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4.5 Optimale Produktionsrichtung in:

Norbert Hirschauer, Oliver Mußhoff

Modernes Agrarmanagement, page 185 - 194

Betriebswirtschaftliche Analyse- und Planungsverfahren

3. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4743-9, ISBN online: 978-3-8006-4457-5, https://doi.org/10.15358/9783800644575_185

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4.5 Optimale Produktionsrichtung 173 Onno Überleg meint, eine Inkonsistenz der Berechnungen gefunden zu haben. Er wundert sich nämlich,dass die optimale spezielle Intensität für einen variablen Produktionsfaktor nicht auf dem Expansionspfadliegt. Wie Su Sidenkt ihm aber erklärt, ist die Diskrepanz darin begründet, dass bei der Bestimmung deroptimalen speziellen Intensität für Stickstoff die Saatgutmenge ݔௌ௔ von 200 kg/ha vorgegeben war. Nimmtman die Saatgutmenge nicht mehr als gegeben an, sondern optimiert sie ebenfalls - man spricht auchdavon, dass man die Bestimmung der optimalen Saatgutmenge endogenisiert -, dann muss das Faktorpreis-verhältnis berücksichtigt werden. Die zusätzliche Wahlmöglichkeit bzgl. der Saatguteinsatzmengekann dazu führen, dass kostengünstigere Faktorkombinationen gefunden werden. Die Kosten für 200 kgSaatgut und 180 kg Stickstoff liegen bei 280 €. Für die ertragsgleiche Faktorkombination 214,77 kg Saat-gut und 162,27 kg Stickstoff betragen die Kosten nur 269,66 €. Anders ausgedrückt: Eine Stickstoffintensi-tät von 180 kg/ha stellt nicht die insgesamt beste Lösung dar. Wenn aber aus irgendeinem Grund keinzusätzliches Saatgut beschafft werden kann und nur 200 kg/ha zur Verfügung stehen, dann stellt eineStickstoffintensität von 180 kg/ha die optimale unternehmerische Anpassung an diese Situation absoluterKnappheit dar. Man bezeichnet dies auch als Second-Best-Lösung. 4.5 Optimale Produktionsrichtung 4.5.1 Beschreibung und Lösung des EntscheidungsproblemsMit der optimalen speziellen Intensität, der Minimalkostenkombination und dem Expansionspfad habenwir die optimale Höhe und das optimale Verhältnis von Faktoren bestimmt, die für die Herstellung einesProdukts eingesetzt werden. Damit wird aber die Entscheidungssituation des Unternehmers immer nochnicht vollständig erfasst. Mit einer bestimmten Faktorausstattung (z.B. Ackerfläche, Gebäude, Maschinenund Arbeit) können verschiedene Produkte (z.B. Weizen, Gerste und Raps) hergestellt werden, deren An-teil variiert werden kann. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Bestimmung des Produktions-programms bei gegebener Produktionskapazität. Im Rahmen unserer Zwei-Variablen-Perspektive (vgl.Tab. 4-1) tauschen wir bei der Optimierung des Produktionsprogramms die als gegeben unterstelltenParameter deshalb abermals aus. Nun wird eine bestimmte Produktionskapazität als gegeben angenommenund bei den betrachteten Entscheidungsvariablen handelt es sich um die Produktionsmengen zweierProdukte, die um die Verwendung der vorhandenen knappen Faktoren konkurrieren. Es geht also um dieFrage, wie eine vorgegebene Produktionskapazität optimalerweise für die Erzeugung zweier Produkte zunutzen ist, um den maximalen Bruttoerfolg zu erzielen (vgl. auch Punkt 2.1.1). Bei der hier zwecks Verein-fachung vorgenommenen Abstraktion von variablen Kosten entspricht dies der Maximierung der Erlöse.Betrachten wir beispielhaft einen Betrieb, in dem eine Kapazität an Ackerfläche von ̅ݔி௟ = 100 ha inkl.einer entsprechenden Maschinen- und Arbeitsausstattung für die Produktion von Winterweizen undKartoffeln verfügbar ist. Die Fragestellung lautet: Wie viel Hektar Weizen und wie viel Hektar Kartoffelnsollte ein gewinnmaximierender Landwirt anbauen, der seine knappe Fläche bestmöglich nutzen will?Um die Frage nach der optimalen Kombination zweier Produkte beantworten zu können, muss man diebiologisch-technische Beziehung zwischen den Erträgen der beiden Produkte und der Faktoreinsatz-menge kennen. Es sei unterstellt, dass ackerbauliche Versuche mit unterschiedlichen Anteilen derbeiden Fruchtarten durchgeführt wurden. Die in Tab. 4-5 dargestellten Versuchsergebnisse zeigen, welcheWeizen- und Kartoffelerträge auf jeweils 100 ha großen und von den Bedingungen her identischenVersuchsflächen mit unterschiedlichen Produktionsprogrammen erzielt wurden. Es sind zwei Aspekte zubeachten: • Ein Weizenanteil von bspw. 50% bedeutet, dass bei einer Gesamtfläche von 100 ha in jedem Jahr50 ha mit Weizen bewirtschaftet werden. Damit kommt Weizen spätestens jedes zweite Jahr auf diegleiche Fläche. 