-91)unter den Nebenbedingungen:෍ܾ௜;௞ ∙ ݑ௞ ≤ ̅ݔ௜௄௞ୀଵ , für ݅ = 1, 2, … , ܫݑ௞ ≥ 0, für ݇ = 1, 2, … , ܭݑ௞ beschreibt die Umfänge der Portfoliokomponenten, ̅ݔ௜ bezeichnet die zur Verfügung stehenden Kapazi-täten der einzelnen Faktoren und ܾ௜;௞ kennzeichnet die Faktoransprüche der einzelnen Portfolio-komponenten. Zu bestimmen sind die Umfänge der Portfoliokomponenten ݑ௞, die unter Beachtung derRestriktionen zummaximalen Zielfunktionswert bzw. Sicherheitsäquivalent führen.Die grundsätzliche Struktur von Gleichung (7-91) kennen wir bereits von der linearen Programmierung(vgl. Kapitel 5). Es handelt sich jetzt aber nicht mehr um ein lineares Programmierungsproblem, das mitHilfe des einfachen Simplexalgorithmus gelöst werden könnte. Vielmehr ergibt sich ein quadratisches Programmierungsproblem, da zur Berechnung der in der Zielfunktion enthaltenen Varianz gemäß Glei-chung (7-63) die Umfänge der Portfoliobestandteile im Quadrat zu berücksichtigen sind. Zur Lösungquadratischer Optimierungsprobleme stehen spezielle Lösungsprozeduren zur Verfügung, die auf demiterativen Ablauf der Programmierung aufbauen und in die gängigen Tabellenkalkulationsprogrammeintegriert sind. Ein Problem bei der Berücksichtigung von Unsicherheit in Optimierungsmodellen ergibtsich allerdings dann, wenn die Zufallsvariablen keine Normalverteilungen aufweisen. In diesem Fall kanndie Portfoliovarianz - bis auf wenige, kaum relevante Ausnahmen - nicht analytisch berechnet werden.Vielmehr müssen aufwändigere Methoden eingesetzt werden: Mittels stochastischer Simulation (vgl.Punkt 7.5.3c) kann mit relativ geringem Aufwand das Risikoprofil eines vorgegebenen Portfolios bestimmtwerden, unabhängig davon, wie komplex die Verteilungen der Portfoliokomponenten sind. Allerdingsstellt die stochastische Simulation keinen Optimierungsalgorithmus dar. Eine Lösungsmöglichkeit fürquadratische Programmierungsprobleme besteht aber darin, die stochastische Simulation mit heuristi-schen Suchverfahren, wie z.B. genetischen Algorithmen, zu kombinieren. Die aus dem Bereich der künst-lichen Intelligenz entstammenden genetischen Algorithmen können zur Lösung verschiedenster Optimie-rungsprobleme angewendet werden, selbst dann, wenn keine algorithmischen Iterationsverfahren ver-fügbar sind. Dabei wird - kurz gesagt - durch Nachahmung der Prinzipien der natürlichen Evolution, d.h.durch „Ausprobieren“ einer hohen Zahl verschiedener Portfolios, dasjenige bestimmt, das den maximalenZielfunktionswert liefert. Praktische Bestimmung der RisikoeffizienzlinieDas EV-Kriterium erfordert - genauso wie das EU-Prinzip - die konkrete Spezifikation der individuellenRisikonutzenfunktion. Wie bereits mehrfach gesagt wurde, ist aber eine quantitative Erfassung der Risikoeinstellung von Entscheidern praktisch kaum gangbar. Ist der Risikoaversionskoeffizient nichtbekannt, lässt sich die optimale Entscheidung nicht modellendogen durch die Maximierung des Sicher-heitsäquivalents gemäß Gleichung (7-91) identifizieren. Als Ausweg kann man im Rahmen einer Pareto- 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 461 Optimierung zunächst die Risikoeffizienzlinie ausweisen und dem Entscheidungsträger mehrkriterielle Ergebnisse in Form risikoeffizienter Kombinationen von Erwartungswert und Risiko liefern. Ermuss dann modellexogen diejenige Lösung auswählen, die er bei seiner Risikoeinstellung bevorzugt.Technisch gesehen erfordert die Bestimmung der Risikoeffizienzlinie die Parametrisierung und wieder-holte Lösung eines Optimierungsproblems, das sich als Maximierungsproblem und als Minimierungsprob-lem formulieren lässt: (1) Man kann den Erwartungswert für eine vorgegebene Risikoobergrenze maxi-mieren und diese Obergrenze in Variantenrechnungen parametrisieren. (2) Man kann das Risiko für einevorgegebene Erwartungswertuntergrenze minimieren und diese Untergrenze wiederum in Varianten-rechnungen parametrisieren.Beide Vorgehensweisen liefern risikoeffiziente Kombinationen. Wir beschreiben nachstehend lediglich dieerstgenannte Vorgehensweise der Maximierung des Erwartungswertes bei Parametrisierung des Risikos. In Bezug auf die Frage nach dem optimalen Produktionsprogramm ist damit folgendes Optimie-rungsproblem zu lösen:max௨ೖ ߤீ஽஻ = max௨ೖ ൭෍ߤ௞ ∙ ݑ௞௄௞ୀଵ ൱ (7-92)unter den Nebenbedingungen:෍ܾ௜;௞ ∙ ݑ௞ ≤ ̅ݔ௜௄௞ୀଵ , für ݅ = 1, 2, … , ܫߪீ஽஻ ≤ ߪതீ஽஻ݑ௞ ≥ 0ߤீ஽஻ kennzeichnet den Erwartungswert des Gesamtdeckungsbeitrags und ߤ௞ den Erwartungswert des De-ckungsbeitrags des jeweiligen Produktionsverfahrens ݇. ߪீ஽஻ steht für die Standardabweichung des Gesamt-deckungsbeitrags. ߪതீ஽஻ kennzeichnet die in der jeweiligen Optimierung vorgegebene Obergrenze für dieseStandardabweichung. Zu bestimmen sind die Umfänge der Portfoliokomponenten ݑ௞. Durch Parametrisierungdermaximal zulässigen Standardabweichung ߪതீ஽஻ undwiederholte Optimierungsrechnungen können risikoef-fiziente Kombinationen von Erwartungswert und Standardabweichung bestimmtwerden (vgl. Abb. 7-39). Abb. 7-39: Vorgehensweise im EV-ModellDurch parametrische Programmierung bestimmterisikoeffiziente Portfolios ߤீ஽஻ ߪீ஽஻ Ineffiziente Portfolios(von der Effizienzlinie dominierter Bereich) ߪത ீ஽஻ଵ ߪത ீ஽஻ଶ ߪത ீ஽஻ଷ ߪത ீ஽஻ହߪത ீ஽஻ସ 462 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Revealed-Preference-AnsatzMöglicherweise fällt es dem Entscheider schwer, aus der immer noch großen Anzahl risikoeffizienterProduktionsprogramme eine Auswahl in Einklang mit seiner Risikopräferenz zu treffen. Eine Möglich-keit, auch ohne Kenntnis der Risikoeinstellung eine gewisse Entscheidungshilfe bereitzustellen, bestehtdarin, das Risiko zu messen, das der Entscheider bei der Wahl eines Portfolios tatsächlich übernimmtoder übernommen hat. Man impliziert damit, dass die tatsächlich durchgeführten Wahlhandlungen die subjektiven Präferenzen des Entscheiders „enthüllen“ (revealed preference). Zur Messung desübernommenen Risikos muss das vom Entscheider spezifizierte Produktionsprogramm hinsichtlich derStandardabweichung des Gesamtdeckungsbeitrags analysiert werden. Beispielsweise könnte man denLandwirt bitten, zunächst sein intuitiv geplantes Produktionsprogramm zu benennen. Aus diesem Pro-duktionsprogramm könnte dann die implizit akzeptierte Standardabweichung des Gesamtdeckungs-beitrags berechnet werden. Berücksichtigt man diese Standardabweichung