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Christin Schumacher, Data Envelopment Analysis (DEA) in:

Controlling, page 336 - 337

CON, Volume 25 (2013), Issue 6, ISSN: 0935-0381, ISSN online: 0935-0381, https://doi.org/10.15358/0935-0381_2013_6_336

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Input O ut pu t Effizienter Rand Abb. 1: CCR-Modell mit einer Input- und einer Outputvariablen (in Anlehnung an Cooper et al., 2000, S. 3) Data Envelopment Analysis (DEA) ........................................................ Grundlagen ........................................................ Als Controllinginstrument des Performance Measurement kann die Data Envelopment Analysis (DEA) in vielen wirtschaftlichen Bereichen verwendet werden. Konkret stellt sie ein Benchmarking-Hilfsmittel zur Kontrolle der Performance sowie Potenzialerkennung dar. Die DEA ermöglicht die Verwendung multipler Inputbzw. Outputfaktoren. Dabei kann die Performance einer Einheit aggregiert im Verhältnis zu vergleichbaren Best-Practice Einheiten abgebildet werden, ohne zwingend monetäre Bewertungen der Faktoren zu benötigen (vgl. Gleich, 2011, S. 69 f.). Es entsteht eine implizite Produktionsfunktion, die mit Hilfe einer Umhüllung (envelopment) der optimal agierenden Einheiten gebildet wird. Da die Produktionsfunktion nicht im Vorhinein gegeben sein muss, handelt es sich um ein nichtparametrisches Verfahren (vgl. Banker et al., 1984, S. 1078 ff.). ........................................................ Anwendungen ........................................................ Effizient zu wirtschaften bedeutet, so wenige Produktionsfaktoren wie möglich zur Erzeugung eines bestimmten Outputvolumens einzusetzen (inputorientiert) oder anderenfalls bei einer konstanten Menge von Inputs eine maximale Menge Outputs zu erzeugen (outputorientiert). Solche Input- und Outputdaten können bspw. für verschiedene Produktionen, Filialen, Unternehmen oder Organisationen erfasst und mittels DEA verglichen werden. Diese Vergleichsobjekte werden in der Literatur allgemein als DMUs (decision-making units) bezeichnet (vgl. Scheel, 2000, S. 1–12). DEAs werden sowohl im privatwirtschaftlichen als auch im non-profit Bereich eingesetzt. Die Anwendungsgebiete reichen dabei von Banken und Versicherungen über die Automobilindustrie sowie Landwirtschaftsbetriebe bis hin zu Behörden, Lehreinrichtungen, Theaterstätten und dem Gesundheitssektor. Auch Medaillenrankings bei Olympischen Spielen oder die Auswertung der Daten professioneller Sportligen stellen Anwendungsfelder der DEA dar (vgl. z. B. Gattoufi et al., 2004). ........................................................ Modelle ........................................................ Das von Farrell (1957) zuerst veröffentlichte und aufgrund nachhaltiger Bekanntmachung nach Charnes/Cooper/ Rhodes (1978) benannte CCR-Modell ist das grundlegende Optimierungsmodell der DEA für mehrere Variablen. Es bildet den Ausgangspunkt aller weiteren Modelle und beinhaltet die Annahme konstanter Skalenerträge, d. h. die Behauptung der Linearität einer Produktionsfunktion (vgl. Charnes et al., 1978, S. 437). Abb. 1 veranschaulicht dies an Beispieldaten des zweidimensionalen Falls. Für die l-te DMU (l  {1,...,n}) werden die m verschiedenen Inputs mit x1l,..., xml bezeichnet und analog die s unterschiedlichen Outputs durch y1l,..., ysl definiert (m, s  ), sie sind in den Modellen als gegeben anzusehen. Dabei wird