3: Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit in:

Günter Bamberg, Franz Baur, Michael Krapp

Arbeitsbuch zur betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre, page 15 - 56

3. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-4523-7, ISBN online: 978-3-8006-4360-8, https://doi.org/10.15358/9783800643608_15

Series: Vahlens Kurzlehrbücher

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3. Kapitel Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit und mehrfacher Zielsetzung Aufgabe 3.1 Eine Firma, die Herrenhemden herstellen will, hat dazu eine von drei möglichen Stoffarten ai auszuwählen. Von einem Expertengremium wurden die drei möglichen Stoffarten bezüglich der vier Eigenschaften k1: Reißfestigkeit, k2: Knitterverhalten, k3: Wasserdampfdurchlässigkeit und k4: Waschechtheit bewertet. Dabei konnten jedem ai bezüglich jeder Eigenschaft kp zwischen 0 und 10 Punkte zugeordnet werden (mit Punktezahl 10 als bester und 0 als schlechtester Wertung). Das Gremium kam zu folgendem Ergebnis, das den nachstehenden Fragen a) bis d) zu Grunde gelegt ist: k1 k2 k3 k4 a1 9 7 5 8 a2 8 7 5 7 a3 9 7 8 6 a) Gibt es ineffiziente Möglichkeiten der Stoffauswahl? Wenn ja, welche? b) Zu welcher Bewertungsreihenfolge führt die lexikografische Ordnung, wenn bezüglich der Wichtigkeit der Eigenschaften k1 k2 k3 k4 angenommen wird? c) Welche Reihenfolge der ai liefert die Körth-Regel? d) Welche Reihenfolge ergibt sich beimGoal-Programming-Ansatz, wenn als Zielvorgabe Oup für jedes p die Höchstpunktezahl 10 angesetzt wird? 12 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Aufgabe 3.2 Die Regierung eines Landes hat aus vier in die Endauswahl gelangten Bewerbern a1; : : : ; a4 den Ort der nächsten Landesgartenschau auszuwählen. Folgende Nutzenmatrix liegt dieser Auswahl zu Grunde: k1 k2 k3 a1 3 5 2 a2 5 4 2 a3 5 3 1 a4 4 4 2 Die unter k1 beziehungsweise k2 stehenden Zahlen sind dabei Punktebewertungen, die von je einem Gutachtergremium über die gärtnerische beziehungsweise städtebauliche Qualität der eingereichten Bewerbungen abgegeben wurden (mit 5 als bestmöglicher, . . . , 1 als schlechtestmöglicher Wertung). In der Spalte unter k3 kommt zum Ausdruck, ob die Entfernung eines Bewerbers zum Ort der letzten Landesgartenschau gering (¶ Nutzenwert 1) oder hinreichend groß (¶ Nutzenwert 2) ist. a) Gibt es ineffiziente Bewerber? Wenn ja, welche? b) Welche Bewertungsreihenfolge der 4 Orte ergibt sich nach der lexikografischen Ordnung unter der Annahme k1 k2 k3? c) Zu welcher Bewertungsreihenfolge der 4 Orte führt die Anwendung der Körth-Regel? d) Nehmen Sie an, in der entscheidenden (nicht-öffentlichen) Kabinettssitzung werde zusätzlich zu k1; k2; k3 als vierte Zielgröße die Parteizugehörigkeit der Oberbürgermeister der Bewerberstädte eingeführt; dabei werde den Orten a1 und a4, in denen der Oberbürgermeister der Regierungspartei angehört, jeweils ein doppelt so hoher (positiver) Nutzenwert zugeordnet wie jedem der beiden anderen Orte, in denen dies nicht der Fall ist. 1. Welche Stadt bekäme unter dieser Annahme die nächste Landesgartenschau bei Anwendung der Körth-Regel? 2. Ergibt sich in der Frage der Ineffizienz eine Änderung gegenüber a)? 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit 13 Aufgabe 3.3 Eine Unternehmung der Kunststoffbranche stellt Polyurethan-Schaum her, den sie teils zu Hartschaumplatten und teils zu Weichschaumplatten verarbeitet. Die Hartschaumplatten dienen zur Wärmedämmung von Gebäuden; die Weichschaumplatten, die in den Typen A und B hergestellt werden, dienen zur Verpackung empfindlicher Maschinen. Aus den für die nächste Zeitperiode vertraglich zugesicherten Rohstoffen können je nach Einsatz des Produktionsprogrammes a1; : : : ; a5 folgende Stückzahlen hergestellt werden: WeichschaumplattenHartschaumplatten Typ A Typ B a1 1 000 000 0 0 a2 700 000 250 000 300 000 a3 500 000 400 000 500 000 a4 500 000 500 000 400 000 a5 0 1 000 000 1 000 000 a) Welche Aktionen, d.h. welche Produktionsprogramme, sind effizient? b) Der Markt für Hartschaumplatten werde wegen steuerlicher Vergünstigungen, die die Regierung für wärmedämmende Maßnahmen gewährt, für wichtiger gehalten als der Markt für Verpackungsmaterial. Unter den Weichschaumplatten gilt der Typ A als der aussichtsreichere. Welche Bewertungsreihenfolge der Aktionen ergibt sich bezüglich der lexikografischen Ordnung? c) Welche Bewertungsreihenfolge der Aktionen ergibt sich bei der Zielvorgabe: „1 000 000 Stück Hartschaumplatten und jeweils 300 000 Stück der Weichschaumplatten der Typen A und B“? Dabei gelte eine Aktion a besser als eine Aktion a0, wenn die Summe der absoluten Abweichungen von den Zielvorgaben bei a kleiner als bei a0 ist. d) Die Deckungsbeiträge pro Stück seien: 5;00 Euro für die Hartschaumplatten 2;50 Euro für die Weichschaumplatten Typ A 2;00 Euro für die Weichschaumplatten Typ B Welches Produktionsprogramm maximiert den gesamten Deckungsbeitrag? 14 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit e) Die Beurteilung gemäß d) entspricht einer Zielgewichtung. Wie lauten die zugehörigen Gewichte gi , i D 1; 2; 3, wenn dabei g1Cg2Cg3 D 1 gefordert wird? Aufgabe 3.4 Zur Durchführung eines bestimmten Auftrages stehen einer Firma drei verschiedene Handlungsalternativen zur Verfügung. Folgende Tabelle gibt an, welche Menge eines Rohstoffes R dabei verbraucht wird, wie lange eine MaschineM laufen muss, beziehungsweise welchen Gewinn die Firma erwarten kann: bei Verbrauch von R Laufzeit vonM Gewinn Alternative (in kg) (in Std.) in 1 000 Euro 1 40 80 15 2 40 60 10 3 60 40 15 Die Firma ist nicht nur an möglichst hohem Gewinn interessiert (Ziel k1), sondern auch an möglichst sparsamem Umgang mit dem Rohstoff beziehungsweise der Maschinenzeit (Ziele k2 beziehungsweise k3). Dabei wird der Nutzen gemessen bei k1 durch die angegebenen Gewinnwerte (in 1 000 Euro), bei k2 durch die nach Durchführung des Auftrages verbleibende Rohstoffmenge (in kg), wobei vor Durchführung des Auftrages 100 kg von R vorhanden sind, bei k3 durch die Differenz zwischen der maximal auftretenden Laufzeit von M (D 80 Std.) und der bei Alternative i tatsächlich auftretenden Laufzeit (in Std.). a) Erstellen Sie die Entscheidungsmatrix. b) Gibt es ineffiziente Alternativen? Wenn ja, welche? c) Zu welcher Bewertungsreihenfolge der drei Alternativen führt die lexikografische Ordnung, wenn k1 k2 k3 die Reihenfolge der Ziele bezüglich ihrer Wichtigkeit beschreibt? d) Welche Bewertungsreihenfolge liefert eine Zielgewichtung, wenn für die drei Ziele (bei den oben festgelegten Maßeinheiten der einzelnen Nutzenmessungen) eine Dringlichkeitsordnung im Verhältnis k1 W k2 W k3 D 8 W 1 W 1 gegeben ist? 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit 15 e) Welche Handlungsalternative ist optimal nach der Körth-Regel? f) Zu welcher Bewertungsreihenfolge führt der Goal-Programming-Ansatz, wenn als Zielvorgaben die Spaltenmaxima der Entscheidungsmatrix gewählt werden? Aufgabe 3.5 Mit einem bestimmten Geldbetrag kann genau eines der drei Wertpapiere a1; a2; a3 erworben werden. Die Verteilungsfunktionen F1; F2; F3 der zugehörigen (und bereits diskontierten) Gewinne X1; X2; X3 seien F1.x/ D 8̂̂ ˆ̂̂̂< ˆ̂̂̂̂ :̂ 0 für x < 1 000 0;2 für 1 000 5 x < 0 0;4 für 0 5 x < 1 000 0;7 für 1 000 5 x < 2 000 1 für 2 000 5 x F2.x/ D 8̂< :̂ 0 für x < 0 x 2000 für 0 5 x < 2 000 1 für 2 000 5 x F3.x/ D 8̂< :̂ 0 für x < 1 000 xC1000 5000 für 1 000 5 x < 4 000 1 für 4 000 5 x Der Anleger verfolgt drei Zielsetzungen: Maximierung des Gewinnerwartungswertes (D Ziel k1) Minimierung der Gewinnvarianz 2 (D Ziel k2) Minimierung der Verlustwahrscheinlichkeit (D Ziel k3) a) Erstellen Sie die Entscheidungsmatrix, indem Sie als Nutzenwerte bei k1 die Gewinnerwartungswerte, bei k2 die Beträge der Differenzen aus der jeweiligen Gewinnvarianz und der maximal auftretenden Gewinnvarianz, beziehungsweise bei k3 die Werte .1 Verlustwahrscheinlichkeit/ ansetzen. b) Welche der drei Wertpapierkäufe sind effizient? 