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6.2 Finanzmathematische Grundlagen in:

Norbert Hirschauer, Oliver Mußhoff

Modernes Agrarmanagement, page 244 - 256

Betriebswirtschaftliche Analyse- und Planungsverfahren

3. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4743-9, ISBN online: 978-3-8006-4457-5, https://doi.org/10.15358/9783800644575_244

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234 6 Investitionsplanung und Finanzierung Abb. 6-2: Grundsätzliche Vorgehensweise bei der Beurteilung von Investitionen Die skizzierte Vorgehensweise bildet den Ausgangspunkt für die Gliederung des vorliegenden Kapitels: Ab-schnitt 6.2 beschreibt die grundsätzlichen finanzmathematischen Operationen. Im Anschluss daran wird dieRentabilitätsanalyse, also die Berechnung der Investitionskalküle, behandelt (Abschnitt 6.3 bis 6.5). In Ab-schnitt 6.6 werden verschiedene Finanzierungsalternativen vorgestellt und verglichen. Zudem wird darge-legt, wie im Rahmen der Liquiditätsanalyse ein Finanzplan für Investitionsvorhaben aufzustellen ist. In Ab-schnitt 6.7 werden Investitions- und Finanzierungsentscheidungen simultan analysiert. Dabei geht es um dieFrage, welche Finanzierung zu welcher Investition passt. Die Berücksichtigung von Unsicherheit in Form derRisikoanalyse und des Risikomanagements erfolgt gesondert in Kapitel 7. In Abschnitt 6.8 wird die Bedeu-tung der Finanzmathematik beispielhaft anhand der Frage der Darlehenswahl aufgezeigt. 6.2 Finanzmathematische GrundlagenDie Zinseszinsrechnung i.w.S., die man auch als Finanzmathematik (financial mathematics) bezeichnet, istdie unabdingbare Voraussetzung für die Rentabilitätsanalyse von Investitionen. Beginnen wir zurVerdeutlichung mit einer einfachen Fragestellung: Sie geben uns 10 000 € und wir geben Ihnen (später)11 000 € zurück. Ist das ein gutes Geschäft?Für Ihre Entscheidung kommt es darauf an, wann genau Sie die 11 000 € zurückbekommen und was Siefür Ihre 10 000 €, die Sie uns geben, alternativ an Zinsen erzielen könnten. Hätten wir gefragt, ob Sie uns10 000 € geben, wenn Sie von uns später 10 000 € zurückerhalten, dann hätten Sie - vorausgesetzt Siesind Gewinnmaximierer und es geht nicht um einen Freundschaftsdienst - sofort abgelehnt. Intuitiv istIhnen also klar, dass Geldbeträge in der Gegenwart ökonomisch einen höheren Wert besitzen als gleichhohe Geldbeträge in der Zukunft. Dies liegt daran, dass man Kapital gewinnbringend einsetzen und Zinsenerwirtschaften kann. Zahlungen, wie die Ein- und Auszahlungen von Investitionen, die zu unterschied-lichen Zeitpunkten erfolgen, müssen deshalb erst vergleichbar gemacht werden. Das ist das Anliegen derFinanzmathematik. Ist die Durchführung der Investition rentabel?a) Aufstellung des Investitionsplansb) Bestimmung des Kalkulationszinsfußesc) Berechnung der Investitionskalküle unter Anwendungder Finanzmathematik Nein Ja Ist die Investition unter Liquiditätsgesichtspunkten gangbar? Ist die Investition unter Berücksichtigung des Risikos akzeptabel? Ja 1. Rentabilitäts-analyse NeinInvestitionablehnen! NeinInvestitionablehnen! Investitionannehmen! 2. Liquiditäts-analyse 3. Risikoanalyse 4. EndgültigeEntscheidung Ja Investitionablehnen! 6.2 Finanzmathematische Grundlagen 235 6.2.1 Aufzinsen und Abzinsen a) Aufzinsen und Endwertberechnung heterogener ZahlungenNehmen wir an, Sie können 10 000 € bei der Bank über einen Zeitraum von ܰ = 5 Jahren anlegen undeinen Zins in Höhe von ݅ = 5% p.a. erzielen. Was wird aus Ihren 10 000 € in 5 Jahren? Wenn man in einereinfachen Überschlagsrechnung lediglich die jährlichen Zinsen aufsummiert und zum Anfangskapitalhinzuaddiert (also 10 000 € + 10 000 € ∙ 5% p. a. ∙ 5 Jahre rechnet), so würde man auf einen Wert von12 500 € kommen. Der Fehler bei dieser Überschlagsrechnung besteht darin, dass die Zinseszinsen ver-nachlässigt werden.Um zum exakten Ergebnis zu gelangen, muss man durch „korrektes“ Aufzinsen berücksichtigen, dass diein den einzelnen Jahren erzielten Zinsen sich ihrerseits wieder verzinsen. Nach einem Jahr hat man ja be-reits ein Kapital von 10 500 € (= 10 000 + 10 000 ∙ 0,05 = 10 000 ∙ 1,05). Im zweiten Jahr kann man danndiese 10 500 € zu 5% anlegen. Das Kapital beläuft sich dann am Ende des Jahres 2 auf 11 025 €(= 10 000 ∙ 1,05ଶ). Nach drei Jahren hat man 11 576 € etc. Nach Ablauf der 5 Jahre erzielt man durch die-sen Zins- und Zinseszinseffekt einen Betrag von 12 763 € (= 10 000 ∙ 1,05ହ).Der Faktor, mit dem man den Anfangskapitalbetrag ܥ଴ (capital) bei einem gegebenen Zins ݅ und einer ge-gebenen Anzahl von Jahren ܰ multipliziert, heißt Aufzinsungsfaktor (ܣܨ௜;ே; compounding factor). ZurVereinfachung bezeichnet man den Aufzinsungsfaktor für ein Jahr ܣܨ௜;ଵ häufig mit dem Symbol ݍ(ܣܨ௜;ଵ = ݍଵ = ݍ = 1 + ݅). Die Aufzinsungsformel beschreibt, wie man den zukünftigen Wert ܥே berechnet,den ein im Zeitpunkt 0 verfügbarer Geldbetrag ܥ଴ nach ܰ Jahren einschließlich Zins und Zinseszinserreicht (vgl. Abb. 6-3):ܥே = ܥ଴ ∙ ݍே = ܥ଴ ∙ ܣܨ௜;ே,mit ݍ = 1 + ݅ (6-1)Den gegenwärtigen Geldbetrag ܥ଴ bezeichnet man auch als Gegenwartswert oder Barwert (presentvalue). Bei dem zukünftigen Wert ܥே spricht man auch vom Zukunftswert oder Endwert (final value). Abb. 6-3: Aufzinsen einer gegenwärtigen Zahlung Beispiel 6-1Aufzinsen - GeldrückzahlungSie haben bereits vor einiger Zeit Geld verliehen. Nun können Sie zwischen zwei Handlungsalternativenwählen, wie Sie das Geld zurückgezahlt bekommen möchten: • ܪܣଵ: Sie bekommen sofort 360 000 € oder • ܪܣଶ: Sie bekommen über die nächsten 4 Jahre - beginnend mit dem nächsten Jahr - jeweils am Endedes Jahres 100 000 €.Zur Entscheidungsfindung möchten Sie wissen, welchen Kapitalbetrag Sie in 4 Jahren einschließlich Zinsund Zinseszins jeweils erreichen. Sie können Geld zu einem festen Zinssatz ݅ = 5% p.a. anlegen. Jahrܥே = ܥ଴ ∙ ݍே = ܥ଴ ∙ ܣܨ௜;ே, Fragestellung:Welchen Endwert ܥே besitzt ein im Zeitpunkt 0verfügbarer Geldbetrag ܥ଴ (Barwert) inܰ Jahren einschließlich Zins und Zinseszins? Aufzinsungsformel: mit ݍ = 1 + ݅ ܥே=?