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3 Programmierung unter Wahrscheinlichkeitsnebenbedingungen (Chance-Constrained Programming) in:

Hans Blohm, Klaus Lüder, Christina Schaefer

Investition, page 319 - 323

Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs und Investitionsrechnung

10. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-3937-3, ISBN online: 978-3-8006-3938-0, https://doi.org/10.15358/9783800639380_319

Series: Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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(1) Der Schwankungsbereich des Koeffizienten (kritische Bereich des Parameters), in welchem die bei quasi-sicheren Werten optimale Lösung erhalten bleibt, umfasst den gesamten Wertebereich der Verteilung des Koeffizienten (Parameters). a) Die optimale Lösung bleibt nicht nur hinsichtlich der in ihr enthaltenen Variablen, sondern auch hinsichtlich der Werte dieser Variablen erhalten (z.B. bei linearen Programmen mit einem Parameter in der Zielfunktion). In diesem Fall ist die Unsicherheit für die Entscheidung ohne Bedeutung. b) Die optimale Lösung bleibt nur hinsichtlich der in ihr enthaltenen Variablen, nicht jedoch hinsichtlich der Werte dieser Variablen erhalten (z.B. bei linearen Programmen mit einem Parameter im Begrenzungsvektor). In diesem Fall muss der Verlauf der Zielfunktion im Wertebereich der Verteilung des Koeffizienten (Parameters) zur Beurteilung der Bedeutung der Unsicherheit mit herangezogen werden. Ist der Unterschied zwischen dem maximalen und dem minimalen Zielfunktionswert im Wertebereich gering, so ist die Unsicherheit für die Entscheidung praktisch ohne Bedeutung. Ist der Unterschied zwischen dem maximalen und dem minimalen Zielfunk tionswert im Wertebereich hingegen groß, so kann man versuchen, durch Beschaffung zusätzlicher Informationen über den unsicheren Koeffizienten (Parameter) den Wertebereich einzuschränken und damit die Bedeutung der Unsicherheit für die Entscheidung zu vermindern. Kennt man nicht nur den Wertebereich der Verteilung des Koeffizienten (Parameters), sondern kennt man die gesamte Verteilung, dann lässt sich das unter Berücksichtigung der Unsicherheit optimale Programm mit Hilfe einer der Entscheidungsregeln für Entscheidungen bei Unsicherheit bestimmen. (2) Der Schwankungsbereich des Koeffizienten (kritische Bereich des Parameters), in welchem die bei quasi-sicheren Werten optimale Lösung erhalten bleibt, umfasst nicht den gesamten Wertebereich der Verteilung des Koeffizienten (Parameters). In diesem Fall ist zunächst eine globale Sensitivitätsanalyse durchzuführen, die sich mindestens über den Wertebereich der Verteilung des Koeffizienten (Parameters) erstrecken muss. Aufgrund der Ergebnisse dieser Sensitivitätsanalyse lassen sich dann hinsichtlich der Unsicherheit die bereits unter 1 b) angegebenen Aussagen machen. 3 Programmierung unter Wahrscheinlichkeitsneben bedingungen (Chance-Constrained Programming) Beim Ansatz des Chance-Constrained Programming wird dem Unsicherheitsproblem insofern Rechnung getragen als die Erfüllung der Nebenbedingungen bei Realisierung des optimalen Programmes mit vorgegebenen Mindestwahrscheinlichkeiten gewährleistet sein muss. An die Stelle der t-ten Nebenbedingung 308 6. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 308 tritt die Wahrscheinlichkeitsrestriktion Einige oder alle Elemente der Menge{â1t, â2t,…‚ ânt, bt} werden dabei als Zufallsvariable betrachtet, und es wird verlangt, dass die Wahrscheinlichkeit der Erfüllung der t-ten Nebenbedingung nicht kleiner als die vorgegebene Wahrscheinlichkeit ∂t ist; oder anders ausgedrückt: „Es werden Lösungswerte für die Entscheidungsvariablen xj gesucht, die mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit von mindestens ∂t · 100%, z.B. 97%, garantieren, dass die Verwirklichung des optimalen Programms nicht zu einer Verletzung der Nebenbedingung t führt, wenn die tatsächlichen Werte der zunächst ungewissen Parameter bekannt werden“.7 Probleme mit Wahrscheinlichkeitsrestriktionen können durchaus unterschiedliche – deterministische oder stochastische – Zielfunktionen besitzen.8 Die Lösung eines