16 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit c) Welche Rangfolge ergibt sich bei Zugrundelegung der lexikografischen Zielordnung k1 k2 k3? d) Frau Reich beurteilt die drei Wertpapiere gemäß der (zu maximierenden) Bewertungsfunktion ˆ.ai / D i 0;001 2i . 1. Welche Bewertungsreihenfolge ergibt sich? 2. Weisen Sie nach, dass die Beurteilung gemäß ˆ – bis auf eine additive Konstante – einer speziellen, auf die Entscheidungsmatrix aus a) angewandten Zielgewichtung entspricht, und geben Sie an, wie sich dabei die Gewichte gp der Ziele kp , p D 1; 2; 3, zueinander verhalten. Aufgabe 3.6 Die Zeitschrift RadWelt, das ADFC-Magazin, enthielt in der Ausgabe 3 / 00 vom Mai / Juni des Jahres 2000 folgende Tabelle: Mobilitätswunder Fahrrad Vergleich der ökologisch relevanten Parameter der verschiedenen Verkehrsmittel mit dem Privatauto bei gleicher Zahl von Personenkilometern (Basis 100 (PKW ohne Katalysator)) PKW PKW /Kat Bus Rad Flugzeug Zug Platzverbrauch 100 100 10 8 1 6 Primärenergieverbrauch 100 100 30 0 405 34 Kohlendioxid 100 100 29 0 420 30 Stickoxide 100 15 9 0 290 4 Kohlenwasserstoffe 100 15 8 0 140 2 Kohlenmonoxid 100 15 2 0 93 1 Luftverschmutzung 100 15 9 0 250 3 Induziertes Unfallrisiko 100 100 9 2 12 3 (aus: Fahrradfreundliche Städte: Vorwärts im Sattel, Europäische Kommission, Datenquelle: UPI, Heidelberg) / Es ist davon auszugehen, dass unter „Luftverschmutzung“ die in den Zeilen 3 bis 6 einzeln genannten Stoffe nicht mehr mitgerechnet wurden. Stellen Sie sich vor, Sie haben sich für eines der angegebenen Verkehrsmittel (a1: PKW ohne Katalysator, a2: PKW mit Katalysator, . . . , a6: Zug) zu entscheiden und dabei als Zielgrößen ausschließlich die in der Tabelle enthaltenen ökologisch relevanten Parameter (k1: Platzverbrauch, . . . , k8: induziertes Unfallrisiko) zu berücksichtigen. 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit 17 Beachten Sie, dass es sich bei den Zahlen in der Tabelle nicht um Nutzen-, sondern um Schadenswerte handelt, genauer um relative Schadenswerte, da sie jeweils auf die Ergebnisse beim PKW ohne Katalysator („Basis 100“) bezogen sind. Dies bedeutet: wenn man mit sip die bei Zielgröße kp und Verkehrsmittel ai auftretenden absoluten Schadenswerte bezeichnet (die zum Beispiel bei k3: „Kohlendioxid“ in Gramm pro Person und Kilometer gemessen sein könnten), so enthält die Tabelle die Ergebnisse 100 sip=s1p; i D 1; : : : ; 6; p D 1; : : : ; 8; die sip selber sind nicht angegeben, sollten aber gedanklich der Beantwortung der folgenden zwei Fragen zu Grunde gelegt werden. a) Welche Verkehrsmittel sind effizient, welche ineffizient? b) Welche Bewertungsreihenfolge der sechs Verkehrsmittel liefert eine „sinngemäße Übertragung der Körth-Regel“ auf obiges Entscheidungsproblem? Verwenden Sie dabei die Matrix der „zielspezifischen Schadensgrade“ sip max h shp I i D 1; : : : ; 6I p D 1; : : : ; 8: Aufgabe 3.7 Ein Student steht nach Abschluss einer Zwischenprüfung vor dem Problem, sich für (genau) einen von drei infrage kommenden Studiengängen a1, a2 oder a3 entscheiden zu müssen. Für den Studenten sind dabei vier Zielsetzungen k1; : : : ; k4 relevant; er überlegt sich nämlich, inwieweit jeder der drei Studiengänge seinen persönlichen Neigungen nahe kommt (k1) ein gutes Abschlusszeugnis erwarten lässt (k2) Aussichten bietet, nach Beendigung des Studiums eine Anstellung zu finden (k3) von einem sympathischen Lehrstuhlinhaber angeboten wird (k4). Der Student versucht, eine subjektive Punktebewertung uip für die einzelnen Studiengänge ai beziehungsweise die Ziele kp anzugeben. Die Punktezahlen seien Elemente aus ¹0I 1I : : : I 10º, wobei gelten soll: je höher die Punktezahl, desto besser die Bewertung. Folgende Matrix enthält alle Bewertungen, die der Student anzugeben vermag:0 B@8 6 2 78 4 5 4 6 7 9 1 CA 18 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Der Student sieht sich nicht in der Lage, den fehlendenWert u33 (wobei u33 2 ¹0I 1I : : : I 10º gilt) festzulegen. In den folgenden Fragen a), . . . , d) seien die uip als kardinale Ausprägungen anzusehen. a) Gibt es einen Wert für u33, so dass a3 ineffizient ist? b) Die Ziele seien lexikografisch geordnet gemäß k1 k3 k2 k4. Lässt sich die daraus resultierende Bewertungsreihenfolge der Studiengänge ohne Kenntnis von u33 angeben? Wenn ja, welche Reihenfolge ergibt sich? c) Nun seien die Studiengänge nach der Zielgewichtung k1 W k2 W k3 W k4 D3 W 3 W 3 W 1 zu bewerten. Wie groß muss u33 mindestens sein, damit a3 bei dieser Bewertung optimal wird? d) Welcher Studiengang ist nach der Körth-Regel optimal, falls u33 = 5 angenommen wird? e) Geben Sie eine der unter b), . . . , d) benutzten Bewertungsregeln an, die sinnvoll bleibt, wenn die uip nur als ordinal gemessene Daten angesehen werden dürfen. Aufgabe 3.8 Ein Investor erhält per Telefax die Unterlagen für die endgültige Auswahl einer von vier Anlagealternativen. Dabei wurden durch eine Leitungsstörung bei den Bewertungen der vier Ziele k1: Sicherheit, k2: Rendite, k3: Flexibilität der Kapitalbindung und k4: Abwägbarkeit des technologischen Risikos zwei Werte nicht übertragen. Die unvollständige kardinale Nutzenmatrix besitzt die folgende Gestalt: k1 k2 k3 k4 a1 3 4 1 u14 a2 4 3 0 1 a3 5 1 2 1 a4 u41 4 1 2 a) Kann a1 ineffiziente Alternative sein? Welche Bedingungen sind dann an u14 und u41 zu stellen? b) Für welche u14 und u41 reduziert sich die Alternativenmenge auf zwei undominierte Alternativen? Der Investor gewichtet die vier Ziele im Verhältnis k1 W k2 W k3 W k4 gemäß 1 W 4 W 3 W 2. 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit 19 c) Bestimmen Sie ˆ.ai / für i D 1; : : : ; 4 unter Verwendung dieser Zielgewichtung. Für welche Bedingung wird a1 der Alternative a4 vorgezogen? d) Für welche Bedingung an u14 und u41 wird a1 der Alternative a4 bei Verwendung der lexikografischen Ordnung vorgezogen, wenn die Reihenfolge der Ziele bezüglich ihrer Wichtigkeit aus obiger Gewichtung abgelesen wird? e) Der Investor gibt für alle vier Ziele einen Zielwert von 4 D Oup vor. Bestimmen Sie unter der Kenntnis von 0 5 u14 D u41 < 2 die Rangfolge aller Alternativen mittels Goal-Programming. (Hinweis: Fallunterscheidung erforderlich!) Aufgabe 3.9 Ein Reiseveranstalter steht vor der Entscheidung, eines von mehreren möglichen Zielgebieten als Jahresschwerpunkt für den nächsten Sommerkatalog festzulegen. Auf einer Skala von 1 (¶ mangelhaft) bis 5 (¶ hervorragend) bewertet er dabei die Zielgebiete a1: Costa Brava, a2: türkische Riviera, a3: Dominikanische Republik und a4: oberitalienische Seen nach den Zielkriterien k1: Preiswürdigkeit, k2: Wettersicherheit, k3: Wasserqualität, k4: Umweltverträglichkeit der Anreise sowie k5: Sozialverträglichkeit für die Bereisten wie folgt: k1 k2 k3 k4 k5 a1 3 4 4 3 4 a2 4 5 y 2 2 a3 5 4 x 1 2 a4 2 3 4 4 5 mit x; y 2 ¹1I : : : I 5º Die Werte in der Matrix lassen sich unmittelbar als Nutzenwerte interpretieren. a) Gibt es Werte x; y (und falls ja, welche), so dass bei Anwendung der Zielgewichtung mit g1 D g2 D g4 sowie g3 D g5 D 16 die Alternative a3 besser abschneidet als a2? Der Reiseveranstalter legt im Folgenden die (zu maximierende) Bewertungsfunktion ˆ.ai / D Summe der drei höchsten für ai vergebenen Nutzenwerte zu Grunde. 