9: Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen in:

Günter Bamberg, Franz Baur, Michael Krapp

Arbeitsbuch zur betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre, page 185 - 239

3. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4523-7, ISBN online: 978-3-8006-4360-8, https://doi.org/10.15358/9783800643608_185

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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9. Kapitel Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Vorbemerkungen In den folgenden Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen ist – mit Ausnahme der Aufgabe 9.16* – davon auszugehen, dass die jeweils betrachteten Entscheidungsträger risikoneutral sind und sich dementsprechend (sofern Zufallseinflüsse vorhanden sind) am Erwartungswert orientieren. Deshalb wurde in den Problembeschreibungen auf die Angabe der konkreten Risikonutzenfunktionen verzichtet. Außerdem lassen sich alle Aufgaben dieses Kapitels – wieder abgesehen von Aufgabe 9.16* – mithilfe von Entscheidungsbäumen lösen, so dass die wesentliche Arbeit in der Erstellung des jeweiligen Baumes und der Bestimmung der optimalen Politik (mithilfe von Rückwärts- und Vorwärtsrechnung) besteht. Ist der Entscheidungsbaum konstruiert, so lassen sich die im Rahmen der Rückwärtsrechnung erforderlichen Rechenschritte (Erwartungswertbildung bei Zufallsknoten, Maximierung /Minimierung bei Entscheidungsknoten) in der Regel direkt anhand des Entscheidungsbaumes durchführen; es genügt dann, die jeweiligen Rechenergebnisse (als Knotenbewertungen) im Entscheidungsbaum zu notieren und sodann daraus (im Zuge der Vorwärtsrechnung) die optimale Politik abzulesen. Dementsprechend sollen die im Lösungsteil ab Seite 195 wiedergegebenen, teils sehr ausführlichen diesbezüglichen Erläuterungen (inklusive der jeweiligen Interpretationen der Stufenentscheidungen) „nur“ das Zustandekommen der Knotenbewertungen im Baum dokumentieren – und sind keineswegs als „Pflichtbestandteil“ einer vollständigen Lösung zu verstehen; diese besteht in der Regel aus dem Entscheidungsbaum (inklusive der darin notierten Zahlen aus der Rückwärtsrechnung) sowie aus der daraus abgelesenen optimalen Politik. Sofern ein deterministisches Entscheidungsproblem (also ohne Zufalls-einflüsse) vorliegt, kann die optimale Politik interpretiert werden als eine Pfeilfolge, die vom Entscheidungsknoten der ersten Stufe 1 zu einem Baumende führt. Diese Pfeilfolge wurde dann im jeweiligen Entscheidungsbaum fett hervorgehoben. Enthält der Entscheidungsbaum dagegen auch Zufallsknoten, so umfasst die optimale Politik im Allgemeinen auch (von den Realisationen der Zufallseinflüsse abhängende) bedingte Anweisungen – und ist somit keine Pfeilfolge mehr. Dementsprechend wurde in solchen Aufgaben auf die Eintragung der optimalen Politik im Entscheidungsbaum verzichtet. 184 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Aufgabe 9.1 Ein Fuhrunternehmer sucht nach einer ausgabenminimalen Politik für den Ersatz der Lastwagen seines Fahrzeugparks. Einmal jährlich, jeweils am Jahresende, entscheidet er für jedes Fahrzeug, ob er es beibehält oder durch ein neues Fahrzeug ersetzt. Zurzeit haben alle Fahrzeuge im Fuhrpark ein Alter von 4 Jahren. Außerdem plant der Unternehmer, nach 3 Jahren auf Spezialtransporte umzustellen und dann alle Lastwagen zu verkaufen. Die Ausgaben für einen neuen Lastwagen betragen 90 000 Euro; die Ausgaben für den jährlichen Unterhalt (eines Fahrzeugs) sowie die Wiederverkaufspreise für verschieden alte Fahrzeuge können nachfolgender Tabelle entnommen werden: Alter Unterhalt Verkaufspreis 1 13 000 60 000 2 21 000 40 000 3 24 000 30 000 4 27 000 22 500 5 30 000 15 000 6 36 000 9 000 7 45 000 5 000 8 55 000 2 000 Das angegebene „Alter“ bezieht sich auf das Alter des Lastwagens am Jahresende. Ist beispielsweise ein Fahrzeug 5 Jahre alt, so könnte es entweder sofort zu 15 000 Euro verkauft werden oder im sechsten Jahr mit Unterhaltsausgaben in Höhe von 36 000 Euro weiterbetrieben werden. Gehen Sie vereinfachend davon aus, dass der Fuhrpark nur ein Fahrzeug umfasst, zeichnen Sie für diesen Fall den Entscheidungsbaum für die nächsten drei Jahre und bestimmen Sie damit die optimale Politik. Aufgabe 9.2 Mark Etting, Vertriebsvorstand der Telecom Germania, plant eine Anzeigenkampagne zur Belebung des Geschäfts mit Multifunktionsgeräten. Derartige Geräte basieren auf Mobiltelefonen mit Farbdisplay und Internetfähigkeit und bieten darüber hinaus unter anderem Zusatzfunktionen wie Faxempfang und Terminkalender. Angestrebte Zielgruppe für diese hochpreisigen Artikel sind leitende Angestellte und Selbstständige. Aus Voruntersuchungen ist bekannt, dass ein typischer Angehöriger dieses Personenkreises entweder den Fokus, die Handelswoche oder das Börsenblatt konsumiert; die Anzahl Personen, die zwei oder mehr dieser Medien liest, sei vernachlässigbar gering. Mark Etting plant, insgesamt vier Anzeigen zu schalten, die auf die drei Zeitschriften derart aufgeteilt werden sollen, dass die Gesamtreichweite ma- 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen 185 ximal ist. Die Reichweiten pro Zeitschrift können der nachfolgenden Tabelle entnommen werden. Anzahl Anzeigen 1 2 3 4 Fokus 40 000 60 000 80 000 90 000 Handelswoche 50 000 80 000 90 000 90 000 Börsenblatt 60 000 70 000 75 000 80 000 Die angegebenen Reichweiten beziffern die erreichte Leserzahl der jeweiligen Zeitschrift in Abhängigkeit von der Anzahl Ausgaben, in denen eine Anzeige geschaltet wird; da die Personen, die zwei oder mehr dieser Medien konsumieren, vernachlässigt werden können, lässt sich die Gesamtreichweite durch Addition der Reichweiten bezüglich der einzelnen Zeitschriften berechnen. Planen Sie für Mark Etting die Anzeigenkampagne. Aufgabe 9.3 Die TelecomGermania segmentiert denMarkt für Telekommunikationsdienstleistungen in drei Teilmärkte, nämlich die jugendlichen Handynutzer (Teilmarkt 1), die mittelständischen Geschäftskunden (Teilmarkt 2) sowie die Konzernkunden (Teilmarkt 3). Im Landkreis Kaltenburg stehen insgesamt sechs Vertreter zur Verfügung, die jeweils einem der drei Teilmärkte zuzuweisen sind. Dabei können alle sechs Vertreter als gleichwertig angesehen werden, so dass es bei der Verteilung nur darum geht, wie viele (und nicht, welche) Vertreter den einzelnen Teilmärkten zugeordnet werden. Im Rahmen der Entscheidungsvorbereitung wurde die Unternehmensberatung Schlau & Berger beauftragt, für jeden Teilmarkt j die Umsatzfunktion fj .xj / zu ermitteln, die den Umsatz (in 1 000 Euro) im Teilmarkt j bei Einsatz von xj Vertretern in diesem Teilmarkt im Landkreis Kaltenburg angibt. Die Untersuchung hat folgende Umsatzfunktionen ergeben: f1.x1/ D ´ 100 C 50 x1 für 0 5 x1 5 1 100 C 30 x1 für 2 5 x1 f2.x2/ D ´ 150 für 0 5 x2 5 2 50 C 80 x2 für 3 5 x2 f3.x3/ D ´ 50 C 50 x23 für 0 5 x3 5 2 150 C 50 x3 für 3 5 x3 Unter der Bedingung, dass jeder Teilmarkt von mindestens einem Vertreter betreut werden soll, ermittle man die optimale Aufteilung der sechs Vertreter. 186 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Aufgabe 9.4 Braumeister Maximilian Maisch ist als Leiter der Wartungsabteilung der Kaltenburger Brauerei zuständig für die Instandhaltung der dortigen Sudanlagen. Jährlich muss er zu Jahresbeginn entscheiden, ob die Anlagen erneuert oder ohne Erneuerung für ein weiteres Jahr betrieben werden sollen. Auf Grund zunehmenden Verschleißes wachsen die jährlichen Betriebskosten (inklusive der Kosten, die infolge von Wartung, Produktionsausfall etc. entstehen) quadratisch mit dem Alter der Sudanlage (gerechnet in Jahren seit der letzten Erneuerung) an; genauer gilt: Bt D .2C at 1/2, wobei Bt die Betriebskosten im Jahr t und at 1 das Alter der Sudanlage zu Beginn des Jahres t (und damit im Zeitpunkt der Erneuerungsentscheidung), gemessen in Jahren seit der letzten Erneuerung, bezeichnet. Entscheidet sich Maximilian Maisch für eine Erneuerung der Sudanlage, so fallen zusätzlich 6 Geldeinheiten an Erneuerungskosten an. Bestimmen Sie mithilfe dieser Daten die optimale Erneuerungsstrategie von Maximilian Maisch für die ersten vier Jahre ab Anschaffung der Sudanlage, wenn sein Ziel in der Minimierung der (nicht diskontierten) Gesamtkosten besteht. Aufgabe 9.5 Peter Pfiffig ist Prokurist des Pfannenherstellers P. Fanny AG. Im Zuge der Produktionsplanung muss Herr Pfiffig die in den nächsten vier Perioden jeweils herzustellende Stückzahl der Spezialgarpfanne „Küchenfee“ festlegen. Im Rahmen der Entscheidungsvorbereitung hat Herr Pfiffig prognostiziert, wie sich in den nächsten vier Perioden t D 1; : : : ; 4 die Nachfrage dt nach demModell Küchenfee entwickeln wird; er geht davon aus, dass in der ersten Periode 7 000 Stück, in der zweiten Periode 6 000 Stück, in der dritten Periode 9 000 Stück und in der vierten Periode 5 000 Stück abgesetzt werden können. Auf Grund produktionstechnischer Restriktionen kann die P. Fanny AG in jeder Periode jeweils nur höchstens ein Los von Modell „Küchenfee“ herstellen, wobei als Losgrößen nur 5 000 Stück oder 10 000 Stück infrage kommen. In Abhängigkeit der Losgröße entstehen Produktionskosten in Höhe von Kt .xt / D ´ 12 000C 1 000 t C 3 xt ; falls xt > 0 0; falls xt D 0; wobei Kt die Produktionskosten in Periode t und xt 2 ¹0I 5 000I 10 000º die Losgröße in Periode t bezeichnen. Sind in einer Periode mehr Stück „Küchenfee“ vorhanden, als in der gleichen Periode abgesetzt werden können, so wird die nicht abgesetzte Menge bis zum Periodenende gelagert; der daraus resultierende Lagerendbestand 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen 187 stimmt mit dem Anfangsbestand zu Beginn der Folgeperiode überein. Ist dieser Anfangsbestand zu Beginn der Periode t größer als null, so entstehen in Periode t pauschal Lagerkosten in Höhe von c > 0 (gemessen in Tausend Euro), sonst (falls der Lagerbestand zu Periodenbeginn gleich null ist) fallen in dieser Periode keine Lagerkosten an. Bei seiner Planung geht Peter Pfiffig von einem konstanten Lagerkostensatz aus, das heißt c hängt nicht von der Höhe des Lagerbestandes ab, sondern nur davon, ob dieser Bestand größer als null ist. Bei der Planung der Produktionsmengen hat Herr Pfiffig darüber hinaus zu beachten, dass die Losgröße 10 000 aus technischen Gründen nicht in zwei unmittelbar aufeinander folgenden Perioden produziert werden kann, der Lagerbestand nicht negativ werden darf und dass zu Beginn der ersten Periode bereits 2 000 Stück des Modells „Küchenfee“ auf Lager liegen. Bestimmen Sie in Abhängigkeit des Lagerkostensatzes c die optimale Politik der P. Fanny AG, wenn das Ziel darin besteht, die Summe der (nicht diskontierten) Gesamtkosten, bestehend aus Lager- und Produktionskosten, der vier Perioden zu minimeren. Aufgabe 9.6 Die Kraut & Rüben AG plant, ein neues biologisches Pflanzenschutzmittel anzubieten. Um entsprechende Fertigungskapazitäten bereit zu stellen, ist der Bau einer neuen Fabrikationsanlage erforderlich. Diesbezüglich stehen zwei Alternativen, nämlich der Bau einer großen oder der Bau einer kleinen Anlage, zur Auswahl. Die große Anlage würde 3Mio. Euro, die kleine Anlage 1;5 Mio. Euro kosten. Hinsichtlich der Nachfrageentwicklung unterscheidet die Geschäftsführung der Kraut & Rüben AG zwischen der (infolge einführender Werbemaßnahmen tendenziell höheren) „Anfangsnachfrage“ und der sich auf längere Sicht einstellenden „Dauernachfrage“. Beide können „hoch“ oder „gering“ sein, wobei nur die große Anlage in der Lage ist, die hohe Nachfrage zu befriedigen. Bei einer kleinen Fabrikationsanlage müsste im Fall einer hohen Anfangsnachfrage eine Erweiterung der Anlage in Erwägung gezogen werden; ihr Bau würde zusätzlich (diskontierte) Kosten in Höhe von 2Mio. Euro verursachen. Nach Ansicht der Marktforschungsabteilung der Kraut & Rüben AG ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 2 3 für eine hohe Anfangsnachfrage zu rechnen. Ist die Anfangsnachfrage hoch, wird die Dauernachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 4 ebenfalls hoch sein. Dagegen wird die Dauernachfrage mit Sicherheit gering sein, wenn die Anfangsnachfrage gering war. 188 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Sofern sich die Geschäftsführung für die große Anlage entschließt, können, falls Anfangs- und Dauernachfrage hoch sind, Rückflüsse erwirtschaftet werden, deren Ertragswert (das ist die Summe der Barwerte der Rückflüsse) 8 Mio. Euro beträgt; ist nur die Anfangs-, nicht aber die Dauernachfrage hoch, so beträgt der Ertragswert der