6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 195 getroffen werden, deren Einstellungen zum Risiko erheblich differieren können. Daher haben sich in der Praxis Verfahren durchgesetzt, die einfacher zu handhaben sind. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 6.4.1 Korrekturverfahren Die Unsicherheit bei der Datenermittlung wird durch Variation der Ausgangsdaten der Investitionsrechnung nach dem Vorsichtsprinzip um globale (allgemeine) Risikozuschläge oder Risikoabschläge erfasst. Bei Anwendung des Kapitalwertmodells könnte dies durch eine Erhöhung des Kalkulationszinssatzes oder der laufenden Auszahlungen sowie eine Reduzierung der laufenden Einzahlungen, der Nutzungsdauer oder des Liquidationserlöses realisiert werden. Die Investitionsrechnung wird mit diesen „quasi-sicheren” Ausgangsgrößen durchgeführt. Somit werden Werte der Zielgröße errechnet, die mit großer Sicherheit erreicht oder übertroffen werden. Realisiert werden anschließend die Investitionsprojekte, die sämtliche Vorsichtshürden überwinden und trotzdem noch zufriedenstellende Rechenergebnisse aufweisen. Trotz der Beliebtheit in der Praxis sind Korrekturverfahren aufgrund methodischer Mängel bedenklich:346 ? Die Unsicherheit wird rein summarisch erfasst und verrechnet. ? Es erfolgt eine Korrektur bei Größen, die selbst gar nicht unsicher sind (z.B. Zinssatz, Nutzungsdauer). ? Es werden ausschließlich negative Abweichungen berücksichtigt, so dass die Entscheidung auf dem Prinzip der Vorsicht beruht und dem Investor im Prinzip völlige Risikoscheu unterstellt wird. ? Durch die Anwendung von Korrekturverfahren besteht somit die Möglichkeit, jede Investitionsalternative negativ erscheinen zu lassen. Ein Kumulationseffekt kann dazu führen, dass jedes Projekt „totgerechnet” wird. ? Das Korrekturverfahren dient auf keinen Fall dazu, die Unsicherheit transparent zu machen. Aufgrund dieser Mängel sollten Korrekturverfahren lediglich als Faustregel verwendet werden, um besonders risikoreiche Investitionen auszusondern.347 346 Vgl. Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 231- 232. 347 Ein Zahlenbeispiel zum Korrekturverfahren findet sich bei Kußmaul, Heinz/Leiderer, Bernd: Die Fallstudie aus der Betriebswirtschaftslehre: Investitionsrechnung. In: Das Wirtschaftsstudium 1996, S. 236-240. 6 Die Berücksichtigung der Unsicherheit196 6.4.2 Sensitivitätsanalyse 6.4.2.1 Allgemeine Bemerkungen Sensitivitätsanalysen werden ergänzend zur Investitionsrechnung angewandt. Ausgehend vom jeweiligen Verfahren zur Beurteilung einer Investition untersuchen Sensitivitätsanalysen die Stabilität der Ergebnisse bei Variation der Inputgrößen. Sie können Antworten auf zwei verschiedene Fragestellungen liefern:348 (1) Wie weit darf der Wert einer oder mehrerer Inputgrößen vom ursprünglichen Wertansatz abweichen, ohne dass ein vorgegebener Zielfunktionswert über- oder unterschritten wird? (2) Wie ändert sich eine Outputgröße bei Variation einer oder mehrerer Inputgrößen? Die erste Frage führt zur Ermittlung sogenannter kritischer Werte oder Wertkombinationen. Zur Beantwortung der zweiten Frage werden in der Praxis zwei verschiedene Formen der Sensitivitätsanalyse herangezogen. Bei den sogenannten Zielgrößen-Änderungsrechnungen werden Eingangsgrößen der Investitionsrechnung von ihrem ursprünglichen Wertansatz aus schrittweise verändert. Dreifach-Rechnungen legen dagegen der Berechnung einen optimistischen, einen wahrscheinlichen und einen pessimistischen Inputwert zugrunde. Bei der Durchführung einer Sensitivitätsanalyse ergeben sich verschiedene Wahlmöglichkeiten. Zunächst müssen die als unsicher anzusehenden Inputgrößen festgelegt werden. Die Analyse kann dann bezüglich einer isolierten Inputgröße oder bezüglich mehrerer Größen gleichzeitig erfolgen und sich dabei auf eine einzige oder auf mehrere Planungsperioden beziehen. 6.4.2.2 Dreifach-Rechnung Die Dreifach-Rechnung ermittelt die zu berechnende Zielgröße – beispielsweise den Kapitalwert – unter Zugrundelegung einer optimistischen, einer wahrscheinlichen und einer pessimistischen Zukunftseinschätzung.349 Entscheidend ist, dass alle Inputgrößen, die als unsicher gelten, gleichzeitig variiert werden. Als Ergebnis einer Dreifach-Rechnung können sich die in Abbildung 42 (Seite 197) dargestellten Situationen ergeben. Ist der Kapitalwert selbst im schlechtesten zu erwartenden Fall noch positiv, so lohnt es sich, die Investition durchzuführen. Bei einem negativen Kapitalwert selbst im günstigsten Fall ist von der Durchführung der Investition abzuraten. Die beiden anderen Situationen lassen keine eindeutige Aussage bezüglich der Durchführung der Investition zu. Die Entscheidung unterliegt dem subjektiven Ermessen des Investors. 