174 4 Produktionstheorie • Es wird angenommen, dass man mit einem Mehrfachen des Kapazitätsbündels das gleiche Mehrfacheder jeweiligen Produktionsmengen erzielen kann. Dies entspricht der Annahme, dass es nicht zuGrößenvorteilen oder -nachteilen kommt.Wiederum kann aus den Versuchsdaten ein funktionaler Zusammenhang abgeleitet werden, der bei gege-bener Produktionskapazität die Abhängigkeit der Menge des zweiten Produkts von der Menge des erstenProdukts angibt. Man spricht in diesem Zusammenhang von der Kapazitätslinie. Sie wird auch als Trans-formationskurve oder Produktionsmöglichkeitenkurve bezeichnet, da sie Produktkombinationen angibt,deren Erzeugung mit der vorhandenen Kapazitätmöglich ist. Mit der Kapazitätslinie ist auch bekannt, wieviele Einheiten Kartoffeln man bei der vorgegebenen Produktionskapazität weniger produziert, wennman die Weizenproduktion um eine Einheit erhöht. Dies bezeichnet man als Grenzrate der Transformation (GRT; marginal rate of transformation). Den funktionalen Zusammenhang zwischen den Mengen bei-der betrachteten Produkte kann man auszugsweise darstellen, indem man systematisch diskrete Kombi-nationen von Weizen- und Kartoffelproduktionsmengen berechnet und in Form einer Tabelle ausweist.Dementsprechend kann man die optimale Produktionsrichtung sowohl mathematisch-algebraisch alsauch tabellarisch bestimmen. Tab. 4-5: Versuchsergebnisse zur Bestimmung der Ertragswirkung unterschiedlicher Produktionsprogramme a)Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5 Spalte 6 Spalte 7 Spalte 8Weizen-anteil Ertrag Ertragsänderung GRT b)Weizen Kartoffeln Weizen Kartoffeln(%) dt dt/ha dt dt/ha (dt) (dt)1 10 789 78,9 14 518 161,32 20 1 373 68,7 13 850 173,1 585 -668 1,143 30 1 899 63,3 13 130 187,6 526 -720 1,374 40 2 391 59,8 12 344 205,7 492 -785 1,605 50 2 858 57,2 11 476 229,5 467 -868 1,866 60 3 307 55,1 10 496 262,4 449 -980 2,187 70 3 741 53,4 9 355 311,8 434 -1 141 2,638 80 4 163 52,0 7 955 397,7 422 -1 401 3,32a) Die Versuchsfläche beträgt jeweils 100 ha.b) GRT = Grenzrate der Transformation (negative Änderung der Produktionsmenge Kartoffeln im Ver-hältnis zur Änderung der Produktionsmenge Weizen).Die Spalte 1 der Tab. 4-5 gibt die unterschiedlichen Anteile der beiden Fruchtarten an. Einem Weizen-anteil von 10% (20%, 30%, …) entspricht ein Kartoffelanteil von 90% (80%, 70%, …). In der Spalte 2 ist dieWeizenproduktionsmenge und in Spalte 4 die Kartoffelproduktionsmenge bei einer Flächenausstattungvon 100 ha angezeigt. In den Spalten 3 und 5 ist zwecks besserer Einordnung der Versuchsergebnisse derhektarbezogene Weizen- und Kartoffelertrag ausgewiesen. Es zeigt sich, dass mit einer Erhöhung desWeizenanteils (Kartoffelanteils) eine immer stärker werdende Reduzierung des Hektarertrags vonWinterweizen (Kartoffeln) einhergeht. Dies hat im vorliegenden Fall zwei Ursachen: Erstens entstehenumso mehr Fruchtfolgeprobleme durch Krankheiten und Schädlinge, je einseitiger eine Fruchtfolge ist.Zweitens kommt es umso mehr zu einer suboptimalen Arbeitserledigung in kritischen Arbeitszeitperio-den, wie z.B. während der Ernte, und damit zu Mindererträgen, je schlechter die Arbeitsspitzen aufgrundeiner einseitigen Fruchtfolge auseinander gezogen werden können. Dies liegt daran, dass die Ausstattungmit dauerhaften Produktionsmitteln, wie z.B. Maschinen und Arbeitskräften, bei den verschiedenenFruchtfolgen unverändert geblieben ist. Außerdem wird deutlich, dass die Kartoffelerträge mit einerErhöhung des Kartoffelanteils prozentual stärker sinken als die Weizenerträge mit einer Erhöhung desWeizenanteils. 