20 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit b) Für welche x; y bewertetˆ jede der beiden Alternativen a2; a3 besser als a1 und als a4? c) Für welche x; y bewertetˆ jede der beiden Alternativen a2; a3 schlechter als a1 und als a4? d) Untersuchen Sie (unabhängig von den speziellen Werten in obiger Matrix), ob die Bewertungsfunktion ˆ die Eigenschaft . / W aus „ai dominiert ak“ folgt ˆ.ai / > ˆ.ak/ besitzt. Aufgabe 3.10 Ein Betrieb hat am Morgen eines Tages festzulegen, wie viele Mengeneinheiten a eines bestimmten Produktes bis zum Abend hergestellt werden sollen. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden: Fall (I): Das Produkt ist nur in ganzzahligen Stückzahlen herstellbar, wobei am betrachteten Tag ein, zwei, drei oder vier Stück produziert werden können. Fall (II): Bei dem Produkt handelt es sich um ein beliebig teilbares Gut, und am betrachteten Tag ist für a jede Zahl zwischen 0 und 5 möglich. Neben dem Ziel k1, einen möglichst hohen Gewinn zu erreichen, ist auch noch folgendes Ziel k2 relevant: Von dem im Betrieb lagernden Vorrat eines gewissen, zur Herstellung des Produktes benötigten Rohstoffes soll am Abend des betrachteten Tages noch möglichst viel vorhanden sein. In jedem der beiden obigen Fälle (I), (II) führe die Erzeugung von a Mengeneinheiten bei Ziel kj zum Nutzen uj .a/, j D 1; 2, mit u1.a/ D ´ a; für a 5 3; 3; für a > 3I u2.a/ D 5 a: a) Erstellen Sie in Fall (I) die Nutzenmatrix beziehungsweise skizzieren Sie in Fall (II) über dem Aktionenraum A die beiden Nutzenfunktionen u1; u2. b) Geben Sie für beide Fälle die Menge der effizienten Aktionen an. 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit 21 Aufgabe 3.11* Es werde wieder die Fragestellung von Aufgabe 3.10 betrachtet. Bestimmen Sie in Fall (I) die Bewertungsreihenfolge der Aktionen beziehungsweise in Fall (II) die optimale(n) Aktion(en) a) bei lexikografischer Ordnung, wobei k1 wichtiger ist als k2; b) bei Zielgewichtung, wobei eine Nutzeneinheit bei k1 ebenso hoch eingeschätzt wird wie zwei Nutzeneinheiten bei k2; c) bei Verwendung der Körth-Regel; d) bei Anwendung des Goal-Programming mit den Zielvorgaben Ou1 D Ou2 D 4. Aufgabe 3.12 In einer Unternehmung können die beiden Produkte I, II hergestellt werden. Insgesamt muss die Unternehmung von beiden Produkten zusammen genau 840 Mengenheinheiten produzieren. Ferner sind von Produkt I mindestens 280Mengeneinheiten zu erzeugen. Pro Mengeneinheit ist bei Produkt I ein Deckungsbeitrag von 2 Euro, bei Produkt II ein Deckungsbeitrag von 5 Euro zu erzielen. Neben dem Ziel 1 der Deckungsbeitragsmaximierung verfolgt die Unternehmung auch noch das Ziel 2, möglichst viele Mengeneinheiten von Produkt I herzustellen. a) Skizzieren Sie den Aktionenraum A in der .x; y/-Ebene, wobei x beziehungsweise y die von Produkt I beziehungsweise II produzierten Mengeneinheiten bezeichnet. b) Sind die beiden Ziele zueinander neutral, komplementär oder konkurrierend? c) Welche Aktion ist optimal nach der lexikografischen Ordnung, wenn Ziel 1 für wichtiger erachtet wird als Ziel 2? Aufgabe 3.13* Es ist wieder von der Problemstellung der Aufgabe 3.12 auszugehen. Welche Aktion ist optimal nach der Körth-Regel? Tragen Sie diese Aktion in die in der Lösung von Aufgabe 3.12 a) erstellte Skizze ein und geben Sie den dadurch gewährleisteten (Mindest-)Zielerreichungsgrad an. 22 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Aufgabe 3.14 Ein Handelsunternehmen vertreibt zwei hochwertige Markenartikel X und Y zu x beziehungsweise y Mengeneinheiten. Der MarkenartikelX erzielt einen Deckungsbeitrag von 2 Tausend Euro je Einheit, Artikel Y einen halb so hohen Deckungsbeitrag je Einheit. Von beiden Marken sind in der betrachteten Periode jeweils maximal 40 Einheiten absetzbar. Im Versand des Unternehmens besteht derzeit ein Kapazitätsengpass. Zum Versand einer Einheit von X (beziehungsweise von Y ) werden 10Minuten (beziehungsweise 15 Minuten) benötigt, wobei maximal 15 Stunden für den Versand der Artikel in der Periode bereit gestellt werden können. Ferner stehen von den für beide Marken identisch benötigten Kartons nur 60 Stück bereit, wobei für den Versand einer Einheit von X beziehungsweise Y jeweils genau ein Karton gebraucht wird. Das Handelsunternehmen sieht für die Marke Y das größere dauerhafte Marktpotenzial. Es möchte daher neben einer Deckungsbeitragsmaximierung zugleich den Absatz von Marke Y möglichst weit vorantreiben. Skizzieren Sie den Aktionenraum A, geben Sie die beiden Nutzenfunktionen an und bestimmen Sie die Menge aller effizienten Aktionen. Aufgabe 3.15 Wieder ist die Absatzplanung des Handelsunternehmens aus Aufgabe 3.14 zu analysieren. a) Wie lautet der optimale Absatzplan, wenn die Maximierung des minimalen Zielerreichungsgrades angestrebt wird? Benutzen Sie zur Ermittlung des Absatzplanes die im Anschluss an die Lösung von Aufgabe 3.13* formulierte Aussage 2. b) Zu welchem optimalen Absatzplan führt der Goal-Programming-Ansatz, wenn als Zielvorgaben die maximal erreichbaren Werte des Deckungsbeitrages beziehungsweise des Absatzes von Marke Y gewählt werden, und wenn dabei eine Abweichung um 3 Tausend Euro von der Zielvorgabe beim Deckungsbeitrag gleich hoch eingeschätzt wird wie eine Abweichung um eine Mengeneinheit von der Zielvorgabe beim Absatz der Marke Y ? 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit 23 Aufgabe 3.16 Die von der Nautilus AG in größerer Stückzahl herzustellende Luxusyacht befindet sich in der Planungsphase. Nahe der Wasserlinie sollen rechteckige Fenster eingebaut werden. Die Seitenlängen x, y eines Fensters müssen den konstruktionsbedingten Restriktionen 1 5 x 5 y 5 4 genügen. Die Fensterfläche soll möglichst groß (Ziel k1) und der Umfang möglichst klein werden (Ziel k2). Letzteres ergibt sich daraus, dass die Abdichtung wegen der erforderlichen Resistenz gegen Salzwasser, UV-Versprödung und Vibrationen sehr kostenintensiv ist. Als Nutzenfunktion verwendet die Nautilus AG bei k1 die Differenz zwischen der Fläche des Fensters mit den Seitenlängen x; y und der – unter obigen Bedingungen – minimal erreichbaren Fensterfläche bei k2 die Differenz zwischen dem – unter obigen Bedingungen – maximal erreichbaren und dem zu den Seitenlängen x; y gehörenden Fensterumfang. a) Skizzieren Sie den Aktionenraum A und geben Sie die beiden Nutzenfunktionen an. b) Verifizieren Sie, dass jedes .x; y/ 2 A mit 1 5 x < y 5 4 dominiert wird von .1 2 .x C y/; 1 2 .x C y//, und geben Sie die Menge aller effizienten Punkte aus A an. Aufgabe 3.17 In der Fragestellung von Aufgabe 3.16 sollen nun nach zweierlei Kriterien Optimallösungen gefunden werden. a) Es sei eine Zielgewichtung vorzunehmen, wobei (bei Zugrundelegung der angegebenen Nutzenfunktionen) von den Gewichtungsfaktoren g1, g2 > 0 mit g1 C g2 D 1 auszugehen sei. Bestimmen Sie – unter Beachtung der Lösung von Aufgabe 3.16 b) – für jeden möglichenWert von g1 alle Optimallösungen zu dieser Zielgewichtung und geben Sie jeweils Fläche und Umfang des resultierenden Fensters an. b) Bestimmen Sie – unter Ausnutzung der im Anschluss an die Lösung von Aufgabe 3.13* formulierten Aussage 1 – eine Optimallösung nach der Körth-Regel; geben Sie auch hierzu Fläche und Umfang des resultierenden Fensters an. 24 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Aufgabe 3.18 Eine Familie ist gerade beim Kuchenbacken und hat sich dabei zu entscheiden, wie viel von zwei möglichen Zutaten, nämlich Rosinen beziehungsweise gemahlenen Haselnüssen, in den Teig gegeben werden soll. Verfügbar sind 125 g Rosinen und 100 g gemahlene Haselnüsse; von beiden Zutaten zusammen sollen allerdings nicht mehr als 150 g in den Kuchen gelangen. Die Familie hat drei Kinder; deren Wünsche sollen – als je eine Zielgröße – zur Entscheidungsfindung herangezogen werden. Die beiden älteren Kinder sind beim Kuchenbacken anwesend; eines der beiden möchte, dass möglichst viele Rosinen, das andere, dass möglichst viele gemahlene Haselnüsse für den Kuchen verwendet werden. Vom jüngsten Kind, das geradeMittagsschlaf hält, ist bekannt, dass es (als einziges der drei Geschwister) sehr gerne die übrig bleibenden Rosinen verspeist; es wünscht sich daher, es sollen möglichst viele Rosinen nach dem Kuchenbacken übrig bleiben. Um keinen Streit aufkommen zu lassen, soll ein zur Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung geeignetes Verfahren angewandt werden. a) Skizzieren Sie den Aktionenraum A und geben Sie die drei (jeweils in g gemessenen) Nutzenfunktionen an. b) Zunächst seien nur die Wünsche der beiden beim Backen anwesenden Kinder zu berücksichtigen. 