ܥ଴0 1 2 ... ܰBarwert Endwert 236 6 Investitionsplanung und Finanzierung Durch den Aufzinsungsvorgang können zeitlich früher liegende Zahlungen mit einer Zahlung zu einemspäteren Zeitpunkt vergleichbar gemacht werden. Mit Blick auf ܪܣଵ entspricht ein gegenwärtiger Betragvon 360 000 € bei einem Zinssatz von 5% in ܰ = 4 Jahren einem Betrag von 437 582 € (vgl. Gleichung(6-1)):ܪܣଵ: ܥସ = ܥ଴ ∙ 1,05ସ = 360 000 ∙ 1,05ସ = 437 582Zur Berechnung des Endwertes der vier zukünftigen Jahresraten von 100 000 €, die mit ܪܣଶ verbundensind, muss man die einzelnen Zahlungen über 3, 2, 1 und 0 Jahre aufzinsen und anschließend die sichergebendenWerte aufsummieren:ܪܣଶ: ܥସ =෍ܥ௧ ∙ 1,05ସି௧ସ௧ୀଵ= 100 000 ∙ 1,05ଷ + 100 000 ∙ 1,05ଶ + 100 000 ∙ 1,05ଵ + 100 000 ∙ 1,05଴= 100 000 ∙ 1,1576 + 100 000 ∙ 1,1025 + 100 000 ∙ 1,05 + 100 000 ∙ 1= 115 763 + 110 250 + 105 000 + 100 000 = 431 013Bei ܪܣଶ ergibt sich ein zukünftiger Betrag von 431 013 €. Damit ist klar, dass Sie bei ܪܣଵ mehr Geldzurückerhalten und daher ܪܣଵ wählen sollten.Ende des Beispiels Für einen Überblick der Größenordnung der Aufzinsungsfaktoren sind diese in Anhang 1 für unter-schiedliche Zinssätze und Laufzeiten dargestellt. Ein schneller Blick zeigt, dass die Aufzinsungsfaktorenumso höher sind, je höher der Zinssatz und je länger der Zeitraum ist. Anders ausgedrückt: Der zukünftigeWert einer gegenwärtigen Zahlung ist umso höher, je weiter entfernt der zukünftige Zeitpunkt und je hö-her der Zinssatz ist.Will man wissen, welcher Zinssatz erforderlich ist, um eine Vervielfachung des Anfangskapital zu erzie-len, muss man Gleichung (6-1) nach ݅ umstellen:݅ = ൬ܥேܥ଴൰ଵ/ே − 1 (6-2)Um über einen Zeitraum von ܰ = 10 Jahren eine Verdopplung des Kapitals zu erzielen (ܥே/ܥ଴ = 2), ist ei-ne Verzinsung von 7,18% p.a. erforderlich.Will man wissen, welcher Zeitraum erforderlich ist, um eine Vervielfachung des Anfangskapitals zu erzie-len, muss man Gleichung (6-1) nach ܰ umstellen:ܰ = ln ൬ܥேܥ଴൰ /ln (ݍ) (6-3)Hierbei kennzeichnet ln (∙) den natürlichen Logarithmus. Unter Rückgriff auf Gleichung (6-3) kommt manzu dem Ergebnis, dass bei einem Zinssatz von ݅ = 7% für eine Verdopplung des Kapitals (ܥே/ܥ଴ = 2) einZeitraum von 10,24 Jahren erforderlich ist.Der natürliche Logarithmus von ܥே/ܥ଴ = 2 ist etwa 0,7 und der natürliche Logarithmus von ݍ entsprichtetwa dem Zinssatz ݅. Als „Daumenregel“ für die Bestimmung der Verdopplungszeit von Kapital wirddeshalb oftmals auf die Formulierung „70 dividiert durch den Zinssatz ausgedrückt in Prozentpunkten“zurückgegriffen. So ergibt sich bspw. bei einem Zinssatz von 7% eine Verdopplungszeit von 10 Jahren(= 70/7). Tatsächlich beträgt der Aufzinsungsfaktor bei einem Zinssatz von 7% und einer Laufzeit von 10Jahren 1,9672 und weicht damit nur geringfügig von 2 ab. Die genaue Verdopplungszeit liegt - wie wirschon berechnet haben - bei 10,24 Jahren. 6.2 Finanzmathematische Grundlagen 237 b) Abzinsen und Kapitalisieren heterogener ZahlungenAus Beispiel 6-1 wissen wir, dass ein gegebener gegenwärtiger Kapitalbetrag ܥ଴ = 360 000 € bei einemZinssatz von 5% p.a. über einen Zeitraum von 4 Jahren auf ܥସ = 437 582 € anwächst. Die Antwort auf dieumgekehrte Frage, wie viel Kapital Sie heute anlegen müssen, um in 4 Jahren bei einem Zinssatz von 5%einen vorgegebenen Wert von 437 582 € zu erreichen, ist Ihnen deshalb bekannt. Es sind nämlich360 000 €. Wenn Sie aber ganz allgemein ausgehend von einem zukünftigen Betrag ܥே berechnen wollen,wie hoch der gleichwertige heutige Betrag ܥ଴ ist, so müssen Sie die Aufzinsungsformel umstellen. DieUmkehrung des Aufzinsens wird als Abzinsen oder Diskontieren bezeichnet.Der Faktor, mit dem man bei einem gegebenen Zins ݅ und einer gegebenen Anzahl von Jahren ܰ denzukünftigen Kapitalbetrag beim Abzinsen multipliziert, heißt Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor(ܦܨ௜;ே; discount factor). Er ist der Kehrwert des Aufzinsungsfaktors. Damit ist der Diskontierungsfaktorfür ein Jahr ܦܨ௜;ଵ = 1/ݍଵ = ݍିଵ. Die Diskontierungsformel beschreibt in allgemeiner Form, wie man denGegenwartswert ܥ଴ eines zukünftigen Geldbetrags ܥே unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszinsberechnet (vgl. Abb. 6-4):ܥ଴ = ܥே ∙ ݍିே = ܥே ∙ 1ܣܨ௜;ே = ܥே ∙ ܦܨ௜;ே,mit ݍ = 1 + ݅ (6-4) Abb. 6-4: Abzinsen einer zukünftigen Zahlung Beispiel 6-2Abzinsen - UnternehmensanteilskaufIhnen werden Unternehmensanteile zum Kauf angeboten. Der Verkäufer verlangt einen Preis von400 000 €. Sie wollen aber nur maximal 360 000 € bezahlen. Nach langen Verhandlungen kommt Ihnender Verkäufer entgegen und bietet Ihnen an, dass Sie die 400 000 € nicht sofort in bar bezahlen müssen.Er lässt Ihnen vielmehr die Wahl, entweder 400 000 € nach 3 Jahren (ܪܣଵ) oder gleich hohe Raten von100 000 € jeweils am Ende der kommenden vier Jahre (ܪܣଶ) zu bezahlen. Welchen auf die Gegenwart be-zogenen Wert ܥ଴ haben die beiden Handlungsalternativen bei einem Zins von 5% p.a.? Erwerben Sie dieUnternehmensanteile, wenn Ihre maximale Zahlungsbereitschaft bei 360 000 € liegt? Wenn ja, welche Al-ternative wählen Sie?Gemäß Gleichung (6-4) gilt:ܪܣଵ: ܥ଴ = ܥଷ ∙ 1,05ିଷ = 400 000 ∙ 1,05ିଷ = 345 535ܪܣଶ: ܥ଴ =෍ܥ௧ ∙ 1,05ି௧ସ௧ୀଵ= 100 000 ∙ 1,05ିଵ + 100 000 ∙ 1,05ିଶ + 100 000 ∙ 1,05ିଷ + 100 000 ∙ 1,05ିସ= 100 000 ∙ 0,9524 + 100 000 ∙ 0,9070 + 100 000 ∙ 0,8638 + 100 000 ∙ 0,8227= 95 238 + 90 703 + 86 384 + 82 270 = 354 595 ܥேܥ଴=?