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10.5.2 Modellannahmen, Gewinn- und Nutzenmaximierung in:

Eberhard Feess, Andreas Seeliger

Umweltökonomie und Umweltpolitik, page 270 - 273

4. Edition 2013, ISBN print: 978-3-8006-4668-5, ISBN online: 978-3-8006-4365-3, https://doi.org/10.15358/9783800643653_270

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Vahlen – Allg. Reihe – Feess/Seeliger, Umweltökonomie und Unweltpolitik, 4. Aufl. Herstellung: Frau Deuringer Stand: 18.09.2013 Status: Imprimatur Seite 260 10 Internationale Aspekte des Umweltproblems260 Wohlfahrt ergeben. Es ist intuitiv einsichtig, dass diese über den nicht-kooperativen Steuersätzen liegen, weil alle Konsequenzen der Emissionen betrachtet werden. Bedenken Sie bitte, dass dieses Modell gegenüber den Erläuterungen des vorhergehenden Abschnitts insofern ein Rückschritt ist, als wir nun wieder von der Annahme vollständiger Konkurrenz ausgehen. 10.5.2 Modellannahmen, Gewinn- und Nutzenmaximierung Die Annahmen über Produktions-, Nutzen- und Schadstofffunktionen entsprechen denen, die bei der Integration externer Effekte in die traditionelle Außenhandelstheorie sehr häufig verwendet werden. Wir betrachten n Länder, die ihre jeweiligen Outputs mit Hilfe von Arbeit und Kapital erzeugen können. Emissionen modellieren wir als Kuppel produkte (d.h. als unerwünschte Nebenprodukte) des Outputs, die durch Arbeits- und Kapitaleinsatz vermindert werden können. Im Einzelnen treffen wir folgende Annahmen: 1. Die Produktion des Gutes i in Land j nennen wir yij. yij ist eine Funktion des Arbeitseinsatzes Aij1 und des Kapitaleinsatzes Kij1. Dabei stehen die ersten beiden Indizes für die Ware i und das Land j, während der Index 1 allgemein einen Einsatz eines Faktors in der Produktion bezeichnet (der Index 2 wird später für die Verminderung von Emissionen verwendet). Die Produktionsfunktion genügt den üblichen Anforderungen: 1 1( ) mitij ij ij ijy y A K= , (10.51) 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ij ij ij ij ij ij ij ij y y y y A K A K ∂ ∂ ∂ ∂ > ; > ; ≤ ; ≤ ∂ ∂ ∂ ∂ (10.52) 2. Wie erwähnt betrachten wir Emissionen als Kuppelprodukte des Outputs, die durch den Einsatz von Arbeit und Kapital in einer Vermeidungstechnologie vermindert werden können. Produktionsfaktoren, die zur Emissionsvermeidung eingesetzt werden, versehen wir mit dem dritten Index „2“, um sie gegenüber dem Einsatz zur Erhöhung der Produktion abzugrenzen. Wir treffen die übliche Annahme, dass die Emissionen im Output linear oder überproportional steigen. Die Grenzproduktivitäten von Arbeit und Kapital bei der Emissionsverminderung sind positiv und nicht-steigend: 2 2 1 1( ( )) mitij ij ij ij ij ij ijE E A K y A K= ; ; ; 2 2 0 0 0 undij ij ij ij ij ij E E E A K y ∂ ∂ ∂ < ; < ; > ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ij ij ij ij ij ij E E E A K y ∂ ∂ ∂ > ; > ; ≥ ∂ ∂ ∂ (10.53) Ferner wird definiertj ij i E E= .∑ (10.54) Vahlen – Allg. Reihe – Feess/Seeliger, Umweltökonomie und Unweltpolitik, 4. Aufl. Herstellung: Frau Deuringer Stand: 18.09.2013 Status: Imprimatur Seite 261 10.5 Eine formalere Darstellung grenzüber schreitender Umweltprobleme 261 3. Den grenzüberschreitenden Charakter der Emissionen definieren wir über Diffusionsmatrizen, die angeben, welcher Prozentsatz einer emittierten Einheit der Region k zur Immission in einem Land j wird: j ik kj k i I E d=∑∑ (10.55) Eik sind die Emissionen im Produktionsprozess der Ware i, die im Land k frei werden. dkj gibt den Prozentsatz dieser Emissionen an, der in das Land j geweht wird. Eikdkj sind demnach die Immissionen im Land j, die aus der Produktion der Ware i im Land k stammen. Wenn wir dies über i aufsummieren, erhalten wir die Immissionen in Land j, die aus Land k stammen. Summieren wir dies über alle Länder k, so erhalten wir die Immissionen in Land j.95 4. Die Umweltqualität U j im Land j hängt nicht nur von den Immissionen, sondern auch von länderspezifischen Gegebenheiten ab. Wir definieren daher 2 2 ( ) mit 0 0 ( ) j j j j j j j U U U U I I I ∂ ∂ = < ; ≤ . ∂ ∂ (10.56) 5. Die nationalen Wohlfahrten hängen annahmegemäß von den Konsummengen aller Waren und der Umweltqualität ab.96 Dabei unterstellen wir die üblichen Funktionsverläufe mit positiven, aber abnehmenden Grenznutzen: ( ) mitj j jijW W C U= ; 2 2 2 2 0 0 und 0 0 ( ) ( ) j j j j j j ij ij W W W W C U C U ∂ ∂ ∂ ∂ > ; > < ; < ∂ ∂ ∂ ∂ (10.57) 6. Als Restriktionen berücksichtigen wir, dass in allen Ländern die Arbeits- und Kapitalangebote exogen und beschränkt sind:97 1 2( ) j ij ij i A A A; ≤∑ (10.58) 1 2( ) j ij ij i K K K; ≤∑ (10.59) 7. Wir nehmen an, dass die Länder Außenhandel bei vollständiger Konkurrenz führen. Dies bedeutet, dass Produktion und Konsum einzelner Waren für einzelne Länder nicht identisch sein müssen. (10.60) drückt aus, dass insgesamt von keiner Ware mehr konsumiert als produziert werden kann: fü alle irij ij j j C y≤∑ ∑ (10.60) 95 Beachten Sie, dass in allen Ländern k auch das Land j selbst enthalten ist. 96 Gewinne müssen wir nicht berücksichtigen, wenn wir von der Annahme vollständiger Konkurrenz ausgehen. 