1. Geben Sie die Menge aller effizienten Aktionen an. 2. Bestimmen Sie die Menge aller nach der Körth-Regel optimalen Aktionen sowie – für jedes der beiden Kinder – den dabei erreichten Zielerreichungsgrad. Aufgabe 3.19* In der Situation der Aufgabe 3.18 seien jetzt die Wünsche aller drei Kinder für die Entscheidungsfindung relevant. a) Weisen Sie nach, dass genau die Punkte aus dem „oberen Rand“ von A (also aus der Vereinigung der beiden Strecken zwischen .0; 100/ und .50; 100/ sowie zwischen .50; 100/ und .125; 25/) effizient sind. b) Gibt es Aktionen aus A, die für jedes der drei Kinder denselben Zielerreichungsgrad liefern? c) Bestimmen Sie die Menge aller nach der Körth-Regel optimalen Aktionen sowie – für jedes der drei Kinder – den dabei erreichten Zielerreichungsgrad. d) Welche Aktionen sind optimal bei einer Zielgewichtung mit gleichen Gewichtungsfaktoren für die drei Kinder? 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit 25 Aufgabe 3.20* Eine Unternehmung stellt auf einer Anlage zwei Produkte her. Die Fertigung einer Mengeneinheit (D ME) beansprucht bei Produkt 1 zwei Stunden, bei Produkt 2 drei Stunden auf dieser Anlage. Von einem bestimmten Rohstoff werden 4 (beziehungsweise 2) Mengeneinheiten verbraucht, um eine ME von Produkt 1 (beziehungsweise von Produkt 2) herzustellen. Die Unternehmung weiß, dass in einer vorgegebenen Zeitperiode von beiden Produkten zusammen nicht mehr als 200 ME absetzbar sind; deshalb sollen nicht mehr als 200 ME hergestellt werden. Die Unternehmung verfolgt zwei als gleich wichtig erachtete Ziele, zu denen für die betrachtete Zeitperiode folgende Zielfunktionswertvorgaben, die Herstellung der beiden Produkte betreffend, festgelegt sind: 1. Die Anlage soll möglichst 360 Stunden lang in Betrieb sein. 2. Vom Rohstoff sollen möglichst 600 Mengeneinheiten verbraucht werden. Lösen Sie dieses Problem mit Goal-Programming. Formulieren Sie dazu ein passendes lineares Optimierungsproblem mit Hilfsvariablen aCj beziehungsweise a j für die Über- beziehungsweise Unterschreitung der zu Ziel j gehörenden Zielvorgaben, j D 1; 2 (siehe auch die Lösung der Aufgabe 4 von Kapitel 3 in Bamberg et al., 2012b) und lösen Sie dieses Optimierungsproblem mit dem Simplexverfahren. Wie viele Mengeneinheiten sind im Optimum von Produkt 1 beziehungsweise 2 herzustellen, welche Zielfunktionswertvorgaben werden dabei unterschritten, überschritten beziehungsweise exakt eingehalten? Aufgabe 3.21* Wieder ist die Situation der Aufgabe 3.20* zu betrachten. Zusätzlich (und gleichrangig) zu den bisherigen zwei Zielen werde nun als drittes Ziel angesetzt, die insgesamt von beiden Produkten erzeugten ME sollen dem – durch die Produktionsrestriktion gegebenen –Maximalwert 200möglichst nahe kommen, wobei die Produktionsrestriktion weiterhin gültig sein soll. Wie viele Mengeneinheiten sind nun optimalerweise von beiden Produkten herzustellen, welche Zielvorgaben werden hierbei unterschritten, überschritten beziehungsweise exakt eingehalten? 26 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Lösungen zu Kapitel 3 Lösung zu Aufgabe 3.1 a) Stoffart a2 ist ineffizient, da sie von a1 dominiert wird; a1 und a3 sind effizient. b) a3 a1 a2 (Dass a2 schlechteste Alternative ist, folgt dabei bereits aus Spalte 1; a3 a1 folgt erst aus Spalte 3.) c) Es ist die Matrix der Zielerreichungsgrade aufzustellen und auszuwerten: uip max h uhp ! iD1;2;3 pD1;:::;4 D Zeilenminimum0 B@1 1 5 8 1 8 9 1 5 8 7 8 1 1 1 6 8 1 CA 5 8 5 8 6 8 Damit resultiert die Reihenfolge a3 a1 a2. d) ˆ.a1/D 1C 3C 5C 2 D 11 ˆ.a2/D 2C 3C 5C 3 D 13 ˆ.a3/D 1C 3C 2C 4 D 10 9>= >;) a3 a1 a2: Ein alternativer Lösungsweg ist am Ende von Abschnitt 3.4 in Bamberg et al. (2012b) aufgezeigt. Danach gelangt man durch Zielgewichtung mit gleichen Gewichten zum selben Ergebnis. Hier folgt aus g1 D g2 D D g4 D 14 : 4X pD1 gp uip D 8̂̂< ˆ̂: 29 4 ; für i D 1 27 4 ; für i D 2 30 4 ; für i D 3 9>>= >>;) a3 a1 a2: Lösung zu Aufgabe 3.2 a) Genau a3 und a4 werden dominiert (von a2) und sind daher ineffizient. b) a2 a3 a4 a1. Lösungen zu Kapitel 3 27 c) Aus der Matrix0 BB@ 0;6 1 1 1 0;8 1 1 0;6 0;5 0;8 0;8 1 1 CCA der Zielerreichungsgrade erhält man 0 BB@ 0;6 0;8 0;5 0;8 1 CCA als Vektor der Zeilenminima und folglich a2 a4 a1 a3. d) Die erweiterte Nutzenmatrix ist k1 k2 k3 k4 a1 3 5 2 2 c a2 5 4 2 c a3 5 3 1 c a4 4 4 2 2 c mit c > 0: 1. Als vierte Spalte in der Matrix der Zielerreichungsgrade ergibt sich somit0 BBB@ 1 0;5 0;5 1 1 CCCA ; so dass nun der Vektor der Zeilenminima 0 BBB@ 0;6 0;5 0;5 0;8 1 CCCA lautet; die Landesgartenschau ginge also nach a4. 2. Jetzt ist nur noch a3 dominiert von a2 und somit ineffizient (und das unabhängig vom speziellen Wert c in der Spalte unter k4). Lösung zu Aufgabe 3.3 a) Alle Produktionsprogramme sind effizient. b) k1 k2 k3 ) a1 a2 a4 a3 a5. c) Aus der Matrix der juip Oupj beziehungsweise den zugehörigen Zeilensummen, also aus 1 000 0 BBBBB@ 0 300 300 300 50 0 500 100 200 500 200 100 1 000 700 700 1 CCCCCA beziehungsweise 1 000 0 BBBBB@ 600 350 800 800 2 400 1 CCCCCA erhält man (nach Goal-Programming) die Bewertungsreihenfolge a2 a1 a3 a4 a5. 28 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit d) Die Gesamtdeckungsbeiträge der einzelnen Aktionen sind: a1 5 000 000 C 0 C 0 D 5 000 000 a2 3 500 000 C 625 000 C 600 000 D 4 725 000 a3 2 500 000 C 1 000 000 C 1 000 000 D 4 500 000 a4 2 500 000 C 1 250 000 C 800 000 D 4 550 000 a5 0 C 2 500 000 C 2 000 000 D 4 500 000 I folglich ist a1 die optimale Aktion. e) g1 W g2 W g3 D 5 W 2;5 W 2) g1 D 1019 ; g2 D 519 ; g3 D 419 . Lösung zu Aufgabe 3.4 a) k1 k2 k3 a1 15 60 0 a2 10 60 20 a3 15 40 40 b) Alle drei Alternativen sind effizient. c) a1 a3 a2. d) Wegen g1 D 0;8I g2 D g3 D 0;1 gilt ˆ.a1/D 12 C 6 C 0 D 18 ˆ.a2/D 8 C 6 C 2 D 16 ˆ.a3/D 12 C 4 C 4 D 20 9>= >;) a3 a1 a2: e) uip max h uhp ! iD1;2;3 pD1;2;3 D Zeilenminimum0 B@1 1 023 1 12 1 2 3 1 1 CA 012 2 3 ) a3 optimal nach der Körth-Regel. f) ˆ.a1/D 0 C 0 C 40 D 40 ˆ.a2/D 5 C 0 C 20 D 25 ˆ.a3/D 0 C 20 C 0 D 20 9>= >;) a3 a2 a1: Lösungen zu Kapitel 3 29 Zum selben Ergebnis gelangt man (vgl. Bamberg et al., 2012b, Ende von Abschnitt 3.4) durch Zielgewichtung mit gleichen Gewichten g1 D g2 D g3 D 13 : 3X pD1 gp uip D 8̂< :̂ 25; für i D 1 30; für i D 2 95 3 ; für i D 3 9>= >;) a3 a2 a1: Lösung zu Aufgabe 3.5 a) Da F1 eine Treppenfunktion ist, muss X1 offensichtlich diskret verteilt sein wie folgt: mögliche Realisationen von X1 1 000 0 1 000 2 000 zugehörige Wahrscheinlichkeiten 0;2 0;2 0;3 0;3 (D Stufenhöhen) Folglich gilt: 1 D 0;2 . 1 000/C 0;2 0C 0;3 1 000C 0;3 2 000 D 700 21 D EŒ.X1 1/2 D D 0;2 . 