ߪതீ஽஻௘௠௣ bei der Optimierung alszusätzliche Restriktion in Form einer Obergrenze, erhält man das bestmögliche Programm, das die empi-risch beobachtete Bereitschaft, Risiko zu übernehmen, nicht überschreitet. Abb. 7-40 verdeutlicht dieGrundidee. Abb. 7-40: Grundidee des Revealed-Preference-Ansatzes Im Vergleich zu einem vom Entscheider ohne Einsatz formaler Planungsverfahren gewählten Produkti-onsprogramm (hier symbolisiert durch Punkt A) würde sich im Ergebnis dieser auf dem Dominanzkon-zept beruhenden Vorgehensweise ein modellendogen bestimmtes Produktionsprogramm (hier sym-bolisiert durch Punkt B) ergeben, das einen höheren erwarteten Gesamtdeckungsbeitrag bei gleicherStandardabweichung liefert. Beispiel 7-10Revealed-Preference-Ansatz - ProduktionsprogrammplanungEin Landwirt, für den die Ziele „Gewinn“ und „Sicherheit“ relevant sind, steht vor der Entscheidung, Wei-zen, Kartoffeln und/oder Raps anzubauen. Die zu berücksichtigenden Produktionskapazitäten sind Fläche,Arbeit und Kapital. Die Deckungsbeiträge und die Faktoransprüche der einzelnen Produktionsverfahrensowie die Kapazitätsausstattung entsprechen den in Punkt 5.3.2 getroffenen Annahmen, also denen, diewir bei der MS-EXCEL-basierten Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms unter Sicherheitgetroffen hatten. In Tab. 7-38 sind in Erweiterung zu Tab. 5-14 die Standardabweichung und die Korrelationder Einzeldeckungsbeiträge angezeigt (vgl. Zeile 9 bis 12).Zur Bestimmung der Restriktion „Standardabweichung“ befragen wir den Landwirt hinsichtlich seinesohne Modelleinsatz geplanten Produktionsprogramms. Nehmen wir an, es umfasse 50 ha Weizen, 25 ha Vom Entscheider gewähltesineffizientes PortfolioA B Dominanzbereich ߤீ஽஻ ߪതீ஽஻௘௠௣ ߪீ஽஻ 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 463 Kartoffeln und 25 ha Raps. Gemäß Gleichung (7-61) beträgt bei diesem intuitiv gewählten Produktions-programm der erwartete Gesamtdeckungsbeitrag 181 250 €. Außerdem kann unter Rückgriff auf Glei-chung (7-63) berechnet werden, dass der Gesamtdeckungsbeitrag eine Standardabweichung von 66 380 €aufweist. Diese vom Landwirt in seinem Programm implizit akzeptierte Standardabweichung wird bei denOptimierungsrechnungen als Obergrenze berücksichtigt.Die Berechnungsweise in den Zellen F6 bis F8 sowie in der Zelle B14 wurden in Punkt 5.3.2 bereitserklärt. Die Nutzung der Restriktion „Standardabweichung“ in Zelle F9 kann wie folgt berechnet werden(vgl. Gleichung (7-63)):F9: =WURZEL(B3^2*B9^2+C3^2*C9^2+D3^2*D9^2 +2*B3*C3*B9*C9*C10 +2*B3*D3*B9*D9*D10 +2*C3*D3*C9*D9*D11)Das so spezifizierte Programmplanungsproblem kann unter Verwendung des MS-EXCEL Solvers gelöstwerden. Bei den Einstellungen ist zu beachten, dass es sich um ein quadratisches Programmierungspro-blem handelt. Das optimale Produktionsprogramm umfasst unter den getroffenen Annahmen 30,8 haWeizen, 23,7 ha Kartoffeln und 45,5 ha Raps. In den Zellen F6 bis F9 sieht man, dass bei diesem Produkti-onsprogramm nur die beiden Restriktionen „Fläche“ und „Standardabweichung“ begrenzend wirken. Derunter den gegebenen Restriktionen maximal erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag beträgt 182 429 €. Damitwird bei gleichem Risiko ein um 1 179 € höherer Gesamtdeckungsbeitrag erzielt als mit dem intuitivgeplanten Produktionsprogramm des Landwirts. Das heißt, wir haben ein Produktionsprogramm identifi-ziert, das auf jeden Fall zur Risikopräferenz des Landwirts passt und gleichzeitig ein höheres Einkommengeneriert als das vom Landwirt geplante Programm. Tab. 7-38: GDB-Modell zur Berücksichtigung von Unsicherheit a)A B C D E F1 Aktivität Weizen Kartoffeln Raps2 DB (€/ha) 1 000 4 000 1 2503 Umfang (ha) 30,8 23,7 45,545 LHS RHS KN6 Fläche (ha) 1 1 1 100 1007 Arbeit (Akh) 10 30 8 2 400 1 3838 Kapital (€) 500 2 500 800 195 000 111 0199 Standardabweichung (€) 400 2 000 500 66 380 66 38010 Korrelation Weizen 1 0,3 0,511 Kartoffeln 1 0,412 Raps 11314 GDB (€) 182 429a) Alle Nebenbedingungen sind als Maximalrestriktionen definiert, d.h. die im Zellbereich F6:F9 berech-neten Werte müssen ≤ den im Zellbereich E6:E9 definierten Werten sein. Zellen, die Formeln beinhal-ten, sind grau unterlegt.Ende des Beispiels Der in Abb. 7-40 skizzierte Ansatz liefert nicht unbedingt die nutzenmaximale Handlungsalternative.Er beruht vielmehr allein auf dem Konzept der stochastischen Dominanz. Man könnte sagen: Mangels 464 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Kenntnis der Risikoeinstellung wird die bessere Lösung nur in einer Teilmenge der besseren Lösungengesucht. Ob nämlich ein Punkt auf der Risikoeffizienzlinie rechts von Punkt B noch besser wäre, wird nichtuntersucht. Dies wäre ja nur möglich, wenn man die Risikoeinstellung des Entscheiders doch identifizie-ren könnte. Damit ist die hier als Revealed-Preference-Ansatz bezeichnete Vorgehensweise „bescheide-ner“, gleichzeitig aber praktikabler als die Maximierung des Sicherheitsäquivalents. Ganz unabhängig vondem Ausmaß der Risikoaversion werden nämlich alle unterhalb der Risikoeffizienzlinie liegenden Port-folios dominiert. Beispielsweise sind alle in Abb. 7-40 innerhalb der grau schraffierten Fläche liegendenPortfolios vorteilhafter als das ineffiziente Produktionsprogramm A, da sie bei gleichem oder geringeremRisiko einen gleichen oder höheren Erwartungswert besitzen.Dem Revealed-Preference-Ansatz liegt die Erkenntnis zugrunde, dass Entscheider i.d.R. überfordert sind,wenn sie ihre Risikoeinstellung angeben sollen. Wenn tatsächlich Beobachtungen für die Risikoüber-nahmebereitschaft in konkreten Entscheidungssituationen vorliegen, kommt man hier ein gutes Stückweiter. Die grundsätzliche methodische Vorgehensweise, mit Risikoobergrenzen zu arbeiten, lässt sichaber auch auf Situationen übertragen, in denen zwar keine empirischen Beobachtungen vorliegen, derEntscheider aber nach seinem maximal akzeptierten Risiko befragt wird (stated preference). Ein sol-ches Statement könnte bspw. in Form einer akzeptierten Shortfallwahrscheinlichkeit erfragt werden.Wenn der Entscheider z.B. angibt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Zielwert zuunterschreiten, nicht über 5% liegen dürfe, würde man nach dem Produktionsprogramm suchen, das beiEinhaltung dieser Restriktion den maximalen Zielfunktionswert bzw. Gesamtdeckungsbeitrag