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Siegfried Hauser, 2.1 Häufigkeiten, Merkmalsklassen und Verteilungsformen in:

Hans-Hermann Francke, Heinz Rehkugler (Ed.)

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung, page 70 - 79

2. Edition 2011, ISBN print: 978-3-8006-3808-6, ISBN online: 978-3-8006-4342-4, https://doi.org/10.15358/9783800643424_70

Bibliographic information
Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 50 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 51 2Die Auswertung von Immobilienmarkt-daten mit statistischen Modellen Prof. Dr. Siegfried Hauser Kapitelübersicht 2.1 Häufigkeiten, Merkmalsklassen und Verteilungsformen . . . . . . . . . . . . 53 2.1.1 Absolute und Relative Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1.1.1 Gruppierte Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1.1.2 Klassierte Merkmale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.1.2 Grafische Darstellungen von Häufigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2 Aussagefähigkeit von Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.1 Niveaumessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2.1.1 Modalwert (Dichtester Wert, Häufigster Wert) . . . . . . . . . . 60 2.2.1.2 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.2.1.3 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1.3.1 Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1.3.2 Eigenschaften des arithmetischen Mittels . . . . . . 65 2.2.1.4 Modus, Median oder arithmetisches Mittel – ein Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.1.5 Geometrisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.2 Streuungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.2.1 Spannweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.2.2 Die durchschnittliche Abweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2.2.3 Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.2.3 Die Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.2.4 Anwendung bei der Risiko- und Korrelationsmessung . . . . . . . . 75 2.2.4.1 Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2.4.1.1 Maße für das Gesamtrisiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.2.4.1.2 Maße für das Downside Risiko (bzw. Ausfallrisiko) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2.4.1.3 Betafaktor als Maß für das systematische Risiko 77 2.2.4.2 Der Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 52 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 53 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten52 2.3 Das Konzept der Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.1 Die Vorstellung von Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.2 Der rechnerische Umgang mit Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . 81 2.3.3 Wahrscheinlichkeitsbestimmung mit Hilfe der Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.4 Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.1 Die Regressionsgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.4.2 Das Bestimmtheitsmaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.5 Zeitreihenanalysen und Prognosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.5.1 Zeitreihe, Zeitreihenkomponenten und Zeitreihenmodelle . . . . . 93 2.5.2 Bestimmung von Trend- und Saisonkomponente . . . . . . . . . . . . . 95 2.5.2.1 Bestimmung der Trendkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.5.2.1.1 Methode der gleitenden Mittelwerte . . . . . . . . . . 