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Siegfried Hauser, 2.3 Das Konzept der Wahrscheinlichkeiten in:

Hans-Hermann Francke, Heinz Rehkugler (Ed.)

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung, page 98 - 105

2. Edition 2011, ISBN print: 978-3-8006-3808-6, ISBN online: 978-3-8006-4342-4, https://doi.org/10.15358/9783800643424_98

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Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 78 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 79 2.3 Das Konzept der Wahrscheinlichkeiten 79 ( )( )T it Mtit Mt i M t 1 2 2 T T 2 2i M it Mtit Mt t 1 t 1 r r r r Cov(r ,r ) s s (r r ) (r r ) = = = − − ρ = = ⋅ − ⋅ − Der Korrelationskoeffizient ρ kann dabei Werte zwischen –1 und +1 annehmen. Ein Wert von +1 kann als vollständiger Gleichlauf zweier Renditezeitreihen interpretiert werden, während bei einem Wert von –1 von einer perfekt gegenläufigen Bewegung ausgegangen wird. Im Kontext des Portfoliomanagements zeigt der Korrelationskoeffizient das Risikodiversifikationspotenzial einzelner Wertpapiere auf. Weisen Einzeltitel unterschiedliche Verläufe, d. h. Renditekorrelationen kleiner als Eins auf, so kann durch Mischung dieser Wertpapiere das Schwankungsrisiko in einem Portfolio reduziert werden. Im Spezialfall können sich perfekt gegenläufige Renditezeitreihen (ρ = –1) bei einem bestimmten Mischungsverhältnis exakt ausgleichen, so dass das Risiko eines Portefeuilles völlig eliminiert wird. 2.3 Das Konzept der Wahrscheinlichkeiten 2.3.1 Die Vorstellung von Wahrscheinlichkeit Die Vorstellung von Wahrscheinlichkeit trifft auf Ereignisse zu, • deren möglichen Ausgänge nicht mit Sicherheit eintreten, • deren Eintreffen aber auch nicht ein solches Einzelereignis darstellt, dass darüber nichts ausgesagt werden kann. Trotz aller Unsicherheit glaubt man eine gewisse Regelmäßigkeit des Eintreffens feststellen zu können. Solche Ereignisse nennen wir Zufallsereignisse. Die einfachsten Anwendungen von Zufallsereignissen und Wahrscheinlichkeiten treten im Bereich der Spiele auf, bei Würfelspielen, bei Lotto usw. Komplizierter sind die Anwendungen beispielsweise im Bereich der Qualitätskontrolle, der Versicherungswirtschaft oder der Kapitalmarktanalyse. Die klassische Definition einer Wahrscheinlichkeit für einen Sachverhalt besagt: Die Wahrscheinlichkeit W ist das Verhältnis der Zahl nA des Eintreffens eines „günstigen“ Ereignisses A zur Zahl n aller möglichen Ereignisse, also W(A) = nA/n Das günstige Ereignis A beim Würfelspiel sei die Zahl 6, da die Zahl 6 einmal bei n = 6 möglichen Ereignissen auftritt, es ergibt sich die Wahrscheinlichkeit W(A) = 1/6. Dies gilt beim Würfelspiel natürlich nur, wenn der Würfel ausbalanciert ist und fair gespielt wird. Beim Lotto, bei dem 6 aus 49 Zahlen getippt werden können, ist die Wahrscheinlichkeit 6 „Richtige“ zu haben, das Verhältnis 1 zur Gesamtzahl aller möglichen Sechsergruppen, die aus 49 Zahlen gebildet werden können. Nach der Kombinatorik bedeutet dies, dass es Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 80 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 81 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten80 49 6 (sprich 49 über 6) = 13.983.816 Möglichkeiten gibt, derartige Sechsergruppen zu bilden; somit ist die Wahrscheinlichkeit, sechs Richtige zu haben = 1:13.983.816. Im praktischen Leben lassen sich Wahrscheinlichkeiten nicht so einfach und von vornherein berechnen wie bei den Spielen. Wir benötigen jetzt Beobachtungen. In der Qualitätskontrolle z. B. ist der Anteil der defekten Stücke bei den Produktionsprozessen unterschiedlich, in der Versicherungswirtschaft sind die Sterbewahrscheinlichkeiten von Frauen und Männern sowie in den einzelnen Altersgruppen und sozialen Gruppen und somit die zu versichernden