solchen Problems erfolgt in zwei Schritten: Zunächst ist das stochastische Programm in ein äquivalentes deterministisches Programm umzuwandeln. Dies geschieht durch Ersatz der Wahrscheinlichkeits restriktionen durch ihre deterministischen Äquivalente. Sodann ist das sich ergebende lineare oder nichtlineare Programmierungsproblem mit einem der dafür zur Verfügung stehenden Verfahren zu lösen.9 1. Bestimmung des deterministischen Äquivalentes a) Gesucht ist das deterministische Äquivalent für die Wahrscheinlichkeitsrestriktion (1) unter den Annahmen, dass – die Zufallsvariablen âjt für alle j und bt normalverteilt sind, – bt von den âjt stochastisch unabhängig ist. b) Aus a) folgt, dass die Zufallsgröße normalverteilt sein muss. 1 ˆ 1, ..., n jt j t j a x b t T 1 ˆ n jt j t t j w a x b 1 ˆ 0 n j t t j w a x b 7 Haegert, L., Die Aussagefähigkeit der Dualvariablen und wirtschaftliche Deutung der Optimalitätsbedingungen beim Chance-Constrained Programming, in: Hax, H. (Hrsg.), Entscheidungen bei unsicheren Erwartungen, Köln/Opladen 1970, S.101. 8 Eine Übersicht gibt Haegert, L., a. a. O., S.110ff. 9 Vgl. Charnes, A./Cooper, W. W., Deterministic Equivalents for Optimizing and Satisficing under Chance Constraints, OR 1963, S.18ff. Näslund, B., A Model of Capital Budgeting under Risk, JB 1966, S.268ff. Albach, H., Long Range Planning in Open-Pit Mining, M. Sc. (1967) 10, S.B-549ff. Hillier, F. S., Chance-Constrained Programming with 0 – 1 or Bounded Continuous Decision Variables, M. Sc. (1967) 1, S.37. Schweim, J., a. a. O., S.141ff. Haegert, L., Die Aussagefähigkeit, a. a. O., S.105ff. 3 Chance-Constrained Programming 309 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 309 Für Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung gilt c) Aus der normalverteilten Zufallsgröße zt gewinnt man die standardisiert normalverteilte Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion Für ẑt entspricht (1 ) der Wahrscheinlichkeitsrestriktion (1). Die Restriktion (1 ) ist gleichbedeutend mit der Restriktion oder (1 ) (vgl. Zeichnung) 0 ˆ t t t t t t z z E z E z w z F 2 1 1 t t n n t z ij i j b j i x x 1 ˆ n t jt j t j E z E a x E b 2 1 1 ( ) n n t t ij i j bt j i V z x x ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ , falls wobei , falls it jt it jt jt a a a a t ij a r i j i j 310 6. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 310 3 Chance-Constrained Programming 311 Durch Einsetzen der Werte für E(zt) und σzt, erhält man dann die der Wahrscheinlichkeitsrestriktion (1) äquivalente deterministische Restriktion Diese Nebenbedingung ist konvex, falls F–1(∂t) ≥ 0, d. h. wenn ∂t ≥ 0,5. 2. Lösung des deterministischen Ersatzprogramms Geht man von dem auf Seite 305 formulierten Problem aus und unterstellt man, dass der Erwartungswert des Kapitalwertes maximiert werden soll, so ist das deterministische Ersatzprogramm ein Programm mit linearer Zielfunktion, mindestens einer quadratischen Nebenbedingung und gegebenenfalls weiteren linearen Nebenbedingungen. Ein solches Programm lässt sich lösen, wenn die quadratischen Nebenbedingungen die Konvexitätseigenschaft erfüllen. Verzichtet man auf die Ganzzahligkeit der Lösung, dann kann das nichtlineare Ersatzprogramm durch Linearisierung der quadratischen Nebenbedingungen in ein lineares Programm überführt10 und mit Hilfe der Simplex-Methode gelöst werden. Erhält man die 0-1-Nebenbedingungen aufrecht, so lässt sich eine Lösung unter Verwendung der auf nichtlineare Probleme der ganzzahligen Programmierung anwendbaren Algorithmen finden.11 Die Anwendbarkeit des Ansatzes der Programmierung unter Wahrscheinlichkeitsnebenbedingungen zur Berücksichtigung unsicherer Erwartungen ist in der Literatur ausführlich diskutiert worden.12 In diesem Zusammenhang wird insbesondere geltend gemacht, dass es kaum möglich ist, die Wahrscheinlichkeitsschranken ∂t sinnvoll zu ermitteln, da die Auswirkungen einer Verletzung der Wahrscheinlichkeitsrestriktionen unterworfenen Nebenbedingungen als nicht bekannt vorausgesetzt werden. „Man sollte annehmen, dass die Wahrscheinlichkeitsobergrenze des unerwünschten Ereignisses unterschiedlich hoch angesetzt werden müsste, je nachdem, welche Folgen dieses Ereignis hat; sie müsste um so niedriger liegen je nachteiliger die Folgen wären. Die Obergrenze wird jedoch ganz unabhängig davon festgelegt; offenbar ist dies ein Mangel des Verfahrens.