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3 Sensitivitätsanalyse in:

Hans Blohm, Klaus Lüder, Christina Schaefer

Investition, page 242 - 248

Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs und Investitionsrechnung

10. Edition 2012, ISBN print: 978-3-8006-3937-3, ISBN online: 978-3-8006-3938-0, https://doi.org/10.15358/9783800639380_242

Series: Vahlens Handbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften

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Aufgrund der genannten Mängel können die Korrekturverfahren lediglich als praktikable Faustregeln bezeichnet werden, die dem Vorsichtsprinzip insofern Rechnung tragen, als „ein niedrigerer Kapitalwert bei gegebenem Investitionsprojekt mit größerer Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist als ein höherer Kapitalwert“. Es werden demzufolge bei Anwendung der Korrekturverfahren einige Projekte nicht realisiert, die ohne Berücksichtigung von Risikoabschlägen durchgeführt worden wären. Dass dies aber zu einer erfolgreicheren oder auch nur zu einer weniger risikoreichen Investitionspolitik führt, ist logisch nicht begründbar. 3 Sensitivitätsanalyse 3.1 Darstellung der Verfahren 3.1.1 Vorbemerkung Sensitivitätsanalysen (Sensibilitätsanalysen) ergänzen die Investitionsrechnung und zählen in der Praxis zu nicht selten anzutreffenden Verfahren.12 Mit ihrer Hilfe sollen Zusammenhänge zwischen dem Input einer Investitionsrechnung (z. B. Preise, Absatzmengen, Investitionssummen, Lebensdauer) und ihrem Output (z.B. Kapitalwert) aufgedeckt werden. Die Fragestellungen der Sensitivitätsanalyse können lauten13: a) Wie weit darf der Wert einer oder mehrerer Inputgrößen vom ursprünglichen Wertansatz abweichen, ohne dass die Outputgröße einen vorgegebenen Wert über- oder unterschreitet? b) Wie ändert sich der Wert der Outputgröße bei vorgegebener Abweichung einer oder mehrerer Inputgrößen vom ursprünglichen Wertansatz? Eine Sensitivitätsanalyse zur Beantwortung der Frage a) wird in der Investitionsliteratur auch als „Verfahren der kritischen Werte“ bezeichnet14. 3.1.2 Verfahren zur Ermittlung der zulässigen Abweichung (Verfahren der kritischen Werte) Ein anhand des Kapitalwertes beurteiltes Investitionsprojekt ist vorteilhaft, wenn der Kapitalwert nicht negativ ist. Das Verfahren der kritischen Werte besteht nun darin zu prüfen, wie weit die Werte als unsicher erachteter Inputgrößen von den 230 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 12 Vgl. bspw. die Untersuchungen von Heidtmann/Däumler (1997), in der von den ca. 76% der Unternehmen, die in ihren Rechnungen eine Risikoberücksichtigung vornehmen, ca. 68% die Sensitivitätsanalyse verwenden, und von Graham/Harvey (2001), nach der über 50% der befragten Unternehmen Sensitivitätsanalysen durchführen. 13 Die hier gegebene Beschreibung der Sensitivitätsanalyse bezieht sich speziell auf Investitionsrechnungen zur Beurteilung einzelner Projekte. Zur allgemeinen Formulierung der Sensitivitätsanalyse vgl.: Dinkelbach, W., Sensitivitätsanalysen und parametrische Programmierung, Berlin/Heidelberg/New York 1969, S.25ff. Hax, H., a. a. O., S.122 ff. 14 Vgl. Schneider, E., a. a. O., S.62 ff. Kilger, W., Kritische Werte in der Investitions- und Wirtschaftlichkeitsrechnung, ZfB 35 (1965) S.338ff.; abgedruckt in Lüder, K. (Hrsg.), Investitionsplanung, a. a. O., S.145ff. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 230 in der Kapitalwertrechnung ursprünglich angesetzten Werten abweichen können, ohne dass die Vorteilhaftigkeitsentscheidung revidiert werden muss. Mit anderen Worten: Es werden diejenigen Werte der Inputgrößen gesucht, die einen Kapi talwert C0 = 0 ergeben. Erstreckt sich die Sensitivitätsbetrachtung auf je eine Inputgröße bei Konstanthaltung aller übrigen, so erhält man im Allgemeinen für jede der variierten Inputgrößen einen kritischen Punkt15. Variiert man hingegen n (n > 1) Inputgrößen gleichzeitig, so erhält man für jede Inputgrößen-Konstellation eine (n – 1)-dimensionale kritische Punktmenge (z. B. n = 2: kritische Linie, n = 3: kritische Fläche). Das Verfahren der kritischen Werte läuft in folgenden Schritten ab: (1) Wähle die als unsicher erachteten Inputgrößen aus, z. B.16 Kalkulationszinssatz Absatzmengen Projekt-Lebensdauer Produktpreise Faktorpreise Investitionsausgaben (2) Formuliere die Kapitalwertfunktion unter Berücksichtigung der Abhängigkeiten zwischen den Inputgrößen, z. B. Xt: Absatzmenge zum Zeitpunkt t (= Absatzmenge der Periode t) vt: Produktpreis zum Zeitpunkt t (= Produktpreis in Periode t) kvt: Variable Stückkosten zum Zeitpunkt t (= variable Stückkosten in Periode t) K ft : Fixe Kosten einschließlich Abschreibungen zum Zeitpunkt t (= fixe Kosten in Periode t) At: Abschreibungen zum Zeitpunkt t (= Abschreibungen in Periode t) It: Investitionsausgaben zum Zeitpunkt t (= Investitionsausgaben in Periode t + 1) T: Lebensdauer (3) Löse die Kapitalwertgleichung für C0 = 0 nach der ausgewählten Inputgröße bzw. Inputgrößenkonstellation auf, z. B. Bestimmung der kritischen Absatzmenge X unter der Voraussetzung X1 = X2 … = Xn 0 1 0 T T v f t t t t t t t t t t C X v k K A q I q 1 1 1 0 0 T T T v f t t t t t t t t t t X v k q K A q I q 0 1 T f t t t t t T v t t t t K A I q X v k q 15 Vgl. Rühli, E., a. a. O., S.168 ff. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Kapitalwertfunktion genau eine reelle Nullstelle besitzt. Dies ist bei ökonomisch relevanten Kapitalwertfunktionen gewöhnlich der Fall. Vgl. Kilger, W., Zur Kritik am internen Zinsfuß, a. a. O., S.797. 16 Vgl. Kilger, W., Kritische Werte …, a. a. O., S.341 ff. 3 Sensitivitätsanalyse 231 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 231 Die Bestimmung der kritischen Lebensdauer entspricht der Bestimmung der dynamischen Amortisationszeit. Bei dem auf S.69 angegebenen Beispiel beträgt die kritische Lebensdauer etwa 4 Jahre. Der kritische Kalkulationszinssatz einer Investition ist ihr interner Zinssatz. 3.1.3 Verfahren zur Ermittlung der Outputänderung bei vorgegebener Inputänderung17 Für ein Investitionsprojekt ist der Kapitalwert errechnet worden. Das Verfahren zur Ermittlung der Outputänderung bei vorgegebener Inputänderung besteht nun darin festzustellen, wie sich bei bestimmten Änderungen der ursprünglichen Werte als unsicher erachteter Inputgrößen der Kapitalwert ändert. Die Variation der Inputgrößen erfolgt üblicherweise um einen gegriffenen, nicht immer sinnvoll begründbaren Prozentsatz vom Ausgangswert (häufig 10%) oder aber um die Differenz zu einem oberen oder unteren Grenzwert, den die betreffende Inputgröße bei optimistischer bzw. pessimistischer Einschätzung der zukünftigen Entwicklung annehmen kann. Das Verfahren läuft in folgenden Schritten ab: (1) Wähle die als unsicher erachteten Größen aus. (2) Formuliere die Kapitalwertfunktion unter Berücksichtigung der Abhängigkeiten zwischen den Inputgrößen. (3) Lege die Höhe der Abweichungen der Inputgrößen vom Ausgangswert fest. (4) Bestimme die Änderungen des Kapitalwertes, die sich ceteris paribus durch die Änderung der einzelnen Inputgrößen und Inputgrößenkonstellationen ergeben. Beispiel:18 In einem Unternehmen der Elektroindustrie wurde ein verbessertes Einbauteil für Elektromotoren entwickelt. Dieses Einbauteil wird in der eigenen Elektromotorenfertigung verwendet und darüber hinaus auch an andere Elektromotoren-Hersteller verkauft. Die