Benjamin R. Auer, Horst Rottmann, Monte-Carlo-Evaluation von Instrumentenvariablenschätzern in:

WiSt - Wirtschaftswissenschaftliches Studium, page 46 - 50

WIST, Volume 50 (2021), Issue 5, ISSN: 0340-1650, ISSN online: 0340-1650, https://doi.org/10.15358/0340-1650-2021-5-46

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Gesetze, Effekte, Theoreme Monte-Carlo-Evaluation von Instrumentenvariablenschätzern Dieser Beitrag illustriert mittels Monte-Carlo-Simulation die Eigenschaften des OLS- und des IV-Schätzers, wenn die erklärende Variable im einfachen linearen Regressionsmodell endogen, d.h. mit dem Störterm des Modells korreliert ist. Insbesondere werden dabei die Verzerrung des OLS-Schätzers und die Konsistenz des IV-Schätzers aufgezeigt sowie der Einfluss schwacher Instrumente verdeutlicht. Prof. Dr. Benjamin R. Auer ist Professor für Investition und Finanzierung an der Brandenburgischen Technischen Universität Cottbus-Senftenberg, Lehrbeauftragter an der Universität Leipzig sowie Research Affiliate der CESifo Gruppe München. Bevorzugte Forschungsgebiete: Investmentmanagement, Risiko- und Performancemessung, angewandte Finanzmarktstatistik und -ökonometrie. Prof. Dr. Horst Rottmann ist Professor für Statistik und Volkswirtschaft an der Ostbayerischen Technischen Hochschule Amberg-Weiden sowie Forschungsprofessor am ifo Institut – Leibniz- Institut für Wirtschaftsforschung an der Universität München. Bevorzugte Forschungsgebiete: Empirische Wirtschaftsforschung und angewandte Ökonometrie, Arbeitsmarkt- und Produktivitätsforschung, Finanzmarktanalyse. Summary: Using Monte Carlo simulation, this article illustrates the properties of the OLS and the IV estimator in a simple linear regression model with an endogenous explanatory variable, i.e. an explanatory variable correlated with the error term. We highlight the bias of the OLS estimator and the consistency of the IV estimator as well as the impact of weak instruments. Stichwörter: Monte-Carlo-Simulation, OLS-Schätzung, IV-Schätzung, Endogenität, schwache Instrumente 1. Einführung Bei der Anwendung der Regressionsanalyse ist man oft mit dem Problem der Endogenität konfrontiert, d.h. einer Abhängigkeit zwischen dem Störterm des Regressionsmodells und seinen erklärenden Variablen (vgl. z.B. Card, 1995, Jegadeesh et al., 2019). Die OLS-Schätzer (engl. ordinary least squares estimator) der Modellparameter sind in diesem Fall verzerrt und inkonsistent, sodass ein alternatives Schätzverfahren benötigt wird. Der IV-Schätzer (engl. instrumental variables estimator) bietet sich hier als Ausweg an. Sind sog. Instrumentenvariablen verfügbar, die nicht mit dem Störterm aber mit den endogenen erklärenden Variablen des Modells korreliert sind, ist der IV-Schätzer im Gegensatz zum OLS-Schätzer konsistent. Bei schwachen Instrumenten, die nur gering mit den endogenen erklärenden Variablen korreliert sind, kann er aber sehr problematisch sein. Nach einer kompakten Zusammenfassung formaler Grundlagen werden im Folgenden in einer Monte-Carlobzw. Simulationsstudie die Eigenheiten des IV-Schätzers bei starken und schwachen Instrumenten illustriert. 