Jörn H. Block, Andreas Thams, Bayesianische Ökonometrie in:

WiSt - Wirtschaftswissenschaftliches Studium, page 205 - 208

WIST, Volume 36 (2007), Issue 4, ISSN: 0340-1650, ISSN online: 0340-1650, https://doi.org/10.15358/0340-1650-2007-4-205

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Gesetze, Effekte, Theoreme Bayesianische Ökonometrie Jörn H. Block, München, und Andreas Thams, Berlin Ökonometrie besteht aus der Konfrontation eines (theoretisch motivierten) ökonomischen Modells mit realen Daten. Das Ziel einer ökonometrischen Analyse ist es, Aussagen über die Konsistenz des Modells und über seine Prognosefähigkeiten abzuleiten. Im Rahmen der klassischen Ökonometrie wird hierzu aus einer vorab definierten Grundgesamtheit eine (möglichst repräsentative) Zufallsstichprobe gezogen. Ist die Stichprobe groß genug, so können mit Hilfe der asymptotischen Eigenschaften von Stichproben Aussagen über die Gültigkeit des ökonomischen Modells in der Grundgesamtheit getroffen werden. Unterstützt durch das enorme Wachstum der Rechenleistung von Computern, etabliert sich jedoch die bayesianische Ökonometrie zunehmend als Alternative zur klassischen Ökonometrie. Ausgehend von Anwendungen aus der Makroökonomik (vor allem im Rahmen der Zeitreihenanalyse) sowie aus dem Bereich der empirischen Marketingforschung (vgl. Rossi/Allenby, 2003, für eine Zusammenfassung) finden Verfahren der bayesianischen Ökonometrie zunehmend auch in anderen Teildisziplinen der Wirtschaftswissenschaften ihre Anwendung. Im Gegensatz zur klassischen Ökonometrie verwendet die bayesianische Analyse nicht asymptotische Theorie, sondern den Satz von Bayes zum Treffen von Inferenzaussagen über die Gültigkeit eines ökonomischen Modells. Dieser Beitrag gibt eine Einführung in die komplexe Thematik der bayesianischen Ökonometrie. Nach einer Erläuterung des für die Thematik grundlegenden Satzes von Bayes (Kapitel 1) und seiner Anwendung im Rahmen der bayesianischen Analyse (Kapitel 2) werden die für eine bayesianische Analyse benötigten Bestandteile prior, likelihood und posterior (Kapitel 3) näher erläutert. Kapitel 4 vergleicht den Ansatz der bayesianischen Ökonometrie mit demjenigen der klassischen Ökonometrie. Der Beitrag schließt mit Hinweisen zur softwaretechnischen Durchführung bayesianischer Analysen sowie mit Hinweisen zu weiterführender Literatur (Kapitel 5). 1. Der Satz von Bayes Bayesianische Ökonometrie besteht im Kern aus der Anwendung des Satzes von Bayes, einem der grundlegenden Sätze aus der Wahrscheinlichkeitstheorie (für den Originalartikel vgl. Bayes, 1763). Im Folgenden wird dieser Satz kurz in seiner allgemeinen Form beschrieben. Angenommen A und B beschreiben zwei Ereignisse, und P(A) bzw. P(B) beschreiben die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten dieser Ereignisse. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B), d.h. die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist, bestimmt sich durch P(A|B) = P(B∩A) P(B) , für P(B)≠0. (1) P(B∩A), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig eintreten, lässt sich berechnen als P(B∩A)=P(B|A)- P(A). Nach Einsetzen dieses Ausdrucks in obige Gleichung für die bedingte Wahrscheinlichkeit ergibt sich der Satz von Bayes als P(A|B) = P(B|A)P(A) P(B) . (2) Die Wahrscheinlichkeit P(A) wird hierbei als a-priori Wahrscheinlichkeit und P(A|B) als a-posteriori Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Mit Hilfe der Anwendung dieses grundlegenden Satzes lassen sich nun Inferenzaussagen treffen. Das folgende, an Lancaster (2005) angelehnte Beispiel verdeutlicht dies. Angenommen, Konsum C und Einkommen Y stehen in einem linearen Zusammenhang zueinander. Theorie 1 besagt nun, dass dieser Zusammenhang in der Form C=10+0,6Y vorliegt, während