1 000 700/2 C 0;2 .0 700/2C 0;3 .1 000 700/2 C 0;3 .2 000 700/2 D 1 210 000 1 D P.X1 < 0/ D 0;2: X2 beziehungsweise X3 sind offensichtlich gleichverteilt über dem Intervall Œ0I 2 000 beziehungsweise über dem Intervall Œ 1 000I 4 000 . Folglich (siehe etwa Bamberg et al., 2012a, Abb. 9.1) gilt: 2 D 1 000I 22 D 2000 2 12 D 333 333I 2 D P.X2 < 0/ D 0 bzw. 3 D 1 500I 23 D 5000 2 12 D 2 083 333I 3 D P.X3 < 0/ D 0 . 1000/5000 D 15 : Somit lautet die Entscheidungsmatrix U D 0 B@ 700 873 333 0;81 000 1 750 000 1 1 500 0 0;8 1 CA : b) a2 und a3 sind effizient; a1 ist ineffizient, da es von a2 dominiert wird. 30 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit c) a3 a2 a1. d) 1. ˆ.a1/D 700 1 210 D 510 ˆ.a2/D 1 000 333 D 667 ˆ.a3/D 1 500 2 083 D 583 9>= >;) a2 a1 a3: 2. Da für die Werte ui2 der zweiten Spalte von U die Gleichung ui2 D 2 083 333 2i gilt, folgt ˆ.ai / D i C 0;001 .ui2 2 083 333/ D i C ui2 1 000 2 083I die Beurteilung gemä߈ entspricht also (bis auf die additive konstante Zahl 2 083) einer Zielgewichtung gemäß g1 W g2 W g3 D 1 W 1 1000 W 0 (beziehungsweise 1 000 W 1 W 0). Lösung zu Aufgabe 3.6 Die Matrix der 100 sip=s1p ist als Transponierte der gegebenen Tabelle erhältlich, also k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8 a1 100 100 100 100 100 100 100 100 a2 100 100 100 15 15 15 15 100 a3 10 30 29 9 8 2 9 9 a4 8 0 0 0 0 0 0 2 a5 1 405 420 290 140 93 250 12 a6 6 34 30 4 2 1 3 3 a) Da die sip Schadenswerte sind, ist das Vorliegen einer Dominanzbeziehung so definiert: ai dominiert aj ” sip 5 sjp für jedes p D 1; : : : ; 8 (mit „<“ für mind. ein p): Gleichwertig ist natürlich: 100 sip s1p 5 100 sjp s1p für jedes p D 1; : : : ; 8 (mit „<“ für mind. ein p): Folglich gilt: a2 dominiert a1, a3 dominiert a2 und a4 dominiert a3; andererseits werden weder a4 noch a5 noch a6 von einem anderen Verkehrsmittel dominiert. Effizient sind damit das Fahrrad, das Flugzeug und der Zug; ineffizient hingegen der PKW mit oder ohne Katalysator sowie der Bus. Lösungen zu Kapitel 3 31 b) Die zielspezifischen Schadensgrade sind wegen sip max h shp D 100 sip s1p max h ° 100 shp s1p ± unmittelbar durch Quotientenbildung aus den Tabellenwerten bestimmbar; man erhält: k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8 Zeilenmax. a1 1 0,247 0,238 0,345 0,714 1 0,4 1 1 a2 1 0,247 0,238 0,052 0,107 0,15 0,06 1 1 a3 0,1 0,074 0,069 0,031 0,057 0,02 0,036 0,09 0,1 a4 0,08 0 0 0 0 0 0 0,02 0,08 a5 0,01 1 1 1 1 0,93 1 0,12 1 a6 0,06 0,084 0,071 0,014 0,014 0,01 0,012 0,03 0,084 Eine sinngemäße Übertragung der Körth-Regel bedeutet dann: Als (zu minimierende) Bewertungsfunktion ist das jeweilige Zeilenmaximum der Matrix der zielspezifischen Schadensgrade anzusetzen (siehe obige Werte). Hieraus resultiert die Bewertungsreihenfolge Fahrrad Zug Bus PKW ohne Kat PKW mit Kat Flugzeug: Lösung zu Aufgabe 3.7 a) Nein; denn wegen u32 D 7 > max¹u12; u22º kann a3 nicht von a1 beziehungsweise a2 dominiert werden. b) Ja; a2 a1 a3 gilt unabhängig vom Wert u33. c) Wegen g1 D g2 D g3 D 0;3I g4 D 0;1 gilt ˆ.a1/ D 0;3 16 C 0;1 7 D 5;5 ˆ.a2/ D 0;3 17 C 0;1 4 D 5;5 ˆ.a3/ D 0;3 .13C u33/C 0;1 9 D 4;8C 0;3 u33I also: a3 optimal ” 0;3 u33 = 5;5 4;8 D 0;7 ” u33 = 7 3 ” u33 2 ¹3I 4I : : : I 10º (da u33 ganzzahlig). 32 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit d) uip max h uhp ! iD1;2;3 pD1;:::;4 D Zeilenminimum0 BB@ 1 6 7 2 u33 7 9 1 4 7 5 u33 4 9 3 4 1 1 1 1 CCA 2 u33 .5 2 5 < 7 9 / 4 9 .< 1 2 5 5 u33 / 3 4 ) a3 optimal nach der Körth-Regel. e) Die lexikografische Ordnung kommt mit ordinalen Daten aus. Lösung zu Aufgabe 3.8 a) a1 kann allenfalls von a4 dominiert werden; diese Dominanz – und damit die Ineffizienz von a1 – trifft genau dann zu, wenn u41 = 3 und u14 < 2 oder wenn u41 > 3 und u14 5 2 gilt. b) a3 is in jedem Fall effizient, da u33 D 2 größer ist als alle sonstigen Werte in Spalte 3; andererseits zeigt die zweite Spalte, dass a3 keine der sonstigen Alternativen dominieren kann. Damit insgesamt nur zwei undominierte Alternativen vorliegen, muss also eine Aktion aus ¹a1; a2; a4º die beiden anderen aus dieser Menge dominieren; dies kann nur dadurch geschehen, dass a4 die beiden Alternativen a1, a2 dominiert, das heißt genau durch u41 = 4 und u14 5 2. c) Aus 1 C 4 C 3 C 2 D 10 erhält man g1 D 110 , g2 D 410 , g3 D 310 , g4 D 210 und somit ˆ.a1/ D 110 .22C 2 u14/; ˆ.a2/ D 1810 ; ˆ.a3/ D 1710 ; ˆ.a4/ D 110 .23C u41/: Folglich gilt ˆ.a1/ > ˆ.a4/ ” 22C2 u14 > 23Cu41 ” u41 < 2u14 1: d) Bei k2 k3 k4 k1 steht nach lexikografischer Ordnung a1 genau dann vor a4, wenn u14 > 2 ist, oder wenn u14 D 2 und u41 < 3 gilt. Lösungen zu Kapitel 3 33 e) Zur Abkürzung setzen wir u D u14 D u41. Wegen 0 5 u < 2 und Oup D 4 für jedes p D 1; : : : ; 4 ergibt sich bei Goal-Programming: ˆ.a1/ D 1 C 0 C 3 C .4 u/ D 8 u ˆ.a2/ D 0 C 1 C 4 C 3 D 8 ˆ.a3/ D 1 C 3 C 2 C 3 D 9 ˆ.a4/ D .4 u/ C 0 C 3 C 2 D 9 uI mit Sicherheit ist also ˆ.a3/ maximal und ˆ.a1/ minimal. Ferner gilt ˆ.a2/ < ˆ.a4/ ” 8 < 9 u ” u < 1. Insgesamt erhält man also die Rangfolgen: a1 a2 a3 a4 bei u D 0 a1 a2 a4 a3 bei 0 < u < 1 a1 a2 a4 a3 bei u D 1 a1 a4 a2 a3 bei 1 < u < 2: Lösung zu Aufgabe 3.9 a) Es gilt: 3 g1 C 2 16 D 1, das heißt g1 D 29 . Folglich schneidet a3 bei der gegebenen Zielgewichtung genau dann besser als a2 ab, wenn 2 9 .5C 4C 1/C 1 6 .x C 2/ > 2 9 .4C 5C 2/C 1 6 .y C 2/ gilt, also bei xC 2 > 6 2 9 1C .y C 2/ beziehungweise bei x > y C 4 3 . Wegen x; y 2 ¹1I : : : I 5º leisten dies genau die Paare .x; y/ 2 ¹.3; 1/I .4; 1/I .5; 1/I .4; 2/I .5; 2/I .5; 3/º: b) Mit ˆ.a1/ D 4C 4C 4 D 12 und ˆ.a4/ D 5C 4C 4 D 13 gilt min¹ˆ.a2/; ˆ.a3/º >max¹ˆ.a1/; ˆ.a4/º D 13, ˆ.a2/ D 9Cmax¹2; yº > 13 und ˆ.a3/ D 9Cmax¹2; xº > 13, max¹2; yº > 4 und max¹2; xº > 4, x D y D 5 (da x; y 2 ¹1I : : : I 5º): c) max¹ˆ.a2/; ˆ.a3/º 3 μ D D 1 3 ´ aC 5 für a 2 Œ0I 3 11 a für a 2 .3I 5 I dabei ist aC 5 streng monoton wachsend über Œ0I 3 , 11 a streng monoton fallend über .3I 5 , und es gilt 3C 5 D 11 3 .D 8/; folglich ist genau a D 3 optimal. c) In Fall (I) ist die Matrix der Zielerreichungsgrade gleich0 BBB@ 1 3 1 2 3 3 4 1 1 2 1 1 4 1 CCCA, der Vektor der Zeilenminima lautet 0 BBB@ 1 3 2 3 1 2 1 4 1 CCCA, und somit gilt a2 a3 a1 a4: In Fall (II) folgt wegen max a2Œ0I5 u1.a/ D 3I max a2Œ0I5 u2.a/ D 5: ˆ.a/ D min ° u1.a/ 3 I u2.a/ 5 ± D ´ min¹a 3 I 1 a 5 º für a 2 Œ0I 3 min¹1I 1 a 5 º für a 2 .3I 5 I also (vergleiche Skizze): 36 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit 0 1 0 1 2 3 4 5 ˆ.a/ a ˆ.a/ maximal ” a 3 D 1 a 5 ” a 3 C a 5 D 1 ” 8 15 a D 1 ” a D 15 8 D 1;875: d) In Fall (I) : ˆ.a1/ D 3C 0 D 3; ˆ.a2/ D 2C 1 D 3; ˆ.a3/ D 1C 2 D 3; ˆ.a4/ D 1C 3 D 4 ) a1 a2 a3 a4; in Fall (II) : Auf Grund der Skizze zu 3.10 a) ist ersichtlich: ˆ.a/ D 4 u1.a/C ´ u2.a/ 4 für a 5 1 4 u2.a/ für a > 1 μ D D 8̂< :̂ .4 a/C .5 a/ 4 D 5 2 a f. a 5 1 .4 a/ .5 a/C 4 D 3 f. a 2 .1I 3/ .4 3/ .5 a/C 4 D a f. a = 3I 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 ˆ.a/ a folglich ist jedes a 2 Œ1I 3 optimal. Lösungen zu Kapitel 3 37 Lösung zu Aufgabe 3.12 a) Skizze des Aktionenraumes A: x y 840280 840 A Lösung von 3.13* b) Jedes .x; y/mit 280 5 x 5 840 und y D 840 x entspricht einer Aktion aus A. Die beiden für alle .x; y/ 2 A definierten Nutzenfunktionen sind demnach u1.x; y/ D 2 x C 5 y D 2 x C 5 .840 x/ D 4 200 3 x; u2.x; y/ D x: Wegen des unterschiedlichen Vorzeichens von x bei u1 beziehungsweise u2 ist jede Verbesserung bezüglich Ziel 2 mit einer Verschlechterung bezüglich Ziel 1 verknüpft (und umgekehrt). Infolgedessen sind die Ziele konkurrierend. c) Weil max¹u1.x; y/ W .x; y/ 2 Aº D max¹4 200 3 x W 280 5 x 5 840º D 4 200 3 280 D 3 360 gilt (siehe b)), und weil dieser Wert genau für .x; y/ D .280; 560/ erreicht wird, ist .x; y/ D .280; 560/ optimal nach lexikografischer Ordnung bei k1 k2. 