2. Formale Grundlagen Gegeben sei eine einfache Zufallsstichprobe (Xi,Yi) des Umfangs n aus einer Grundgesamtheit, die durch ein einfaches parameterlineares Querschnittsregressionsmodell Yi = β 0 + β 1Xi + ε i (1) beschrieben werden kann. Dieses erklärt den i-ten Wert einer Variable Y durch die i-ten Werte einer Variable X und eines Störterms ε . Die Terme β 0 und β 1 sind die Regressionsparameter, wobei man sich in der Praxis primär für β 1 interessiert. Es wird ein Verfahren benötigt, mit dem man β 1 aus den Stichprobendaten zu X und Y schätzen kann. Sind die klassischen Gauß-Markov-Annahmen erfüllt, ist der OLS-Schätzer β̂ 1OLS = Cov(X,Y) Var(X) (2) WiSt Heft 5 · 202146 erwartungstreu, konsistent und unter allen möglichen unverzerrten linearen Schätzverfahren effizient (vgl. Wooldridge, 2016, S. 40 ff., 89 ff., 150 ff., Auer und Rottmann, 2020, S. 452 ff.). Er trifft also bei wiederholten Stichproben im Durchschnitt β 1, nähert sich mit zunehmendem Stichprobenumfang immer weiter β 1 an und besitzt dabei im Konkurrenzvergleich stets die geringste Varianz. Die für die Erwartungstreue E(β̂ 1OLS) = β 1 zentrale Annahme ist E(ε i|Xi) = 0, woraus Cov(ε i,Xi) = 0 folgt. Die Größen ε und X dürfen also nicht korreliert sein. Man sagt, X muss exogen sein. Die Konsistenz plimβ̂ 1OLS = β 1 folgt ebenfalls primär aus dieser Annahme. Varianzoptimalität ist gegeben, wenn ε homoskedastisch und unkorreliert ist. Wird der Störterm zusätzlich noch als normalverteilt unterstellt oder liegen gro- ße Stichproben (je nach Anwendung n > 30, 50, 100) vor, sodass der Zentrale Grenzwertsatz und asymptotische Normalverteilung greifen, dann ist der OLS-Schätzer mindestens approximativ normalverteilt (vgl. Stock und Watson, 2015, S. 175 ff., Wooldridge, 2016, S. 154 ff., Hill et al., 2018, S. 73, 229 f.,). Bei Normalverteilung besitzt er unter allen unverzerrten Schätzverfahren (linearen und nicht-linearen) die geringste Varianz (vgl. Wooldridge, 2016, S. 106). Es gibt also in dieser Annahmenkonstellation kein Schätzverfahren, das besser ist als OLS. In der Praxis trifft man oft auf das Problem Cov(ε i,Xi) ≠ 0, d.h. eine Korrelation zwischen ε und X. Man bezeichnet X dann als endogen. Es folgt daraus E(ε i|Xi) ≠ 0 und der OLS-Schätzer kann nicht länger als erwartungstreu und konsistent eingestuft werden. Typische Endogenitätsursachen sind z.B. vernachlässigte erklärende Variablen, Messfehler bei der Erfassung erklärender Variablen oder Simultanität (vgl. Auer und Rottmann, 2020, S. 562 ff.). Können diese nicht durch Modifikation der Modellspezifikation beseitigt werden (z.B. weil eine relevante Variable empirisch nicht beobachtbar ist), bietet sich eine IV-Schätzung anstatt einer OLS-Schätzung an. Gibt es ein Instrument Z mit den Eigenschaften Cov(ε i,Zi) = 0 (Instrumentexogenität) und Cov(Xi,Zi) ≠ 0 (Instrumentrelevanz), d.h. eine Variable, die nicht mit dem Störterm aber mit der endogenen erklärenden Variable korreliert (vgl. Bartels, 1991), lässt sich der IV-Schätzer β̂ 1IV = Cov(Y,Z) Cov(X,Z) (3) definieren (vgl. Stock und Watson, 2015, S. 477, Wooldridge, 2016, S. 465, Auer und Rottmann, 2020, S. 565). Er ist eine Verallgemeinerung des OLS-Schätzers und reduziert sich zu diesem, wenn Z = X. Wesentliche Eigenschaften des IV-Schätzers (bei erfüllter