4.5 Optimale Produktionsrichtung 175 Es wird deutlich, dass mit zunehmendem Weizenanteil die GRT steigt. So kann man durch eine Erhöhungdes Weizenanteils von 10% auf 20% die Weizenmenge um 585 dt steigern. Gleichzeitig sinkt dadurch dieKartoffelmenge um 668 dt, d.h. die Austauschrate liegt bei -1,14 dt Kartoffeln je zusätzlicher dtWeizen (GRT = 1,14). Bei der Steigerung des Weizenanteils von 50% auf 60% erzielt man dagegennur noch eine zusätzliche Weizenmenge von 449 dt. Diese muss jetzt zudem mit einer Reduktionder Kartoffelmenge um 980 dt „erkauft“ werden, d.h. die GRT liegt bei 2,18 dt Kartoffeln je zusätzlicherdt Weizen. Tabellarische LösungBei der tabellarischen Lösung wird die Differenzrechnung genutzt. Tab. 4-6 verdeutlicht die Vorgehens-weise anhand des Beispiels mit der Ackerfläche von ̅ݔி௟ = 100 ha. In Spalte 1 sind in 5%-Schrittenvariierte Weizen- und damit Kartoffelanteile ausgewiesen. Bei der monetären Bewertung der unterschied-lichen Produktionsprogramme wird ein Weizenpreis ݌ௐ௘ = 25 €/dt und ein Kartoffelpreis ݌௄௔ = 15 €/dtunterstellt. Tab. 4-6: Tabellarische Bestimmung der optimalen Produktionsrichtung a)Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Spalte 4 Spalte 5 Spalte 6 Spalte 7 Spalte 8Weizen-anteil Ertrag Erlös ErlösänderungWeizen Kartoffeln Weizen Kartoffeln Gesamt Weizen Kartoffelnݕௐ௘ ݕ௄௔ ݌ௐ௘ ∙ ݕௐ௘ ݌௄௔ ∙ ݕ௄௔ ܧ ݌ௐ௘ ∙ ∆ݕௐ௘ ݌௄௔ ∙ ∆ݕ௄௔(%) (dt) (dt) (€) (€) (€) (€) (€)1 20 1 373 13 850 34 330 207 749 242 0792 25 1 642 13 497 41 039 202 454 243 494 6 709 -5 2943 30 1 899 13 130 47 484 196 944 244 427 6 444 -5 5114 35 2 149 12 746 53 716 191 191 244 907 6 232 -5 752 5 40 2 391 12 344 59 772 185 167 244 939 6 056 -6 0246 45 2 627 11 922 65 678 178 833 244 511 5 906 -6 3347 50 2 858 11 476 71 454 172 143 243 597 5 776 -6 6908 55 3 085 11 003 77 115 165 039 242 155 5 661 -7 1049 60 3 307 10 496 82 674 157 444 240 119 5 559 -7 59510 65 3 526 9 950 88 142 149 255 237 397 5 467 -8 189a) Fläche ̅ݔி௟ = 100 ha, Weizenpreis ݌ௐ௘ = 25 €/dt und Kartoffelpreis ݌௄௔ = 15 €/dt.Die in den Zeilen ausgewiesenen Produktionsprogramme führen zu unterschiedlich hohen Gesamterlösen und damit unter Abstraktion der Kosten zu unterschiedlich hohen Gesamtbruttoerfolgen (sieheSpalte 6 von Tab. 4-6). Dies liegt daran, dass mit zunehmendem Weizenanteil die GRT steigt und damiteine weitere Erhöhung des Weizenanteils zunehmend weniger bringt. Ein Blick auf Spalte 6 zeigt, dass dieKombination 5 „40% Weizen und 60% Kartoffeln“ die gesamterlösmaximale Handlungsalternativedarstellt.Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man sich die Änderungen der Erlöse der beiden Fruchtartenbeim Übergang von Kombination 4 (35% Weizen und 65% Kartoffeln) zu Kombination 5 (40% Weizenund 60% Kartoffeln) anschaut: Der Erlös aus dem Weizen wird um 6 056 € gesteigert, während die damitverbundenen Kosten in Form des reduzierten Kartoffelerlöses nur 6 024 € betragen. Dieser Austausch-schritt ist also rentabel. Eine weitere Erhöhung des Weizenanteils um 5% bringt weniger Weizenerlös-zuwachs als sie an Kartoffelerlösminderung (= Opportunitätskosten) verursacht. Eine feinere Abstufungder Austauschschritte würde zeigen, bei welchem Weizenanteil zwischen 35% und 45% die optimaleProduktionsrichtung genau liegt. Sie ist dann erreicht, wenn der zusätzliche Erlös aus dem Weizengerade so viel bringt, wie er Kosten durch eine Einschränkung der Kartoffelproduktion verursacht(݌ௐ௘ ∙ ∆ݕௐ௘ = −݌௄௔ ∙ ∆ݕ௄௔). 176 4 Produktionstheorie Algebraische Lösung mit Hilfe der KapazitätslinieUm die optimale Produktionsrichtung algebraisch zu bestimmen, benötigt man ein Modell, das die Trans-formationsbeziehungen zwischen den Produkten in Form einer differenzierbaren mathematischen Funk-tionsgleichung darstellt und eineMarginalbetrachtung zulässt. Der Ausgangspunkt der Überlegungen istdie inverse Produktionsfunktion, die bei zwei Produkten wie folgt definiert ist:ݔ = ݔ(ݕଵ, ݕଶ) (4-34)Dabei kennzeichnet ݔ die Ausstattung mit knappen Produktionsmitteln, die kurzfristig nicht verändertwerden kann und auch als Produktionskapazität bezeichnet wird. ݕଵ und ݕଶ kennzeichnen die Produkti-onsmengen des Produkts 1 bzw. des Produkts 2.Unter Rückgriff auf eine gegebene Produktionskapazität ̅ݔ kann ein Produkt als Funktion des anderenProdukts dargestellt werden:̅ݔ = ̅ݔ(ݕଵ, ݕଶ) ⇔ ݕଶ = ݕଶ(ݕଵ, ̅ݔ) = ݕଶ(ݕଵ) (4-35)Diese Kurve, die bei gegebener Kapazität ̅ݔ alle möglichen Kombinationen zwischen Produktionsmenge ݕଵund ݕଶ anzeigt, wird als Kapazitätslinie bezeichnet. Bei Produkten, deren Erzeugung in Konkurrenzzueinander steht, weist die Kapazitätslinie eine negative Steigung auf.Die Kosten für eine vorgegebene Kapazität ̅ݔ sind unabhängig von der Nutzung dieser Kapazität. Es giltalso:ܭ = ݍ ∙ ̅ݔ = ܭഥ = konstant (4-36)Die Erlösfunktion ܧ(ݕଵ, ݕଶ) ergibt sich als Summe der Erlöse der beiden Produkte. Bei einem Preis ݌ଵ fürdas Produkt 1 und einem Preis ݌ଶ für das Produkt 2 ist sie wie folgt definiert:ܧ(ݕଵ, ݕଶ) = ݌ଵ ∙ ݕଵ + ݌ଶ ∙ ݕଶ (4-37)Bei gegebener Kapazität ̅ݔ und Kenntnis der Kapazitätslinie (4-35) können die Erlöse als Funktion derProduktionsmenge ݕଵ angegeben werden. Dazu ist die Kapazitätslinie (4-35) in die Erlösfunktion (4-37)einzusetzen:ܧ(ݕଵ) = ݌ଵ ∙ ݕଵ + ݌ଶ ∙ ݕଶ(ݕଵ) (4-38)Ausgehend davon kann die Bruttoerfolgsfunktion aufgestellt werden, die in Abhängigkeit von derProduktionsentscheidung zu maximieren ist:max ܤ(ݕଵ) = max [ܧ(ݕଵ) − ܭഥ] = max [݌ଵ ∙ ݕଵ + ݌ଶ ∙ ݕଶ(ݕଵ) − ݍ ∙ ̅ݔ]⇔ max ܧ(ݕଵ) = max [݌ଵ ∙ ݕଵ + ݌ଶ ∙ ݕଶ(ݕଵ)] (4-39)Während bei der Bestimmung der Minimalkostenkombination ein bestimmter Ertrag und damit Erlös alskonstant angenommen wurde, wird nun eine bestimmte Produktionskapazität und die dadurch verur-sachten Kosten als entscheidungsunabhängig angenommen. Anstelle des Bruttoerfolgs kann man deshalbdirekt die Erlöse maximieren. An der Stelle des Bruttoerfolgsmaximums muss die erste Ableitung bzw. dieSteigung der Erlösfunktion nach ݕଵ gleich Null sein (Optimalitätsbedingung):݀ܧ݀ݕଵ = ݌ଵ + ݌ଶ ∙ ݀ݕଶ݀ݕଵ = 0⇔ −݀ݕଶ݀ݕଵ = ݌ଵ݌ଶ ⇔ −݌ଶ ∙ ݀ݕଶ݀ݕଵ = ݌ଵ ⇔ −݌ଵ ∙ ݀ݕଵ = ݌ଶ ∙ ݀ݕଶ (4-40)Der Ausdruck −݀ݕଶ/݀ݕଵ ist die Grenzrate der Transformation. Sie gibt an, wie viele Einheiten ݕଶ (z.B. Kar-toffeln) weniger produziert werden, wenn man eine Einheit ݕଵ (z.B. Weizen) mehr produziert. Die Optima-litätsbedingung −݀ݕଶ/݀ݕଵ = ݌ଵ/݌ଶ besagt, dass die optimale Produktionsrichtung dort erreicht ist, wo die GRT dem umgekehrten Produktpreisverhältnis entspricht. 4.5 Optimale Produktionsrichtung 177 Abb. 4-16: Algebraische Bestimmung der optimalen Produktionsrichtung(a) Inverse Produktionsfunktion aufstellenݔ = ݔ(ݕଵ, ݕଶ) ܤ Bruttoerfolgܧ Erlös für die Produkte 1und 2ܭ Kostenܭഥ Kosten der Kapazität ̅ݔ݌ଵ Preis des Produkts 1݌ଶ Preis des Produkts 2ݕଵ Produktionsmenge 1ݕଶ Produktionsmenge 2ݍ Faktorpreisݔ Faktoreinsatzmenge̅ݔ vorgegebene Produkti-onskapazität (a’) Kapazitätslinie für Kapazität ̅ݔ bestimmen̅ݔ = ̅ݔ(ݕଵ, ݕଶ) ⇔ ݕଶ = ݕଶ(ݕଵ, ̅ݔ) = ݕଶ(ݕଵ)(b) Für die feste Kapazität ̅ݔ die Kosten bestimmenܭ = ݍ ∙ ̅ݔ = ܭഥ = konstant(c) Erlösfunktion aufstellenܧ(ݕଵ, ݕଶ) = ݌ଵ ∙ ݕଵ + ݌ଶ ∙ ݕଶ(c’) Erlösfunktion für die Kapazität ̅ݔ in Abhängigkeit von ݕଵ bestimmen(Kapazitätslinie in Erlösfunktion einsetzen)ܧ(ݕଵ) = ݌ଵ ∙ ݕଵ + ݌ଶ ∙ ݕଶ(ݕଵ)(d) Bruttoerfolgsfunktion aufstellenmax ܤ = max [ܧ(ݕଵ) − ܭഥ]⇔ max ܧ(ݕଵ) = max [݌ଵ ∙ ݕଵ + ݌ଶ ∙ ݕଶ(ݕଵ)](e) 1. Ableitung der Erlösfunktion gleich Null setzen(notwendige Bedingung)݀ܧ݀ݕଵ = ݌ଵ + ݌ଶ ∙ ݀ݕଶ݀ݕଵ = 0 ⇔ −݀ݕଶ݀ݕଵ = ݌ଵ݌ଶ(f) 2. Ableitung der Erlösfunktion auf negatives Vorzeichen prüfen(hinreichende Bedingung)݀ଶܧ݀ݕଵଶ = ݌ଶ ∙ ݀ଶݕଶ݀ݕଵଶ < 0 Kapazitätslinie Umgekehrtes Produktpreis-verhältnis ݌ଵ/݌ଶ Isoerlöslinie für ܧത௠௔௫ Grenzrate der Transformation−݀ݕଶ/݀ݕଵ ݕ∗ Optimale Produktionsmenge ݕଶ ݕଶ∗ ݕଵ∗ Beispielhafte Isoerlöslinienfür verschiedene ܧതݕଵ ݕଵ Absolut betrach tung Margina lbetrach tung 178 4 Produktionstheorie Wenn man dies in −݌ଵ ∙ ݀ݕଵ = ݌ଶ ∙ ݀ݕଶ umformt, wird die Interpretation noch intuitiver: Die optimaleProduktionsrichtung ist erreicht, wenn die marginalen Mindererlöse, die durch eine infinitesimal kleineReduzierung der Produktionsmenge des ersten Produkts entstehen, gerade die marginalen Zusatzerlösedecken, die durch die mögliche Erhöhung der Menge des zweiten Produkts verursacht werden. Der letzteinfinitesimal kleine Substitutionsschritt muss also gerade so viel bringen, wie er kostet.Als hinreichende Bedingung für den bruttoerfolgsmaximalen Produktionsmix muss die zweite Ableitungder Erlösfunktion (4-38) an der betreffenden Stelle negativ sein:݀ଶܧ݀ݕଵଶ = ݌ଶ ∙ ݀ଶݕଶ݀ݕଵଶ < 0 (4-41)Da Produktpreise positiv sind, muss dementsprechend die zweite Ableitung der Kapazitätslinie an derStelle der optimalen Produktionsrichtung negativ sein. Oder anders ausgedrückt: Die erste Ableitung derKapazitätslinie ݀ݕଶ/݀ݕଵ muss einen fallenden Verlauf und damit die als −݀ݕଶ/݀ݕଵ definierte GRT einensteigenden Verlauf aufweisen. Abb. 4-16 fasst den Ablauf bei der Bestimmung der optimalen Produktions-richtung zusammen.In der unteren Hälfte von Abb. 4-16 ist die Bestimmung der optimalen Produktionsrichtung grafischveranschaulicht. Auf der