Karl-Heinz Tödter, Das Benford-Gesetz und die Anfangsziffern von Aktienkursen in:

WiSt - Wirtschaftswissenschaftliches Studium, page 93 - 98

WIST, Volume 36 (2007), Issue 2, ISSN: 0340-1650, ISSN online: 0340-1650, https://doi.org/10.15358/0340-1650-2007-2-93

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0,0 0,1 0,2 0,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Abb. 1: Benford–Verteilung der Anfangsziffern Gesetze, Effekte, Theoreme Das Benford-Gesetz und die Anfangsziffern von Aktienkursen Dr. Karl-Heinz Tödter, Frankfurt am Main Intuitiv glauben die meisten Menschen, dass die Anfangsziffern zufällig ausgewählter Daten gleichverteilt sein müssten. Tatsächlich nimmt die relative Häufigkeit der Anfangsziffern vielfach in systematischer Weise von 1 bis 9 ab. Dieser Beitrag untersucht, ob dieses sog. Benford– Gesetz auch bei den Anfangsziffern von Aktienkursen auftritt und ob das Black-Scholes–Modell mit den empirischen Beobachtungen konsistent ist. 1. Das Benford-Gesetz In vielen empirischen Daten kommt die eins als Anfangsziffer weitaus häufiger vor – und die neun viel seltener – als es bei Gleichverteilung der Fall wäre. Dieses erstmals 1881 von dem Astronomen Simon Newcomb beschriebene Phänomen geriet wieder in Vergessenheit, bis es der Physiker Frank Benford (1938) erneut entdeckte. Benford zählte die Anfangsziffern in verschiedenen Datensätzen aus, darunter Ergebnisse der amerikanischen Baseball-Liga, alle Zahlen einer Ausgabe von „Reader’s Digest“, Luftdruckmessungen und Bevölkerungsdaten. Dabei stieß er auf ein merkwürdiges Verteilungsmuster: Die Anfangsziffer 1 kam in rund 30 % der Fälle vor und nicht in 11 %, wie es bei einer Gleichverteilung der Fall wäre. Als Wahrscheinlichkeit der Anfangsziffern d = 1,2,...,9 gab Benford die Formel P(D = d) = log(1 + 1/d) (1) an. Dabei ist log der Logarithmus zur Basis 10, der natürliche Logarithmus (zur Basis e = 2,71828...) wird mit ln abgekürzt. Steht die null am Anfang einer Zahl, so wird sie ignoriert. Die gemeinsame Anfangsziffer von 2,5, 0,25 und 0,025 ist also die 2. Die in (1) angegebenen Wahrscheinlichkeiten der Anfangsziffern lassen sich durch Integration aus der Dichtefunktion g(y) = 1/(ln(10)y) für die im Intervall [1, 10) definierte stetige Zufallsvariable Y bestimmen. Abb. 1 zeigt die Benford-Verteilung (1) der Anfangsziffern. Benford’s Gesetz der Anfangsziffern wurde inzwischen in vielen Datensätzen gefunden. Rein zufällig ausgewählte Zahlen wie beim Lotto und starr vorgegebene Größen (wie physikalische Konstanten, Telefon- oder Seriennummern) folgen der Benford-Verteilung meist nicht. Auch die Körpergrößen von Erwachsenen gehören dazu, sie beginnen überwiegend mit 1, wenn sie in Meter oder Zentimeter gemessen werden, bzw. mit 5 oder 6, wenn sie in Fuß ausgedrückt werden. 2. Anfangsziffern von Sparguthaben Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn sich eine Größe (St) proportional zu ihrem bereits erreichten Bestand verändert: dSt/dt = ` St. In der Natur ist exponentielles Wachstum häufig anzutreffen, so beim Wachstum von Pflanzen- und Tierpopulationen oder beim Zerfall radioaktiver Substanzen (vgl. Limpert/Stahel/Abbt, 2001). Auch ein Sparguthaben wächst exponentiell. Ist So das Startkapital, so beläuft sich der Bestand bei stetiger Verzinsung mit der Rate ` im Zeitpunkt t auf St = Soe ` t. Bis sich ein Guthaben