95 2.5.2.1.2 Trendermittlung mit der Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.5.2.2 Bestimmung der Saisonkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.5.3 Prognosen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 52 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 53 Vorbemerkung: Statistik als Kommunikationsinstrument Statistik dient zur quantitativen Analyse. Das heißt zunächst ganz pauschal, dass die komplexe Welt auf Maßzahlen reduziert wird. Dies hat zwei positive Aspekte: Zum einen ist man bei einer statistischen Beschreibung und der Anwendung von Maßzahlen gezwungen, die Begriffsinhalte in statistische Inhalte umzuformen, indem man genau zu überlegen hat, wie ein begrifflicher Inhalt messbar gemacht, auf welchem Skalenniveau er erfasst werden kann und wie die Daten erhoben werden können. So ist z. B. die Wohnqualität ein allgemeiner Begriff, unter dem sich jeder irgendetwas anderes vorstellt; deshalb muss der Inhalt des Begriffs genau definiert, operationalisiert, also der Erfassung zugänglich gemacht werden, und es muss offengelegt werden, was erfasst werden kann und wie es erfasst werden kann, ob durch eine direkte oder eine indirekte Messung. Die so erfassten Merkmale werden dann Variablen genannt. Diese können qualitativer Art sein, sich also auf Zuschreibungen von Eigenschaften beziehen, oder quantitativer Art sein, also durch einen Messvorgang entstanden sein. Eine Variable qualitativer Art ist z. B. eine Variable, die anzeigt, ob ein Autostellplatz bei einer Wohnung vorhanden ist oder nicht. Im Gegensatz hierzu bildet die Höhe der Wohnungsmiete eine Variable quantitativer Art ab. Der zweite Aspekt ist der, dass durch die Reduktion der komplexen Welt auf Maßzahlen nun durch die Verknüpfung von Maßzahlen, d. h. durch die statistische Analyse wie Regressionsanalyse, Risikoanalyse und Zeitreihenanalyse, die Komplexität wieder erhöht werden kann. Zum Beispiel können durch Verwendung von Maßzahlen (Mittelwerten, Varianzen, Kovarianzen) auf dem Kapitalmarkt risikoreichere und risikoärmere Anlagen angeboten werden, oder es kann durch die Analyse von Marktentwicklungen im Rahmen einer Zeitreihenanalyse die Diversifikation von Kapitalanlagen optimiert werden. Hier sollen die grundlegenden statistischen Instrumente vorgestellt und hinsichtlich ihres Aussagegehalts betrachtet werden. 2.1 Häufigkeiten, Merkmalsklassen und Verteilungsformen Ausgangspunkt einer statistischen Analyse ist erstens das Ordnen der Daten der Größe nach und zweitens das Zusammenfassen gleicher Merkmale zu sog. Gruppen oder in Klassen. Bei der Zusammenfassung von Merkmalen in Klassen gehen naturgemäß die Informationen über die Einzelwerte verloren. Daher wählt man dieses Verfahren dann, wenn die vorliegenden Daten sehr viele unterschiedliche Einzelwerte aufweisen, um übersichtlichere Ergebnisse Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 54 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 55 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten54 zu bekommen. So werden z. B. die Nettoeinkommen der ca. 39,5 Mio. Privathaushalte in der Bundesrepublik Deutschland (BRD) im Statistischen Jahrbuch als klassierte Werte (Einkommensklassen) veröffentlicht. Nach dem Zusammenfassen der Daten zu Gruppen oder Klassen kann man sich anhand von sog. absoluten und relativen Häufigkeiten einen ersten Überblick über die Verteilung der Einzelwerte auf die einzelnen Gruppen oder Klassen verschaffen. Im Folgenden wird die Vorgehensweise an je einem Beispiel für gruppierte und klassierte Werte veranschaulicht 2.1.1 Absolute und Relative Häufigkeiten 2.1.1.1 Gruppierte Merkmale Es soll anhand eines Beispiels in das Konzept der Häufigkeiten bei gruppierten Werten eingeführt werden. Beispiel 1: In Abbildung 10 sind die Renditen von insgesamt 20 Aktien gegeben. Sie lassen sich