Theorie 2 einen Zusammenhang in der Form C=Y annimmt. Die Koeffizienten der Gleichung sind also entweder ’ 1=(10/0,6) oder ’ 2=(0/1). Mit Hilfe von Daten (E) und von Wahrscheinlichkeiten für das Vorliegen dieser Daten bei Zutreffen der jeweiligen Theorie, P(E| ’ 1) bzw. P(E| ’ 2), können Wahrscheinlichkeitsaussagen über die Richtigkeit der jeweiligen Theorie getroffen werden. Wird z. B. a-priori angenommen, dass beide Theorien gleichwahrscheinlich sind, d.h. P( ’ 1)=P( ’ 2)=0,5, und wird weiterhin angenommen, dass P(E| ’ 1)=0,1 und P(E| ’ 2)=0,4, so errechnet sich P(E) = P(E| ’ 1)P( ’ 1) + P(E| ’ 2)P( ’ 2) = 0,1 · 0,5 + 0,4 · 0,5 = 0,25. (3) Eine Anwendung des Satzes von Bayes ergibt nun für P( ’ 1|E) bzw. für P( ’ 2|E) P( ’ 1|E) = P(E| ’ 1)P( ’ 1)P(E) = 0,05 0,25 = 1 5 (4) bzw. P( ’ 2|E) = P(E| ’ 2)P( ’ 2)P(E) = 0,20 0,25 = 4 5. (5) Nachdem beide Theorien a-priori als gleichwahrscheinlich eingestuft wurden, sieht die Situation nach Sichtung der Daten und der Anwendung des Satzes von Bayes anders aus: Die Wahrscheinlichkeit für die Richtigkeit von Theorie 1 ist nun nur noch 1/5, während hingegen die Wahrscheinlichkeit für das Zutreffen von Theorie 2 jetzt 4/5 be- WiSt Heft 4 · April 2007 205 trägt. Theorie 1 ist also unwahrscheinlicher, Theorie 2 hingegen wahrscheinlicher geworden. In der bayesianischen Sprache formuliert, fand ein so genanntes „updating von prior beliefs“ statt. 2. Schätzen von Parametern mit Hilfe des Satzes von Bayes Zur Parameterschätzung wird der Satz von Bayes üblicherweise in der folgenden Notation dargestellt: P( ’ |Y) = P(Y| ’ )P( ’ ) P(Y) , (6) wobei ’ die unbekannten (d.h. noch zu schätzenden) Parameter, P( ’ ) deren angenommene a-priori Wahrscheinlichkeitsverteilungen, P(Y| ’ ) die Wahrscheinlichkeitsverteilungsverteilungen der Daten gegeben die Parameter ’ und P( ’ |Y) die a-posteriori Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreibt. In der bayesianischen Sprache werden P( ’ ) als prior beliefs, P(Y| ’ ) als likelihood function und P( ’ |Y) als posterior function bezeichnet. Da der zu schätzende Parametervektor ’ im Nenner des Satzes von Bayes nicht enthalten ist, wird der Satz von Bayes häufig auch verkürzt dargestellt als P( ’ |Y) ∝ P(Y| ’ )P( ’ ) (7) bzw. in Worten: Die posterior function ist proportional zur likelihood function multipliziert mit den prior beliefs. Ziel einer jeden bayesianischen Analyse ist es, die prior beliefs mit Hilfe von Informationen aus der likelihood function upzudaten und so zu einer modifizierten posterior function zu gelangen. Im folgenden Abschnitt wird auf die drei zentralen Begriffe der bayesianischen Ökonometrie prior beliefs, likelihood function und posterior function näher eingegangen. 3. Die Komponenten des Satzes von Bayes 3.1. Prior beliefs Die prior beliefs P( ’ ) geben die a-priori Erwartungen an die zu schätzenden Parameter wieder und lassen sich häufig direkt aus den theoretisch motivierten Hypothesen bestimmen. Der am häufigsten kritisierte Punkt des bayesianischen Ansatzes ist die Verknüpfung dieser subjektiven Erwartungen, ausgedrückt über die prior beliefs, mit den objektiv gewonnenen Erkenntnissen aus der likelihood function. Wie auch bei der likelihood function gilt bei der Wahl der prior beliefs, dass ihre Verteilung grundsätzlich frei wählbar ist, bei der Wahl jedoch die ökonomische Theorie berücksichtigt werden sollte. Auch bei einer sorgfältigen Wahl der prior beliefs wird häufig kritisiert, dass die gefundenen Ergebnisse der Analyse durch die Spezifizierung der prior beliefs induziert und insofern nicht wissenschaftlich objektiv seien. Um dieser Kritik zu entgegnen, sollten zwei Dinge grundsätzlich berücksichtigt werden: (1) Der Kern des bayesianischen Ansatzes ist die likelihood function. Diese wird nur