Rückflüsse 4 Mio. Euro; ansonsten (das heißt falls Anfangs- und Dauernachfrage gering sind) wird nur ein Ertragswert in Höhe von 1Mio. Euro erreicht. Entscheidet sich die Geschäftsführung für die kleine Anlage, so wird sie im Fall einer geringen Anfangsnachfrage auf die Erweiterungsmaßnahme verzichten und einen Ertragswert in Höhe von 3 Mio. Euro erzielen. Ist die Anfangsnachfrage hoch und verzichtet die Geschäftsführung dennoch auf die Erweiterung, so kann sie eine gegebenenfalls hohe Dauernachfrage nicht bedienen und wird in beiden Fällen (also bei hoher wie bei geringer Dauernachfrage) einen Ertragswert in Höhe von 2;5Mio. Euro erwirtschaften. Ist dagegen die Anfangsnachfrage hoch und wird die Erweiterung durchgeführt, so realisiert die Kraut & Rüben AG bei hoher Dauernachfrage einen Ertragswert in Höhe von 6Mio. Euro und bei geringer Dauernachfrage einen Ertragswert in Höhe von 2Mio. Euro. Erstellen Sie einen Entscheidungsbaum und bestimmen Sie die optimale Politik der Kraut & Rüben AG. Aufgabe 9.7 Willi Weggle, frischgebackener Konditormeister in einer süddeutschen Großstadt, möchte sich auf die Herstellung und den Vertrieb von Nougat spezialisieren. Nougat ist ein Masse, die entweder durch Zerquetschen von Mandel- oder Nusskrokant erzeugt wird (Rezept 1), oder die man aus gerösteten Nüssen oder Mandeln und Puderzucker herstellen kann (Rezept 2). Eine ausgezeichnete Qualität erhält man mit Rezept 1, das allerdings nur in erwärmten Räumen mit ebenfalls erwärmten Geräten bei besonders niedriger Luftfeuchtigkeit gelingt. Ist es in den Herstellungsräumen zu feucht oder stimmt die Luftund die Gerätetemperatur nicht, so trennt sich das Öl der Nüsse oder Mandeln vom Zucker, und die Herstellung ist gescheitert. Rezept 2 stellt geringere Ansprüche an die Produktionsbedingungen, führt aber zu einer schlechteren Nougatqualität, die am Markt nur zu geringeren Preisen abgesetzt werden kann. Konkret nimmt Willi Weggle an, dass gemäß Rezeptur 1 hergestelltes Nougat zu einem Preis von 3 Euro / 100 g verkauft werden kann, gemäß Rezeptur 2 hergestelltes Nougat dagegegen nur zu einem Preis in Höhe von 2 Euro / 100 g. Die Kosten für Produktion und Zutaten werden dagegen bei beiden Rezepten mit 1 Euro / 100 g als gleich hoch veranschlagt. 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen 189 Auf Grund seiner Meisterausbildung ist Herrn Weggle bekannt, dass es bezüglich der Produktionsbedingungen im Wesentlichen drei typische Konstellationen gibt, wobei Konstellation 1 mit der Wahrscheinlichkeit 0;4 auftritt und die anderen beiden jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0;3. Je nachdem, welche dieser Konstellationen vorliegt, ergeben sich andere Wahrscheinlichkeiten für das Gelingen der beiden oben diskutierten Rezepturen: Liegt Konstellation 1 vor, so wird Rezeptur 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 4 gelingen, Rezeptur 2 dagegen mit Sicherheit misslingen; tritt Konstellation 2 ein, so gelingt Rezeptur 2 mit Sicherheit, während bei Rezeptur 1 die Wahrscheinlichkeiten für Gelingen und Misslingen gleich groß sind; im Fall von Konstellation 3 schließlich werden beide Rezepte jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1 3 gelingen. Gelingt ein Rezept, so kann das Nougat zu den oben genannten Preisen verkauft werden, misslingt das Rezept, so ist die Ware unverkäuflich, und es entsteht ein Verlust in Höhe der Produktionskosten. a) Skizzieren Sie den Sachverhalt mithilfe eines Entscheidungsbaumes. b) Welche Rezeptur sollte Willi Weggle verwenden, und welchen Gewinn lässt diese erwarten? c) Alternativ bestehe nun für Herrn Weggle die Möglichkeit, zugekauftes Nougat zu vertreiben. Der Einkaufspreis beträgt 2;50 Euro / 100 g für Nougat nach Rezeptur 1 und 1;80 Euro / 100 g für Nougat nach Rezeptur 2. Für welche Alternative (selbst herstellen oder zukaufen, Rezept 1 oder 2?) sollte sich Herr Weggle entscheiden? Aufgabe 9.8 Anleger Robert T. Offline verfügt über 200 Tausend Euro, die er zwei Jahre lang anlegen möchte. Im ersten Jahr stehen ihm hierfür zwei Wertpapiere 1, 2 mit einjähriger Laufzeit zur Verfügung, deren Kauf jeweils 200 Tausend Euro erfordern würde. Die daraus resultierenden Endwerte nach einem Jahr sind risikobehaftet: Wertpapier 1 führt entweder zu einem Endwert in Höhe von 260 Tausend Euro oder zu einem Endwert in Höhe von 205 Tausend Euro, wobei beide Fälle gleich wahrscheinlich sind. Legt Robert T. Offline sein Geld in Wertpapier 2 an, so erzielt er nach einem Jahr entweder 240 Tausend Euro oder 220 Tausend Euro; wieder werden beide Fälle als gleich wahrscheinlich eingestuft. Im zweiten Jahr kann Robert T. Offline zwischen zwei anderen Wertpapieren 3, 4 (wieder mit einjähriger Laufzeit) wählen, bei denen ebenfalls jeweils nur zwei unterschiedliche Endwerte am Jahresende als möglich erachtet werden: bei Wertpapier 3 sind entweder 300 Tausend Euro oder 280 Tausend Euro möglich, bei Wertpapier 4 entweder 250 Tausend Euro oder 200 Tausend Euro. Für beide Wertpapiere gilt, dass die Wahrscheinlichkeit für den 190 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen größeren der beiden Endwerte 20% beträgt. Wertpapier 3 kostet 230 Tausend Euro, Wertpapier 4 kostet 210 Tausend Euro. Statt Wertpapiere zu kaufen, kann Robert T. Offline Geldmittel auch auf ein mit 3% p.a. verzinstes Sparbuch einzahlen; eine Kreditaufnahme ist indes nicht möglich. a) Bilden Sie obige Problemstellung in einem Entscheidungsbaum ab. Bezeichnen Sie dabei mit ai die Anlage in Wertpapier Nr. i (i D 1; : : : ; 4); b die Einzahlung der zum jeweiligen Zeitpunkt (eventuell nach Wertpapierkauf) verfügbaren Geldmittel auf das Sparbuch. b) Ermitteln und beschreiben Sie die optimale(n) Strategie(n) von Robert T. Offline mithilfe der Rückwärtsrechnung. Aufgabe 9.9 Die Schall & Rauch Alarmtechnik GmbH hat eine neue biosensorische Alarmanlage entwickelt und steht nun vor der Entscheidung, dieses Produkt am Markt einzuführen oder auf dessen Einführung zu verzichten. Es besteht die Möglichkeit, zur Entscheidungsfindung einen Markttest durchzuführen; die Entscheidung kann aber auch ohne Markttest getroffen werden. Beim Markttest, dessen Durchführung Kosten in Höhe von 100 000 Euro verursachen würde, sind zwei Testergebnisse denkbar, nämlich ein positives beziehungsweise ein negatives; a priori wird davon ausgegangen, dass das positive Testergebnis mit Wahrscheinlichkeit 0,6 eintritt. Die Einführung der biosensorischen Alarmanlage ist mit Kosten in Höhe von 150 000 Euro verbunden. Der durch die Einführung erzielbare Gesamterlös beträgt 500 000 Euro, falls das Produkt zielgruppengerecht vermarktet wird, anderenfalls sind nur 250 000 Euro erzielbar. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Alarmanlage zielgruppengerecht vermarktet wird, beträgt ohne Markttest 0,5, bei positivem Ergebnis des Markttests 0,75 und bei negativem Testergebnis 0,1. Verzichtet die Schall & Rauch Alarmtechnik auf die Markteinführung, so entstehen weder Kosten noch Erlöse. a) Stellen Sie das Problem als Entscheidungsbaum dar. b) Geben Sie die optimale Politik für das Entscheidungsproblem an. c) Wie groß müsste die a-priori-Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis sein, damit sich die Durchführung des Markttests lohnt? 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen 191 Aufgabe 9.10 Die Eder OHG setzt zurzeit jährlich 2 000 Echtholz-Puppenschränke ab, die sie zu Herstellkosten in Höhe von 4 Euro pro Stück selbst erstellt. Den Verkaufspreis setzt die Eder OHG einmal jährlich, jeweils zu Jahresbeginn fest. Auf Grund langjähriger Erfahrungen weiß der Geschäftsführer der Eder OHG, Johann Eder, dass der jeweilige Jahresabsatz im Jahr t von drei Faktoren abhängt, nämlich vomAbsatz des Vorjahres t 1, vom für das Jahr t festgelegten Verkaufspreis sowie von einem nicht kontrollierbaren Zufallseinfluss. Als Handwerksmeister will sich Johann Eder nicht allzu lange mit Planungsaufgaben beschäftigen, weshalb er vereinfachend unterstellt, dass nur zwei unterschiedliche jährliche Absatzmengen, 1 000 Stück oder 2 000 Stück, möglich sind. Außerdem zieht er nur zwei alternative Verkaufspreise, 10 Euro oder 12 Euro pro Stück, in Betracht. Legt die Eder OHG den Verkaufspreis für Jahr t auf 10 Euro pro Stück fest, so beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Absatz in Höhe von 2 000 Stück in diesem Jahr 75%, falls der Absatz im Vorjahr 1 000 war, ansonsten (falls also der Vorjahresabsatz 2 000 war) ist sie fünf Prozentpunkte höher. Wird dagegen ein Verkaufspreis von 12 Euro pro Stück vorgegeben, so wird mit 80% Wahrscheinlichkeit ein Vorjahresabsatz von 1 000 Stück beibehalten, während die Chancen für einen Absatz von 1 000 beziehungsweise 2 000 Stück im Jahr t bei Vorjahresabsatz 2 000 Stück gleich hoch sind. a) Erstellen Sie den Entscheidungsbaum für die nächsten zwei Jahre. b) Bestimmen Sie die optimale Politik der Eder OHG, wenn Sie die Maximierung des undiskontierten Gesamtgewinns betreibt. c) Wie groß ist der erwartete Gesamtgewinn der Eder OHG bei Einsatz der in b) bestimmten optimalen Politik? Aufgabe 9.11 WalterWurm, Schreinermeister und Komplementär der Holz-WurmKG, nutzt für das Zuschneiden von Brettern eine Sägemaschine, die leider auf Grund ihres mittlerweile hohen Alters relativ häufig ausfällt. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass maximal ein Defekt pro Woche auftreten kann. Fällt die Maschine in einer Woche aus, so entstehen Kosten in Höhe von 500 Euro, anderenfalls kann die Holz-Wurm KG in dieser Woche einen Erlös in Höhe von 400 Euro erwirtschaften. Ob die Sägemaschine ausfällt, ist zufallsabhängig. Die Wahrscheinlichkeit für einen Ausfall in der jeweils betrachteten Woche hängt davon ab, ob die Sägemaschine in der Vorwoche ausgefallen ist und ob zu Beginn der betrachteten Woche eine Inspektion stattgefunden hat. Es liegt im Ermessen vonWalter Wurm, ob er eine Inspektion vorsieht oder nicht, und er kann diese Entscheidung für jede einzelne Woche separat treffen. Jede Inspektion verursacht Kosten in Höhe von 300 Euro. 192 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Verzichtet Walter Wurm auf die Inspektion, so wird die Sägemaschine, wenn sie in der Vorwoche nicht ausgefallen ist, mit Wahrscheinlichkeit 0,2 auch in der darauffolgenden Woche nicht ausfallen. Ist dagegen die Säge in der Vorwoche ausgefallen, so sind Ausfall und Nicht-Ausfall in der darauffolgenden Woche gleich wahrscheinlich. Wird die Inspektion durchführt, so fällt die Sägemaschine, wenn sie in der Vorwoche nicht ausgefallen ist, mit Sicherheit auch in der darauffolgenden Woche nicht aus. Ansonsten beträgt die Ausfallwahrscheinlichkeit für die darauffolgende Woche 0,4. Unterstellen Sie einen Planungshorizont von zwei Wochen und gehen Sie davon aus, dass die Sägemaschine in der letzten Woche vor Beginn des Planungszeitraumes nicht ausgefallen ist. a) Stellen Sie das Entscheidungsproblem graphisch dar. b) Ermitteln Sie die optimale Politik. c) Bestimmen Sie für die kommenden zwei Wochen den erwarteten Gewinn bei Verfolgung der optimalen Politik. Aufgabe 9.12 Betrachten Sie erneut das in der Aufgabe 9.11 beschriebene Planungsproblem. Es ist nun davon auszugehen, dass die Sägemaschine in der letzten Woche vor Beginn des Planungszeitraumes ausgefallen ist. Abgesehen von dieser Modifikation gilt die Problembeschreibung der Aufgabe 9.11 unverändert weiter. a) Erstellen Sie für das modifizierte Problem einen Entscheidungsbaum. b) Ermitteln Sie die optimale Politik. c) Bestimmen Sie für die kommenden zwei Wochen den erwarteten Gewinn bei Verfolgung der optimalen Politik. Aufgabe 9.13 Handwerksmeister Harry Harmlos möchte sich an einer Ausschreibung seiner Heimatstadt beteiligen. Ihm ist bekannt, dass es genau einenMitbewerber gibt und dass dieser nur eine der drei möglichen Preisforderungen 100 000 Euro, 150 000 Euro oder 200 000 Euro stellt. Nehmen Sie im Folgenden vereinfachend an, dass auch Harry Harmlos genau einen dieser drei Beträge nennen wird. Die Ausschreibung sieht vor, dass der billigste Anbieter den Zuschlag erhält; ist dieser nicht eindeutig, so entscheidet das Los. Verlangen also Harry Harmlos und sein Mitbewerber den gleichen Preis, so wird Harmlos mit 50% Wahrscheinlichkeit den Zuschlag erhalten. 