ܥ଴ = ܥே ∙ ݍିே = ܥே ∙ 1ܣܨ௜;ே = ܥே ∙ ܦܨ௜;ே, Fragestellung:Welchen Barwert ܥ଴ hat ein in ܰ Jahrenanfallender Geldbetrag ܥே (Endwert) unterBerücksichtigung von Zins und Zinseszins? Diskontierungsformel: mit ݍ = 1 + ݅ Jahr0 1 2 ... ܰBarwert Endwert 238 6 Investitionsplanung und Finanzierung Durch das Diskontieren kann die zukünftige Zahlung mit einer Zahlung zum gegenwärtigen Zeitpunktvergleichbar gemacht werden. Bei einem Zinssatz von 5% ist die Zahlung von 400 000 € in 3 Jahren gleichviel wert wie ein heutiger Betrag von 345 535 €. Analog gilt, dass die vier zukünftigen jährlichen Ratenvon je 100 000 € einem heutigen Wert von 354 595 € entsprechen. Anders ausgedrückt: Bei Handlungs-alternative 1 gewährt Ihnen der Verkäufer durch die Möglichkeit der späteren Zahlung einen Preisnach-lass von 54 465 €. Bei Alternative 2 beläuft sich der Preisnachlass auf 45 405 €. Sie wählen also ܪܣଵ. Ausder Sicht des Verkäufers wäre es bei den getroffenen Annahmen vorteilhafter gewesen, Ihr Angebot anzu-nehmen, 360 000 € unverzüglich zu bezahlen. Er kennt sich mit der Finanzmathematik offensichtlichnicht gut aus.Ende des Beispiels Für einen Überblick der Größenordnung der Diskontierungsfaktoren sind diese in Anhang 2 für unter-schiedliche Zinssätze und Laufzeiten dargestellt. Ein schneller Blick zeigt, dass die Diskontierungsfaktorenumso geringer sind, je höher der Zinssatz und je länger der betrachtete Zeitraum ausfallen. Anders ausge-drückt: Zukünftige Zahlungen sind bezogen auf die Gegenwart umso weniger wert, je höher der Zinssatzist und je weiter sie in der Zukunft liegen.Für den Vergleich von Alternativen mit Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, mussman diese auf einen Zeitpunkt beziehen. Für die Entscheidungsunterstützung ist es dabei egal, welchenZeitpunkt man wählt: Entweder man bezieht alle Zahlungen durch Aufzinsen auf einen zukünftigen Zeit-punkt oder durch Diskontieren auf die Gegenwart. Das folgende Beispiel verdeutlicht den Zusammenhang zwischen Aufzinsen und Abzinsen. Beispiel 6-3Auf- und Abzinsen - Wahl zwischen Zahlungen zu unterschiedlichen ZeitpunktenSie haben die Wahl zwischen den Handlungsalternativen: • ܪܣଵ: Sie bekommen 10 000 € in 15 Jahren, • ܪܣଶ: Sie bekommen 8 000 € in 7 Jahren oder • ܪܣଷ: Sie bekommen 5 000 € sofort. Tab. 6-1: Finanzmathematischer Alternativenvergleich (€)Berechnung des Endwertes aller Alternativen im Jahr 15ܥଵହ bei ݅ = 0% ܥଵହ bei ݅ = 5% ܥଵହ bei ݅ = 10%ܪܣଵ: ܥଵହ = 10 000 10 000 10 000 10 000ܪܣଶ: ܥ଻ = 8 000 8 000 11 820 17 149ܪܣଷ: ܥ଴ = 5 000 5 000 10 395 20 886 Rangfolge bei Aufzinsen ࡴ࡭૚ ≻ ࡴ࡭૛ ≻ ࡴ࡭૜ ࡴ࡭૛ ≻ ࡴ࡭૜ ≻ ࡴ࡭૚ ࡴ࡭૜ ≻ ࡴ࡭૛ ≻ ࡴ࡭૚Berechnung des Barwertes aller Alternativenܥ଴ bei ݅ = 0% ܥ଴ bei ݅ = 5% ܥ଴ bei ݅ = 10%ܪܣଵ: ܥଵହ = 10 000 10 000 4 810 2 394ܪܣଶ: ܥ଻ = 8 000 8 000 5 685 4 105ܪܣଷ: ܥ଴ = 5 000 5 000 5 000 5 000 Rangfolge bei Diskontieren ࡴ࡭૚ ≻ ࡴ࡭૛ ≻ ࡴ࡭૜ ࡴ࡭૛ ≻ ࡴ࡭૜ ≻ ࡴ࡭૚ ࡴ࡭૜ ≻ ࡴ࡭૛ ≻ ࡴ࡭૚ 6.2 Finanzmathematische Grundlagen 239 Bei einem Zinssatz von 0% fällt die Entscheidung leicht: Obwohl die Zahlungen zu unterschiedlichen Zeit-punkten erfolgen, kann man den nominalen Geldbetrag der verschiedenen Alternativen direkt miteinan-der vergleichen. Sie wählen bei einem Zinssatz von 0% also Handlungsalternative 1. Welche Alternativebevorzugen Sie aber bei einem Zinssatz von 5% oder 10% p.a.? Tab. 6-1 verdeutlicht, dass Sie sowohldurch die finanzmathematische Operation des Aufzinsens als auch durch das Abzinsen Entscheidungs-unterstützung bekommen.Bei einem Zinssatz von 10% wäre Ihnen ܪܣଵ (ܪܣଶ) auf heute bezogen 2 394 € (4 105 €) wert. Sie würdendeshalb ܪܣଷ wählen, bei der Sie heute 5 000 € erhalten. Diese Aussage können Sie leicht überprüfen, wennSie mittels Aufzinsen wieder in die Zukunft rechnen: Bei einem Zinssatz von 10% würden Sie bei der Wahlvon ܪܣଵ im Jahr 15 über 10 000 €, bei ܪܣଶ über 17 149 € und bei ܪܣଷ über 20 886 € verfügen. Beim Auf-zinsen und beim Diskontieren ergibt sich zwangsläufig eine identische Rangfolge der Alternativen.Die im Beispiel gewählten Zinssätze machen deutlich, dass bei einem hohen Zinssatz die frühere Zahlungeines geringeren Geldbetrags vorteilhafter sein kann als ein höherer Geldbetrag in der Zukunft. Dies liegtdaran, dass man das Geld lukrativ nutzen kann. Anders ausgedrückt: Geld sofort zu haben, ist umsovorteilhafter, je höher der Zinssatz ist.Ende des Beispiels c) Unterjährige VerzinsungsperiodenBisher sind wir davon ausgegangen, dass die Zinsen jeweils am Ende eines Jahres fällig sind. Man sprichtin diesem Zusammenhang auch von einer nachschüssigen Verzinsung. Vielfach werden Zinsen aber auch innerhalb eines Jahres berechnet (halbjährlich, vierteljährlich, monatlich oder auch täglich). Stellen Siesich vor, Sie wollen einen Geldbetrag ܥ଴ in Höhe von 10 000 € über einen Zeitraum von ܰ = 5 Jahrenleihen. Von zwei Banken liegen Angebote vor. Beide bieten ein endfälliges Darlehen an, das inkl. aller Zinsenund Zinseszinsen nach Ablauf der 5 Jahre zurückzuzahlen ist. Unterschiede zwischen den zwei Angebotenbestehen bzgl. des Zinssatzes und der Berechnung der Zinsen: • ܪܣଵ: Eine Bank fordert einen Jahreszins