38 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Lösung zu Aufgabe 3.13* Wegen max¹u1.x; y/ W .x; y/ 2 Aº D 3 360 (siehe Lösung zu 3.12 c)) und max¹u2.x; y/ W .x; y/ 2 Aº D 840 folgt für jedes .x; y/ 2 A, das heißt für jedes .x; 840 x/mit 280 5 x 5 840: ˆ.x; y/ D min ² 2 x C 5 y 3 360 ; x 840 ³ D 1 3360 min¹2 x C 5 .840 x/; 4 xº D 1 3360 min¹4 200 3 x; 4 xºI x 840280 600 1 1 3 1 1 2 ˆ.x; y/ 4x 3360 4200 3x 3360 Die Skizze zeigt: ˆ.x; y/ maximal ” 4 200 3 x D 4 x ” x D 600I optimal nach der Körth-Regel ist also der Punkt .x; y/ D .600; 840 600/ D .600; 240/. Für beide Ziele ergibt sich dabei als Zielerreichungsgrad der Wert ˆ.600; 240/ D 4 600 3360 D 5 7 . Bemerkung zu Aufgabe 3.13* In der Lösung von Aufgabe 3.13* und ebenso in der Lösung von Aufgabe 3.11* c), 3., Fall (II), ergab sich – bei je zwei Zielgrößen – die nach der Körth- Regel optimale Aktion a 2 A durch Auflösen der Gleichung u1.a/ max a2A u1.a/ D u2.a/ max a2A u2.a/ : Dass dies kein Zufall ist, zeigen die beiden folgenden Aussagen 1, 2; mit ihnen kann die Lösung mancher Aufgaben (siehe die anschließenden Aufgaben 3.15, 3.17, 3.18, aber auch die Aufgabe 3 aus Bamberg et al., 2012b, Ka- Lösungen zu Kapitel 3 39 pitel 3) verkürzt werden. Ausgangssituation zu den beiden Aussagen ist ein Aktionenraum A, über dem r Nutzenfunktionen up.a/ = 0, p D 1; : : : ; r gegeben sind. Zu jedem up.a/ gebe es ein positives Nutzenmaximum Nup D max a2A up.a/ > 0. Mit den Funktionen wp.a/ D up.a/Nup (D Zielerreichungsgrad der Aktion a 2 A bei Ziel kp) wird die MengeM D ¹a 2 A W w1.a/ D D wr .a/º definiert. Dann gilt: Aussage 1: Ist a 2 A effizient und liegt a in M , so ist a optimal nach der Körth-Regel. Aussage 2: Ist A eine abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge eines Rn, ist r D 2, und sind u1.a/; u2.a/ (affin) lineare Funktionen, so gilt auch die Umkehrung von Aussage 1 und damit: a 2 A ist optimal nach der Körth-Regel ” a 2 A ist effizient und liegt inM . Der Vollständigkeit halber sei auch der Beweis beider Aussagen kurz angegeben. Zu Aussage 1: Sei a 2M und a nicht optimal nach der Körth-Regel. Dann gibt es ein a0 2 Amit min¹w1.a0/; : : : ; wr .a0/º > min¹w1.a/; : : : ; wr .a/º D w1.a/ D D wr .a/ (wegen a 2 M ). Für jedes p D 1; : : : ; r gilt folglich die Ungleichung wp.a0/ > wp.a/ und damit auch up.a0/ > up.a/. Also ist a nicht effizient. Zu Aussage 2: Nur noch „)“ ist zu zeigen. Dazu sei a 2 A optimal nach der Körth-Regel mit w D min¹w1.a/; w2.a/º: Nimmt man nun an, a sei nicht effizient. Dann gibt es ein Oa 2 A mit u1. Oa/ = u1.a/; u2. Oa/ = u2.a/, wobei mindestens einmal „>“ zutrifft; ohne Beschränkung der Allgemeinheit ist dies bei u1 der Fall, also u1. Oa/ > u1.a/. Folglich ist w1. Oa/ > w1.a/ = w, w2. Oa/ = w2.a/ = w (womit auch Oa optimal nach der Körth-Regel ist). Dann muss w2. Oa/ D w gelten, sonst wäre min¹w1. Oa/; w2. Oa/º > w und a nicht optimal nach der Körth-Regel. Nimmt man an, a sei nicht in M . Dann ist ohne Beschränkung der Allgemeinheit w1.a/ > w2.a/ D w. Unter der Annahme, dass a eine Optimallösung nach der Körth-Regel ist, für die die rechte Seite der behaupteten Äquivalenz nicht zutrifft (das heißt die nicht effizient ist oder nicht in M liegt), gibt es wegen , ein nach der 40 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Körth-Regel optimales a 2 A (nämlich a D Oa bei beziehungsweise a D a bei ) mit 1 = w1.a / > w2.a / D w. Wegen A Rn beschränkt und abgeschlossen ist nun ein a.2/ 2 A so wählbar, dass u2.a.2// D Nu2 und daher w2.a.2// D 1 gilt. Ferner bezeichne g die (ebenfalls lineare) Funktion w1 w2. Dann gilt g.a.2// D w1.a.2// w2.a .2// D w1.a.2// 1 5 0, und g.a / D w1.a / w2.a / > 0. Es gibt also ein 2 Œ0I 1/, so dass für a D a C .1 / a.2/ gilt: g.a / D 0 und a 2 A (da A konvex). Weil w2 eine lineare Funktion ist, und wegen w2.a / D w, w2.a.2// D 1, folgt w1.a / D w2.a / D w2.a /C .1 /w2.a.2// D wC .1 / > w (wegen w < 1 und < 1). Folglich ist min¹w1.a /; w2.a /º > w, und dies steht in Widerspruch zur Definition von w. Damit ist Aussage 2 bewiesen. Lösung zu Aufgabe 3.14 Der Aktionenraum ist A D ¹.x; y/ 2 R2C W x 5 40; y 5 40; 10 x C 15 y 5 15 60; x C y 5 60º: x y A 90604020 60 40 20 u1.x; y/ D 2 x C y (Deckungsbeitrag) u2.x; y/ D y (Absatz von Y ) Effizient sind genau die Punkte .x; y/ 2 R2 mit x C y D 60, 20 5 x 5 40. Denn jedes .x; y/ 2 A mit x 5 20; y 5 40; .x; y/ ¤ .20; 40/ wird dominiert von .20; 40/ (da für solche .x; y/ gilt: u1.x; y/ D 2 x C y < 2 20C 40 D 80 D u1.20; 40/; u2.x; y/ D y 5 40 D u2.20; 40/), und jedes .x; y/ 2 A mit x > 20; x C y < 60 wird dominiert von .x; 60 x/ (da für solche .x; y/ gilt: u1.x; y/ D 2 x C y < 2x C .60 x/ D u1.60; 60 x/; u2.x; y/ D y < 60 x D u2.x; 60 x/). Auf der Geraden x C y D 60 führt ferner wachsendes x zu einem Anstieg bei u1 (wegen u1.x; 60 x/ D 2 xC60 x D xC60) und zu einer Abnahme bei u2 (wegen u2.x; 60 x/ D 60 x); auf dieser Geraden können also keine ineffizienten Punkte liegen. Lösungen zu Kapitel 3 41 Lösung zu Aufgabe 3.15 a) Maximiert man u1.x; y/ über A (indem man etwa in der Skizze, die zur Lösung von Aufgabe 3.14 erstellt wurde, die durch den Nullpunkt laufende Gerade 2 x C y D 0, das heißt y D 2 x, so weit nach rechts oben parallel verschiebt, bis A letztmals berührt wird, nämlich im Punkt .40; 60 40/), so erhält man Nu1 D max .x;y/2A u1.x; y/ D u1.40; 20/ D 80C 20 D 100: Die Nutzenfunktion u2.x; y/ D y nimmt über A ihr Maximum Nu2 D max .x;y/2A u2.x; y/ D 40 in jedem Punkt der Strecke ¹.x; 40/ W 0 5 x 5 20º an. DaA (vergleiche wieder die Skizze) eine abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge des R2 ist und u1; u2 offensichtlich linear sind, ist nach der im Anschluss an die Lösung der Aufgabe 3.13* formulierten Aussage 2 ein Absatzplan .x; y/ genau dann optimal nach dem Prinzip der Maximierung des minimalen Zielerreichungsgrades, das heißt nach der Körth-Regel, wenn er effizient ist und dabei mit wp.x; y/ D up.x; y/Nup ; p D 1; 2; gilt: w1.x; y/ D w2.x; y/. Nach dem Ergebnis von 3.14 und wegen w1.x; y/ D w2.x; y/ ” 2 x C y 100 D y 40 ” 80 x C 40 y D 100 y ” 4 x D 3 y ” x D 3 4 y ist also .x; y/ genau dann optimal nach der Körth-Regel, wenn x D 3 4 y und x C y D 60 (mit 20 5 x 5 40) zutrifft. Dies leistet (wegen 7 4 y D 60 ” y D 240 7 ) genau der Punkt .xIy/ D .25;71I 34;29/. b) Mit den Zielvorgaben Ou1 D Nu1 D 100, Ou2 D Nu2 D 40 sind nur Zielunterschreitungen (a 1 D 100 u1.x; y/ D 100 2 x y = 0; a 2 D 40 u2.x; y/ D 40 y = 0) möglich. Da die Einbuße von drei Nutzeneinheiten bei Ziel k1 mit der Einbuße einer Nutzeneinheit bei k2 gleichgesetzt wird, sind die beiden Ziele gemäß 3 g1 D g2 zu gewichten, woraus g1 D 14 , g2 D 34 folgt. Die als Bewertungsfunktion des 42 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Goal-Programming zu verwendende gewichtete Summe der absoluten Abweichungen von den Zielvorgaben lautet also 0;25 a 1 C 0;75 a 2 ; drückt man darin a 1 ; a 2 durch x; y aus (siehe oben), so erhält man 0;25 a 1 C 0;75 a 2 D 0;25 .100 2 x y/C 0;75 .40 y/ D 55 0;5 x y; und dies ist zu minimieren unter .x; y/ 2 A. Die Optimallösung hierzu ist mithilfe der Skizze aus der Lösung zu Aufgabe 3.14 bestimmbar; denn offensichtlich wird das Maximum von 0;5 x C y über A in .x; y/ D .20; 40/ angenommen. Der gesuchte optimale Absatzplan nach diesem gewichteten Goal-Programming ist demnach gleich .20; 40/. (Zum selben Ergebnis gelangt man im Übrigen auch dadurch, dass man 0;25 u1.x; y/ C 0;75 u2.x; y/ D 0;5 x C y über .x; y/ 2 A maximiert. Dies zeigt: falls bei allen Zielen Oup = Nup gilt, führen auch bei unterschiedlicher Gewichtung der einzelnen Ziele Zielgewichtung und entsprechend gewichtetes Goal-Programming zur selben Optimallösung, siehe dazu die Ausführungen am Ende von Abschnitt 3.4 in Bamberg et al., 2012b.) Lösung zu Aufgabe 3.16 a) Jede Aktion ist als Paar .x; y/ beschreibbar; A und u1; u2 sind dann wie folgt darstellbar: x y A 41 4 1 Lösungen zu Kapitel 3 43 u1.x; y/ D x y . min .x;y/2A x y/ D x y 1 1 D x y 1 u2.x; y/ D . max .x;y/2A .2 x C 2 y// .2 x C 2 y/ D 2 4C 2 4 2 x 2 y D 16 2 x 2 y: b) Sei 1 5 x < y 5 4; dann gilt u1. 