348 Vgl. dazu und zum Folgenden Götze, Uwe: Investitionsrechnung. 5. Aufl., Berlin u.a. 2006, S. 363-375. 349 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis. 4. Aufl., Herne/Berlin 1996, S. 185-188. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 197 Datenkonstellation Entscheidungsregel optimistisch wahrscheinlich pessimistisch Vorzeichen + + + Investition durchführen des + + ? Kapital- + ? ? Entscheidung nach subjektivem Ermessen des Investors werts ? ? ? Investition unterlassen Abbildung 42: Mögliche Ergebnisse einer Dreifach-Rechnung350 Vorteilhaft an der Dreifach-Rechnung ist neben der einfachen Durchführung der Rechnung und der guten Interpretierbarkeit der Ergebnisse vor allem die Tatsache, dass sich das Ausmaß von Chance und Risiko gleichermaßen quantifizieren lässt.351 6.4.2.3 Zielgrößen-Änderungsrechnung Die Zielgrößen-Änderungsrechnung gibt Antwort auf die Frage der Änderung der Outputgröße bei schrittweiser Variation des ursprünglichen Wertansatzes. Die Auswirkungen der Variation einer Inputgröße können differenziert ermittelt werden, indem man – bei Konstanthaltung der übrigen Inputwerte – eine einzelne Inputgröße systematisch verändert und die sich daraus ergebenden Zielfunktionswerte berechnet.352 Beispiel:353 Betrachtet wird eine Investition, die durch die folgenden Ausgangsdaten gekennzeichnet ist (vgl. hinsichtlich der Datenkonstellation nochmals Abschnitt 3.6): Inputgrößen Index Inputwerte Anschaffungskosten (EUR) A0 66.000 Nutzungsdauer (Jahre) n 6 Kapazität (Flaschen/Jahr) x 9.500 Absatzpreis (EUR/Flasche) p 5,70 Fixe Kosten (EUR/Jahr) Af 9.250 Materialkosten (EUR/Flasche) M 0,72 Löhne und Lohnnebenkosten (EUR/Flasche) L 1,2221 Energiekosten (EUR/Flasche) e 0,10 350 Modifiziert entnommen aus Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis. 4. Aufl., Herne/Berlin 1996, S. 187. 351 Vgl. Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis. 4. Aufl., Herne/Berlin 1996, S. 188. 352 Vgl. dazu Götze, Uwe: Investitionsrechnung. 5. Aufl., Berlin u.a. 2006, S. 366-367. 353 Entnommen aus Kußmaul, Heinz: Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen. In: Der Steuerberater 1996, S. 106. 6 Die Berücksichtigung der Unsicherheit198 Sonstige variable Kosten (EUR/Flasche) kvs 1,0526 Kalkulationszinssatz (%) i 5 Für die angegebenen Daten ergibt sich der Kapitalwert für die Anlage nach der folgenden Formel: n t 0 0 vs f t 1 n 0 vs f n 6 6 C A [(p m L e k ) x A ] (1 i) (1 i) 1A [(p m L e k ) x A ] i (1 i) 1,05 166.000 [(5,7 0,72 1,2221 0,1 1,0526) 9.500 9.250] 0,05 1,05 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +12.673,23EUR Abbildung 43 (Seite 199) stellt die Reagibilität des Kapitalwerts bei Variation der einzelnen Inputwerte des obigen Fallbeispiels dar. Dabei wird unterstellt, dass sich die Werte der Inputgrößen prozentual in allen Perioden in gleicher Höhe verändern. Aus Gründen der Übersichtlichkeit wurden in Abbildung 43 (Seite 199) nur die Veränderungen der Größen Absatzpreis (p), Kapazität (x), Nutzungsdauer (n), Anschaffungsauszahlung (A0) sowie Löhne und Lohnnebenkosten (L) erfasst. Diese Inputgrößen üben einen nachhaltigen Einfluss auf den Kapitalwert aus. Dabei ist die Auswirkung der Veränderung der Inputgröße auf den Wert der Zielgröße umso größer, je steiler der Kapitalwertverlauf ist. Der Einfluss der nicht dargestellten Inputgrößen auf den Kapitalwert ist nur gering. Mit Hilfe der dargestellten Analyse lassen sich die eigentlich entscheidungsrelevanten Inputgrößen bestimmen. Eine Inputgröße, die auch bei großer prozentualer Veränderung kaum eine Änderung des Kapitalwerts bewirkt, kann vom Investor bei der zu treffenden Entscheidung als nicht entscheidungsrelevant angesehen werden. Sensitivitätsanalysen dieser Art dienen somit dazu, die Bedeutung der Unsicherheit einzelner Inputgrößen für das Entscheidungsproblem transparent zu machen. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 199 -150000 -100000 -50000 0 50000 100000 150000 200000 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 Varia tion der Inputgrößen [p, x , Ao, L um z %; n um z/10 Jahre] Co p x n Ao L Abbildung 43: Reagibilität des Kapitalwerts bei Variation einzelner Inputgrößen 6.4.2.4 Kritische-Werte-Rechnung Kritische-Werte-Rechnungen geben Antwort auf die Frage, wie weit eine Inputgröße von ihrem ursprünglichen Wert abweichen kann, ohne dass die Vorteilhaftigkeitsentscheidung revidiert werden muss. Bei Anwendung der Kapitalwertmethode wird durch eine Kritische- Werte-Rechnung geprüft, welche Werte der Inputgrößen einen Kapitalwert von null ergeben. Einerseits können kritische Werte für jede relevante unsichere Inputgröße einzeln berechnet werden, so dass man für jede variierte Inputgröße einen kritischen Punkt erhält. Andererseits besteht die Möglichkeit, mehrere Inputgrößen simultan zu untersuchen. Als Ergebnis erhält man sogenannte kritische Punktmengen. Dabei ergibt sich bei gleichzeitiger Variation von n (n>1) Inputgrößen eine (n?1)-dimensionale kritische Punktmenge (beispielsweise bei n=2 eine kritische Kurve, bei n=3 eine kritische Fläche).354 354 Vgl. dazu insbesondere Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 233. 