von So = 100 c auf 1000 c verzehnfacht hat, durchlaufen die Anfangsziffern St alle Werte von 1 bis 9. Tab. 1 zeigt die Verweildauern der Anfangsziffern. Sie entsprechen exakt dem Benford-Gesetz, und zwar unabhängig vom Zinssatz ` (≠ 0). Tab. 1 zeigt ferner, dass sich dieselben Verweildauern der Anfangsziffern einstellen, wenn mit einem anderen Startkapital (z. B. So = 175 c) gerechnet wird. Außerdem ist das Benford-Gesetz skaleninvariant, d.h. die Guthaben können in eine andere Währung (z. B. So = 220 $) umgerechnet werden, ohne dass sich an der Verteilung der Verweildauern etwas ändert. Bis zur nächsten Verzehnfachung wäre das Gleiche wieder zu beobachten usw. Die Längsschnittbetrachtung zeigt also, dass die Verweildauern der Anfangsziffern, unabhängig vom Startkapital und von der Verzinsung, der Benford-Verteilung folgen. Deshalb ist bei einer hinreichend großen Stichprobe von Sparkonten auch im Querschnitt damit zu rechnen, dass im Mittel rund 30 % der Guthaben mit einer 1 beginnen, 18 % mit einer 2, usw. WiSt Heft 2 · Februar 2007 93 S(t) d 100 € 175 € 220 $ [100, 200) 1 30,1 5,8 * - [200, 300) 2 17,6 17,6 13,5 # [300, 400) 3 12,5 12,5 12,5 [400, 500) 4 9,7 9,7 9,7 [500, 600) 5 7,9 7,9 7,9 [600, 700) 6 6,7 6,7 6,7 [700, 800) 7 5,8 5,8 5,8 [800, 900) 8 5,1 5,1 5,1 [900, 1000) 9 4,6 4,6 4,6 [1000, 2000) 1 - 24,3 * 30,1 [2000, 2200) 2 - - 4,1 # *) 5,8 + 24,3 = 30,1%; #) 13,5 + 4,1 = 17,6 % Startkapital (So) 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Benford 06.06.2006 14.07.2006 18.07.2006 Tab. 1: Verweildauern der Anfangsziffern von Sparguthaben in % Abb. 2: Anfangsziffern der Schlusskurse (Anteile) Die Anfangsziffern würden sich hingegen ganz anders verhalten, wenn das Sparguthaben nicht exponentiell sondern linear wachsen würde. Angenommen, das Konto werde mit der Rate ` auf das Startkapital verzinst (dSt /dt = ` So) , so dass das Guthaben einem linearen Wachstumspfad folgt: St = So (1 + ` t) . Bis sich das Guthaben verzehnfacht hat, dauert es T = 9/ ` Jahre. Bis zu einer Verdoppelung sind es dagegen S = 1/ ` Jahre. Es dauert weitere 1/ ` Jahre, bis es auf 300 c angewachsen ist usw. Jede der Anfangsziffern steht also genau S /T = 1/9 = 11,1 % der Gesamtzeit am Anfang des Guthabens. Bei linearem Wachstum sind die Anfangsziffern also gleichverteilt mit P(D = d) = 1/9. 3. Anfangsziffern von Aktienkursen und das Black-Scholes-Modell Abb. 2 zeigt die relativen Häufigkeiten der Anfangsziffern von jeweils 432 Schlusskursen am deutschen Aktienmarkt vom 6.6.2006, 14.7.2006 und 18.7.2006. (Liegen die Aktienkurse (X) als Excel-Tabelle vor, dann können die Erstziffern wie folgt bestimmt werden: Erstziffer(X) =LINKS(X*1000). Dabei ist unterstellt, dass alle in der Tabelle vorkommenden Zahlen größer sind als 1/1000). Die Auszählung der Anzahl von Erstziffern (d = 1,..,9) kann dann mit Hilfe des Befehls =ZÄHLENWENN(Bereich; d) erfolgen.) Mit Hilfe eines Chi-Quadrat–Anpassungstests lässt sich prüfen, ob die empirischen Häufigkeiten der Anfangsziffern mit der Benford-Verteilung konsistent sind (vgl. Schira, 2005, S. 513–18). Die Werte der Prüfstatistik belaufen sich auf [11,10; 4,58; 8,34], während der kritische Wert bei einem Signifikanzniveau von 5 % und 8 Freiheitsgraden 15,51 ist. Die Verteilung der Anfangsziffern der deutschen Aktienkurse weicht (zumindest an den genannten Börsentagen) nicht