1 2 .x C y/; 1 2 .x C y// u1.x; y/ D .1 4 .x C y/2 1/ .x y 1/ D 1 4 .x2 C 2 x y C y2 4 x y/ D 1 4 .x y/2 > 0 (wegen x < y), und u2. 1 2 .x C y/; 1 2 .x C y// u2.x; y/ D .16 2 .x C y// .16 2 x 2 y/ D 0; womit die behauptete Dominanz klar ist. Bei x D y sorgt ferner wachsendes x für eine Erhöhung von u1 und eine Verringerung von u2. Demnach ist ¹.x; y/ 2 R2 W 1 5 x D y 5 4º die Menge der effizienten Punkte, woraus folgt, dass die zugehörigen Rechtecke Quadrate sind; nur quadratische Fenster sind also effizient. Lösung zu Aufgabe 3.17 a) Mit den Gewichten g1 und g2 D 1 g1 erhält man die Bewertungsfunktion ˆ.x; y/ D g1 .x y 1/C .1 g1/ .16 2 x 2 y/: Klar ist (wegen g1; g2 > 0), dass ein ineffizientes .x; y/ nicht Optimallösung der Zielgewichtung sein kann. Also muss für eine Optimallösung x D y gelten. Daˆ.x; x/ D g1 x2 4 .1 g1/ xC16 17 g1 in Abhängigkeit von x (2 Œ1I 4 ) eine konvexe Parabel darstellt (das quadratische Glied hat nämlich ein positives Vorzeichen), kann das Maximum nur über einem der Randwerte x D 1 oder x D 4 liegen. Wegen ˆ.1; 1/ D 12 12 g1; ˆ.4; 4/ D 15 g1; und wegen 12 12 g1 5 15 g1 ” g1 = 1227 D 49 44 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit folgt also: für 4 9 < g1 < 1 ist genau .x; y/ D .4; 4/ optimal, also das quadratische Fenster mit Fläche 16 und Umfang 16; für 0 < g1 < 49 ist genau .x; y/ D .1; 1/ optimal, also das quadratische Fenster mit Fläche 1 und Umfang 4; für g1 D 49 sind sowohl .x; y/ D .4; 4/ als auch .x; y/ D .1; 1/ optimal. b) Wegen Nu1 D max .x;y/2A u1.x; y/ D 4 4 1 D 15I Nu2 D max .x;y/2A u2.x; y/ D 16 2 2 D 12 sind zu .x; y/ 2 A die Zielerreichungsgrade gegeben durch w1.x; y/ D x y 1 15 I w2.x; y/ D 8 x y 6 : Existiert nun ein effizienter Punkt .x; y/ 2 Amitw1.x; y/ D w2.x; y/, so ist dieser nach der Aussage 1 der Bemerkung zu Aufgabe 3.13* optimal nach der Körth-Regel. Es gilt: .x; y/ effizient, und w1.x; y/ D w2.x; y/ ” x D y; 1 5 x 5 4 und 6 x2 6 D 120 30 x ” x D y; 1 5 x 5 4 und x2 C 5 x 21 D 0 ” x D y D 1 2 Œ 5 C. / p 25C 84 D 1 2 . p 109 5/ D 2;72I also ist .2;72I 2;72/ optimal nach der Körth-Regel. Das resultierende (quadratische) Fenster hat die Fläche 1 4 . p 109 5/2 D 7;40; sein Umfang ist gleich 2 p109 10 D 10;88. Lösungen zu Kapitel 3 45 Lösung zu Aufgabe 3.18 a) x y A 15010050 150 100 50 u1.x; y/ D x (Rosinen) u2.x; y/ D y (gemahlene Haselnüsse) u3.x; y/ D 125 x: b) 1. Die Menge der effizienten Aktionen ist genau die Strecke zwischen .50; 100/ und .125; 25/, das heißt die Menge ¹.x; y/ 2 R2 W x C y D 150; 50 5 x 5 125º: Denn jedes .x; y/ 2 A mit den Eigenschaften 0 5 x 5 50, 0 5 y 5 100 und .x; y/ ¤ .50; 100/ wird (siehe u1; u2 aus a)) dominiert von .50; 100/ 2 A, und jedes .x; y/ 2 A mit 50 < x 5 125 und x C y < 150 wird dominiert von .x; 150 x/ 2 A. Andererseits wird kein .x; y/ 2 A mit x C y D 150 von einem .x0; y0/ 2 A dominiert (sonst müsste x0 = x; y0 > y oder x0 > x; y0 = y und damit x0 C y0 > x C y D 150 gelten). 2. Aus a) ist ersichtlich, dass A abgeschlossen, beschränkt und konvex ist, und dass u1; u2 lineare Funktionen sind. Eine Aktion .x; y/ 2 A ist daher (vergleiche die Aussage 2 im Anschluss an die Lösung von Aufgabe 3.13*) genau dann optimal nach der Körth-Regel, wenn .x; y/ effizient ist, und wenn mit wp.x; y/ D up.x; y/max .x;y/2A up.x; y/ ; p D 1; 2; die Gleichung w1.x; y/ D w2.x; y/ erfüllt ist, das heißt wenn (vergleiche 1. und a)) x C y D 150; 50 5 x 5 125, und x 125 D y 100 ( ” y D 0;8 x) zutrifft. Optimallösung nach der Körth-Regel ist also (wegen x C 0;8 x D 150 ” x D 83;33) genau der Punkt .xIy/ D .83;33I 66;67/. Er liefert die Zielerreichungsgrade w1.x; y/ D w2.x; y/ D 23 (D 83;33125 D 66;67100 ). 46 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Lösung zu Aufgabe 3.19* a) Bei 0 5 x 5 50 wird jeder Punkt .x; y/ 2 A mit y < 100 dominiert von .x; 100/ (wegen x D u1.x; y/ D u1.x; 100/; y D u2.x; y/ < u2.x; 100/ und 125 x D u3.x; y/ D u3.x; 100/). Bei 50 < x 5 125 wird jeder Punkt .x; y/ 2 A mit x C y < 150 dominiert von .x; 150 x/ (wegen x D u1.x; y/ D u1.x; 150 x/; y D u2.x; y/ < u2.x; 150 x/ D 150 x und 125 x D u3.x; y/ D u3.x; 150 x/). Andererseits ist jeder Punkt .x; y/ aus dem oberen Rand vonA undominiert (denn sonst müsste ein .x0; y0/ 2 A existieren, welches .x; y/ dominiert; wegen u1; u3 müsste dabei x0 = x und 125 x0 = 125 x gelten, das heißt, es müsste x D x0 sein, und somit wäre – siehe u2 – notwendigerweise y0 > y im Widerspruch zur Tatsache, dass bereits .x; y/ im oberen Rand liegt). b) Die Funktionen wp.x; y/, p D 1; 2; 3, der Zielerreichungsgrade lauten w1.x; y/ D x125 ; w2.x; y/ D y100 (vergleiche die Lösung von 3.18 b)) sowie w3.x; y/ D 125 x125 (da 125 auch das Maximum von u3.x; y/ über A darstellt). w1.x; y/ D w3.x; y/ ist demnach äquivalent mit x D 125 x, das heißt mit x D 62;5; aus der Lösung von 3.18 b) wissen wir bereits, dass w1.x; y/ D w2.x; y/ bedeutet, dass y D 0;8 x gilt. Übereinstimmung der drei Zielerreichungsgrade liegt also genau beim Punkt .xIy/ D .62;5I 50/ vor. c) Der in b) gefundene Punkt .62;5I 50/ ist wegen a) nicht effizient; die im Anschluss an die Lösung der Aufgabe 3.13* angegebene Aussage 2 hilft hier also nicht weiter bei der Suche nach Optimallösungen bezüglich der Körth-Regel. Im Folgenden werden wir die Menge aller solchen Optimallösungen auf zweierlei Arten bestimmen: Erste (auf die spezielle Situation dieser Aufgabe zugeschnittene) Möglichkeit: Ein Blick allein auf die beiden Nutzenfunktionen u1; u3 zeigt bereits, dass bei .x; y/ 2 A der minimale Zielerreichungsgrad (bezüglich aller drei Ziele) wegen min pD1;2;3¹wp.x; y/º 5 min¹w1.x; y/; w3.x; y/º D 1 125 min¹x; 125 xº D 1 125 ´ x; falls x 5 62;5 125 x; falls x > 62;5 μ Lösungen zu Kapitel 3 47 denWert 62;5 125 D 1 2 nicht überschreiten kann, und dassw1.x; y/ = 1 2 , w3.x; y/ = 12 genau für die .x; y/ 2 A mit x D 62;5 erreicht wird (und zwar jeweils mit „D 1 2 “). Sofern also die Menge A aller .x; y/ 2 A mit x D 62;5 und mit w2.x; y/ = 12 nicht leer ist, besteht A genau aus allen nach der Körth-Regel optimalen Aktionen. Wegen w2.x; y/ D y100 ergibt sich A D ¹.62;5Iy/ 2 A W y = 50º D ¹.62;5Iy/ 2 R2 W 50 5 y 5 87;5º (¤ ;) (das letzte Gleichheitszeichen ergibt sich aus 62;5Cy 5 150 ” y 5 87;5). Jeder Punkt .x; y/ 2 A liefert die Zielerreichungsgrade 0;5 für Kind 1 und Kind 3 sowie y 100 (= 0;5) für Kind 2. Zweite (generell gangbare) Möglichkeit: Nach Bamberg et al. (2012b, Abschnitt 3.4 bzw. Lösung zu Aufgabe 3.3) ist die Menge aller Optimallösungen nach der Körth- Regel erhältlich, indem man alle Lösungen des linearen Optimierungsproblems w ! max unter den Nebenbedingungen .x; y/ 2 A also x 5 125; y 5 100; x C y 5 150; x; y = 0 sowie wp.x; y/ = w für p D 1; 2; 3 d.h. x = 125w; y = 100w; 125 x = 125w; w = 0 bestimmt. Die Durchführung geschieht nach dem Simplexverfahren (mit den Schlupfvariablen 1; : : : ; 6) wie auf Seite 48 dargestellt; dabei sind anhand der grau unterlegten Felder die Pivotspalte, die Pivotzeile und das Pivotelement erkennbar. Bei den beiden letzten Simplextableaus handelt es sich um Endtableaus. Da im vorletzten Tableau eine Null in der Zielfunktionszeile