dann sinnvolle Ergebnisse liefern, wenn die Analyse sich auf eine ausreichende Anzahl von Beobachtungen stützt. Bei zu wenigen Beobachtungen besteht die Gefahr, Ergebnisse zu produzieren, die vor allem der Wahl der prior beliefs zu verdanken sind. (2) Um die Robustheit der Ergebnisse zu überprüfen, sollte die Schätzung in einem zweiten Schritt mit einer Wahl an prior beliefs durchgeführt werden, die entgegen den eigenen subjektiven Erwartungen formuliert sind. Bleiben die Ergebnisse davon unbeeinflusst, ist die Analyse im Hinblick auf die Wahl der prior beliefs robust. 3.2. Likelihood function Die likelihood function, P(Y| ’ ), ist der Kern des bayesianischen Ansatzes. In ihr kommt der Informationsgehalt der Daten zum Ausdruck. Dabei ist zu beachten, dass ihr Informationsgehalt und damit ihre Bedeutung bei der Schätzung der Parameter mit zunehmender Anzahl an Beobachtungen ansteigt. Mathematisch ausgedrückt, beschreibt die likelihood function die Dichte der Daten bedingt auf die Parameter des zu schätzenden Modells und unterschiedet sich daher nicht vom Ansatz der maximum likelihood Schätzung (ML) in der klassischen Ökonometrie. Das bedeutet, dass in der likelihood function die Wahrscheinlichkeiten für Y, gegeben bestimmter Werte für ’ , zum Ausdruck kommen. Der grundlegende Unterschied zwischen klassischer und bayesianischer Ökonometrie an dieser Stelle ist der Umgang mit der likelihood function. Während die ML-Schätzung ’ als unbekannt aber fix, also deterministisch, annimmt und die geschätzten Parameter ^’ über eine Maximierung der likelihood function ermittelt, werden in der bayesianischen Ökonometrie die beobachteten Daten Y als deterministisch und die zu schätzenden Parameter ’ als stochastisch angesehen. Grundsätzlich kann jede Klasse von Verteilungsfunktionen (z. B. Normalverteilung, t-Verteilung oder q -Verteilung) als likelihood function dienen. Bei der Wahl der Verteilung sollte aber berücksichtigt werden, dass die Verteilungsannahme ökonomischer und nicht zuletzt auch ökonometrischer Theorie genügen muss. So fällt die Wahl bei der Schätzung einfacher linearer Modelle grundsätzlich auf die Normalverteilung. In einem solchen Fall wird dann implizit angenommen, dass die Daten Y selbst einer Normalverteilung mit Erwartungswert X q und Varianz c 2 folgen, was gleichbedeutend mit der aus der klassischen Ökonometrie bekannten Normalverteilungsannahme für die Residuen ist. Bei jeder bayesianischen Analyse sollte diese Problematik berücksichtigt werden, indem gefragt wird, ob die Annahmen über die Verteilung der Daten aus ökonomischer und ökonometrischer Sicht gerechtfertigt sind. 3.3. Posterior function Sämtliche Inferenz im Rahmen bayesianischer Analysen erfolgt auf Grundlage der a-posteriori Verteilung P( ’ |Y). Gesetze, Effekte, Theoreme 206 WiSt Heft 4 · April 2007 Fax-Coupon Bitte bestellen Sie bei Ihrem Buchhändler oder beim: Verlag Vahlen · 80791 München · Fax (089) 3 81 89-402 Internet: www.vahlen.de · E-Mail: bestellung@vahlen.de Expl. 978-3-8006-3371-5 Bleymüller/Gehlert, Statistische Formeln, Tabellen und Programme 11. Auflage. 2007. VIII, 164 Seiten. Kartoniert € 10,– inkl. MwSt. zzgl. Versandkosten € 0,90 in Deutschland bei Einzelbestellung beim Verlag. Neuauflage März 2007 Dieses Taschenbuch enthält die wichtigsten statistischen Formeln und Tabellen, soweit sie für Berechnungen im Rahmen eines wirtschaftswissenschaftlichen Studiums erforderlich sind. Der Teil »Statistische Programme« ist für den PC-Anwender besonders hilfreich. Neben allgemeinen Gesichtspunkten, die bei der Auswahl eines geeigneten Statistik-Softwarepaketes zu beachten sind, werden die Programmsysteme SAS, SPSS, STATGRAPHICS und STATISTICA kurz charakterisiert. Seiner Anlage nach eignet sich dieses Taschenbuch