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5.2 Grundlagen der linearen Programmierung in:

Norbert Hirschauer, Oliver Mußhoff

Modernes Agrarmanagement, page 200 - 220

Betriebswirtschaftliche Analyse- und Planungsverfahren

3. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4743-9, ISBN online: 978-3-8006-4457-5, https://doi.org/10.15358/9783800644575_200

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5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 189 Abb. 5-1: Linearisierung der Kapazitätslinie Die Annahme abschnittsweise-linearer funktionaler Zusammenhänge und damit abschnittsweise-konstanter Grenzraten der Transformation bedeutet, dass auf dem jeweiligen linearen Segment der erfor-derliche Faktoreinsatz je Produkteinheit unabhängig vom Produktionsumfang ist. Dies bedeutet Folgen-des: Solange man sich auf einem Segment befindet, wird mit jeder Einheit weniger von ݕଶ eine konstanteFaktormenge freigesetzt, mit der wiederum eine feste Menge mehr von ݕଵ produziert werden kann. DieLinearitätsannahme spiegelt sich im Konzept des Produktionsverfahrens wider. Mit der Definition eineshektarnormierten technischen Verfahrens impliziert man, dass zur Erzeugung einer bestimmten Menge(z.B. 70 dt Weizen) immer die gleiche Menge einer Kapazität (z.B. 1 ha Fläche) benötigt wird. Man unter-stellt damit auch, dass die Verfahren einen festen Anspruch an alle anderen Produktionsfaktoren haben.In Abschnitt 5.2 beschreiben wir, wie man das Planungsproblem „Optimierung des Produktionspro-gramms“ mit Hilfe der linearen Programmierung löst. In Abschnitt 5.3 gehen wir dann auf die modell-technischen Erweiterungen ein, die notwendig sind, um reale Bedingungen und Zusammenhänge adäquatabzubilden. In Abschnitt 5.4 wird gezeigt, bei welchen praktischen ökonomischen Entscheidungsproble-men die lineare Programmierung eingesetzt werden kann. 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 5.2.1 Formulierung eines LP-ProblemsDie grundsätzliche Vorgehensweise bei der Bestimmung des optimalen Produktionsprogramms lässt sicham besten mit Hilfe eines kleinen Beispiels zeigen, das gegenüber der Praxis stark vereinfacht ist, aber diewichtigsten strukturellen Charakteristika des Planungsproblems aufweist. Die für das Beispiel aufgezeigteVorgehensweise kann als Muster verwendet und auf umfangreichere Planungsprobleme übertragenwerden.Schauen wir uns die Planung des Anbauprogramms in einem einfach strukturierten Marktfruchtbetrieban. Die Zielsetzung bei der Anbauprogrammplanung besteht darin, die im Planungszeitraum nicht verän-derlichen Produktionskapazitäten so zu nutzen, dass der maximale Gesamtdeckungsbeitrag (ܩܦܤ; totalgross margin) erreicht wird. Bei konstanter fixer Faktorausstattung entspricht das Gesamtdeckungs-beitragsmaximum dem maximalen Gewinn. Der betrachtete Betrieb verfüge über eine Ackerfläche von̅ݔி௟ = 100 ha und ein Arbeitszeitkontingent von ̅ݔ஺௥ = 2 400 Arbeitskraftstunden (Akh). Weitere Kapazitäten seien nicht zu berücksichtigen. Die Wahlmöglichkeit des Betriebs bestehe lediglich darin, zu ent-scheiden, in welchem Umfang Weizen (ݑௐ௘) und in welchem Umfang Kartoffeln (ݑ௄௔) produziert werden. ݕଶ ݕଵ Linearisierte Kapazitätslinie ProduktionstheoretischeKapazitätslinie 190 5 Produktionsprogrammplanung Weitere Aktivitäten (Produktionsverfahren) stehen annahmegemäß nicht zur Auswahl. Allerdingsmüssen die vorhandene Fläche und Arbeit nicht zwangsläufig vollständig genutzt werden.Der Deckungsbeitrag des optimal ausgestalteten Produktionsverfahrens „Weizen“ betrage ܦܤௐ௘ = 1 000€/ha. Der Deckungsbeitrag des optimal ausgestalteten Produktionsverfahrens „Kartoffeln“ liege beiܦܤ௄௔ = 4 000 €/ha. In einer Variantenrechnung werden wir den Kartoffeldeckungsbeitrag auf 2 000 €/hareduzieren, um die Auswirkungen einer veränderten relativen Wettbewerbsfähigkeit der Produktions-verfahren zu untersuchen. Durch die hektarnormierte Angabe des Deckungsbeitrags ist bereits ausgedrückt,dass beide Verfahren 1 ha Fläche benötigen, um ihren jeweiligen Deckungsbeitrag zu generieren. DieInanspruchnahme der Kapazität „Arbeit“ ist aber unterschiedlich. Hier betragen die Kapazitätsinanspruchnahmekoeffizienten 10 Akh pro Hektar Weizen und 30 Akh pro Hektar Kartoffeln. Tab. 5-1fasst die Annahmen zusammen, die für das betrachtete 2x2-Problem (zwei zur Auswahl stehende Aktivitä-ten, zwei begrenzende Kapazitäten) getroffen wurden. Tab. 5-1: Beispielhafte Annahmen für die Planung des AnbauprogrammsAktivitäten VorhandeneKapazitätenWeizen KartoffelnKapazität „Fläche“ (ha) 1 1 100 haKapazität „Arbeit“ (Akh) 10 30 2 400 AkhDeckungsbeitrag (€/ha) 1 000 4 000(alternativ: 2 000)Bei der Formulierung des Entscheidungsproblems ergeben sich folgende Ablaufschritte:1. Wie bei jedem Optimierungsproblem muss man sich zuerst darüber im Klaren sein, was die Zielgröße (objective criterion) ist, die man maximieren oder minimieren will. Im vorliegenden Fall gehtes um die Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags. Es reicht in der hier betrachteten Entscheidungs-situation aus, anstelle des Gewinns die Bruttoerfolgsgröße „Gesamtdeckungsbeitrag“ zu maximieren,da die Kosten der festen Kapazitäten unabhängig vom Produktionsprogramm anfallen.2. Als nächstes sind die Entscheidungsvariablen (decision variables) zu bestimmen. Es geht also da-rum, zu erkennen, auf welche zielrelevanten Größen man durch die betrachtete Entscheidung Einflussnimmt. Beim hier betrachteten Planungsproblem sind dies die Anbauumfänge (in ha) von Weizen undvon Kartoffeln.3. Nun ist die Zielfunktion (objective function) zu formulieren. Der Zielfunktionswert (Gesamt-deckungsbeitrag) ergibt sich aus der linearen Kombination der Entscheidungsvariablen und ent-spricht der mit den Umfängen gewichteten Summe der Zielfunktionsbeiträge (Deckungsbeiträge) dereinzelnen Aktivitäten. Im betrachteten Beispiel ist der zu maximierende Gesamtdeckungsbeitrag ܩܦܤals Summe der Erzeugnisdeckungsbeiträge von Weizen (ܦܤௐ௘ ∙ ݑௐ௘) und Kartoffeln (ܦܤ௄௔ ∙ ݑ௄௔) zuberechnen:max௨ೈ೐,௨಼ೌܩܦܤ = max௨ೈ೐,௨಼ೌ(1 000 ∙ ݑௐ௘ + 4 000 ∙ ݑ௄௔) (5-1)4. Es gibt aufgrund der betrieblichen Gegebenheiten Nebenbedingungen, die man auch als Restriktionen(constraints) bezeichnet, weil sie den Lösungsmöglichkeitenraum (set of feasible solutions) begren-zen. Im vorliegenden Fall sind das die Einschränkungen für das Anbauprogramm, die sich aufgrundder beiden begrenzten Produktionskapazitäten „Arbeit“ und „Fläche“ ergeben. Die vom Weizen- undKartoffelanbau insgesamt beanspruchte Fläche darf die gegebene Kapazität von ̅ݔி௟ = 100 ha nichtüberschreiten. Analog gilt, dass die von den beiden Aktivitäten insgesamt in Anspruch genommeneArbeit nicht höher sein darf als das vorhandene Arbeitszeitkontingent ̅ݔ஺௥ = 2 400 Akh. Unter Nut- 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 191 zung der in Tab. 5-1 angeführten Kapazitätsinanspruchnahmekoeffizienten lassen sich die beiden Kapazitätsrestriktionen wie folgt formulieren:1 ∙ ݑௐ௘ + 1 ∙ ݑ௄௔ ≤ 100 (Flächenrestriktion) (5-2)10 ∙ ݑௐ௘ + 30 ∙ ݑ௄௔ ≤ 2 400 (Arbeitsrestriktion) (5-3)5. Mathematisch gesehen kann es für das mit den Gleichungen (5-1) bis (5-3) formulierte Maximierungs-problem negative Werte für die Entscheidungsvariablen geben. Bei dem hier betrachtetenEntscheidungsproblem sind aber negative Anbauumfänge ݑௐ௘ und ݑ௄௔ unsinnig. Die Menge der gang-baren Lösungen, unter denen die Optimallösung zu suchen ist, muss deshalb durch eine weitere Neben-bedingung auf den nichtnegativenWertebereich eingegrenzt werden (Nichtnegativitätsbedingung):ݑௐ௘ ≥ 0 und ݑ௄௔ ≥ 0 (Nichtnegativitätsbedingung) (5-4)Die Gleichungen (5-1) bis (5-4) bilden ein sog. lineares Optimierungsproblem, weil alle auftretendenBeziehungen linear sind. 5.2.2 Lösung eines LP-ProblemsIm Folgenden werden anhand des oben eingeführten Beispiels drei Lösungsansätze für lineare Optimie-rungsprobleme unter Nebenbedingungen (constrained linear optimization problems) beschrieben:(1) der grafische Ansatz, (2) der enumerative Ansatz und (3) die Simplexmethode. Die ersten beidenLösungsansätze erfüllen eine didaktische Funktion. Sie erleichtern das Verständnis der Problemstrukturund erlauben die Einführung wichtiger Begrifflichkeiten. Sie sind aber nur bei „Miniproblemen“ praktika-bel und nicht zur Lösung realer Planungsprobleme geeignet. Die Simplexmethode (mathematische lineareProgrammierung) stellt dagegen ein standardisiertes Iterationsverfahren dar, das sich generell für dieLösung von linearen Optimierungsproblemen unter Nebenbedingungen verwenden lässt. Namensgebendspricht man deshalb auch kurz von linearen Programmierungsproblemen. a) Grafischer AnsatzDer grafische Ansatz hat ausschließlich illustrativen Charakter, da er nur bei zwei Produktionsaktivitätenpraktikabel ist. Bei mehr als zwei Aktivitäten würde die Darstellung mehr als zwei Dimensionen umfassen.Zur geometrischen Lösung des in den Gleichungen (5-1) bis (5-4) beschriebenen LP-Problems erstelltman ein Koordinatensystem, auf dessen Achsen der Flächenumfang für Weizen ݑௐ௘ und der Flächenum-fang für Kartoffeln ݑ௄௔ abgetragen werden (vgl. Abb. 5-2). Die Restriktionen begrenzen die Menge derrealisierbaren Anbauprogramme. Die in Gleichung (5-4) formulierte Nichtnegativitätsbedingung bedeutet,dass nur der rechte obere Quadrant des Koordinatensystems relevant ist. Aus der Flächenrestriktionsun-gleichung (5-2) lassen sich zwei „Extremprogramme“ ableiten: 100 ha Weizen (Punkt B) oder 100 ha Kar-toffeln (Punkt F). Verbinden wir diese beiden Punkte, so ergibt sich die Flächenrestriktionslinie:ݑ௄௔ = 100 − ݑௐ௘ (5-5)Sie zeigt die maximalen Umfänge der Produktionsaktivitäten an, die bei alleiniger Berücksichtigung derFlächenkapazität realisierbar wären. Punkte unterhalb der Flächenrestriktionslinie lasten die Kapazitätnicht vollständig aus, wären aber von der Fläche her gangbar. Punkte oberhalb der Flächenrestriktions-linie sind nicht realisierbar. Ganz analog lassen sich aus der Arbeitsrestriktionsungleichung (5-3) zwei„Extremprogramme“ bestimmen: Bei 2 400 Akh sind 240 ha Weizen (Punkt E) oder 80 ha Kartoffeln(Punkt D) möglich. Die Verbindungslinie der beiden Punkte D und E kann als Arbeitsrestriktionslinie indas Koordinatensystem aufgenommen werden:ݑ௄௔ = 80 − 1/3 ∙ ݑௐ௘ (5-6) 192 5 Produktionsprogrammplanung Abb. 5-2: Grafische Darstellung der Restriktionen des LP-Problems (ha) Die in das Koordinatensystem eingezeichneten Restriktionslinien verdeutlichen, dass nur Produktions-programme innerhalb des durch die Flächen- und Arbeitsrestriktion definierten Lösungsmöglichkeitenraums ABCD zulässig sind. Der Lösungsmöglichkeitenraum beinhaltet die Menge aller Produktionspro-gramme, die beide Restriktionen einhalten und somit realisierbar sind. Die obere Begrenzung desLösungsmöglichkeitenraums BCD bildet eine abschnittsweise-lineare Kapazitätslinie. Der Unterschiedzu Abb. 5-1 besteht - abgesehen davon, dass zwei und nicht drei lineare Abschnitte betrachtet werden -darin, dass Abb. 5-2 auf das Konzept des Produktionsverfahrens zurückgreift und die erzeugte Menge alsAnbauumfang in Hektar angibt. Durch Multiplikation des Anbauumfangs mit dem jeweiligen Hektarertraglassen sich die beiden Darstellungsformen ineinander überführen. Das Produktionsprogramm, das zummaximalen Gesamtdeckungsbeitrag führt und innerhalb des realisierbaren Bereichs liegt, stellt die opti-male Lösung des LP-Problems dar.Jetzt stellt sich die Frage, wie man aus der Grafik das optimale Produktionsprogramm ableiten kann. Weildas Planungsproblem so einfach aussieht, weiß der Kollege Onno Überleg sofort Bescheid: Er meint, dassdas optimale Produktionsprogramm bei Punkt C liegt, also dort, wo sich die beiden Restriktionslinienschneiden. Es seien 30 ha mit Weizen und 70 ha mit Kartoffeln zu bewirtschaften, um sowohl die vorhan-dene Fläche als auch die vorhandene Arbeitszeit vollständig zu nutzen. Hierdurch erziele man einenGesamtdeckungsbeitrag von 310 T€. Algebraisch, fügt Onno Überleg hinzu, könne man das optimaleProduktionsprogramm leicht berechnen, indem man einfach die Gleichungen (5-2) und (5-3) gleichsetztund entsprechend umformt.Kollegin Su Sidenkt widerspricht nach einer kurzen Denkpause. Sie weist darauf hin, dass das optimaleProduktionsprogramm nicht nur von den Restriktionen, sondern auch von der relativen Wettbewerbs-fähigkeit der Aktivitäten abhängig ist. Im Extremfall negativer Deckungsbeiträge für alle Aktivitäten würdeman schließlich gar nicht produzieren, d.h. Punkt A wählen. Bei einem Deckungsbeitrag für Weizen von1 000 € und für Kartoffeln von 4 000 € könne man in Punkt D - also mit einem Produktionsprogramm von0 ha Weizen, 80 ha Kartoffeln und 20 ha Brache - einen Gesamtdeckungsbeitrag von 320 T€ erzielen unddamit 10 T€ mehr als bei dem von Onno vorgeschlagenen Produktionsprogramm. Punkt D repräsentierezudem das gesamtdeckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm, da man mit der Aufnahme der Wei-zenproduktion immer mehr an Erzeugnisdeckungsbeitrag Kartoffeln verliere als man an Erzeugnisde-ckungsbeitrag Weizen gewinne. 100 240 80 B E 100 D C 0 A L ö s u n g s m ö g l i c h k e i t e n r a u m Flächenrestriktionslinie: ݑ௄௔ = 100 − ݑௐ௘ Arbeitsrestriktionslinie: ݑ௄௔ = 80 − 1/3 ∙ ݑௐ௘ 30 70 F ݑௐ௘ ݑ௄௔ 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 193 Da die Argumentation von Su zweifellos zutrifft, stellt sich die Frage, wie die Optimallösung geometrischbestimmt werden kann. In Anlehnung an die Isoerlöslinien, die wir bei der geometrischen Bestimmungder optimalen Produktionsrichtung verwendet haben (vgl. Abschnitt 4.5), ist zunächst eine Schar von Isogesamtdeckungsbeitragslinien (Iso-GDB-Linien; iso-total-gross-margin line) einzuzeichnen. Dazugeben wir einen beliebigen Gesamtdeckungsbeitrag ܩܦܤതതതതതത vor und fragen, durch welche Verfahrenskombi-nationen er gewährleistet wird. Hierzu formen wir die Definitionsgleichung des Gesamtdeckungsbeitrags(vgl. Gleichung (5-1)) nach ݑ௄௔ um und erhalten für jeden vorgegebenen ܩܦܤതതതതതത die Funktionsgleichung füreine Iso-GDB-Linie:ܩܦܤതതതതതത = 1 000 ∙ ݑௐ௘ + 4 000 ∙ ݑ௄௔⇔ ݑ௄௔ = ܩܦܤതതതതതത4 000 − 1 0004 000 ∙ ݑௐ௘ (5-7)Für einen ܩܦܤതതതതതത = 100 T€ lautet die Gleichung: ݑ௄௔ = 25 − 0,25 ∙ ݑௐ௘. Alle auf dieser Iso-GDB-Linieliegenden Produktionsprogramme liefern einen Gesamtdeckungsbeitrag von 100 T€. Grafisch kann mandie Iso-GDB-Linien am leichtesten konstruieren, indem man die Schnittstellen mit den beiden Achsenbestimmt. Einen Gesamtdeckungsbeitrag von 100 T€ könnte man sowohl durch 100 ha Weizen als auchdurch 25 ha Kartoffeln erzielen. Verbindet man diese beiden Punkte, so hat man die entsprechendeIso-GDB-Linie gezeichnet (vgl. Abb. 5-3).Iso-GDB-Linien für höhere Gesamtdeckungsbeiträge liegen - bildlich gesprochen - weiter rechts oben. Wirwollen durch die Wahl des optimalen Produktionsprogramms die am weitesten oben liegende Iso-GDB-Linie erreichen. Es zeigt sich, dass die Iso-GDB-Linie für ܩܦܤതതതതതത௠௔௫ = 320 T€ tatsächlich die am weitestenoben liegende realisierbare Iso-GDB-Linie ist. Sie berührt den Lösungsmöglichkeitenraum gerade noch imPunkt D. Eine weiter oben liegende Iso-GDB-Linie ist nicht realisierbar. Wie Su Sidenkt bereits sagte, stelltder Punkt D den Optimalpunkt dar. Es sollten also 80 ha Kartoffeln und keinWeizen angebaut werden. Dabeiwird die Arbeitskapazität voll in Anspruch genommen. 20 ha Ackerfläche bleiben aber als Brache ungenutzt.Wir schauen uns nun an, welche Auswirkungen eine Veränderung der relativen Wettbewerbsfähigkeit der einzelnen Produktionsverfahren auf das optimale Produktionsprogramm hat. Abb. 5-4 verdeut-licht den Zusammenhang für einen c.p. auf 2 000 €/ha gesunkenen Kartoffeldeckungsbeitrag. Für einenܩܦܤതതതതതത = 100 T€ lautet die Funktionsgleichung der Iso-GDB-Linie nun ݑ௄௔ = 50 − 0,5 ∙ ݑௐ௘. DiesenGesamtdeckungsbeitrag könnte man mit 50 ha Kartoffeln oder 100 ha Weizen erreichen. Man sieht, dassein Absinken des Deckungsbeitrags für Kartoffeln zu einem steileren Verlauf der Iso-GDB-Linien führt.Dadurch liegt das optimale Produktionsprogramm jetzt im Punkt C. Es wird damit ein Gesamtdeckungs-beitrag von 170 T€ erzielt. Im Vergleich zum Punkt D, der das optimale Produktionsprogramm bei einemܦܤ௄௔ = 4 000 €/ha kennzeichnet, werden nun 10 ha weniger Kartoffeln und 30 ha mehr Weizen ange-baut. Dieser Substitutionseffekt, der durch die Veränderung des Deckungsbeitragsverhältnisses ausgelöstwurde, kann das Absinken des Kartoffeldeckungsbeitrags nicht vollständig kompensieren. Ohne unter-nehmerische Anpassung des Produktionsprogramms an das neue Deckungsbeitragsverhältnis würde manallerdings nur einen Gesamtdeckungsbeitrag von 160 T€ (= 2 000 €/ha ∙ 80 ha Kartoffeln) erzielen.Bei einem ܦܤ௄௔ = 4 000 €/ha ist Punkt D und bei einem ܦܤ௄௔ = 2 000 €/ha ist Punkt C optimal. Imersten Fall verläuft die Iso-GDB-Linie flacher als die Flächen- und Arbeitsrestriktionslinie. Im zweiten Fallist die Iso-GDB-Linie steiler als die Arbeitsrestriktionslinie. Bei einem ܦܤ௄௔ von 3 000 €/ha entsprächedie Steigung der Iso-GDB-Linie genau der Steigung der Arbeitsrestriktionslinie. In diesem Spezialfall würdenalle Kombinationen auf dem Segment CD zum selben Gesamtdeckungsbeitrag von 240 T€ führen. Beieinem darüber liegenden ܦܤ௄௔ ist Punkt D optimal. Bei einem ܦܤ௄௔ zwischen 1 000 und 3 000 € ist derPunkt C optimal. Würde der Kartoffeldeckungsbeitrag auf 1 000 €/ha sinken, würden alle Kombinationenauf dem Segment BC zum selben Gesamtdeckungsbeitrag von 100 T€ führen. Bei einem ܦܤ௄௔ von wenigerals 1 000 €/ha würden die Iso-GDB-Linien steiler verlaufen als die Flächenrestriktionslinie. In diesemFalle wäre Punkt B optimal. 194 5 Produktionsprogrammplanung Abb. 5-3: Grafische Lösung des LP-Problems für ܦܤ௄௔ = 4 000 €/ℎܽ (ha) Abb. 5-4: Grafische Lösung des LP-Problems für ܦܤ௄௔ = 2 000 €/ℎܽ (ha) Bei der geometrischen Lösung des LP-Problems ist deutlich geworden, dass nicht beliebig viele Kombi-nationsmöglichkeiten zwischen Weizen und Kartoffeln auf Optimalität hin zu untersuchen sind. Wennalle Zielfunktionsbeiträge negativ wären, würde die Nulllösung (Punkt A), bei der gar nichts produziertwird, die Optimallösung darstellen. Wenn dieser Sonderfall nicht gegeben ist, wissen wir, dass nur die Eckpunkte B, C und D im äußeren Bereich des Lösungsmöglichkeitenraums als Optimallösung in Betracht kommen. Im Sonderfall, in dem die Iso-GDB-Linien dieselbe Steigung wie eine Kapazitäts-restriktion aufweisen, ist das optimale Produktionsprogramm nicht eindeutig, da jedes Programm aufdem entsprechenden linearen Segment der Kapazitätslinie denselben Zielfunktionswert liefert. Auchdann stellt der Eckpunkt aber eine (von mehreren) Optimallösung(en) dar. Kombinationen im innerenBereich des Lösungsmöglichkeitenraums sind zulässig, aber nicht optimal. Es ist noch kein Faktorbegrenzend, so dass die Produktion noch ausgeweitet und ein höherer Gesamtdeckungsbeitrag erzieltwerden kann. Optimales Produktionsprogramm 100 85 B D C 0 A ݑ௄௔ 30 70 ݑௐ௘ 25 50 Iso-GDB-Linie für ܩܦܤതതതതതത = 100 T€ (ݑ௄௔ = 50 − 0,5 ∙ ݑௐ௘) Iso-GDB-Linie für ܩܦܤതതതതതത௠௔௫ = 170 T€ 170 Optimales Produktionsprogramm 100 80 B D C 0 A ݑ௄௔ Iso-GDB-Linie für ܩܦܤതതതതതത௠௔௫ = 320 T€ 30 70 ݑௐ௘ 25 50 200 Iso-GDB-Linie für ܩܦܤതതതതതത = 100T€ (ݑ௄௔ = 25 − 0,25 ∙ ݑௐ௘) 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 195 b) Enumerativer AnsatzIm Rahmen des enumerativen Ansatzes wird für alle potenziell optimalen Lösungen der Zielfunktionswertberechnet und dann der Punkt mit dem maximalen oder minimalen Wert ausgewählt. Deshalb ist derenumerative Ansatz nur bei wenigen Aktivitäten und wenigen Restriktionen praktikabel. Mit der Diskus-sion des enumerativen Ansatzes können allerdings wichtige Begrifflichkeiten eingeführt werden. Die fol-genden Ausführungen haben damit einen vorbereitenden Charakter für die anschließende Beschreibungdes Simplexalgorithmus.Um die beim enumerativen Ansatz zu testenden Lösungen zu identifizieren, wird zunächst das mit denGleichungen (5-2) und (5-3) beschriebene Ungleichungssystem durch Einführung von sog. Schlupfvariablen (slack activities) in ein Gleichungssystem überführt:1 ∙ ݑௐ௘ + 1 ∙ ݑ௄௔ + 1 ∙ ݒி௟ = 100 (5-8)10 ∙ ݑௐ௘ + 30 ∙ ݑ௄௔ + 1 ∙ ݒ஺௥ = 2 400 (5-9)Die Schlupfvariablen ݒி௟ und ݒ஺௥ kennzeichnen zusätzliche „Aktivitäten“, die sich mit „Nichtnutzung vonFläche“ und „Nichtnutzung von Arbeit“ umschreiben lassen. Die Schlupfvariablen verdeutlichen den mitden Ungleichungen implizit ausgedrückten Sachverhalt, dass eine Produktionskapazität nicht zwingendvoll genutzt werden muss. Im Gegensatz dazu nennt man die Umfänge der Produktionsverfahren ݑௐ௘ undݑ௄௔ Hauptvariablen. Gleichung (5-8) bedeutet bspw., dass die unbekannte vom Weizen beanspruchteFläche plus die unbekannte von den Kartoffeln beanspruchte Fläche plus die unbekannte nicht genutzteFläche gleich 100 ha ist.Die Gleichungen (5-8) und (5-9) beinhalten die vier unbekannten Variablen ݑௐ௘, ݑ௄௔, ݒி௟ und ݒ஺௥. Mathe-matisch gesehen handelt es sich also zunächst um ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem, für dases unendlich viele Lösungen gibt. An dieser Stelle setzt derHauptsatz der linearen Programmierung an.Er besagt, dass bei der Optimallösung so viele Variablen gleich Null sind, wie die Zahl der unbekanntenVariablen die Zahl der Kapazitätsrestriktionen übersteigt. Damit wird der schon aus der Diskussion dergrafischen Lösung bekannten Feststellung Rechnung getragen, dass die Optimallösung eines LP-Problemsnur unter dem Set derjenigen Lösungen zu suchen ist, die sich am Rande des Lösungsmöglichkeitenraumsbefinden und nicht unter den Lösungen im Inneren des Lösungsmöglichkeitenraums. Allerdings werdenbeim enumerativen Ansatz zunächst auch die außerhalb des Lösungsmöglichkeitenraums befindlichenSchnittpunkte der Restriktionen untereinander sowie die Schnittpunkte aller Restriktionen mit den Ach-sen auf Optimalität hin untersucht.Durch die Variablenstreichung gemäß dem Hauptsatz der linearen Programmierung ergeben sich für jedeLösung aus dem Lösungsset zwei Kategorien von Variablen: Basisvariablen, deren Wert ungleich Null istund die zu bestimmen sind, und Nichtbasisvariablen, die einen Wert von Null aufweisen. Sowohl Haupt-als auch Schlupfvariablen können Basisvariablen und Nichtbasisvariablen sein.Tab. 5-2 verdeutlicht, dass sich gemäß dem Hauptsatz der linearen Programmierung für das betrachtete2x2-Problem sechs Kombinationen von Basis- und Nichtbasisvariablen ergeben, unter denen die Opti-mallösung zu suchen ist. Mit Blick auf Abb. 5-2 lassen sich die potenziell optimalen Lösungsmöglichkeiten benennen: Die Nulllösung A, der Schnittpunkt zwischen den beiden Restriktionslinien C sowiedie Schnittpunkte zwischen den Restriktionslinien und den Achsen des Koordinatensystems B, D, Eund F.In Tab. 5-3 sind die Lösungen des Gleichungssystems (5-8) und (5-9) für alle sechs Kombinationsmöglich-keiten von Basis- und Nichtbasisvariablen ausgewiesen. Neben der Bestimmung dieser potenziell optima-len Produktionsprogramme wird zudem ausgerechnet, welcher Gesamtdeckungsbeitrag bei einem ܦܤ௄௔von 4 000 €/ha und bei einem ܦܤ௄௔ von 2 000 €/ha jeweils erzielt wird. Das gesamtdeckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm bildet die Optimallösung. 196 5 Produktionsprogrammplanung Tab. 5-2: Kombinatorische Bestimmung des Lösungssets gemäß Hauptsatz der linearen Programmierung a)Lösungsmöglichkeiten b)Nulllösung(Punkt A) SchnittpunktB SchnittpunktC SchnittpunktD SchnittpunktE SchnittpunktFHaupt-variable ݑௐ௘ (ha) = 0 ≠ 0 ≠ 0 = 0 ≠ 0 = 0ݑ௄௔ (ha) = 0 = 0 ≠ 0 ≠ 0 = 0 ≠ 0Schlupf-variable ݒி௟ (ha) ≠ 0 = 0 = 0 ≠ 0 ≠ 0 = 0ݒ஺௥ (Akh) ≠ 0 ≠ 0 = 0 = 0 = 0 ≠ 0a) Die gleich Null gesetzten Variablen sind die Nichtbasisvariablen. Die ungleich Null gesetzten Variablensind die Basisvariablen, deren Umfang zu bestimmen ist.b) Die Bezeichnung der Lösungsmöglichkeiten korrespondiert mit Abb. 5-2. Tab. 5-3: Enumerative Lösung des LP-Problems a) Lösungsmöglichkeiten b)Nulllösung(Punkt A) SchnittpunktB SchnittpunktC SchnittpunktD SchnittpunktE SchnittpunktFHaupt-variable ݑௐ௘ (ha) 0 100 30 0 240 0ݑ௄௔ (ha) 0 0 70 80 0 100Schlupf-variable ݒி௟ (ha) 100 0 0 20 -140 0ݒ஺௥ (Akh) 2 400 1 400 0 0 0 -600ܩܦܤ (€) fürܦܤ௄௔ = 4 000 €/ha 0 100 000 310 000 320 000 240 000 400 000ܩܦܤ (€) fürܦܤ௄௔ = 2 000 €/ha 0 100 000 170 000 160 000 240 000 200 000a) Nur die Lösungen in den stärker umrandeten Spalten sind bei den gegebenen Kapazitäten zulässig.Andere Programme implizieren eine Übernutzung der Produktionskapazitäten.b) Die Bezeichnung der Lösungsmöglichkeiten korrespondiert mit Abb. 5-2.Wieder bestätigt sich die Aussage von Su Sidenkt, dass bei einem ܦܤ௄௔ von 4 000 €/ha der Punkt Ddas gesamtdeckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm darstellt. Es bestätigt sich auch, dass beieinem c.p. auf 2 000 €/ha gesunkenen Kartoffeldeckungsbeitrag das durch Punkt C repräsentierteProduktionsprogramm optimal wäre. Zur Vermeidung von Missverständnissen ist anzumerken, dassdie beiden außerhalb des Lösungsmöglichkeitenraums liegenden Punkte E und F zwar Bestandteil desLösungssets gemäß dem Hauptsatz der linearen Programmierung sind. Sie stellen aber Lösungen dar,die einen negativen Umfang einer der jeweils als Basisvariablen ausgewiesenen Schlupfvariablen er-fordern. Ein negativer Wert für eine Schlupfvariable entspräche einer Kapazitätsausweitung. Im be-trachteten Planungsproblem wurden die beiden Kapazitäten aber als gegeben angenommen. Die ent-sprechenden Produktionsprogramme sind somit nicht realisierbar. Schließt man negative Lösungenaus, reduzieren sich die enumerativ ausgewiesenen Lösungen auf die bereits grafisch bekannten Punk-te A, B, C und D. c) SimplexmethodeMit dem grafischen und dem enumerativen Ansatz haben wir zwei Möglichkeiten zur Lösung von ein-fachen LP-Problemen kennen gelernt. Wie eingangs erwähnt wurde, ist ihr praktischer Nutzen allerdingsbegrenzt. LP-Probleme mit vielen Aktivitäten sind grafisch nicht mehr darstellbar. Analog gilt für denenumerativen Ansatz, dass die Zahl der zu untersuchenden Lösungen mit der Zahl der zu berücksichti- 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 197 genden Aktivitäten und Restriktionen stark ansteigt. Deshalb kann auch diese Vorgehensweise nur zurLösung überschaubarer Probleme angewendet werden.Die Simplexmethode stellt demgegenüber einen allgemein anwendbaren iterativen Optimierungsalgo-rithmus dar. Er baut - wie der enumerative Ansatz - auf dem Hauptsatz der linearen Programmierung auf,hat aber den Vorteil, dass nur ein Teil des Lösungssets, das sich kombinatorisch daraus ergibt, untersuchtwerden muss. Der Simplexalgorithmus geht nicht nur von nichtnegativen Hauptvariablen, sondern auchvon nichtnegativen Schlupfvariablen aus. Die in Abb. 5-2 mit E und F gekennzeichneten Punkte werdenalso ausgeschlossen. Unter Rückgriff auf das hier betrachtete 2x2-Problem lässt sich die Vorgehensweise des Simplexalgorithmus wie folgt zusammenfassen:1. Wie beim enumerativen Ansatz werden zunächst die Nebenbedingungen des LP-Problems, d.h. dieUngleichungen (5-2) und (5-3), durch Schlupfvariablen in das Gleichungssystem (5-8) und (5-9)überführt.2. Aus dem Lösungsset, in dem sich gemäß dem Hauptsatz der linearen Programmierung die Optimal-lösung befindet, bestimmt man eine Startlösung. Dazu setzt man so viele Variablen gleich Null, wiedie Zahl der Unbekannten die Zahl der Kapazitätsrestriktionen übersteigt. Bei der Startlösung muss essich um eine zulässige Lösung handeln. Grafisch gesprochen wählt man also einen beliebigenEckpunkt des Lösungsmöglichkeitenraums aus.3. Ausgehend von einer zulässigen Startlösung werden durch die aufeinander folgenden Iterationen nursolche Lösungen aus dem Lösungsset aufgesucht, durch die es zu einer Verbesserung gegenüber derjeweils vorherigen Lösung kommt. Grafisch gesprochen werden nacheinander benachbarte Eckpunkte des Lösungsmöglichkeitenraums aufgesucht, bis die Optimallösung identifiziert ist. Wennman im vorliegenden 2x2-Problem unter Annahme eines Kartoffeldeckungsbeitrags von 4 000 €/hamit der Nulllösung A (vgl. Abb. 5-2) startet, findet man bereits mit der ersten Iteration das Optimumin Punkt D. Würde man den Simplexalgorithmus mit Punkt B starten, bräuchte man dagegen zweiIterationen. In beiden Fällen müssen aber die restlichen Punkte des Lösungssets im Gegensatz zumenumerativen Ansatz nicht berücksichtigt werden.Im Folgenden werden das Prinzip des Simplexalgorithmus und die zugrunde liegende Logik dargelegt. Dietechnische Fähigkeit, den Simplexalgorithmus in allen Einzelheiten selbst durchführen zu können, ist fürden Anwender nicht erforderlich. Hier gibt es zahlreiche Computerprogramme, die einem die Hand-rechenarbeit abnehmen. Allerdings erlaubt erst das Grundverständnis der Vorgehensweise eine sachge-rechte Anwendung des Verfahrens und eine kundige Interpretation der Ergebnisse. Dazu gehört das Ver-ständnis, dass die Simplexmethode als mathematischer Algorithmus das ökonomische Grenzwertprinzipnachvollzieht. Letztlich erfolgt eine Anpassung der Lösung solange, wie die damit erzielten zusätzlichenLeistungen höher sind als die damit verbundenen (Opportunitäts)Kosten. AusgangstableauAusgangspunkt des Simplexalgorithmus ist ein beliebiger zulässiger Randpunkt des Lösungsmöglich-keitenraums. Wählt man im betrachteten 2x2-Problem die Nulllösung A, bedeutet dies, dass die Haupt-variablen, d.h. der Anbauumfang von Weizen ݑௐ௘ und der Anbauumfang von Kartoffeln ݑ௄௔, die Nicht-basisvariablen darstellen (ݑௐ௘ = 0 und ݑ௄௔ = 0). Demzufolge wird ein Gesamtdeckungsbeitrag von Nullerzielt. Alle Nebenbedingungen werden eingehalten. Die Schlupfvariablen ݒி௟ (Nichtnutzung von Fläche)und ݒ஺௥ (Nichtnutzung von Arbeit) sind in dieser Lösung die Basisvariablen und haben einen Umfang inHöhe der jeweils vorhandenen Kapazität.Diese Informationen müssen nun in einer ganz speziellen Form dargestellt werden, die man als Simplextableau bezeichnet. Zur Erstellung des Ausgangstableaus formen wir zunächst die Gleichungen (5-8)und (5-9) nach den Basisvariablen ݒி௟ und ݒ஺௥ um. Wir stellen dies so dar, dass die beiden Basisvariablen 198 5 Produktionsprogrammplanung als Funktion der beiden mit einem negativen Vorzeichen versehenen Nichtbasisvariablen −ݑௐ௘ und −ݑ௄௔ausgedrückt werden. Ebenso muss der Gesamtdeckungsbeitrag als Funktion der mit einem negativen Vor-zeichen versehenen Nichtbasisvariablen −ݑௐ௘ und −ݑ௄௔ formuliert werden. Es ergibt sich dann folgendesGleichungssystem:ݒி௟ = 1 ∙ −ݑௐ௘ + 1 ∙ −ݑ௄௔ +100 (5-10)ݒ஺௥ = 10 ∙ −ݑௐ௘ +30 ∙ −ݑ௄௔+2 400 (5-11)ܩܦܤ = −1 000 ∙ −ݑௐ௘ − 4 000 ∙ −ݑ௄௔ = 0 (5-12)In Tab. 5-4 ist veranschaulicht, wie das Ausgangstableau aussieht, wenn man die Informationen aus denGleichungen (5-10) bis (5-12) einträgt. Das Tableau ist nur eine alternative Darstellungsform für das Glei-chungssystem. Die ersten beiden Zeilen des Ausgangstableaus bezeichnen die Basisvariablen und die ers-ten beiden Spalten die Nichtbasisvariablen. Dabei ist zu beachten, dass die Spaltenköpfe mit der mit einemnegativen Vorzeichen versehenen Nichtbasisvariablen gekennzeichnet werden. Dies haben wir auchschon bei der Formulierung der Gleichungen (5-10) bis (5-12) berücksichtigt. Die letzte Zeile bezieht sichauf den Zielfunktionswert. Die letzte Spalte gibt den Umfang der Größen in den jeweiligen Zeilen an. Zubeachten ist, dass man in der Literatur für die letzte Zeile auch die Bezeichnungen „Zielfunktionswertver-ringerung“ oder „Opportunitätskosten“ findet. Diese Bezeichnungen beziehen sich auf die Werte, die imBereiche ausgewiesen sind. Wir beziehen uns - analog zu den mit den Basisvariablen bezeichneten Zei-len - bei der Bezeichnung der letzten Zeile auf den Umfang, der in der letzten Spalte dieser Zeile ausgewie-sen ist. Tab. 5-4: Simplexalgorithmus: Ausgangstableau für ܦܤ௄௔ = 4 000 €/ℎܽ a) Nichtbasisvariablen Basisvariablen −࢛ࢃࢋ(Hauptvariable: Anbauumfang Weizen) −࢛ࡷࢇ(Hauptvariable: Anbauumfang Kartoffeln) Umfang ࢜ࡲ࢒ (Schlupfvariable:Nichtnutzung von Fläche) c 1 1 d 100࢜࡭࢘ (Schlupfvariable:Nichtnutzung von Arbeit) 10 30 2 400ࡳࡰ࡮ (Zielgröße: Gesamtdeckungsbeitrag) e −1 000 −4 000 f 0 a) Die grau hervorgehobene Spalte (Zeile) kennzeichnet die Pivotspalte (Pivotzeile).Die Tableauschreibweise stellt die Voraussetzung für die Durchführung der Iterationen dar. Außerdembeinhaltet die Tableauschreibweise sehr aussagekräftige Informationen: • Im Bereichc des Tableaus findet man die sog. Substitutionsraten. Sie geben an, um wie viele Einhei-ten die betreffende Basisvariable reduziert werden müsste, wenn man eine Einheit der bislang gleichNull gesetzten Nichtbasisvariablen einführen würde. Die Werte 1 und 10 in der ersten Nichtbasisvari-ablenspalte bedeuten bspw., dass man die Nichtnutzung von Fläche um eine Einheit und die Nicht-nutzung von Arbeit um 10 Einheiten reduzieren müsste, wenn man 1 ha Weizen anbauen würde.Analog sind die Werte 1 und 30 in der zweiten Nichtbasisspalte zu interpretieren. • Im Bereich d des Tableaus findet man die Umfänge der Basisvariablen. Bei der hier dargestelltenNulllösung stellen die Schlupfvariablen „Nichtnutzung von Fläche“ und „Nichtnutzung von Arbeit“ dieBasisvariablen dar. Sie haben einen Umfang in Höhe der jeweils vorhandenen Kapazität. Anders aus-gedrückt: Sowohl die Flächenkapazität von 100 ha als auch die Arbeitskapazität von 2 400 Akhbleiben in der betrachteten Lösung vollständig ungenutzt. 7 13 23 82 _M u ßh of f- Bg 7 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 199 • Im Bereiche des Tableaus findet man die negative Änderung des Zielfunktionswertes, die sich erge-ben würde, wenn man eine Einheit der jeweiligen Nichtbasisvariable einführen würde. Der Wert-1 000 (-4 000) bedeutet, dass der Gesamtdeckungsbeitrag um 1 000 € (4 000 €) steigt, wenn mananstelle der hier dargestellten Nulllösung 1 ha Weizen (1 ha Kartoffeln) anbauen würde. Dies ent-spricht direkt den jeweiligen Deckungsbeiträgen, weil durch die erforderlichen Substitutionsvorgänge(vgl. Bereich c des Tableaus) keine Opportunitätskosten entstehen; schließlich ist in der Nulllösungkein Produktionsfaktor knapp. Es ist im ersten Moment verwirrend, dass diese Werte im Tableaunegativ dargestellt sind. Dies liegt daran, dass - der Konvention folgend - die Nichtbasisvariablen imTableau mit negativen Vorzeichen versehen werden. Letztlich gilt: −1 000 ∙ −ݑௐ௘ = 1 000 ∙ ݑௐ௘. Ne-gative Werte im Bereiche bedeuten bei der hier vorliegenden klassischen Tableauform also tatsäch-lich, dass der Zielfunktionswert steigt, wenn man eine Einheit der Nichtbasisvariablen in die Lösungaufnimmt. Negative Werte bedeuten damit auch, dass man die gegenwärtige Lösung noch verbessernkann und sich damit eine weitere Iteration lohnt. Positive Werte würden dagegen bedeuten, dass derZielfunktionswert sinkt, wenn man die betroffene Nichtbasisvariable in die Lösung aufnimmt. Findetman eine Lösung, in der im Bereiche nur noch positive Werte stehen, hat man die Optimallösung er-reicht. • Im Bereich f des Tableaus findet man schließlich den Zielfunktionswert. Er lässt sich aus demTableau herleiten, indem man die Umfänge der Basisvariablen mit ihren jeweiligen Zielfunktions-beiträgen multipliziert und aufsummiert. Da die Basisvariablen „Nichtnutzung von Fläche“ und„Nichtnutzung von Arbeit“ einen Zielfunktionsbeitrag von Null haben, ergibt sich in der Nulllösung einGesamtdeckungsbeitrag von Null (0 ∙ ݒி௟ + 0 ∙ ݒ஺௥ = 0 ∙ 100 + 0 ∙ 2 400 = 0). Erste Iteration und EndtableauDie als Startlösung zufällig gewählte Nulllösung stellt also noch nicht das Optimum dar. Wie sieht nun dieIteration aus, mit der man vom Ausgangstableau zur nächsten besseren Lösung gelangt? Die Zahl derZeilen (Basisvariablen) und Spalten (Nichtbasisvariablen) des Tableaus bleibt im Verlauf der Iterationenunverändert. Deshalb ist zuerst die Austauschspalte - man spricht auch von Pivotspalte - zu bestimmen.Dies entspricht der Frage, welche bisherige Nichtbasisvariable zur Basisvariablen werden soll. GemäßSimplexkriterium ist bei Maximierungsproblemen diejenige Nichtbasisvariable in die Basis aufzunehmen,die pro zusätzliche Einheit den höchsten Anstieg des Zielfunktionswertes liefert. Im vorliegenden Beispielerhöht sich durch eine Ausdehnung der Kartoffelanbaufläche um 1 ha der Gesamtdeckungsbeitrag um4 000 €. Dagegen würde 1 ha Weizen den Gesamtdeckungsbeitrag nur um 1 000 € erhöhen. Die Nicht-basisvariable „Anbauumfang Kartoffeln“ definiert deshalb die Pivotspalte, die in Tab. 5-4 grau unterlegtist. Sie wird im ersten Austauschschritt zur Basisvariablen.Für die Variable, die in die Basis eintritt, muss eine andere herausgenommen werden. Der nächsteArbeitsschritt besteht deshalb darin, die Austauschzeile - man spricht auch von Pivotzeile - zu bestimmen.Hierfür werden die Knappheitsverhältnisse geprüft und die stärkste Begrenzung ausgewählt. Dies erfolgt,indem der Wert in der letzten Spalte des Tableaus durch den Wert der Pivotspalte dividiert und derkleinste positive Wert gesucht wird. Im vorliegenden Fall ergibt sich bei der ersten Basisvariablen einWert von 100 (= 100/1). Inhaltlich bedeutet dies, dass von der Fläche her gesehen 100 ha Kartoffelnmöglich wären. Die Division bei der zweiten Basisvariablen ergibt einen Wert von 80 (= 2 400/30). Diesbedeutet, dass von der Arbeitskapazität her nur 80 ha Kartoffeln möglich sind. Arbeit ist offensichtlich derFaktor, der den Kartoffelanbau am schärfsten begrenzt. Die bisherige Basisvariable „Nichtnutzung von Ar-beit“ definiert die Pivotzeile, die in Tab. 5-4 ebenfalls grau unterlegt ist. Sie wird im ersten Austausch-schritt zur Nichtbasisvariablen.Wir wissen nun, welcher Austausch von Spalten und Zeilen vorzunehmen ist: Die Hauptvariable ݑ௄௔ und dieSchlupfvariable ݒி௟ sind jetzt die Basisvariablen. Die Hauptvariable ݑௐ௘ und die Schlupfvariable ݒ஺௥ wurden 8 13 23 82 _M u ßh of f- Bg 8 200 5 Produktionsprogrammplanung zu Nichtbasisvariablen. Das heißt, der Weizenanbauumfang bleibt weiterhin bei Null (ݑௐ௘ = 0), und dieSchlupfvariable „Nichtnutzung von Arbeit“ wird gleich Null gesetzt (ݒ஺௥ = 0). Außerdem sind der Umfangdes Kartoffelanbaus ݑ௄௔ und der Umfang der Schlupfvariablen „Nichtnutzung von Fläche“ ݒி௟ zu bestimmen.Wenn man dies wiederum grafisch ausdrückt, wird bei diesem Austauschschritt der Eckpunkt des Lö-sungsmöglichkeitenraums auf der „y-Achse“ (vgl. Punkt D in Abb. 5-3) angesprochen.Ein schneller Blick auf Tab. 5-5 verdeutlicht bereits die Struktur des neuen Tableaus, die sich durch den be-schriebenen Spalten- und Zeilenaustausch ergibt. Nun ist nur noch zu klären, wie man die Werte des neuen Simplextableaus systematisch herleitet. Die Werte in den Basisvariablenzeilen werden berechnet, indemman die neuen Basisvariablen als Funktion der neuen Nichtbasisvariablen ausdrückt. Hierzu ist zunächst dieArbeitsrestriktionsgleichung (5-9) nach ݑ௄௔ umzuformen. Man erhält den Anbauumfang der Kartoffeln ݑ௄௔als Funktion der beidenmit einem negativen Vorzeichen versehenen Nichtbasisvariablen −ݑௐ௘ und −ݒ஺௥:ݑ௄௔ = −1030 ∙ ݑௐ௘ − 130 ∙ ݒ஺௥ + 2 40030= 13 ∙ −ݑௐ௘ + 130 ∙ −ݒ஺௥ + 80 (5-13)Mit Gleichung (5-13) hat man die Werte der zweiten Basisvariablenzeile bestimmt. Zur Bestimmung derWerte der ersten Basisvariablenzeile muss auch ݒி௟ als Funktion der beiden mit einem negativenVorzeichen versehenen Nichtbasisvariablen −ݑௐ௘ und −ݒ஺௥ ausgedrückt werden. Hierzu muss man die Flä-chenrestriktionsgleichung (5-8) nach ݒி௟ auflösen und für ݑ௄௔ Gleichung (5-13) einsetzen. Es ergibt sich:ݒி௟ = −1 ∙ ݑௐ௘ − 1 ∙ ݑ௄௔ + 100= −1 ∙ ݑௐ௘ − 1 ∙ ൬13 ∙ −ݑௐ௘ + 130 ∙ −ݒ஺௥ + 80൰ + 100= 23 ∙ −ݑௐ௘ − 130 ∙ −ݒ஺௥ + 20 (5-14)Zur Bestimmung der Werte in der letzten Zeile des Tableaus muss noch der Gesamtdeckungsbeitrag alsFunktion der mit einem negativen Vorzeichen versehenen Nichtbasisvariablen −ݑௐ௘ und −ݒ஺௥ ausgedrücktwerden. Hierzumuss man Gleichung (5-13) in die Zielfunktionsgleichung (5-12) einsetzen:ܩܦܤ= −1 000 ∙ −ݑௐ௘ − 4 000 ∙ − ൬13 ∙ −ݑௐ௘ + 130 ∙ −ݒ஺௥ + 80൰= 333,33 ∙ −ݑௐ௘ + 133,33 ∙ −ݒ஺௥ + 320 000 (5-15)Im Ergebnis der beschriebenen Arbeitsschritte kommt man zu Tab. 5-5. Im Bereich e sind nur positiveWerte vorzufinden. Es ist demzufolge bereits nach der ersten Iteration das Endtableau und damit dieOptimallösung erreicht. Wie ein Blick auf die letzte Spalte zeigt, bestätigen auch diese Ergebnisse die Aus-sage von Su Sidenkt: Das