Content

Siegfried Hauser, 2.4 Regressionsanalyse in:

Hans-Hermann Francke, Heinz Rehkugler (Ed.)

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung, page 105 - 112

2. Edition 2011, ISBN print: 978-3-8006-3808-6, ISBN online: 978-3-8006-4342-4, https://doi.org/10.15358/9783800643424_105

Bibliographic information
Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 86 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 87 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten86 Standardabweichung von 0,03 und einem Risiko α = 0,01. Das Risiko α = 0,01 ist die Fläche Φ(z) = 0,01 der Standardnormalverteilung (vgl. Abbildung  33). Für diese Fläche (näherungsweise 0,0107 in der Normalverteilungstabelle) ist z = –2,3. Also wird für Wt = 20.000; rt+1 = 0,06; σ = 0,03; α = 0,01 und z = –2,3: VaR = 20000[–0,06 – (–2,3)0,03] = 180 Mit einem Risiko von 1 % tritt also ein höherer Verlust als 180 € auf. FAZIT: Die Verwendung der Normalverteilung beim Abschätzen von Renditen oder Risiken und allgemein in der statistischen Schätztheorie ist nicht darin begründet, dass die Renditen oder Risiken normalverteilt sind, sondern darin, dass wir eine Aussage über den Schätzwert von Renditen oder Risiken machen. Bei den Schätzwerten gehen wir davon aus, dass diese normalverteilt sind. 2.4 Regressionsanalyse Messungen in der Realität bringen meist keine eindeutigen Ergebnisse. Die Statistik bietet das Instrumentarium an, das Wesentliche herauszuarbeiten. Wenn wir Mieten oder Renditen betrachten, benutzen wir Mittelwerte, um das Niveau angeben zu können, und mit der Varianz bzw. Standardabweichung haben wir eine Möglichkeit die Streubreite zu messen. Das gleiche Phänomen tritt auch auf, wenn wir Zusammenhänge betrachten. Wollen wir z. B. den Zusammenhang zwischen Mietausgaben und Einkommen messen, können wir die Wertepaare in einem sog. Streuungsdiagramm abtragen. In unserem Beispiel sollen Y die Mietausgaben und X das Einkommen sein: y x Abbildung 32: Streuungsdiagramm Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 86 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 87 2.4 Regressionsanalyse 87 Abbildung 33 : Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 88 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 89 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten88 Das Streuungsdiagramm zeigt einen diffusen Befund. Gleiche Einkommenskategorien weisen ungleich hohe Mietausgaben auf. Jedoch sehen wir, dass Empfänger höherer Einkommen tendenziell eher bereit sind, höhere Mietausgaben zu tragen. An dieser Stelle knüpft die Regressionsanalyse an: Ihr Ziel ist es, eine durchschnittliche Beziehung zwischen den Variablen X und Y, also in unserem Beispiel zwischen Einkommen und Mietausgaben herzustellen. 2.4.1 Die Regressionsgerade Stellt die Regressionsgerade einen durchschnittlichen Zusammenhang zwischen einer erklärenden Variablen (X) und einer erklärten Variablen (Y) her, so lässt sie den Rückschluss zu, dass sich bei einem Einkommen in der Höhe X eine durchschnittliche Mietzahlung von Y ergäbe. Je nachdem, welches Bild das Streudiagramm zwischen zwei Variablen ergibt, können unterschiedliche Funktionstypen wie z. B. Geraden, Parabeln etc. geschätzt werden. Im einfachsten Fall, der auch unserem obigen Beispiel zugrunde liegt, wird eine lineare Funktion unterstellt mit der allgemeinen Form: Y = A + BX Diese Funktion soll den durchschnittlichen Zusammenhang möglichst gut angeben, das heißt es sollen alle Punkte durch sie repräsentiert werden oder anders formuliert, es soll