gut zur Verwendung in statistischen Klausuren und macht die Herausgabe gesonderter Klausurhilfsblätter weitgehend überflüssig. Darüber hinaus kann es jedem empfohlen werden, der auf dem Gebiet der Wirtschaftsstatistik und der empirischen Wirtschaftsforschung tätig ist. Von Prof. Dr. Josef Bleymüller und Dr. Günther Gehlert, Münster Name/Firma Straße PLZ/Ort Datum/Unterschrift 148107 Bei schriftlicher oder telefonischer Bestellung haben Sie das Recht, die Ware innerhalb von 2 Wochen nach Lieferung ohne Begründung an Ihren Lieferanten (Buchhändler oder Verlag Vahlen, c/o Nördlinger Verlagsauslieferung, Augsburger Str. 67a, 86720 Nördlingen) zurückzusenden, wobei die rechtzeitige Absendung genügt. Kosten und Gefahr der Rücksendung trägt der Lieferant. Ihr Verlag Franz Vahlen GmbH, Wilhelmstr. 9, 80801 München, Geschäftsführer: Dr. Hans Dieter Beck Sie liefert die Verteilung der Parameter gegeben die beobachteten Daten. An dieser Stelle wird der grundlegende Unterschied zwischen bayesianischer und klassischer Ökonometrie besonders deutlich. Im Rahmen der bayesianischen Analyse ist das Ergebnis der Schätzung keine deterministische Punktschätzung wie im Falle der klassischen Ökonometrie, sondern eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Interpretation des Ergebnisses ist daher auch grundlegend anders. Eine Aussage wie „gegeben die Daten, ist der interessierende Koeffizient mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% größer null“ kann getroffen werden, was im Rahmen der klassischen Ökonometrie nicht möglich wäre. Zur Interpretation der Ergebnisse werden häufig Mittelwert, Median und verschiedene Quantile der posterior function angegeben. Um deren Schlüssigkeit zu überprüfen, empfiehlt es sich jedoch auch, die jeweilige Verteilung des geschätzten Parameters grafisch darzustellen. 4. Vergleich von bayesianischer und klassischer Ökonometrie Der grundlegende Unterschied zwischen bayesianischer und klassischer Ökonometrie besteht in der Annahme, dass die zu schätzenden Parameter in der bayesianischen Analyse als stochastisch angesehen werden, während die klassische Ökonometrie von unbekannten aber fixen (d.h. deterministischen) Parametern ausgeht. Aus diesem Unterschied ergeben sich Konsequenzen im Hinblick auf die Inferenz der beiden Ansätze. In der klassischen Ökonometrie erfolgen Inferenzaussagen mit Hilfe von Hypothesentests und Konfidenzintervallen. Diese beruhen auf der Annahme, dass es einen wahren und nicht-stochastischen Parameter ’ gibt. Ein 95%-Konfidenzintervall gibt z. B. dasjenige Intervall an, welches bei einer großen Anzahl an Stichprobenziehungen den wahren Wert in 95% aller Fälle einschließt. Eine solche, auf asymptotischen Überlegungen aufbauende Testtheorie ist mit bayesianischer Ökonometrie unvereinbar, da hier gerade die zu erklärenden Daten als deterministisch und die zu schätzenden Parameter als stochastisch aufgefasst werden. Es kann also nicht getestet werden, ob ’ und ^’ sich statistisch signifikant voneinander unterscheiden, sondern es können lediglich Aussagen über die Wahrscheinlichkeit verschiedener ’ -Werte getroffen werden. Dementsprechend hat das Konfidenzintervall in der bayesianischen Analyse auch keine Bedeutung mehr. Zwar wird häufig das 2,5%- und 97,5%-Quantil der a-posteriori Verteilung in Anlehnung an das 95%-Konfidenzintervall angegeben; jedoch besitzt dieses so genannte credible interval eine grundlegend andere Interpretation. Während das klassische 95%-Konfidenzintervall besagt, dass bei wiederholten Stichprobenziehungen mit entsprechenden Schätzungen der wahre Parameterwert in 95% der Fälle in das Konfidenzintervall fallen würde, gibt das bayesianische credible interval an, wie hoch die a-posteriori Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass ’ einen Wert inner- WiSt Heft 4 · April 2007 207 B/ 11 67 81 www.vahlen.de Der einfache Weg zum aktuellen Wirtschaftswissen. Das bietet Ihnen Vahlen.de: · Das komplette Verlagsprogramm tagesaktuell und mit vielen zusätzlichen Informationen, wie z. B. 