optimale Produktionsprogramm umfasst 80 ha Kartoffeln und 20 ha Brache. Mitdiesem Programmwird ein Gesamtdeckungsbeitrag von 320 T€ erzielt. Tab. 5-5: Simplexalgorithmus: Endtableau für ܦܤ௄௔ = 4 000 €/ℎܽ Nichtbasisvariablen Basisvariablen −࢛ࢃࢋ(Hauptvariable: Anbauumfang Weizen) −࢜࡭࢘(Schlupfvariable: Nichtnutzung von Arbeit) Umfang ࢜ࡲ࢒ (Schlupfvariable:Nichtnutzung von Fläche) c 2/3 −1/30 d 20࢛ࡷࢇ (Hauptvariable:Anbauumfang Kartoffeln) 1/3 1/30 80ࡳࡰ࡮ (Zielgröße: Gesamtdeckungsbeitrag) e 333,33 133,33 f 320 000 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 201 Wendet man den Simplexalgorithmus auf das Planungsproblem mit dem auf 2 000 €/ha gesunkenenKartoffeldeckungsbeitrag an, sind ausgehend von der Nulllösung (Punkt A) zwei Iterationen erforder-lich: Grafisch gesprochen sucht man nacheinander die Punkte A, D und C auf (vgl. Abb. 5-4). Würdeman zufälligerweise mit der Lösung B starten, würde wiederum eine einzige Iteration genügen, umzum Optimum (Punkt C) zu gelangen. Wie beim grafischen und beim enumerativen Ansatz findet manalso beim niedrigeren Kartoffeldeckungsbeitrag ein optimales Produktionsprogramm, das 30 ha Wei-zen und 70 ha Kartoffeln umfasst und bei dem die verfügbare Arbeits- und Flächenkapazität vollstän-dig genutzt werden (vgl. Tab. 5-6). Es wird allerdings nur noch ein Gesamtdeckungsbeitrag von 170 T€erzielt. Tab. 5-6: Simplexalgorithmus: Endtableau für ܦܤ௄௔ = 2 000 €/ℎܽ Nichtbasisvariablen Basisvariablen −࢜ࡲ࢒(Schlupfvariable: Nichtnutzung von Fläche) −࢜࡭࢘(Schlupfvariable: Nichtnutzung von Arbeit) Umfang ࢛ࢃࢋ (Hauptvariable:AnbauumfangWeizen) c 3/2 −1/20 d 30࢛ࡷࢇ (Hauptvariable:Anbauumfang Kartoffeln) −1/2 1/20 70ࡳࡰ࡮ (Zielgröße: Gesamtdeckungsbeitrag) e 500 50 f 170 000 5.2.3 Ergebnisse eines LP-ProblemsNeben den in der letzten Spalte ausgewiesenen Ergebnissen erlauben auch alle anderen Werte im Endtableau relevante ökonomische Aussagen. Insgesamt kann man in den Bereichen c bis f eines End-tableaus sechs qualitativ unterschiedliche Informationen finden, auf die wir im Folgenden explizit ein-gehen werden. Zur Vermeidung von Missverständnissen sei darauf hingewiesen, dass sich zahlenbezoge-ne Aussagen - wenn nicht ausdrücklich etwas anderes gesagt wird - auf das Beispiel mit dem Kartoffel-deckungsbeitrag von 4 000 €/ha und damit auf Tab. 5-5 beziehen. c Substitutionsraten von Basis- und NichtbasisvariablenWie wir bereits wissen, bezeichnet man die im Bereich c angezeigten Werte als Substitutionsraten zwischen Basis- und Nichtbasisvariablen. Im Endtableau drücken sie aus, wie sich das Produktions-programm ändern würde, wenn man entgegen der Optimalität eine Nichtbasisvariable mit einer Ein-heit in die Lösung einführt. Dabei wird immer unterstellt, dass - abgesehen von dieser suboptimalenVeränderung - ein optimales Produktionsprogramm identifiziert wird. Eine positive Substitutionsratebedeutet, dass der Umfang der jeweiligen Basisvariablen reduziert wird, wenn man eine Einheit derjeweiligen Nichtbasisvariablen in die Lösung aufnimmt. Eine negative Substitutionsrate bedeutet, dassder Umfang der Basisvariablen erhöht wird. Wollte man bspw. - entgegen der Optimalität - 1 ha Wei-zen anbauen, müsste man die Nichtnutzung von Fläche um 2/3 ha und die Kartoffelproduktion um1/3 ha reduzieren (vgl. Tab. 5-5). Diese Substitution setzt genau 1 ha und 10 Akh frei, die man für eineEinheit Weizen benötigt. Auch wenn die Interpretation bei Schlupfvariablen etwas schwerer fällt, sinddie Werte in der zweiten Nichtbasisspalte analog zu interpretieren: Wollte man entgegen der Optimali-tät eine Einheit „Nichtnutzung von Arbeit“ in die Lösung aufnehmen, d.h. eine Akh freisetzen, müssteman die Nichtnutzung von Fläche um 1/30 erhöhen und den Anbauumfang von Kartoffeln um 1/30reduzieren. 202 5 Produktionsprogrammplanung d Umfänge der in der Optimallösung enthaltenen AktivitätenIm Bereichd des Endtableaus befinden sich die Umfänge der Basisvariablen. Das in Tab. 5-5 dargestell-te Beispiel zeigt, dass es sich dabei sowohl um Hauptvariablen als auch um Schlupfvariablen handelnkann: (a) Umfang von Aktivitäten: Bei Hauptvariablen als Basisvariablen gibt der hier ausgewiesene Wert an,in welchem Umfang die einzelnen Produktionsaktivitäten in der Optimallösung durchgeführt werden. Imvorliegenden Fall sind dies 80 ha Kartoffeln. (b) Schlupf nicht knapper Kapazitäten: Bei Schlupfvariablen als Basisvariablen gibt der hier ausgewie-sene Wert an, in welchem Umfang eine Kapazität in der Optimallösung nicht genutzt wird. Man spricht indiesem Zusammenhang auch davon, dass die Kapazität in der betrachteten betrieblichen Situation nichtknapp ist oder dass es zu einem Schlupf der Ressource kommt. Im vorliegenden Fall werden 20 ha Flächenicht genutzt. e SchattenpreiseIm Bereiche des Endtableaus findet man die Schattenpreise (shadow prices), die man auch als Dualwer-te bezeichnet. Auch hier zeigt das in Tab. 5-5 dargestellte Beispiel, dass es zwei unterschiedliche Fälle gibt: (a) Grenzverlustwert nicht realisierter Aktivitäten: Wenn sich in der Nichtbasisspalte eine Haupt-variable befindet, bezeichnet man den ausgewiesenen Schattenpreis als Grenzverlustwert der nicht rea-lisierten Produktionsaktivität. Der Grenzverlustwert gibt an, um wie viel der Gesamtdeckungsbeitragsinken würde, wenn man entgegen der Optimalität eine Einheit dieser Aktivität in das Produktions-programm aufnehmen würde. Im vorliegenden Fall beläuft sich der Grenzverlustwert des Weizens auf333,33 €/ha. Dieser Wert ergibt sich als Differenz zwischen den Opportunitätskosten der Weizen-einführung ܱܭௐ௘ von 1 333,33 € und seinem Zielfunktionsbeitrag ܦܤௐ௘ von 1 000 €. Die Opportunitäts-kosten sind aus den Substitutionsraten abzuleiten. Im vorliegenden Fall entstehen nur Opportunitäts-kosten in Höhe des durch die Weizeneinführung entgehenden Kartoffeldeckungsbeitrags. Für dieerhöhte Flächennutzung, d.h. für die Reduzierung des Umfangs der Schlupfvariable „Nichtnutzung vonFläche“, entstehen keine Kosten. Formal ist der Grenzverlustwert für Weizen ܩݎܸ ௐܹ௘ damit wie folgtzu berechnen:ܩݎܸ ௐܹ௘ = ܱܭௐ௘ − ܦܤௐ௘ = ൬23 ∙ 0 + 13 ∙ 4 000൰ − 1 000 = 333,33 (5-16)Der Grenzverlustwert der Aktivitäten, die im Endtableau in der Basis stehen und damit Bestandteil desoptimalen Programms sind, ist grundsätzlich gleich Null. Im Beispiel gilt dies für die Kartoffeln. (b) Betriebswert knapper Kapazitäten: Wenn sich in der Nichtbasisspalte eine Schlupfvariable befin-det, bedeutet dies, dass die entsprechende Produktionskapazität vollständig genutzt wird. Man sagt dannauch, dass diese Kapazität knapp ist. In diesem Fall bezeichnet man den ausgewiesenen Schattenpreis alsBetriebswert. Der Betriebswert gibt zum einen an, um wie viel der Gesamtdeckungsbeitrag sinken würde,wenn man entgegen der Optimalität eine Einheit der Kapazität nicht nutzen bzw. die Schlupfaktivität„Nichtnutzung von Arbeit“ von Null auf Eins erhöhen würde. Dies beantwortet gleichzeitig die Frage, waspassieren würde, wenn man eine Einheit dieser Kapazität weniger zur Verfügung hätte.8 Er gibt zum an- 8 Kennt man die Betriebswerte, lassen sich die Opportunitätskosten der Einführung nicht realisierter Ak-tivitäten und damit ihre Grenzverlustwerte auch durch die Gewichtung der Kapazitätsansprüche derjeweiligen Aktivität mit den entsprechenden Betriebswerten berechnen. Im betrachteten Beispiel hatdie Fläche einen Betriebswert von Null und die Arbeit einen Betriebswert von 133,33 €/Akh. Da dieRealisierung von Weizen einen Kapazitätsanspruch von 1 ha Fläche und 10 Akh hätte, ergibt sich einGrenzverlustwert von 333,33 € (= 0 ∙ 1 + 133,33 ∙ 10 − 1 000). 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 203 deren aber auch an, was man bei bestmöglicher betrieblicher Verwertung gewinnen würde, wenn man c.p.eine Einheit mehr der jeweiligen Kapazität zur Verfügung hätte. Der Betriebswert bezeichnet damit so-wohl den kritischen Zukaufspreis (die maximale Zahlungsbereitschaft) als auch den kritischen Verkaufs-preis (die minimale Zahlungsforderung) für einen knappen Produktionsfaktor. Im vorliegenden Beispielliegt der Betriebswert der Arbeit bei 133,33 €/Akh. Rein formal lässt sich dieser Wert zwar analog zumGrenzverlustwert als Differenz zwischen den Opportunitätskosten der Nichtnutzung von Arbeit ܱܭ஺௥ unddem Zielfunktionsbeitrag berechnen. Im Unterschied zur Berechnung des Grenzverlustwertes ist aber derZielfunktionsbeitrag immer gleich Null, da es sich um eine Schlupfvariable handelt. Demzufolge entsprichtder Betriebswert direkt den Opportunitätskosten. Setzt man 1 Akh weniger ein, wird die Nichtnutzungvon Fläche um 1/30 erhöht. Gleichzeitig wird 1/30 ha Kartoffeln weniger angebaut und es entgeht einem1/30 des Kartoffeldeckungsbeitrags von 4 000 €/ha. Formal lässt sich der Betriebswert für 1 Akh ܤ݁ ஺ܹ௥damit wie folgt berechnen:ܤ݁ ஺ܹ௥ = ܱܭ஺௥ − 0 = ൬− 130 ∙ 0 + 130 ∙ 4 000൰ − 0 = 133,33 (5-17)Bei der Interpretation des Betriebswertes ist zu beachten, dass nicht voll in Anspruch genommene Kapazi-täten, die im Endtableau in der Basis stehen, grundsätzlich einen Betriebswert von Null haben. Im Beispielgilt dies für die Fläche.Der Betriebswert ergibt sich infolge einer Ceteris-Paribus-Betrachtung. Er stellt einen Grenzwert dar,der bei einer Ausdehnung der betrachteten Kapazität und Konstanz der übrigen Produktionsfaktorensinkt. Im vorliegenden Fall entspricht der Wert einer zusätzlichen Akh dem Deckungsbeitrag von133,33 €/Akh für 1/30 ha Kartoffeln, der durch diese Arbeitsstunde erzielt werden kann. Dies gilt biszu einer Ausdehnung der Arbeitskapazität auf 3 000 Akh. Bei mehr als 3 000 Akh wird die Acker-fläche knapp, d.h. man kann die zusätzliche Arbeitskraftstunde nicht mehr durch eine Erhöhung desKartoffelanbauumfangs um 1/30 ha verwerten. Da sowohl der Einsatz einer Einheit Fläche als aucheiner Einheit Arbeit in der Kartoffelproduktion mehr Deckungsbeitrag bringt als in der Weizenpro-duktion, ist es bei keinem Punkt der Ausdehnung der Arbeitskapazität sinnvoll, auf Weizen über-zugehen. Bei einer Ausdehnung auf mehr als 3 000 Akh würde eine weitere