liefert.Vorgehensweisen, die auf einem Downside-Risikomaß bei der Portfolioauswahl beruhen, bezeichnetman auch als Safety-First-Ansätze. d) Quantifizierung der individuellen Risikoeinstellung von EntscheidernDie zentrale Voraussetzung für die praktische Anwendung des Erwartungsnutzen-Prinzips und des Er-wartungswert-Varianz-Kriteriums besteht darin, dass man die subjektive Risikoeinstellung identifiziertund herausfindet, wie Entscheidungsträger ein bestimmtes Risiko subjektiv bewerten. Die hierfürentwickelten Ansätze lassen sich grob in ökonometrische und experimentelle Herangehensweisen unter-scheiden, wobei wir den Letztgenannten in diesem Zusammenhang auch Befragungen zuordnen, in denenes um Verhalten in hypothetischen Entscheidungssituationen geht. Bei ökonometrischen Ansätzen wirdz.B. auf der Grundlage des empirisch beobachteten Investitionsverhaltens die Risikoeinstellung geschätzt.Durch die Komplexität von realen Entscheidungen besteht allerdings die Gefahr, dass die Risikoeinstel-lung nicht zutreffend ermittelt wird. So gibt es neben der Risikoeinstellung eine Vielzahl von Gründen, diezur Ablehnung rentabler Vorhaben führen können; hierzu zählt bspw. ein beschränkter Zugang zu Kapi-talmärkten. Ein weiteres Anwendungshemmnis ökonometrischer Methoden besteht darin, dass Datenüber einen längeren Zeitraum meist nicht für einzelne Betriebe, sondern nur in aggregierter Form verfüg-bar sind.Bei den experimentellen Ansätzen wurde zunächst mit „einfachen“ Befragungen gearbeitet. Ein Bei-spiel ist die Vorgabe unsicherer Handlungsalternativen mit jeweils zwei potenziellen Ergebnissen ܼା undܼି sowie den dazugehörigen binomialen Wahrscheinlichkeiten ܲ und 1 − ܲ. Bei jeder Handlungsalterna-tive wird dann nach dem Sicherheitsäquivalent gefragt. Anschließend wird versucht, die Risikonutzen-funktion statistisch zu schätzen. In den 80er Jahren des letzten Jahrhunderts wurde eine Erweiterung die-ser Vorgehensweise vorgeschlagen und Befragungen mit realen Auszahlungen verknüpft, um die Proban-den durch Anreizsetzung dazu zu bringen, ihre wahren (Risiko)Präferenzen offenzulegen. Diese Erweite-rung kann als Versuch verstanden werden, von stated-preference zu revealed-preference Ansätzen über-zugehen. Beim Vergleich des Antwortverhaltens in einfachen Befragungen einerseits und Experimentenmit Anreizsetzung andererseits wurden Inkonsistenzen aufgedeckt. Deshalb wird Experimenten mit An-reizsetzung zunehmend größere Bedeutung beigemessen. 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 465 Einen besonders vielversprechenden Ansatz zur Messung der Risikoeinstellung stellt die Holt-und- Laury-Lotterie (HLL) dar, die den Multiple-Price-List-Experimenten zuzuordnen ist. Zum einen kann denProbanden die Vorgehensweise einfach erklärt werden und es ist nur eine Tabelle nötig, um die Risikoein-stellung zu erheben. Zum anderen sind die gewonnenen Daten einfach zu interpretieren, d.h. ohne weitereOperationen kann bei gegebener Risikonutzenfunktion aus der Entscheidung der Probanden in der HLLihre Risikoeinstellung abgeleitet werden. Da die HLL seit einigen Jahren zur Einschätzung der individuel-len Risikobewertung von Entscheidern breite Anwendung findet, wird ihre grundlegende Vorgehensweiseim Folgenden kurz beschrieben.In der HLL müssen die Entscheider wiederholt dichotome Auswahlentscheidungen, d.h. Entscheidungenzwischen zwei Handlungsalternativen ܪܣଵ und ܪܣଶ, treffen. Dabei geht es um die Wahl zwischen zwei Lotterien (Glücksspielen). In dem Beispiel, das wir im Folgenden betrachten (vgl. Tab. 7-39), können dieBefragten bei der Entscheidung für Lotterie 1 (= ܪܣଵ) mit einer Wahrscheinlichkeit ܲ einen Betrag von200 € und mit einer Wahrscheinlichkeit 1 − ܲ einen Betrag von 160 € gewinnen. Bei der Lotterie 2(= ܪܣଶ) weisen die möglichen Spielresultate eine größere Streuung auf. Sie liefert mit den gleichen Wahr-scheinlichkeiten ܲ und 1 − ܲ Spielauszahlungen von 385 € bzw. 10 €. Tab. 7-39: Aufbau einer Holt und Laury Lotterie a)Eintrittswahr-scheinlichkeiten Gewinn Erwarteter Gewinn Kritischer Risikoaver-sionskoeffizient ߠ∗ b)ܪܣଵ (€) ܪܣଶ (€) ܧ(ܪܣଵ) (€) ܧ(ܪܣଶ) (€)1 ܲ = 0,11 − ܲ = 0,9 200160 38510 164 47,5 -1,71282 ܲ = 0,21 − ܲ = 0,8 200160 38510 168 85,0 -0,94683 ܲ = 0,31 − ܲ = 0,7 200160 38510 172 122,5 -0,48664 ܲ = 0,41 − ܲ = 0,6 200160 38510 176 160,0 -0,14265 ܲ = 0,51 − ܲ = 0,5 200160 38510 180 197,5 0,14646 ܲ = 0,61 − ܲ = 0,4 200160 38510 184 235,0 0,41157 ܲ = 0,71 − ܲ = 0,3 200160 38510 188 272,5 0,67628 ܲ = 0,81 − ܲ = 0,2 200160 38510 192 310,0 0,97069 ܲ = 0,91 − ܲ = 0,1 200160 38510 196 347,5 1,368510 ܲ = 1,01 − ܲ = 0,0 200160 38510 200 385,0 –a) Die letzten drei Spalten werden den Teilnehmern nicht angezeigt.b) Es wird eine Potenz-Risikonutzenfunktion der Form ܷ(ܼ) = ܼଵିఏ/(1 − ߠ) angenommen.In HLL-Experimenten werden die Wahrscheinlichkeiten ܲ und 1 − ܲ in aller Regel in zehn systematischenSchritten variiert, so dass sich insgesamt zehn verschiedene dichotome Entscheidungssituationenergeben, in denen die Befragten eine Entscheidung zugunsten der Lotterie 1 oder 2 treffen müssen. Dieersten drei Spalten von Tab. 7-39 beschreiben die hieraus für unser Beispiel resultierende Auszahlungs-matrix, mit der die Befragten konfrontiert werden. In der Entscheidungssituation 1 haben sie bspw. beiܪܣଵ (ܪܣଶ) eine 10%ige Chance für einen Gewinn von 200 € (385 €) und eine 90%ige Chance für einen 466 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Gewinn von 160 € (10 €). In der Situation 2 liegen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten bei 20% zu80% usw.Bis zu einem Wahrscheinlichkeitsverhältnis von 40% zu 60% (Situation 4) ist der Erwartungswert derweniger riskanten Lotterie 1 höher als der Erwartungswert der Lotterie 2: ܧ(ܪܣଵ) > ܧ(ܪܣଶ). Ab einemVerhältnis von 50% zu 50% gilt: ܧ(ܪܣଵ) < ܧ(ܪܣଶ). Ein risikoneutraler Entscheider würde jeweils die Al-ternative mit dem höheren Erwartungswert wählen. Er müsste also in den ersten vier Situationen die Lot-terie 1 und danach die Lotterie 2 wählen.Aus der Beobachtung, wann der jeweilige Entscheider zur riskanteren Alternative wechselt, wird auf seineindividuelle Risikoeinstellung geschlossen. In HLL-Experimenten mit zehn systematisch variierten Lotte-riewahrscheinlichkeiten wird dies auch kurz über den sog. HLL-Wert (number of safe choices) angege-ben. Ein