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen 193 Bezüglich des tatsächlich vom Konkurrenten verlangten Preises geht Harry Harmlos von folgender (a-priori-)Einschätzung aus: Die Wahrscheinlichkeiten, dass der Wettbewerber 100 000 Euro beziehungsweise 200 000 Euro fordert, sind gleich groß und in der Summe 40%. Bei Durchführung des Auftrages würden Harry Harmlos Kosten in Höhe von 120 000 Euro entstehen, ansonsten (wenn er den Zuschlag nicht erhält) wäre sein Gewinn gleich null. a) Bestimmen Sie, eventuell mithilfe eines Entscheidungbaumes, den Angebotspreis, der den erwarteten Gewinn von Harry Harmlos maximiert. b) Stadtrat Siegfried Schmierig entscheidet über die Auftragsvergabe. Unter Umständen ist er bereit, Harry Harmlos gegen gewisse Gefälligkeiten – wie etwa kostenlose Reparaturmaßnahmen an Schmierigs Eigentumswohnung – vorab über den Angebotspreis des Mitbewerbers zu informieren und bei einem Patt der Angebote den Losentscheid so zu manipulieren, dass Harmlos den Zuschlag mit Sicherheit erhält. Wie viel dürfen Harry Harmlos die „gewissen Gefälligkeiten“ maximal kosten, damit er sich im Vergleich zu a) besser stellt? Aufgabe 9.14* Diplom-Ingenieur Daniel Dreistein konstruiert in seiner Freizeit unkonventionelle Haushaltsgeräte. Von seiner neuesten Erfindung, einem akkubetriebenen Picknick-Toaster, ist er derart begeistert, dass er eine professionelle Vermarktung erwägt. Der erwartete Gewinn im Fall einer Vermarktung hängt von der sich einstellenden Nachfrage ab. Ist diese hoch, so rechnet Dreistein mit einem Gewinn in Höhe von 1 000 000 Euro, sonst (also bei geringer Nachfrage) mit einem Verlust in Höhe von 3 000 000 Euro. Bereits angefallene („versunkene“) Entwicklungskosten bezieht Dreistein nicht in sein Kalkül ein und kalkuliert demnach für den Fall eines Verzichts auf die Markteinführung mit einem Gewinn in Höhe von null. Auf Grund mangelnder Erfahrung auf dem relevanten Markt fällt es Daniel Dreistein schwer, die Chancen seines Picknick-Toasters korrekt einzuschätzen; er vermutet, dass die (a-priori-)Wahrscheinlichkeit für eine hohe Nachfrage doppelt so groß ist wie die (a-priori-)Wahrscheinlichkeit für eine geringe Nachfrage. Zur Präzisierung seines Informationsstandes kann Daniel Dreistein eine Expertise der Unternehmensberatung Schlau & Berger anfertigen lassen. Diese würde 100 000 Euro kosten, ist aber nur eingeschränkt verlässlich: Mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% stufen Schlau & Berger eine tatsächlich hohe Nachfrage als „gering“ ein und mit Wahrscheinlichkeit 30% eine tatsächlich geringe Nachfrage als „hoch“. Klären Sie für Daniel Dreistein, ob er Schlau & Berger mit der Anfertigung der Experise beauftragen und ob er seinen Picknick-Toaster vermarkten soll. 194 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Aufgabe 9.15* Konrad Knobel ist Kandidat in der Fernsehshow „Millionenquiz“. Dieses Quiz läuft folgendermaßen ab: Der Quizmaster stellt Herrn Knobel eine Frage und bietet ihm drei Antwortalternativen a; b; c an, von denen genau eine richtig ist. Nachdem sich der Kandidat für eine Alternative entschieden hat, streicht der Quizmaster eine der beiden falschen Antwortalternativen – jedoch auf keinen Fall die vom Kandidaten zuvor genannte Alternative – und erlaubt dem Kandidaten, seine ursprüngliche Entscheidung zu revidieren, das heißt zur anderen der beiden nach Streichung verbleibenden Alternativen zu wechseln. a) Zunächst ist davon auszugehen, dass Herr Knobel die richtige Antwort auf die ihm gestellte Quizfrage nicht kennt und er alle drei angebotenen Alternativen als gleichermaßen plausibel erachtet. Er nimmt deshalb an, dass jede Antwortalternative mit der gleichen (subjektiven) Wahrscheinlichkeit in Höhe von jeweils 1 3 korrekt ist. Klären Sie mithilfe eines Entscheidungsbaumes, ob Herr Knobel in dieser Situation von der Option, die ursprüngliche Entscheidung zu revidieren, Gebrauch machen sollte. b) Auch in diesem Teil ist sich Herr Knobel bezüglich der korrekten Antwort nicht sicher, erachtet aber eine der drei Alternativen als „wahrscheinlicher“, ordnet dieser eine subjektive Wahrscheinlichkeit in Höhe von p (mit p > 1 3 ) zu und wählt diese im Rahmen seiner ersten Entscheidung aus; die anderen beiden Alternativen stuft Herr Knobel als gleichermaßen wahrscheinlich ein. Wie sehr muss Herr Knobel von seiner ursprünglichen Entscheidung überzeugt sein (gemessen mit der Wahrscheinlichkeit p), damit er diese nicht revidiert? Aufgabe 9.16* Herr Ring verfügt über einen künstlich angelegten Teich, in dem er Anfang Dezember 2002 (im Zeitpunkt t D 0) eine Population speziell gezüchteter Forellen mit einem Gesamtgewicht von 840 kg ausgesetzt hat. Diese spezielle Forellensorte zeichnet sich durch eine hohe Wachstumsrate aus: Die Population verdoppelt sich innerhalb eines Jahres. Ist also der Bestand zu Beginn von Jahr t , gemessen ab Dezember 2002, gegeben durch ´t 1 (D Bestand in kg am Ende des Vorjahres), so wird bis Jahresende ein Bestand in Höhe von ´t D 2 ´t 1 erreicht – sofern zwischenzeitlich keine Forellen gefangen wurden. Lösungen zu Kapitel 9 195 Ab 2003 will Herr Ring drei Jahre lang jedes Jahr t D 1; : : : ; 3 im Dezember eine bestimmte Menge Forellen xt (gemessen in kg) fangen und im Weihnachtsgeschäft zu einem Preis von 9 Euro pro kg verkaufen. Am Ende des dreijährigen Planungshorizonts will Herr Ring in den Ruhestand gehen; der Forellenbestand darf deshalb bis zum Zeitpunkt t D 3 komplett abgefischt sein. Die Zielsetzung von Herrn Ring besteht in der Maximierung der Funktion U D 3X tD1 p yt ; wobei yt den Umsatz im Jahr t bezeichnet. (Die Verwendung der Wurzelfunktion kann dabei als Risikoaversion interpretiert werden.) Wie viel kg Forellen sollte Herr Ring in jedem der drei Jahre optimalerweise fangen (und verkaufen)? Lösungen zu Kapitel 9 Lösung zu Aufgabe 9.1 Im folgenden Entscheidungsbaum sind die möglichen Entscheidungen des Fuhrunternehmers in den nächsten drei Jahren zusammengestellt. Die Knotennummern geben jeweils das Jahr der Stufenentscheidung an; sind in einem Jahr unterschiedliche Entscheidungssituationen möglich (dies ist in den Jahren 2 und 3 der Fall), so wurden die Nummern der Entscheidungsknoten dieses Jahres um einen Buchstaben (a,. . . ,d) ergänzt. Die Pfeilbewertungen ergeben sich direkt aus den Daten der Aufgabenstellung. So errechnet sich beispielsweise die Bewertung des Pfeils 2a ! 3b folgendermaßen: In der Entscheidungssituation 2a ist der betrachtete Lastwagen fünf Jahre alt (denn er war in 1 vier Jahre alt und wurde nicht ersetzt), wird also nach fünf Jahren ersetzt, was zu einem Verkaufserlös in Höhe von 15 000 Euro führt. Diesem stehen 90 000 Euro für den Kauf des Ersatzfahrzeugs sowie dessen Unterhalt (im dann ersten Einsatzjahr) in Höhe von 13 000 Euro gegenüber, so dass insgesamt eine Ausgabe in Höhe von 15 000 90 000 13 000 D 88 000 Euro resultiert. An den Endknoten schließlich wurden die jeweiligen Verkaufserlöse am Ende des dreijährigen Planungszeitraums notiert. Die Höhe dieser Erlöse hängt vom jeweiligen Alter des dann verkauften Fahrzeugs ab und kann direkt der Problemstellung entnommen werden. 196 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen 3d 3c 3b 3a 2b 2a 1 80 500 ersetzen 3 0 00 0 be ha lte n 43 000 ersetzen 21 00 0 be ha lte n 88 000 ersetzen 36 00 0 be ha lte n 43 000ersetzen 21 0 00beh alte n 63 000ersetzen 24 0 00beh alte n 43 000ersetzen 21 0 00beh alte n 94 000ersetzen 45 0 00beh alte n 60 000 40 000 60 000 30 000 60 000 40 000 60 000 5 000 34 000 19 000 6 000 19 000 69 000 15 000 95 500 Im Zuge der Rückwärtsrechnung werden zunächst die optimalen Entscheidungen zu Beginn des dritten Jahres, das heißt in den Entscheidungsknoten 3a ,. . . , 3d , bestimmt: Wegen max¹5 000 45 000I 60 000 94 000º D max¹ 40 000I 34 000º D 34 000 sollte der Lastwagen in Situation 3a ersetzt werden. Dagegen sollte der Fuhrunternehmer das Fahrzeug in der Situation 3b (sowie in der identischen Situation 3d ) behalten, denn es gilt max¹40 000 21 000I 60 000 43 000º D 19 000. Gleiches gilt offensichtlich wegen max¹30 000 24 000I60 000 63 000º D 6 000 für Situation 3c . Lösungen zu Kapitel 9 197 Zu Beginn des zweiten Jahres sind die Entscheidungen 2a beziehungsweise 2b zu treffen. Für 2a gilt max¹ 34 000 36 000I 19 000 88 000º D 69 000, das heißt, es sollte der Lastwagen ersetzt werden. Und auf Grund von max¹6 000 21 000I 19 000 43 000º D 15 000 sollte das Fahrzeug in Entscheidungssituation 2b behalten werden. Schließlich ist noch die Entscheidung im ersten Jahr, das heißt im Knoten 1 , zu klären: max¹ 69 000 30 000I 15 000 80 500º D 95 500 impliziert, dass der Unternehmer den Lastwagen im ersten Jahr ersetzen sollte. Die Vorwärtsrechnung ergibt dann folgende – im Entscheidungsbaum mit dickeren Pfeilen kenntlich gemachte – optimale Politik des Fuhrunternehmers: Er sollte das Fahrzeug sofort (zu Beginn des ersten Jahres) ersetzen und das Ersatzfahrzeug dann drei Jahre lang nutzen (das heißt kein Ersatz im zweiten und im dritten Jahr). Lösung zu Aufgabe 9.2 Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird unterstellt, dass Mark Etting die jeweils zu schaltende Anzahl Anzeigen in folgender Reihenfolge der Zeitschriften bestimmt: Zuerst wird sie für den Fokus (Knoten 1 ), dann für die Handelswoche (Knoten 2a bis 2d , je nach Entscheidung in Knoten 1 ) und zuletzt für das Börsenblatt ermittelt. In diesem Zusammenhang sind drei Aspekte zu beachten: Auf Grund der Bedingung, dass insgesamt vier Anzeigen geschaltet werden sollen, ist nach den Entscheidungen bezüglich der Anzahl Anzeigen in Fokus und Handelswoche auch die Anzahl der Anzeigen im Börsenblatt festgelegt. In den Knoten 2a bis 2d wird also sowohl über die Anzeigen in der Handelswoche als auch im Börsenblatt entschieden. Dies berücksichtigt der Entscheidungsbaum (Seite 199), indem die entsprechenden Pfeile mit Tupeln .y; ´/ bewertet werden, wobei y die Anzahl Anzeigen in der Handelswoche und ´ die Anzahl Anzeigen im Börsenblatt angibt. Schaltet die Telecom Germania vier Anzeigen im Fokus, so sind Entscheidungen bezüglich der Anzahl Anzeigen in der Handelswoche und im Börsenblatt hinfällig, da diese gleich null sein müssen (weil insgesamt genau vier Anzeigen geschaltet werden). Grundsätzlich ist zu beachten, dass in einer Zeitschrift auch keine Anzeige geschaltet werden kann. Somit bestimmt Mark Etting in der ersten Stufe (Fokus) eine Anzahl Anzeigen x 2 ¹0I : : : I 4º und in der zweiten Stufe (Handelswoche) eine Anzahl Anzeigen y 2 ¹0I : : : I 4 xº; die Anzahl Anzeigen im Börsenblatt ist dann 198 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen gemäß ´ D 4 x y implizit festgelegt. Die daraus resultierenden Reichweiten können wie folgt der in der Problemstellung angegebenen Tabelle entnommen und im Entscheidungsbaum auf der nächsten Seite festgehalten werden: In der Zeile „Fokus“ bestimmt man (im Fall x > 0) den Wert aus der gemäß x festgelegten Spalte und notiert diesen als Bewertung des entsprechenden, in Knoten 1 beginnenden Pfeils (im Fall x D 0 ist die Pfeilbewertung gleich null). Der Zeile „Handelswoche“ der angegebenen Tabelle wird der Wert aus der gemäß y festgelegten Spalte und der Zeile „Börsenblatt“ der Wert aus der gemäß ´ festgelegten Spalte entnommen, die beiden Zahlen addiert und die Summe im Entscheidungsbaum neben den jeweiligen Endknoten notiert. Schaltet Mark Etting etwa zwei Anzeigen im Fokus und jeweils eine in der Handelswoche und dem Börsenblatt, so ergibt sich eine Gesamtreichweite in Höhe von 60 000C 50 000C 60 000 D 170 000. Im Rahmen der Rückwärtsrechnung wird zunächst die Entscheidung bezüglich der Anzahl der im Fokus zu schaltenden Anzeigen als gegeben betrachtet und – in Abhängigkeit dieser Entscheidung – die jeweils optimale Folgeentscheidung bezüglich der in der Handelswoche und dem Börsenblatt zu schaltenden Anzeigen ermittelt: Wegen max¹80 000I 125 000I 150 000I 90 000º D 150 000 ist Mark Etting in der Situation 2a (in der auf Anzeigen im Fokus verzichtet wird) indifferent zwischen den beiden Alternativen „je zwei Anzeigen in der Handelswoche und im Börsenblatt“ und „drei Anzeigen in der Handelswoche und eine Anzeige im Börsenblatt“. Hat sich Mark Etting dagegen für genau eine Anzeige im Fokus entschieden (Situation 2b ), so sollte er wegen max¹75 000I 120 000I 140 000I 90 000º D 140 000 zwei Anzeigen in der Handelswoche und eine im Börsenblatt schalten. Die beste Folgeentscheidung in Situation 2c (zwei Anzeigen im Fokus) besteht darin, jeweils eine Anzeige in der Handelswoche und im Börsenblatt zu schalten, denn es gilt max¹70 000I 110 000I 80 000º D 110 000. Sollen schließlich drei Anzeigen im Fokus erscheinen (Situation 2d ), so ist auf Anzeigen in der Handelswoche zu verzichten und eine Anzeige im Börsenblatt zu