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13.8.1 Das Grundmodell nicht-erneuerbarer Ressourcen in:

Eberhard Feess, Andreas Seeliger

Umweltökonomie und Umweltpolitik, page 352 - 355

4. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4668-5, ISBN online: 978-3-8006-4365-3, https://doi.org/10.15358/9783800643653_352

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Vahlen – Allg. Reihe – Feess/Seeliger, Umweltökonomie und Unweltpolitik, 4. Aufl. Herstellung: Frau Deuringer Stand: 18.09.2013 Status: Imprimatur Seite 344 13 Ressourcenökonomie344 13.8 Exkurs: Eine etwas formalere Darstellung des Grundproblems: Die optimale Kontrolltheorie In den bisherigen Abschnitten gingen wir davon aus, dass das Optimierungsproblem des sozialen Planers bzw. der privaten Ressourcenbesitzer diskret dargestellt werden kann. In der ökonomischen Theorie wird die Aufgabe des optimalen Abbaus natürlicher Ressourcen dagegen immer stetig formuliert. Das dabei verwendete Konzept wollen wir im Folgenden für einfache Fälle erneuerbarer und nicht-erneuerbarer Ressourcen darstellen, weil erst dieses den Zugang zu der elaborierteren Theorie natürlicher Ressourcen ermög licht. Dabei gehen wir in den Abschnitten 13.8.1 und 13.8.2 vereinfachend davon aus, dass keine Abbaukosten existieren, weil wir ja schon in Abschnitt 13.4 gezeigt haben, dass die Einführung von Kosten das Problem im Kern unverändert lässt. Die anderen, in den vorhergehenden Abschnitten dargestellten Fälle (Abbaukosten und monopolistischer Ressourcenbesitzer) können analog behandelt werden. 13.8.1 Das Grundmodell nicht-erneuerbarer Ressourcen Wir betrachten zunächst den Fall nicht-erneuerbarer Ressourcen und gehen dabei von ei nem privaten Ressourcenbesitzer aus, der seinen Bestand im endlichen Zeitraum T konsu mieren möchte. In der stetigen Formulierung wird die Zielfunktion dann durch Gleichung (13.29) ausgedrückt: 0 ( ) ( ) T t it u y U y dt e = ∫ (13.29) Diese in der Volkswirtschaftslehre allgemein und in der Ressourcenökonomie speziell übliche Darstellung einer intertemporalen Zielfunktion gemäß (13.29) ist für betriebswirtschaftliche Leser/innen etwas ungewohnt, weist bei komplizierteren Problemen aber einige Vorteile in der Handhabung auf. Die gewöhnliche betriebswirtschaftliche Darstel lung, beispielsweise bei einer intertemporalen Gewinnmaximierung, wäre 0 ( ) ( ) . (1 ) T t t u y u y dt r = +∫ (13.30) Der entscheidende Unterschied in der Darstellung ist die unterschiedliche Interpretati on von i und r: Während r ein Periodenzinssatz ist, ist i ein infinitesimal kleiner Zinssatz, der zu jedem Zeitpunkt anfällt. In einem diskreten Modell könnten wir i beispielsweise als Zinsen interpretieren, die jeden Tag anfallen, während r am Ende eines Jahres gezahlt wird. Dabei lassen sich die beiden Darstellungen (13.29) und (13.30) allerdings ineinander überführen, weil es selbstverständlich stets einen stetigen Zinssatz i gibt, der zum gleichen Kapital am Ende eines Jahres führt wie ein einmalig anfallender Zinssatz r (schließlich haben die Banken zahlreiche Möglichkeiten, um potentielle Kreditnehmer zu verwirren, ohne das Ergebnis wirklich zu verändern). Aufgrund der Eigenschaften der Zahl e besteht folgender Zusammenhang zwischen i und r:29 29 Leser/innen, die sich der Eigenschaft von e nicht (mehr) vollends bewusst sind, können ihre Erinne rung besonders gut bei Chiang/Wainwright (2005) auffrischen. Vahlen – Allg. Reihe – Feess/Seeliger, Umweltökonomie und Unweltpolitik, 4. Aufl. Herstellung: Frau Deuringer Stand: 18.09.2013 Status: Imprimatur Seite 345 13.8 Exkurs: Eine etwas formalere Darstellung des Grund problems 345 (1 ) 1 bzw 1i ii ln r r e r e= + ⇒ = − . + = , (13.31) so dass die beiden