angezeigten Kapazitätslinie liegen alle Produktkombinationen, die man bei dergegebenen Kapazität ̅ݔ erzielen kann. Die Kapazitätslinie überführt den dreidimensionalen Zusammen-hang der inversen Produktionsfunktion mit zwei Produkten ݔ = ݔ(ݕଵ, ݕଶ) in den leichter überschaubarenzweidimensionalen Zusammenhang ݕଶ = ݕଶ(ݕଵ, ̅ݔ). Es ist zu beachten, dass die Kapazitätslinie sowohltechnisch effiziente als auch technisch ineffiziente Bereiche aufweisen kann. In technisch ineffizientenBereichen, in denen die Kapazitätslinie - bildlich gesprochen - nach innen abknickt, wird von einem oderbeiden Produkten „unnötig wenig“ erzeugt. Technisch ineffiziente Kombinationen - wie sie sich bspw.auch bei der Bestimmung der Minimalkostenkombination ergeben haben (vgl. Tab. 4-3) - können vonvornherein als nicht optimal abgelehnt werden.Bei der grafischen Bestimmung der optimalen Produktionsrichtung greift man auf Geraden gleicher Erlösezurück, die - analog zu den Isokostenlinien - als Isoerlöslinien (isorevenue line) bezeichnet werden undwie folgt definiert sind:ܧത = ݌ଵ ∙ ݕଵ + ݌ଶ ∙ ݕଶ ⇔ ݕଶ(ݕଵ, ܧത) = ܧത݌ଶ − ݌ଵ݌ଶ ∙ ݕଵ (4-42)Dabei kennzeichnet ܧത einen beliebigen Erlösbetrag. Isoerlöslinien zeigen alle möglichen Kombinationender beiden Produkte, mit denen man zu einem jeweils gegebenen Erlösniveau ܧത kommt. Wenn nicht vonvariablen Kosten abstrahiert wird, bezeichnet man die Isoerlöslinie vielfach auch als Isowertlinie.In Abb. 4-16 ist zusätzlich zur Kapazitätslinie eine Schar von parallelen Isoerlöslinien dargestellt. Die optimale Produktionsrichtung liegt dort, wo eine der Isoerlöslinien die Kapazitätslinie tangiert.Am Tangentialpunkt wird mit der gegebenen Kapazität ̅ݔ der maximal mögliche Erlös ܧത௠௔௫ erzielt. Jedevom Tangentialpunkt abweichende Produktkombination führt entweder zu geringeren Erlösen oder istmit der vorhandenen Kapazität nicht möglich. Die Aussage, dass im Punkt der optimalen Produktions-richtung die Kapazitätslinie gerade von einer Isoerlöslinie tangiert wird, bedeutet, dass die Steigungen derKapazitätslinie und der Isoerlöslinie einander entsprechen. Beispiel 4-3Optimale Produktionsrichtung - Weizen- und Kartoffelproduktion bei gegebener FlächenausstattungIn der Spalte 2 und der Spalte 4 der Tab. 4-5 sind die auf insgesamt 100 ha Ackerfläche zu erzeugendenMengen an Weizen und Kartoffeln bei unterschiedlicher Flächenaufteilung auszugsweise angezeigt. Aufder Grundlage dieser über Feldversuche gewonnenen Informationen wird mit Hilfe statistischer Metho- 4.5 Optimale Produktionsrichtung 179 den folgender Zusammenhang zwischen der Weizenanbaufläche ݔௐ௘ und der Weizenproduktionsmengeݕௐ௘ geschätzt:ݕௐ௘ = 125 ∙ ݔௐ௘଴,଼ ⇔ ݔௐ௘ = ቀݕௐ௘125ቁଵ/଴,଼ (4-43)Für die Kartoffelproduktionsmenge ݕ௄௔ in Abhängigkeit von der Kartoffelanbaufläche ݔ௄௔ gilt analog zuGleichung (4-43):ݕ௄௔ = 2 400 ∙ ݔ௄௔଴,ସ ⇔ ݔ௄௔ = ቀ ݕ௄௔2 400ቁଵ/଴,ସ (4-44)Mit ݔி௟ = ݔௐ௘ + ݔ௄௔ ergibt sich damit die folgende inverse Produktionsfunktion:ݔி௟(ݕௐ௘, ݕ௄௔) = ቀݕௐ௘125ቁଵ/଴,଼ + ቀ ݕ௄௔2 400ቁଵ/଴,ସ (4-45)Bei der als gegeben angenommenen Fläche ݔி௟ = ̅ݔி௟ = 100 formt man nun die Gleichung (4-45) nach ݕ௄௔um. Es ergibt sich folgende Kapazitätslinie:ݕ௄௔ = 2 400 ∙ ቈ100 − ቀݕௐ௘125ቁଵ/଴,଼቉଴,ସ (4-46)Bei einem unterstellten Weizenpreis ݌ௐ௘ = 25 €/dt und einem Kartoffelpreis ݌௄௔ = 15 €/dt ergibt sichdie nachstehende Erlösfunktion (vgl. Gleichung (4-37)):ܧ = 25 ∙ ݕௐ௘ + 15 ∙ ݕ௄௔ (4-47)Setzt man nun die Kapazitätslinie (4-46) in die Erlösfunktion (4-47) ein, hat man den Erlös als Funktionallein von ݕௐ௘ ausgedrückt:ܧ = 25 ∙ ݕௐ௘ + 15 ∙ ൥2 400 ∙ ቈ100 − ቀݕௐ௘125ቁଵ/଴,଼቉଴,ସ൩ (4-48)Bildet man nun z.B. unter Zuhilfenahme eines Mathematikprogramms die erste Ableitung der Erlösfunkti-on (4-48) nach der Weizenproduktionsmenge ݕௐ௘ und setzt die erste Ableitung gleich Null, ergibt sich fol-gender Term:݀ܧ݀ݕௐ௘ = 15 ∙ 2 400 ∙ 0,4 ∙ ݔௐ௘ ∙ (100 − ݔௐ௘)଴,ସ + 25 ∙ 0,8 ∙ ݔௐ௘ ∙ ݕௐ௘ − 25 ∙ 0,8 ∙ 100 ∙ ݕௐ௘0,8 ∙ (100 − ݔௐ௘) ∙ ݕௐ௘ = 0 (4-49)In der Gleichung (4-49) ist ݔௐ௘ gemäß Gleichung (4-43) einzusetzen. Löst man die Gleichung (4-49) nachݕௐ௘ auf, so ergibt sich eine optimale Weizenproduktionsmenge in Höhe von 2 288 dt. Dies entspricht ge-mäß Gleichung (4-43) einer Weizenanbaufläche von 37,85 ha. Unter Rückgriff auf die Gleichung (4-46) giltfür die optimale Kartoffelproduktionsmenge ݕ௄௔ = 12 519 dt. Dies entspricht