schalten. Nun kann die Entscheidung bezüglich der Anzahl Anzeigen im Fokus, das heißt im Knoten 1 , getroffen werden: max¹150 000C 0I 140 000C 40 000I 110 000 C 60 000I 60 000 C 80 000I 90 000º D 180 000 impliziert, dass eine Anzeige im Fokus erscheinen sollte. Daraus ergibt sich folgende optimale Politik: Die Telecom Germania sollte je eine Anzeige im Fokus und im Börsenblatt und zwei Anzeigen in der Handelswoche platzieren. Lösungen zu Kapitel 9 199 2d 2c 2b 2a 1 x D 4 90 000 x D 3 8 0 0 0 0 x D 2 60 000 x D 1 40 000 x D 0 0 .y; ´/ D .1; 0/ .y; ´ / D .0; 1/ .y; ´/ D .2; 0/ .y; ´/ D .1; 1/ .y; ´/ D .0; 2/ .y; ´/ D .3; 0/ .y; ´/D .2; 1/ .y; ´ / D .1; 2/ .y ; ´ / D .0 ; 3 / .y; ´/ D .4; 0/ .y; ´/D .3; 1/ .y; ´/ D .2; 2/ .y; ´/ D .1; 3/ .y ; ´ / D .0 ; 4 / 90 000 50 000 60 000 80 000 110 000 70 000 90 000 140 000 120 000 75 000 90 000 150 000 150 000 125 000 80 000 60 000 110 000 140 000 150 000 180 000 200 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Lösung zu Aufgabe 9.3 Zunächst sei festgehalten, dass auf Grund der Bedingung, dass jeder Teilmarkt von mindestens einem Vertreter betreut werden soll, de facto nurmehr drei Vertreter zu verteilen sind. In jeden Teilmarkt können deshalb höchstens vier Vertreter gelangen. Setzt man die möglichen Anzahlen xj D 1; 2; 3 oder 4 von Vertretern für Teilmarkt j in die Umsatzfunktionen fj (j D 1; : : : ; 3) ein, so erhält man folgende Werte: Umsatzfunktion Anzahl f1 f2 f3 1 150 150 100 2 160 150 250 3 190 290 300 4 220 370 350 Bei der Konstruktion des Entscheidungsbaumes auf der nächsten Seite wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit als erste Stufenentscheidung die Festlegung der Anzahl Vertreter im Teilmarkt 1 und als zweite Stufenentscheidung die Festlegung der Anzahl Vertreter im Teilmarkt 2 angenommen. Die Bestimmung der Anzahl Vertreter x3 im dritten Teilmarkt stellt keine selbstständige Entscheidung dar, da diese Zahl auf Grund der Bedingung x1Cx2C x3 D 6mit x1 und x2 eindeutig festgelegt ist. Insofern liegt ein Entscheidungproblem mit zwei Stufenentscheidungen vor, wobei die Stufenentscheidung der zweiten Stufe der Allokation der noch zu verteilenden Anzahl Vertreter auf die Teilmärkte zwei und drei entspricht. Analog zu Aufgabe 9.2 wird diese Allokation im Entscheidungsbaum als Tupel .x2; x3/ notiert. Die an den Endknoten notierten Zahlen geben die bei Zugrundelegung der dem Zweig entsprechenden Allokation der sechs Vertreter auf die Teilmärkte resultierenden Umsätze f2.x2/ C f3.x3/ an, wobei die Summanden fj .xj / (j D 2; 3) obiger Tabelle entnommen werden. Die im Teilmarkt 1 resultierenden Umssatzzahlen f1.x1/ werden dagegen als Pfeilbewertungen der im Entscheidungsknoten 1 beginnenden Pfeile angegeben. Im Zuge der Rückwärtsrechnung wird zunächst die Allokation der verbleibenden Vertreter auf die Teilmärkte zwei und drei bei gegebener Entscheidung bezüglich der Anzahl Vertreter in Teilmarkt eins ermittelt: In Zustand 2a sollten wegen max¹500I 450I 540I 470º D 540 im Teilmarkt zwei drei und im Teilmarkt drei zwei Vertreter eingesetzt werden. Liegt dagegen Zustand 2b vor, so ist es optimal, im Teilmarkt zwei einen und im Teilmarkt drei drei Vertreter einzusetzen, denn es gilt max¹450I 400I 390º D 450. Ist schließlich nur noch ein Vertreter zuzuordnen (Zustand 2c ), so sollten – wegen max¹400I 250º D 400 – ein Vertreter für Teilmarkt zwei und zwei Vertreter für Teilmarkt drei vorgesehen werden. Lösungen zu Kapitel 9 201 2c 2b 2a 1 .x2; x3/ D .1; 1/ x 1 D 4 220 x 1 D 3190 x1 D 2 160 x 1 D 1 15 0 .x2 ; x3/ D .2; 1/ .x2; x3 / D .1; 2/ .x 2 ; x 3 / D .3; 1/ .x2; x3/ D .2; 2/ .x2 ; x3 / D . 1; 3 / .x 2 ; x 3 / D .4; 1/ .x2 ; x3/D .3; 2/ .x2; x3 / D .2; 3/ .x2 ; x 3 / D .1 ; 4 / 150C 100 150C 100 150C 250 290C 100 150C 250 150C 300 370C 100 290C 250 150C 300 150C 350 400 450 540 690 202 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Nachdem die optimalen Stufenentscheidungen für die Teilmärkte zwei und drei getroffen worden sind, kann nun die Entscheidung bezüglich der im Teilmarkt eins einzusetzenden Vertreter (Knoten 1 ) ermittelt werden, indem man zu den Bewertungen der Knoten 2a bis 2c noch die Bewertungen der jeweils dort endenden Pfeile addiert, ferner den durchgehenden, mit x1 D 4 assoziierten Weg berücksichtigt und sodann die maximale Summe auswählt: max¹690I 610I 590I 470º D 690 impliziert die Optimalität von .x1; x2; x3/ D .1; 3; 2/ und ermöglicht einen Gesamtumsatz in Höhe von 690. Lösung zu Aufgabe 9.4 Im Folgenden wird mit xt 2 ¹0I 1º die Erneuerungsentscheidung zu Beginn von Jahr t (mit t 2 ¹1I 2I 3I 4º) bezeichnet, wobei xt D 0 den Verzicht auf eine Erneuerung und xt D 1 die Durchführung einer Erneuerungsmaßnahme zu Jahresbeginn kennzeichnet. Bei der Erstellung des Entscheidungsbaumes ist insbesondere zu beachten, dass eine Erneuerung zwei Konsequenzen zur Folge hat: Einerseits resultieren aus der Erneuerungsentscheidung zusätzliche Kosten in Höhe von 6 Geldeinheiten zu Beginn von Periode t . Andererseits bewirkt eine Erneuerung die „Zurücksetzung“ des (relativen) Alters der Sudanlage von at 1 auf den Wert at 1 D 0, so dass im Jahr t lediglich Betriebskosten in Höhe von .2C0/2 D 4Geldeinheiten anfallen. Die derart resultierenden Kosten für Jahr t (t D 2; : : : ; 4) sind im nachstehenden Entscheidungsbaum als Pfeilbewertungen und die Gesamtkosten für den Planungshorizont bis t D 4 an den Endknoten notiert. Bei der Berechnung dieser Gesamtkosten ist zu berücksichtigen, dass die Planung der ersten vier Jahre untersucht wird und somit das Alter a0 zu Beginn des ersten Jahres des Planungshorizonts gleich null ist. Somit ist eine Erneuerung im Zeitpunkt t D 0 offenkundig sinnlos, da in beiden Fällen (Erneuerung oder nicht) Betriebskosten in Höhe von 4 Geldeinheiten resultieren, bei Erneuerung aber zusätzlich Erneuerungskosten in Höhe von 6 Geldeinheiten. Damit sind die Kosten im ersten Jahr 4 Geldeinheiten (Betriebskosten, keine Erneuerung) und das relative Alter der Sudanlage zu Beginn des zweiten Jahres a1 D 1; ferner besteht der noch zu betrachtende Planungszeitraum aus den Jahren zwei, drei und vier. Daraus resultiert der folgende Entscheidungsbaum, in dem sich die an den Endknoten stehenden Gesamtkosten jeweils aus der Summe der Pfeilbewertungen plus der Zahl 4 (für Jahr 1) ergeben: Lösungen zu Kapitel 9 203 4d 4c 4b 4a 3b 3a 2 x 2 D 1 10 x 2 D 0 9 x 3 D 1 10 x3 D 0 9 x 3 D 1 10 x3 D 0 16 x4 D 1 10 x4 D 0 9 x4 D 1 10 x4 D 0 16 x4 D 1 10 x4 D 0 9 x4 D 1 10 x4 D 0 25 34 33 33 39 33 32 39 54 33 33 32 39 33 32 32 Die Rückwärtsrechnung stellt sich hier wie folgt dar: Liegt zu Beginn des vierten Jahres Zustand 4a vor, so impliziert min¹54I 39ºD 39 die Durchführung einer Erneuerungsmaßnahme; im Zustand 4b sollte dagegen auf eine Erneuerung verzichtet werden, denn es gilt min¹32I 33º D 32. Die Entscheidungen in den Zuständen 4c beziehungsweise 4d entsprechen denen in den Zuständen 4a beziehungsweise 4b : min¹39I 33º D 33 impliziert eine Erneuerung im Zustand 4c und min¹33I 34º D 33 den Verzicht darauf im Zustand 4d . Die Zustände 3a und 3b repräsentieren die möglichen Entscheidungssituationen zu Beginn des dritten Jahres; im Zustand 3a ist wegen min¹39I 32º D 32 eine Erneuerung sinnvoll, wohingegen Maximilian Maisch im Zustand 3b indifferent zwischen der Durchführung und dem Verzicht auf eine Erneuerung ist (denn beide verursachen Kosten in Höhe von 33). Die optimale Entscheidung zu Beginn des zweiten Jahres (Zustand 2 ) folgt direkt aus min¹32I 33º D 32: Maximilian Maisch sollte auf die Erneuerung verzichten. Insgesamt sollte Maximilian Maisch also optimalerweise zu 204 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Beginn des ersten (siehe oben) und des zweiten Jahres keine Erneuerung vorsehen, zu Beginn des dritten Jahres eine Erneuerung vorsehen und schließlich zu Beginn des vierten Jahres auf die Erneuerung verzichten; die damit verbundenen Gesamtkosten belaufen sich auf 32 Geldeinheiten (vergleiche auch die im obigen Entscheidungsbaum hervorgehobene Pfeilfolge). Bemerkung zu Aufgabe 9.4 Da im obigen Entscheidungsbaum an den Endknoten bereits die jeweiligen Gesamtkosten stehen, kann die optimale Strategie hier auch ohne Durchführung der Rückwärtsrechnung unmittelbar abgelesen werden: Optimal ist genau der Weg, der zum minimalen Gesamtkostenwert 32 führt. Nach diesem Prinzip wird auch nachfolgend die Aufgabe 9.5 gelöst. Lösung zu Aufgabe 9.5 Vor Erstellung des Entscheidungsbaumes bietet es sich an, die angebebene Produktionskostenfunktion Kt .xt / geeignet umzuformulieren. Da nur die alternativen Losgrößen 0, 5 000 und 10 000 (sofern in der Vorperiode weniger als 10 000 Stück produziert wurden) möglich sind, kannKt .xt /maximal drei alternative Werte annehmen: Kt .xt / D 8̂< :̂ 42 000C 1 000 t; falls xt D 10 000 27 000C 1 000 t; falls xt D 5 000 0; falls xt D 0: Zu diesen Produktionskosten in Periode t müssen gegebenenfalls (sofern der Lagerbestand zu Periodenbeginn größer als null ist) noch Lagerkosten in Höhe von c addiert werden. In der ersten Periode fallen diese auf jeden Fall an, da nach Problemstellung von einem Anfangsbestand in Höhe von 2 000 Stück auszugehen ist. Aus Gründen der Übersichtlichkeit werden im Entscheidungsbaum an den Pfeilen neben den jeweiligen Produktionsentscheidungen xt auch noch Tupel .yt ; ´t / notiert, wobei yt die Summe der Kosten der Periode t in Tausend Euro beschreibt (nämlich Kt .xt / zuzüglich c, sofern der Lagerendbestand ´t 1 der Vorperiode t 1 größer als null war) und wobei ´t den Lagerendbestand der Periode t (D ´t 1 C xt dt ) in Tausend Stück angibt. Bei der Konstruktion des Entscheidungsbaumes sind alle angegebenen Bedingungen zu berücksichtigen, insbesondere die Einschränkung, dass auf die Losgröße 10 000 nur die Losgrößen 0 oder 5 000 folgen können (also xt 1 D 10 000 ) xt 2 ¹0I 5 000º). Des Weiteren kann eine deutliche Reduktion des Entscheidungsbaumes bewirkt werden, wenn man beachtet, dass unnötig hohe Lagerbestände am Ende der vierten Periode im Sinne der vorgegebenen Lösungen zu Kapitel 9 205 Zielsetzung suboptimal sind: Sie verursachen in Periode vier höhere Produktionskosten im Planungszeitraum, mögliche Kosteneinsparungen durch ein entsprechend kleineres Los in der Folgeperiode fünf fallen dagegen außerhalb des Planungshorizontes an – und werden dementsprechend in der Zielfunktion nicht berücksichtigt. Da laut Angabe in Periode vier mit einer Nachfrage von 5 000 Stück zu rechnen ist und zur Befriedigung dieser Nachfrage offensichtlich eine Losgröße von x4 D 5 000 (oder eventuell x4 D 0, falls zu Periodenbeginn mindestens 5 000 Stück Küchenfee auf Lager liegen) ausreichend ist, kann x4 D 10 000 nicht optimal sein. Es ist deshalb legitim, bei der Konstruktion des Entscheidungsbaums a priori von folgenden Alternativen abzusehen: von x4 D 10 000 auf jeden Fall, und von x4 D 5 000, sofern ´3 = 5 000. Beachtet man ferner den Anfangsbestand, die jeweiligen Nachfragewerte sowie die Tatsache, dass der Lagerbestand in keiner Periode negativ werden darf – und somit die Wahl von xt sicher stellen muss, dass ´t 1 C xt dt = 0 gilt –, so ergibt sich insgesamt der nachfolgende Entscheidungsbaum. An dessen Endknoten sind die jeweiligen Gesamtkosten der vier Perioden notiert. 