fünf verschiedenen Branchen A bis E zuordnen. Folgende Angaben kann man aus Abbildung 10 ablesen: n ist die Anzahl der Merkmale bzw. Variablen. In unserem Fall wird die Rendite von 20 Aktien betrachtet, also ist n = 20. k ist die Anzahl der unterschiedlichen Gruppen. Da die Aktien nach Branchen in die Kategorien A-E unterteilt worden sind, ist die Anzahl an Gruppen k = 5. ni ist die Anzahl an Merkmalen in der i-ten Gruppe, d. h. die gruppenspezifische absolute Häufigkeit. Es gilt: k i i 1 n n = = Aktie Rendite (in %) (xi) Absolute Häufigkeiten ni Relative Häufigkeiten fi Verteilungsfunktion (kumulierte relative Häufigkeiten) Fi A –3 4 0,2 0,2 B 2 4 0,2 0,4 C 4 8 0,4 0,8 D 7 3 0,15 0,95 E 9 1 0,05 1,0 Insgesamt = = in n 20 = if 1,00 Abbildung 10 : Absolute und relative Häufigkeiten Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 54 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 55 2.1 Häufigkeiten, Merkmalsklassen und Verteilungsformen 55 Bei der Präsentation oder Diskussion statistischer Ergebnisse sind aus Gründen der Vergleichbarkeit relative Häufigkeiten in vielen Fällen beliebter als ihr absolutes Pendant. Man berechnet sie, indem man die Anzahl an Merkmalen in einer Gruppe durch die Gesamtzahl an Merkmalen teilt: i if n / n= Daraus folgt, dass sich die relativen Häufigkeiten zu 1 summieren: k i i 1 f 1 = = Die Werte der Verteilungsfunktion Fi sind die kumulierten relativen Häufigkeiten. Im Einzelnen lassen sich die Verteilungswerte folgendermaßen interpretieren: F3 = 0,8 besagt z. B., dass 80 % der Aktien Renditen von 4 % und weniger erbringen. Das heißt im Umkehrschluss, dass die Renditen der übrigen 20 % der Aktien über 4 % liegen. In der obersten Gruppe, in Beispiel 1 F5, muss Fi immer den Wert 1 annehmen.16 2.1.1.2 Klassierte Merkmale Wie auf der vorhergehenden Seite beschrieben, wird man immer dann, wenn man sehr viele Einzelwerte vorliegen hat, aus Gründen der Übersichtlichkeit die Merkmale zu Klassen zusammenfassen. Dieser Vorgang bereitet weiter keine Schwierigkeiten, außer wenn beim Zusammenfassen ungleich breite Klassen gebildet werden, was häufig der Fall ist. Dann können, wie Abschnitt 2.1.2 zeigen wird, Probleme in der Aussage entstehen. Auch bei klassierten Merkmalen soll die Häufigkeitsberechnung wieder anhand eines Beispiels erläutert werden: Beispiel 2: Abbildung 11 enthält die Wohnungsmieten von insgesamt 1.200 Wohnungen. Ein Blick in die erste Tabellenspalte zeigt, dass die Mieten zu ungleich breiten Klassen zusammengefasst worden sind. Analog zu den Ausführungen bei gruppierten Werten kann man Abbildung 11 folgende Informationen entnehmen: n ist die Anzahl der Merkmale bzw. Variablen, k ist die Anzahl der unterschiedlichen Klassen und ni ist die Häufigkeit eines Merkmals in der i-ten Klasse. Wegen der besseren Vergleichbarkeit wird auch hier wiederum mit relativen Häufigkeiten fi = ni/n gearbeitet. Aus den relativen Häufigkeiten können wie vorher die Werte der Verteilungsfunktion Fi als kumulierte relative Häufigkeiten errechnet werden. Sie besagen z. B. bei F5 = 0,8, dass 80 % der Mieten weniger als 450 € betragen, das heißt dann andererseits, dass 20 % der Mieten 450 € oder mehr betragen. Der Repräsentant der Klasse ist die Klassenmitte; sie wird berechnet, indem Klassenuntergrenze und Klassenobergrenze addiert und dann halbiert werden. 