Instrumentexogenität und -relevanz) sind seine Konsistenz plimβ̂ 1IV = β 1 und seine asymptotische Normalverteilung (vgl. Greene, 2018, S. 248 ff.). Da der IV-Schätzer, wenn er wirklich nötig ist (bei Cov(ε i,Xi) ≠ 0), in endlichen Stichproben nicht erwartungstreu ist, sind in praktischen Anwendungen hohe Stichprobenumfänge für einen präzisen Einsatz erforderlich (vgl. Wooldridge, 2016, S. 465). Wird der IV-Schätzer verwendet, obwohl er gar nicht erforderlich ist (bei Cov(ε i,Xi) = 0), kommt es im Vergleich zu OLS zu einer höheren Schätzvarianz (vgl. Wooldridge, 2016, S. 466, Auer und Rottmann, 2020, S. 566). Ein Problem bei der IV-Schätzung sind Instrumente, die nur schwach mit der endogenen erklärenden Variable korreliert sind (vgl. Bound et al., 1995, Staiger und Stock, 1997, Wooldridge, 2016, S. 466 ff., 469 ff.). Ein schwaches Instrument führt im Vergleich zu einem starken zu einem höheren asymptotischen Standardfehler des IV-Schätzers. Die Varianz des IV-Schätzers lässt sich nämlich darstellen als Var(β̂ 1IV) = σ ε2 nσ X2 · ρ X,Z2 , (4) wobei σ ε2 die Varianz von ε , σ X2 die Varianz von X und ρ X,Z = Corr(X,Z) der Korrelationskoeffizient zwischen X und Z in der Grundgesamtheit sind. Alle Größen in (4) können mit Hilfe der Zufallsstichprobe konsistent geschätzt werden. Da ein schwaches Instrument auch asymptotisch nur eine geringe Korrelation mit X und damit ein niedriges ρ X,Z aufweist, ergibt sich gemäß (4) eine hohe asymptotische Varianz des IV-Schätzers. Beim OLS-Schätzer beträgt der Korrelationskoeffizient in (4) dagegen 1, womit dieser eine geringere Varianz als der IV-Schätzer besitzt (vgl. Auer und Rottmann, 2020, S. 566). Darüber hinaus kann ein schwaches Instrument bei (selbst nur geringfügiger) Korrelation zwischen Störterm und Instrument zu einer großen asymptotischen Verzerrung führen. Es gilt nämlich plim(β̂ 1IV) = β 1 + Corr(ε ,Z) Corr(X,Z) · σ ε σ X , (5) wobei σ ε und σ X die Grundgesamtheitsstandardabweichungen von ε und X sind. Ein schwaches Instrument verstärkt die bei Instrumentendogenität auftretende asymptotische Verzerrung. Bei Betrachtung von plim(β̂ 1OLS) = β 1 + Corr(ε ,X) · σ ε σ X (6) fällt zudem auf, dass der IV-Schätzer nur dann „besser“ als der OLS-Schätzer ist, wenn die Beziehung Corr(ε ,Z)/ Corr(X,Z) < Corr(ε ,X) gilt. 3. Simulation Zur simulationsbasierten Illustration der Eigenschaften des IV-Schätzers greifen wir auf Matlab zurück. Dabei werden in wiederholten Stichproben aus einer Grundgesamtheit die Auer/Rottmann, Monte-Carlo-Evaluation von Instrumentenvariablenschätzern WiSt Heft 5 · 2021 47 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 3 4 104 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 3 4 104 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 3 4 5 104 Abb. 1: Stichprobenverteilung OLS-Schätzer Realisationen des IV-Schätzers berechnet und seine Stichprobenverteilung konstruiert. In einer ersten Befehlssequenz definieren wir zunächst die relevanten Parameter der Grundgesamtheit: b0 = 2; b1 = 1; r = [1.0 0.7 0.2 0.5; 0.7 1.0 0.0 0.0; 0.2 0.0 1.0 0.0; 0.5 0.0 0.0 1.0]; Hier sind b0 = 2 und b1 = 1 die Regressionskoeffizienten und r die (4×4)-Korrelationsmatrix der Variablen X, Z1, Z2 und ε , die