4c 4b 4a 3b 3a 2b 2a 1 .43C c; 5/ 10 000 .28 C c; 0/5 0 00 .29C c; 4/ 5 000 .44; 4/ 10 000 10 000.45C c; 5/ 5 00 0 .30 C c; 0/ 5 000 .30C c; 0/ 0 .c; 0/ 5 000 .31; 0/ 5 000 .31; 0/ 117C 4 c 133C 3 c 133C 2 c Vergleicht man die Gesamtkosten der alternativen Politiken .x1; x2; x3; x4/, so erkennt man, dass die Politik ı1 D .5 000; 10 000; 5 000; 5 000/ die Politik ı2 D .10 000; 5 000; 5 000; 5 000/ dominiert, denn es gilt 133C 2 c < 133C 3 c 8 c > 0: Somit genügt im Folgenden der Vergleich zwischen ı1 und der dritten Politik ı3 D .10 000; 5 000; 10 000; 0/. Offenkundig ist 117C 4 c < 133C 2 c ” c < 8; woraus für die optimale Politik ı D ´ ı1; falls c > 8 ı3; falls c < 8 206 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen folgt. Ist der Lagerkostensatz also vergleichsweise gering (c < 8), so sollte Peter Pfiffig eine Politik (ı3) wählen, die die im Vergleich zu den Lagerkosten schwerer wiegenden Produktionskosten durch wenige große Lose begrenzt und häufigere Lagerung impliziert. Ist Lagerung dagegen vergleichsweise teuer (c > 8), so erweist sich die Politik ı1, die mit einer größeren Anzahl kleinerer Lose Lagerhaltung zu vermeiden trachtet, vorteilhaft. Ist der Lagerkostensatz c exakt gleich 8, so sind die beiden Politiken ı1 und ı3 gleichwertig. Lösung zu Aufgabe 9.6 Im folgenden Entscheidungsbaum steht „AN“ für „Anfangsnachfrage“ und „DN“ für „Dauernachfrage“. An den Endknoten wurden die jeweils resultierenden Ertragswerte notiert. Die Beschriftung der von den (eckigen) Entscheidungsknoten ausgehenden Pfeile gibt die jeweilige Aktion sowie die mit ihr verbundenen Kosten wider; die in (runden) Zufallsknoten beginnenden Pfeile wurden mit den jeweiligen Ereignissen und ihren (Übergangs-)Wahrscheinlichkeiten versehen. E 1=4DN gering 3=4 DN h och D 1=4DN gering 3=4 DN h och C 1=4DN gering 3=4 DN h och 3 0 Mio. keine Erw. 2M io. Erw eite run g 2 B 2=3AN hoc h 1=3 AN gering A 2=3A N h och 1=3 AN gering 1 1;5 M io. kleine A nlage 3 M io . gr oß e A nl ag e 3 Mio. 2,5 Mio. 2,5 Mio. 2 Mio. 6 Mio. 1 Mio. 4 Mio. 8 Mio. 2,5 Mio. 5 Mio. 7 Mio. 3 Mio. 5 Mio. 7 Mio. 3 Mio. 2 M io . Lösungen zu Kapitel 9 207 Um die optimale Politik zu bestimmen, ist es erforderlich, zunächst im Rahmen der Rückwärtsrechnung jeweils für die Zufallsknoten die zugehörigen Erwartungswerte und für die Entscheidungsknoten die Maxima der von ihnen aus erreichbaren Erwartungswerte – gegebenenfalls abzüglich der mit dem jeweiligen Pfeil verbundenen Kosten – zu bestimmen. Zu C ergibt sich der Erwartungswert EC D 8 34 C 4 14 D 7Mio. Euro; die Erwartungswerte zu D beziehungsweise E sind ED D 6 34 C 2 14 D 5Mio. Euro beziehungsweise EE D 2;5Mio. Euro. Da vom Entscheidungsknoten 2 nur ein (kostenfreier) Pfeil ausgeht, ist das zugehörige Maximum E2 gleich EC D 7Mio. Euro. Für 3 ist das Maximum aus dem bei Erweiterung zu erwartenden Gewinn ED 2 D 5 2 D 3Mio. Euro und dem Gewinnerwartungswert bei Verzicht auf Erweiterung EE 0 D 2;5 0 D 2;5Mio. Euro zu ermitteln; man erhält E3 D max¹3I 2;5º D 3Mio. Euro. In diesem Fall ist also offensichtlich eine Erweiterung vorteilhaft. Im nächsten Schritt berechnet man EA D 7 23 C 1 13 D 5Mio. Euro EB D 3 23 C 3 13 D 3Mio. Euro und ordnet sodann dem Entscheidungsknoten 1 das für den Vergleich der großen mit der kleinen Anlage zu bestimmende Maximum E1 D max¹EA 3IEB 1;5º D max¹2I 1;5º D 2Mio. Euro zu. Hieraus lässt sich die optimale Entscheidung der Geschäftsführung sofort ablesen: Die Kraut & Rüben AG sollte sich für den Bau der großen Fabrikationsanlage entscheiden. (Eine bedingte Anweisung, was je nach Realisierung des Zufallsknotens A zu tun ist, erübrigt sich hier auf Grund der speziellen Struktur des Baumes.) 208 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Lösung zu Aufgabe 9.7 a) Der Entscheidungsbaum ist auf der nächsten Seite zu finden; dort steht „g“ für „Rezept gelingt“ und „ Ng“ für „Rezept misslingt“. b) Im Rahmen der Rückwärtsrechnung werden zunächst die Erwartungswerte für die Zufallsknoten C ,. . . , H bestimmt. Diese sind offenkundig EC D 34 EF D 0 ED D 32 EG D 2 EE D 1 EH D 23 (jeweils in Euro / 100 g). Daraus ergeben sich folgende Erwartungswerte für die Zufallsknoten A und B : EA D 0;4 EC C 0;3 ED C 0;3 EE D 0;4 34 C 0;3 32 C 0;3 1 D 1;05 EB D 0;4 EF C 0;3 EG C 0;3 EH D 0;4 0C 0;3 2 C 0;3 23 D 0;8 (jeweils in Euro / 100 g). Berücksichtigt man nun noch die Produktionskosten in Höhe von jeweils 1 Euro / 100 g, so resultiert bei Wahl von Rezeptur 1 ein erwarteter Gewinn in Höhe von 0,05 Euro / 100 g, während bei Rezeptur 2 ein Verlust in Höhe von 0,2 Euro / 100 g zu erwarten ist. Somit sollte sich Herr Weggle für Rezeptur 1 entscheiden. c) Kauft Herr Weggle Nougat nach Rezeptur 1 zu, so entstehen ihm Kosten in Höhe von 2,50 Euro / 100 g; um diese reduziert sich sein Umsatz von 3 Euro / 100 g, so dass ein Gewinn in Höhe von 0,5 Euro / 100 g verbleibt. Würde Willi Weggle dagegen Nougat nach Rezeptur 2 zukaufen, so würde ein Gewinn in Höhe von 2 1;80 D 0;20 Euro / 100 g entstehen. Vergleicht man diese Werte mit den Ergebnissen aus b), so lässt sich sofort erkennen, dass Weggle nunmehr auf Eigenerstellung verzichten und stattdessen Nougat nach Rezeptur 1 zukaufen sollte. Bemerkung zu Aufgabe 9.7 Streng genommen handelt es sich bei dem in Aufgabe 9.7 a) und b) behandelten Problem nicht um eine „mehrstufige Entscheidung“: Willi Weggle trifft nur eine Entscheidung, nämlich bezüglich der zu verwendenden Rezeptur. Die Mehrstufigkeit bezieht sich hier also nicht auf die Entscheidungen, sondern „nur“ auf die Berechnung der Erfolgswahrscheinlichkeiten (mithilfe bedingterWahrscheinlichkeiten). Insofern wäre die Bezeichnung „Entscheidung bei mehrstufig ermittelten Wahrscheinlichkeiten“ treffender. Ähnliches gilt übrigens auch für die Aufgabe 9.13. Aufgaben dieses Typus sind damit prinzipiell auch mit dem Instrumentarium aus Kapitel 6 lösbar. Lösungen zu Kapitel 9 209 H G F E D C B A 1 R ezept 2 1 R ez ep t 1 0;3 K onst. 3 0;3 Konst. 2 0; 4 K on st. 1 0;3 K onst. 3 0;3 Konst. 2 0; 4 K on st. 1 2=3 Ng 1=3 g 0 Ng 1 g 1 Ng 0 g 2=3 Ng 1=3 g 1=2 Ng 1=2 g 3=4 Ng 1=4 g 0 2 0 2 0 2 0 3 0 3 0 3 3 4 3 2 1 0 2 2 3 1,05 0,8 0,05 210 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Lösung zu Aufgabe 9.8 a) Bei der Konstruktion des Entscheidungsbaumes auf der nächsten Seite sind im Wesentlichen zwei Besonderheiten zu beachten: Während zu Beginn des ersten Jahres drei Alternativen (a1, a2 und b) zur Auswahl stehen, hängt die Alternativenmenge zu Beginn des zweiten Jahres vom Erfolg der Anlagestrategie im ersten Jahr ab: Hat Robert T. Offline im ersten Jahr Wertpapier 1 gekauft und dieses nur einen Endwert in Höhe von 205 Tausend Euro generiert, so kann er sich im zweiten Jahr weder Wertpapier 3 noch Wertpapier 4 leisten (weshalb er den Betrag auf das Sparbuch einzahlen wird); gleiches gilt, wenn Robert T. Offline im ersten Jahr Alternative b wählt. Hat er stattdessen im ersten Jahr Wertpapier 2 gekauft und mit diesem einen Endwert in Höhe von 220 Tausend Euro erzielt, so hat er zu Beginn des zweiten Jahres die Möglichkeit, zwischen der Anlage seiner gesamten Mittel auf dem Sparbuch und dem Kauf von Wertpapier 4 (in Verbindung mit der Einzahlung der verbleibenden Mittel auf dem Sparbuch) zu wählen; Wertpapier 3 kann er dagegen nicht bezahlen. Unter Umständen muss Robert T. Offline den zu Beginn des zweiten Jahres verfügbaren Betrag in zwei Teilbeträge aufteilen, die er unterschiedlich anlegt. Hat er zum Beispiel im ersten Jahr Wertpapier 2 gekauft, einen Endwert in Höhe von 240 Tausend Euro erzielt und damit zu Beginn des zweiten Jahres Wertpapier 3 (zu 230 Tausend Euro) gekauft, so verbleibt ein Differenzbetrag in Höhe von 10 Tausend Euro, der dann auf das Sparbuch eingezahlt wird. Derartige Aufteilungen werden im Entscheidungsbaum als Pfeilbewertungen der Form ai , b notiert, wobei ai das jeweils gekaufte Wertpapier bezeichnet und b für die Einzahlung des Differenzbetrages auf das Sparbuch steht. Die an den Endknoten angegebenen Beträge errechnen sich wie folgt: Bei einer Geldanlage auf dem Sparbuch wird der zu Jahresbeginn eingezahlte Betrag mit 3% verzinst, z.B. 206 1;03 D 212;18 (vergleiche Knoten 4 ); wird der Betrag aufgeteilt, so ergibt sich das Endkapital als Summe des (zufällig bestimmten) Endwertes des Wertpapiers und des auf dem Sparbuch mit 3% verzinsten Restbetrages. So ergibt sich beispielsweise der beim obersten Endknoten notierte Betrag in Höhe von 330,90 Tausend Euro als 300C 30 1;03 D 330;90. Lösungen zu Kapitel 9 211 G Endw. 200 0,8 Endw . 250 0,2 F Endw. 200 0,8 Endw . 250 0,2 E Endw. 280 0,8 Endw . 300 0,2 D Endw. 200 0,8 Endw . 250 0,2 C Endw. 280 0,8 Endw . 300 0,2 4 b 6 b a4, b 5 b a 4 , b a3 , b 3 b 2 b a 4 , b a3 , b B Endwert 220 0,5 En dw er t 2 40 0, 5 A Endwert 205 0,5 En dw er t 2 60 0,5 1 b a 2 a 1 226;60 210;30 260;30 247;20 230;90 280;90 290;30 310;30 212;18 211;15 267;80 251;50 301;50 310;90 330;90 220;30 240;90 294;30 261;50 314;90 226;60 294;30 212;18 211;15 314;90 260;45 263;03 26 3, 03 212 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen b) Im Zuge der Rückwärtsrechnung werden zunächst die Erwartungswerte (in Tausend Euro) für die Zufallsknoten C ,. . . , G bestimmt. Diese sind offenkundig EC D 330;90 0;2 C 310;90 0;8 D 314;90 ED D 301;50 0;2 C 251;50 0;8 D 261;50 EE D 310;30 0;2 C 290;30 0;8 D 294;30 EF D 280;90 0;2 C 230;90 0;8 D 240;90 EG D 260;30 0;2 C 210;30 0;8 D 220;30: Die möglichen Anlageentscheidungen zu Beginn des zweiten Jahres – also in den Entscheidungsknoten 2 ,. . . , 6 – lassen sich durch Auswahl des größten der an jeweiligen Folgeknoten notierten Bewertungen (in Tausend Euro) bestimmen: E2 Dmax¹ECIEDI 267;80ºDmax¹314;90I 261;50I 267;80ºD 314;90 E3 D D 211;15 E4 D D 212;18 E5 Dmax¹EEIEFI 247;20º Dmax¹294;30I 240;90I 247;20ºD 294;30 E6 Dmax¹EGI 226;60º Dmax¹220;30I 226;60º D 226;60: Sofern sich Robert T. Offline zu Beginn des zweiten Jahres Wertpapier 3 leisten kann, sollte er dieses erwerben (Knoten 2 und 5 ); ansonsten sollte er sich für die Geldanlage auf dem Sparbuch entscheiden. Nun ist noch die Anlageentscheidung zu Beginn des ersten Jahres zu klären. Hierzu bestimmt Robert T. Offline zunächst die Erwartungswerte (in Tausend Euro) für die Zufallsknoten A und B : EA D 314;90 0;5C 211;15 0;5 D 263;03 EB D 294;30 0;5C 226;60 0;5 D 260;45: Wegen EA > EB sollte sich Robert T. Offline zu Beginn des ersten Jahres für den Kauf von Wertpapier 1 entscheiden. Damit ergibt sich seine optimale Politik wie folgt: Zu Beginn des ersten Jahres sollte Robert T. Offline Wertpapier 1 erwerben und zu Beginn des zweiten Jahres – sofern möglich – Wertpapier 3 (und den Restbetrag auf das Sparbuch einzahlen). Ansonsten, falls der Rückfluss von Wertpapier 1 für den Kauf von Wertpapier 3 zu gering ist, sollte im zweiten Jahr die Geldanlage auf dem Sparbuch gewählt werden. Verfolgt Robert T. Offline diese Politik, so beträgt sein erwartetes Endkapital 263,03 Tausend Euro. Lösungen zu Kapitel 9 213 Lösung zu Aufgabe 9.9 a) Im Entscheidungsbaum auf der nächsten Seite steht „Erfolg“ für „zielgruppengerechte Vermarktung“ und „k. Erfolg“ für „nicht zielgruppengerechte Vermarktung“. b) Wir beginnen wieder mit der Rückwärtsrechnung und bestimmen zunächst die Erwartungswerte für die Zufallsknoten B , C , D : EB D 500 000 0;75 C 250 000 0;25 D 437 500 Euro EC D 500 000 0;1 C 250 000 0;9 D 275 000 Euro ED D 500 000 0;5 C 250 000 0;5 D 375 000 Euro: Subtrahiert man davon die Einführungskosten in Höhe von 150 000 Euro und vergleicht man diese Differenzen mit dem alternativen Wert 0, der bei Nicht-Einführung resultieren würde, so ergeben sich daraus folgende, über den Entscheidungsknoten 2 , 3 , 4 im Entscheidungsbaum eingetragenen (Maximal-)Werte: E2 D max¹437 500 150 000I 0º D 287 500 E3 D max¹275 000 150 000I 0º D 125 000 E4 D max¹375 000 150 000I 0º D 225 000: Die biosensorische Alarmanlage sollte also auf jeden Fall (egal ob ein Markttest durchgeführt wird beziehungsweise zu welchem Ergebnis er gegebenenfalls führt) eingeführt werden. Um noch zu klären, ob ein Markttest durchgeführt werden sollte, muss als nächstes der Erwartungswert E4 (für den Fall, dass der Test nicht durchgeführt wird) mit dem Erwartungswert im Zufallsknoten A (für den Fall, dass der Markttest durchgeführt wird), abzüglich der Kosten für den Markttest in Höhe von 100 000 Euro, verglichen werden. Wegen EA D 287 500 0;6C 125 000 0;4 D 222 500 gilt offensichtlich E1 D max¹EA 100 000IE4º D ¹222 500 100 000I 225 000º D 225 000: Die Schall & Rauch Alarmtechnik GmbH sollte demnach die biosensorische Alarmanlage einführen, auf den Markttest jedoch verzichten. 214 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen D 0;5k. Erfolg 0;5 Erfo lg C 0;9k. Erfolg 0;1 Erfo lg B 0;25k. Erfolg 0;75 Erfo lg 4 150 0 00Ein führu ng 0 k. Einführung 3 150 0 00Ein führu ng 0 k. Einführung 2 150 0 00Ein führu ng 0 k. Einführung A 0;4 Test negativ 0; 6 Te st po sit iv 1 1 00 00 0 M ark tte st 0 kein M arkttest 0 250 000 500 000 0 250 000 500 000 0 250 000 500 000 437 500 275 000 375 000 287 500 125 000 225 000 222 500 22 5 00 0 c) Um zu bestimmen, welche a-priori-Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis des Markttests mindestens erforderlich ist, damit die Durchführungs des Markttests sinnvoll erscheint, ersetzen wir im Entscheidungsbaum die Übergangswahrscheinlichkeit A ! 