von ݅ = 5,05%. • ܪܣଶ: Eine andere Bank wirbt mit einem geringeren nominalen Jahreszins von ݅௡௢௠ = 5,00%, fordertaber mit dem Verweis auf diesen nominalen Zins einen Quartalszins von 1,25%.Für welches Angebot entscheiden Sie sich?Bei der Beantwortung dieser Frage sind unterjährige Zinseszinseffekte zu berücksichtigen. Bezeichnetman bei ݉ unterjährigen Perioden den Zins je unterjähriger Periode mit ݅ଵ/௠ (also z.B. den Quartalszinsmit ݅ଵ/ସ), so ist der Endwert ࡯ࡺ ausgehend von einem Anfangsbetrag ࡯૙ gemäß Gleichung (6-1) ganzallgemein wie folgt zu berechnen:ܥே = ܥ଴ ∙ (1 + ݅ଵ/௠)௠∙ே (6-5)Im Unterschied zu Gleichung (6-1) bezieht sich Gleichung (6-5) auf eine Verzinsungsperiode der Länge1/݉ Jahre, so dass insgesamt ݉ ∙ ܰ Verzinsungsperioden zu berücksichtigen sind. Bei ܪܣଵ müssen Sienach 5 Jahren 12 793 € (= 10 000 ∙ 1,0505ଵ∙ହ) zurückzahlen und bei ܪܣଶ einen Betrag von 12 820 €(= 10 000 ∙ 1,0125ସ∙ହ). Ein Jahreszins von ݅ଵ/ଵ = 5,05% ist also eine geringere Verzinsung als ein Quartals-zins von ݅ଵ/ସ = 1,25%. Handlungsalternative 1 ist deshalb vorzuziehen.In ökonomischen Zusammenhängen, in denen der unterjährige Zinssatz ݅ଵ/௠ zunächst fälschlicherweiseaus einem sog. nominalen Jahreszins ݅௡௢௠ in der Form ݅ଵ/௠ = ݅௡௢௠/݉ hergeleitet wird, bezeichnet mandie entsprechende tatsächliche Jahresverzinsung auch als effektiven Jahreszins ݅௘௙௙. Ganz allgemein gilt:݅௘௙௙ = ݅ଵ/ଵ = ݅ ≥ ݅௡௢௠. Der Zusammenhang zwischen dem unterjährigen Zins ݅ଵ/௠ und der entsprechen- 240 6 Investitionsplanung und Finanzierung den effektiven Jahresverzinsung ݅௘௙௙ lässt sich durch Gleichsetzen der Gleichungen (6-5) und (6-1) sowieanschließendes Umformen wie folgt darstellen:ܥே = ܥ଴ ∙ (1 + ݅௘௙௙)ே = ܥ଴ ∙ (1 + ݅ଵ/௠)௠∙ே⇔ ݅௘௙௙ = (1 + ݅ଵ/௠)௠ − 1 ⇔ ݅ଵ/௠ = (1 + ݅௘௙௙)ଵ/௠ − 1 (6-6)Wird unter dem irreführenden Verweis auf einen nominalen Jahreszins von ݅௡௢௠ = 5% tatsächlich einunterjähriger Zins von ݅ଵ/ସ = 1,25% je Quartal gefordert oder gezahlt, so entspricht dies einem effektivenJahreszins von ݅௘௙௙ = 5,09%. Anders herum gilt: Soll ein effektiver Jahreszins von ݅௘௙௙ = 5,00% erreichtwerden, darf nur ein Quartalszins von ݅ଵ/ସ = 1,23% gefordert oder gezahlt werden. Der Vergleich voneffektiven Jahreszinssätzen erlaubt eine Entscheidungsfindung: Im betrachteten Beispiel ist der effektiveJahreszins bei Handlungsalternative 1 niedriger als bei Handlungsalternative 2, d.h. Handlungsalternati-ve 1 ist vorzuziehen. Beim endfälligen Darlehen mit Zinszahlung am Ende existieren also zwei alternative Entscheidungskalküle, die zum gleichen Ergebnis führen: der effektive Jahreszins und der absolut zu-rückzuzahlende Geldbetrag.Tab. 6-2 fasst den Sachverhalt „unterjährige Verzinsungsperioden“ zusammen. Die erste Spalte gibt dieAnzahl der unterjährigen Perioden ݉ an. In der zweiten Spalte ist die Höhe der unterjährigen Zinssätze݅ଵ/௠ angezeigt. Dabei wird davon ausgegangen, dass mit Verweis auf einen nominalen Jahreszins von݅௡௢௠ = 5% tatsächlich unterjährige Zinssätze in Höhe von ݅ଵ/௠ = ݅௡௢௠/݉ verlangt werden. Zur Schaffungvon Transparenz ist in der dritten Spalte für jeden dieser gegebenen unterjährigen Zinssätze der effektiveJahreszins ݅௘௙௙ berechnet. Dabei wird zum einen ersichtlich, dass der effektive Jahreszins mit einer Erhö-hung der Zahl der unterjährigen Verzinsungsperioden ansteigt. Zum anderen wird deutlich, dass dieserAnstieg mit steigender Anzahl unterjähriger Perioden immer geringer ausfällt. Im Extremfall einer gegenunendlich gehenden Zahl an Verzinsungsperioden ݉ spricht man von einer zeitstetigen Verzinsung desKapitals. Rechnerisch kann man den effektiven Jahreszins bei zeitstetiger Verzinsung ausgehend voneinem nominalen Zinssatz wie folgt herleiten:lim௠→ஶ൬1 + ݅௡௢௠݉൰௠ = 1 + ݅௘௙௙ = ݁(௜೙೚೘)⇔ ݅௘௙௙ = ݁(௜೙೚೘) − 1 (6-7)Hierbei kennzeichnet ݁ in dem Ausdruck ݁(∙) die Eulersche Zahl. Bei einem nominalen Jahreszins ݅௡௢௠ inHöhe von 5% und einer zeitstetigen Verzinsung würde sich ein effektiver Jahreszins ݅௘௙௙ von 5,1271% er-geben. Da bei unendlich vielen unterjährigen Perioden ݅௘௙௙ = ݁(௜೙೚೘) − 1 gilt, wird ݅௡௢௠ auch als zeitsteti-ge Verzinsung bezeichnet. Wie ein Blick auf die vorletzte Zeile von Tab. 6-2 verdeutlicht, weicht der effek-tive Jahreszins bei 1 000 Verzinsungsperioden pro Jahr nur geringfügig von dem effektiven Jahreszins beieiner zeitstetigen Verzinsung ab. Tab. 6-2: Effektiver Jahreszins in Abhängigkeit von der Zahl der Verzinsungsperioden pro Jahr bei einem nominalen Jahreszins ݅௡௢௠ von 5%Verzinsungsperioden ݉pro Jahr Unterjähriger Zins݅ଵ/௠ = ݅௡௢௠/݉ Effektiver Jahreszins ݅௘௙௙1 5,0000% 5,0000%2 2,5000% 5,0625%4 1,2500% 5,0945%12 0,4167% 5,1162%52 0,0962% 5,1246%365 0,0137% 5,1267%1 000 0,0050% 5,1270%∞ → 0% 5,1271% = ݁(଴,଴ହ) − 1 6.2 Finanzmathematische Grundlagen 241 Bisher haben wir die Perspektive eingenommen, dass wir ausgehend von einem gegebenen nominalenJahreszins ݅௡௢௠ und einer gegebenen Anzahl unterjähriger Perioden ݉ den effektiven Jahreszins ݅௘௙௙suchen. Bei unendlich vielen unterjährigen Perioden (݉ → ∞) ergab sich dabei der Zusammenhang݅௘௙௙ = ݁(௜೙೚೘) − 1. Wenn wir nun ausgehend von einem gegebenen effektiven Jahreszins ݅௘௙௙ nach demzeitstetigen Zinssatz ݅௡௢௠ suchen, müssen wir lediglich die Gleichung (6-7) umformen. Dafür könnte estechnische Gründe geben, da man mit dem zeitstetigen Zinssatz in bestimmten Zusammenhängen(z.B. beim Umgang mit anderen zeitstetigen Parametern wie einer zeitstetigen Driftrate) leichter arbei-ten kann:݅௘௙௙ = ݁(௜೙೚೘) − 1 ⇔ ݅௡௢௠ = ln (1 + ݅௘௙௙) (6-8)Liegt also bspw. der effektive Jahreszins ݅௘௙௙ bei 5%, so beträgt die zeitstetige Verzinsung ݅௡௢௠ =4,8790%. Wie wir bereits wissen, entspricht ein effektiver Jahreszins ݅௘௙௙ = 5,1271% einer zeitstetigenVerzinsung ݅௡௢௠ = 5%. Bei zeitstetiger Verzinsung kann der zukünftige Wert ܥே, den ein im Zeitpunkt 0verfügbarer Geldbetrag ܥ଴ nach ܰ Jahren einschließlich Zins und Zinseszins erreicht hat, wie folgt berech-net werden:ܥே = ܥ଴ ∙ ݁(௜೙೚೘∙ே) (6-9)Bei den im weiteren Verlauf dieses Buches angestellten Zinsbetrachtungen wird unterstellt, dass dereffektive Jahreszins bereits vorliegt. Es wird - sofern keine Unterscheidung zwischen Nominalzins undEffektivzins erforderlich ist - auf das Kürzel „݂݂݁“ verzichtet, d.h. es gilt: ݅௘௙௙ = ݅. 