6 Die Berücksichtigung der Unsicherheit200 Kritische Werte sind beispielsweise der interne Zinsfuß, der eine Vorteilhaftigkeitsgrenze für den Kalkulationszinsfuß liefert, oder auch die dynamische Amortisationsdauer als kritischer Wert für die Nutzungsdauer eines Investitionsobjekts. Bei der Berechnung kritischer Werte geht man in vier Schritten vor:355 (1) Auswahl der als unsicher anzusehenden Inputgrößen; (2) Formulierung eines Investitionsmodells zur Berechnung des Zielwertes in Abhängigkeit von den ausgewählten Inputgrößen; (3) Vorgabe eines Schwankungsintervalls für die Zielgröße durch Festlegung von Grenzen, die der Zielwert nicht über- oder unterschreiten soll; (4) Bestimmung des sich daraus ergebenden Schwankungsintervalls für die Inputgrößen. Beispiel:356 Die nachfolgende Tabelle enthält die für einen Kapitalwert von null ermittelten kritischen Werte sowie die prozentualen Abweichungen der kritischen Werte von den ursprünglichen Werten für die Inputgrößen des Fallbeispiels. Auf die Berechnung der kritischen Nutzungsdauer und des kritischen Kalkulationszinssatzes wird in diesem Beispiel verzichtet. Die Berechnung dieser Größen wird im Rahmen der Methode des internen Zinsfußes bzw. der dynamischen Amortisationsrechnung durchgeführt (vgl. nochmals Abschnitt 4.2.3 und 4.2.4). Inputgröße Index Kritischer Wert Abweichung des kritischen Werts vom ursprünglichen Wert (in %) Anschaffungskosten (EUR) A0 78.673,23 19,20 Kapazität (Flaschen/Jahr) x 8.541,50 ? 10,09 Absatzpreis (EUR/Flasche) p 5,44 ? 4,56 Fixe Kosten (EUR/Jahr) Af 11.747,19 27,00 Materialkosten (EUR/Flasche) m 0,9829 36,51 Löhne und Lohnnebenkosten (EUR/Flasche) L 1,4850 21,51 Energiekosten (EUR/Flasche) e 0,3629 262,90 Sonstige variable Kosten (EUR/Flasche) kvs 1,3155 24,98 Als Beispiel für eine simultane Untersuchung sollen Kapazität und Absatzpreis gleichzeitig betrachtet werden. Aus der Bestimmung kritischer Wertkombinationen erhält man eine kritische Kurve. Setzt man den Kapitalwert gleich null und stellt man die Absatzmenge (x) in Abhängigkeit vom Absatzpreis (p) dar, so erhält man folgende Funktion: 355 Vgl. Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 232- 236 sowie Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung. 12. Aufl., München 2009, S. 319. 356 Entnommen aus Kußmaul, Heinz: Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen. In: Der Steuerberater 1996, S. 107. Ein weiteres Zahlenbeispiel findet sich bei Kußmaul, Heinz/Leiderer, Bernd: Die Fallstudie aus der Betriebswirtschaftslehre: Investitionsrechnung. In: Das Wirtschaftsstudium 1996, S. 236-240. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 201 n 0 f n vs i (1 i) 1 x A A p (L m e k )(1 i) 1 ? ? ? ?? + = ? + ?? ? ? ?? ? ? + + ++ ? ? ?? ? Diese Funktion ist in Abbildung 44 dargestellt. Kapitalwert < 0 Kapitalwert > 0 0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Absatzpreis p [DM] K ap az itä tx [S tc k. ] Abbildung 44: Sensitivitätsanalyse des Kapitalwerts in Bezug auf Kapazität und Absatzpreis 6.4.2.5 Beurteilung der Sensitivitätsanalyse Sensitivitätsanalysen können das Problem der Entscheidung unter Unsicherheit nicht lösen, da sie keine Entscheidungsregel beinhalten. Allerdings liefern sie Informationen darüber, ob die Unsicherheit einer Inputgröße für die Lösung des Entscheidungsproblems von Bedeutung ist oder nicht. Bei schwacher Reaktion der Outputgröße auf die Variation der Inputgrö- ßen kann man bei der Lösung des Entscheidungsproblems die Unsicherheit vernachlässigen und Investitionsverfahren verwenden, die von sicheren Erwartungen ausgehen. Wirkt sich die Variation einer oder mehrerer Inputgrößen erheblich auf die Vorteilhaftigkeitsentscheidung aus, so hat man mit Hilfe der Sensitivitätsanalyse zumindest die für die Entscheidung relevanten Inputgrößen herausgefiltert. Ein weiterer Vorteil der Sensitivitätsanalysen ist der relativ geringe Aufwand, zumal die Durchführung mit Hilfe der EDV erfolgen kann, was besonders bei Variation einer Vielzahl von Werten erforderlich