gemäß der Gleichung (4-44)einer Kartoffelanbaufläche von 62,15 ha. Insgesamt ist ein Erlös von 244 985 € zu erzielen.Ende des Beispiels 4.5.2 Erweiterungen a) Komparative StatikDie optimale Produktionsrichtung hängt einerseits vom Verlauf der Kapazitätslinie ab, d.h. von den bio-logisch-technisch bedingten Mengenbeziehungen zwischen den um knappe Produktionskapazitätenkonkurrierenden Produkten. Andererseits wird sie von den Produktpreisen beeinflusst. Im Rahmen einer 180 4 Produktionstheorie komparativen Analyse fragen wir nun danach, welche Konsequenzen sich aus einer Änderung des Produktpreisverhältnisses ݌ଵ/݌ଶ für die optimale Produktallokation ergeben. Wir analysieren konkret,wie sich ein Anstieg des Produktpreises ݌ଵ bei konstantem Produktpreis ݌ଶ auswirkt (vgl. Abb. 4-17). Diesist gleichbedeutend mit der Aussage, dass sich die relativen Produktpreise zugunsten des Produkts 1verschoben haben. Abb. 4-17: Optimale Produktionsrichtung und komparative Statik (Erhöhung des Produktpreises ݌ଵ, Konstanz des Produktpreises ݌ଶ) Die Kapazitätslinie bleibt von einer Änderung der Produktpreise unberührt. Allerdings ändert sich dieSteigung der Isoerlöslinie −݌ଵ/݌ଶ. Eine Erhöhung von ݌ଵ führt zu einem steileren Verlauf der Isoerlöslinie.Wieder tritt ein Substitutionseffekt ein: Anstelle des relativ im Wert gesunkenen Produkts 2 wird nunmehr von dem relativ höherwertigeren Produkt 1 hergestellt. Durch diese Anpassung an die verändertenProduktpreisverhältnisse kann der Erlös im Vergleich zu einer reinen „Mitnahme“ der Preiserhöhungohne Anpassung des Produktionsprogramms erhöht werden. Der Substitutionseffekt und damit die Chanceneiner wirkungsvollen unternehmerischen Anpassung an neue Preisverhältnisse sind vom Verlauf der Kapazitätslinie abhängig. Der Substitutionseffekt ist umso größer, je weniger stark gekrümmt die Kapa-zitätslinie am bisherigen Tangentialpunkt verläuft. Wenn beide Produktpreise ansteigen und dabei dasProduktpreisverhältnis konstant bleibt, bestehen keine zusätzlichen erlössteigernden Anpassungs-möglichkeiten und es ändert sich nichts an der optimalen Produktionsrichtung. b) Alternative Formen der KapazitätslinieDie in Beispiel 4-3 betrachteten Produkte „Weizen“ und „Kartoffeln“ konkurrieren um die knappe fixe Fak-torausstattung und weisen eine zunehmende Grenzrate der Transformation auf, d.h. um eine dt Wei- Kapazitätslinie Umgekehrtes Produktpreisverhältnis݌ଵ/݌ଶ vor einem Anstieg von ݌ଵUmgekehrtes Produktpreisverhältnis݌ଵ/݌ଶ nach einem Anstieg von ݌ଵ ݕଶ∗ Isoerlöslinie für ܧത௠௔௫ vor einemAnstieg von ݌ଵIsoerlöslinie für ܧത௠௔௫ nach einemAnstieg von ݌ଵGrenzrate der Transformation−݀ݕଶ/݀ݕଵ ݕଵ∗ ݕ∗ Optimale Produktionsmenge ݕଵ ݕଵ ݕଶ 4.5 Optimale Produktionsrichtung 181 zen mehr zu produzieren, muss man auf zunehmend mehr Kartoffeln verzichten. Die Kapazitätslinieverläuft in diesem Fall progressiv fallend (Abb. 4-18, linke obere Hälfte). Daneben gibt es weitere Formenvon Kapazitätslinien. Abb. 4-18: Optimale Produktionsrichtung bei konkurrierenden und additiven Produktionsbeziehungen Die rechte obere Hälfte von Abb. 4-18 beschreibt eine konkurrierende Produktionsbeziehung mit einer konstanten Grenzrate der Transformation. Ein Beispiel ist die kleinbäuerliche Schweinehaltung, in deranstelle einer bestimmten Zahl an Zuchtsauen eine bestimmte Anzahl an zugekauften Mastschweinengehalten werden können, auch wenn dann die speziellen technischen Hilfsmittel der Sauenhaltung un-genutzt bleiben. Hier liegt die optimale Produktionsrichtung in einem Schnittpunkt der Kapazitätslinie mitden Achsen, d.h. in Abhängigkeit davon, welches Produkt den höheren Gewinn verspricht, werden ent-weder Zuchtsauen oder Mastschweine gehalten. Im Spezialfall, in dem die Steigung der Transformations-kurve gerade dem Produktpreisverhältnis entspricht, sind alle Kombinationen auf der Kapazitätsliniegleichwertig. Bei Vorliegen einer konstanten GRT kann man die optimale Produktionsrichtung einfach mitHilfe der Differenzrechnung bestimmen. Beispielhafte Isoerlöslinienfür ܧത KapazitätslinieIsoerlöslinie für ܧത௠௔௫ a) Konkurrierende BeziehungenProdukte mit zunehmenderGrenzrate der Transformation Produkte mit konstanterGrenzrate der Transformation b) Additive Beziehungen(Kuppelprodukte) Beispiel: Weizenproduktion ݕଵ undKartoffelproduktion