Fertigung dieses Teils erfordert Investitionen in Höhe von insgesamt 2,78 Mill. € – dadurch können Kostensenkungen und Absatzsteigerungen erzielt werden. Bei einer geschätzten Lebensdauer von 10 Jahren und einem Kalkulationszinssatz von p = 15% ergibt sich ein Kapitalwert nach Abzug von Ertragsteuern von rund + 372000,– € [vgl. Anlage 1]. Für dieses Projekt soll eine Sensitivitätsanalyse durchgeführt werden. (1) Unsichere Inputgrößen: Absatzmenge (X), Verkaufspreis (v), Materialkosten je Leistungseinheit (m), Fertigungslohn je Leistungseinheit (l), variable Rest kosten je Leistungseinheit (r), fixe Restkosten (Rf ), Ausgaben für die Beschaffung von Anlagevermögen (AV), Ausgaben für die Beschaffung von Umlaufvermögen (UV). 232 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 17 Vgl. Lüder, K., Investitionskontrolle, a. a. O., S.91 ff. 18 Vgl. Lüder, K., Investitionskontrolle, a. a. O., S.94ff. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 232 (2) Für die funktionalen Zusammenhänge der Inputgrößen untereinander gilt: – Absatzmenge und Verkaufspreis sind voneinander unabhängig. – Die Absatzmenge ist gleich der Produktionsmenge. – Die Materialkosten je Zeitabschnitt ändern sich proportional mit der Produktionsmenge: M = X · m. – Die Fertigungslohnkosten je Zeitabschnitt ändern sich proportional mit der Produktionsmenge: L = X · l. – Die Restkosten je Zeitabschnitt setzen sich aus einem fixen und einem proportionalen Bestandteil zusammen: R = Rf + X · r. – Die Höhe der Abschreibungen ist abhängig von der Höhe des Anlagevermögens und den Lebensdauern der einzelnen Anlagegegenstände. Bei Variation der Höhe des Anlagevermögens um einen gegebenen Prozentsatz im Jahr t (t = 1,…, T) wird unterstellt, dass sich die Investitionssumme aller in diesem Jahr beschafften Anlagegegenstände um den gleichen Prozentsatz ändert. Die Abschreibungen auf die im Jahr t beschafften Anlagegegenstände ändern sich in jedem Jahr der Lebensdauer dieser Anlagegegenstände ebenfalls um diesen Prozentsatz. – Der Zeitwert des Liquidationserlöses am Ende der Lebensdauer ist gleich der Summe der Zeitwerte des Umlaufvermögens: (3) Die Kapitalwertfunktion kann wie folgt formuliert werden: s: dezimaler Ertragssteuersatz 0,5. (4) Die unter (1) angegebenen Inputgrößen werden gegenüber dem Ausgangswert um 10% geändert. Da der Kapitalwert bei ausschließlicher Variation einer Größe jeweils eine lineare Funktion dieser Größe ist, ist es gleichgültig, ob die Änderung in positiver oder negativer Richtung vorgenommen wird. (5) Die folgende Matrix zeigt die betragsmäßige prozentuale Kapitalwertänderung bei 10% Inputgrößenänderung, aufgegliedert nach Jahren. Die Gesamt änderung des Kapitalwertes bei Änderung des Inputgrößenwertes in jedem Jahr um 10% enthält die Summenzeile. Die Werte der Summenspalte stellen Näherungen für die Änderung des Kapitalwertes bei Änderung aller Inputgrößen um 10% dar. Die bei gleichzeitiger Änderung zweier multiplikativ verbundener Inputgrößen auftretenden quadratischen Glieder wurden dabei vernachlässigt. 3 Sensitivitätsanalyse 233 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 233 Wenn man einmal annimmt, dass eine Abweichung von 10% gegenüber dem Ausgangswert der Inputgrößen, die maximal für möglich gehaltene Abweichung ist, so zeigt das Ergebnis u. a. – im schlechtesten Fall kann der Kapitalwert auf C0 = 372000 · (372000 · 2,8989) ≈ – 706000,– absinken; – schon allein eine 10%ige negative Abweichung beim Produktpreis bewirkt einen negativen Kapitalwert; – ändern sich bei konstanter Absatzmenge und konstantem Produktpreis die Werte aller übrigen Inputgrößen um 10% in negativer Richtung, so wird der Kapitalwert von