2 (die in den Teilen a) und b) den Wert 0;6 hat) durch p (mit p 2 Œ0I 1 ) und ihre Gegenwahrscheinlichkeit durch 1 p. Für den Zufallsknoten A gilt dann EA D 287 500 p C 125 000 .1 p/ D 125 000C 162 500 p; Lösungen zu Kapitel 9 215 woraus sofort E1 D max¹125 000C 162 500 p 100 000I 225 000º D max¹ 25 000C 162 500 pI 225 000º folgt. Damit der Markttest im Rahmen der optimalen Politik durchgeführt wird, müsste also gelten 25 000C 162 500 p > 225 000 .” p > 200000 162500 > 1/; was offensichtlich im Widerspruch zu p 2 Œ0I 1 steht. Der Markttest wird also nie durchgeführt, egal wie hoch die a-priori-Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis ist. Lösung zu Aufgabe 9.10 a) Die im Entscheidungsbaum (Seite 217) verwendeten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich wie folgt aus der Problemstellung: Bei einem Preis von 10 Euro beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Übergang des Absatzes von 1 000 nach 2 000 Stück 0,75, weshalb die Gegenwahrscheinlichkeit, und damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Absatz auch im Folgejahr 1 000 Stück ist, 0,25 beträgt (vergleiche zum Beispiel die in C beginnenden Pfeile). Des Weiteren soll (nach wie vor für einen Verkaufspreis von 10 Euro) die Absatz-Übergangswahrscheinlichkeit 2 000! 2 000 im Vergleich zur Absatz-Übergangswahrscheinlichkeit 1 000 ! 2 000 um fünf Prozentpunkte höher – und damit gleich 0;75C 0;05 D 0;8 – sein; für die Gegenwahrscheinlichkeit 2 000! 1 000 verbleibt somit 0,2 (vergleiche etwa die in E beginnenden Pfeile). Setzt die Eder OHG dagegen einen Verkaufspreis in Höhe von 12 Euro fest, so ist nach Problemstellung die Absatz-Übergangswahrscheinlichkeit 1 000! 1 000 gleich 0,8 und damit die Gegenwahrscheinlichkeit (für 1 000 ! 2 000) 0,2 (vergleiche etwa die in D beginnenden Pfeile). Und im letzten denkbaren Fall (Preis 12 Euro, Vorjahresabsatz 2 000) sind die beiden Fälle 2 000 ! 1 000 und 2 000 ! 2 000 gleich wahrscheinlich, weshalb ihnen jeweils die Wahrscheinlichkeit 0,5 zugewiesen wird (vergleiche etwa die in F beginnenden Pfeile). Des Weiteren ist bei der Konstruktion des Entscheidungsbaumes zu berücksichtigen, dass der aktuelle Absatz 2 000 Stück beträgt, weshalb die Bewertung der im Knoten A (beziehungsweise B ) beginnenden Pfeile der in Knoten E (beziehungsweise F ) beginnenden Pfeile entspricht. 216 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Die an den Endknoten notierten Zahlen ergeben sich schließlich aus der Problemstellung nach folgendem Muster: Der Stückpreis im ersten Jahr, abzüglich der Produktionskosten in Höhe von 4 Euro pro Stück, wird mit der im ersten Jahr abgesetzten Menge multipliziert und so der anteilige Gewinn im ersten Jahr berechnet; analog wird der Gewinn im zweiten Jahr bestimmt und sodann die beiden anteiligen Gewinne addiert. Zum Beispiel errechnet sich der Gesamtgewinn in Höhe von 32 000 Euro im Knoten „rechts unten“ (das heißt für den Fall, dass in beiden Jahren der Preis 12 Euro und der Absatz 2 000 Stück beträgt) als: .12 4/ 2 000C .12 4/ 2 000 D 32 000. b) Wieder werden zunächst im Rahmen der Rückwärtsrechnung die Erwartungswerte für die Zufallsknoten C ,. . . , J bestimmt. EC D 12 000 0;25 C 18 000 0;75 D 16 500 Euro ED D 14 000 0;8 C 22 000 0;2 D 15 500 Euro EE D 18 000 0;2 C 24 000 0;8 D 22 800 Euro EF D 20 000 0;5 C 28 000 0;5 D 24 000 Euro EG D 14 000 0;25 C 20 000 0;75 D 18 500 Euro EH D 16 000 0;8 C 24 000 0;2 D 17 600 Euro EI D 22 000 0;2 C 28 000 0;8 D 26 800 Euro EJ D 24 000 0;5 C 32 000 0;5 D 28 000 Euro. Die möglichen Preisentscheidungen zu Beginn des zweiten Jahres – also in den Knoten 2 ,. . . , 5 – lassen sich durch Auswahl des größeren der an den beiden jeweiligen Folgeknoten notierten Erwartungswerte bestimmen: E2 D max¹ECIEDº D max¹16 500I 15 600º D 16 500 Euro E3 D max¹EEIEFº D max¹22 800I 24 000º D 24 000 Euro E4 D max¹EGIEHº D max¹18 500I 17 600º D 18 500 Euro E5 D max¹EIIEJº D max¹26 800I 28 000º D 28 000 Euro. Ist im ersten Jahr der Absatz 1 000 (egal bei welchem Preis), sollte die Eder OHG im zweiten Jahr also 10 Euro pro Stück verlangen, ansonsten (wenn also der Absatz im ersten Jahr 2 000 Stück beträgt), sollte der Stückpreis im zweiten Jahr auf 12 Euro fixiert werden. Nun ist noch der Preis für das erste Jahr zu klären. Hierzu bestimmt man zunächst die Erwartungswerte für die Zufallsknoten A und B : EA D 16 500 0;2 C 24 000 0;8 D 22 500 Euro EB D 18 500 0;5 C 28 000 0;5 D 23 250 Euro. Lösungen zu Kapitel 9 217 J 0;5 2 000 0;5 1 000 I 0;8 2 000 0;2 1 000 H 0;2 2 000 0;8 1 000 G 0;75 2 000 0;25 1 000 F 0;5 2 000 0;5 1 000 E 0;8 2 000 0;2 1 000 D 0;2 2 000 0;8 1 000 C 0;75 2 000 0;25 1 000 5 Preis Jahr 2 12 Euro Pre is J ahr 2 10 Eu ro 4 Preis Jahr 2 12 Euro Pre is J ahr 2 10 Eu ro 3 Preis Jahr 2 12 Euro Pre is J ahr 2 10 Eu ro 2 Preis Jahr 2 12 Euro Pre is J ahr 2 10 Eu ro B Absatz 2 000 0,5 Ab sa tz 1 0 00 0, 5 A Absatz 2 000 0,8 Ab sa tz 1 0 00 0, 2 1 Preis Jahr 1 12 Euro Pr ei s Ja hr 1 10 Eu ro 32 000 24 000 28 000 22 000 24 000 16 000 20 000 14 000 28 000 20 000 24 000 18 000 22 000 14 000 18 000 12 000 16 500 15 600 22 800 24 000 18 500 17 600 26 800 28 000 16 500 24 000 18 500 28 000 22 500 23 250 23 25 0 218 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Wegen EB > EA sollte die Eder OHG im ersten Jahr einen Preis von 12 Euro verlangen. Damit ist die optimale Politik der Eder OHG vollständig beschrieben: Der Stückpreis sollte im ersten Jahr 12 Euro betragen. Im zweiten Jahr ist dagegen eine Fallunterscheidung notwendig: War der Absatz im ersten Jahr 1 000, so sollte der Preis im zweiten Jahr auf 10 Euro festgesetzt werden, sonst auf 12 Euro. c) Der erwartete Gesamtgewinn der Eder OHG entspricht dem Erwartungswert E1 D max¹EAIEBº D max¹22 500I 23 250º D 23 500 Euro. Lösung zu Aufgabe 9.11 a) Die im Entscheidungsbaum auf der nächsten Seite verwendeten Wahrscheinlichkeiten ergeben sich wie folgt aus der Problemstellung: Wird die Inspektion nicht durchgeführt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Übergang Nicht-Ausfall ! Nicht-Ausfall 0,2 und damit die Gegenwahrscheinlichkeit (Nicht-Ausfall ! Ausfall) 0,8. (vergleiche zum Beispiel die in A beginnenden Pfeile). Des Weiteren sollen (nach wie vor für den Fall ohne Inspektion) die Übergangswahrscheinlichkeiten Ausfall ! Nicht-Ausfall und Ausfall ! Ausfall gleich groß und damit jeweils 0,5 sein (vergleiche etwa die in D beginnenden Pfeile). Sieht Walter Wurm dagegen eine Inspektion vor, so fällt nach Problemstellung die Sägemaschine, wenn sie zuvor nicht ausgefallen ist, mit Sicherheit (also mit Wahrscheinlichkeit 1) nicht aus, das heißt die Übergangswahrscheinlichkeit Nicht-Ausfall ! Nicht-Ausfall ist gleich 1 und damit die relevante Gegenwahrscheinlichkeit für den Übergang Nicht-Ausfall ! Ausfall gleich 0 (vergleiche den direkten Pfeil zwischen den Entscheidungsknoten 1 und 2 , der einem Übergang Nicht-Ausfall ! Nicht-Ausfall entspricht; Pfeile mit Wahrscheinlichkeitsbewertung 0 wurden in den Entscheidungsbaum nicht eingezeichnet). Und im letzten denkbaren Fall (Inspektion, Sägemaschine in der Vorwoche ausgefallen) beträgt die Übergangswahrscheinlichkeit Ausfall ! Ausfall 0,4 und folglich die Gegenwahrscheinlichket für den Übergang Ausfall ! Nicht-Ausfall 0,6 (vergleiche etwa die in C beginnenden Pfeile). Des Weiteren ist bei der Konstruktion des Entscheidungsbaumes zu berücksichtigen, dass die Maschine in der letzten Woche vor Beginn des Planungszeitraumes nicht ausgefallen ist, weshalb sich die Bewertungen der in den Knoten A , B und E beginnenden Pfeile jeweils entsprechen. Die an den Endknoten notierten Zahlen ergeben sich aus der Angabe wie folgt: Je nachdem, ob die Sägemaschine in der jeweils betrachteten Periode ausfällt oder nicht, werden entweder 500 Euro (bei Ausfall) Lösungen zu Kapitel 9 219 oderC400 Euro (sonst) für diese Periode angesetzt. Dieses Kalkül wird für beide Perioden durchgeführt, die beiden Werte addiert und sodann davon die Summe der gegebenenfalls angefallenen Inspektionskosten (0 Euro falls keine Inspektion, 300 Euro bei Inspektion in genau einer der beiden Perioden und 600 Euro bei zwei Inspektionen) subtrahiert. Zum Beispiel errechnet sich der Gesamtgewinn in Höhe von 800 Euro im Knoten „rechts unten“ (das heißt für den Fall, dass in beiden Perioden keine Inspektion durchgeführt wird und trotzdem die Sägemaschine in keiner Periode ausfällt) als: 400C 400 0 0 D 800. E kein Ausfall 0,2 Ausf all 0,8 D kein Ausfall 0,5 Ausf all 0,5 C kein Ausfall 0,6 Ausf all 0,4 B kein Ausfall 0,2 Ausf all 0,8 4 k. Inspektion Inspektion 3 k. Inspektion Ins pek tio n 2 k. Inspektion Inspektion A kein Ausfall 0,2 Au sfa ll 0,8 1 keine Inspektion Inspektion 800 100 500 100 1 000 400 1 300 500 400 200 220 760 550 80 200 550 500 340 200 220 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen b) Es werden wieder zunächst die Erwartungswerte für die Zufallsknoten B ,. . . , E bestimmt: EB D 400 0;8 C 500 0;2 D 220 Euro EC D 1 300 0;4 400 0;6 D 760 Euro ED D 1 000 0;5 100 0;5 D 550 Euro EE D 100 0;8 C 800 0;2 D 80 Euro: Die möglichen Inspektionsentscheidungen zu Beginn der zweiten Woche – 2 ,. . . , 4 – lassen sich durch Auswahl der größeren der an den beiden jeweiligen Folgeknoten notierten Bewertungen bestimmen: E2 D max¹EBI 200º D max¹ 220I 200º D 200 Euro E3 D max¹ECIEDº D max¹ 760I 550º D 550 Euro E4 D max¹EEI 500º D max¹ 80I 500º D 500 Euro: Fällt also die Sägemaschine in der ersten Woche nicht aus, so sollte Walter Wurm zu Beginn der zweiten Woche eine Inspektion vorsehen (Knoten 2 und 4 ), sonst sollte er auf die Inspektion verzichten (Knoten 3 ). Nun ist noch zu klären, ob Walter Wurm zu Beginn der ersten Woche eine Inspektion vorsehen sollte. Hierzu bestimmt man zunächst die Erwartungswerte für den Zufallsknoten A : EA D 550 0;8C 500 0;2 D 340 Euro: Wegen EA < 200 sollte zu Beginn der ersten Woche eine Inspektion durchgeführt werden. Damit sieht die optimale Politik der Holz-Wurm KG zu Beginn beider Wochen jeweils eine Inspektion vor; die Sägemaschine wird dann im gesamten zweiwöchigen Planungshorizont nie ausfallen. c) Der erwartete Gesamtgewinn entspricht dem Erwartungswert E1 D 200 Euro. Lösungen zu Kapitel 9 221 Lösung zu Aufgabe 9.12 a) Der Entscheidungsbaum auf der nächsten Seite wurde nach den gleichen Prinzipien wie der Entscheidungsbaum in der Lösung zu Aufgabe 9.11 a) konstruiert; die unterschiedliche Gestalt beruht rein auf der Tatsache, dass die Sägemaschine nunmehr in der relevanten Vorwoche ausgefallen ist. b) Wie in der Lösung zu Aufgabe 9.11 werden zunächst die Erwartungswerte für die Zufallsknoten C ,. . . , H bestimmt: EC D 1 600 0;4 700 0;6 D 1 060 Euro ED D 1 300 0;5 400 0;5 D 850 Euro EE D 400 0;8 C 500 0;2 D 220 Euro EF D 1 300 0;4 400 0;6 D 760 Euro EG D 1 000 0;5 100 0;5 D 550 Euro EH D 100 0;8 C 800 0;2 D 80 Euro: Die möglichen Inspektionsscheidungen zu Beginn der zweiten Woche – 2 ,. . . , 5 – lassen sich wieder durch Auswahl des größeren der an den beiden jeweiligen Folgeknoten notierten Bewertungen bestimmen: E2 D max¹ECIEDº D max¹ 1 060I 850º D 850 Euro E3 D max¹EEI 200º D max¹ 220I 200º D 200 Euro E4 D max¹EFIEGº D max¹ 760I 550º D 550 Euro E5 D max¹EHI 500º D max¹ 80I 500º D 500 Euro: Fällt also die Sägemaschine in der ersten Woche nicht aus, so sollte Walter Wurm zu Beginn der zweiten Wochen eine Inspektion vorsehen (Knoten 3 und 5 ), sonst sollte er auf die Inspektion verzichten (Knoten 2 und 4 ). Dies entspricht der in Teil a) bestimmten optimalen Politk für die zweite Woche. Nun ist noch zu klären, ob Walter Wurm zu Beginn der ersten Woche eine Inspektion vorsehen sollte. Hierzu bestimmt man zunächst den Erwartungswerte für die Zufallsknoten A und B : EA D 850 0;6C 200 0;4 D 430 Euro EB D 550 0;5C 500 0;5 D 25 Euro: Wegen EA < EB sollte Walter Wurm – anders als in Teil a) – zu Beginn der ersten Woche auf die Durchführung einer Inspektion verzichten. 