ist. Nachteilig an den Sensitivitätsanalysen ist neben dem Fehlen einer Entscheidungsregel vor allem die Unterstellung, die einzelnen Größen seien stochastisch unabhängig voneinander. Bei Variation einer Größe geht man bei der Durchführung der Analyse davon aus, dass die nicht betrachteten Größen konstant bleiben. Diese Annahme ist ziemlich unrealistisch, da sich die Inputwerte in der Praxis nur selten unabhängig voneinander verändern. Absatzpreis p [EUR] 6 Die Berücksichtigung der Unsicherheit202 Ebenso kann bei Sensitivitätsanalysen keine Aussage über die Wahrscheinlichkeiten von Abweichungen gemacht werden.357 6.4.3 Risikoanalyse 6.4.3.1 Darstellung Unter dem Begriff Risikoanalyse werden die Verfahren zusammengefasst, die die Gewinnung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die interessierende Zielgröße (z.B. für den Kapitalwert) zum Ziel haben. Dies geschieht durch Überlagerung von geschätzten Wahrscheinlichkeitsverteilungen einzelner unsicherer Inputgrößen, so dass daraus eine einzige Verteilung für das Entscheidungskriterium der Investitionsrechnung abgeleitet werden kann. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung basiert i.d.R. auf subjektiven Vorstellungen und dient als Grundlage für die Entscheidungsfindung unter Berücksichtigung der Unsicherheit. Die Durchführung einer Risikoanalyse gliedert sich in die folgenden Schritte:358 (1) Auswahl der als unsicher anzusehenden Inputgrößen; (2) Schätzung subjektiver Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die in (1) festgelegten Inputgrößen; (3) Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten zwischen den als unsicher erachteten Inputgrößen; (4) Ermittlung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Outputgröße aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Inputgrößen; (5) Ergebnisinterpretation. Zu (1): Im ersten Schritt ist abzuwägen zwischen einer möglichst detaillierten Darstellung der Unsicherheit und einem noch vertretbaren Datenbeschaffungs- und Rechenaufwand. Je nach Prognosegenauigkeit und Empfindlichkeit des Zielwertes gegenüber Prognosefehlern sollte die Zahl der als unsicher anzusehenden Inputgrößen reduziert werden. Zu (2): Bei Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die unsicheren Inputgrößen kann von vornherein ein bestimmter Verteilungstyp, z.B. die Normalverteilung oder die Beta-Verteilung, für eine Inputgröße vorausgesetzt werden (a-priori-Verteilung). In diesem Fall beschränkt sich die Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf die Schätzung der Verteilungsparameter. Bei einer Normalverteilung wären dann nur noch der Erwartungswert und die Varianz zu schätzen; bei einer Beta-Verteilung würde es genügen, den häufigsten Wert sowie einen oberen und unteren Grenzwert zu bestimmen. Ist der Verteilungstyp nicht vorgegeben, so kann beispielsweise bei einer diskreten Verteilung die Ermittlung der Verteilungsfunktion durch Angabe der erwarteten Werte der Inputgröße und direkte Zuordnung 357 Zur Beurteilung der Sensitivitätsanalyse vgl. insbesondere Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 236-237; Götze, Uwe: Investitionsrechnung. 5. Aufl., Berlin u.a. 2006, S. 374-375. 358 Vgl. Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 245- 253 sowie mit ähnlichen Schrittfolgen Busse von Colbe, Walther/Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie. Band 3. 3. Aufl., Berlin 1990, S. 179-180; Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung. 12. Aufl., München 2009, S. 324-326; Perridon, Louis/Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung. 14. Aufl., München 2007, S. 115-117. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 203 von Wahrscheinlichkeiten zu diesen Werten erfolgen. In jedem Fall ist die Bestimmung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ein problematischer Schritt, der vor allem aufgrund der Einmaligkeit der meisten Investitionen i.d.R. nur anhand subjektiver Schätzungen vorgenommen werden kann.359 Zu (3): Die Berücksichtigung stochastischer Abhängigkeiten zwischen den unsicheren Inputgrößen kann zum einen über die Schätzung von Korrelationskoeffizienten für jeweils zwei Inputgrößen erfolgen. Zum anderen können sogenannte bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Inputgrößen eingeführt werden, deren Werteverlauf von dem einer anderen Inputgröße abhängig ist. Zu (4): Die Zusammenfassung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Inputgrößen zur Verteilung der Zielgröße kann auf zwei verschiedenen Wegen erfolgen: Das analytische Verfahren fasst die Einzelverteilungen rechnerisch zusammen (Faltung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen). Bei