signifikant vom Benford-Gesetz ab. Theoretische Modelle sollten empirische Regelmäßigkeiten (sog. stilisierte Fakten) reproduzieren können. Wie bereits der US-Ökonom Hal R. Varian (1972) erkannt hat, kann das Benford-Gesetz helfen, ökonomische Modelle auf ihre Plausibilität zu testen. Im Folgenden wird geprüft, ob das Black-Scholes-Modell der Aktienkursentwicklung in der Lage ist, die empirisch beobachtete Benford-Verteilung der Anfangsziffern zu erzeugen. Gesetze, Effekte, Theoreme 94 WiSt Heft 2 · Februar 2007 0,000 0,004 0,008 0,012 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 0 2 4 0 2 6 0 2 8 0 3 0 0 3 2 0 3 4 0 3 6 0 3 8 0 4 0 0 f1 f2 f5 Abb. 3: Dichtefunktionen der Lognormalverteilung Betrachtet wird die Entwicklung eines Aktienkurses, wobei zur Vereinfachung von Dividendenzahlungen abgesehen wird. Anders als beim deterministischen Wachstum eines Sparguthabens verläuft die Entwicklung von Aktienkursen stochastisch, sie ist volatil. Das von Black und Scholes (1973) entwickelte Modell unterstellt, dass die relativen Veränderungen eines Aktienkurses (Xt) über sehr kurze Zeiträume unabhängig normalverteilt sind: 2 Xt/Xt ' N( ` , c ). Dabei ist ` die erwartete Rendite und c die Standardabweichung (Volatilität) des Aktienkurses pro Jahr. Ist xo der Einstandskurs zum Zeitpunkt t = 0, so impliziert dieses Modell, dass der natürliche Logarithmus des Aktienkurses (ln(Xt)) in t 8 0 normalverteilt ist (vgl. Hull, 2006, S. 282): ln(Xt) ' N(mt, st). Der Erwartungswert und die Varianz von ln(Xt) sind zeitvariabel und wie folgt von ` und c 2 abhängig: mt = ln(xo) + ( ` – c 2/2)t; st2 = c 2 t (2) Wenn der Logarithmus des Aktienkurses normalverteilt ist, dann ist der Aktienkurs (Xt) lognormalverteilt. Die Lognormalverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die für positive reelle Zahlen definiert ist. Multiplikative Zusammenhänge, wie sie bei Wachstumsprozessen vorliegen, können häufig durch die Lognormalverteilung beschrieben werden (vgl. Aitchison/Brown, 1957). Die Dichtefunktion der Lognormalverteilung f(xt) ergibt sich aus der Dichtefunktion fN(.) der Normalverteilung (vgl. Schira, 2005, S. 376): f(xt; mt, st) = d ln(xt)dxt fN(ln(xt)) = 1 xt 1 √2 ‘ st2 e – 1 2 (ln(xt) – mt)2 st 2 (3) Nun ist mt nicht der Erwartungswert von Xt, sondern E(Xt) = emt + st 2/2 , und st2 ist nicht die Varianz, sondern V(Xt) = E(Xt)2 (est2 – 1). Setzt man die Ausdrücke in (2) für mt und st 2 ein, so folgt als Erwartungswert und Varianz des Aktienkurses: E(Xt) = xoe ` t ; V(Xt) = E(Xt)2(e c 2t – 1) (4) Wäre das Kursgeschehen nicht volatil ( c = 0), so würde der Aktienkurs, wie ein Sparguthaben, exponentiell mit der Rate ` wachsen. Wenn Volatilität im Spiel ist, dann wächst zwar der Erwartungswert des Aktienkurses exponentiell mit der Rate ` , doch die Unsicherheit über den künftigen Kurs wächst ebenfalls exponentiell. Der Median und der Modus sind: Med(Xt) = xo e( ` – c 2/2)t, Mod(Xt) = xo e( ` – 3 c 2/2)t (5) Wie man sieht, gilt für c 2t 8 0 die Beziehung Mod(Xt) ‹ Med(Xt) ‹ E(Xt), d.h. die Lognormalverteilung ist rechtsschief. Je größer c 2t, desto größer ist der Unterschied zwischen diesen Lagemaßen und desto ausgeprägter ist die Rechtsschiefe der Verteilung. Schiefe Verteilungen treten bei natürlichen und ökonomischen Prozessen häufig dann auf, wenn die Werte nicht negativ werden können, der Erwartungswert