6.2.2 RentenrechnungWenn bei finanzmathematischen Problemen regelmäßige Zahlungen auftreten, erspart es viel Rechen-arbeit, wenn man vom Konzept der Rente (Annuität) ausgeht. Eine Annuität (annuity) bezeichnet einenZahlungsstrom mit gleich hohen und nach festen Zeitabständen wiederkehrenden Beträgen (uniformeund äquidistante Zahlungsreihe). Beispielsweise entspricht die in Beispiel 6-2 angesprochene Raten-zahlung beim Unternehmensanteilskauf einer Annuität. Weitere Beispiele sind die zum Planungszeitpunktals homogen angenommenen zukünftigen Investitionsrückflüsse aus einer Investition in einen Mast-schweinestall oder eine Biogasanlage, der Kapitaldienst für ein Annuitätendarlehen (vgl. Punkt 6.6.1c)und ein gleich bleibender Beitrag zu einer Lebensversicherung. a) Kapitalisieren homogener ZahlungenZur Berechnung des Barwertes einer Rente ܣ, die über ܰ zukünftige Perioden gezahlt wird, muss man dieAnnuität mit dem Kapitalisierungsfaktor (ܭܨ௜;ே; capitalization factor oder present worth of annuityfactor) multiplizieren. Der Kapitalisierungsfaktor, der oftmals auch als Rentenbarwertfaktor bezeichnetwird, hängt vom Zinssatz ݅ und der Laufzeit ܰ ab. Die Kapitalisierungsformel beschreibt in allgemeinerForm, wie man den heutigenWert ܥ଴ von ܰ identischen zukünftigen Geldbeträgen ܣ unter Berücksichtigungvon Zins und Zinseszins berechnet (vgl. Abb. 6-5):ܥ଴ = ܣ ∙ ݍே − 1ݍே ∙ (ݍ − 1) = ܣ ∙ ܭܨ௜;ே (6-10)Die Ermittlung des Gegenwartswertes ist sowohl bei homogenen als auch bei heterogenen Zahlungs-strömen durch Diskontieren der einzelnen zukünftigen Zahlungen möglich. Dies ist aufwändig undwird deshalb nur bei heterogenen Zahlungsströmen gemacht. Der Gegenwartswert homogenerZahlungsströme wird dagegen mit Hilfe des Kapitalisierungsfaktors berechnet. Dies erspart vielRechenarbeit. 242 6 Investitionsplanung und Finanzierung Abb. 6-5: Kapitalisieren gleichmäßiger zukünftiger Zahlungen In Anhang 4 sind die Kapitalisierungsfaktoren für unterschiedliche Zinssätze und Laufzeiten dargestellt.Auf drei Spezialfälle sei hingewiesen: • Bei einer Laufzeit von einem Jahr (ܰ = 1) entspricht der Kapitalisierungsfaktor dem Diskontierungs-faktor: ܭܨ௜;ଵ = ܦܨ௜;ଵ = ݍିଵ. • In einer Welt ohne Zinsen (݅ = 0%) können auch Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten an-fallen, ohne Weiteres miteinander verglichen werden. Der Kapitalisierungsfaktor entspricht dann derLaufzeit der Rente: ܭܨ଴%;ே = ܰ. • Bei Vorliegen einer unendlichen Rente (ܰ = ∞) entspricht der Kapitalisierungsfaktor dem Kehrwertdes Zinssatzes: ܭܨ௜;ஶ = 1/݅. Approximativ gilt dies auch schon bei relativ langen Laufzeiten undhohen Zinsen, da weit in der Zukunft liegende Zahlungen durch das Diskontieren mit hohen Zinssätzenstark entwertet werden. Beispiel 6-4Kapitalisieren - UnternehmensanteilskaufEine Anwendung für den Kapitalisierungsfaktor ergibt sich bspw. bei dem in Beispiel 6-2 betrachteten Falldes Unternehmensanteilskaufs, der mit vier jährlichen Ratenzahlungen von 100 000 € erfolgen kann. DerZinssatz beträgt 5% p.a. Bei der einfachen Diskontierung sind insgesamt fünf Rechenschritte notwendig,um den Barwert der vier aufeinander folgenden Jahresraten zu ermitteln: Jede der vier Raten war einzelnzu diskontieren. Anschließend mussten die diskontierten Werte aufsummiert werden. Bei gleich bleiben-den Zahlungen kann man stattdessen den Kapitalisierungsfaktor verwenden und dadurch die Rechnungauf einen Schritt reduzieren. Das Ergebnis gemäß Gleichung (6-10) ist identisch:ܥ଴ = ܣ ∙ ܭܨହ%;ସ = 100 000 ∙ 3,54595 = 354 595Ende des Beispiels b) Verrenten eines BarwertesWill man ausgehend von einem heutigen Betrag ܥ଴ berechnen, welche zukünftige über ܰ Jahre gezahlte oder zuzahlende Rente unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins diesemBetrag entspricht, mussman die Kapita-lisierungsformel umstellen. Die Umkehrung des Kapitalisierens nenntmanVerrenten bzw. Annualisieren.Der Faktor, mit dem man den heutigen Kapitalbetrag beim Verrenten multipliziert, heißt Annuitäten- oder Wiedergewinnungsfaktor (ܹܨ௜;ே; capital recovery factor oder amortization factor). Er ist der Kehrwert ܣܥ଴=? Barwert ܣ ܣ Annuität ܥ଴ = ܣ ∙ ݍே − 1ݍே ∙ (ݍ − 1) = ܣ ∙ ܭܨ௜;ே Fragestellung:Welchen Barwert ܥ଴ besitzt eine über ܰ Jahreanfallende regelmäßige gleich hohe Zahlung ܣ(Annuität) unter Berücksichtigung von Zinsund Zinseszins? Kapitalisierungsformel: Spezialfälle:ܰ = 1 ⇒ ܭܨ௜;ଵ = ܦܨ௜;ଵ = ݍିଵ݅ = 0% ⇒ ܭܨ଴%;ே = ܰܰ = ∞ ⇒ ܭܨ௜;∞ = 1/݅ Jahr0 1 2 ... ܰ 6.2 Finanzmathematische Grundlagen 243 des Kapitalisierungsfaktors. Die Verrentungsformel beschreibt in allgemeiner Form, wie man die Annuitätܣ unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins bei gegebenem Zins ݅, gegebener Anzahl von Jahren ܰund gegebenem Barwert ܥ଴ berechnet (vgl. Abb. 6-6):ܣ = ܥ଴ ∙ ݍே ∙ (ݍ − 1)ݍே − 1 = ܥ଴ ∙ 1ܭܨ௜;ே = ܥ଴ ∙ ܹܨ௜;ே (6-11) Abb. 6-6: Verrenten einer heutigen Zahlung Die Ermittlung einer Annuität ausgehend von einem gegebenen Gegenwartswert lässt sich auch „manuell“vornehmen. Dies ist allerdings viel aufwändiger als die Verwendung des Wiedergewinnungsfaktors. Beieinem Zinssatz von ݅ = 5% p.a., einer Laufzeit von 2 Jahren und einem gegebenen Barwert ܥ଴ = 10 000 €wäre wie folgt vorzugehen:ܥ଴ = ܣ ∙ ݍିଵ + ܣ ∙ ݍିଶ ⇔ ܣ = ܥ଴ݍିଵ + ݍିଶ = 10 0000,9524 + 0,9070 = 5 378 (6-12)In Anhang 3 sind die Wiedergewinnungsfaktoren für unterschiedliche Zinssätze und Laufzeiten dar-gestellt. Genau wie beim Kapitalisierungsfaktor sei auf drei Spezialfälle hingewiesen: • Bei einer Laufzeit von einem Jahr (ܰ = 1) entspricht der Wiedergewinnungsfaktor dem Aufzin-sungsfaktor: ܹܨ௜;ଵ = ܣܨ௜;ଵ = ݍ. • In einer Welt ohne Zinsen (݅ = 0%) können Zahlungen direkt miteinander verglichen werden. DerWiedergewinnungsfaktor entspricht dann dem Kehrwert der Laufzeit, über die die Annuität gezahltwird: ܹܨ଴%;ே = 1/ܰ. • Für die Bestimmung einer unendlichen Rente (ܰ = ∞) entspricht der Wiedergewinnungsfaktor demZinssatz: ܹܨ௜;ஶ = ݅.Durch eine Umformung von Gleichung (6-11) kann man eine Annuität in zwei Summanden aufsplitten,die eine intuitive Interpretation zulassen:ܣ = ܥ଴ܰᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ∅௄௔௣௜௧௔௟௔௡௧௘௜௟ + ܥ଴ ∙ ௜݂;ே ∙ (ݍ − 1)ᇣᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇥ∅௓௜௡௦௔௡௧௘௜௟ , mit ௜݂;ே = ݍேݍே − 1 − 1ܰ ∙ (ݍ − 1) (6-13)Der erste Summand ܥ଴/ܰ beschreibt den durchschnittlichen jährlichen Kapitalanteil (durchschnittlichgezahltes oder zu zahlendes Kapital) und der zweite Summand ܥ଴ ∙ ௜݂;ே ∙ (ݍ − 1) den durchschnittlichenjährlichen Zinsanteil (durchschnittlich erhaltene oder gezahlte Zinsen) einer Annuität. Die Aufsplittung einerAnnuität in ihre Komponenten eröffnet bei vielen Anwendungen, wie z.B. bei der Vermögensentnahme, derBerechnung von Durchschnittskosten einer Investition (vgl. Punkt 6.3.3d) oder der Rückzahlung von Annui-tätendarlehen (vgl. Punkt 6.6.1c), eine aussagekräftige ökonomische Interpretation. Der sog. f-Wert ௜݂;ே lässt ܣ=?ܥ଴ ܣ=? ܣ=?ܣ = ܥ଴ ∙ ݍே ∙ (ݍ − 1)ݍே − 1 = ܥ଴ ∙ 1ܭܨ௜;ே = ܥ଴ ∙ ܹܨ௜;ே Fragestellung:Welche zukünftige über ܰ Jahre anfallendeAnnuität ܣ ist unter Berücksichtigung von Zinsund Zinseszins gleich viel wert wie einheutiger Geldbetrag ܥ଴ (Barwert)? Verrentungsformel: Spezialfälle:ܰ = 1 ⇒ ܹܨ௜;ଵ = ܣܨ௜;ଵ = ݍ݅ = 0% ⇒ ܹܨ଴%;ே = 1/ܰܰ = ∞ ⇒ ܹܨ௜;ஶ = ݅ Barwert Annuität Jahr0 1 2 ... ܰ 244 6 Investitionsplanung und Finanzierung sich als der prozentuale Kapitalanteil interpretieren, der bei einer Annuität durchschnittlich gebunden ist,also verzinst wird. In Anhang 7 sind die f-Werte für unterschiedliche Zinssätze und Laufzeiten dargestellt. Beispiel 6-5Verrenten - KapitalentnahmeStellen Sie sich vor, Sie legen 10 000 € zu einem Zinssatz von 5% p.a. an und wollen in den nächsten10 Jahren einen jährlich gleich bleibenden Betrag entnehmen. Wie viel Geld steht Ihnen jährlich zurVerfügung, wenn nach Ablauf der 10 Jahre das Kapital gerade aufgebraucht sein soll? GemäßGleichung (6-11) gilt:ܣ = ܥ଴ ∙ ܹܨହ%;ଵ଴ = 10 000 ∙ 0,1295 = 1 295Wird ein Geldbetrag von 10 000 € zu einem Zinssatz von 5% p.a. angelegt, kann man aufgrund des Zins-und Zinseszinseffektes über einen Zeitraum von 10 Jahren jährlich eine nachschüssige Zahlung von1 295 € entnehmen. Zum gleichen Ergebnis kommt man unter Verwendung von Gleichung (6-13):ܣ = ܥ଴10 + ܥ଴ ∙ ହ݂%;ଵ଴ ∙ 0,05 = 10 00010 + 10 000 ∙ 0,5901 ∙ 0,05 = 1 000 + 295 = 1 295Diese alternative Berechnungsweise der Annuität zeigt, dass Ihr Kapital durchschnittlich um 1 000 € proJahr abnimmt. Der f-Wert in Höhe von 0,5901 bedeutet, dass Ihr durchschnittlich gebundenes Kapital bzw.Guthaben 5 901 € beträgt. Bei einem Zinssatz von 5% erhalten Sie deshalb durchschnittlich jährlich 295 €(= 5 901 ∙ 0,05) an Zinsen. Zu beachten ist jedoch, dass der tatsächliche Kapital- und Zinsanteil im jeweili-gen Jahr unterschiedlich ist. So beträgt bspw. im ersten Jahr der Zinsanteil Ihrer Entnahme 500 €(= 10 000 ∙ 0,05) und der Kapitalanteil 795 € (= 1 295 − 500).Ende des Beispiels c) RentenendwertrechnungDurch das Kapitalisieren kann der Barwert einer Annuität berechnet werden. Auch die Rentenendwert-rechnung bezieht sich auf Annuitäten. Allerdings wird dabei nicht der Barwert, sondern der auf das Jahr ܰbezogene Endwert der über ܰ Jahre gezahlten Annuitäten bestimmt. Der Rentenendwert entspricht alsodem aufgezinsten Barwert einer Annuität. Das Produkt ܭܨ௜;ே ∙ ܣܨ௜;ே wird als Rentenendwertfaktor(ܧܨ௜;ே; accumulation of annuity factor) bezeichnet (vgl. Abb. 6-7 und Anhang 5):ܥே = ܣ ∙ ܭܨ௜;ே ∙ ܣܨ௜;ே = ܣ ∙ ݍே − 1ݍ − 1 = ܣ ∙ ܧܨ௜;ே (6-14) Abb. 6-7: Rentenendwertrechnung ܣܥே=? Endwert ܣ ܣ Annuität ܥே = ܣ ∙ ܭܨ௜;ே ∙ ܣܨ௜;ே= ܣ ∙ ݍே − 1ݍ − 1 = ܣ ∙ ܧܨ௜;ே Fragestellung:Welchen Endwert ܥே besitzt eine über ܰ Jahreanfallende Annuität ܣ unter Berücksichtigungvon Zins und Zinseszins? Rentenendwertformel: Jahr0 1 2 ... ܰ 6.2 Finanzmathematische Grundlagen 245 Beispiel 6-6Rentenendwert - KapitalanlageAngenommen, Sie legen über die kommenden 4 Jahre - beginnend mit dem nächsten Jahr - jeweils amEnde des Jahres 100 000 € an. Der Zinssatz beträgt 5% p.a. Wie hoch ist der in 4 Jahren erreichte Kapital-betrag? Gemäß Gleichung (6-14) gilt:ܥସ = ܣ ∙ ܧܨହ%;ସ = 100 000 ∙ 4,31013 = 431 013Ein Vergleich mit den Rechenschritten in Beispiel 6-1 zeigt, dass der Rentenendwertfaktor mehrereAufzinsungsschritte zusammenfasst.Ende des Beispiels