Darstellungen also äquivalent sind.30 Analog zum diskreten Modell besteht die Zielsetzung nun in der Maximierung von (13.29), wobei als Nebenbedingung wieder die Bestandsrestriktion, diesmal in stetiger Schreibweise, zu beachten ist: 0 T ty dt y=∫ (13.32) Gleichung (13.32) drückt wieder aus, dass über den gesamten Zeitraum maximal die Menge y abgebaut bzw. konsumiert werden kann. Zur späteren Anwendung der optimalen Kontrolltheorie definieren wir nun eine Funktion z(t), die angibt, welche Menge der Ressource zu einem Zeitpunkt t noch verfügbar ist: 0 ( ) t tz t y y dt= − ∫ (13.33) (13.33) drückt lediglich aus, dass der zu einem Zeitpunkt t noch verfügbare Restbestand z(t) der Ressource die Differenz aus Anfangsbestand und bisherigem Konsum ist. Die Veränderung des Bestandes zu einem Zeitpunkt t (also dz(t)/dt) entspricht of fensichtlich der Entnahme bzw. dem Konsum zum Zeitpunkt t, wobei die Veränderung negativ ist (der Bestand nimmt ab). Dies drückt Gleichung (13.34) aus: ( ) t dz t y dt = − (13.34) Die Aufgabe besteht nun wie im diskreten Modell im ökonomischen Kern darin, die Zielfunktion (13.29) unter Berücksichtigung der Ressourcenbeschränkung zu maximieren. Zur Lösung solcher stetiger, intertemporaler Probleme hat sich die optimale Kontrolltheorie durchgesetzt, weil sie auch für etwas kompliziertere Aufgaben eine einfache und elegante Vorgehensweise erlaubt. Wir stellen die Methode hier lediglich dar und bemühen uns um eine Erläuterung der ökonomischen Logik der Resultate, ohne die mathematische Richtigkeit der optimalen Kontrolltheorie beweisen zu können.31 Von der Logik her besteht die Aufgabe ganz analog zu statischen Problemen in der Maximierung einer Zielfunktion unter Nebenbedingungen, wobei als „Komplikation“ die zeitliche Dimension hinzukommt. Zur Lösung des Problems wird im ersten Schritt eine sog. Hamilton-Funktion H definiert, die man vereinfachend als intertemporales Gegen stück zur Lagrangefunktion auffassen kann: ( ) ( ) ( ) ( )H t y z F t y z t f t y z, , , λ = , , + λ , , (13.35) Dabei gelten in unserem Fall folgende Bezeichnungen: ( ) ( ) t it u y F t y z e , , = (13.36) 30 Vgl. ebenso Endres/Querner (2000), S. 26. 31 Eine gehaltvolle und didaktisch hervorragende Einführung in die optimale Kontrolltheorie findet sich bei Chiang (1999), S. 159 ff. Vahlen – Allg. Reihe – Feess/Seeliger, Umweltökonomie und Unweltpolitik, 4. Aufl. Herstellung: Frau Deuringer Stand: 18.09.2013 Status: Imprimatur Seite 346 13 Ressourcenökonomie346 ( ) t dz f t y z y dt , , = = − (13.37) (13.36) ist also der diskontierte Nutzen zu einem Zeitpunkt t, der von der Zeit und dem Konsum abhängig ist. (13.37) gibt die Beziehung zwischen Abbau und Bestandsveränderung an. Die von dem Ressourcenbesitzer „kontrollierte“ Entscheidungsvariable yt nennt man Kontroll- und den sich daraus ergebenden Bestand z(t) Bestandsvariable. Ausgeschrieben für unseren Fall des Abbaus einer endlichen Ressource lautet (13.35) also ( ) ( )( )t tit u y H t y e = + λ − . (13.38) Der Vorteil einer Hamilton-Funktion ist, dass das Integral aus der Darstellung der Op timierungsaufgabe verschwindet. Zur Bestimmung der Lösung von (13.35) wird zunächst die partielle Ableitung der Hamilton-Funktion nach der Kontrollvariablen y gebildet und gleich Null gesetzt:32 !