HLL-Wert von 7 bedeutet bspw., dass ein Wechsel zur Lotterie 2 beim Übergang von der Wahr-scheinlichkeit ܲ = 0,7 zu ܲ = 0,8 erfolgt. HLL-Werte zwischen 0 und 3 entsprechen demzufolge einemrisikosuchenden Entscheidungsverhalten. Ein HLL-Wert von 4 charakterisiert einen risikoneutralen Ent-scheider, der allein nach dem Kriterium „Erwartungswert“ handelt. HLL-Werte zwischen 5 und 9 ergebensich bei zunehmend risikoaversen Entscheidern. Die letzte Situation ist ein Test, ob die Teilnehmer dieProblemstellung verstanden haben, denn hier ist unabhängig von der Risikoeinstellung die Lotterie 2 zupräferieren.Um aus den Ergebnissen der Befragung die individuelle Risikoeinstellung eines Entscheiders zu quantifi-zieren, muss zunächst der Typ der Risikonutzenfunktion festgelegt werden. Wir gehen von einer Potenz- Risikonutzenfunktion aus, die eine abnehmende absolute und eine konstante relative Risikoaversionimpliziert (vgl. Tab. 7-35):ܷ(ܼ) = ܼଵିఏ/(1 − ߠ) (7-93)Dabei kennzeichnet ܷ den Nutzen, ܼ die Zielgröße (in unserem Beispiel also den Gewinn der Lotterie) undߠ den Risikoaversionskoeffizienten. Für risikoaverse Entscheider gilt: ߠ > 0.Unter Maßgabe der in Gleichung (7-93) definierten Risikonutzenfunktion kann für jede der zehn Ent-scheidungssituationen der HLL ein kritischer Risikoaversionskoeffizient bestimmt werden, bei dem diebeiden zur Auswahl stehenden Handlungsalternativen den gleichen erwarteten Nutzen haben (vgl. letzteSpalte in Tab. 7-39). So ergibt sich bspw. für die Situation 7 ein kritischer Risikoaversionskoeffizient ߠ∗ inHöhe von 0,6762:ܧ[ܷ(ܼଵ)] = ܧ[ܷ(ܼଶ)]0,7 ∙ 200ଵିఏ∗/(1 − ߠ∗) + 0,3 ∙ 160ଵିఏ∗/(1 − ߠ∗) = 0,7 ∙ 385ଵିఏ∗/(1 − ߠ∗) + 0,3 ∙ 10ଵିఏ∗/(1 − ߠ∗)⇒ ߠ∗ = 0,6762Die systematische Berechnung der kritischen Risikoaversionskoeffizienten für alle Entscheidungssituatio-nen in Verbindung mit dem beobachteten Entscheidungsverhalten in der HLL ermöglicht die Bestimmungeines Intervalls, auf dem der Risikoaversionskoeffizient des befragten Entscheiders liegen muss. Bei-spielsweise kann man aus einem HLL-Wert von 7 bzgl. des Risikoaversionskoeffizienten ߠ des Befragtenschließen: 0,6762 ≤ ߠ < 0,9706.Nach der Bestimmung der subjektiven Risikoaversionskoeffizienten mit Hilfe der HLL stellt sich die Frage,wie die Kenntnis der individuellen Risikobewertung in der betrieblichen Planung berücksichtigt werdenkann. Besonders relevant ist in diesem Zusammenhang die Entscheidungsunterstützung bei Investitionsfragen unter Risiko. Um die Risikoeinstellung eines Entscheiders endogen, d.h. im Entscheidungsmo-dell selbst zu berücksichtigen, könnte man anstelle der unsicheren Investitionsrückflüsse auf die Sicher-heitsäquivalente zurückgreifen und darauf den risikolosen Zinssatz ݅ anwenden. Der aus der HLL abgelei-tete Risikoaversionskoeffizient ߠ des jeweiligen Entscheiders kann genutzt werden, um sein subjektives Sicherheitsäquivalent ܵÄ unsicherer Handlungsalternativen zu bestimmen. Dazu bildet man zunächst 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 467 die Umkehrfunktion (hier der Potenz-Risikonutzenfunktion) und berechnet dann den Wert der Umkehr-funktion an der Stelle des Erwartungsnutzens:ܼ(ܷ) = [ܷ ∙ (1 − ߠ)] భభషഇ ⇒ ܼൣܧ൫ܷ(ܼ)൯൧ = ൣܧ൫ܷ(ܼ)൯ ∙ (1 − ߠ)൧ భభషഇ = ܵÄ (7-94)Der Barwert des Sicherheitsäquivalents ܵÄ଴ eines Wertes zu einem zukünftigen Zeitpunkt ܰ kann wiefolgt bestimmt werden (vgl. Gleichung (6-4)):ܵÄ଴ = ܵÄே ∙ (1 + ݅)ିே = [ܧ(ܼே) − ܴ ேܲ] ∙ (1 + ݅)ିே (7-95)Dabei kennzeichnet ܴܲ die Risikoprämie.Äquivalent dazu könnte man mit einem risikoangepassten Zinssatz (Risk-Adjusted-Discount-Rate-Verfahren) und den erwarteten Cash-Flows arbeiten. Ausgehend von Gleichung (7-95) kann man den Zu-oder Abschlag auf den risikolosen Zinssatz ݒ für die gegebene Periode ܰ ableiten:[ܧ(ܼே) − ܴ ேܲ] ∙ (1 + ݅)ିே = ܧ(ܼே) ∙ (1 + ݅ + ݒ)ିே⇔ ܧ(ܼே)ܧ(ܼே) − ܴ ேܲ = ൬1 + ݅ + ݒ1 + ݅ ൰ே ⇔ ݒ = (1 + ݅) ∙ ൥ቆ ܧ(ܼே)ܧ(ܼே) − ܴ ேܲቇଵ/ே − 1൩ (7-96)݅ + ݒ entspricht dem risikoangepassten Zinssatz. Beispiel 7-11Kapitalwert unter Berücksichtigung des risikoangepassten Zinssatzes - KaktusinvestitionUm zu verdeutlichen, wie man bei der Bestimmung des risikoangepassten Zinssatzes vorgehen muss, un-terstellen wir, dass für den Entscheidungsträger ausschließlich die Unternehmerziele „Gewinn“ und „Si-cherheit“ relevant sind. Zudem nehmen wir an, dass im Rahmen der HLL ein HLL-Wert von 7 gefundenwurde. Dementsprechend gilt ein unterer Risikoaversionskoeffizient von ߠ = 0,6762, den wir im Folgen-den zugrunde legen.Der Entscheidungsträger sei mit der folgenden Entscheidungssituation konfrontiert: Die Anschaffungskos-ten für einen Babykaktus betragen 1 000 €. Nach einer Nutzungsdauer von 2 Jahren erlangt der KaktusVerkaufsreife und liefert einen Investitionsrückfluss, der unsicher ist. Wir unterstellen, dass eine Zeitrei-henanalyse für die in den letzten Jahren beobachteten Preise vergleichbarer verkaufsreifer Kakteendurchgeführt worden ist. Gemäß dieser Analyse sei ein arithmetischer Brownscher Prozess (ABP; vgl.Punkt 7.5.2) mit einer jährlichen Drift ߙ = 0 € und einer jährlichen Standardabweichung ߪ = 500 € diebeste Annahme für die Kaktuspreisentwicklung. Gemäß den Gleichungen (7-55) und (7-56) kann derKaktuspreis ausgehend vom jeweils beobachteten Wert im Folgejahr um den Betrag ℎ = 500 € steigenoder um denselben Betrag sinken. Die Wahrscheinlichkeit für einen Anstieg ܲ௛ beträgt gemäßGleichung (7-57) 50%. Die Wahrscheinlichkeit für ein Absinken ܲ௟ = 1 − ܲ௛ entspricht ebenfalls 50%.Ausgehend von einem gegenwärtig beobachteten Einzahlungsüberschuss in Höhe von 1 500 € erzielt derEntscheider in 2 Jahren mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% eine Zahlung von 2 500 €, mit einer Wahr-scheinlichkeit von 50% eine Zahlung von 1 500 € und mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% eine Zahlungvon 500 €. Der Erwartungswert beträgt 1 500 €. Der risikolose Zinssatz ݅ liege bei 5% p.a., d.h. das für dieInvestition einzusetzende Eigenkapital könnte risikolos angelegt werden und würde dabei eine Verzin-sung von 5% liefern.Für den Erwartungsnutzen des Barwertes der Investitionsrückflüsse gilt nach Gleichung (7-72) und Glei-chung (7-93):ܧ[ܷ(ܼ)] = 0,25 ∙ 2 500ଵି଴,଺଻଺ଶ1 − 0,6762 + 0,5 ∙ 1 500ଵି଴,଺଻଺ଶ1 − 0,6762 + 0,25 ∙ 500ଵି଴,଺଻଺ଶ1 − 0,6762 = 31,9893Hieraus lässt sich mit Gleichung (7-94) direkt das