ݕଶ Beispiel: Ferkelproduktion ݕଵ undMastschweineproduktion ݕଶ Beispiel: Milchproduktion ݕଵ undKälberproduktion ݕଶ ݕ∗ Optimale Produktionsmenge ݕଵ∗ ݕଵ∗ ݕଵ∗ ݕଶ∗ ݕଶ ∗ ݕଶ∗ ݕଵ ݕଵ ݕଵ ݕଶ ݕଶ ݕଶ 182 4 Produktionstheorie Ein in Abb. 4-18 nicht explizit dargestellter, aber denkbarer Zusammenhang in Form einer Kapazitätsliniemit abnehmender Grenzrate der Transformation ergibt sich, wenn die Ausdehnung von Produkt 1 beieiner Einschränkung des Produkts 2 in immer kleinerem Umfang möglich ist. Grafisch würde die Kapa-zitätslinie dann spiegelbildlich zu der Kapazitätslinie mit zunehmender GRT verlaufen. In diesem Fallergäben sich als mögliche Lösungen für die optimale Produktionsrichtung die beiden Schnittpunkte derKapazitätslinie mit den Achsen: Es wird entweder nur Produkt 1 oder nur Produkt 2 erzeugt. Der Falleiner abnehmenden GRT ist von geringer praktischer Relevanz.Neben konkurrierenden Beziehungen ist in manchen Fällen die Erzeugung eines (Haupt)Produkts fest andie Erzeugung eines weniger bedeutsamen (Neben)Produkts gekoppelt. Man spricht in diesem Fall voneiner Kuppelproduktion oder Verbundproduktion (Abb. 4-18b). Ein Beispiel ist die Milchproduktion, beider neben dem Hauptprodukt „Milch“ auch das Nebenprodukt „Kalb“ anfällt. Ein weiteres Beispiel ist dieErzeugung von Getreidekorn und Getreidestroh. Nur wenn die Erzeugung des Haupt- und des Neben-produkts im gleichen Verhältnis variiert werden, wird ein unproduktiver Rest vermieden, der die Rentabi-lität der Kuppelproduktion insgesamt verringert.Bei der in Abb. 4-18 nicht eigens dargestellten parallelen Produktion wird die Herstellung einesProdukts nicht von der Erzeugung eines anderen Produkts beeinflusst. Dieser Fall liegt vor, wenn eskeinen Produktionsfaktor gibt, der absolut knapp ist und um dessen Verwendung die Produkte konkur-rieren. Ein Beispiel aus der Landwirtschaft, bei dem dies annäherungsweise zutrifft, ist die flächenge-bundene Marktfruchtproduktion einerseits und die Veredlungsproduktion (z.B. Mastschweine) auf derBasis von Spezialarbeitskräften und zugekauften Futtermitteln andererseits. Bei der parallelen Produkti-on kann die Herstellung der Produkte losgelöst voneinander optimiert werden. Oftmals stellt dies aller-dings eine Vereinfachung dar, deren Adäquatheit kritisch überprüft werden muss. In aller Regel stellenzumindest das erforderliche Kapital oder auch die unternehmerische Leitungstätigkeit absolut knappeFaktoren dar. 4.6 Zusammenfassung und kritische Würdigung der ProduktionstheorieWir haben uns in Kapitel 4 mit der optimalen speziellen Intensität, der Minimalkostenkombination undder optimalen Produktionsrichtung beschäftigt. Dabei wurde deutlich, dass die Produktionstheorie auf das allgemeine ökonomische Marginalprinzip zurückgreift (vgl. Punkt 2.4.1b). In Abb. 4-19 befindetsich eine Übersicht der drei zentralen produktionstheoretischen Fragestellungen, deren Grundaussagensich wie folgt zusammenfassen lassen: • Die Grundlage der Bestimmung der erfolgsmaximalen Faktoreinsatzhöhe bilden der Produktpreis undder Faktorpreis sowie die physische Beziehung zwischen der Faktoreinsatzmenge und dem Ertrag(Faktor-Produkt-Beziehung). Die optimale spezielle Intensität ist erreicht, wenn die mit einer Er-höhung des Faktoreinsatzes erzielten Zusatzerlöse gerade die damit verbundenen Zusatzkostenkompensieren. • Die Grundlage der Bestimmung des kostengünstigsten Faktoreinsatzverhältnisses bei gegebener Pro-duktionsmenge bilden die Faktorpreise sowie die physische Beziehung zwischen den Einsatzmengender variablen Produktionsfaktoren (Faktor-Faktor-Beziehung). Die Minimalkostenkombination isterreicht, wenn die mit einer Reduzierung des Einsatzes eines Faktors einzusparenden Kosten geradedie zusätzlichen Kosten kompensieren, die für die Ausdehnung des anderen Faktors entstehen. • Die Grundlage der Bestimmung der erfolgsmaximalen Produktkombination bei gegebener Faktor-ausstattung bilden die Produktpreise sowie die physische Beziehung zwischen den Produktions-mengen (Produkt-Produkt-Beziehung). Die optimale Produktionsrichtung ist erreicht, wenn die mitder Ausdehnung der Produktionsmenge eines Produkts erzielbaren zusätzlichen Erlöse gerade dieMindererlöse kompensieren, die durch die Einschränkung des anderen Produkts verursacht werden.