simuliert werden sollen. Es gilt (siehe Fettdruck in r) unter anderem Corr(X,Z1) = 0,7, Corr(ε ,Z1) = 0, Corr(X,Z2) = 0,2, Corr(ε ,Z2) = 0 und Corr(ε ,X) = 0,5. In dieser Variablenkonstellation ist also X endogen und es liegen zwei exogene Instrumente (ein starkes Z1 und ein schwaches Z2) vor. Für die wiederholten Stichproben legen wir anschließend die Anzahl der Stichproben s und den jeweiligen Stichprobenumfang n fest. Zusätzlich wird ein (s×1)-Vektor beta initialisiert, der die in den einzelnen Stichproben entstehenden Schätzungen von b1 aufnehmen soll: s = 1000000; n = 100; beta = NaN(s,1); Die folgende Schleife, bei der jeder Schritt i eine Stichprobe ist, erzeugt Stichprobendaten und schätzt auf ihrer Basis nach Nutzereingabe eines Wertes (1, 2 oder 3) für die Steuerungsvariable type den Parameter b1 entweder gemäß OLS (type = 1), IV mit Z1 (type = 2) oder IV mit Z2 (type = 3): type = str2double(inputdlg({’Bitte Schätztyp eingeben:’})); for i = 1:s data = mvnrnd([0 0 0 0],r,n); x = data(:,1); z1 = data(:,2); z2 = data(:,3); e = data(:,4); y = b0 + b1*x + e; switch type case 1 covar = cov(x,y); beta(i,:) = covar(1,2)/var(x); case 2 covar1 = cov(y,z1); covar2 = cov(x,z1); beta(i,:) = covar1(1,2)/covar2(1,2); case 3 covar1 = cov(y,z2); covar2 = cov(x,z2); beta(i,:) = covar1(1,2)/covar2(1,2); end end Die Datengenerierung erfolgt primär über den Befehlt mvnrnd(), mit dem sich multivariat normalverteilte Zufallszahlen erzeugt lassen. Zur Vereinfachung konzentrieren wir uns auf standardnormalverteilte Daten, sodass Mittelwertund Kovarianzmatrixinput, den die Funktion neben n benötigt, durch einen Nullvektor und die Korrelationsmatrix r belegt werden können (vgl. Auer, 2021). Das Ergebnis ist eine (n×4)-Matrix data mit korrelierten Zufallszahlen. Sie wird zur übersichtlicheren Handhabung in die Spaltenvektoren x, z1, z2 und e zerlegt. Zuletzt wird mit den Parametern b0 und b1 sowie den simulierten Daten x und e der Vektor y bestimmt. Er basiert auf der Idee, dass für die erklärte Variable in der Grundgesamtheit ein einfaches lineares Modell mit den Parametern b0 und b1 gelten sowie eine endogene erklärende Variable vorliegen soll. In der switch-Umgebung erfolgt die Schätzung von b1 auf Basis der generierten Stichprobe (x,y) bzw. den Instrumenten z1 und z2. Es werden dabei die Matlab-Befehle cov() und var() zur Kovarianz- und Varianzermittlung eingesetzt. Gesetze, Effekte, Theoreme WiSt Heft 5 · 202148 Abb. 2: Stichprobenverteilung IV-Schätzer Das Schätzergebnis für b1 wird an Stelle i des Vektors beta gespeichert. Nach dem Durchlauf aller s Simulationsgänge enthält beta alle Schätzungen von b1, die in den wiederholten Stichproben aufgetreten sind. Abb. 1 zeigt die Stichprobenverteilung des OLS-Schätzers für n = 100, 500, 1000. Zur besseren Deutung und Vergleichbarkeit sind die Histogrammgrafiken jeweils um Mittelwert ( `̂ ), Standardabweichung (σ̂ ), Schiefe (γ̂ ) und Wölbung (κ̂ ) der Schätzungen von b1 erweitert. σ̂ kann dabei als Schätzung für den Standardfehler des OLS-Schätzers (bzw. im Folgenden des IV-Schätzers) interpretiert werden. Man erkennt, dass der OLS-Schätzer nicht erwar- Auer/Rottmann, Monte-Carlo-Evaluation von Instrumentenvariablenschätzern