d) RentenendwertverteilungsrechnungWill man ausgehend von einem zukünftigen Betrag ܥே berechnen, welche über ܰ Jahre zu zahlende Renteܣ unter Berücksichtigung von Zins und Zinseszins diesem Betrag entspricht, muss man die Rentenend-wertformel umstellen. Diese Umkehrung der Rentenendwertrechnung wird auch als Rentenendwertver-teilungsrechnung bezeichnet:ܣ = ܥே ∙ ܦܨ௜;ே ∙ ܹܨ௜;ே = ܥே ∙ ݍ − 1ݍே − 1 = ܥே ∙ 1ܧܨ௜;ே = ܥே ∙ ܧܸܨ௜;ே (6-15)Der Kehrwert des Rentenendwertfaktors wird als Restwert- oder Rentenendwertverteilungsfaktor(ܧܸܨ௜;ே; sinking fund factor) bezeichnet (vgl. Abb. 6-8 und Anhang 6). Abb. 6-8: Rentenendwertverteilungsrechnung Beispiel 6-7Rentenendwertverteilung - KapitalentnahmeAngenommen, Sie verfügen über einen in 10 Jahren fälligen Zahlungsanspruch in Höhe von 10 000 €.Welche über 10 Jahre gleich bleibende Jahresrate ist bei einem Zinssatz ݅ in Höhe von 5% p.a. gleich vielwert wie dieser Endwert? Gemäß Gleichung (6-15) gilt:ܣ = ܥଵ଴ ∙ ܧܸܨହ%;ଵ଴ = 10 000 ∙ 0,0795 = 795Über einen Zeitraum von 10 Jahren jeweils 795 € zu bekommen, ist Ihnen bei einem Zinssatz von 5%gleich viel wert wie 10 000 € am Ende der 10 Jahre.Ende des Beispiels ܥே EndwertAnnuität ܣ = ܥே ∙ ܦܨ௜;ே ∙ ܹܨ௜;ே= ܥே ∙ ݍ − 1ݍே − 1 = ܥே ∙ 1ܧܨ௜;ே = ܥே ∙ ܧܸܨ௜;ே Fragestellung:Welche über ܰ Jahre anfallende Annuität ܣ istunter Berücksichtigung von Zins undZinseszins gleich viel wert wie einEndwert ܥே? Rentenendwertverteilungsformel: Jahr0 1 2 ... ܰܣ=?ܣ=? ܣ=? 246 6 Investitionsplanung und Finanzierung 6.3 Rentabilitätsanalyse von InvestitionenMit Hilfe der Rentabilitätsanalyse von Investitionen sollen folgende Fragen beantwortet werden:1. Ist eine Investition rentabel (absolute Vorteilhaftigkeit)?2. Ist eine Investition im Vergleich zu anderen (Sach)Investitionsalternativen rentabel (relative Vorteilhaftigkeit)?3. Wie lange soll die Nutzungsdauer sein? Das heißt, wie viele Jahre soll das beschaffte Gebrauchsgutgenutzt und wann soll desinvestiert bzw. verkauft werden?Im Folgenden wird zunächst beschrieben, wie die absolute Vorteilhaftigkeit von Investitionen analysiertwird. Dabei unterstellen wir, dass sich die Zielsetzung des Investors auf monetäre Ziele beschränkt, er also„einfacher“ Gewinnmaximierer ist. Weitere denkbare Ziele, die mit einer Investitionsentscheidung verfolgtwerden könnten, wie z.B. die Reduzierung des Produktionsrisikos und der Arbeitsbelastung, werden nichtberücksichtigt. Sie müssen ggf. in Form von Tradeoffs (vgl. Abschnitt 2.2) bewertet werden. Mögliche Li-quiditätsengpässe sowie das Investitionsrisiko werden ebenfalls noch nicht angesprochen (vgl. hierzu Ab-schnitt 6.6 und Kapitel 7).Vor der eigentlichen Investitionsanalyse muss der Investitionsplan (business plan) aufgestellt werden, derin Zahlen beschreibt, was durch die Investition wann ausgelöst wird (Punkt 6.3.1). Auf der Grundlage desInvestitionsplans lässt sich noch nicht sagen, ob eine Investition rentabel ist und ihre Kosten deckt.Hierfür muss der Kalkulationszinsfuß bestimmt werden, der die Kosten des verwendeten Kapitals wider-spiegelt (Punkt 6.3.2). Basierend auf dem Investitionsplan und dem Kalkulationszinsfuß werden dann sog.Investitionskalküle berechnet (Punkt 6.3.3). Dazu benötigt man die Finanzmathematik, da die zu unter-schiedlichen Zeitpunkten anfallenden Zahlungen vergleichbar gemacht werden müssen. 6.3.1 Aufstellung des InvestitionsplansDer Zahlungsstrom einer Investition wird spezifiziert, indem man im Sinne der Differenzrechnung (vgl.Punkt 2.4.1) nach den ursächlich durch die Investition ausgelösten Ein- und Auszahlungen fragt.Genauer gesagt geht es um die Zahlungen, die zu bestimmten Zeitpunkten zusätzlich zu der Situation„Betrieb ohne Investition“ erwirtschaftet werden. Es ist zu betonen, dass der Investitionsplan auf zeit-punktbezogenen Zahlungen beruht. Kalkulatorische Größen, wie z.B. Abschreibungen, die einen Aufwand,aber keine Zahlung darstellen, haben in einem Investitionsplan nichts zu suchen. Auch ein Rückgriff aufEinnahmen und Ausgaben ist nicht adäquat, da auch dies die zeitliche Zuordnung der Zahlungen ver-fälschen kann. Einnahmen einer Periode führen ja möglicherweise erst in einer Folgeperiode tatsächlichzu Einzahlungen (vgl. Abschnitt 3.2). Mit Blick auf Desinvestitionsfragen ist zu beachten, dass versunkeneKosten nicht im (Des)Investitionsplan zu berücksichtigen sind (vgl. Punkt 2.4.3). Versunkene Kosten sindnicht entscheidungsrelevant, da sie nicht eingespart werden können, auch wenn ein Stall o.ä. nicht mehrweiter genutzt wird.Bei der Bestimmung der Ein- und Auszahlungen müssen möglichst realistische Annahmen bzgl. dererwarteten Preise und Mengen getroffen werden. Dies bezieht sich sowohl auf die verbrauchten Inputsals auch auf die produzierten Outputs. Bei der Aufstellung des Zahlungsstroms muss der Zeitpunktberücksichtigt werden, zu dem Zahlungen anfallen. Oftmals veranschlagt man aber der Einfachheit halberdie irgendwann zwischen Januar und Dezember anfallenden Ein- und Auszahlungen als Summe am Jahres-ende. Man spricht in diesem Zusammenhang - wie wir bereits wissen - von der Jahresendfiktion.Manchmal kann man zur Bestimmung der konkreten Höhe der relevanten Ein- und Auszahlungen auf eigene Daten und eigenes Erfahrungswissen zurückgreifen. Dies gilt insbesondere dann, wenn essich um eine Investition in einen Bereich handelt, in dem man schon lange Zeit engagiert ist (Erweite-rungs- oder Ersatzinvestitionen). Allerdings ist zu beachten, dass es bei der Planung immer darum geht,