16 Die Verteilungsfunktionswerte braucht man später zur Bestimmung des Medians und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 56 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 57 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten56 Mit der Klassenmitte werden die Maßzahlen, z. B. das arithmetische Mittel, berechnet. Eine Spezialform der relativen Häufigkeiten, die man nur bei ungleich breiten Klassen berechnet, sind die normierten relativen Häufigkeiten fi*. Sie werden dadurch gebildet, dass die relativen Häufigkeiten durch die entsprechenden Klassenbreiten dividiert werden: fi* = fi/Klassenbreite Wie bereits in der Einleitung zu diesem Kapitel beschrieben, können bei ungleich breiten Klassen Probleme mit der Interpretation der Ergebnisse entstehen. Die normierten relativen Häufigkeiten korrigieren die unterschiedliche Klassenbreite und bieten so eine Lösung für dieses Problem. Ihre Anwendung wird in Abschnitt 2.1.2 deutlich. 2.1.2 Grafische Darstellungen von Häufigkeiten „Ein Bild sagt mehr als tausend Worte“, und so können auch in der Statistik die Merkmale und ihre Häufigkeiten grafisch dargestellt werden. Die grafische Darstellung wird in diesem Kapitel nur für klassierte Werte gezeigt, da hier bei ungleich breiten Klassen Manipulationen der Aussage möglich sind. Beispiel 2 (Fortsetzung): Für das Mietbeispiel (Beispiel 2 aus Abschnitt  2.1.1.2) ergibt sich folgende Häufigkeitsverteilung, wenn man die Werte aus Abbildung 12 zugrunde legt: Wohnungs mieten von … bis unter … € − −≤ ≤i l i lx x x Klassen mitte Anzahl der Wohnungen (= absolute Häufigkeiten) ni Relativer Anteil der Wohnun gen (= Relative Häufigkeiten) fi Werte der Ver teilungsfunktion (kumulierte rela tive Häufigkeiten) Fi 200–225 212,5 40 = n1 0,03 = f1 0,03 225–250 237,5 360 = n2 0,30 = f2 0,33 250–300 275,0 236 = n3 0,20 = f3 0,53 300–350 325,0 164 = n4 0,14 = f4 0,67 350–450 400,0 156 = n5 0,13 = f5 0,80 450–600 525,0 144 = n6 0,12 = f6 0,92 600–750 675,0 100 = n7 0,08 = f7 1,00 Insgesamt = = in 1200 n = i1,00 f Abbildung 11 : Absolute und relative Häufigkeiten Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 56 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 57 2.1 Häufigkeiten, Merkmalsklassen und Verteilungsformen 57 Die Form dieser Häufigkeitsbilder, oder wie man auch sagt: die Verteilungsform, erweckt beim Betrachter unterschiedliche Assoziationen. Da die in Abbildung 12 gezeigte Verteilung nur einen Maximalwert hat, spricht man von einer eingipfligen oder unimodalen Verteilung. Je nach Lage des Maximalwerts lassen sich, wie Abbildung 13 zeigt, drei Prototypen unimodaler Verteilungen unterscheiden: Die Häufigkeitsverteilung des Mietbeispiels in Abbildung 12 zeigt demzufolge eine rechtsschiefe Verteilung. Diese Verteilungsform beinhaltet die Aussage, dass die niedrigeren Mieten häufiger auftreten als die höheren. Das heißt, es gibt nur wenige Mietobjekte, die sehr hohe Mieten haben. Eine solche rechtsschiefe Verteilungsform tritt häufig bei Einkommens- und Renditeverteilungen auf. Beispiel 2 (Fortsetzung): Die Klasseneinteilung im Mietbeispiel (Beispiel 2 aus Abschnitt 2.1.1.2) ist willkürlich gewählt und nur eine von unendlich vielen möglichen Klasseneinteilungen. Daher soll ausgehend von den Daten dieses Beispiels veranschaulicht werden, dass aus ein und demselben Zahlenmaterial durch eine andere Klasseneinteilung vollkommen verschiedene Verteilungsformen erzeugt werden können. Im Folgenden werden • eine Gleichverteilung, • eine eingipflige (unimodale), fast symmetrische Verteilung und • eine zweigipflige (bimodale) Verteilung gebildet: Relative Häufigkeitsverteilung Wohnungsmieten in Euro 40% 30% 20% 10% 0% 200 - 225 - 250 - 300 - 350 - 450 - 600 - 225 250 300 350 450 600 750 Abbildung 12 : Mietbeispiel – Relative Häufigkeitsverteilung Abbildung 13 : Verteilungstypen rechtsschiefe Verteilung symmetrische Verteilung linksschiefe Verteilung Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 58 