Sicherheitsäquivalent berechnen: 468 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement ܵÄ = [31,9893 ∙ (1 − 0,6762)] భభషబ,లళలమ = 1 366Da der Erwartungswert 1 500 € beträgt, beläuft sich die Risikoprämie auf 134 €. Für den Zu- oder Ab-schlag auf den risikolosen Zinssatz gilt gemäß Gleichung (7-96):ݒ = (1 + 0,05) ∙ ቈ൬ 1 5001 500 − 134൰ଵ/ଶ − 1቉ = 0,0503Damit stehen zwei äquivalente Möglichkeiten zur Berechnung des Barwertes der Investitionsrückflüssezur Verfügung: Erstens, unter Verwendung des Sicherheitsäquivalentes und des risikolosen Zinssatzes ݅in Höhe von 5% p.a. ergibt sich ein Barwert von 1 238 € (= 1 366 ∙ 1,05ିଶ). Zweitens, wenn man den ri-sikoangepassten Zinssatz ݅ + ݒ in Höhe von 10,03% p.a. auf den (unsicheren) Erwartungswert der In-vestitionsrückflüsse anwendet, ergibt sich derselbe Barwert von 1 238 € (= 1 500 ∙ 1,1003ିଶ). Der da-raus resultierende Kapitalwert in Höhe von 238 € ist das Ergebnis eines Investitionsmodells, in demsowohl das Ausmaß des Risikos der Investitionsrückflüsse als auch die Höhe der Risikoaversion desEntscheiders bereits modellendogen berücksichtigt wurden. Er stellt damit für den betrachteten Ent-scheider eine eindeutige Entscheidungsregel dar, d.h. es sollte investiert werden, wenn der Kapitalwertgrößer als Null ist.Würde man dagegen den unsicheren zukünftigen Investitionsrückfluss entsprechend dem etabliertenKapitalwertmodell der Investitionsrechnung (vgl. Punkt 6.3.3a) mit dem risikolosen Zins diskontieren,ergäbe sich ein Kapitalwert in Höhe von 361 € (= 1 500 ∙ 1,05ିଶ − 1 000). Hier sind das Risiko und dieRisikoeinstellung nicht modellendogen berücksichtigt. Der Kapitalwert von 361 € liefert deshalb nur inzwei Fällen eine adäquate Entscheidungsinformation: Erstens gilt er für einen risikoneutralen Ent-scheider. Zweitens liefert er einem risikoaversen Entscheider die Information, wie hoch der erwarteteBarwertzuwachs der unsicheren unternehmerischen Kapitalanlage im Vergleich zur sicheren Geldanla-ge ist. Der Entscheidungsträger muss dann außerhalb des Kapitalwertmodells entscheiden, ob dasAusmaß dieses Barwertzuwachses seine Risikoprämie deckt. Anders ausgedrückt: Für einen risikoaver-sen Entscheider liefert ein positiver Kapitalwert, der aus den erwarteten Zahlungsströmen unter Rück-griff auf den risikolosen Zinssatz berechnet wurde, noch keine eindeutige Entscheidungsregel. Er mussvielmehr seine persönliche Investitionsschwelle bestimmen, in die sowohl seine Risikowahrnehmung(Wie viel höher ist das Risiko im Vergleich zur sicheren Geldanlage?) als auch der Grad seiner Risiko-aversion einfließen müssen.Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass die Nutzung des risikoangepassten Zinssatzes in der prakti-schen Planung nicht so einfach ist, wie dies in dem betrachteten Einfachbeispiel mit nur einer zukünftigenZahlung der Fall war. Dies liegt daran, dass der risikoangepasste Zinssatz nicht nur mit zunehmender Ri-sikoaversion und Unsicherheit ansteigt, sondern auch in Abhängigkeit von der Länge des betrachtetenZeitraums variiert, über den diskontiert werden muss (vgl. Gleichung (7-96)). Mit Blick auf unser Beispielsei abschließend der Einfluss der verschiedenen Parameter dargestellt: • Bei HLL-Werten zwischen 1 (entspricht ߠ = −1,7128) und 9 (entspricht ߠ = 1,3685) ergeben sichunter den getroffenen Annahmen risikoangepasste Zinssätze zwischen −2,71% und 16,85%. • Wenn der binomiale arithmetische Brownsche Prozess eine Standardabweichung von 250 € anstellevon 500 € aufweisen würde, ergäben sich wegen des geringeren Risikos risikoangepasste Zinssätzezwischen 2,68% (für ߠ = −1,7128) und 7,17% (für ߠ = 1,3685). • Bei einem Diskontierungszeitraum von 5 anstelle von 2 Jahren würde sich bei der zuvor angenomme-nen Standardabweichung von 500 € ein risikoangepasster Zinssatz zwischen 1,85% (für ߠ =−1,7128) und 9,59% (für ߠ = 1,3685) ergeben.Ende des Beispiels 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 469 e) Zusammenfassung der Ablaufschritte des quantitativen RisikomanagementsDie Auswahl und Kombination von Risikomanagementinstrumenten erfordert zunächst eine Risikoanaly-se, in der die Kosten des Risikomanagements der erzielten „Leistung“ in Form der Reduzierung der Streu-ung der relevanten Zielgröße gegenübergestellt werden. Die grundsätzlichen Ablaufschritte, die erforder-lich sind, um Entscheidungen unter Unsicherheit zu unterstützen, werden in Abb. 7-41 zusammengefasst. Abb. 7-41: Ablaufschritte des quantitativen Risikomanagements a) Das EV-Kriterium ist grundsätzlich nur bei einer normalverteilten Zielgröße in Verbindung mit einerexponentiellen Nutzenfunktion oder bei einer quadratischen Nutzenfunktion anwendbar. Letztere istallerdings wegen der damit unterstellten zunehmenden absoluten Risikoaversion nicht plausibel.Der unabdingbare erste Arbeitsschritt des Risikomanagements ist die Bestimmung der relevanten unter-nehmerischen Erfolgs- und damit Zielgröße, deren Streuung verringert werden soll (vgl. Punkt 7.2.1d).Anschließend müssen im zweiten Arbeitsschritt die Risikofaktoren (stochastischen Einflussgrößen) identi-fiziert werden, deren Schwankungen in ihrer Gesamtwirkung die Streuung des unternehmerischen Erfolgsverursachen (vgl. Punkt 7.2.1c). Diese beiden Arbeitsschritte lassen sich auch zum Arbeitsschritt „Definiti- Schritt 1Bestimmung der relevanten unternehmerischen Erfolgsgröße(z.B. Cash-Flow) Schritt 2Identifizierung der relevanten Risikofaktoren(z.B. Mastschweinepreise, Ferkelpreise, Futterkosten etc.) Schritt 4Spezifizierung von Handlungsalternativen und Bestimmung ihres jeweiligen Risikoprofils,d.h. der Wahrscheinlichkeitsverteilung der relevanten Zielgröße(z.B. mit und ohne Einsatz eines Futures auf Mastschweine) Schritt 5Eliminierung dominierter Handlungsalternativen(z.B. Kauf eines Futures auf Mastschweine, der den Erwartungswert der relevantenErfolgsgröße senkt und ihre Streuung erhöht) Schritt 6Entscheidung zwischen exogenerund endogener Auswahl Schritt 3Adäquate statistische Analyse zur Quantifizierung der Wahrscheinlichkeitsverteilungenund Korrelationen der einzelnen Risikofaktoren mehrere verbleibendeAlternativeneine verbleibendeAlternative a) Quantifizierung derRisikoeinstellungb) Modellendogene Auswahl nachEU-Prinzip oder EV-Kriteriuma) Modellexogene Auswahldurch den Entscheider Umsetzung der