( ) 1 ( ) 0t it t t u yH t y y e ∂∂ = ⋅ −λ = ∂ ∂ (13.39) Daraus folgt analog zur diskreten Darstellung, dass im Optimum der diskontierte Grenznutzen33 dem Lagrangemultiplikator ( ),tλ d.h. dem Schattenpreis der Ressource entspricht: ( ) 1 ( ) it u y t y e ∂ ⋅ = λ ∂ (13.40) Zur weiteren Lösung werden die sog. kanonischen Gleichungen (13.41) und (13.42) aufgestellt, die Beziehungen zwischen der Zeit, der Kontroll- und der Bestandsvariablen ausdrücken:34 t dz H y dt ∂ = = − ∂λ (13.41) Die erste kanonische Gleichung (13.41) dz dt H/ = ∂ / ∂λ bezeichnet man als Bewegungsgleichung für die Zustandsvariable, weil sie angibt, wie sich die Zustandsvariable (in unserem Fall: der Ressourcenbestand z) in der Zeit drückt inhaltlich aus, dass die marginale Veränderung des Bestands in der Zeit der marginalen Veränderung der Hamilton-Funktion bei einer Veränderung des zeitabhängigen Lagrangemultiplikators entspricht. Den Term –yt in (13.41) erhält man aus Bildung von ,H∂ / ∂λ so dass sich in (13.41) analog zur gewöhnlichen, statischen Lagrangeoptimierung einfach wieder die „Nebenbedingung“ f(t, y, z) ergibt. 0 d H dt z λ ∂ = − = ∂ (13.42) 32 Die Methode, die erste Ableitung zu bilden und gleich Null zu setzen, versagt bei Randlösungen. Diese sind bei „normalen“ Nutzenfunktionen aber ausgeschlossen, so dass wir die Methode für unser Problem bedenkenlos anwenden können. 33 Die Diskontierung wird nun durch 1/(eit) ausgedrückt. 34 Der Nachweis der Gültigkeit der kanonischen Gleichungen (13.41) und (13.42) würde den Rahmen sprengen; vgl. zur Erläuterung Chiang (1999). Vahlen – Allg. Reihe – Feess/Seeliger, Umweltökonomie und Unweltpolitik, 4. Aufl. Herstellung: Frau Deuringer Stand: 18.09.2013 Status: Imprimatur Seite 347 13.8 Exkurs: Eine etwas formalere Darstellung des Grund problems 347 Der Ausdruck d dtλ / gibt an, wie sich der Schattenpreis der Ressource in der Zeit ver ändert; diese Veränderung entspricht gemäß der zweiten kanonischen Gleichung ( )d dt H zλ / = −∂ / ∂ stets der Veränderung der Hamilton-Funktion bei einer marginalen Änderung des Restbestandes. Das Ergebnis 0d dt H zλ / = −∂ / ∂ = erhält man einfach durch Bildung von H z−∂ / ∂ (z taucht in der Hamilton-Funktion gar nicht auf, so dass die Ableitung Null werden muss). Ökonomisch stellt (13.42) für uns nichts Neues dar, weil (13.42) ja besagt, dass die Veränderung des (prinzipiell zeitabhängigen) Lagrangemultiplikators Null ist. Dies entspricht genau dem Resultat unserer diskreten Modelle, dass der Schattenpreis der Ressource in allen Perioden dem diskontierten Grenznutzen entspricht und konstant ist. Die Methode der optimalen Kontrolltheorie besteht also darin, gemäß (13.35) • die Hamilton-Funktion zu definieren; • diese nach der Kontrollvariablen abzuleiten; • und aus den kanonischen Gleichungen dz dt H/ = ∂ / ∂λ und d dt H zλ / = −∂ / ∂ zusätzliche Resultate abzuleiten. Die Grundmathematik der Ressourcenökonomie ist also nicht so schwierig, dass man sich den Zugang zur Literatur davon verbauen lassen müsste. 13.8.2 Ein Beispiel für nicht-erneuerbare Ressourcen Im Folgenden möchten wir die Methode nochmals an einem Rechenbeispiel verdeutlichen, bei dem wir wieder vom Abbau einer nicht-erneuerbaren Ressource ohne Kosten ausge hen.35 Wir unterstellen, dass der Zeithorizont 20 Jahre beträgt und die Nutzenfunktion durch Gleichung (13.43) gegeben ist: 20 1 0 1 1 1 a tit U y e a −= −∫ (13.43) Die Nutzenfunktion garantiert positive und sinkende Periodennutzen, wobei wir die Diskontierung 1/(eit) vorangestellt haben. Entsprechend der erläuterten Methode lautet unsere Hamilton-Funktion 11 1( ) ( ) ( ) 1 a t tit H y z t y t y e a −, , , λ = + λ − . − (13.44) Ableiten und gleich Null setzen der Hamilton-Funktion führt zu 1 1 !1 1 ( ) 0 1 a tit t H a y t y e a − −∂ −= −λ = ⇒ ∂ − (13.45) 1 ( )atit y te − = λ . (13.46) (13.46) besagt wieder, dass der Grenznutzen des Periodenkonsums (in unserem Fall durch eine konkrete Nutzenfunktion ausgedrückt) dem Schattenpreis ( )tλ entsprechen muss. Die beiden kanonischen Gleichungen lauten 35 Das Beispiel ist aus Ströbele (1987) übernommen; die formale Darstellung ist allerdings etwas anders.