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 59 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten58 Folgendermaßen lassen sich die drei Verteilungsformen interpretieren: Eine Gleichverteilung erzeugt beim Betrachter den Eindruck, dass es zwar unterschiedliche Miethöhen gibt, aber dass diese gleich häufig auftreten; eine eingipflige (unimodale), nahezu symmetrische Verteilung erzeugt den Eindruck von einem stark besetzten mittleren Mietniveau mit kleineren Abweichungen nach unten und nach oben, und eine zweigipflige (bimodale) Verteilung vermittelt das Bild einer schwachen Mitte mit geringen und hohen Mieten, aber wenig Mieten. Die Abbildung 15 verdeutlicht, dass man aus ein und demselben Zahlenmaterial unterschiedliche Häufigkeitsbilder erzeugen kann. Daher sollte man bei Verteilungen mit unterschiedlich breiten Klassen immer in Erwägung ziehen, dass die Klasseneinteilung je nach Intention des Verfassers manipuliert worden sein kann. Um solche Verzerrungen in der Aussage aufzudecken, sollte man bei klassierten Verteilungen und ungleich breiten Klassen auf die in Abschnitt 2.1.1 eingeführten normierten relativen Häufigkeiten, fi*=fi/Klassenbreite, zurückgreifen. Diese korrigieren die unterschiedliche Klassenbreite und zeigen so, wie stark die einzelnen Klassen tatsächlich besetzt sind. Im Folgenden werden nur für die eingipflige Häufigkeitsverteilung aus Abbildung 15 (b) die normierten relativen Häufigkeiten berechnet und ein Vergleich 3a: Gleichverteilung 3b: Eingipflige Verteilung 3c: Zweigipflige Verteilung − −≤ ≤i l i lx x x ni fi − −≤ ≤i l i lx x x ni fi − −≤ ≤i l i lx x x ni fi 200–250 400 0,33 200–250 400 0,33 200–300 636 0,53 250–350 400 0,33 250–450 556 0,46 300–350 164 0,14 350–750 400 0,33 450–750 244 0,2 350–750 400 0,33 Abbildung 14: Verschiedene Klasseneinteilungen Wohnungsmieten in Euro (a) Gleichverteilung 40% 30% 20% 10% 0% 200 - 250 250 - 350 350 - 750 (b) Eingipflige Verteilung Wohnungsmieten in Euro 200 - 250 250 - 450 450 - 750 50% 40% 30% 20% 10% 0% (c) Zweigipflige Verteilung Wohnungsmieten in Euro 200 - 300 300 - 350 350 - 750 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% Abbildung 15 : Verschiedene Verteilungsformen Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 58 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 59 2.1 Häufigkeiten, Merkmalsklassen und Verteilungsformen 59 zwischen der grafischen Darstellung der relativen und der normierten relativen Häufigkeiten für diese Verteilung vorgenommen. Der Logik der normierten relativen Häufigkeiten entsprechend würde sich für alle drei Verteilungen aus Abbildung  15 eine rechtsschiefe Verteilung für die normierten relativen Häufigkeiten ergeben. ZWISCHENFAZIT: Klassierte Verteilungen mit gleich breiten Klassen bereiten keine Schwierigkeiten. Bei der Verwendung von ungleich breiten Klassen können unterschiedliche Verteilungsformen auftreten, was zu falschen Aussagen führen kann, insbesondere kann sich ein falscher Modalwert (s. Abschnitt 2.2.1.1) ergeben, weil der Modalwert in der am dichtesten besetzten Klasse angesiedelt wird. Bei klassierten Verteilungen sind die Klassenmitten die Repräsentanten der Klassen. Mit diesen werden dann die Kennziffern (Maßzahlen, Parameter) errechnet. Durch die Verwendung von Klassenmitten können Ungenauigkeiten bei den Maßzahlen auftreten. − −≤ ≤i l i lx x x ni fi fi* 200–250 250–450 450–750 400 556 244 0,33 0,46 0,20 = (0,33/50) = 0,00660 = (0,46/200) = 0,00230 = (0,20/300) = 0,00067 Abbildung 16: Normierte relative Häufigkeiten Relative Häufigkeitsverteilung Wohnungsmieten in Euro 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 200 - 250 - 450 - 250 450 750 Normale relative