222 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen H kein Ausfall 0,2 Ausf all 0,8 G kein Ausfall 0,5 Ausf all 0,5 F kein Ausfall 0,6 Ausf all 0,4 E kein Ausfall 0,2 Ausf all 0,8 D kein Ausfall 0,5 Ausf all 0,5 C kein Ausfall 0,6 Ausf all 0,4 5 k. Inspektion Inspektion 4 k. Inspektion Ins pek tio n 3 k. Inspektion Inspektion 2 k. Inspektion Ins pek tio n B kein Ausfall 0,5 Au sfa ll 0,5 A kein Ausfall 0,4 Au sfa ll 0,6 1 keine Inspektion In sp ek tio n 800 100 500 100 1 000 400 1 300 500 400 200 400 1 300 700 1 600 1 060 850 220 760 550 80 850 200 550 500 25 430 2 5 Lösungen zu Kapitel 9 223 Damit ergibt sich die optimale Politik der Holz-Wurm KG wie folgt: In der ersten Woche ist auf eine Inspektion zu verzichten; gleiches gilt für die zweite Woche, sofern die Sägemaschine in der ersten Woche ausfällt, sonst (wenn also die Sägemaschine in der ersten Woche nicht ausfällt) sollte eine Inspektion eingeplant werden. c) Aus der in Teil b) bestimmten Politik ergibt sich ein erwarteter Verlust in Höhe von 25 Euro (entspricht E1 D 25 Euro). Lösung zu Aufgabe 9.13 a) Zunächst sei festgehalten, dass der Angebotspreis 100 000 Euro für Harmlos nicht infrage kommt, da dieser nicht seine Kosten in Höhe von 120 000 Euro decken kann und der resultierende Gewinn in Höhe von 20 000 Euro den Alternativgewinn in Höhe von null bei Verzicht auf den Auftrag unterschreitet. Somit kann der Aktionenraum von Harry Harmlos auf die Angebotspreise 150 000 Euro und 200 000 Euro eingeschränkt werden. Aus den angegebenen Informationen bezüglich der (a-priori-)Wahrscheinlichkeiten für den Angebotspreis des Wettbewerbers ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0;4 2 D 0;2 für die Preise 100 000 Euro beziehungsweise 200 000 Euro und somit eine (Rest-)Wahrscheinlichkeit von 1 0;4 D 0;6 für den Preis 150 000 Euro. Damit wird Harry Harmlos, wenn er einen Preis von 150 000 Euro verlangt, mit Wahrscheinlichkeit 20% unterboten (wenn der Wettbewerber 100 000 Euro anbietet), gewinnt mit Wahrscheinlichkeit von ebenfalls 20% ohne Losentscheid (wenn der Wettbewerber 200 000 Euro fordert); und mit 60% Wahrscheinlichkeit kommt es zum Losentscheid, bei dem die Gewinnchancen von Harry Harmlos 50% betragen. Gewinnt Harry Harmlos in dieser Situation die Ausschreibung, so wird er einen Gewinn von 150 000 120 000 D 30 000 Euro realisieren. Fordert Harmlos dagegen 200 000 Euro, so besteht eine Wahrscheinlichkeit von 80%, dass er unterboten wird (Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Konkurrenzangebote 100 000 Euro und 150 000 Euro). Sonst, also mit Wahrscheinlichkeit 20% (mit der auch der Konkurrent 200 000 Euro fordert), kommt es zu einem Patt mit Losentscheid (und Gewinnchancen 50%). Liegt diese Konstellation vor, so wird Harmlos bei Zuschlag einen Gewinn von 200 000 120 000 D 80 000 Euro realisieren. Damit ergibt sich insgesamt der folgende Entscheidungsbaum: 224 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen D 0;5k. Zuschlag 0;5 Zusc hlag C 0;5k. Zuschlag 0;5 Zusc hlag B 0;2 Patt 0;8 k. Zuschlag A 0;2 k. Zuschlag 0;6 Patt 0;2 Zuschlag 1 Angebot 200 000 An ge bo t 15 0 0 00 0 80 000 0 0 0 30 000 30 000 40 000 15 000 8 000 15 000 15 000 Die sukzessive Berechnung der Erwartungswerte für die Zufallsknoten ergibt EC D 30 000 0;5 C 0 0;5 D 15 000 Euro ED D 80 000 0;5 C 0 0;5 D 40 000 Euro für die Pattsituationen C und D , in denen per Los entschieden wird, und EA D 30 000 0;2 C 15 000 0;6 C 0 0;2 D 15 000 Euro EB D 0 0;8 C 40 000 0;2 D 8 000 Euro in den Zuständen A und B . Aus EA > EB folgt, dass sich Harry Harmlos optimalerweise mit einer Preisforderung in Höhe von 150 000 Euro an der Ausschreibung beteiligen sollte. Sein erwarteter Gewinn ist dann E1 D 15 000 Euro. b) Wenn sich Harry Harmlos dafür entscheidet, Siegfried Schmierig die „gewissen Gefälligkeiten“ zukommen zu lassen, so resultiert durch die im Gegenzug von Schmierig erhaltene Information eine Situation, in der Harry Harmlos stets in der Lage ist, den jeweils optimalen Angebotspreis zu bestimmen: Hat der Mitbewerber 100 000 Euro angebo- Lösungen zu Kapitel 9 225 ten, so solllte sich Harmlos nicht an der Ausschreibung beteiligen (da er sie nur mit einem nicht kostendeckenden Angebot gewinnen kann); hat der Konkurrent 150 000 Euro geboten, so wird Harmlos ebenfalls 150 000 Euro fordern, den dann erfolgenden (manipulierten) Losentscheid mit Sicherheit gewinnen (wählt Harmlos dagegen 200 000 Euro, so würde der Konkurrent den Zuschlag erhalten) und einen Gewinn in Höhe von 30 000 Euro realisieren; fordert schließlich der Wettbewerber 200 000 Euro, so kann auch Harmlos 200 000 Euro verlangen und einen Gewinn in Höhe von 80 000 Euro erzielen. Unter Verwendung der a-priori-Wahrscheinlichkeiten für die alternativen Angebotsbeträge des Konkurrenten ergibt sich dann ein erwarteter Gewinn von Harry Harmlos in Höhe von 0 0;2C 30 000 0;6C 80 000 0;2 D 34 000 Euro: Subtrahiert man davon den erwarteten Gewinn aus Teil a), E1 D 15 000 Euro, so erhält man 34 000 15 000 D 19 000. Die „gewissen Gefälligkeiten“ dürfen demnach Harry Harmlos bis zu 19 000 Euro kosten. Lösung zu Aufgabe 9.14* Entscheidet sich Daniel Dreistein gegen die Einholung einer Expertise, so muss er die Entscheidung für oder gegen eine Vermarktung auf Basis der von ihm geschätzten a-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung ' D .'1; '2/ treffen. Hierbei bezeichnet '1 die a-priori-Wahrscheinlichkeit für eine hohe Nachfrage (Zustand 1) und '2 D 1 '1 die a-priori-Wahrscheinlichkeit für eine geringe Nachfrage (Zustand 2). Laut Problemstellung gilt '1 D 2 '2 D 2 .1 '1/ und damit '1 D 23 . Somit ist ' D .23 ; 13 /. Schaltet Daniel Dreistein die Unternehmensberatung Schlau & Berger ein, so erhält er in Form der Experise eine der beiden Nachrichten 1 („Nachfrage hoch“) oder 2 („Nachfrage gering“). Bezeichnet man mit pij die bedingte Wahrscheinlichkeit für Nachricht j , wenn für die tatsächliche Nachfrage i gilt (wobei i; j 2 ¹1I 2º), so resultiert aus den Angaben bezüglich der Zuverlässigkeit von Schlau & Berger folgende Likelihoodfunktion: P D .pij /2;2 D 9 10 1 10 3 10 7 10 ! : Unter Verwendung dieser Likelihoodfunktion, der a-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung ' sowie des bayesschen Theorems (vergleiche zum Beispiel Bamberg et al., 2012b, Abschnitt 6.4) kann Daniel Dreistein die in dieser Situation entscheidungsrelevanten a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten berechnen. 226 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Hierfür bestimmt man zweckmäßigerweise zunächst die totalenWahrscheinlichkeiten P.j / für die beiden Nachrichten j D 1; 2. Es gilt .P.1/; P.2// D ' P D . 7 10 ; 3 10 /: Das heißt, die totale Wahrscheinlichkeit, dass Schlau & Berger eine hohe Nachfrage prognostizieren, beträgt 70% und die totale Wahrscheinlichkeit für die Prognose einer geringen Nachfrage 30%. Das bayessche Theorem liefert dann folgende a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten ij für die tatsächliche Nachfrage i bei gegebener Nachricht j : 11 D 9 10 2 3 7 10 D 6 7 sowie 12 D 1 10 2 3 3 10 D 2 9 : Unter Ausnutzung von 2j D 1 1j erhält man folgende Matrix ‰ der a posterori Wahrscheinlickeiten: ‰ D . ij /2;2 D 6 7 2 9 1 7 7 9 ! : Der erste Spaltenvektor dieser Matrix enthält die a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten bezüglich der tatsächlichen Marktnachfrage für den Fall, dass Schlau & Berger eine hohe Nachfrage vorhersagen; analog enthält der zweite Spaltenvektor die für den Fall einer pessimistischen Expertise einschlägigen aposteriori-Wahrscheinlichkeiten für die tatsächliche Nachfrage. Mit diesen Daten ist es nun möglich, den Entscheidungsbaum von Daniel Dreistein auf der nächsten Seite zu konstruieren: Zuerst (Stufe 1) trifft er die Entscheidung, ob er Schlau & Berger hinzuzieht, und sodann (Stufe 2), ob er seinen Picknick-Toaster vermarktet. Die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Vermarktung werden entweder der a-priori-Verteilung ' (falls auf die Expertise verzichtet wird) oder den beiden Spalten von ‰ (in Abhängigkeit des Ergebnisses der Expertise, sofern Dreistein Schlau & Berger beauftragt hat) entnommen. Die Wahrscheinlichkeiten für die beiden denkbaren Ergebnisse der Experise sind dem Vektor .P.1/; P.2// der totalen Wahrscheinlichkeiten zu entnehmen. An den Endknoten des Entscheidungsbaumes ist der jeweilige Gewinn (in Mio. Euro) notiert, von dem jedoch unter Umständen noch die Kosten der Expertise (0,1 Mio. Euro) abzuziehen sind. Zur Bestimmung der optimalen Politik von Daniel Dreistein wird zunächst der erwartete Gewinn in den Zuständen B bis D , also für Fälle, in denen sich Dreistein für die Vermarktung entscheidet, berechnet: EB D 1 67 3 17 D 37 EC D 1 29 3 79 D 199 ED D 1 23 3 13 D 13 : Wegen EB > 0, EC < 0, ED < 0 sollte Herr Dreistein eine Markteinführung grundsätzlich nur erwägen, wenn er zuvor eine Expertise in Auftrag gegeben Lösungen zu Kapitel 9 227 hat und diese eine hohe Nachfrage prognostiziert. Um zu klären, ob die Expertise in Auftrag gegeben werden soll, ist nun noch der Erwartungswert im Zustand A zu berechnen und abzüglich der Kosten der Expertise in Höhe von 0,1 Mio. Euro mit dem Ergebnis 0 bei Verzicht auf die Expertise zu vergleichen: EA 110 D 37 710 C 0 310 110 D 310 110 D 210 > 0: Folglich sollte Daniel Dreistein die Unternehmensberatung Schlau & Berger mit der Erstellung der Expertise beauftragen. Sagt diese eine hohe Nachfrage vorher, ist eine Vermarktung des Picknick-Toasters ratsam, ansonsten nicht. Verfolgt Daniel Dreistein diese Politik, beträgt sein erwarteter Gewinn 2 10 Mio. Euro D 200 000 Euro. D 1=3 gering 2=3 hoch C 7=9 gering 2=9 hoch B 1=7 gering 6=7 hoch 4 keine Vermarktung Verm arktu ng 3 keine Vermarktung Verm arktu ng 2 keine Vermarktung Verm arktu ng A Expertise: gering 3=10 Ex pe rti se : h oc h 7= 10 1 Ex pe rti se 0 ;1 0 keine Expertise 0 3 1 0 3 1 0 3 1 1=3 19=9 3=7 0 0 3=7 3=10 2=10 228 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Bemerkung zu Aufgabe 9.14* Die geschilderte Entscheidungssituation ist vom Typ „Informationsbeschaffung bei unvollkommenen Informationssystemen“, vergleiche Bamberg et al. (2012b, Abschnitt 6.3). Deshalb lässt sich Aufgabe 9.14* auch mit den Konzepten dieses Kapitels lösen. Insbesondere ist es möglich, den EWSI zur Klärung der Frage, ob die Expertise in Auftrag gegeben werden sollte, heranzuziehen. Dieser kann, da die Matrix ‰ der a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten und der Vektor .P.1/; P.2// der totalen Wahrscheinlichkeiten bereits errechnet wurden, leicht nach der im Anschluss an die Lösung zu Aufgabe 6.6* formulierten Bemerkung 2 ermittelt werden. Aus der zu Grunde liegenden Entscheidungsmatrix U ´1 ´2 a1 1 3 a2 0 0 (mit a1: Vermarktung, a2: keine Vermarktung und mit ´1: Nachfrage hoch, ´2: Nachfrage niedrig) ergibt sich die Opportunitätskostenmatrix S D 0 3 1 0 ! : Hieraus (in Verbindung mit der a-priori-Verteilung ' D .2 3 ; 1 3 /) erhält man den Erwartungswert der vollkommenen Information EWVI D min¹0 2 3 C 3 1 3 I 1 2 3 C 0 1 3 º D 2 3 sowie die Matrix S‰ D 3 7 7 3 6 7 2 9 ! ; in der die Spaltenminima grau unterlegt sind. Folglich gilt EWSI D 2 3 .P.1/ 3 7 C P.2/ 2 9 / D 2 3 . 3 10 C 1 15 / D 2 3 11 30 D 3 10 ; und da der Wert höher ist als die Kosten 0;1 der Expertise, sollte die Expertise eingeholt werden. Lösungen zu Kapitel 9 229 Lösung zu Aufgabe 9.15* Konrad Knobels Problem lässt sich auf verschiedene Arten lösen. Nachfolgend sowie in der anschließenden Bemerkung zu Aufgabe 9.15* werden zwei auf Entscheidungsbäumen basierende Ansätze präsentiert. Daneben können auch andere wahrscheinlichkeitstheoretische Überlegungen angestellt werden, die keine Entscheidungsbäume verwenden. a) Bei der im Folgenden durchgeführten Möglichkeit gehen wir zunächst ohne Beschränkung der Allgemeinheit davon aus, dass Herr Knobel einen Gewinn in Höhe von x (mit x > 0) erhält, falls er sich (gegebenenfalls nach Revision seiner Nennung) für die richtige Alternative entschieden hat, und ansonsten einen Gewinn in Höhe von 0. sofern Herr Knobel bei seiner ersten Entscheidung die richtige Antwort nennt (und somit der Quizmaster eine von zwei verbleibenden falschen Alternativen streicht), stets – ohne dass Herr Knobel dies weiß – diejenige falsche Alternative gestrichen wird, deren Buchstabe weiter vorne im Alphabet steht. (Hat also Herr Knobel zum Beispiel a gewählt und ist dies die richtige Antwort, so wird der Quizmaster b streichen und Knobel den Wechsel zu c anbieten.) Im Entscheidungsbaum (in dem der Startknoten Herrn Knobels primäre Entscheidungssituation darstellt) sind somit in der Reihe der Entscheidungsknoten 1 bis 9 jeweils nur noch die beiden angegebenen Alternativen möglich. Der hieraus resultierende Entscheidungsbaum ist auf der nächsten Seite zu finden. Man beachte, dass die drei in den Zufallsknoten A , B , C beginnenden Teilbäume jeweils die gleiche Struktur besitzen: Es folgen auf die Zufallsknoten, von denen jeder Herrn Knobels Wahrscheinlichkeitseinschätzung bezüglich der Richtigkeit der angebotenen Antwortmöglichkeiten a, b, c beschreibt, jeweils drei Entscheidungsknoten (nach A die Entscheidungsknoten 1 , 2 , 3 ; nach B die Entscheidungsknoten 4 , 5 , 6 ; nach C die Entscheidungsknoten 7 , 8 , 9 ). Da Herr Knobel die korrekte Antwort nicht kennt, bilden diese Dreiergruppen von Entscheidungsknoten jeweils eine so genannte Informationsmenge. Das ist eine Menge durch den Entscheidungsträger nicht unterscheidbarer Zustände, die von ihm als eine Entscheidungssituation wahrgenommen wird und in der er dementsprechend nur eine Entscheidung trifft (die dann für alle Zustände der Informationsmenge gültig ist). 