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References

Zusammenfassung

Umweltökonomie – neue Aspekte

Die rasanten Entwicklungen in der Umweltpolitik in den vergangenen Jahren führten zu umfangreichen Anpassungen in diesem beliebten Lehrbuch, die insbesondere die anwendungsorientierten Abschnitte betreffen. Hier wurden vor allem die Kapitel über die Umweltinstrumente (Auflagen, Steuern, Zertifikate), die Kosten-Nutzen-Analyse sowie die internationalen Umweltaspekte (bspw. Klimakonferenzen) grundlegend aktualisiert. Darüber hinaus enthält das Kapitel zur Ressourcenökonomie nun ebenfalls eine anwendungsbezogene Diskussion.

Umweltökonomie – die Schwerpunkte

- Spieltheoretische Grundlagen

- Theorie externer Effekte

- Auflagen

- Steuern und Abgaben

- Zertifikate

- Verhandlungslösungen

- Umwelthaftung

- Umwelttechnischer Fortschritt

- Internationale Aspekte des Umweltproblems

- Umweltpolitik bei asymmetrischer Informationsverteilung

- Kosten-Nutzen-Analyse

- Ressourcenökonomie

Zielgruppe

Studierende der Volks- und Betriebswirtschaftslehre an Universitäten und Hochschulen sowie interessierte Praktiker in Wirtschaft, Politik und Verwaltung

Prof. Dr. Eberhard Feess ist seit 2008 Professor für Managerial Economics an der Frankfurt School of Finance and Management. Zuvor hatte er Lehrstühle an der EBS, der Johann Wolfgang Goethe Universität Frankfurt und der RWTH Aachen.

Prof. Dr. Andreas Seeliger lehrt seit 2011 Volks- und Energiewirtschaftslehre an der Dualen Hochschule Baden-Württemberg Mosbach. Zuvor war er bei Frontier Economics, der Trianel European Energy Trading sowie dem Energiewirtschaftlichen Institut an der Universität zu Köln beschäftigt.