“13 1 2 1 1 1 ˆ 0 n n n t jt j t t ij i j bt j j i E a x E b F x x 10 Vgl. Näslund, B., a. a. O., S.268ff. Albach,H., Long Range…, a. a. O., S.B-555ff. Schweim, J., a. a. O., S.154f. 11 Vgl. z.B. Lüder, K./Streitferdt, L., Die Bestimmung optimaler Portefeuilles unter Ganzzahligkeitsbedingungen, ZfOR 1972, S B-89ff. 12 Vgl. Hax, H./Laux, H., Investitionstheorie, in: Menges, G. (Hrsg.), Beiträge zur Unternehmensforschung, Würzburg 1969, S.255ff. Schweim, J., a. a. O., S.155f. 13 Hax, H., Investitionsentscheidungen bei unsicheren Erwartungen, in: Hax, H. (Hrsg.), Entscheidungen bei unsicheren Erwartungen, Köln/Opladen 1970, S.134. 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 311 4 Theorie der Portefeuille-Auswahl 4.1 Darstellung des Grundmodells Das Problem der Bestimmung von Wertpapier-Portefeuilles, die bei gegebenen finanziellen Mitteln und unter Berücksichtigung des Risikos mit Hilfe der Varianz den Erwartungswert des Ertrages maximieren, wurde erstmals von Markowitz14 behandelt. Sein Ansatz wurde von einer großen Zahl von Autoren vereinfacht, ergänzt und weiterentwickelt.15 Unter anderem wurde der Markowitz-Ansatz auch zum Zwecke der Bestimmung von Realinvestitionsprogrammen modifiziert.16 Das Lorie-Savage-Problem17 kann entsprechend der Theorie der Portefeuille-Auswahl wie folgt formuliert werden oder oder σij: Varianz von cj für j = i bzw. Kovarianz zwischen cj und ci für j ≠ i. Die erste Nebenbedingung stellt sicher, dass die Varianz des optimalen Investitionsprogramms den vorgegebenen Wert V– nicht übersteigt. Die Lösung des angegebenen Portefeuille-Problems wird als „effiziente“ Lösung bezeichnet. Variiert man V– parametrisch, so erhält man die Menge der effizienten Lösungen, aus denen mit Hilfe einer Risikopräferenzfunktion die optimale Lösung bestimmt werden kann.18 312 6. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 14 Vgl. Markowitz, H., Portfolio Selection, The Journal of Finance 1952, S.77f. Markowitz, H., The Optimization of a Quadratic Function Subject to Linear Constraints, Naval Research Logistics Quarterly 1956, S.111ff. Markowitz, H., Portfolio Selection, New York/London/Sydney 1959. 15 Vgl. die Literaturhinweise bei Hielscher, U., Das optimale Aktienportefeuille, 2.Aufl., Frankfurt/M. 1969. 16 Vgl. Weingartner, H. M., Capital Budgeting of Interrelated Projects: Survey and Synthesis, M. Sc. (1966) 7, S.485ff. Brockhoff, K., Zum Problem des optimalen Wertpapierbudgets, Unternehmensforschung 1967, S.169ff. Peters, L., Simultane Produktions-Investitionsplanung mit Hilfe der Theorie der Portfolio-Selection. Berlin 1971. Lüder, K./Streitferdt, L., a. a. O., S.B-89ff. 17 Vgl. S.305. 18 Vgl. Farrar, D. E., The Investment Decision under Uncertainty, 1962, S.26ff.; Weingartner, H. M., 1966, a. a.O., S.500ff. 007-Kapitel_6 14.05.12 10:25 Seite 312

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References

Zusammenfassung

Investitionen sicher beurteilen.

Dieses Lehrbuch führt in die Grundlagen der Investitionsrechnung ein. An die Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs im Unternehmen schließt sich die Vorstellung der gängigen Verfahren zur Beurteilung von Investitionen an. Hierbei wird auch der Einfluss von Steuern und der Inflation bei Investitionsentscheidungen berücksichtigt. Zahlreiche Abbildungen und Beispielrechnungen sorgen für ein zusätzliches Verständnis der Darstellungen.

Aus dem Inhalt:

- Schwachstellen im Investitionsbereich

- Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei sicheren und unsicheren Erwartungen

- Bestimmung von Investitionsprogrammen bei sicheren und unsicheren Erwartungen

Über die Autoren:

Begründet von Prof. Dr.-Ing. Hans Blohm (ehemals Technische Universität Berlin) und Prof. Dr. Dr. h.c. Klaus Lüder, Deutsche Universität für Verwaltungswissenschaften Speyer, ab der 9. Auflage fortgeführt mit Prof. Dr. Christina Schaefer, Helmut-Schmidt-Universität Hamburg.