230 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen 9 8 7 6 5 4 3 2 1 C B A c b a 1=3 c 1=3 b 1=3 a 1=3 c 1=3 b 1=3 a 1=3 c 1=3 b 1=3 a c b c b c a c b c b b a c a b a c a x 0 0 x 0 x x 0 0 x 0 x x 0 x 0 0 x Lösungen zu Kapitel 9 231 In dem der Informationsmenge entsprechenden Zustand kann Konrad Knobel de facto aus zwei Alternativen wählen, nämlich die ursprüngliche Entscheidung revidieren (r ; für den in A beginnenden Teilbaum würde das bedeuten, zu Alternative b oder c zu wechseln) oder die ursprüngliche Entscheidung beizubehalten ( Nr). Für jede dieser drei Informationsmengen gilt, dass eine Revision in zwei der drei in der Informationsmenge enthaltenen Fälle zum Gewinn in Höhe von x führt. Auf Grund der Strukturgleichheit der drei Teilbäume genügt es, im Folgenden einen, zum Beispiel den mit A beginnenden, Teilbaum zu untersuchen; ersetzt man darin die Strategie a durch Nr (ursprüngliche Wahl beibehalten) und die Strategien b; c durch r (Entscheidung revidieren), so erhält man: 3 2 1 A 1=3 c 1=3 b 1=3 a r Nr r Nr r Nr x 0 x 0 0 x Zur Kennzeichnung, dass die Dreiergruppe 1 , 2 , 3 eine Informationsmenge bildet, wurde sie eingekreist. (Auf eben diese Weise haben wir Informationsmengen auch in der Spieltheorie dargestellt; siehe etwa die Lösung von Aufgabe 7.1). Würde Herr Knobel in dieser Situation seine Entscheidung beibehalten (und mithin Nr wählen), so ergäbe sich ein Gewinnerwartungswert in Höhe von E Nr D x 13 C 0 13 C 0 13 D 13 xI würde er dagegen seine Entscheidung revidieren, wäre der erwartete Gewinn Er D 0 13 C x 13 C x 13 D 23 x: Da offenkundig Er > E Nr gilt, ist es für Herrn Knobel vorteilhaft, seine ursprüngliche Antwort zu revidieren. Dies gilt in gleicher Weise für alle drei Zufallsknoten A , B , C . Weil darüber hinaus alle Erwartungswerte dieser Zufallsknoten (bei Wahl von r) gleich sind, ist Herrn Knobels Entscheidung in der ersten Stufe (der primären Entscheidungssi- 232 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen tuation) ohne Belang. Demnach besteht die optimale Politik von Herrn Knobel darin, zunächst (Stufe 1) eine beliebige Alternative zu wählen und diese Wahl sodann (in der zweiten Stufe) zu revidieren. b) Herr Knobel entscheidet sich nun wegen p > 1 3 für Antwort a. Im damit relevanten, mit A beginnenden Teilbaum ist lediglich die Wahrscheinlichkeit für Alternative a durch p und die Wahrscheinlichkeiten für b und c durch 1 2 .1 p/ zu ersetzen. Dann sind E Nr D x p C 0 12 .1 p/C 0 12 .1 p/ D x p und Er D 0 p C x 12 .1 p/C x 12 .1 p/ D x .1 p/: Herr Knobel wird somit wegen E Nr > Er ” p > 1 p ” p > 12 seine ursprüngliche Entscheidung nicht revidieren, wenn er dieser eine Wahrscheinlichkeit p von mehr als 50% zuordnet. Bei p < 50% wird er revidieren; bei p D 50% ist er indifferent. Bemerkung zu Aufgabe 9.15* Auch gemäß der bei Aufgabe 9.14* angewandten Vorgehensweise kann Herr Knobel sein Problem mithilfe eines Entscheidungsbaumes lösen. Der Startknoten stellt wieder seine Erstentscheidungssituation dar, in der er auf die Quizfrage hin eine der Antwortalternativen a, b oder c auszuwählen hat. Das beschriebene Streichen einer falschen Antwortmöglichkeit kann Herr Knobel dann als eine Nachricht auffassen und (unter Berücksichtigung seiner Erstentscheidung) in Abhängigkeit davon, ob Antwortalternative a, b oder c richtig ist, die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten dieser Nachricht bestimmen. Für den Fall, dass die Erstentscheidung auf a gefallen ist, führen wir diese Bestimmung nun durch. Da a als Alternative, die der Quizmaster streichen könnte, ausfällt, sind die Wahrscheinlichkeiten P.yj´/, nämlich dass der Quizmaster die Antwortmöglichkeit y streicht, wenn ´ die korrekte Antwort darstellt, für y 2 ¹bI cº und ´ 2 ¹aI bI cº festzulegen. Im Einzelnen ergibt sich: P.bja/ D 1 2 ; P.cja/ D 1 2 I denn wenn a richtig ist, hat der Quizmaster für das Streichen einer falschen Alternative freie Auswahl zwischen b und c, was aus Herrn Knobels Sicht P.bja/ D P.cja/ bedeutet. P.bjb/ D 0; P.cjb/ D 1I denn wenn b richtig ist, kann nur c gestrichen werden. Also folgt P.bjc/ D 1; P.cjc/ D 0: Lösungen zu Kapitel 9 233 Stellen wir nun die a-priori-Wahrscheinlichkeiten '.´/ für die Richtigkeit der einzelnen Antwortmöglichkeiten ´ 2 ¹aI bI cº für beide Aufgabenteile a), b) gemeinsam dar gemäß .'.a/; '.b/; '.c// D .p; 1 p 2 ; 1 p 2 / (mit p D 1 3 beziehungsweise p > 1 3 bei Aufgabenteil a) beziehungsweise b)), so ergeben sich folgende totale Wahrscheinlichkeiten P.y/ dafür, dass die Antwortalternative y 2 ¹bI cº gestrichen wird: P.b/ D P.bja/ P.a/C P.bjb/ P.b/C P.bjc/ P.c/ D 1 2 p C 0 1 p 2 C 1 1 p 2 D 1 2 ; und entsprechend P.c/ D 1 2 p C 1 1 p 2 C 0 1 p 2 D 1 2 : Indemman die einzelnen Summanden dieser Berechnung durch das Summationsergebnis dividiert, erhält man schließlich die a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten .´jy/ dafür, dass Anwortmöglichkeit ´ korrekt ist, wenn der Quizmaster die Alternative y gestrichen hat, also .ajb/ D 12 p1 2 D p; .bjb/ D 0; .cjb/ D 1 p; und entsprechend .ajc/ D p; .bjc/ D 1 p; .cjc/ D 0: Für die beiden anderen (in Aufgabenteil a) relevanten) Fälle, dass die Erstentscheidung auf b beziehungsweise c gefallen ist, können die totalen und die a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten analog bestimmt werden. Bei der graphischen Darstellung beschränken wir uns auf den die Erstentscheidung a repräsentierenden Teilbaum auf der nächsten Seite. Die Verzweigung in A beschreibt dabei das Eintreten der Nachricht y 2 ¹bI cº (das heißt Alternative y wird gestrichen); zugeordnet sind die totalen Wahrscheinlichkeiten P.y/. In 1 , 2 wird die Situation, in der Herr Knobel seine Erstentscheidung revidieren (r) oder sie beibehalten kann ( Nr), dargestellt. Die Zufallsknoten B bis E schließlich halten fest, mit welchen (aposteriori-)Wahrscheinlichkeiten die Antwortalternativen a, b oder c richtig sind, wobei Pfeile mit Wahrscheinlichkeit 0 weggelassen wurden; die damit verbundenen Auszahlungen x (bei Gewinn) oder 0 stehen an den Endknoten. Da hier keine mehrknotigen Informationsmengen vorliegen, kann wieder von rechts nach links Erwartungswertbildung (bei ) beziehungsweise Maximumsbestimmung (bei ) durchgeführt werden. Man erhält EB D ED D p x, EC D EE D .1 p/ x. 234 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen E D C B 2 1 Aa 1=2 c 1= 2 b r ¶ b Nr ¶ a r ¶ c Nr ¶ a 1 p b p a 1 p b p a 1 p c p a 1 p c p a x 0 0 x x 0 0 x .1 p/ x p x .1 p/ x p x x max¹pI 1 pº x max¹pI 1 pº x m ax ¹p I1 p º Sowohl in 1 als auch in 2 ist also das Maximum aus p x, .1 p/ x zu bilden, welches für p > 1 2 durch Nr , für p < 1 2 durch r (und für p D 1 2 durch beide) erreicht wird. Da die Maximalwerte in 1 und 2 übereinstimmen, sind sie automatisch gleich dem Erwartungswert EA. Auch bei diesem Lösungsansatz zeigt sich insgesamt, dass Herr Knobel bei p < 1 2 (also insbesondere im Aufgabenteil a)) seine Erstentscheidung stets revidieren und sie bei p > 1 2 stets beibehalten sollte; bei p D 1 2 ist er indifferent. Lösung zu Aufgabe 9.16* Auf Grund des konstanten Kilopreises in Höhe von 9 Euro ergibt sich der jährliche Umsatz als yt D 9 xt . Substitutiert man dies in die Zielfunktion U D 3X tD1 p yt D 3X tD1 p 9 xt D 3 3X tD1 p xt ; so erkennt man, dass die Maximierung von U und von QU D 3X tD1 p xt Lösungen zu Kapitel 9 235 trivialerweise zur gleichen Politik führen. Daher wird im Folgenden QU als Zielfunktion verwendet. Sie ist zu maximieren durch geeignete Festlegung der Fangmengen x1, x2, x3. Offenkundig dürfen diese nicht negativ gewählt werden. Darüber hinaus sind einige weitere Bedingungen zu beachten: Bezeichnet man mit ´t den Fischbestand im Zeitpunkt t in kg (wobei für den Anfangsbestand ´0 D 840 gilt), so wird die Bestandsveränderung im Jahr t beschrieben durch die Transformationsfunktion ´t D gt .´t 1; xt / D 2 .´t 1 xt /; wobei für die Fangmenge in t gelten muss xt 2 Œ0I ´t 1 : Da diese Steuerbereiche stetig sind, scheidet der Einsatz von Entscheidungsbäumen zur Lösung der insgesamt resultierenden dynamischen Optimierungsaufgabe QU D 3X tD1 p xt ! max unter Beachtung von 8̂< :̂ ´0 D 840 ´t D 2 .´t 1 xt / xt 2 Œ0I ´t 1 aus. Stattdessen ist das Optimalitätsprinzip von Bellman im Rahmen der dynamischen Programmierung zu verwenden. Beginnen wir nun mit der Rückwärtsrechnung. Da Herr Ring einen Endbestand ´3 D 0 zulässt, wird das dritte Stufenergebnis Qu3.´2; x3/ D px3 trivialerweise maximiert durch Wahl der größten Fangmenge x3.´2/ D ´2 (interpretiert als Funktion, die die optimale Reaktion auf den Fischbestand ´2 beschreibt), woraus das Stufenergebnis Qu3.´2; x3.´2// D p´2 resultiert. Als nächstes berücksichtigt man, dass der Fischbestand nach zwei Jahren durch die Transformationsfunktion ´2 D g2.´1; x2/ D 2 .´1 x2/ gegeben ist und somit Qu3.´2; x3/ D p 2 .´1 x2/ gelten muss. Addiert man hierzu das Stufenergebnis in t D 2, Qu2.´1; x2/ Dp x2, so erhält man die im nächsten Schritt bezüglich x2 zu maximierende Funktion Qu2.´1; x2/C Qu3.´2; x3/ D p x2 C p 2 .´1 x2/: 236 9. Kapitel. Aufgaben zu mehrstufigen Entscheidungen Nullsetzen der ersten Ableitung dieser Funktion nach x2, @ @ x2 Œ Qu2.´1; x2/C Qu3.´2; x3/ D 1 2 p x2 1p 2 .´1 x2/ D 0; führt zu x2.´1/ D 13 ´1: Wie man sich leicht überzeugen kann, ist die hinreichende Bedingung zweiter Ordnung für ein Maximum erfüllt: Die zweite Ableitung nach x2, @2 @ x22 Œ Qu2.´1; x2/C Qu3.´2; x3/ D 1 4 p x23 1 2 p 2 .´1 x2/3 ; ist offenkundig negativ für alle x2 2 .0I ´1/ – und damit insbesondere auch für x2.´1/ D 13 ´1. Setzt man in x2.´1/ wiederum die Transformationsbeziehung ´1 D g1.´0; x1/ D 2 .´0 x1/ D 2 .840 x1/ ein, so erhält man mit x2.´1/ D x2.g1.´0; x1// D 13 2 .840 x1/ D 23 .840 x1/ die optimale Stufenentscheidung in t D 2 in Abhängigkeit von der Stufenentscheidung in t D 1. Die im zweiten Schritt maximierte Summe Qu2 C Qu3 lässt sich dann wie folgt ausdrücken: Qu2 C Qu3 D p x2 C p 2 .´1 x2/ D q 2 3 .840 x1/C q 8 3 .840 x1/ D p6 p 840 x1: Addiert man hierzu das Stufenergebnis in t D 1, Qu1.´0; x1/ D px1, so resultiert folgende Darstellung der Zielfunktion QU : QU D Qu1.´0; x1/C Qu2.´1; x2/C Qu3.´2; x3/ D p x1 C p 6 p 840 x1; die nunmehr nur noch bezüglich x1 zu maximieren ist. Nullsetzen der ersten Ableitung nach x1 ergibt @ QU @x1 D 1 2 p x1 p 6 2 p 840 x1 D 0 ” x 1 D 840 7 D 120: Lösungen zu Kapitel 9 237 Dass x 1 D 120 die Zielfunktion maximiert (und nicht etwa minimiert) ist unmittelbar anhand der zweiten Ableitung @2 QU @x12 D 1 4 p x13 p 6 4 p .840 x1/3 zu erkennen: Ihr Vorzeichen ist für alle x1 2 .0I 840/ negativ – und somit auch an der Stelle x 1 D 120. Damit ist die Rückwärtsrechnung abgeschlossen, und wir können im Rahmen der Vorwärtsrechnung – die nun nur noch aus systematischem Einsetzen in die oben ermittelten Beziehungen besteht – die optimale Politik von Herrn Ring bestimmen: x 1 D D 120 ´ 1 D g1. 840; 120/ D 2 . 840 120/ D 1 440 x 2 D x2.1 440/ D 13 1 440 D 480 ´ 2 D g2.1 440; 480/ D 2 .1 440 480/ D 1 920 x 3 D x3.1 920/ D 1 920 ´ 3 D g3.1 920; 1 920/ D 2 .1 920 1 920/ D 0: Verfolgt er die optimale Politik ı D .x 1 ; x 2 ; x 3 / D .120; 480; 1 920/, entnimmt er also im Dezember 2003 insgesamt 120 kg, im Dezember 2004 insgesamt 480 kg und im Dezember 2005 den verbleibenden Restbestand in Höhe von 1 920 kg, so wird er die Umsätze .y 1 ; y 2 ; y 3 / D 9 .120; 480; 1 920/ D .1 080; 4 320; 17 280/ und damit einen Zielfunktionswert in Höhe von U D p1 080Cp4 320Cp17 280 D 42p30 D 230;04 erzielen.

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References

Zusammenfassung

Zum Werk

Das Arbeitsbuch dient der Einübung grundlegender Begriffe und Verfahren der betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre. Es enthält mehr als 100 typische Klausuraufgaben betreffend

- das Grundmodell der betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre

- Entscheidungen bei Sicherheit und mehrfacher Zielsetzung

- Entscheidungen bei Risiko

- Entscheidungen bei Ungewissheit

- Entscheidungen bei variabler Informationsstruktur

- Grundbegriffe der Spieltheorie

- Gremienentscheidungen

- Mehrstufige Entscheidungen.

Alle Aufgaben wurden jeweils mit einer ausführlichen Musterlösung versehen.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik der Universität Augsburg. PD Dr. Franz Baur ist Akademischer Direktor a.D. am Lehrstuhl für Statistik der Universität Augsburg. Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.