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Zusammenfassung

Gemäß dem Motto „Nichts ist praktischer als eine gute Theorie“ geht es im vorliegenden Lehrbuch darum, Studierenden und Praktikern beim Erwerb analytischer Fähigkeiten und einer problemlösungsorientierten Methodenkompetenz zu helfen.

Für die Unternehmen der Agrar- und Ernährungswirtschaft haben sich die wirtschaftlichen Rahmenbedingungen in den letzten Jahren stark verändert. Insbesondere der Wettbewerbsdruck und das unternehmerische Risiko sind infolge der Liberalisierung der Agrarmärkte und des Klimawandels angestiegen. Hinzu kommen ein laufender Anpassungsdruck an veränderte Verbraucherwünsche, neue gesellschaftliche Anforderungen sowie eine zunehmende Verflechtung zwischen den verschiedenen Stufen der Wertschöpfungskette. Das vorliegende Lehrbuch trägt diesen Entwicklungen durch die Fokussierung auf die praktische unternehmerische Entscheidungsunterstützung unter Risiko Rechnung.

Dieses Buch schafft zum einen das theoretisch-konzeptionelle Verständnis für die grundlegenden ökonomischen Strukturen der wichtigsten unternehmerischen Entscheidungsanlässe. Zum anderen vermittelt es das handwerkliche Können im Umgang mit betriebswirtschaftlichen Analyse- und Planungsinstrumenten, über das Manager in einer unsicheren Unternehmensumwelt verfügen müssen, um erfolgreiche Entscheidungen fällen zu können.

Aus dem Inhalt:

• Grundlagen und Ziele unternehmerischen Entscheidens

• Kontrolle und Analyse

• Produktionstheorie

• Produktionsprogrammplanung

• Investitionsplanung und Finanzierung

• Querschnittsaufgabe Risikomanagement

• Bewertung und Taxation

• Corporate Social Responsibility

Über die Autoren:

Prof. Dr. Oliver Mußhoff leitet den Arbeitsbereich für Landwirtschaftliche Betriebslehre am Department für Agrarökonomie und Rurale Entwicklung der Georg-August-Universität Göttingen.

Prof. Dr. Norbert Hirschauer ist Inhaber der Professur für Unternehmensführung im Agribusiness am Institut für Agrar- und Ernährungswissenschaften der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg.

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Für Dozenten steht auf der Website ein auf das Buch abgestimmter Foliensatz mit den Abbildungen und Tabellen des Buches zur Verfügung. Für Studierende sind Übungsaufgaben formuliert.