Akh also nichts mehrbringen. Anders gesagt: Der Betriebswert für Arbeit sinkt bei einer Kapazität von 3 000 Akh von133,33 €/Akh auf 0 €/Akh.Grafisch gesprochen folgt der Betriebswert einem treppenförmigen Verlauf. In dem betrachtetenBeispiel mit dem hohen Kartoffeldeckungsbeitrag in Höhe von 4 000 €/ha ergibt sich im Bereich zwi-schen Null und 3 000 Akh ein Betriebswert von 133,33 €/Akh. Danach sinkt er auf Null (Abb. 5-5, linkeHälfte).Im Fall des niedrigeren Kartoffeldeckungsbeitrags in Höhe von 2 000 €/ha ergeben sich dagegen bereitszwei Stufen (vgl. Abb. 5-5, rechte Hälfte): Im Bereich zwischen Null und 1 000 Akh wird nur Weizen pro-duziert. Letztlich liefert Weizen mit einem Arbeitsanspruch von 10 Akh/ha und einem Deckungsbeitragvon 1 000 €/ha einen Deckungsbeitrag von 100 €/Akh und verwertet damit die knappe Arbeitskraft bes-ser als die Kartoffeln. Kartoffeln weisen bei einem Arbeitsanspruch von 30 Akh/ha und einem Deckungs-beitrag von 2 000 €/ha nur einen Deckungsbeitrag von 66,67 €/Akh auf. Bei einer Arbeitsausstattung vonweniger als 1 000 Akh kann der Weizenanbauumfang mit jeder zusätzlichen Arbeitskraftstunde um1/10 ha und der Gesamtdeckungsbeitrag um 100 € gesteigert werden. Bei einer Ausstattung von mehr als1 000 Akh reicht die Fläche nicht mehr aus, um zusätzliche Arbeit durch Weizen zu verwerten. Die Flächewird knapp. Da die Kartoffeln mit einem Deckungsbeitrag von 2 000 €/ha die Fläche besser verwerten alsder Weizen mit einem Deckungsbeitrag von 1 000 €/ha, werden beide Fruchtarten in das optimaleProduktionsprogramm aufgenommen. Oberhalb von 1 000 Akh wird mit jeder zusätzlichen Arbeitskraft-stunde der Weizenanbauumfang um 1/20 ha reduziert (und damit 0,5 Akh freigesetzt) und der Kartoffel-anbauumfang um 1/20 ha ausgedehnt (und damit 1,5 Akh zusätzlich genutzt). Es ergibt sich ein Betriebs- 204 5 Produktionsprogrammplanung wert für Arbeit von 50 €/Akh (= 1/20 ∙ 2 000 − 1/20 ∙ 1 000). Bei mehr als 3 000 Akh kann zusätzlicheArbeit nicht mehr sinnvoll verwertet werden. Letztlich ist schon die gesamte verfügbare Fläche mitKartoffeln bewirtschaftet. Der Betriebswert der Arbeit sinkt auf Null. Abb. 5-5: Verlauf des Betriebswertes für die Arbeitskapazität Einen ähnlichen Sachverhalt wie für die Betriebswerte findet man auch für die Grenzverlustwerte derAktivitäten. Beim niedrigen Kartoffeldeckungsbeitrag von 2 000 €/ha beträgt der Grenzverlustwert fürKartoffeln bis zu einer Arbeitsausstattung von 1 000 Akh genau 1 000 €/ha. In diesem Bereich wird in derOptimallösung nur der die Arbeit besser verwertende Weizen realisiert. Bei einer Arbeitsausstattung vonmehr als 1 000 Akh sind dagegen auch Kartoffeln in der Optimallösung enthalten. Ihr Grenzverlustwertsinkt damit von 1 000 €/ha auf Null. Wenn Arbeit nicht mehr knapp ist, d.h. ab einer Arbeitsausstattungvon 3 000 Akh, werden im optimalen Programm nur noch die die Fläche besser verwertenden Kartoffelnrealisiert. Der Grenzverlustwert vonWeizen steigt damit von Null auf 1 000 €/ha. f Optimaler ZielfunktionswertAus dem Endtableau in Tab. 5-5 ist zu ersehen, dass der maximale Gesamtdeckungsbeitrag 320 T€beträgt. Es gibt zwei Möglichkeiten, um - ausgehend vom Endtableau - den optimalen Zielfunktionswert zuberechnen. Die bereits bekannte Möglichkeit besteht darin, gemäß Gleichung (5-12) die Umfänge derBasisvariablen mit ihren Zielfunktionsbeiträgen zu gewichten:ܩܦܤ = ܦܤௐ௘ ∙ ݑௐ௘ + ܦܤ௄௔ ∙ ݑ௄௔ = 1 000 ∙ 0 + 4 000 ∙ 80 = 320 000 (5-18)Alternativ kann man den Zielfunktionswert bestimmen, indem man die Kapazitätsausstattung mit den Be-triebswerten gewichtet:ܩܦܤ = ܤ݁ ிܹ௟ ∙ ̅ݔி௟ + ܤ݁ ஺ܹ௥ ∙ ̅ݔ஺௥ = 0 ∙ 100 + 133,33 ∙ 2 400 = 320 000 (5-19) 5.2.4 Formulierung als primales und duales OptimierungsproblemDie folgenden Ausführungen zum Dualproblem sind nur für besonders interessierte Leser gedacht, dietiefer in das Problem eindringen wollen. Sie stellen keine Voraussetzung für das Verständnis der nach-folgenden Inhalte dar.Zu jedem linearen Maximierungsproblem kann ein lineares Minimierungsproblem definiert werden, daszum gleichen Ergebnis führt. Die beiden Problemformulierungen, die jeweils das Spiegelbild des ande- ܤ݁ ஺ܹ௥ (€/Akh) 0 50 1 000 3 000 100 ̅ݔ஺௥ (Akh) ܤ݁ ஺ܹ௥ (€/Akh) 0 3 000 133,33 ̅ݔ஺௥ (Akh) a) Beiࡰ࡮ࡷࢇ = ૝ ૙૙૙ €/ha b) Beiࡰ࡮ࡷࢇ = ૛ ૙૙૙ €/ha 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 205 ren Problems darstellen, bezeichnet man als primales und duales Optimierungsproblem. Die Entschei-dungsvariablen des dualen Problems sind die Betriebswerte des primalen Problems. Die Betriebswertedes dualen Problems sind die Entscheidungsvariablen des primalen Problems. Die Betriebswerte werdenim Rahmen des Primalproblems deshalb auch als Dualwerte bezeichnet. Bezogen auf das 2x2-Beispiel be-deutet dies Folgendes: Die bereits bekannte Formulierung als primales Ressourcenallokationsproblemliefert als Lösung der Optimierung die Anbauumfänge der beiden Verfahren und als Zusatzinformation inForm von Schattenpreisen die Betriebswerte der beiden Ressourcen. Formuliert man dies in ein duales Ressourcenbewertungsproblem um, bekommt man als Lösung der Optimierung die innerbetrieblichenWerte der beiden Ressourcen und als Zusatzinformation die beiden Anbauumfänge. Die duale Sichtweisewird vielfach in der empirischen Forschung, wie bspw. bei der Erfragung von Zahlungsbereitschaften für be-stimmte Ressourcen, angewendet. Tab. 5-7: Zusammenhang zwischen dem primalen und dem dualen Problem a) Primalproblem Dualproblem Technische Unterschiede in der FormulierungZielfunktion Maximierung des Gesamt-deckungsbeitrags (ܩܦܤ) desAnbauprogramms Minimierung der Gesamt-opportunitätskosten (ܩܱܭ) dereingesetzten KapazitätenHauptvariablen Umfang der Produktions-aktivitäten (ݑௐ௘, ݑ௄௔) Opportunitätskosten der Kapa-zitäten (ܱܭி௟, ܱܭ஺௥)Schlupfvariablen Umfang der Nichtnutzung vonKapazitäten (ݒி௟, ݒ஺௥) Über die Deckungsbeiträge hin-ausgehende Verwertung derKapazitäten (ݒௐ௘, ݒ௄௔) Spiegelbildliche GrößenDeckungsbeiträge der Produktions-aktivitäten (ܦܤௐ௘ und ܦܤ௄௔) Zielfunktionsbeitrag Restriktion(Minimalbedingung)Kapazitätsausstattung(̅ݔி௟ und ̅ݔ஺௥) Restriktion(Maximalbedingung) ZielfunktionsbeitragUmfänge der Produktionsaktivitäten Entscheidungsvariablen(ݑௐ௘, ݑ௄௔) Betriebswerte(ܤ݁ ௐܹ௘, ܤ݁ ௄ܹ௔)Innerbetrieblicher Wert derKapazitäten Betriebswerte(ܤ݁ ிܹ௟, ܤ݁ ஺ܹ௥) Entscheidungsvariablen(ܱܭி௟, ܱܭ஺௥)a) Die Größen in den grau schattierten Feldern stellen die Entscheidungsvariablen und Parameter desjeweiligen Optimierungsproblems dar.Diese Zusammenhänge sind ohne Beispiel nur schwer zu verstehen. Wir listen deshalb für unser 2x2-Problem in Tab. 5-7 auf, welche technischen Unterschiede zwischen der Formulierung als Primal- und Dual-problem bestehen. Darüber hinaus beschreiben wir, welche Größen sich in der primalen und der dualenProblemformulierung entsprechen und welche Nomenklatur hierfür verwendet wird.Unter Nutzung dieser spiegelbildlichen Zusammenhänge lässt sich das Dualproblem (Minimierungspro-blem), das mit dem in den Gleichungen (5-1) bis (5-4) spezifizierten Primalproblem (Maximierungspro-blem) korrespondiert, wie folgt formulieren:minை௄ಷ೗,ை௄ಲೝܩܱܭ = minை௄ಷ೗,ை௄ಲೝ(̅ݔி௟ ∙ ܱܭி௟ + ̅ݔ஺௥ ∙ ܱܭ஺௥)= minை௄ಷ೗,ை௄ಲೝ(100 ∙ ܱܭி௟ + 2 400 ∙ ܱܭ஺௥) (5-20)unter den Nebenbedingungen:1 ∙ ܱܭி௟ + 10 ∙ ܱܭ஺௥ ≥ ܦܤௐ௘,mit ܦܤௐ௘ = 1 000 (5-21) 206 5 Produktionsprogrammplanung 1 ∙ ܱܭி௟ + 30 ∙ ܱܭ஺௥ ≥ ܦܤ௄௔,mit ܦܤ௄௔ = 4 000 (5-22)ܱܭி௟ ≥ 0 und ܱܭ஺௥ ≥ 0 (Nichtnegativitätsbedingung) (5-23)Wir wissen zwar, dass das duale Problem die korrespondierende Formulierung des Primalproblems ist. Esfällt aber zunächst schwer, sich eine konkrete ökonomische Entscheidungssituation vorzustellen, diedurch die duale Problemformulierung abgebildet werden kann. Hilfsweise könnte man sich denken, dassder Betriebszweig „Ackerbau“ eines Unternehmens Weizen und Kartoffeln produziert. Um die hierfürbenötigten Ressourcen „Fläche“ und „Arbeit“ konkurrieren auch noch andere Betriebszweige (z.B. Vieh-haltung). Nun geht es darum, den monetären Nachteil zu bestimmen, den ein Entzug der Ressourcendurch die Unternehmensleitung im Betriebszweig „Ackerbau“ hätte. Natürlich will die ackerbaulicheAbteilung den Verlust aus einem möglichen Ressourcenentzug durch die Unternehmensleitung möglichstgering halten. Die Zielfunktion des dualen Programms besteht also darin, die abteilungsinternen Gesamt-kosten des Ressourcenentzugs zu minimieren. Die Zielfunktionsbeiträge ܱܭி௟ und ܱܭ஺௥ geben an,welchen Verlust der Betriebszweig „Ackerbau“ erleiden würde, wenn die Unternehmensführung ihm eineEinheit der jeweiligen Ressource entziehen würde. Aus Sicht des Unternehmens ist eine derartige Ver-änderung der Allokation knapper Ressourcen sinnvoll, solange in anderen Betriebszweigen eine höhereVerwertung erfolgt. Beim primalen Verständnis hat man also die Sichtweise, dass es zu einer optimalenNutzung der Ressourcen innerhalb der ackerbaulichen Abteilung kommt, wenn das gesamtdeckungs-beitragsmaximale Produktionsprogramm umgesetzt wird. Beim dualen Verständnis hat man die Sicht derMinimierung der Gesamtkosten des Ressourcenentzugs. Beide Sichtweisen führen zum gleichen Ergebnis.Wegen des sperrigen intuitiven Zugangs zum Dualproblem begnügen wir uns damit, die Entsprechung derprimalen und dualen Problemformulierung zu zeigen. Bei inhaltlichen Aussagen konzentrieren wir unsauf die primale Formulierung, deren Interpretation bereits bekannt ist.Das betrachtete Dualproblem stellt ein Minimierungsproblem dar. Wenn man Minimierungsprobleme mit Hilfe des Simplexalgorithmus lösenwill, ist Folgendes zu beachten:1. Ganz allgemein gilt, dass eine Größer-Gleich-Bedingung (Minimalrestriktionen) dazu führt, dass eineSchlupfvariable auf der - bildlich gesprochen - rechten Seite einer Restriktion hinzuaddiert werdenmuss. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussage, dass bei einer als Minimalrestriktion (≥) formulier-ten Nebenbedingung die Schlupfvariable auf der linken Seite zu subtrahieren ist, während sie beieiner als Maximalrestriktion (≤) formulierten Nebenbedingung hinzuaddiert werden muss, um zueiner Gleichung zu kommen. Minimalrestriktionen treten bei dem hier betrachteten Minimierungs-problem auf (vgl. Gleichung (5-21) und (5-22)).2. Ganz allgemein gilt, dass die Nulllösung, in der alle Entscheidungsvariablen gleich Null gesetzt sind,dann keine zulässige Startlösung ist, wenn eine oder mehrere Nebenbedingungen als Minimalrestrik-tionen formuliert sind. Letztlich wären dann bei der Nulllösung nicht alle Nebenbedingungen einge-halten. Eine zulässige Startlösung kann unter Anwendung des Hauptsatzes der linearen Programmie-rung gesucht werden.3. Bei Minimierungsproblemen ist mit Blick auf die Festlegung der Austauschspalte im jeweiligen Itera-tionsschritt zu beachten, dass die Nichtbasisvariable zur Basisvariablen wird, die die höchste Reduzierung des Zielfunktionswertes bzw. der Gesamtopportunitätskosten ܩܱܭ ermöglicht. Gesucht ist alsodie Spalte mit dem größten positivenWert in der letzten Zeile des Tableaus. Die Austauschzeile ergibtsich wieder nach Division des Wertes in der letzten Spalte des Tableaus durch den Wert derAustauschspalte. Die Zeile, für die sich der niedrigste Wert ergibt, ist die Austauschzeile.4. Die Optimallösung ist gefunden, wenn alle Zielfunktionswertänderungen ein negatives Vorzeichenaufweisen. Dies bedeutet, dass der Zielfunktionswert durch die Einführung einer Einheit der betref-fenden Nichtbasisvariablen in die Lösung nicht mehr reduziert werden kann. 5.2 Grundlagen der linearen Programmierung 207 Im betrachteten Dualproblem ergeben sich nach Einführung der Schlupfvariablen ݒௐ௘ und ݒ௄௔ aus denUngleichungen (5-21) und (5-22) folgende Gleichungen:1 ∙ ܱܭி௟ + 10 ∙ ܱܭ஺௥ = 1 000 + ݒௐ௘ ⇔ 1 ∙ ܱܭி௟ + 10 ∙ ܱܭ஺௥ − 1 ∙ ݒௐ௘ = 1 000 (5-24)1 ∙ ܱܭி௟ + 30 ∙ ܱܭ஺௥ = 4 000 + ݒ௄௔ ⇔ 1 ∙ ܱܭி௟ + 30 ∙ ܱܭ஺௥ − 1 ∙ ݒ௄௔ = 4 000 (5-25) Tab. 5-8: Ausgangstableau des Dualproblems für ܦܤ௄௔ = 4 000 €/ℎܽ a) Nichtbasisvariablen Basisvariablen −ࡻࡷ࡭࢘(Hauptvariable) −࢜ࡷࢇ(Schlupfvariable) Umfang ࡻࡷࡲ࢒(Hauptvariable) c 30 −1 d 4 000࢜ࢃࢋ(Schlupfvariable) 20 −1 3 000ࡳࡻࡷ (Zielgröße) e 600 −100 f 400 000 a) Die grau hervorgehobene Spalte (Zeile) kennzeichnet die Pivotspalte (Pivotzeile). Tab. 5-9: Endtableau des Dualproblems für ܦܤ௄௔ = 4 000 €/ℎܽ Nichtbasisvariablen Basisvariablen −ࡻࡷࡲ࢒(Hauptvariable) −࢜ࡷࢇ(Schlupfvariable) Umfang ࡻࡷ࡭࢘(Hauptvariable) c 1/30 −1/30 d 133,33࢜ࢃࢋ(Schlupfvariable) −2/3 −1/3 333,33ࡳࡻࡷ (Zielgröße) e −20 −80 f 320 000 Wir haben im Ausgangstableau in Tab. 5-8 die Hauptvariable ܱܭ஺௥ sowie die Schlupfvariable ݒ௄௔ alsNichtbasisvariablen verwendet und damit gleich Null gesetzt. Gleichzeitig haben wir die andere Haupt-variable ܱܭி௟ sowie die Schlupfvariable ݒௐ௘ in die Basis aufgenommen. Um die entsprechenden Koeffi-zienten zu bestimmen, sind die gewählten Basisvariablen und die Zielfunktion als Funktion der Nicht-basisvariablen darzustellen.In der ersten Basisvariablenzeile ergibt sie sich direkt nach Umstellung von Gleichung (5-25):ܱܭி௟ = 30 ∙ −ܱܭ஺௥ − 1 ∙ −ݒ௄௔ + 4 000 (5-26)Um die Koeffizienten der zweiten Basisvariablenzeile zu erhalten, muss man Gleichung (5-26) in Glei-chung (5-24) einsetzen und nach ݒௐ௘ umstellen:1 ∙ (30 ∙ −ܱܭ஺௥ − 1 ∙ −ݒ௄௔ + 4 000) + 10 ∙ ܱܭ஺௥ − 1 ∙ ݒௐ௘ = 1 000⇔ ݒௐ௘ = 20 ∙ −ܱܭ஺௥ − 1 ∙ −ݒ௄௔ + 3 000 (5-27)Die letzte Zeile des Ausgangstableaus ergibt sich, indem man Gleichung (5-26) in Gleichung (5-20)einsetzt:ܩܱܭ= 100 ∙ (30 ∙ −ܱܭ஺௥ − 1 ∙ −ݒ௄௔ + 4 000) + 2 400 ∙ ܱܭ஺௥ (5-28)= 600 ∙ −ܱܭ஺௥ − 100 ∙ −ݒ௄௔ + 400 000 208 5 Produktionsprogrammplanung Bezogen auf das Primalproblem bedeutet die Startlösung des Dualproblems, dass 100 ha Kartoffeln an-gebaut und 600 Akh mehr genutzt werden als verfügbar sind (vgl. Punkt F in Abb. 5-2). Damit ist die Start-lösung des Dualproblems keine zulässige Lösung für das Primalproblem. Tab. 5-10: Ergebnisse des primalen und dualen Problems a) Primalproblem DualproblemAustauschbeziehungen beiEinführung einer Nichtbasis-variablen in die Lösung Substitutionskoeffizienten(vgl.c) Substitutionskoeffizienten(vgl.c)Umfänge der Produktions-aktivitäten Umfang der Hauptvariablen in derBasis:ݑ௄௔ = 80 (vgl.d) Betriebswerte der Schlupfvariablenin der Nichtbasis: b)ܤ݁ ௄ܹ௔ = −80 (vgl.e)Umfang der Hauptvariablen in derNichtbasis:ݑௐ௘ = 0 Betriebswerte der Schlupfvariablenin der Basis:ܤ݁ ௐܹ௘ = 0Umfang der Nichtnutzungs-aktivitäten Umfang der Schlupfvariablen in derBasis:ݒி௟ = 20 (vgl.d) Grenzverlustwert der Haupt-variablen in der Nichtbasis: b), c)ܩݎܸ ிܹ௟ = −20 (vgl.e)Umfang der Schlupfvariablen in derNichtbasis:ݒ஺௥ = 0 Grenzverlustwert der Haupt-variablen in der Basis: c)ܩݎܸ ஺ܹ௥ = 0Innerbetrieblicher Wert vollgenutzter Kapazitäten Betriebswerte der Schlupf-variablen in der Nichtbasis:ܤ݁ ஺ܹ௥ = 133,33 (vgl.e) Umfang der Hauptvariablen in derBasis:ܱܭ஺௥ = 133,33 (vgl.d)Betriebswerte der Schlupf-variablen in der Basis:ܤ݁ ிܹ௟ = 0 Umfang der Hauptvariablen in derNichtbasis:ܱܭி௟ = 0Zielverlust durch Einführungnicht realisierter Produktions-aktivitäten Grenzverlustwert der Haupt-variablen in der Nichtbasis:ܩݎܸ ௐܹ௘ = 333,33 (vgl.e) Umfang der Schlupfvariablen in derBasis:ݒௐ௘ = 333,33 (vgl.d)Grenzverlustwert der Haupt-variablen in der Basis:ܩݎܸ ௄ܹ௔ = 0 Umfang der Schlupfvariablen in derNichtbasis:ݒ௄௔ = 0Relevanter Zielfunktionswert Maximaler Gesamtdeckungsbeitragdes optimalen Produktionspro-gramms:ܩܦܤ = 320 000 (vgl.f) Minimale Gesamtopportunitäts-kosten der Ressourcen bei optima-lem Ressourceneinsatz:ܩܱܭ = 320 000 (vgl.f)a) Nur die Größen in den grau schattierten Feldern sind in den Endtableaus explizit ausgewiesen. Grenz-verlustwerte von Hauptvariablen in der Basis, Betriebswerte von Schlupfvariablen in der Basis sowieder Umfang der Variablen in der Nichtbasis sind immer gleich Null.b) In der dualen Formulierung als Kostenminimierungsproblem kommt es zu umgekehrten Vorzeichenim Bereiche des Tableaus.c) Bei Minimierungsproblemen wird anstelle des Begriffs „Grenzverlustwert“ i.d.R. die Bezeichnung„Reduzierte Kosten“ verwendet.Man sieht im Ausgangstableau, dass im ersten Austauschschritt die Opportunitätskosten der Arbeit ܱܭ஺௥zur Basisvariablen werden, weil in der letzten Zeile der relevanten Spalte ein positiver Wert steht. Au-ßerdem werden die Opportunitätskosten der Fläche ܱܭி௟ zur Nichtbasisvariablen, weil der Wert derletzten Spalte dividiert durch die Pivotspalte hier kleiner ist als bei ݒௐ௘ (4 000/30 < 3 000/20). Formu-liert man die neuen Basisvariablen ܱܭ஺௥ und ݒௐ௘ sowie die Zielfunktion ܩܱܭ als Funktion von ܱܭி௟ und 5.3 Anwendungen und Erweiterungen 209 ݒ௄௔, dann ergibt sich das in Tab. 5-9 dargestellte neue Simplextableau. In der letzten Zeile sind nurnoch negative Werte ausgewiesen. Damit ist das Endtableau bzw. die Optimallösung gefunden. Bezogenauf das Primalproblem bedeutet die Optimallösung des Dualproblems, dass 80 ha Kartoffeln angebautund 20 ha Fläche nicht genutzt werden. Die Optimallösung des Dualproblems ist damit auch eine zulässi-ge Lösung des Primalproblems.Um das Verständnis des dualen Problems zu erleichtern, haben wir in Tab. 5-10 die leicht zu interpretie-renden Ergebniswerte des primalen Problems aus Tab. 5-5 den Ergebniswerten des korrespondierendendualen Problems aus Tab. 5-9 gegenübergestellt. Dabei wird explizit darauf hingewiesen, in welchem Tab-leaubereich die Werte stehen. Die Gegenüberstellung in Tab. 5-10 erklärt, warum man beim primalenProblem den maximierten Gesamtdeckungsbeitrag alternativ über die Betriebswerte der Ressourcen be-rechnen kann (vgl. Gleichung (5-19)), die als Schattenpreise des Maximierungsproblems ausgewiesenwerden. Analog kann man beim dualen Problem die Gesamtopportunitätskosten alternativ über dieUmfänge der Produktionsverfahren berechnen, die sich als Schattenpreise des Minimierungsproblemsergeben. 5.3 Anwendungen und ErweiterungenIm Folgenden wird zunächst erläutert, welche Erweiterungen sich ergeben, wenn bei der linearen Pro-grammierung zusätzliche Aktivitäten und Restriktionen zu berücksichtigen sind (Punkt 5.3.1). InPunkt 5.3.2 wird beschrieben, wie LP-Probleme unter Verwendung von Tabellenkalkulationsprogrammengelöst werden können. In Punkt 5.3.3 wird dargelegt, wie man praxisrelevante Sachverhalte, wie z.B.Fruchtfolgerestriktionen oder saisonale Arbeitsanforderungen, in LP-Modellen abbildet. 5.3.1 Zusätzliche Aktivitäten und RestriktionenDas in Abschnitt 5.2 anhand eines 2x2-Problems beschriebene Simplexverfahren kann ohne Weiteres aufrealistische betriebliche Planungssituationen und damit größere LP-Probleme übertragen werden. Diedamit verbundenen Erweiterungen äußern sich in den folgenden Veränderungen: • Durch die Berücksichtigung von zusätzlichen Produktionsaktivitäten ergeben sich mehr Spalten. Durchdie Abbildung von zusätzlichen betrieblichen Kapazitätsrestriktionen ergeben sichmehr Zeilen. • Mit der Zahl der Aktivitäten und Restriktionen steigt die Zahl der Werte, die in jedem Tableau zuberechnen sind. Gleichzeitig sind i.d.R. mehr Iterationen nötig, um - ausgehend von einer zufälliggewählten Startlösung - die Optimallösung zu finden. • Lässt man c.p. eine zusätzliche Aktivität als Wahlmöglichkeit zu, wird der Lösungsmöglichkeitenraumerweitert. Der resultierende maximale Gesamtdeckungsbeitrag ist demzufolge mindestens genau sohoch wie ohne zusätzliche Wahlmöglichkeit. • Berücksichtigt man c.p. eine zusätzliche betriebliche Einschränkung als Restriktion, wird derLösungsmöglichkeitenraum verkleinert. Der resultierende maximale Gesamtdeckungsbeitrag ist dem-zufolge maximal so hoch wie ohne zusätzliche Restriktion.Um von der 2x2-Perspektive weg und hin zu einer allgemein gültigen Problemformulierung zukommen, führen wir zunächst einen Laufparameter ݇ (݇ = 1, 2, … , ܭ) ein, der die zur Auswahl stehen-den Aktivitäten bezeichnet. Mit einem weiteren Laufparameter ݅ (݅ = 1, 2, … , ܫ) bezeichnen wir die zuberücksichtigenden Restriktionen. Zudem nutzen wir die Symbole ݓ und ܼ, um in allgemeiner Form dieZielfunktionskoeffizienten bzw. den Zielfunktionswert zu bezeichnen. Kennzeichnet man die Kapazi-tätsansprüche der einzelnen Aktivitäten mit ܾ, lässt sich das lineare Optimierungsproblem allgemeinwie folgt schreiben:

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References

Zusammenfassung

Gemäß dem Motto „Nichts ist praktischer als eine gute Theorie“ geht es im vorliegenden Lehrbuch darum, Studierenden und Praktikern beim Erwerb analytischer Fähigkeiten und einer problemlösungsorientierten Methodenkompetenz zu helfen.

Für die Unternehmen der Agrar- und Ernährungswirtschaft haben sich die wirtschaftlichen Rahmenbedingungen in den letzten Jahren stark verändert. Insbesondere der Wettbewerbsdruck und das unternehmerische Risiko sind infolge der Liberalisierung der Agrarmärkte und des Klimawandels angestiegen. Hinzu kommen ein laufender Anpassungsdruck an veränderte Verbraucherwünsche, neue gesellschaftliche Anforderungen sowie eine zunehmende Verflechtung zwischen den verschiedenen Stufen der Wertschöpfungskette. Das vorliegende Lehrbuch trägt diesen Entwicklungen durch die Fokussierung auf die praktische unternehmerische Entscheidungsunterstützung unter Risiko Rechnung.

Dieses Buch schafft zum einen das theoretisch-konzeptionelle Verständnis für die grundlegenden ökonomischen Strukturen der wichtigsten unternehmerischen Entscheidungsanlässe. Zum anderen vermittelt es das handwerkliche Können im Umgang mit betriebswirtschaftlichen Analyse- und Planungsinstrumenten, über das Manager in einer unsicheren Unternehmensumwelt verfügen müssen, um erfolgreiche Entscheidungen fällen zu können.

Aus dem Inhalt:

• Grundlagen und Ziele unternehmerischen Entscheidens

• Kontrolle und Analyse

• Produktionstheorie

• Produktionsprogrammplanung

• Investitionsplanung und Finanzierung

• Querschnittsaufgabe Risikomanagement

• Bewertung und Taxation

• Corporate Social Responsibility

Über die Autoren:

Prof. Dr. Oliver Mußhoff leitet den Arbeitsbereich für Landwirtschaftliche Betriebslehre am Department für Agrarökonomie und Rurale Entwicklung der Georg-August-Universität Göttingen.

Prof. Dr. Norbert Hirschauer ist Inhaber der Professur für Unternehmensführung im Agribusiness am Institut für Agrar- und Ernährungswissenschaften der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

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Für Dozenten steht auf der Website ein auf das Buch abgestimmter Foliensatz mit den Abbildungen und Tabellen des Buches zur Verfügung. Für Studierende sind Übungsaufgaben formuliert.