dieser Methode ergeben sich in komplexeren Fällen – beispielsweise bei unterschiedlichen Verteilungstypen der Inputgrößen oder auch bei einer Vielzahl von Inputgrößen – rechentechnische Schwierigkeiten, so dass restriktive Annahmen bezüglich der Verteilung der Zielgröße getroffen werden müssen. Setzt man voraus, dass die Zielgröße einer Normalverteilung genügt, so kann man diese Verteilung eindeutig aus den Erwartungswerten und den Varianzen der Inputgrößen bestimmen. Beim simulativen Verfahren360 wird in jedem Simulationsdurchlauf für jede Einflussgröße ein Wert durch Zufallsauswahl realisiert. Im Mittelpunkt steht dabei ein Zufallszahlengenerator, mit dessen Hilfe Zufallszahlen erzeugt werden, deren Verteilung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der jeweils betrachteten Inputgröße entspricht. Der Zielfunktionswert wird aus den Realisationen aller Einflussgrößen errechnet. Nach einer genügend großen Zahl von Simulationsdurchläufen erhält man eine ausreichend stabile Häufigkeitsverteilung des Zielwertes. An dieser Stelle kann das Verfahren beendet werden. Zu (5): Als Ergebnis der Risikoanalyse für ein Investitionsobjekt erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Objektergebnisses, z.B. des Kapitalwertes, indem man die durch Simulation ermittelten Zielwerte auf der Abszisse eines Koordinatensystems und die kumulierte relative Häufigkeit der aufgetretenen Zielwerte auf der Ordinate abträgt. Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man den Erwartungswert der Zielgröße unmittelbar ablesen. Außerdem kann man angeben, welcher Zielgrößenwert mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht, überschritten oder unterschritten wird. Interessant ist dabei die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein negatives Projektergebnis erzielt wird (Verlustwahrscheinlichkeit). Aussagen über die Streuung lassen sich anhand der Steilheit des Risikoprofils treffen. Je steiler die Kurve verläuft, desto geringer ist die Streuung und somit das mit der Durchführung der Investition verbundene Risiko. Das folgende Beispiel soll die mit einer Risikoanalyse verbundenen Schritte verdeutlichen. 359 Vgl. noch Götze, Uwe/Bloech, Jürgen: Investitionsrechnung. 2. Aufl., Berlin u.a. 1995, S. 341; aktuell nicht mehr enthalten. 360 Vgl. dazu Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 251-252 sowie Busse von Colbe, Walther/Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie. Band 3. 3. Aufl., Berlin 1990, S. 179. 6 Die Berücksichtigung der Unsicherheit204 Beispiel:361, 362 Für das Fallbeispiel aus Abschnitt 6.4.2.3 soll eine simulative Risikoanalyse durchgeführt werden. Im ersten Schritt müssen die als unsicher anzusehenden Inputgrößen ausgewählt werden. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass der Investor die Anschaffungsauszahlung A0, die Nutzungsdauer n, die Kapazität x, die Periodenfixkosten Af, die variablen Stückkosten kv (zur Vereinfachung werden die Materialkosten pro Stück, die Löhne und Lohnnebenkosten pro Stück, die Energiekosten pro Stück sowie die sonstigen variablen Stückkosten zusammengefasst) und den Absatzpreis p als relevante ungewisse Einflussgrößen für den Kapitalwert der Anlage I erachtet. Der Kalkulationszinssatz i wird mit 5 % als sichere Größe vorausgesetzt. Für die unsicheren Inputgrößen müssen Wahrscheinlichkeitsverteilungen geschätzt werden. Der Investor nimmt an, dass A0 im Intervall [60.000; 72.000] gleichverteilt ist; der Absatzpreis wird als im Intervall [5; 7] und die variablen Kosten als im Intervall [2,5; 4,2] gleichverteilt vorausgesetzt. Den übrigen unsicheren Größen ordnet der Investor diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu. In allen Perioden sollen für die unsicheren Inputgrößen die gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen gelten. Stochastische Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Inputgrößen bleiben unberücksichtigt. Die Daten sind zusammen mit den geschätzten Wahrscheinlichkeiten in Abbildung 45 enthalten. n p (n) x p (x) Af p (Af) 5 0,25 [7.000; 8.000[ 0,2 [6.000; 8.000[ 0,1 6 0,5 [8.000; 9.000[ 0,2 [8.000; 10.000[ 0,7 7 0,25 [9.000; 10.000[ 0,2 [10.000; 12.000[ 0,2 [10.000;11.000[ 0,2 [11.000; 12.000[ 0,2 Abbildung 45: Daten des Fallbeispiels für die Investitionssimulation Da die unsicheren Inputgrößen als stochastisch unabhängig voneinander angenommen wurden, folgt als nächster Schritt die Generierung von Zufallszahlen entsprechend den in Abbildung 45 angegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, mit deren Hilfe Realisationen der Inputgrößen simuliert werden. Aus den Realisationen der Inputgrößen wird in jedem Simulationsdurchlauf ein Kapitalwert für das Investitionsobjekt berechnet. Im Beispiel wurde das Simulationsverfahren nach 1.000 Durchläufen abgebrochen. 