WiSt Heft 5 · 2021 49 tungstreu ist, da er im Durchschnitt den Wert 1,5 annimmt, der wahre Wert in der Grundgesamtheit aber bei 1 liegt. Auch mit zunehmendem Stichprobenumfang ändert sich daran nichts. Der OLS-Schätzer ist nicht konsistent und besitzt gemäß (6) eine asymptotische Verzerrung in Höhe von Corr(ε ,X) = 0,5, da σ ε = 1 und σ X = 1. Abb. 2 (oben, links), die analog zu Abb. 1 aufgebaut ist und n = 100, 500, 1000, 5000 abbildet, zeigt die Stichprobenverteilungen für den IV-Schätzer mit starkem Instrument Z1. Er ist konsistent, da er sich mit zunehmendem Stichprobenumfang immer mehr dem wahren Parameterwert 1 annähert. Zudem kommt es mit steigendem n zu einer immer besseren Anpassung der Stichprobenverteilung des IV-Schätzers an eine Normalverteilung (mit Schiefe γ = 0 und Wölbung κ = 3). Abb. 2 (oben, rechts) präsentiert die Ergebnisse für den IV- Schätzer mit schwachem Instrument Z2. Unmittelbar auffallend ist, dass der IV-Schätzer bei einer „kleinen“ Stichprobe des Umfangs 100 zwar im Durchschnitt nicht zu weit vom wahren Wert 1 entfernt liegt, jedoch im Vergleich zur Schätzung mit starkem Instrument eine sehr hohe Varianz mit starken Ausreißern aufweist. Mit zunehmendem Stichprobenumfang nimmt der Standardfehler zwar ab, ist aber immer noch deutlich höher als beim starken Instrument Z1. Beobachtbare Konvergenzen (z.B. gegen die Normalverteilung) erfolgen bei schwachen Instrumenten langsamer als bei starken (siehe hierzu die Werte von γ̂ und κ̂ ). Abschließend betrachten wir den Fall fehlender Intrumentexogenität. Dazu setzen wir im beschriebenen Simulationsdesign in der Korrelationsmatrix illustrativ Corr(ε ,Z1) und Corr(ε ,Z2) (bzw. die fettgedruckten Nullen und ihre symmetrischen Gegenstücke) auf 0,1. Abb. 2 (unten) zeigt die dann entstehenden Stichprobenverteilungen bei starkem (links) und schwachem Instrument (rechts). In beiden Fällen zeigt sich, dass der IV-Schätzer nicht mehr konsistent ist. Die asymptotische Verzerrung ist gemäß (5) beim starken Instrument 0,1/0,7 = 0,143, beim schwachen 0,1/ 0,2 = 0,5, da jeweils σ ε = 1 und σ X = 1. Beim schwachen Instrument ist die Verzerrung des IV-Schätzers in unserem Beispiel sogar so hoch wie diejenige des OLS-Schätzers, obwohl Corr(ε ,Z2) deutlich kleiner als Corr(ε ,X) ist. In diesem Fall wäre dem OLS-Schätzer aufgrund seines deutlich geringeren Standardfehlers (z.B. 0,039 < 0,214 bei n = 500) gegenüber dem IV-Schätzer der Vorzug zu geben. 4. Ausblick Die beschriebenen Eigenschaften des IV-Schätzers lassen sich auf multiple Regressionsmodelle übertragen, in denen eine oder mehrere erklärende Variablen endogen sind und mehr als ein Instrument für eine endogene Variable in Frage kommen kann. Es ist dann noch wichtiger, sich mit der Güte potenzieller Instrumente auseinanderzusetzen. Während sich die Instrumentrelevanz (über eine Regression einer endogenen erklärenden Variable auf die Instrumente und die exogenen Variablen eines Modells) und Intrumentexogenität (über den Test von Sargan, 1958) verhältnismäßig einfach statistisch prüfen lassen, ist gerade das Finden möglicher Instrumente eine besondere praktische Herausforderung. Erfahrene Ökonometriker leiten sie aus fundierten inhaltlichen Überlegungen ab, sodass sie von Anwendung zu Anwendung verschieden sind (für einige Tips zur Instrumentenwahl vgl. z.B. Auer und Rottmann, 2020, S. 571; für Leitlinien zur Beurteilung von Instrumentenschwäche vgl. z.B. Murray, 2006). Literatur Auer, B.R.: Simulation korrelierter Zufallszahlen, in: Das Wirtschaftsstudium, 2021, erscheint demnächst. Auer, B.R., H. Rottmann: Statistik und Ökonometrie für Wirtschaftswissenschaflter: Eine anwendungsorientierte Einführung. 