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References

Zusammenfassung

Gemäß dem Motto „Nichts ist praktischer als eine gute Theorie“ geht es im vorliegenden Lehrbuch darum, Studierenden und Praktikern beim Erwerb analytischer Fähigkeiten und einer problemlösungsorientierten Methodenkompetenz zu helfen.

Für die Unternehmen der Agrar- und Ernährungswirtschaft haben sich die wirtschaftlichen Rahmenbedingungen in den letzten Jahren stark verändert. Insbesondere der Wettbewerbsdruck und das unternehmerische Risiko sind infolge der Liberalisierung der Agrarmärkte und des Klimawandels angestiegen. Hinzu kommen ein laufender Anpassungsdruck an veränderte Verbraucherwünsche, neue gesellschaftliche Anforderungen sowie eine zunehmende Verflechtung zwischen den verschiedenen Stufen der Wertschöpfungskette. Das vorliegende Lehrbuch trägt diesen Entwicklungen durch die Fokussierung auf die praktische unternehmerische Entscheidungsunterstützung unter Risiko Rechnung.

Dieses Buch schafft zum einen das theoretisch-konzeptionelle Verständnis für die grundlegenden ökonomischen Strukturen der wichtigsten unternehmerischen Entscheidungsanlässe. Zum anderen vermittelt es das handwerkliche Können im Umgang mit betriebswirtschaftlichen Analyse- und Planungsinstrumenten, über das Manager in einer unsicheren Unternehmensumwelt verfügen müssen, um erfolgreiche Entscheidungen fällen zu können.

Aus dem Inhalt:

• Grundlagen und Ziele unternehmerischen Entscheidens

• Kontrolle und Analyse

• Produktionstheorie

• Produktionsprogrammplanung

• Investitionsplanung und Finanzierung

• Querschnittsaufgabe Risikomanagement

• Bewertung und Taxation

• Corporate Social Responsibility

Über die Autoren:

Prof. Dr. Oliver Mußhoff leitet den Arbeitsbereich für Landwirtschaftliche Betriebslehre am Department für Agrarökonomie und Rurale Entwicklung der Georg-August-Universität Göttingen.

Prof. Dr. Norbert Hirschauer ist Inhaber der Professur für Unternehmensführung im Agribusiness am Institut für Agrar- und Ernährungswissenschaften der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

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Für Dozenten steht auf der Website ein auf das Buch abgestimmter Foliensatz mit den Abbildungen und Tabellen des Buches zur Verfügung. Für Studierende sind Übungsaufgaben formuliert.