eine Gerade der „besten Anpassung“ erzeugt werden. Ein plausibler Ansatz dafür ist: Es soll eine Gerade gefunden werden, bei der die Summe der Abweichungen (gemessen als Ordinatenabstände) aller Punkte von der Geraden 0 ist; also eine echte Ausgleichsgerade.22 Eine Gerade mit genau dieser Eigenschaft liefert die Methode der kleinsten Quadrate. Die Vorgehensweise ist folgende: Die allgemeine Form einer Geraden ist mit Y = A + BX bekannt. Sie wird durch Festlegung der Koeffizienten a und b für 22 Dies hängt wieder mit der in Kapitel 2.2.1.3 diskutierten Eigenschaft des arithmetischen Mittels zusammen. Abbildung 34: Regressionsgerade Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 88 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 89 2.4 Regressionsanalyse 89 gegebene Beobachtungen xi und yi zu einer speziellen Geraden ye = a + bx. Die Festlegung der Koeffizienten geschieht, indem die Summe der quadrierten Ordinatenabstände genommen wird, diese partiell nach a und b abgeleitet und 0 gesetzt wird. Die Ordinatenabstände sind: yi – yei = yi – (a + bxi) = yi – a – bxi Die Summe der quadrierten Ordinatenabstände ist: 2i i(y a bx ) F(a, b)− − = Diese Summe kann als Funktion F(a, b) der zu bestimmenden Koeffizienten aufgefasst werden und wird nun partiell einmal nach a und einmal nach b abgeleitet und 0 gesetzt: δF(a, b)/δa = i i2 (y a bx )( 1) 0− − − = δF(a, b)/δb = i i i2 (y a bx )( x ) 0− − − = Dadurch erhalten wir zwei Gleichungen zur Bestimmung der zwei Unbekannten a und b, die wir in die so genannten Normalgleichungen umformen: i ina b x y+ = 2 i i i ia x b x x y+ = Damit haben wir die mathematische Lösung des Problems. In der Statistik hingegen arbeitet man weniger mit Gleichungen als vielmehr mit Kennziffern bzw. Parametern, also mit Mittelwerten, Varianzen und Kovarianzen. Aus den beiden Normalgleichungen lassen sich die Koeffizienten a und b derart darstellen: Die Steigung b der Geraden lässt sich als Verhältnis aus Kovarianz und Varianz der unabhängigen Variablen darstellen, also xy 2 x s b s = Der Achsenabschnitt a lässt sich mit Hilfe der Mittelwerte und der Steigung berechnen: a y bx= − Im Renditenbeispiel (Beispiel 6 a) mit den zehn Personen in Abschnitt 2.2.3 war x = 3,5; y = 3; sx2 = 2,25 und sxy = 1,8. Somit wird b = 1,8/2,25 = 0,8 und a = 3–0,8 ⋅ 3,5 = 0,2, was die Regressionsgerade y = 0,2 + 0,8x ergibt. Die Steigung b lässt sich für den einfachen Fall (jedes Merkmalspaar tritt einzeln auf) auch wie folgt berechnen: i i i i i i i i xy i i i i i 22 2 22 2 x i ii i i ii i (x x)(y y) x y nxy n x y x ys b s n x ( x )(x x) x nx − − − − = = = = −− − Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 90 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 91 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten90 ZWISCHENFAZIT: Die gesuchte Gerade, die die durchschnittliche Beziehung zwischen zwei Variablen angibt, kann also für jedes Beobachtungsplot mit Hilfe der bekannten statistischen Parameter wie Mittelwerte, Varianzen und Kovarianz berechnet werden. Ob die gefundene Gerade nun eine gute Erklärung des Zusammenhangs darstellt, wird über das Bestimmtheitsmaß ausgesagt. 