Häufigkeitsverteilung Wohnungsmieten in Euro 0,007 0,006 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0 200 - 250 - 450 - 250 450 750 Abbildung 17: Gegenüberstellung relative Häufigkeiten und normierte relative Häufigkeiten Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 60 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 61 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten60 2.2 Aussagefähigkeit von Maßzahlen Die in Abschnitt  2.1 dargestellte Häufigkeitsbetrachtung ist in den meisten Fällen nur ein erster Schritt bei einer statistischen Analyse. Häufig werden sog. Maßzahlen – auch als Kennziffern oder Parameter bezeichnet – für die Verteilungen berechnet. Mit Hilfe von Maßzahlen lassen sich verschiedene Aspekte von Verteilungen quantitativ beschreiben. So gibt es zum einen Maßzahlen, die sich auf das Niveau einer beobachteten Größe beziehen. Für eine solche Niveaumessung werden Mittelwerte verwendet. Diese Mittelwerte haben unterschiedliche Aufgaben und unterschiedliche Eigenschaften, die in Abschnitt 2.2.1 diskutiert werden. Neben der Niveaumessung interessieren wir uns für Maßzahlen der Streuungsmessung (vgl. Abschnitt 2.2.2) von Variablen, d. h. für die Frage, ob die Variablen in ihren Ausprägungen ein breites Spektrum ergeben oder ein schmales. Ein Streuungsmaß wird als Abweichung vom Niveau, also als Abweichung vom Mittelwert, verstanden. Die Streuung wird in der Praxis vielfach für die Risikomessung bei Wertpapieren oder Investitionsobjekten benutzt. Auch hier geht es darum, ob z. B. die Abweichungen von einer Durchschnittsrendite groß oder klein sind und ein großes Risiko oder ein nicht so großes Risiko besteht. Die dritte Art von Maßzahlen bezieht sich auf den Zusammenhang mehrerer Variablen, der mit Hilfe der Kovarianz erfasst wird. Dieser Ansatz wird in Abschnitt 2.2.3 vorgestellt. Diese drei Gruppen von Maßzahlen wollen wir als originäre Maßzahlen bezeichnen. Diese Maßzahlen werden dann für die Risiko- und Korrelationsmessung (s. Abschnitt  2.2.4) verknüpft. Durch die weitere Verwendung und Verknüpfung dieser Maßzahlen ergeben sich die Möglichkeiten für Regressionsanalysen, Zeitreihenanalysen usw. 2.2.1 Niveaumessung Zur Niveaumessung verwenden wir Mittelwerte. Es werden vier Mittelwerte behandelt: der Modalwert, der Median, das arithmetische und das geometrische Mittel. Diese Mittelwerte beinhalten unterschiedliche Eigenschaften und unterschiedliche Aussagen. 2.2.1.1 Modalwert (Dichtester Wert, Häufigster Wert) Der einfachste und einleuchtendste Mittelwert ist der häufigste oder dichteste Wert, auch Modus oder Modalwert genannt. Er gibt lediglich an, welcher Beobachtungswert am häufigsten vorkommt. Bei einer stetigen Verteilung stellt er das Maximum einer Kurve dar. Für gruppierte und klassierte Verteilungen kann der Modalwert D formelmäßig wie folgt dargestellt werden:

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Zusammenfassung

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung:

Alles für die immobilien-wirtschaftliche Ausbildung.

Rund um die Immobilie

Das Werk enthält Beiträge zur Entwicklung und Analyse von

* Immobilienprodukten,

* Immobilienmärkten sowie zur

* Immobilienbewertung.

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung

Anschaulich und kompakt werden zentrale Stoffinhalte der immobilienwirtschaftlichen Ausbildung dargestellt: von der Analyse der dominanten Einflussfaktoren der Entwicklung von Immobilienmärkten über die Diskussion um das angemessene Bewertungsverfahren für Immobilien und Immobiliengesellschaften bis hin zu Fragestellungen der Bilanzierung von Immobilien nach internationalen Rechnungslegungsvorschriften.