klein und die Varianz groß ist. Abb. 3 zeigt die Lognormalverteilung für (mt, st) = (4,725; 0,16) [f1], (4,845; 0,32) [f2] und (5,205; 0,80) [f5]. Als Beispiel diene eine Aktie mit einem Einstandskurs von xo = 100 c. Die erwartete Rendite sei 20 % pro Jahr ( ` = 0,2). Typische Werte für die Volatilität von Aktienkursen liegen zwischen 0,15 und 0,60 (vgl. Hull, 2006, S. 273). Angenommen wird eine Volatilität von 40 % pro Jahr ( c = 0,4). Damit folgt aus (2): mt = 4,605 + 0,12t und st 2 = 0,16t . Was impliziert das Black-Scholes-Modell für die Anfangsziffern der Aktienkurse? Die Kurse können theore- Tödter, Das Benford-Gesetz WiSt Heft 2 · Februar 2007 95 t = 0,001 0,5 1 2 5 10 20 Mod(Xt) 100 98 96 92 82 67 45 Med(Xt) 100 106 113 127 182 332 1102 E(Xt) 100 111 122 149 272 739 5460 StAbw(Xt) 1,27 32 51 92 301 1469 26486 P(10<=xt<20) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,006 0,010 0,008 P(100<=xt<200) 0,504 0,571 0,542 0,453 0,290 0,173 0,080 P(1000<=xt<2000) 0,000 0,000 0,000 0,000 0,025 0,114 0,152 P(D(xt)=1) 0,504 0,571 0,542 0,453 0,321 0,300 0,301 Die Lognormalverteilungen für t = 1,2,5 (f1,f2,f5) sind in Abb. 2 dargestellt 0,0 0,2 0,4 0,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 g1 g2 g5 g Tab. 2: Wahrscheinlichkeiten der Anfangsziffer 1 nach t Jahren Abb. 4: Dichtefunktionen der Anfangsziffern von Aktienkursen (x0 = 100 ) tisch alle Werte zwischen null und unendlich annehmen. Es lässt sich aber ausrechnen, wie groß beispielsweise die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Kurs bei gegebenem Einstandskurs xo = 100 c zu einem bestimmten Zeitpunkt t 8 0 zwischen 100 und 200 c liegt und damit die Anfangsziffer 1 hat. Für t = 1 folgt: P(100 e Xt=1 ‹ 200) = ⌠⌡ 200 100 f(xt=1)dxt = 0,54. Bei t = 5 (und einem Erwartungswert von 272 c), beläuft sich die Wahrscheinlichkeit für die Anfangsziffer 1 auf 0,29. Nun kann der Aktienkurs mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit aber auch zwischen 10 und 20 c liegen (für t = 5 ist die Wahrscheinlichkeit dafür 0,006) oder zwischen 1000 und 2000 c (die Wahrscheinlichkeit dafür ist 0,025) usw. Rechnet man all diese Wahrscheinlichkeiten zusammen, dann ergibt sich eine Gesamtwahrscheinlichkeit für die Anfangsziffer 1 von P(D(xt=5) = 1) = 0,321, was recht nahe an dem theoretischen Wert der Benford-Verteilung liegt. Tab. 2 zeigt die Wahrscheinlichkeiten der Anfangsziffer 1 des Aktienkurses nach t Jahren. Wenn bei 250 Handelstagen pro Jahr das Parkett täglich 4 Stunden geöffnet ist, so entspricht t = 0,001 etwa dem Zeitpunkt einer Stunde nach Kauf der Aktie. Anfangs dominiert die Anfangsziffer 1 in der Verteilung der Aktienkurse. Mit zunehmendem Abstand zum Kaufzeitpunkt t = 0 nimmt der Anteil der 1 immer weiter ab und nähert sich nicht der Gleichverteilung sondern dem theoretischen Wert der Benford–Verteilung. Dabei stammt der größte Anteil der Anfangsziffer 1 zunächst aus dem Kursintervall von 100 bis 200 c, verschiebt sich im Zeitablauf jedoch zunehmend zum Intervall von 1000 bis 2000 c und dann weiter. Mit wachsendem t kommt das Benford-Gesetz immer besser zur Geltung. (Dasselbe gilt für eine Zunahme der Varianz c 2.) Je größer c 2t , desto näher liegt der Anteil der Anfangsziffer 1 an dem Wert der Benford-Verteilung log(2) = 0,301. Daran ändert sich auch nichts, wenn bei der Rechnung die Einstandskurse (xo) oder