2.4.2 Das Bestimmtheitsmaß In der unten stehenden Abbildung sind drei unterschiedliche Regressionsgeraden gegeben, die jeweils mit der in Abschnitt 2.4.1 beschriebenen Methode der kleinsten Quadrate erzeugt worden sind: Abbildung 35: Regressionsgerade der Renditen 6 5 1 4 8 2 5 3 7 5 5 0 5 10 0 2 4 6 8 Regressionsgerade 2 0 5 10 15 0 2 4 6 8 Regressionsgerade 3 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 Regressionsgerade 1 Abbildung 36 : Regressionsgeraden Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 90 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 91 2.4 Regressionsanalyse 91 Ein Blick auf die drei Regressionsgeraden in Abbildung 36 zeigt, dass die Geraden eine vollkommen unterschiedliche Anpassung an die zugrunde liegenden Punktewolken des Streudiagramms haben. Damit sich der Betrachter nicht nur auf sein Augenmaß verlassen muss, wird im Folgenden eine Maßzahl gesucht, die die Güte der Anpassung einer Regressionsgeraden misst. Das heißt, man sucht eine Aussage darüber, ob die Regressionsgerade eine gute Anpassung an die Beobachtungen ausweist. Der Ansatz zur Konstruktion einer derartigen Maßzahl geht aus von der Gesamtvarianz, also der Abweichung der Beobachtungen yi von ihrem Mittelwert y: Diese Gesamtdifferenz lässt sich aufspalten in i i ei ei i ei ei ei i ei(y y) (y y y y) (y y ) (y y) (y y) (y y ) − = − + − = − + − = − + − Abbildung 37 verdeutlicht die in obiger Gleichung beschriebene Aufspaltung der Streuung: Dabei ist ei(y y)− die Strecke von dem Punkt yei auf der Regressionsgeraden zum arihmetischen Mittel y, diese wird als durch die Regression erklärte Streuung bezeichnet. (yi – yei) ist die Strecke zwischen der Ordinate yi des Beobachtungspunktes und dem entsprechenden Punkt auf der Regressionsgeraden, diese wird als unerklärte Streuung oder Reststreuung bezeichnet (s. Abbildung 37). Durch Quadrieren und Aufsummieren erhält man: 2 2 2 i ei i ei(y y) (y y) (y y )− = − + − Abbildung 37 : Aufspaltung der Streuung Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 92 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 93 2 Die Auswertung von Immobilienmarktdaten92 Der Anteil der erklärten Streuung an der Gesamtstreuung wird als Bestimmtheitsmaß R2 bezeichnet, also 2 ei2 2 i (y y) R (y y) − = − Nun kann man zeigen, dass sich das Bestimmtheitsmaß nicht nur als Verhältnis von erklärter Streuung zur Gesamtstreuung, sondern auch als Verhältnis von quadrierter Kovarianz zum Produkt der beiden Varianzen darstellen lässt: 2 xy2 2 2 x y S R S S = wobei 20 R 1≤ ≤ Wir können also die bekannten Maßzahlen benutzen, und das Bestimmtheitsmaß ist dimensionslos. Je näher R2 bei 1 liegt, um so besser ist die Anpassung und um so besser wird Y durch X erklärt. Für die drei Regressionsgeraden in Abbildung  36 ergeben sich folgende Bestimmtheitsmaße: Regressionsgerade 1: R2 = 1,00 Regressionsgerade 2: R2 = 0,95 Regressionsgerade 3: R2 = 0,40 In Regressionsgerade 1 liegen alle drei Punkte genau auf der Geraden, d. h. die Gerade kann 100 % Gesamtvarianz erklären.23 In Regressionsgerade 2 liegen die Punkte relativ dicht an der Geraden, daher ergibt sich auch hier noch ein Erklärungsanteil von 95 % der Regressionsgeraden an der Gesamtvarianz. Bei der dritten Regressionsgeraden ist zu erkennen, dass die Punkte sehr weit um die Gerade streuen. Das heißt, die Regressionsgerade kann den Durchschnittszusammenhang der Punktewolke nicht besonders gut abbilden. Dies spiegelt sich auch in dem relativ geringen Bestimmtheitsmaß von 40 % wider. ZWISCHENFAZIT: Das Bestimmtheitsmaß ist ein formales Maß, das nur statistisch die Güte einer Beziehung erklärt. Daraus kausale Erklärungen abzuleiten, ist nur mit größter Vorsicht möglich, da die erklärende Variable möglicherweise von einer anderen Variablen abhängt. Z. B. kann man die Bautätigkeit im gewerblichen Sektor einer Branche durch die Höhe der Umsätze erklären, aber möglicherweise ist die entscheidende Erklärungsvariable das gesamtwirtschaftliche Wachstum. Neben dem Bestimmtheitsmaß als Gütemaß für die Anpassung kann auch die Reststreuung aus 2i ei(y y )− berechnet werden, diese wird 2 2 2 Re st ys s (1 R )= − 23 Ein Bestimmtheitsmaß von 100 % tritt in der Praxis normalerweise nicht auf. Außerdem ist anzumerken, dass mit drei Punkten die Anzahl an Beobachtungen, die der Regression zugrunde liegen, sehr gering ist. Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 92 Vahlen – Allg.Reihe – Francke/Rehkugler – Immobilienmärkte und Immobilienbewertung Herstellung: Frau Deuringer 13.09.2011 Imprimatur Seite 93 2.5 Zeitreihenanalysen und Prognosen 93 2.5 Zeitreihenanalysen und Prognosen Betrachtet man Beobachtungen, wie z. B. Umsätze oder Investitionen in der Zeit, so kann man Regelmäßigkeiten im Verlauf feststellen. Die Analyse dieser Bewegung in der Zeit ist die Aufgabe der Zeitreihenanalyse. Aus der Analyse der Vergangenheit und Kenntnissen oder Annahmen über die Zukunft lassen sich Prognosen erstellen. 2.5.1 Zeitreihe, Zeitreihenkomponenten und Zeitreihenmodelle Eine Zeitreihe ist die Darstellung einer Variablen Y in Abhängigkeit von der Zeit t: yt = f(t) Die Abszisse wird zur Zeitachse und verwendet die natürlichen Zahlen beginnend mit t = 1 als zeitlich ersten Beobachtungswert und t = T als letzten Beobachtungswert, somit t = 1, 2, 3,…,T. Damit sind einerseits alle kulturellen Kalenderunterschiede (christlicher, chinesischer, japanischer, arabischer Kalender) ausgeschaltet und andererseits können dann alle Kalendereinteilungen (Jahre, Quartale, Monate, Tage,...) verwendet werden. Es muss nur darauf geachtet werden, dass man bei einer Einteilung bleibt und somit die Äquidistanz gewährleistet ist. Der Zeitreihenanalyse liegt die Vorstellung zugrunde, dass sich die Zeitreihe in unterschiedliche Komponenten zerlegen lässt: Dabei geht sie davon aus, dass die Komponenten der Zeit ihre Fristigkeiten sind. So stellen wir uns vor, dass in der zeitlichen Entwicklung der Beobachtungsgrößen • ein Trend [T(y) t] die Langfristigkeit, d. h. die langfristige Entwicklung, beschreibt, • über mehrere Jahre hinweg ein Zyklus oder eine Konjunkturbewegung [Kt] besteht, • innerhalb eines Jahres sich eine Saisonbewegung [St] abspielt • und schließlich ein ungeklärter Rest, ein Zufallseinfluss [Et] bleibt. Aus folgender Abbildung 38 wird deutlich, dass eine beobachtete Größe demnach als Funktion all dieser Komponenten dargestellt werden kann. yt = f[T(y)t, Kt, St,Et] Um ein rechenbares Zeitreihenmodell aufzustellen, benötigen wir eine Vorstellung darüber, wie die verschiedenen Komponenten zusammenwirken, d. h. wir brauchen eine Verknüpfungsvorschrift für die Komponenten. Zwei einfache Verknüpfungsformen sind Addition und Multiplikation. Diese führen zu den

Chapter Preview

References

Zusammenfassung

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung:

Alles für die immobilien-wirtschaftliche Ausbildung.

Rund um die Immobilie

Das Werk enthält Beiträge zur Entwicklung und Analyse von

* Immobilienprodukten,

* Immobilienmärkten sowie zur

* Immobilienbewertung.

Immobilienmärkte und Immobilienbewertung

Anschaulich und kompakt werden zentrale Stoffinhalte der immobilienwirtschaftlichen Ausbildung dargestellt: von der Analyse der dominanten Einflussfaktoren der Entwicklung von Immobilienmärkten über die Diskussion um das angemessene Bewertungsverfahren für Immobilien und Immobiliengesellschaften bis hin zu Fragestellungen der Bilanzierung von Immobilien nach internationalen Rechnungslegungsvorschriften.