97 Die explizite Formulierung von Arbeits- und Kapitalangebotsfunktionen aus dem nutzenmaximierenden Kalkül der Faktorbesitzer würde an den zentralen Resultaten nichts ändern. Faktormobilität schließen wir aus. Vahlen – Allg. Reihe – Feess/Seeliger, Umweltökonomie und Unweltpolitik, 4. Aufl. Herstellung: Frau Deuringer Stand: 18.09.2013 Status: Imprimatur Seite 262 10 Internationale Aspekte des Umweltproblems262 8. In unserem Modell wollen wir überprüfen, welche Steuersätze die Umweltbehörde vorgeben muss, damit das Verhalten der Konsumenten und der Produzenten zur Maximierung der sozialen Wohlfahrt führt. Aus dieser Fragestellung folgt, dass wir das Verhalten der Unternehmen und der Haushalte explizit modellieren müssen. Da wir wie stets von Gewinn- und Nutzenmaximierung ausgehen, müssen wir also Gewinn- und Nutzenfunktionen aufstellen. Dies machen wir noch im Abschnitt „Modellannahmen“, da wir die Resultate über das gewinn- und nutzenmaximierende Verhalten der Haushalte in allen Situationen (kooperative und nicht-kooperative Lösung) benötigen. Gij bezeichnen wir als Gewinn bei der Produktion der Ware i im Land j.98 pij sei der Outputpreis der Ware i im Land j, r j der Zinssatz im Land j, wj der Lohnsatz im Land j und tj der Steuersatz im Land j. Daraus folgt als Gewinn unmittelbar 1 2 1 2( ) ( ) j j j ij ij ij ij ij ij ij ijG p y r K K w A A t E= − + − + − . (10.61) Zur Ableitung der Gewinnmaximierungsbedingungen müssen wir beachten, dass die Produktion Yij eine Funktion des Arbeits- und Kapitaleinsatzes ist. Ferner sind die Emissionen Eij vom Output Yij und vom Arbeits- und Kapitaleinsatz in der Vermeidungstechnologie abhängig, so dass sich (10.62) ergibt: 1 1 1 2( ) ( ) j ij ij ij ij ij ijG p y A K r K K= ; − + 1 2 2 2 1 1( ) ( ( )) j j ij ij ij ij ij ij ij ijw A A t E A K y A K− + − ; ; ; (10.62) Dies ergibt als Bedingungen erster Ordnung: 1 1 1 0ij ij ij ijj jij ij ij ij ij G y E y p r t K K y K ∂ ∂ ∂ ∂ = − − = ∂ ∂ ∂ ∂ (10.63) 1 1 1 0ij ij ij ijj jij ij ij ij ij G y E y p w t A A y A ∂ ∂ ∂ ∂ = − − = ∂ ∂ ∂ ∂ (10.64) 2 2 0ij ijj j ij ij G E r t K K ∂ ∂ = − − = ∂ ∂ (10.65) 2 2 0ij ijj j ij ij G E w t A A ∂ ∂ = − − = ∂ ∂ (10.66) Wenn Sie sich die Gleichungen (10.63) bis (10.66) einmal zu Gemüte führen, so werden Sie feststellen, dass diese letztlich lediglich die allgegenwärtige Bedingung „Grenzerlös = Grenzkosten“ ausdrücken. 9. Die Nutzenmaximierung der Haushalte formulieren wir über eine Lagrangeoptimierung: Die Konsumgütermengen müssen so nachgefragt werden, dass die Wohlfahrt zu jeder gegebenen Umweltqualität maximiert wird. Dabei ist als Restrik tion zu beachten, dass die Konsumgütermenge im Land j maximal der Summe aus Arbeits- 98 Zwar wissen wir, dass bei vollständiger Konkurrenz alle Gewinne Null sind, aber dies gilt ja nur bei der optimalen Faktorkombination, zu deren Herleitung wir die Gewinnfunktionen benötigen. Vahlen – Allg. Reihe – Feess/Seeliger, Umweltökonomie und Unweltpolitik, 4. Aufl. Herstellung: Frau Deuringer Stand: 18.09.2013 Status: Imprimatur Seite 263 10.5 Eine formalere Darstellung grenzüber schreitender Umweltprobleme 263 einkommen, Kapitaleinkommen und Steuereinnahmen99 entsprechen kön nen. Mit den bereits bekannten Notationen führt dies zu ( ) ( ) mitj j j j j j j j jij yj ij ijL W C U p C A w K r t E= ; −λ − − − j j j j j j jY A w K r t E= + + . (10.67) Als Bedingung erster Ordnung ergibt sich 0 für i bis n j j yj ij ij ij L W p C C ∂ ∂ = −λ = . ∂ ∂ (10.68) 10.5.3 Nicht-kooperative Lösung Wir haben nun genügend Vorarbeiten geleistet, um die Steuersätze für die nichtkooperative Lösung ermitteln zu können. Dabei gehen wir definitionsgemäß davon aus, dass jedes Land seine nationale Wohlfahrt maximiert. Diese nationale Wohlfahrtsmaximierung formulieren wir als Lagrange-Ansatz, in den als Nebenbedingungen die im vorhergehenden Abschnitt erläuterten Funktionen eingehen. Die Indizes bei den Lagrangemultiplikatoren drücken aus, worauf sich der jeweilige Lagrangemultiplikator inhaltlich bezieht. Beachten Sie bitte, dass wir das nicht-kooperative Nash-Gleichgewicht bestim men, so dass wir eigentlich explizit Reaktionsfunktionen formulieren müssten. Dies ist aber nicht erforderlich, da die hergeleiteten Bedingungen ja so allgemein sind, dass sie für jedes Land gelten. Anders formuliert: Wir erhalten schließlich ein System mit n Steuersätzen (ein Steuersatz für jedes Land), welches wir dann explizit lösen könnten. 1 1 1( ) ( ( ) ) j j j ij yij ij ij ij ij i L W C U y A K y= , + λ ; −∑ 1 1 2 2( ( ( ) ))ijE ij ij ij ij ij ij ij i E E y A K A K+ λ − ; ; ;∑ ( ( ) ) ( )j j j j j kUj Ij jj kj k j U I U I E d E d ≠ +λ − + λ − −∑ 1 2 1 2( ) ( ) j j Aj ij ij Kj ij ij i i A A A K K K+λ − + + λ − +∑ ∑ ( )i ij ij i j j y C+ λ −∑ ∑ ∑ (10.69) Als Bedingung erster Ordnung folgen: 1 0 j yij i ij L y ∂ = −λ + λ = ∂ (10.70) 1 0 j j i ij ij L W C C ∂ ∂ = −λ = ∂ ∂ (10.71) 99 Dabei wird vorausgesetzt, dass die Steuereinnahmen an die Haushalte fließen.