361 Entnommen aus Kußmaul, Heinz: Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitionsentscheidungen. In: Der Steuerberater 1996, S. 109-110. 362 Hinsichtlich der Vorgehensweise und der Darstellung der Ergebnisse vgl. insbesondere Adam, Dietrich: Investitionscontrolling. 3. Aufl., München/Wien 2000, S. 363-369 sowie Blohm, Hans/ Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 256-261; Busse von Colbe, Walther/Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie. Band 3. 3. Aufl., Berlin 1990, S. 181- 183; Perridon, Louis/Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung. 14. Aufl., München 2007, S. 117-120. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 205 Für die Auswertung werden die Ergebnisse aus den Simulationsdurchläufen zunächst verschiedenen Häufigkeitsklassen zugeordnet. Diese Zuordnung liefert das in Abbildung 46 dargestellte Histogramm. 0 20 40 60 80 100 120 - 85 .0 00 - 65 .0 00 - 45 .0 00 - 25 .0 00 - 5. 00 0 15 .0 00 35 . 00 0 55 . 00 0 75 . 00 0 95 . 00 0 11 5. 00 0 13 5. 00 0 15 5. 00 0 H äu fig ke it 00,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00% 70,00% 80,00% 90,00% 100,00% Häufigkeit Kumulierte Häufigkeit [%] Kapitalwert [EUR] Abbildung 46: Histogramm der simulativen Risikoanalyse Aus den absoluten Häufigkeiten, die sich für die einzelnen Häufigkeitsklassen ergeben, werden relative Wahrscheinlichkeiten errechnet, die die Grundlage für die Bestimmung einer Dichtefunktion für den Kapitalwert bilden (vgl. Abbildung 47). 0 2 4 6 8 10 12 - 85 .0 00 - 65 .0 00 - 45 .0 00 - 25 .0 00 - 5. 00 0 15 . 00 0 35 . 00 0 55 . 00 0 75 . 00 0 95 . 00 0 11 5. 00 0 13 5. 00 0 15 5. 00 0 W ah rs ch ei nl ic hk ei t[ % ] Kapitalwert [EUR] Abbildung 47: Dichtefunktion des Kapitalwerts H äu fig ke it it l t [ ] ä ierte ä ] W ah rs ch ei n lic hk ei t[ % ] rt [ 6 Die Berücksichtigung der Unsicherheit206 Das Risikoprofil ergibt sich, wenn die Verteilungsfunktion gebildet und entsprechend den prozentualen Werten bis auf 100 Prozent aufsummiert wird.363 Im Fallbeispiel hat das Risikoprofil das in Abbildung 48 zum Ausdruck kommende Aussehen. 0 20 40 60 80 100 -8 5. 00 0 -6 5. 00 0 -4 5. 00 0 -2 5. 00 0 -5 .0 00 15 .0 00 35 .0 00 55 .0 00 75 .0 00 95 .0 00 11 5. 00 0 13 5. 00 0 15 5. 00 0 Kapitalwert [EUR] W ah rs ch ei nl ic hk ei t[ % ] Abbildung 48: Risikoprofil des Fallbeispiels Das Risikoprofil lässt Aussagen darüber zu, mit welchem Maß an Risiko die Investition verbunden ist. Je steiler der Verlauf des Risikoprofils ist, desto geringer ist die Streuung der Kapitalwerte und somit das mit der Investition verbundene Risiko. Das Risikoprofil des Fallbeispiels ist recht flach und lässt ein relativ hohes Risiko vermuten, was durch die explizite Berechnung der Standardabweichung, die im Beispiel 42.952 EUR beträgt, belegt werden kann. Außerdem können aus den Ergebnissen der Simulation weitere signifikante Kennzahlen wie z.B. der Erwartungswert und die Verlustwahrscheinlichkeit berechnet werden. Der Erwartungswert des Kapitalwerts beträgt 16.838 EUR, die Verlustwahrscheinlichkeit ist mit ca. 37 % ziemlich groß. 6.4.3.2 Beurteilung der Risikoanalyse Die Risikoanalyse ermöglicht dem Investor die Behandlung komplexer Situationen, so dass er mit möglichst realitätsnahen Modellen arbeiten kann. Die Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zielgröße der Investitionsrechnung kann unter Berücksichtigung einer relativ großen Zahl von Einflussfaktoren, unterschiedlichen Datenkonstellationen und deren Wahrscheinlichkeiten sowie stochastischen Abhängigkeiten zwischen den Inputgrö- ßen erfolgen. Das Modell kann weiterhin ohne großen Aufwand an Änderungen der Datenkonstellation angepasst werden. Nachteilig ist jedoch der hohe Aufwand für die Datenerfassung, insbesondere für die subjektive Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Die Akzeptanz der Risikoanalyse wird durch eine zumeist ablehnende Haltung der Praxis gegenüber Wahrscheinlichkeitsschätzungen beeinträchtigt. 363 Vgl. diesbezüglich auch Adam, Dietrich: Investitionscontrolling. 