gewählten Alternative 470 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement on des stochastischen Betriebsmodells“ zusammenfassen, in dem die relevante Erfolgsgröße formal alsFunktion stochastischer und deterministischer Einflussgrößen abgebildet wird (vgl. Abb. 7-26).Im dritten Arbeitsschritt müssen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen und Korrelationen der Risikofakto-ren durch geeignete statistische Analysen quantifiziert werden (vgl. Punkt 7.5.2). Mit diesen Informatio-nen können dann im vierten Arbeitsschritt die als Risikoprofile bezeichneten Wahrscheinlichkeitsvertei-lungen der relevanten Zielgröße für die spezifizierten Handlungsalternativen berechnet werden (vgl.Punkt 7.5.3). Im fünften Arbeitsschritt sind die dominierten Alternativen auszusortieren (vgl.Punkt 7.6.3a). Bei normalverteilten Risikoprofilen ist dies einfach. Diejenigen Alternativen werden domi-niert, die ein geringeres oder gleiches Einkommensniveau (= Erwartungswert der relevanten Erfolgsgrö-ße) bei höherem Risiko (= Streuung der relevanten Erfolgsgröße) aufweisen. Alternativen mit einem ge-ringeren Einkommensniveau bei gleichem Risiko werden ebenfalls dominiert. Sind die Risikoprofile nichtnormalverteilt, ist das stochastische Dominanzprinzip anzuwenden. Wenn mit Hilfe des Dominanzprin-zips eine eindeutig zu präferierende Alternative identifiziert werden kann, ist diese umzusetzen.Da risikoreduzierende Maßnahmen in aller Regel Kosten verursachen und zu einer Verringerung des Er-wartungseinkommens führen, werden aber auch nach der Eliminierung dominierter Alternativen in denmeisten Fällen mehrere Risikomanagementstrategien übrig bleiben, die im Vergleich zu anderen ein hö-heres Risiko aber auch ein höheres Erwartungseinkommen aufweisen. In diesem Fall ist im sechsten Arbeitsschritt die Entscheidung zu treffen, ob eine modellexogene oder eine modellendogene Auswahl erfol-gen soll. Modellexogen bedeutet, dass man dem Entscheider die Risikoprofile der verschiedenen Hand-lungsalternativen einfach vorlegt und ihn auswählen lässt. Eine modellendogene Herangehensweise er-fordert dagegen, dass man zunächst die Risikoeinstellung des betroffenen Entscheiders quantifiziert. Dieskann z.B. mit Hilfe der Holt-und-Laury-Lotterie (vgl. Punkt 7.6.3d) erfolgen. Wenn die Risikoprofile dereinzelnen Handlungsalternativen normalverteilt sind und die Risikoeinstellung des Entscheiders durcheine exponentielle Risikonutzenfunktion beschrieben werden kann, dann kann das einfach zu handhaben-de EV-Kriterium verwendet werden (vgl. Punkt 7.6.3c). Wenn das EV-Kriterium nicht angewendet werdenkann, muss man unter Rückgriff auf die Risikonutzenfunktion den Erwartungsnutzen berechnen (vgl.Punkt 7.6.3b). Wie bereits erwähnt wurde, kann dies aufwändig sein. 7.6.4 Entscheidungsfindung unter UngewissheitAuch wenn keine objektiven Wahrscheinlichkeiten für Unsicherheitsvariablen vorliegen, gibt es oft sub-jektive Wahrscheinlichkeitseinschätzungen, so dass die in Punkt 7.6.3 beschriebenen Entscheidungskalkü-le unter Risiko zur Entscheidungsunterstützung genutzt werden können. Zudem trifft man in Ungewiss-heitssituationen oftmals gar keine Ausführungsentscheidungen, sondern entscheidet sich dafür, zunächstweitere Informationen zu beschaffen. Trotzdem wurden in der Vergangenheit verschiedene Regeln zur Entscheidungsfindung unter Ungewissheit entwickelt, von denen die fünf bekanntesten kurz angespro-chen und kritisch eingeordnet werden. Um zu verdeutlichen, wie die einzelnen Regeln funktionieren, wirdwieder auf die in Tab. 7-34 beschriebene Frage nach der optimalen Betriebsorganisation zurückgegriffen.Allerdings wird nun angenommen, dass die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Gewinne nichtbekannt sind. In Tab. 7-40 sind die Ergebnisse der Regeln unter Ungewissheit für das betrachtete Beispieldargestellt: • Gemäß Maximin-Regel (Wald-Regel) wird zunächst jeweils das schlechteste Ergebnis einer Hand-lungsalternative bestimmt und dann die Alternative mit dem besten der schlechtesten Ergebnisse ge-sucht. Die Handlungsalternative mit dem maximalen Zeilenminimum wird gewählt. Im Beispiel sinddie beiden Handlungsalternativen „viel Roggen“ und „Verpachtung“ auf Rang 1. Die Entscheidungsfin-dung gemäß Maximin-Regel ist fragwürdig, da sie implizit eine sehr hohe Risikoaversion unterstellt.Man stelle sich bspw. vor, dass eine Handlungsalternative mit Sicherheit 1 000 € liefert. Eine zweite 7.6 Entscheidungsfindung unter Unsicherheit 471 Alternative liefere in 99 von 100 möglichen Umweltzuständen 10 000 € und in einem Umweltzustand999 €. Für den nach der Maximin-Regel handelnden Entscheider wäre die zweite Alternative unter-legen. • Bei der Maximax-Regel wird zunächst das beste Ergebnis jeder Handlungsalternative bestimmt unddann diejenige Handlungsalternative gesucht, die das beste der besten Ergebnisse liefert. Die Hand-lungsalternative mit dem maximalen Zeilenmaximum wird gewählt. Im Beispiel nimmt die Betriebs-organisation „viel Weizen“ den Rang 1 ein. Die Entscheidungsfindung gemäß Maximax-Regel ent-spricht weder der Annahme der Risikoaversion noch der Annahme der Risikoneutralität. So lässt sichbspw. eine Situation konstruieren, in der eine Handlungsalternative mit Sicherheit 999 € liefert, wäh-rend eine andere in 99 von 100 möglichen Umweltzuständen Null und in einem Umweltzustand1 000 € ergibt. Nach der Maximax-Regel wäre die zweite Alternative vorzuziehen. • Die Hurwicz-Regel kann als Verallgemeinerung der Maximin- und der Maximax-Regel aufgefasstwerden. Nach der Hurwicz-Regel wird das beste und das schlechteste Ergebnis der jeweiligen Hand-lungsalternative mit Hilfe eines sog. Optimismusparameter ߱ gewichtet, der die subjektive Risikoein-stellung des Entscheiders ausdrücken soll. Je kleiner der Optimismusparameter gewählt wird, destorisikoaverser ist der Entscheider. In der Ergebnismatrix wird also das jeweilige Zeilenmaximummit ߱und das Zeilenminimum mit 1 − ߱ gewichtet. Anschließend wird die Summe der so gewichtetenExtremwerte gebildet und die Alternative mit dem höchsten Wert gewählt. Bei ߱ = 0 entspricht dieHurwicz-Regel der Maximin-Regel und bei ߱ = 1 der Maximax-Regel. Bei dem in Tab. 7-40 unterstell-ten Wert von ߱ = 0,25 sollte die Betriebsorganisation „viel Roggen“ gewählt werden. Problematischist