4. Aufl., Springer-Gabler, Wiesbaden 2020. Bartels, L.M.: Instrumental and „Quasi-Instrumental” Variables, in: American Journal of Political Science, Vol. 35 (1991), Nr. 3, S. 777–800. Bound, J., D.A. Jaeger, R.M. Baker: Problems With Instrumental Variables Estimation When the Correlation Between the Instruments and the Endogenous Explanatory Variable is Weak, in: Journal of the American Statistical Association, Vol. 90 (1995), Nr. 430, S. 443–450. Card, D.: Using Geographic Variation in College Proximity to Estimate the Return on Schooling, in: Christophides, L.N., E.K. Grant, R. Swidinsky (Hrsg.): Aspects of Labour Market Behavior: Essays in Honour of John Vanderkamp, S. 201–222, University of Toronto Press, Toronto 1995. Greene, W.H.: Econometric Analysis. 8. Aufl., Pearson Education, New York 2018. Hill, R.C., W.E. Griffiths, G.C. Lim: Principles of Econometrics. 5. Aufl., John Wiley and Sons, Hoboken 2018. Jegadeesh, N., J. Noh, K. Pukthuanthong, R. Roll, W. Junbo: Empirical Tests of Asset Pricing Models With Individual Assets: Resolving the Errors-in-Variables Bias in Risk Premium Estimation, in: Review of Financial Economics, Vol. 133 (2019), Nr. 2, S. 273–298. Murray, M.P.: Avoiding Invalid Instruments and Coping with Weak Instruments, in: Journal of Economic Perspectives, Vol. 20 (2006), Nr. 4, S. 111–132. Sargan, J. D.: The Estimation of Economic Relationships Using Instrumental Variables, in: Econometrica, Vol. 26 (1958), Nr. 3, S. 393–415. Staiger, D., J.H. Stock: Instrumental Variables Regression with Weak Instruments, in: Econometrica, Vol. 65 (1997), Nr. 3, S. 557–586. Stock, J.H., M.W. Watson: Introduction to Econometrics. 3. Aufl., Pearson Education, New York 2015. Wooldridge, J.M.: Introductory Econometrics: A Modern Approach. 6. Aufl., Cengage Learning, Boston 2016. Gesetze, Effekte, Theoreme WiSt Heft 5 · 202150

Abstract

Using Monte Carlo simulation, this article illustrates the properties of the OLS and the IV estimator in a simple linear regression model with an endogenous explanatory variable, i. e. an explanatory variable correlated with the error term. We highlight the bias of the OLS estimator and the consistency of the IV estimator as well as the impact of weak instruments.

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Dieser Beitrag illustriert mittels Monte-Carlo-Simulation die Eigenschaften des OLS- und des IV-Schätzers, wenn die erklärende Variable im einfachen linearen Regressionsmodell endogen, d. h. mit dem Störterm des Modells korreliert ist. Insbesondere werden dabei die Verzerrung des OLS-Schätzers und die Konsistenz des IV-Schätzers aufgezeigt sowie der Einfluss schwacher Instrumente verdeutlicht.

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