3. Aufl., München/Wien 2000, S. 366. W ah rs ch ei nl ic hk ei t[ % ] italwert [EUR] 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 207 Ein weiterer Nachteil ist das Fehlen einer Entscheidungsregel: Die Risikoanalyse liefert lediglich zusätzliche Daten über das Investitionsobjekt. Die Entscheidung muss der Investor selbst treffen.364 6.4.4 Entscheidungsbaumverfahren 6.4.4.1 Darstellung Das Entscheidungsbaumverfahren dient der Lösung komplexer Probleme unter Unsicherheit. Es berücksichtigt, dass wichtige Entscheidungen in mehreren Stufen getroffen werden. Dabei kann zwischen der ursprünglichen Investitionsentscheidung und den Folgeentscheidungen, die die Vorteilhaftigkeit der ursprünglichen Alternative beeinflussen, differenziert werden. Der Unterschied im Vergleich zu den bisher behandelten Verfahren liegt in der möglichen Einbeziehung zustandsabhängiger Folgeentscheidungen, die im Falle des Eintritts bestimmter Umweltzustände zu treffen sind. Der Graph, mit dessen Hilfe ein derartiges, komplexes Entscheidungsfolgeproblem beschrieben werden kann, heißt Entscheidungsbaum. Mit Hilfe des Entscheidungsbaums wird das Problem durch den Einsatz verschiedener Methoden optimiert. Im Ergebnis kann die optimale der in Betracht gezogenen Alternativen ausgewählt werden. Jeder Pfad im Entscheidungsbaum vom ersten Entscheidungsknoten, dem Ursprung des Entscheidungsbaums, über verschiedene Zufallsereignisknoten zu den Endpunkten (Ergebnisknoten) stellt eine vollständige Entscheidung dar. Ziel des Verfahrens ist es, den optimalen Weg durch den Entscheidungsbaum zu finden. Die Formalstruktur eines Entscheidungsbaums ist in Abbildung 49 (Seite 208) dargestellt. Das Entscheidungsbaumverfahren gliedert sich in die folgenden Schritte:365 (1) Festlegung der Struktur des Entscheidungsbaums durch die Bestimmung des Planungszeitraums und der Entscheidungsalternativen sowie der möglichen Zustände in den einzelnen Zeitpunkten. (2) Ermittlung der weiteren entscheidungsrelevanten Daten: Bei einem Kapitalwertmodell sind für alle Entscheidungsalternativen und die jeweils möglichen Zustände die Anschaffungsauszahlungen, Nutzungsdauern, Liquidationserlöse, Absatzmengen und -preise sowie absatzmengenabhängige und -unabhängige Auszahlungen sowie der Kalkulationszinssatz zu bestimmen. Zusätzlich müssen den einzelnen Umweltzuständen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. (3) Bestimmung der optimalen Entscheidungsalternative zu Beginn des Planungszeitraums, wobei als Entscheidungskriterium i.d.R. der Erwartungswert des Kapitalwerts 364 Vgl. zur Kritik hinsichtlich der Risikoanalyse insbesondere Adam, Dietrich: Investitionscontrolling. 3. Aufl., München/Wien 2000, S. 368; Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 262-263; Busse von Colbe, Walther/Laßmann, Gert: Betriebswirtschaftstheorie. Band 3. 3. Aufl., Berlin 1990, S. 183-184; Perridon, Louis/Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung. 14. Aufl., München 2007, S. 120-121. 365 Vgl. dazu und zum Folgenden Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 264. 6 Die Berücksichtigung der Unsicherheit208 verwendet wird. Optimal ist diejenige Entscheidungsfolge, die den maximalen Erwartungswert des Kapitalwerts aufweist. t=0 t=1 t=2Periode 1 Periode 2 E Z Z R/E R/E R/E R R R R Z Z z z z z R R R e e z z z z z z e e Abbildung 49: Formalstruktur eines Entscheidungsbaums366 Dabei haben Kanten und Knoten die folgende Bedeutung: E: Entscheidungsknoten, d.h. Knoten, der ein Entscheidungsereignis charakterisiert; e: Kante, die eine Entscheidungsalternative repräsentiert; Z: Zufallsereignisknoten; z: Kante, die einen Umweltzustand repräsentiert, der aus dem Eintritt eines Zufallsereignisses resultiert; R: Ergebnisknoten; R/E: Knoten, der darstellt, dass ein Ereignis vorliegt und eine Entscheidung getroffen werden muss. Zur Bestimmung der erwartungswertmaximalen Alternative kann das von Magee entwickelte Rollback-Verfahren verwendet werden.367 Das Rollback-Verfahren nimmt ebenso wie die dynamische Programmierung eine Optimierung vom Prozessende her vor (Rekursion). 366 Vgl. Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 264 und Götze, Uwe: Investitionsrechnung. 5. Aufl., Berlin u.a. 2006, S. 384. 367 Vgl. Magee, John F.: Decision Trees for Decision Making. In: Harvard Business Review 1964, N° 4, S. 126-138; Magee, John F.: How To Use Decision Trees in Capital Investment. In: Harvard Business Review 1964, N° 5, S. 79-96. 