Null nur geringfügig unterschritten. (C0 ≈ – 38800,– €) 3.2 Prämissen und Anwendungsbereich Den geschilderten Verfahren der Sensitivitätsanalyse liegen folgende wesentliche Prämissen zugrunde: (1) Sofern die Sensitivitätsanalyse als Partialanalyse durchgeführt wird, muss man voraussetzen, dass die Ausgangswerte aller nicht in die Betrachtung einbezogenen unsicheren Inputgrößen erhalten bleiben. Da diese Voraussetzung in der Realität gewöhnlich nicht gegeben ist, bedeutet dies eine erhebliche Einschränkung der praktischen Bedeutung partieller Sensitivitätsanalysen. Dies trifft insbesondere das Verfahren der kritischen Werte als typische Form der Partialanalyse in der Investitionsrechnung, die meist noch auf die Betrachtung jeweils nur einer unsicheren Inputgröße beschränkt ist.19 234 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 19 Vgl. Kilger, W., Kritische Werte …, a. a.O, S.353. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 234 (2) Sofern die Sensitivitätsanalyse als Globalanalyse oder als Partialanalyse bei Variation mehr als einer Inputgröße durchgeführt wird, muss man voraussetzen, dass es gelingt, die bestehenden funktionalen Abhängigkeiten zwischen den variierten Inputgrößen zu ermitteln und mit in das Kalkül einzubezie hen. Besteht z. B. zwischen der Gütermenge X und dem Preis v die Funktion v = a–bX, so ist es nicht sinnvoll, v und X unabhängig voneinander zu variieren. Man muss in diesem Fall auf die unabhängigen Inputgrößen a, b und X zurückgehen. (3) Sofern bei partieller Variation mehr als einer Inputgröße der Änderungsbetrag vorgegeben wird (z. B. 10% vom Ausgangswert), muss man voraussetzen, dass die Wahrscheinlichkeit der Über- oder Unterschreitung des geänderten Wertes (Eintrittswahrscheinlichkeit) für alle betrachteten Inputgrößen gleich ist und dass diese Inputgrößen voneinander stochastisch unabhängig sind. Beachtet man diese Voraussetzung nicht, so kann dies insbesondere im Hinblick auf die Bestimmung „kritischer“ Inputgrößen (solche Inputgrößen, deren Wert änderungen im Verhältnis zu anderen Inputgrößen „große“ Outputänderungen bewirken) zu Fehlschlüssen führen. Sensitivitätsanalysen lösen das Problem der Entscheidung bei Unsicherheit nicht, sie vermitteln jedoch einen Einblick in die Struktur eines Investitionsprojektes und zeigen die Auswirkungen der Unsicherheit.20 Im Hinblick auf das Unsicherheitsproblem gestatten sie die Gewinnung zweier wesentlicher Arten von Informationen: – Sensitivitätsanalysen ermöglichen die Feststellung „kritischer“ Inputgrößen mit dem Ziel, über diese Inputgrößen zusätzliche Informationen zu gewinnen, wodurch die Unsicherheit des Entscheidungsproblems verringert werden kann. – Sensitivitätsanalysen ermöglichen die Bestimmung von Kapitalwerten für „gerade noch wahrscheinliche“ obere und untere Inputgrößenkonstellationen. Man erhält so den Bereich, in welchem der Kapitalwert eines Projektes mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit liegen wird. Aus der Spannweite dieses Bereiches und aus seiner Lage zum Kapitalwert C0 = 0 lassen sich dann zumindest grobe Anhaltspunkte über das Ausmaß der Unsicherheit und für die Entscheidung unter Unsicherheit gewinnen. Das Verfahren der kritischen Werte ist bei gleichzeitiger Variation von mehr als zwei Inputgrößen unter Umständen rechnerisch nur noch schwer zu handhaben – seine Ergebnisse sind zur Abschätzung der Unsicherheit nicht mehr brauchbar. Man kann zwar im Allgemeinen angeben, ob ein bestimmter kritischer Punkt noch unter- oder überschritten werden kann, man kann eine solche Angabe jedoch kaum noch für alle Punkte einer mehrdimensionalen Punktmenge machen. Daraus folgt, dass bei gleichzeitiger