Renditen ( ` ) variiert werden. Allerdings zeigt Tab. 2 nur die Entwicklung der Wahrscheinlichkeiten für die Anfangsziffer 1. Wie verhalten sich die übrigen Anfangsziffern? Dazu muss die gesamte Verteilung der Anfangsziffern des Aktienkurses g(yt) betrachtet werden. Diese lässt sich durch Transformation aus der Verteilung des Aktienkurses f(xt) ermitteln. Abb. 4 zeigt die Dichtefunktionen der Anfangsziffern für t = 1, 2, 5 (g1, g2, g5). (Die übrigen Parameter sind unverändert, nämlich xo = 100, ` = 0,2, c = 0,4.) In Abb. 4 ist auch die Dichtefunktion (g) der Benford-Verteilung dargestellt. Wie man sieht, ist für t = 5 ( c 2t = 0,8) die Annäherung an die Benford-Verteilung bereits recht gut. Schon bei t = 3,33 ( c 2t = 0,53) würde ein Chi-Quadrat–Anpassungstest bei N = 432 Beobachtungen die Nullhypothese der Benford- Verteilung für die Anfangsziffern nicht ablehnen. Wegen xo = 100 c herrscht für kleine t die Anfangsziffer 1 vor. Für andere Einstandskurse dominieren anfangs andere Anfangsziffern, doch stets ergibt sich eine Konvergenz zur Benford–Verteilung. Abb. 5 zeigt die Konvergenz für den Einstandskurs xo = 500 c bei sonst unveränderten Parameterwerten. Das Black-Scholes-Modell impliziert somit bei hinreichend großer Volatilität eine Verteilung der Anfangsziffern, die der Benford-Verteilung entspricht. Damit ist es konsistent mit den empirischen Fakten. Im umgekehrten Fall hätte die Nichterfüllung dieser Minimalanforderung gewisse Zweifel an der Plausibilität des Modells aufge- Gesetze, Effekte, Theoreme 96 WiSt Heft 2 · Februar 2007 Vahlens IFRS Praxis Bilanz mit Aktiva und Passiva Zum Werk Die Bilanzierung von Finanzinstrumenten gehört zu den komplexesten und schwierigsten Themen in der Rechnungslegung nach IFRS. Dies liegt einerseits an den deutlichen Abweichungen zum HGB und andererseits sind sehr viele unterschiedliche Sachverhalte von den Regelungen der einschlägigen Standards – IAS 32, IAS 39 sowie ganz aktuell IFRS 7 – betroffen. Inhalt: Grundlagen • Bilanzierung von Finanzinstrumenten • Rechnungslegung bei Sicherungsbeziehungen (hedge accounting) • Eingebettete Derivate • Abgrenzung von Eigenkapitalinstrumenten und finanziellen Verbindlichkeiten • Latente Steuern auf Finanzinstrumente • Publizitätspflichten für Finanzinstrumente Zielgruppe Für Führungskräfte, Unternehmensberater, Analysten, Kreditfachleute bei Finanzdienstleistern sowie Fachleute aus dem Finanz- und Rechnungswesen von Unternehmen, Wirtschaftsprüfer und Steuerberater Von Prof. Dr. Matthias Schmidt, Dipl.-Kffr. Esther Pittroff und Dr. Bernd Klingels, Leipzig 2007. XVII, 236 Seiten. 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Am Beispiel des deutschen Aktienmarktes wurde festgestellt, dass die Anfangsziffern der untersuchten Schlusskurse nicht signifikant von der Benford-Verteilung abweichen. Das Black-Scholes-Modell ist mit dieser empirischen Beobachtung konsistent, allerdings nur dann, wenn die nach diesem Modell lognormal verteilten Aktienkurse eine hinreichend große Kursvolatilität aufweisen. Anmerkung Die hier vertretene Auffassung entspricht nicht notwendig der Position der Deutschen Bundesbank. Ich danke Max C. Wewel, HfWU Nürtingen-Geislingen, für hilfreiche Kommentare und Mirco Lattwein für die technische Unterstützung. Literatur Aitchison, J. J. C., C. Brown, The Log-normal distribution, Cambridge (UK), 