6.4 Spezielle Methoden zur Erfassung der Unsicherheit 209 Für die zeitlich am weitesten in der Zukunft liegenden Entscheidungsalternativen werden die Erwartungswerte berechnet und für jeden Teilknoten die erwartungswertmaximale Alternative ermittelt. Nur diese Alternativen – die Rollback-Methode unterstellt einen risikoneutralen Investor – werden dann für die vorletzte Entscheidungsstufe in die Berechnung einbezogen. Diese Vorgehensweise wird so lange fortgeführt, bis der Beginn des Planungszeitraums erreicht und die zugehörige erwartungswertmaximale Entscheidungsalternative bestimmt ist. Neben dem Rollback-Verfahren können auch die vollständige Enumeration, die dynamische Programmierung sowie die gemischt-ganzzahlige lineare Programmierung als Lösungsverfahren herangezogen werden.368 6.4.4.2 Beurteilung des Entscheidungsbaumverfahrens Der Vorteil des Entscheidungsbaumverfahrens liegt in der klaren Formulierung des Entscheidungsproblems und der übersichtlichen Darstellung. Mit wachsender Anzahl zufallsabhängiger Inputgrößen wird der Entscheidungsbaum jedoch sehr schnell recht umfangreich, wodurch einerseits die Analyse des Entscheidungsbaums, also die Ermittlung der Optimallösung erschwert wird; andererseits kann dadurch auch die Datenermittlung sehr aufwändig werden. Außerdem müssen zur Anwendung des Verfahrens vereinfachende Voraussetzungen getroffen werden, über die der Investor, der anhand von Entscheidungsbäumen seine Entscheidung optimieren will, Kenntnis haben muss:369 ? Das Entscheidungsbaumverfahren ermöglicht nur die Betrachtung gleichartiger Entscheidungen, d.h., sowohl das eigentliche Entscheidungsproblem als auch die Folgeentscheidungen müssen Investitionsentscheidungen sein. ? Die Ergebnisverteilungen sind unabhängig von der getroffenen Entscheidung, d.h., die Entscheidungen beeinflussen den Zufallsmechanismus der Ergebnisse nicht. ? Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind diskret. ? Bei Anwendung des Rollback-Verfahrens wird Risikoneutralität unterstellt. ? Die relevanten Daten zur Kapitalwertbestimmung und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten müssen bis zum Ende des Planungszeitraums quantifiziert werden können. Blohm/Lüder/Schaefer empfehlen die Entscheidungsbaumanalyse insbesondere für Großprojekte, „die starke zeitliche Interdependenzen zu anderen Projekten aufweisen (oder die in zeitlich interdependente kleinere Projekte aufgespalten werden können wie z.B. Forschungsoder Entwicklungsprojekte) und deren Erfolg im wesentlichen von einem Zufallsereignis oder von einigen wenigen Zufallsereignissen abhängig ist“.370 368 Vgl. Kruschwitz, Lutz: Investitionsrechnung. 12. Aufl., München 2009, S. 338-341. 369 Vgl. Perridon, Louis/Steiner, Manfred: Finanzwirtschaft der Unternehmung. 14. Aufl., München 2007, S. 126. 370 Blohm, Hans/Lüder, Klaus/Schaefer, Christina: Investition. 9. Aufl., München 2006, S. 269-270. 6 Die Berücksichtigung der Unsicherheit210 6.5 Zusammenfassende Beurteilung Die Praxis misst dem Problem der Unsicherheitsberücksichtigung große Bedeutung bei.371 Eine Befragung bundesdeutscher Großunternehmungen aus dem Jahr 1985 ergab, dass fast alle der befragten Unternehmungen (99 %) die Unsicherheit in irgendeiner Weise berücksichtigen. Nicht alle Verfahren, die vorgestellt wurden, stoßen jedoch in der Praxis auf Akzeptanz (vgl. Abbildung 50). In der Praxis akzeptiert In der Praxis nicht akzeptiert Korrekturverfahren Sensitivitätsanalyse Verfahren zur Berücksichtigung der Unsicherheit bei Investitions entscheidungen Erwartungswert Entscheidungs baumverfahren Risikoanalyse Abbildung 50: Praxis- und Theorieverfahren zur Berücksichtigung der Unsicherheit372 Die Verbreitung der von der Praxis akzeptierten Methoden lässt sich einer jüngeren Umfrage, deren Ergebnisse im Jahr 1997 publiziert wurden, entnehmen (vgl. dazu Abbildung 51; Seite 211).373 Die Angaben erfolgen in Prozent, wobei die Summe über 100 Prozent liegt, da einige Unternehmungen mehrere Verfahren verwenden. Das Treffen einer Investitionsentscheidung auf der Grundlage von Erwartungswerten empfiehlt sich nur bei kleineren Investitionen, insbesondere wenn über mehrere kleinere Investitionen entschieden werden muss, deren Risiken und Chancen sich ganz oder teilweise kompensieren werden. Bei Großinvestitionen sollte zur Risikoberücksichtigung eine Methode herangezogen werden, die das mit der Investition verbundene Risiko explizit berücksichtigt. Korrekturverfahren, die ausschließlich die Risiken beachten und die mit der Investition verbundenen Chancen vernachlässigen, bieten sich bei größeren Investitionsprojekten an, um die möglichen Folgen eines Fehlschlags transparent zu machen. Der Investor kann er- 371 Vgl. dazu und zum Folgenden Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis. 4. Aufl., Herne/Berlin 1996, S. 173-174 und S. 206. 372 Modifiziert entnommen aus Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren in der Praxis. 4. Aufl., Herne/Berlin 1996, S. 173. 373 Vgl. Heidtmann, Dietmar/Däumler, Klaus-Dieter: Anwendung von Investitionsrechnungsverfahren bei mittelständischen Unternehmen – eine empirische Untersuchung. In: Buchführung, Bilanz, Kostenrechnung, Beilage 2/1997.