Variation mehrerer Inputgrößen die Anwendung des Verfahrens zur Ermittlung der Outputänderung bei vorgegebener Inputänderung zweckmäßig ist. 20 Vgl. Kilger, W., Kritische Werte …, a. a. O., S.341. Hax, H., a. a. O., S.132f. 3 Sensitivitätsanalyse 235 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 235 4 Risikoanalyse 4.1 Allgemeines 4.1.1 Vorbemerkung Unter dem Begriff Risikoanalyse (risk analysis)21 werden diejenigen Verfahren zusammengefasst, deren Zweck die Gewinnung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Investitions-Entscheidungskriterium (z. B. Kapitalwert) ist. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung basiert gewöhnlich auf subjektiven Glaubwürdigkeitsvorstellungen – es handelt sich um eine Verteilung „subjektiver Wahrscheinlichkeiten“. Bevor auf die Verfahren der Risikoanalyse im einzelnen eingegangen wird, erscheint es zweckmäßig, einige wichtige wahrscheinlichkeitstheoretische und entscheidungstheoretische Grundlagen zu erörtern. 4.1.2 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen (1) Arten von Wahrscheinlichkeiten: w (A) : Wahrscheinlichkeit oder einfache Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A; w (A ∩ B) : verbundene Wahrscheinlichkeit der Ereignisse A und B. Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B eintreten. w (A ∩ B) w (B/A) = ––––––––– : bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B bei gew (A) gebenem Ereignis A. Dies ist die Eintrittswahrscheinlichkeit für das Ereignis B unter der Voraussetzung, dass das Ereignis A eingetreten ist. (2) Abhängigkeiten zwischen zwei Ereignissen: Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch (oder statistisch) unabhängig, wenn gilt w (A ∩ B) = w (A) · w (B), d. h. w (B) = w (B/A). Anderenfalls heißen sie stochastisch abhängig. (3) Abhängigkeiten zwischen zwei Zufallsvariablen: Als Zufallsvariable wird eine Größe bezeichnet, „die bei jedem Versuchsausgang eine bestimmte reelle Zahl als Messwert annimmt.“22 In der folgenden Darstellung wird von einer endlichen Anzahl von Ereignissen i (i = 1, ..., n) ausgegangen. Die Zufallsvariable x ordnet dann jedem Ereignis i einen Zahlenwert xi zu. 236 4. Kapitel: Berücksichtigung unsicherer Erwartungen 21 Vgl. Hertz, D. B., Risk Analysis in Capital Investment, HBR 1/1964, S.95ff. Deutsche Übersetzung abgedruckt in Lüder, K., (Hrsg.), Investitionsplanung, a. a. O., S.157 ff. 22 Basler, H., Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und statistischen Methodenlehre, 11.Auflage, Heidelberg 1994, S.85. Vgl. dort auch die exakte Definition. 005-Kapitel_4 14.05.12 09:58 Seite 236

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References

Zusammenfassung

Investitionen sicher beurteilen.

Dieses Lehrbuch führt in die Grundlagen der Investitionsrechnung ein. An die Schwachstellenanalyse des Investitionsbereichs im Unternehmen schließt sich die Vorstellung der gängigen Verfahren zur Beurteilung von Investitionen an. Hierbei wird auch der Einfluss von Steuern und der Inflation bei Investitionsentscheidungen berücksichtigt. Zahlreiche Abbildungen und Beispielrechnungen sorgen für ein zusätzliches Verständnis der Darstellungen.

Aus dem Inhalt:

- Schwachstellen im Investitionsbereich

- Beurteilung einzelner Investitionsprojekte bei sicheren und unsicheren Erwartungen

- Bestimmung von Investitionsprogrammen bei sicheren und unsicheren Erwartungen

Über die Autoren:

Begründet von Prof. Dr.-Ing. Hans Blohm (ehemals Technische Universität Berlin) und Prof. Dr. Dr. h.c. Klaus Lüder, Deutsche Universität für Verwaltungswissenschaften Speyer, ab der 9. Auflage fortgeführt mit Prof. Dr. Christina Schaefer, Helmut-Schmidt-Universität Hamburg.