bei der Anwendung der Hurwicz-Regel die adäquate Bestimmung des Optimismusparameters.Außerdem werden bei der Entscheidungsfindung von jeder Handlungsalternative zwar schon zwei,aber nicht alle möglichen Werte für die Zielgröße berücksichtigt. • Die Savage-Niehans-Regel wird auch als Regel des geringsten Bedauerns (minimum-regret) bezeich-net, da die Handlungsalternativen auf der Grundlage ihrer „Schadenswerte“ beurteilt werden. Hierfürsind drei Schritte notwendig. (1) Zunächst bestimmt man für jeden Umweltzustand die Schadenswerte,d.h. die Differenz zwischen dem jeweiligen Handlungsergebnis und dem besten Handlungsergebnis.Technisch gesprochen berechnet man also innerhalb jeder Ergebnisspalte die Differenz zwischen demjeweiligen Wert und dem Maximalwert. Für Handlungsalternative 1 ergeben sich dann die Werte 4(= 16 − 12), 0 (= 20 − 20) und 0 (= 28 − 28). (2) Anschließend sucht man zeilenweise, d.h. bei jederHandlungsalternative, nach dem größten Schadenswert (maximales Bedauern). Für Handlungsalterna-tive 1 ergibt sich hier 4 (= max (4; 0; 0)). (3) Zuletzt wählt man die Handlungsalternative mit dem ge-ringsten der höchsten Schadenswerte (minimales maximales Bedauern). Im Beispiel sollte gemäß Sa-vage-Niehans-Regel die Handlungsalternative „viel Weizen“ gewählt werden. Bei der Anwendung derSavage-Niehans-Regel wird bei der Entscheidungsfindung - wie bei der Maximin- und Maximax-Regel -nur einer der möglichenWerte für die Zielgröße berücksichtigt. • Die Laplace-Regel wird auch als Kriterium des unzureichenden Grundes (Laplace insufficient reasoncriterion) bezeichnet. Da in Ungewissheitssituationen keine Eintrittswahrscheinlichkeiten für dieErgebnisse bekannt sind, gibt es - gemäß logischer Schlussfolgerung - keinen Grund, einen Umwelt-zustand als wahrscheinlicher einzuschätzen als einen anderen Umweltzustand. Davon ausgehend solltedann gemäß Laplace die Handlungsalternative gewählt werden, die den maximalen Erwartungswertbei gleicher Eintrittswahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse liefert. Das bedeutet gleichzeitig,dass im Unterschied zu den zuvor genannten Regeln alle möglichen Ergebnisse bei der Entschei-dungsfindung berücksichtigt werden. De facto wird bei der Laplace-Regel die Ungewissheitssituationdurch die Annahme von (gleichen) Eintrittswahrscheinlichkeiten für die einzelnen Umweltzuständein eine Risikosituation transformiert und das Erwartungswertkriterium angewendet. In unseremBeispiel ergibt sich dadurch für die Handlungsalternative „viel Weizen“ der Rang 1. 472 7 Querschnittsaufgabe Risikomanagement Tab. 7-40: Vergleich unterschiedlicher Betriebsorganisationen unter Ungewissheit (T€) a)Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5 Spalte 6 Spalte 7 Spalte 8Ergebnismatrix mit denErgebniswerten ܼ௦;௝ Entscheidungsregeln unter Ungewissheit Niederschlag ଵܺ:Niedrig ܺଶ:Mittel ܺଷ:Hoch Maximin-Regel Maximax-Regel Hurwicz-Regel߱ = 0,25 Savage-Niehans-Regel Laplace-Regelܪܣଵ: Viel Weizen 12 20 28 12 (3) 28 (1) 16,0 (2) 4 (1) 20 (1)ܪܣଶ: Viel Roggen 16 18 21 16 (1) 21 (2) 17,3 (1) 7 (2) 18,3 (2)ܪܣଷ: Verpachtung 16 16 16 16 (1) 16 (3) 16,0 (2) 12 (3) 16 (3)Wahrscheinlichkeit ௝ܲ ? ? ?a) In Klammern ist jeweils die Rangfolge der Handlungsalternativen benannt.Neben den hier beschriebenen Regeln wird eine Vielzahl weiterer Entscheidungsregeln zur Entschei-dungsfindung unter Ungewissheit diskutiert. Ihnen ist allen gemeinsam, dass sie ohne axiomatischeBegründung sind. Das heißt, ihre Eignung und ihre Vorzüglichkeit kann gar nicht eingeschätzt werden, dasie von vornherein keine Aussagen darüber machen, für welchen Typ von Entscheidungsträger bzw. fürwelche Risikoeinstellung sie denn als Entscheidungsregel geeignet sein sollen. Man kann also letztlich nurkonstatieren, dass die verschiedenen Entscheidungsregeln zu ganz unterschiedlichen Handlungsempfehlungen kommen können.Trotz dieser schwerwiegenden Kritik ist aber festzuhalten, dass es in der Realität zwar grundsätzlichtechnisch möglich ist, Ungewissheit durch die Schätzung subjektiver Wahrscheinlichkeiten in Entschei-dungen unter Risiko zu überführen. Man ist sich allerdings darüber im Klaren, dass dies wenig Entschei-dungsunterstützung bringt, wenn die subjektiven Wahrscheinlichkeiten nicht verlässlich oder gar willkür-lich sind. Einen Versuch der Lösung dieses Problems bietet die Laplace-Regel. Sie verzichtet auf die Ein-holung subjektiver Wahrscheinlichkeiten, leitet dann aber gleichverteilte Wahrscheinlichkeiten logischaus der Tatsache der Ungewissheit ab. Problematisch ist, dass sie dann zunächst beim Erwartungswertstehen bleibt und damit implizit einen risikoneutralen Entscheider unterstellt. Dies ließe sich aber leichtbeheben, da sich bei einer Gleichverteilung ohne Weiteres das EU-Prinzip anwenden lässt. 7.7 Dynamische Entscheidungsprobleme unter RisikoIn vielen Situationen geht es nicht um Jetzt-Oder-Nie-Entscheidungen, sondern um die Frage, zu welchemZeitpunkt welche Entscheidung gefällt werden soll. Diese Frage kann nicht im Rahmen einer statischenPlanung beantwortet werden, da diese von vornherein nur auf einen Entscheidungszeitpunkt schaut.Wenn Wahlhandlungen in der Gegenwart den Entscheidungsspielraum in der Zukunft beeinflussen,spricht man von dynamischen Entscheidungsproblemen, die auch mit den Begriffen „flexibel“ oder„mehrstufig“ belegt werden. Die grundsätzliche Struktur dynamischer Entscheidungsprobleme, bei denenes aufgrund zeitlicher Interdependenzen zu Opportunitätskosten über der Zeit kommt, haben wir bereitsbei der Diskussion flexibler Investitionen unter Sicherheit kennen gelernt (vgl. Punkt 6.5.2c). Dort habenwir anhand des Kaktusbeispiels eine verschiebbare, aber nicht wiederholbare Investition betrachtet. Diezeitliche Interdependenz bestand darin, dass eine unverzügliche Investition eine spätere Investitions-durchführung ausschloss. Wir wissen von dort, dass man mehrstufige Entscheidungsprobleme im Rahmendes sog. Entscheidungsbaumverfahrens durch die dynamische Programmierung lösen kann. DasVerfahren setzt zeitdiskrete Handlungsalternativen und diskrete Umweltzustände voraus.Im vorliegenden Abschnitt geht es um dynamische Investitionsplanungsprobleme unter Unsicherheit.Oftmals wird in diesem Zusammenhang auch von der „Neuen Investitionstheorie“ oder vom „Realoptions-