über einem Nicht-Einheitsvektor steht, ist klar, dass das zu Grunde liegende Optimierungsproblem keine eindeutige Lösung 48 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit w x y 1 2 3 4 5 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 125 0 0 1 0 1 0 0 0 0 100 0 1 1 0 0 1 0 0 0 150 125 1 0 0 0 0 1 0 0 0 100 0 1 0 0 0 0 1 0 0 125 1 0 0 0 0 0 0 1 125 0 0 1 100 0 0 0 0 1 100 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 125 0 0 1 0 1 0 0 0 0 100 0 1 1 0 0 1 0 0 0 150 0 1 5 4 0 0 0 1 5 4 0 0 1 0 1 100 0 0 0 0 1 100 0 0 0 1 5 4 0 0 0 0 5 4 1 125 0 1 125 0 0 0 0 1 125 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 125 0 4 5 0 0 1 0 4 5 1 0 100 0 9 5 0 0 0 1 4 5 1 0 150 0 4 5 1 0 0 0 4 5 1 0 0 1 1 125 0 0 0 0 1 125 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 1 125 0 0 0 0 0 0 1 250 0 1 250 1 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 62;5 0 0 0 0 1 0 2 5 1 2 5 50 0 0 0 0 0 1 1 10 1 9 10 37;5 0 0 1 0 0 0 2 5 1 2 5 50 1 0 0 0 0 0 1 250 0 1 250 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0 1 2 62;5 0 0 0 0 0 0 1 250 0 1 250 1 2 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 62;5 0 0 0 0 1 1 1 2 0 1 2 12;5 0 0 0 0 0 1 1 10 1 9 10 37;5 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 2 87;5 1 0 0 0 0 0 1 250 0 1 250 1 2 0 1 0 0 0 0 1 2 0 1 2 62;5 Lösungen zu Kapitel 3 49 besitzt. Aus beiden letzten Tableaus lässt sich ablesen: Die Menge der Optimallösungen nach der Körth-Regel ist ¹.x; y/ 2 R2 W x D 62;5I y 2 Œ50I 87;5 ºI das Maximum des minimalen Zielerreichungsgrades ist 1 2 , wobei durch eine nach der Körth-Regel optimale Lösung .62;5Iy/ für Kind 1 und für Kind 3 ein Zielerreichungsgrad von 62;5 125 D 1 2 und für Kind 2 ein Zielerreichungsgrad von y 100 entsteht. d) Bei Zielgewichtung mit g1 D g2 D g3 D 13 ergibt sich die Bewertungsfunktion ˆ.x; y/ D 1 3 x C 1 3 y C 1 3 .125 x/ D 1 3 .125C y/: Danach sind alle .x; 100/mit 0 5 x 5 50 optimal (und damit dieselben Aktionen, wie wenn allein u2 zu maximieren wäre). Lösung zu Aufgabe 3.20* Mit x beziehungsweise y gleich produzierte ME von Produkt 1 beziehungsweise 2 und mit den aCj ; a j wie angegeben erhält man folgendes Optimierungsproblem: aC1 C a 1 C aC2 C a 2 ! min unter den Nebenbedingungen 2 x C 3 y aC1 C a 1 D 360 (Betriebszeit) 4 x C 2 y aC2 C a 2 D 600 (Rohstoff) x C y 5 200 (Produktion) x; y; aCj ; a j = 0 Durch Einführung einer Schlupfvariablen für die Produktionsrestriktion liegen alle drei Nebenbedingungen in Gleichungsform vor; sie lassen sich matriziell darstellen gemäß 0 B@2 3 1 0 1 0 04 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 CA 0 BBBBBBBBBB@ x y aC1 aC2 a 1 a 2 1 CCCCCCCCCCA D 0 B@360600 200 1 CA ; wobei die Koeffizientenmatrix bereits die drei Einheitsvektoren enthält. 50 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Schreibt man die obige Zielfunktion in zu maximierender Form, so sind den Variablen x; y; aC1 ; a C 2 ; a 1 ; a 2 ; der Reihe nach die Koeffizienten 0; 0; 1; 1; 1; 1; 0 zugeordnet. Um ein Starttableau für das Simplexverfahren zu erhalten, benötigen wir eine Basisdarstellung der Zielfunktion, das heißt eine Darstellung, bei der über den Einheitsvektoren der Koeffizientenmatrix Nullen stehen. Diese Basisdarstellung wird erreicht, indem man zum gegebenen Zielfunktionskoeffizientenvektor .0; 0; 1; 1; 1; 1; 0/ die Summe der ersten beiden Zeilen der Matrix hinzuaddiert. Dadurch entsteht der Vektor .6; 5; 2; 2; 0; 0; 0/. Das Negative davon bildet dann die Zielfunktionszeile des Starttableaus. Der Zielfunktionswert .360 C 600/ D 960 ergibt sich als Skalarprodukt von .0; 0; 1; 1; 1; 1; 0/ mit der zum Starttableau gehörenden Basislösung .0; 0; 0; 0; 360; 600; 200/T . Die Durchführung der Simplexschritte bis zum Endtableau ist im Folgenden aufgelistet: x y aC1 a C 2 a 1 a 2 6 5 2 2 0 0 0 960 2 3 1 0 1 0 0 360 4 2 0 1 0 1 0 600 1 1 0 0 0 0 1 200 0 2 2 1 2 0 3 2 0 60 0 2 1 1 2 1 1 2 0 60 1 1 2 0 1 4 0 1 4 0 150 0 1 2 0 1 4 0 1 4 1 50 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 2 1 4 1 2 1 4 0 30 1 0 1 4 3 8 1 4 3 8 0 135 0 0 1 4 1 8 1 4 1 8 1 35 Die (eindeutige) Optimallösung des linearen Optimierungsproblems lautet also .135; 30; 0; 0; 0; 0; 35/ (mit Zielfunktionswert 0). Optimal nach dem Goal- Programming-Ansatz ist es somit, 135 ME von Produkt 1 und 30 ME von Produkt 2 herzustellen. Beide Zielvorgaben werden dadurch exakt eingehalten (wegen a j D aCj D 0 für j D 1; 2; siehe auch den Zielfunktionswert 0). Lösungen zu Kapitel 3 51 Lösung zu Aufgabe 3.21* Da x C y 5 200 weiterhin vorausgesetzt wird, als zusätzlicher Summand in der Bewertungsfunktion aber die Abweichung von .xCy/ zu 200 anzusetzen ist, ist klar, dass nur eine Unterschreitung der Zielvorgabe 200 berücksichtigt werden muss. Die neue Zielfunktion lautet also aC1 C a 1 C aC2 C a 2 C a 3 ! minI als neue Nebenbedingung ist x C y C a 3 D 200 hinzuzufügen (mit a 3 = 0). Da aus dieser neuen Nebenbedingung die bisherige Produktionsbedingung xCy 5 200 (beziehungsweise xCyC D 200) folgt, kommt man auch weiterhin mit drei Zeilen in der Koeffizientenmatrix aus; die Koeffizientenmatrix ist aus der Lösung zu Aufgabe 3.20* unverändert zu übernehmen (lediglich ist durch a 3 zu ersetzen). Geht man analog zur Lösung von Aufgabe 3.20* vor, um eine Basisdarstellung der Zielfunktion zu erhalten, so ist zum jetzigen Zielfunktionskoeffizientenvektor .0; 0; 1; 1; 1; 1; 1/ die Summe der drei Zeilen der Koeffizientenmatrix hinzuzuaddieren mit dem Ergebnis .7; 6; 2; 2; 0; 0; 0/; entsprechend ist der Startzielfunktionswert 1 160 gleich dem . 1/-fachen der Summe der drei Randwerte 360, 600 und 200. Nun sind folgende Simplexschritte durchzuführen: x y aC1 a C 2 a 1 a 2 a 3 7 6 2 2 0 0 0 1 160 2 3 1 0 1 0 0 360 4 2 0 1 0 1 0 600 1 1 0 0 0 0 1 200 0 5 2 2 1 4 0 7 4 0 110 0 2 1 1 2 1 1 2 0 60 1 1 2 0 1 4 0 1 4 0 150 0 1 2 0 1 4 0 1 4 1 50 0 0 3 4 7 8 5 4 9 8 0 35 0 1 1 2 1 4 1 2 1 4 0 30 1 0 1 4 3 8 1 4 3 8 0 135 0 0 1 4 1 8 1 4 1 8 1 35 52 3. Kapitel. Aufgaben zu Entscheidungen bei Sicherheit Optimal nach dem Goal-Programming-Ansatz ist also auch jetzt, 135 beziehungsweise 30 ME von Produkt 1 beziehungsweise 2 zu produzieren. Die Zielvorgaben bezüglich der Betriebszeit beziehungsweise des Rohstoffs werden auch hier exakt eingehalten; bei der Produktion wird die Zielvorgabe 200 um 35 (D a 3 D 200 .135 C 30/) unterschritten. (Der Zielfunktionswert 35 im Endtableau ist Ergebnis der zu maximierenden Zielfunktion aC1 a 1 aC2 a 2 a 3 (D 0 0 0 0 35 im Optimum).

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Zusammenfassung

Zum Werk

Das Arbeitsbuch dient der Einübung grundlegender Begriffe und Verfahren der betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre. Es enthält mehr als 100 typische Klausuraufgaben betreffend

- das Grundmodell der betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre

- Entscheidungen bei Sicherheit und mehrfacher Zielsetzung

- Entscheidungen bei Risiko

- Entscheidungen bei Ungewissheit

- Entscheidungen bei variabler Informationsstruktur

- Grundbegriffe der Spieltheorie

- Gremienentscheidungen

- Mehrstufige Entscheidungen.

Alle Aufgaben wurden jeweils mit einer ausführlichen Musterlösung versehen.

Autoren

Prof. em. Dr. Dr. h.c. Günter Bamberg war Inhaber des Lehrstuhls für Statistik der Universität Augsburg. PD Dr. Franz Baur ist Akademischer Direktor a.D. am Lehrstuhl für Statistik der Universität Augsburg. Prof. Dr. Michael Krapp ist Extraordinarius für Quantitative Methoden an der Universität Augsburg.

Zielgruppe

Für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an Universitäten, Fachhochschulen und Berufsakademien.