die triviale Annahme getroffen, dass Inputs und Outputs, falls vorhanden, ausschließllich positive Werte annehmen, d. h. xil, yrl & 0 ∀ l = 1,...,n, r = 1,...,s, i = 1,...,m. Die zu den Faktoren gehörigen Gewichte u1,...,us (Outputgewichte) sowie v1,...,vm (Inputgewichte) werden hingegen mittels eines Optimierungsmodells berechnet und dienen dazu, die relative Effizienz der DMU im Vergleich zu den anderen DMUs zu maximieren. Die Werte der Gewichte werden für jede DMU separat ermittelt. Für n DMUs müssen somit insgesamt n Probleme gelöst werden. Diese Gewichtsflexibilität ermöglicht es den Einheiten, ihre Schwächen gegenüber anderen DMUs auszugleichen, indem die Gewichte schwacher Faktoren gering gewählt werden; analog werden Stärken hoch gewichtet. Im Rahmen der Grundmodelle gibt es wie oben angedeutet zwei Ausprägungen: input- und outputorientierte Modelle. Die Entscheidung für eine der Vorgehensweisen ist anwendungsfallabhängig zu treffen. Spezielle Erweiterungen der Grundmodelle vereinen die beiden Ausprägungen (vgl. weiterführend Cooper et al., 2000, S. 41 f.). Zur Bestimmung der Gewichte sowie des Effizienzwertes und somit der Güte der Transformation der Inputs zu Outputs wird zunächst das inputorientierte CCR- Modell vorgestellt, welches den Quotienten virtueller Gesamtoutput virtueller Gesamtinput und damit die Effizienz der DMU l maximiert. 336 CONTROLLING-LEXIKON CONTROLLING – ZEITSCHRIFT FÜR ERFOLGSORIENTIERTE UNTERNEHMENSSTEUERUNG O ut pu t Input Effizienter Rand Abb. 2: BCC-Modell dargestellt für eine Inputund eine Outputvariable (in Anlehnung an Bogetoft/Otto, 2011, S. 12) max θ = r=1 sΣ uryrl i=1 mΣ vixil s.t. r=1 sΣ uryrj i=1 mΣ vixij e 1 (j = 1,...,n) u1,...,us & 0 v1,...,vm & 0 Die Maximierung der Effizienz jeder Einheit wird durch die Nebenbedingungen beschränkt, in denen alle DMUs betrachtet werden. Diese besagen, dass die Effizienz jeder DMU unter Berücksichtigung der Gewichte maximal den Wert 1 annehmen darf. Gilt für eine DMU θ * = 1, heißt sie CCR-effizient (vgl. Cooper et al., 2000, S. 21–25). Durch das outputorientierte CCR-Modell wird dagegen der Quotient virtueller Gesamtinput virtueller Gesamtoutput minimiert, min θ = i=1 mΣ vixil r=1 sΣ uryrl s.t. i=1 mΣ vixij r=1 sΣ uryrj & 1 (j = 1,...,n) u1,...,us & 0 v1,...,vm & 0, was dem inversen Quotienten des inputorientierten Modells entspricht. Bei outputorientierten Modellen ist stets zu beachten, dass die Werte der Performance- Indikatoren größer als 100 % sind. Deshalb stellt der Kehrwert 1 θ den tatsächlichen Effizienzwert dar (vgl. Charnes, 1996, S. 42; Cooper et al., 2000, S. 6). Das zweite Grundmodell der DEA ist das nach Banker/Charnes/Cooper (1984) benannte BCC-Modell. Es geht von variablen Skalenerträgen aus und spannt, wie in Abb. 2 für den zweidimensionalen Fall gezeigt, den effizienten Rand stückweise linear und konvex über die Technologiemenge (Menge der Input-Output-Tupel aller DMUs) auf. Modelle mit variablen Skalenerträgen berücksichtigen Produktionseffekte, die aufgrund der Größe der DMU entstehen, d. h. dass kleinere Einheiten mit weniger Ressourcen andere Effizienzwerte aufweisen als größere DMUs (vgl. Banker et al., 1984, S. 1078–1082; Charnes, 1996, S. 25). Die Konvexität spiegelt das Einführen des Vektors λ im Modell wider, wobei die Summe der λ j mit j = 1,...,n sich zu eins ergänzt. Das inputorientierte BCC-Modell stellt sich somit transformiert und um den Faktor λ ergänzt wie folgt dar: min θ s.t. θxil – j=1 n Σ λ jxij & 0 (i = 1,...,m) j=1 n Σ λ jyrj & yrl (r = 1,...,s) j=1 n Σ λ j = 1 (j = 1,...,n) λ j & 0 Auch bei diesem Modell gilt, dass eine Einheit l BCC-effizient heißt, falls θ * = 1. Anderenfalls gibt der Wert von θ den Grad der Effizienz im Verhältnis zu effizienten Einheiten vergleichbarer Größe an. Der Faktor λ j kann als Einfluss der Einheit j auf die Effizienz von l interpretiert werden. Analog wird das outputorientierte BCC-Modell aufgestellt (vgl. Banker et al., 1984, S. 1081–1084). ........................................................ Fazit ........................................................ Genauso wie über die Verwendung eines input- oder outputorientierten Modells fallabhängig entschieden werden muss, sollte auch die Entscheidung für ein BCC- oder CCR-Modell anwendungsfallbezogen getroffen werden. Wichtig ist, dass die Modellierung die Realität möglichst genau widerspiegelt. Des Weiteren sollten die signifikantesten Inputs und Outputs abgebildet werden. Die DMUs und die Erhebung der Daten sind homogen zu wählen. Ein Zielkonflikt besteht meist zwischen einer hohen Genauigkeit (mit vielen DMUs sowie einer hohen Anzahl Input- bzw. Outputfaktoren) und geringem Erhebungs-, Rechen- bzw. Modellierungsaufwand (mit wenigen Grö- ßen). Zur Berechnung des mathematischen Modells existiert allerdings mittlerweile eine Vielzahl von Lösern. Literatur Banker, R. D./Charnes, A./Cooper, W. W., Some models for estimating technical and scale inefficiencies in data envelopment analysis, in: Management Science, 30. Jg. (1984), H. 9, S. 1078–1092. Bogetoft, P./Otto, L., Benchmarking with DEA, SFA, and R, New York 2011. Charnes, A./Cooper, W. W./Rhodes, E. L., Measuring the efficiency of decision making units, in: European Journal of Operational Research, 2. Jg. (1978), H. 6, S. 429–444. Cooper, W. W./Seiford, L. M./Tone, K., Data envelopment analysis: a comprehensive text with models, applications, references and DEA solver software, Boston u. a. 2000. Farrell, M. J., The Measurement of Productive Efficiency, in: Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General), 120. Jg. (1957), H. 3, S. 253–290. Gattoufi, S./Oral, M./Reisman, A., Data envelopment analysis literature: a bibliography update, in: Socio-Economic Planning Sciences, 38. Jg. (2004), H. 2–3, S. 159–229. Gleich, R., Performance Measurement – Konzepte, Fallstudien und Grundschema für die Praxis, München 2011. Scheel, H., Effizienzmaße der Data Envelopment Analysis, Wiesbaden 2000. Christin Schumacher, B.Sc., Dortmund Data Envelopment Analysis (DEA) 337 25. Jahrgang 2013, Heft 6

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Abstract

Month by month, Controlling - Zeitschrift für erfolgsorientierte Unternehmenssteuerung publishes peer-reviewed, applied research contributions for business management, accounting and reporting. Key elements of succesful corporate controlling are presented in an analytic, well-structured manner.

Language: German.

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Zusammenfassung

Die Controlling - Zeitschrift für erfolgsorientierte Unternehmenssteuerung liefert Monat für Monat fundierte und anwendungsorientierte Fachbeiträge für das Management sowie das Finanz- und Rechnungswesen in Unternehmen. Klar gegliedert und strukturiert werden für alle Controlling-Bereiche die Faktoren für eine erfolgreiche Unternehmenssteuerung aufgezeigt.

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