Risiken unterschiedlich hoch. Analoges gilt für die Risikoberechnung auf dem Kapitalmarkt. Wie wir in Abschnitt 2.1 gesehen haben, können wir aus Beobachtungen relative Häufigkeiten fi für das Auftreten von Merkmalen berechnen. Dasselbe können wir bei Zufallsereignissen ermitteln, deren Erscheinungen wir beobachten können. Die statistische Wahrscheinlichkeit arbeitet mit relativen Häufigkeiten. Damit wir relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten benutzen können, müssen diese stabil sein. Diese Stabilität wird erreicht, indem die Beobachtungszahl n genügend groß gewählt wird. Was „genügend“ groß ist, ist nicht eindeutig definiert; in der Sprache der Mathematik wird dafür angenommen, dass n gegen unendlich geht, also n → ∞. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis xi wird dann dargestellt als: i in W(x ) limf →∞ = In der weiteren Darstellung verwenden wir als Wahrscheinlichkeiten vereinfachend fi. Nun ist zwischen objektiven und subjektiven Wahrscheinlichkeiten zu unterscheiden. Objektive Wahrscheinlichkeiten sind solche, die durch menschliches Verhalten nicht verändert werden können und in diesem Sinne objektiv genannt werden können. Beim Roulette beispielsweise ändert sich die Wahrscheinlichkeit für „rot“ nicht, auch wenn alle Spieler der Meinung sind, dass beim nächsten Spiel die Kugel auf die Farbe rot fällt. Anders verhält es sich zum Beispiel an der Börse: wenn hier viele Anleger der Meinung sind, dass der Kurs einer Aktie steigt und sie diese Aktien kaufen, steigt die Wahrscheinlichkeit für einen Kursgewinn bei dieser Aktie. Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich, da sie vom Verhalten der Anleger abhängen, und man nennt sie dann subjektiv. Man muss demnach das sich ändernde Verhalten der Anleger betrachten, um zu Wahrscheinlichkeitsaussagen zu kommen. ZWISCHENFAZIT: Die Logik im Umgang mit Wahrscheinlichkeiten entspricht nicht immer der Alltagslogik. So ist die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses zwar 1, aber umgekehrt ist ein Zufallsereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1 nicht zwangsläufig ein sicheres Ereignis. Es ist schwierig, einer Wahrscheinlichkeit eine objektive Bedeutung zuzuordnen, weil die Einschätzung von Wahrscheinlichkeiten sehr subjektiv ist; ein risikofreudiger Anleger beispielsweise sieht bereits bei kleinen Wahrscheinlichkeiten große Erfolgschancen. Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 80 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 81 2.3 Das Konzept der Wahrscheinlichkeiten 81 2.3.2 Der rechnerische Umgang mit Wahrscheinlichkeiten Bei Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen gehen wir analog zum vorangegangenen Abschnitt vor. Zunächst müssen die Ereignisse im Ereignisraum und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten bekannt sein. Wir erhalten dann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung analog zur Häufigkeitsverteilung in Abschnitt 2.1, bei der die Summe der Wahrscheinlichkeiten 1 ist. Beispiel 7: Auf einem Markt sollen folgende Renditen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten auftreten: Die Einzelwahrscheinlichkeiten geben die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen an. Wie in Abschnitt 2.1 erläutert, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich eins, if 1= . Die Verteilungsfunktionswerte Fi geben die Wahrscheinlichkeiten dafür an, eine bestimmte Rendite x oder eine geringere Rendite zu erhalten. Der Wert F(x = 5) = F3 = 0,85 in Beispiel 7 sagt aus, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,85 eine Rendite von 5 % oder geringer erzielt wird. Dies beinhaltet gleichzeitig die Aussage, dass eine Wahrscheinlichkeit von 0,15 (nämlich 1–0,85) besteht, eine Rendite von mehr als 5 % zu erhalten. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden nun ebenfalls Maßzahlen (auch Kennziffern oder Parameter genannt) wie in Abschnitt  2.2 verwendet. Die Rendite (in %) xi Wahrscheinlichkeit ƒi Verteilungsfunktionswert Fi 3 0,10 0,10 4 0,40 0,50 5 0,35 0,85 6 0,10 0,95 7 0,05 1,00 Abbildung 27 : Wahrscheinlichkeiten von Renditen 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0,1 0,4 0,35 0,1 0,05 Abbildung 28: Wahrscheinlichkeitsverteilung von Renditen Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 82 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 83 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten82 Maßzahl, die angibt, was wir im Durchschnitt zu erwarten haben, heißt Erwartungswert. Ferner gibt es Maßzahlen für die Streuung, wobei hiermit das wahrscheinliche Risiko gemessen wird, und Maßzahlen zur Messung des Zusammenhangs zweier Variablen, wie die Kovarianz. Wir behandeln hier lediglich Erwartungswert und Varianz. Der wichtigste Parameter ist der Erwartungswert μ. Einfach ausgedrückt macht er eine Aussage, was wir wahrscheinlich im Durchschnitt zu erwarten haben. Er wird analog zum gewichteten arithmetischen Mittel berechnet, wobei die fi jetzt nicht die Häufigkeiten sind, sondern die Wahrscheinlichkeiten, mit denen das jeweilige Ereignis eintritt: i ix fμ = Im obigen Beispiel 7 wird μ = 3 ⋅ 0,1 + 4 ⋅ 0,4 + 5 ⋅ 0,35 + 6 ⋅ 0,10 + 7 ⋅ 0,05 = 4,6, was besagt, dass im Durchschnitt eine Rendite von 4,6 % erwartet werden kann. Der zweitwichtigste Parameter ist die Varianz σ2. Mit ihr kann die Streuung und z. B. das Risiko berechnet werden. Die Formel ist: 2 2 i i(x ) fσ = − μ Die Wurzel aus der Varianz bezeichnet man wieder als Standardabweichung σ. Im obigen Beispiel 7 wird σ2 = (3–4,6)2 ⋅ 0,1 + (4–4,6)2 ⋅ 0,4 + (5–4,6)2 ⋅ 0,35 + (6–4,6)2 ⋅ 0,10 + (7–4,6)2 ⋅ 0,05 = 0,94 und die Standardabweichung ist 0,94 0,97 1σ = = ≈ . ZWISCHENFAZIT: Bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung gebrauchen wir alle Parameter (Mittelwerte, Varianzen, Verteilungen) analog zur beschreibenden Statistik. Während in der beschreibenden Statistik diese Parameter für einen Beobachtungsplot feststehend sind, gelten sie hier unter dem Wahrscheinlichkeitsaspekt. 2.3.3 Wahrscheinlichkeitsbestimmung mit Hilfe der Normal verteilung Im obigen Renditebeispiel wurden die Wahrscheinlichkeiten als relative Häufigkeiten über Beobachtungen gewonnen. Derartige Merkmale wie Renditen nennt man diskrete Merkmale oder diskrete Variablen; sie sind voneinander abgrenzbar und abzählbar. Neben den diskreten Variablen gibt es stetige Variablen. Dabei sind die Ausprägungen überabzählbar und nur in Intervallen zu messen. Um sich dies besser vor Augen führen zu können, kann man sich hilfsweise vorstellen, dass die Renditen auf zehn Nachkommastellen berechnet werden. Dann würden z. B. zwischen den Renditewerten von 3 % und 4 % noch 10 Milliarden Zwischenwerte auftreten. Die einzelnen Renditeausprägungen gehen dann fast ineinander über, so dass eine sinnvolle Unterscheidung der Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 82 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 83 2.3 Das Konzept der Wahrscheinlichkeiten 83 Renditenhöhe nur über Intervalle hergestellt werden kann. Da die einzelnen Ausprägungen der Renditen nicht festgestellt werden, können auch keine Einzelwahrscheinlichkeiten für das Auftreten eines bestimmten Renditewerts berechnet werden, sondern es kann nur die Wahrscheinlichkeitsdichte für ein Intervall bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion wird zur Dichtefunktion. Die bekannteste Dichtefunktion ist die Normal- oder Gauß-Verteilung. Die Normalverteilung N(μ,σ) ist eine sehr häufig verwendete Verteilungsform, die z. B. auch für Renditenverteilungen verwendet werden kann. Dabei ist