1957. Benford, F., The law of anomalous numbers. Proceedings of the American Philosophical Society Vol. 78 (1938), S. 551–572. Black F., M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, in: Journal of Political Economy, Vol. 81 (1973), S. 637– 59. Hull, J.C., Options, futures, and other derivatives 6. Auflage, New Jersey 2006. Limpert, E., W. Stahel, M. Abbt, Log-normal distributions across the sciences: Keys and clues, in: BioScience, Vol. 51(5) (2001), S. 341- 353. Newcomb, S., Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers, in: American Journal of Mathematics, Vol. 4 (1881), S. 39–40. Schira, J., Statistische Methoden der VWL und BWL. Theorie und Praxis, 2. Auflage, München 2005. Varian, H. R., Benford’s Law, in: The American Statistician, Vol. 26/2 (2001), S. 65–66. WiSt Heft 2 · Februar 2007 97 Bitte bestellen Sie bei Ihrem Buchhändler oder beim: Verlag Vahlen · 80791 München · Fax (089) 3 81 89-402 Internet: www.vahlen.de · E-Mail: bestellung@vahlen.de Expl. 978-3-8006-3360-9 Crone/Werner (Hrsg.), Handbuch modernes Sanierungsmanagement Herausgegeben von Andreas Crone, Mannheim, und Prof. Dr. Henning Werner, Heidelberg 2007. XXII, 525 Seiten. Gebunden ca. € 60,– (Erscheint im März 2007) Bei schriftlicher oder telefonischer Bestellung haben Sie das Recht, die Ware innerhalb von 2 Wochen nach Lieferung ohne Begründung an Ihren Lieferanten (Buchhändler oder Verlag Vahlen, c/o Nördlinger Verlagsauslieferung, Augsburger Str. 67a, 86720 Nördlingen) zurückzusenden, wobei die rechtzeitige Absendung genügt. Kosten und Gefahr der Rücksendung trägt der Lieferant. Ihr Verlag Franz Vahlen GmbH, Wilhelmstr. 9, 80801 München, Geschäftsführer: Dr. Hans Dieter Beck Pr ei s in kl . M w St . z zg l. Ve rs an d ko st en c a. € 3 ,0 5 in D eu ts ch la n d b ei E in ze lb es te llu n g b ei m V er la g . Fax-Coupon Name/Firma Straße PLZ/Ort Datum/Unterschrift 147491 Krise, Sanierung und Insolvenz sind keine vorübergehenden Zeiterscheinungen Inhalt Zielsetzung ist es, das Standardwerk im Bereich Sanierungsmanagement zu schaffen, in dem ausgewiesene Praktiker moderne Instrumente zur Bewältigung von Unternehmenskrisen darstellen. Das Buch hat folgende Inhalte: • die Unternehmenskrise • Rechtliche Rahmenbedingungen und Prüfung der Insolvenztatbestände • Sanierungskonzept und Organisation der Unternehmenssanierung • die integrierte Finanzplanung im Rahmen des Sanierungskonzeptes • Finanzwirtschaftliche Sanierungsmaßnahmen • Steuerliche Aspekte im Rahmen der Restrukturierung • Gesellschaftsrechtliche Aspekte in der Krise • Arbeitsrechtliche Sanierungsmaßnahmen • Allgemeine Haftungs- und Strafrechtsrisiken in der Krise • Krisenmanagement aus Bankensicht • das Insolvenzverfahren • die Rolle von Finanzinvestoren • Praxisbeispiel. Benutzer Das Buch wendet sich an Personen, die mit Unternehmen in der Krise befasst sind, insbesondere Geschäftsführer, Unternehmensberater, Wirtschaftsprüfer, Steuerberater, Mitarbeiter bei Banken sowie Studenten der Betriebswirtschaftslehre, insbesondere im Bereich Turn-Around-/ Sanierungsmanagement. 98 WiSt Heft 2 · Februar 2007

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Abstract

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Language: German.

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Zusammenfassung

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