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References

Zusammenfassung

Gemäß dem Motto „Nichts ist praktischer als eine gute Theorie“ geht es im vorliegenden Lehrbuch darum, Studierenden und Praktikern beim Erwerb analytischer Fähigkeiten und einer problemlösungsorientierten Methodenkompetenz zu helfen.

Für die Unternehmen der Agrar- und Ernährungswirtschaft haben sich die wirtschaftlichen Rahmenbedingungen in den letzten Jahren stark verändert. Insbesondere der Wettbewerbsdruck und das unternehmerische Risiko sind infolge der Liberalisierung der Agrarmärkte und des Klimawandels angestiegen. Hinzu kommen ein laufender Anpassungsdruck an veränderte Verbraucherwünsche, neue gesellschaftliche Anforderungen sowie eine zunehmende Verflechtung zwischen den verschiedenen Stufen der Wertschöpfungskette. Das vorliegende Lehrbuch trägt diesen Entwicklungen durch die Fokussierung auf die praktische unternehmerische Entscheidungsunterstützung unter Risiko Rechnung.

Dieses Buch schafft zum einen das theoretisch-konzeptionelle Verständnis für die grundlegenden ökonomischen Strukturen der wichtigsten unternehmerischen Entscheidungsanlässe. Zum anderen vermittelt es das handwerkliche Können im Umgang mit betriebswirtschaftlichen Analyse- und Planungsinstrumenten, über das Manager in einer unsicheren Unternehmensumwelt verfügen müssen, um erfolgreiche Entscheidungen fällen zu können.

Aus dem Inhalt:

• Grundlagen und Ziele unternehmerischen Entscheidens

• Kontrolle und Analyse

• Produktionstheorie

• Produktionsprogrammplanung

• Investitionsplanung und Finanzierung

• Querschnittsaufgabe Risikomanagement

• Bewertung und Taxation

• Corporate Social Responsibility

Über die Autoren:

Prof. Dr. Oliver Mußhoff leitet den Arbeitsbereich für Landwirtschaftliche Betriebslehre am Department für Agrarökonomie und Rurale Entwicklung der Georg-August-Universität Göttingen.

Prof. Dr. Norbert Hirschauer ist Inhaber der Professur für Unternehmensführung im Agribusiness am Institut für Agrar- und Ernährungswissenschaften der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

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Für Dozenten steht auf der Website ein auf das Buch abgestimmter Foliensatz mit den Abbildungen und Tabellen des Buches zur Verfügung. Für Studierende sind Übungsaufgaben formuliert.