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So bedarf es nicht der Stationarität der Daten, um valide Inferenzaussagen treffen zu können, was vor allem im Rahmen der Zeitreihenanalyse die ökonometrische Analyse erheblich vereinfacht. Ein weiterer Vorteil des bayesianischen Ansatzes sind dessen Eigenschaften bei kleinen Stichproben. So setzt eine Analyse mit Hilfe von bayesianischen Methoden eine vergleichsweise geringe Anzahl von Beobachtungen voraus, da sämtliche Inferenz über Wahrscheinlichkeitsverteilungen erfolgt. Zwar gewinnen, wie oben beschrieben, bei solch einer Analyse die prior beliefs an Gewicht; jedoch kann die Analyse immer noch im Sinne eines updating dieser beliefs verstanden werden. Mit Hilfe von bayesianischer Ökonometrie lassen sich so quantitative Auswertungen durchführen, die mit den Methoden der klassischen Ökonometrie nicht möglich wären. 5. Hinweise zur Durchführung bayesianischer Analysen Bei gleichzeitiger Schätzung mehrerer Parameter ’ (was den Normalfall darstellt), ist die posterior function eine gemeinsame Verteilung mehrerer Parameter. Ziel der ökonometrischen Analyse ist es aber, eine Aussage über die Verteilung eines einzelnen Parameters zu treffen. Da diese Verteilung jedoch in den meisten Fällen nicht analytisch bestimmt werden kann, bedient sich die bayesianische Ökonometrie hier eines Simulationsansatzes. Grob gesprochen, wird aus der (mehrdimensionalen) posterior function so lange eine zufällige Stichprobe gezogen (sampling) bis die interessierende (eindimensionale) Parameterverteilung als approximiert gelten kann. Die Anzahl der Ziehungen liegt hierbei häufig jenseits der 10.000. Da ein solches sampling aber nur mit enormem Rechenaufwand möglich ist, konnten bayesianische Analysen lange Zeit kaum durchgeführt werden. Erst mit der enormen Verbesserung der Rechenleistung von Computern sind bayesianische Analysen möglich geworden. „Bayesianer“ verwenden Matrixprogrammiersprachen wie MATLAB, GAUSS oder OX, um dieses sampling zu bewerkstelligen. Hierzu sind jedoch gute Kenntnisse der Matrizenrechnung sowie einige Erfahrung im Schreiben von Programmen vonnöten. Ein standardisiertes Computerpaket für einfache bayesianische Analysen ist BUGS, welches Lancaster (2005) verwendet und im Internet unter http://www.mrcbsu.cam.ac.uk/bugs kostenlos angeboten wird. Koop (2003) ist ein weiteres hilfreiches Buch, um sich in die Thematik der bayesianischen Analyse einzuarbeiten. Dieser wiederum bietet auf der zum Buch zugehörigen Webseite MATLAB-Codes zum Download an. Anmerkung Wir danken Hans Christian Heinemeyer, Joachim Henkel, Simone Käs, Frank Spiegel, Marc Weiglein und dem SFB 649 „Ökonomisches Risiko“ für inhaltliche Hinweise sowie die sorgfältige Durchsicht des Manuskripts. Literatur Bayes, T., An Essay Towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances, in: Philosphical Transaction of the Royal Society of London (1763), S. 370–518. Koop, G., Bayesian Econometrics, Chichester 2003. Lancaster, T., An Introduction to Modern Bayesian Econometrics, 2. Aufl., Oxford 2005. Rossi, P. E., Allenby, G. M., Bayesian Statistics and Marketing, in: Marketing Science, Vol. 22 (2003), S. 304–328. Gesetze, Effekte, Theoreme 208 WiSt Heft 4 · April 2007

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Abstract

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Language: German.

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Zusammenfassung

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