μ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung der Verteilung. μ gibt die Lage des Maximums der Dichtefunktion an, während σ die Wendepunkte der Normalverteilung beschreibt, mit μ ± σ. Die Normalverteilung ist eine symmetrische Verteilung, deren Werte im Bereich von –∞ bis +∞ liegen, wobei die kleineren Abweichungen vom Erwartungswert wahrscheinlicher sind als die größeren Abweichungen. Die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion der Normalverteilung ist 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert kleiner (größer) ist als der Erwartungswert, ist 0,5. Mit den Flächenstücken können die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der möglichen Variablenausprägungen angegeben werden. Da jede Normalverteilung durch μ und σ festgelegt ist, ergeben sich bei verschiedenen μ und σ jeweils unterschiedlich große Flächenstücke als Wahrscheinlichkeiten. Beispiel 8: Nehmen wir für Deutschland die Renditenverteilung aus Abbildung 27 (Beispiel 7) mit μ = 4,6 und ist σ = 1 als gegeben an und für Malaysia eine Renditenverteilung mit μ = 7,4 und σ = 5. In Malaysia kann demnach eine höhere Rendite bei einem höheren Risiko erwartet werden. Die Renditenverteilungen seien Abbildung 29: Normalverteilung μ σ μ μ σ Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 84 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 85 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten84 näherungsweise normalverteilt. Wir wollen wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit in beiden Ländern ist, eine Rendite von weniger als 3,4 % zu realisieren. Anmerkung (1): Die Wahrscheinlichkeit, eine Rendite unterhalb einer geforderten Mindestrendite zu erzielen, wird als Ausfallwahrscheinlichkeit bezeichnet und zählt zu den so genannten Downside Risikomaßen. Ein Blick auf die beiden Abbildungen zeigt, dass die Fläche, die diese Wahrscheinlichkeit angibt, für Malysia größer ist als für Deutschland. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten müssten wir bei jeder der beiden Dichtefunktionen die Flächen von –∞ bis 3,4 % berechnen. Da alle Normalverteilungen die gleichen Eigenschaften haben und sich nur durch μ und σ unterscheiden, führt man sie in die Standardnormalverteilung N(0;1) über. Die Standardisierung einer Verteilung wird vorgenommen, indem man von jedem Wert der Variablen den eigenen Mittelwert μ abzieht und durch die Standardabweichung σ dividiert, also x z − μ= σ Die Variable z ist dann der Abszissenwert der Standardnormalverteilung. Eine derartig standardisierte Verteilung hat immer den Mittelwert μ = 0 und die Varianz σ2 = 1 bzw. die Standardabweichung σ = 1. Die Verteilungsfunktionswerte F(x) einer beliebigen Normalverteilung N(μ, σ) können mit den Verteilungsfunktionswerten Φ(z) der Standardnormalverteilung N(0, 1) angegeben werden. Die Verteilungsfunktionswerte dieser Standardnormalverteilung Φ(z) geben die Flächen von –∞ bis zu einem z-Wert an und sind für die z-Werte von –3 bis +3 im Anhang dieses Kapitels angegeben. Im Folgenden sollen die beiden Normalverteilungen aus Beispiel 8 in Standardnormalverteilungen überführt werden: a) Für Deutschland mit einer Normalverteilung mit μ = 4,6 und σ = 1 wird dann für x = 3,4 der standardisierte Wert z = (3,4 – 4,6)/1 = –1,2. Für -5 0 5 10 Malaysia N(7, 4; 5) 15 20 -5 0 5 10 15 20 Deutschland N(4, 6; 1) Abbildung 30: Normalverteilungen für Deutschland und Malaysia Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 84 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 85 2.3 Das Konzept der Wahrscheinlichkeiten 85 z = – 1,2 ergibt sich eine Fläche Φ(z = –1,2) = 0,1151. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Rendite von weniger als 3,4 % erreicht wird, also rund 0,12. b) Bei Malaysia mit einer Normalverteilung mit μ = 7,4 und σ = 5 wird für x = 3,4 der standardisierte Wert z = (3,4 –7,4)/5 = –0,8. Für z = –0,8 wird die Fläche Φ(z = –0,8) = 0,2119. Die Wahrscheinlichkeit, in Malaysia eine Rendite von weniger als 3,4 % zu erhalten, ist rund 0,21, also nahezu doppelt so hoch wie in Deutschland. Anmerkung (2): Ein weiteres Downside Risikomaß ist der Value-at-Risk (VaR). Es geht hier darum, mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten den maximalen Verlust bei einer gewissen Risikowahrscheinlichkeit zu berechnen. Wt sei der Wert der Anlage zum jetzigen Zeitpunkt, E(Wt+1) sei der Erwartungswert der zukünftigen Anlage, σ das Risiko (gemessen als Standardabweichung) und z der Abszissenwert beim Risiko α. Der VaR berechnet sich dann: VaR = Wt – E(Wt+1) – zσWt Es wird also vom derzeitigen Wert der Anlage der erwartete Wert der nächsten Periode sowie der Risikobereich abgezogen. Formen wir um VaR = Wt [1 – E(Wt+1/Wt) – zσ] = Wt [1 –(1 + rt+1) – zσ] = Wt [–rt+1 – zσ]. Dabei ist E(Wt+1/ Wt) der erwartete Wachstumsfaktor der Anlage, wobei (s. Abschnitt 2.2.1.4) qt+1 = 1+rt+1, und rt+1 die erwartete Rendite der nächsten Periode ist. Beispiel 9: Ein Anleger möchte bei einer Anlage von 20.000 € seinen erwarteten maximalen Verlust für das nächste Jahr ausrechnen; die erwartete Rendite ist 6 % bei einer Abbildung 31: Standardnormalverteilung Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 86 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 87 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten86 Standardabweichung von 0,03 und einem Risiko α = 0,01. Das Risiko α = 0,01 ist die Fläche Φ(z) = 0,01 der Standardnormalverteilung (vgl. Abbildung  33). Für diese Fläche (näherungsweise 0,0107 in der Normalverteilungstabelle) ist z = –2,3. Also wird für Wt = 20.000; rt+1 = 0,06; σ = 0,03; α = 0,01 und z = –2,3: VaR = 20000[–0,06 – (–2,3)0,03] = 180 Mit einem Risiko von 1 % tritt also ein höherer Verlust als 180 € auf. FAZIT: Die Verwendung der Normalverteilung beim Abschätzen von Renditen oder Risiken und allgemein in der statistischen Schätztheorie ist nicht darin begründet, dass die Renditen oder Risiken normalverteilt sind, sondern darin, dass wir eine Aussage über den Schätzwert von Renditen oder Risiken machen. Bei den Schätzwerten gehen wir davon aus, dass diese normalverteilt sind. 2.4 Regressionsanalyse Messungen in der Realität bringen meist keine eindeutigen Ergebnisse. Die Statistik bietet das Instrumentarium an, das Wesentliche herauszuarbeiten. Wenn wir Mieten oder Renditen betrachten, benutzen wir Mittelwerte, um das Niveau angeben zu können, und mit der Varianz bzw. Standardabweichung haben wir eine Möglichkeit die Streubreite zu messen. Das gleiche Phänomen tritt auch auf, wenn wir Zusammenhänge betrachten. Wollen wir z. B. den Zusammenhang zwischen Mietausgaben und Einkommen messen, können wir die Wertepaare in einem sog. Streuungsdiagramm abtragen. In unserem Beispiel sollen Y die Mietausgaben und X das Einkommen sein: y x Abbildung 32: Streuungsdiagramm

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Zusammenfassung

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung:

Alles für die immobilien-wirtschaftliche Ausbildung.

Rund um die Immobilie

Das Werk enthält Beiträge zur Entwicklung und Analyse von

* Immobilienprodukten,

* Immobilienmärkten sowie zur

* Immobilienbewertung.

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung

Anschaulich und kompakt werden zentrale Stoffinhalte der immobilienwirtschaftlichen Ausbildung dargestellt: von der Analyse der dominanten Einflussfaktoren der Entwicklung von Immobilienmärkten über die Diskussion um das angemessene Bewertungsverfahren für Immobilien und Immobiliengesellschaften bis hin zu Fragestellungen der Bilanzierung von Immobilien nach internationalen Rechnungslegungsvorschriften.