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References

Zusammenfassung

Umweltökonomie – neue Aspekte

Die rasanten Entwicklungen in der Umweltpolitik in den vergangenen Jahren führten zu umfangreichen Anpassungen in diesem beliebten Lehrbuch, die insbesondere die anwendungsorientierten Abschnitte betreffen. Hier wurden vor allem die Kapitel über die Umweltinstrumente (Auflagen, Steuern, Zertifikate), die Kosten-Nutzen-Analyse sowie die internationalen Umweltaspekte (bspw. Klimakonferenzen) grundlegend aktualisiert. Darüber hinaus enthält das Kapitel zur Ressourcenökonomie nun ebenfalls eine anwendungsbezogene Diskussion.

Umweltökonomie – die Schwerpunkte

- Spieltheoretische Grundlagen

- Theorie externer Effekte

- Auflagen

- Steuern und Abgaben

- Zertifikate

- Verhandlungslösungen

- Umwelthaftung

- Umwelttechnischer Fortschritt

- Internationale Aspekte des Umweltproblems

- Umweltpolitik bei asymmetrischer Informationsverteilung

- Kosten-Nutzen-Analyse

- Ressourcenökonomie

Zielgruppe

Studierende der Volks- und Betriebswirtschaftslehre an Universitäten und Hochschulen sowie interessierte Praktiker in Wirtschaft, Politik und Verwaltung

Prof. Dr. Eberhard Feess ist seit 2008 Professor für Managerial Economics an der Frankfurt School of Finance and Management. Zuvor hatte er Lehrstühle an der EBS, der Johann Wolfgang Goethe Universität Frankfurt und der RWTH Aachen.

Prof. Dr. Andreas Seeliger lehrt seit 2011 Volks- und Energiewirtschaftslehre an der Dualen Hochschule Baden-Württemberg Mosbach. Zuvor war er bei Frontier Economics, der Trianel European Energy Trading sowie dem Energiewirtschaftlichen Institut an der Universität zu Köln beschäftigt.